全新人教版高三上学期数学10月联考试卷(文科 附答案)
新课标人教版高三10月月考文科数学试卷(含答案)
B. 1C. 5D. 25 ()3．已知平面向量 a = (1,2)， b = (m , -1)， c = (4, m )，且 a - b ⊥ c ，则 m = （ ）2018-2019 学年度上学期月考（ 1）高三数学（文科）时间：150 分钟 分数：150 分 命题人：王新春 孙红一选择题1．设集合 A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0}， B = {x | x - 2 ≤ 2} ，则 A ⋂ B = （）A. (-1,0]B. [0,3 )C. (3,4]D. (-1,3 )2．若 z =2 - i 2 + i，则 z = （ ）1A.5A. 3B. -3C. 4D. -44 设命题 P : ∃n ∈ N , n 2 > 2n ，则 ⌝ P 为（ ） A ． ∀n ∈ N , n 2 > 2nB ． ∃ n ∈ N , n 2 ≤ 2nC ． ∀n ∈ N , n 2 ≤ 2nD ． ∃n ∈ N , n 2 = 2n5．某工厂生产 A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 k:5:3，现用分层抽样方法抽出 一个容量为 120 的样本，已知 A 种型号产品共抽取了 24 件，则 C 种型号产品抽取的件数为（ ） A. 24 B. 36 C. 30 D. 406．已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.7．执行如图所示的程序框图，若输出的 y = 2 ，则输入的 x = （ ）A. 1B. 2C. 4D. 1或 4，则cos α+⎪⎪的值等于（）⎛223A.17B. C.10 D.12A． ,1⎪B． -∞,⎪⋃(1,+∞)⎛1⎫3⎭C． -,⎪D． -∞,-⎪⋃ ,+∞⎪AB=m AM，AC=nAN，m,n为正数，则+的最小值为A.1+238．已知sin α-⎝π⎫1⎛=12⎭3⎝5π⎫12⎭A.1122B. C.- D.-3339．已知{an }是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S，则a=（）410 192210．函数y=sin x(x≠0)的部分图象大致是ln xA. B. C.11．设函数f(x )=e x-D.1，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是x2+2⎛1⎫⎛11⎫⎛1⎫⎛1⎫⎝3⎭⎝⎝33⎭⎝3⎭⎝3⎭12．在 ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N，若11m n222B.1+C.1+D.2333二填空题13．重庆一中开展了丰富多彩的社团文化活动，甲，乙，丙三位同学在被问到是否参加过街舞社，动漫社，器乐社这三个社团时，甲说：我参加过的社团比乙多，但没有参加过动漫社；= 4 ，且 a 是 a 、 a 的等差中项，数列 {b }满足4 3 乙说：我没有参加过器乐社；丙说：我们三个人都参加过同一个社团，由此判断乙参加过的社团为__________．14．函数 f (x ) = x 2 - 2x - 3 ，x ∈[-4,4 ]，任取一点 x ∈[-4,4 ]，则 f (x 0) ≤ 0 的概率为__________．15．设变量满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为__________16．已知一组样本数据按从小到大的顺序排列为-1，0，4.，这组数据的平均数与中位数均为 5，则其方差为__________． 三解答题17．某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中 50 棵树苗的高度（单位：厘米）.把这些高度列成了如下的频率分布表：（1）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于 80 厘米的概率大约是多少？（2）这批树苗的平均高度大约是多少？（用各组的中间值代替各组数据的平均值）（3）为了进一步获得研究资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则 [40,50)组中的树苗 A 和 [90,100]组中的树苗 C 同时被移出的概率是多少？18．在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，面积为 S ，已知 a cos 2（Ⅰ）求证：a 、b 、c 成等差数列； C A 3+ c cos 2 = b ．2 2 2（Ⅱ）若 B =π3 , S = 8 3 ，求 b ．19．已知数列 {a n }是递增的等比数列，满足 a 1 52 4 nb n +1= b + 1 ，其前 n 项和为 S ，且 S + S = a .n n 2 6 4（ 1 ） 求 数 列 {a n} ， {b } 的 通 项 公 式 ；（ 2 ） 数 列 {a } 的 前 n 项和为 T ，若不等式n n nn log (T + 4) - λ b + 7 ≥ 3n 对一切 n ∈ N * 恒成立，求实数 λ 的取值范围.2 n n20．如图，在底面为梯形的四棱锥 S - ABCD 中，已知 AD / / BC ，∠ASC = 60︒ ，AD = DC =2 ，Ⅱ)直线l的参数方程是íï，2y+1≤，求证：f (x)<1．SA=SC=SD=2．SA DB C（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥B-SAD的体积．21．已知函数f(x )=ln xx-1.（1）确定函数f(x)在定义域上的单调性；（2）若f(x)≤k e x在(1,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；ìïx=t cosα,ïîy=t sinα,（t为参数），l与C交于A，B两点，AB=10,求l的斜率. 23．已知函数f(x)=2x-1，x∈R．求：（1）解不等式f(x)<x+1；（2）若对于x，y∈R，有x-y-1≤11 36高三月考1文数试题参考答案1．B2．B3．C4．C5．B6．A详解：三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，其中三棱锥的三条侧棱均等于圆锥的母线，都为，故所求几何体的表面积为【解析】 cos α + = cos ⎢ α - + = -sin α - 12 ⎭ 2 ⎥⎦ 12 ⎭ = - ，故选 C ．12 ⎭ 3 ⎡⎛ 2 2( )+ = 1 ， m + n = 2 ， + = + ⎪ (m + n ) = 2 + ⎪ ≥ (2 + 2) = 2. 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫ ， 4.7．D【解析】该程序框图表示的是分段函数，y = { log x ,x ≥ 2 2 2x , x < 2, 输出的 y = 2,∴ 由 { log x = 2 2 x ≥ 2得x = 4 ，由{8．A2x = 2x < 2 ，得 x = 1 ，输入的 x = 1 或 4 ，故选 D.9．B ⎛ ⎝ 5π ⎫ π ⎫ π ⎤ ⎛ ⎪ ⎪ ⎣⎝ ⎝π ⎫ 1 ⎪【解析】试题分析：由 S = 4S 得 8a + 28d = 4 (4a + 6d )，解得 a = 8 4 1 1 1 1 19, a = a + 9 = 10 1.考点：等差数列. 10．A【解析】首先函数为奇函数，排除 C ，D ，又当 x ∈ (0,1)时， y < 0 ，排除 B ，从而选 A ．11．A 12．D1m n【解析】 AO = AB + AC = AM + AN2 2 2∵M 、O 、N 三点共线，∴m n ⎛ 2 2 m n 2 ⎝ m n ⎭ ⎝ m n ⎫ 1 1 + n m ⎭ 2 213．街舞社【解析】由已知，甲没参加过动漫社，乙没有参加过器乐社，而三个人都参加过同一个社团，则三 人都参加过的社团为街舞社；又甲参加过的社团比乙多，则只可能为甲参加过两个社团，乙参加过 一个，故乙参加过的社团为街舞社。
