推荐学习2018数学高考学习复习资料一轮复习刺金四百题：第271—275题(含答案解析)
配套K122018数学高考一轮复习刺金四百题：第271—275题(含答案解析)
感知高考刺金271题在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，则cos C 的最小值为 ． 解：常规思路“切化弦”sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B B C A C C A B C A B B A A B B C A C C A B C A B +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222sin sin sin 3cos 2C c A B ab a b c C a b cab=⇒=⇒+=+- 222222cos 233a b c a b C ab ab +-+==≥感知高考刺金272题在平面直角坐标系中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异的三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+，则()223λμ+-的取值范围是 ．解：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则22111x y +=，22221x y +=，22001x y += 于是由OC OA OB λμ=+得()()()001122,,,x y x y x y λμ=+故012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，两式平方相加得()22121212x x y y λμλμ=+++， 即22121212x x y y λμλμ--+= 又[]1212cos 1,1x x y y OA OB θ+==∈-故222221,21λμλμλμλμ++≥+-≤即1110,0λμλμλμ+≥⎧⎪-≤-≤⎨⎪>>⎩，画出可行域如图，目标函数()223λμ+-视为可行域内的点到()0,3的距离的平方，所以的最小值为222d == 所以()2232λμ+-≥感知高考刺金273题若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式0)3()3(222>-+-+-t t x t t x 恒成立，则x 的取值范围为 ．解：原不等式化为0)]3()[(2>---t x t x ，∵22211(3)3()3024t t t t t --=-+=-+->， ∴3x t <-或2x t >，∴()min 34x t <-=-或()2max 9x t >=点评：本题常规的解法应该是将t 视为主元，将x 视为系数去解，但这个关于t 的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第271—275题(含答案解析)
感知高考刺金271题在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，则cos C 的最小值为 ． 解：常规思路“切化弦”sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B B C A C C A B C A B B A A B B C A C C A B C A B +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222sin sin sin 3cos 2C c A B ab a b c C a b cab=⇒=⇒+=+- 222222cos 233a b c a b C ab ab +-+==≥感知高考刺金272题在平面直角坐标系中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异的三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+ ，则()223λμ+-的取值范围是 ．解：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则22111x y +=，22221x y +=，22001x y += 于是由OC OA OB λμ=+ 得()()()001122,,,x y x y x y λμ=+故012012x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，两式平方相加得()22121212x x y y λμλμ=+++， 即22121212x x y y λμλμ--+= 又[]1212cos 1,1x x y y OA OB θ+==∈-故222221,21λμλμλμλμ++≥+-≤即1110,0λμλμλμ+≥⎧⎪-≤-≤⎨⎪>>⎩，画出可行域如图，目标函数()223λμ+-视为可行域内的点到()0,3的距离的平方，所以的最小值为222d == 所以()2232λμ+-≥感知高考刺金273题若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式0)3()3(222>-+-+-t t x t t x 恒成立，则x 的取值范围为 ．解：原不等式化为0)]3()[(2>---t x t x ，∵22211(3)3()3024t t t t t --=-+=-+->， ∴3x t <-或2x t >，∴()min 34x t <-=-或()2max 9x t >=点评：本题常规的解法应该是将t 视为主元，将x 视为系数去解，但这个关于t 的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。
2018年高考数学大一轮复习培优讲义全版 课标理科
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.第一章 集合与常用逻辑用语 ................................................................................................................................ 4 考纲链接 ........................................................................................................................................................... 4 1．1 集合及其运算 ....................................................................................................................................... 5 1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件.............................................................................................. 11 1．3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词...................................................................................... 17 单元测试卷 ..............................................................................................
