2017年北京大学博雅计划数学试题

2017年北京大学博雅计划数学试题

一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）

1. 正整数9 • 95^995亠亠9pj |95的十进制表示中数字1的个数为（）

A.2012

B.2013

C.2014

D.前三个答案都不对

2. 将等差数列1,5,9,H3，,2017排成一个大数15913…2017，则该大数被9除的余数为（）

A.4

B.1

C.7

D.前三个答案都不对

3. —个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（）

A.9

B.10

C.11

D.前三个答案都不对10. 将正整数集合N •分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式

有（）

A.0种

B.1种

C.无穷多种

D.前三个答案都不对

11. O是凸四边形ABCD对角线AC和BD的交点，已知UAOB「BOC「COD「DOA的周长相同, 厶AOBJBOCJCOD的内切圆半径分别为3,4,6，^U厶DOA的内切圆半径为（）

12.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。已知有100名学生参加了数学考试，50名同学参加了物理考试，48名同学参加了化学考试。学生总数是只参加一门考试学生数的

14有多少个互补相似的二ABC满足sin A = cos B = tan C?

A.0个

B.1个

C.2个

8.—个盒子装有红，白，蓝，绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个，从中随机拿出

4个玻璃球，这4个球是红色的概率为p1，恰好有三个红色和一个白色的概率为p2，恰好有两个A.5 B.6 C.7 D.前三个答案都不对

17.整数p,q满足p • q = 218,x2+px • q = 0有整数根，满足这样条件的整数对（p,q ）的个数为（）

4.单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的平方和的最大值为（

A.15

B.20

C.25

D.前三个答案都不对2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（

A.108 名

B.120 名

C.125 名

）

D.前三个答案都不对

兀3兀5兀

5. （1 cos7）d GJ" ©J）的值为（）13.有多少个平面与正四面体的4个顶点的距离都相等？（

A.9 8

7

B.

8

C.3

4

A.4个

B.6个

C.8个

）

D.前三个答案都不对

D.前三个答案都不对

2017+.3

A. 2017-、3

B. 2017

1+2017、

；3

.2017+,3

D.前三个答案都不对

7.已知正整数n满足n式2017且n n与2O172017有相同的个位数字，则2017-n的最小值为（

A.4

B.6

C.8

D.前三个答案都不对15.已知存在整数a, b,c 满足a b+c = 1,S = ( a bc)( b ac)(c，ab) 100，则S 的最小值属于()

A. 100,110

B. 110,120】

C. 120,130】

D.前三个答案都不对

16.已知存在正整数a,b,c满足a+b + c=407,10n abc,则n的最大值（

）

红色，一个白色和一个蓝色的概率为卩3，四种颜色各一个的概率为P4，» = 0二P3 = P4则这个

盒子里的玻璃球的个数的最小值等于（）

A.17个

B.19个

C.21个

D.前三个答案都不对

1 1 1

9.设a,b,c ft（a -）（b -）（c - ）均为正整数，则2a 3b 5c的最大值与最小值之差（）

b c a A.0个

18.已知

A.0

A.8

B.15

C.22

D.前三个答案都不对

B.2个

tan2 x tan2 y

2 2

1 tan x tan y

=sin2 x sin2

1

B.—

4

C.4个

D.前三个答案都不对

y,则sin x sin y的最大值）

D.前三个答案都不对

A.9

B.5

C.11

D.前三个答案都不对

6.已知f(x)」工3x，定义仏刈=f(x), f k/x)二f(f k(x)),k _1,则f20/2017)的值为( x/3 —x

D.前三个答案都不对

1

19. 令a =sin14°cos14°,b=sin16°cos16°,c

（a2- b2），则a,b,c 的大小顺序（

）

2

A. a ::: c ::: b

B. c .： a ::: b

C. a ::: b ：：： c

D.前三个答案都不对

20. 假设三角形三边长为连续的三个整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三

边长为（）

A.4,5,6

B.5,6,7

C.6,7,8

D.前三个答案都不对