2019-2020年高三上学期10月月考数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期10月月考数学（文）试题 含答案一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于 A. B. C. D.2．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：， 命题q ：或，则是的A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件 3．函数的值域是A ．B ．C ．D ． 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，，则角A= A ． B. C. D.5．设a ＝( 2 7)27，b ＝( 2 7)37，c ＝( 3 7)27，则a 、b 、c 的大小关系是A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a 6．若O 为的内心，且满足，则的形状为 A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对7． 在处的切线斜率的最小值是A ．2B ．3C ．D ．8．三棱锥及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为 A. B. C. D.9．已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是A ．图象关于点中心对称B ．图象关于轴对称C ．在区间单调递增D ．在单调递减 10．已知函数的图象大致为11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为、，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为 A ． B ． C ． D ．12．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）= f （x ），且当x ∈时，f （x ）=⎩⎪⎨⎪⎧1＋cos πx 2，1＜x ≤3，x 2 ，－1＜x ≤1，则g （x ）= f （x ）－1g|x |的零点个数是A ．9B ．10C ．18D ．20第Ⅱ卷二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分．13．若e x ＋e y ＝1，则x ＋y 的取值范围是___________．14．在区间[－2，3]上任取一个数a ，则函数有极值的概率为 ． 15．已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________. 16．函数的定义域为，其图象上任一点满足，则下列说法中 ①函数一定是偶函数； ②函数可能是奇函数； ③函数在单调递增； ④若是偶函数，其值域为 正确的序号为_______________．（把所有正确的序号都填上） 三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足，求f (B )的取值范围． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，,，.（Ⅰ）求证；（Ⅱ）设点在棱上，且，试求三棱锥． 19．（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，等比数列满足 （I ）求数列和的通项公式；（II ）设数列对任意均有，求数列的前n 项和．20．(本小题满分12分) 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点P (1， 32)，离心率e ＝ 12，直线l 的方程为x ＝4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在求λ的值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)设和是函数的两个极值点，其中.（1）若，求的取值范围；（2）若n≥e，求的最大值(注是自然对数的底数)．22．（本小题满分10分）选做题：考生只选做其中一题，三题全答的，只计前一题的得分。
高三上学期10月阶段联考检测数学文试题 Word版含答案
【考试时间：10月6日15：00~17：00】安徽省届高三阶段联考能力检测文科数学试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．已知集合{}R x x x y A ∈--=,122，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈+==0,1x R x x x y y B 且，则=⋂A B C R )( A ．]2,2(-- B ．[)2,2-C ．),2[+∞-D ．)2,2(-2．在复平面内，复数iiz 212-=(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列推理过程是演绎推理的是 （ ） A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B ．某校高三（1）班有55人，高三（2）班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C ．两条直线平行，同位角相等；若∠A 与∠B 是两条平行的同位角，则∠A ＝∠BD ．在数列{}n a 中，21=a ，)2(12≥+=n a a n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式 4．已知0tan ＜α，则（ ）A ．0sin ＜αB ．02sin ＜αC ．0cos ＜αD ．02cos ＜α5．已知γβα,,是三个互相平行的平面，βα，平面之间的距离为1d ，平面γβ,之间的距离为2d ，直线l 与γβα,,分别相交于321,,P P P ,那么“3221P P P P =”是“21d d =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分体条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设14log ,10log ,6log 753===c b a ，则（ ）A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．