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第176—180题(含答案解析)
感知高考刺金176不等式模块2．设实数,x y 满足1x y +=,则4x x y+的取值范围是 ． 解：()4444x y x x y x x y x y x y ++=+=++ 当,x y 同号时,444448x y x x y x y +=++≥+= 当,x y 异号时,444440x y x x y x y+=++≤-= 评注：齐次化的应用,因为齐次的启发,才有()44x y =+这一步。
感知高考刺金177不等式模块3．已知,x y 为正实数,且2x y +=,则2221x y x y +++的最小值为 ． 解法一：()()()()221112221211111112112111112123131y y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x y +-+++=++=++-+=+++++++⎡⎤⎛⎫=++++=++++≥+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦解法二：令x m =,1y n +=,则题目变为若3m n +=,则()()2212212112121123n m m n m n m n m n m n m n -+⎛⎫+=+++-=++=+⋅++≥+ ⎪⎝⎭ 评注：换元法有助于简化问题,看穿本质。
感知高考刺金178不等式模块4． 设正实数,x y 满足x y xy x y +=-,则实数x 的最小值为 ． 解法一：()2210x y xy xy x y x x y +=⇒+-+=- 将其视为关于y 的一元二次方程有正根,所以()2222214031102x x x x x x ⎧∆=--≥⎪⎪⇒≥+≥⎨-⎪->⎪⎩ 解法二：112x y xy x y x y x y+=⇒-=+≥-,解得1x ≥ 感知高考刺金179不等式模块5． 已知实数,x y 满足6212x y y x y x ⎧⎪+≤⎪≤⎨⎪⎪≥⎩,则z xy =的最大值为 ．解：画出可行域,(),E x y 为可行域内任意一点,目标函数z xy =理解为长方形O EPF 的面积,当z 取最大值时,点P 必在线段AB 上,即6x y +=又因为6x y +=≥即9z xy =≤点评：本题和今年四川高考第9题异曲同工,要形成不等式就是可行域的观点,解题的思路会更开阔。
[推荐学习]2018数学高考一轮复习刺金四百题：第371—375题(含答案解析)
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感知高考刺金371题若正数,a b 满足21a b +=，则222a b a b+--的最小值为 ． 解法一：分母复杂时采取换元。
令22,2a m b n -=-=，则问题变为已知3m n +=，求222m n m n--+的最小值。
22123123123212232332332m n m n n m m n m n m n m n --+⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当n =，即14a =，12b =时取得等号。
解法二：齐次化()()11242222222222421a b a b a b b a a b a b a a b b a b a b a b +=+=+=+--+-+-++++ 记b k a =，视为线段()210,0a b a b +=>>上的点与坐标原点连线的斜率()0,b k a=∈+∞ ()222221112344322242108121087474121082108k k k y k k k k k kk k k k k k k k ++=+=+=++++++++-++==-++++ 设744k t +=>，()2224911281670484944210877494911111442541442254tt y t t t t t t t t t t=-=--++-+⋅--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-≥=++++反思：这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的。
感知高考刺金372题在ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为 ． 解：由11sin 22ABC S ab C c c ∆==⋅得2sin ab C c =则2222222222cos AC BC AB AC BC AB b a c c ab C BC AC BC AC BC AC ab ab+++++++===⋅⋅ 2sin 2cos2sin 2cos 4ab C ab C C C C ab π+⎛⎫==+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4C π=时，取得等号。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第276—280题(含答案解析)
感知高考刺金276题设,a b 是非零向量，且1a b -= ，32a b -= ，则2a b -的最大值是 ． 解法一：（代数角度运算）令a b u -= ，3a b v -= ，则22u va b +-=题目简化为1u = ，2v = ，求2u v+的最大值2144cos 9244u v θ+++=≤ ，故322u v +≤ 解法二：（几何角度）画出1a b -= ，32a b -= 的几何图形，即1AB = ，2AC =，问题变为ABC ∆的两边分别为1和2，求中线AM 的长度的最大值。
23AM AB AC ≤+=（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角形时取得等号），故32AM ≤解法三：（坐标角度）将ABC ∆画成如图形状，则点B 在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM 的最大值。
本题还可以建系设点做，设()0,0A ，()2,0C ，()cos ,sin B θθ，cos sin 1,22M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则222cos sin 591cos 2444AM θθθ⎛⎫=++=+≤ ⎪⎝⎭ 即32AM ≤点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。
一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。
感知高考刺金277题在ABC ∆，90BAC ∠=︒，以AB 为一边向ABC ∆外作等边ABD ∆，若2BCD ACD ∠=∠，AD AB AC λμ=+，则λμ+= ． 解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。
如图，延长DA 与BC 交于EABCM则AE xAB yAC =+，且1x y += AD mAE mxAB myAC ==+ 故ADm AEλμ+==-设2AB =，AC a =，ACD θ∠=，则tan θ=，2tan 3a θ=)22tan 21aaθ=-()22tan 3tan 2aa θθθ=+===即24a =，2a =即ABC ∆是等腰直角三角形，故135ACE ∠=︒，15AEC ∠=︒所以sin135sin15AE AC ==︒︒)21AE =故AD m AEλμ+==-=点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定ABC ∆是等腰直角三角形。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第236—240题(含答案解析)
感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是 ． 解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-= 函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。
故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ∆的面积取得最大值时，最长的边长等于 ．解法一：设CH h =，AH x =，由题知2210a b +=，2c =，12ABC S ch h ∆== 因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤故()max 2ABC S ∆=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC +-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==感知高考刺金238题如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围是 ．解法一：极化恒等式角度()AC BD AD DC BD DC DB =+=- 显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ，则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=- 故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度AC BD AC CE =要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第131—135题含解析
感知高考刺金1311．函数()()401x f x x x =>+,()()()1,2g x x a x b a b =---<，若对10x∀>,21x x ∃≤，()()21g x f x =，则2a b +的最大值为 。
解：()()()1,2,21,2b a x b a b g x x a x ba b x a ⎧->⎪⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩，()()444011x f x x x x ==->++ 若使对10x∀>，21xx ∃≤，()()21g x f x =成立首先需使()142b a -≥且()102a b -<且线段,2a b y x a x b +=-≤≤与曲线()()401xf x x x =>+无交点由241a b y x xy x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得23022a b a b x x ++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭无正根（i ）若3202a b ++≥，即6a b +≥-时，要求()23202a b a b +⎛⎫∆=+++≤ ⎪⎝⎭，解得182a b -≤+≤-，即62a b -≤+≤-（ii ）若6a b +<-时，满足02a b +->,恒成立综上，2a b +≤- 故要使对10x∀>,21x x ∃≤,()()21g x f x =成立只需82b a a ba b -≥⎧⎪<⎨⎪+≤-⎩，画出可行域可得27a b +≤-2．（1）若复数z 与其共轭复数z满足z =2z z +=，则5z z+= 。
（2)若函数()ln x a f x x-=的图象总在()F x 求实数a 的取值集合。
解：（1)2（2）ln x a x-0x >且1x ≠恒成立，故()min,1a x xx <>或()min,01a x xx ><<令()g x x x=,……,得1a =感知高考刺金1321．已知()22245f x xa a =+-+，若()f x 的最大值是()g a ，则关于a 的不等式()12log 30g a +<的解集是 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第251—255题(含答案解析)
感知高考刺金251题设,m k 为正整数，方程220mx kx -+=在区间()0,1内有两个不同的根，则m k +的最小值是 ． 解：2220mx kx k mx x-+=⇒=+ 于是问题转化为直线y k =与打勾函数2y mx x =+的图象的两个交点的横坐标均在区间()0,1内，于是2k m <<+注意到2m +为整数，于是在区间()2m +上存在整数k 的充要条件为21m +>解得3m >+故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k +的最小值为13感知高考刺金252题已知21x y +=，求x 的最小值是 ．解法一：令x m =，则222m y x m -= 因此22212m y y m-⋅+=，整理得220y my m m -+-= 故用判别式()2240m m m ∆=--≥，解得45m ≥ 解法二：设cos x r θ=，sin y r θ=，条件转化为2cos sin 1r r θθ+=，即12cos sin r θθ=+ 所求代数式转化为cos 1cos 2cos sin r r θθθθ++=+的最小值 由此可有斜率角度求值域： 2cos sin 2cos 2sin 2sin 252cos 1cos 1cos 14θθθθθθθθ+++--==+≤+++，（视为单位圆上的点与()1,2-连线斜率），则cos 142cos sin 5x θθθ+≥+ 也可由三角函数角度求值域：()cos 14sin 21cos 112cos sin 5m m m m θθθθθ+=⇒+-=⇒≥+ 评注：这里因为遇到22x y +的结构，故三角换元设cos x r θ=，sin y r θ=。
解法三：数形结合当0x ≥时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH +如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21x y +=的对称点42,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到y 轴的距离为45当0x <时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH -而21PO O H O B PH PH >=+>+于是1PO PH ->感知高考刺金253题如图，直线m 与平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是 ． 解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OB OC ⊥不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)
感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}max max 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-=综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a b a =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。
2018数学高考一轮复习刺金四百题：第356—360题(含答案解析)
感知高考刺金356题已知实数,x y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值是 ．解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。
()()()2222221223x y x y xy xy xy xy +=+-=--=--由()()()2224146103x y xy xy xy xy xy xy +≥⇒-≥⇒-+≥⇒≥+或3xy ≤-所以()()2222233236x y xy +=--≥--=-点评：这里注意因为题干中没有告诉我们,x y 的正负性，所以不能直接用1x y xy +=-≥xy 的取值范围，所以改为用重要不等式来222a b ab +≥来做。
虽然答案正好一样，但做法要注意。
解法二：遇到xy 结构，所以用代数的极化恒等式变形。
令,x a b y a b =+=-，则问题转变为已知22210a b a ---=，求()222a b +的最小值。
因为()2222442a b a a +=--所以还需要计算定义域，即2221011b a a a a =--≥⇒≤≥所以()(2min 44216a a f --==-解法三：设,1x y a xy a +==+，则,x y 视为210z az a -++=的两根所以2440a a ∆=--≥所以2a ≥+或2a ≤-()()22222222136x y x y xy a a a +=+-=--=--≥-当且仅当2a =-时取得最小值。
感知高考刺金357题已知点P 为圆1O 与圆2O 的公共点，圆()()2221:1O x a y b b -+-=+，圆()()2222:1O x c y d d -+-=+，若8ac =，a c b d=，则点P 与直线:34250l x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为 ．解：设(),P m n ，1a c b d k==，则b ak =，d ck = 所以()()22221m a n ka k a -+-=+，即()2222210a m kn a m n -+++-=同理()2222210c m kn c m n -+++-=所以,a c 是方程()2222210x m kn x m n -+++-=的两个实根所以2218ac m n =+-=所以点P 的轨迹方程为229x y +=所以点P 到直线:34250l x y --=的最短距离为min 532PM =-=感知高考刺金358题已知向量,a b 满足23a b +=，22a b -=，则a b 的取值范围是 ． 解：（一）几何角度 由()223a b a b +=--=和12b a -=可以画图，找到向量模长的几何意义。
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感知高考刺金271题
在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，则cos C 的最小值为 ．
解：常规思路“切化弦”
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B B C A C C A B C A B B A A B B C A C C A B C A B +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22
222222sin sin sin 3cos 2C c A B ab a b c C a b c
ab
=⇒=⇒+=+- 222222cos 233
a b c a b C ab ab +-+==≥
感知高考刺金272题
在平面直角坐标系中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异的三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+，则()2
23λμ+-的取值范围是 ．
解：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则22111x y +=，22221x y +=，22001x y += 于是由OC OA OB λμ=+得()()()001122,,,x y x y x y λμ=+
故012012
x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，两式平方相加得()22121212x x y y λμλμ=+++， 即22
121212x x y y λμλμ
--+= 又[]1212cos 1,1x x y y OA OB θ+==∈-
故222221,21λμλμλμλμ++≥+-≤
即1110,0λμλμλμ+≥⎧⎪-≤-≤⎨⎪>>⎩
，画出可行域如图，目标函数()223λμ+-视为可行域内的点到()0,3的距离的平方，所以的最小
值为2
22d == 所以()2
232λμ+-≥
感知高考刺金273题
若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式0)3()3(222>-+-+-t t x t t x 恒成立，则x 的取值范围
为 ．
解：原不等式化为0)]3()[(2>---t x t x ，∵22211(3)3()3024
t t t t t --=-+=-+->， ∴3x t <-或2x t >，
∴()min 34x t <-=-或()2max 9x t >=
点评：本题常规的解法应该是将t 视为主元，将x 视为系数去解，但这个关于t 的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。
这个题目的解法也可以处理浙江省2012年高考题。
设∈a R ，若0>x 时，均有0)1](1)1[(2≥----ax x x a ，则=a ．
本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。
解：将0)1](1)1[(2≥----ax x x a 视为关于a 的二次不等式，即整理为()()
2110xa x xa x ⎡⎤⎡-+⎤--≤⎣⎦⎣⎦ 因为0>x ，故110x a a x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， 当112x x x x x
+=-⇒= 当02x <≤时，
11x x x x +≥-，则11x x a x x +-≤≤，所以max min 11x x a x x +⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即3322a ≤≤，即32
a = 当2x ≥时，
11x x x x +≤-，则11x a x x x +≤≤-，所以max min 11x a x x x +⎛⎫⎛⎫≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即
3322a ≤≤，即32
a = 综上，32a =
感知高考刺金274题
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210y x a b a b
+=>>被围于由4条直线x a =±，y b =±所围成的矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，若n m ⋅+⋅=(m 、R n ∈)，则22m n += ． 解：设P (x ,y )，由OP m OA n OB =⋅+⋅
⇒(x ,y )=m (a ,b )+n (-a ,b )=(am -an , bm +bn )
⇒()()x a m n y b m n =-⎧⎨=+⎩⇒x m n a y m n b
⎧=-⎪⎨⎪=+⎩⇒222222()()1y x m n m n a b -++=+=⇒2212m n +=
感知高考刺金275题
若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：
① X ∈M 、∅∈M ；
② 对于X 的任意子集A 、B ，当A ∈M 且B ∈M 时，有A ∪B ∈M ；
③ 对于X 的任意子集A 、B ，当A ∈M 且B ∈M 时，有A ∩B ∈M ；
则称M 是集合X 的一个“M 集合类”
例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ∅=是集合},,{c b a X =的一个
“M 集合类”已知集合},,{c b a X =，则所有含},{c b 的“M 集合类”的个数为 ．
解：},,{c b a X =的子集有8个，为：∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a . M 中必含∅、},{c b 、},,{c b a ，另5个元素}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a 再分配。
注意到},{b a ∩},{c b =}{b ，},{c a ∩},{c b =}{c ，},{b a ∩},{c a =}{a ，
故若},{b a 在M 中，则}{b 也在M 中，
若},{c a 在M 中，则}{c 也在M 中，
若},{b a 与},{c a 在M 中，则}{a 也必在M 中.
故对这5个元素在M 中的搭配情况进行分类：
①5个都不取，即0M =}},,{},,{,{c b a c b ∅，1个；
②从}{a 、}{b 、}{c 中各取一个充入0M ，有3个；
③从},{b a }{b 、},{c a }{c 、}{b }{c 中各取一个充入0M ，有3个；
④从},{b a }{b }{a 、},{b a }{b }{c 、},{c a }{c }{a 、},{c a }{b }{c 中各取一个充入0M ，有4个； ⑤把},{b a },{c a }{a }{b }{c 充入0M ，有1个；
故共有12个。