b c a ＞＞D ．c b a ＞＞7．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z +=的最大值是 （ ）A ．10B ．30C ．20D ．90 8．一个直棱柱被一个平面截去一部分所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 9．已知函数x a x y cos sin +=的图像关于3π=x 对称，则函数x x a y cos sin +=的图像的一条对称轴是 （ ）A ．65π=x B ．32π=x C ．3π=x D ．6π=x10．在整数Z 中，被7除所得余数为r 的所有整数组成的一个“类”，记作][r ，即 {}Z k r k r ∈+=7][，其中6,...2,1,0=r .给出如下五个结论： ①]1[2016∈ ②]4[3∈-； ③=⋂]6[]3[Ø； ④]6[]5[]4[]3[]2[]1[]0[⋃⋃⋃⋃⋃⋃=z⑤“整数b a ,属于同一“类””的充要条件是“]0[∈-b a 。
高三数学10月联考试题文试题
“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟〞2021届高三数学10月联考试题 文制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1. 集合{}{}|1,|20A y y x B x x ==+=-≤，那么A B =A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞2. 在平面直角坐标系中，点22(cos ,sin )55P ππ是角α终边上的一点，假设[0,)απ∈，那么α= A.5πB.25π C.35π D.310π 3. 函数|2|y x a =-在[1,)-+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是 A. (,1]-∞-B. (,2]-∞-C.(,1]-∞D.(,2]-∞4. 设0.1323,log 2,log 3a b c ===，那么,,a b c 的大小关系为 A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<5. 函数()f x 满足2(1)f x x x -=-，那么()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是A. 20x y +-=B. 30x y -=C. 310x y --=D. 20x y -=6. 函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，那么非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，假设sin 2sin 2A B =，那么角A 与角B 相等③命题：“假设tan x =3x π=〞的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是 A.①②③B.①②C.①③D.②③8. 假设奇函数()f x 满足当[0,)x ∈+∞时，2()log (2)f x x x b =+++，那么不等式()3f x ≥成立的一个充分不必要条件是A. 2x ≥B. 3x ≥C. 1x ≥D. 3x <9. ?九章算术?是我国古代的数学巨著，其中?方田?章给出了计算弧田面积所用的经历公式为：弧田面积12=⨯〔弦×矢+矢2〕，弧田〔如图阴影局部所示〕是由圆弧和弦围成，公式中的“弦〞指圆弧所对的弦长，“矢〞等于半径长与圆心到弦的间隔 之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是A. 12C.D. 10. 在ABC ∆中，,BD DC E =是AD 的中点，那么EB =A. 2133AB AC - B. 2133AB AC -+C. 3144AB AC -+D. 3144AB AC -11. 函数23()123x x f x x =+-+，假设()(2020)h x f x =-的零点都在(,)a b 内，其中,a b均为整数，当b a -取最小值时，那么b a +的值是 A. 4039B. 4037C. 1D. 1-12. 函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，假设()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，那么实数t 的范围是A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,36ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．向量(1,1),(2,)a b y ==，假设()a a b ⊥-，那么实数y = ．14．函数2,(0,2]()1(1),(2)22x xf x x f x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩那么(8)f = ．15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.假设24m n +=，那么212cos 27m n-︒＝ ．〔用数字答题〕16．定义min{,}a b =,,a a b b a b≤⎧⎨>⎩，假设{}()min 1,3f x x x =+-，那么使不等式(2)(2)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ．三、解答题：一共70分。
高三数学上学期10月试题文试题
卜人入州八九几市潮王学校教学2021届高三数学上学期10月联考试题文〔扫描〕十月联考数学〔文科〕参考答案与评分HY一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面， 只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.D【解析】因为图中阴影局部表示的集合为()U AC B ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U AC B {}{}021x x x x =<<≥{}12x x =≤<，应选.D2.B【解析】依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <pp┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭〞.综上所述，应选.B 3.C 【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为24log 205<<，所以20log 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.应选.C4.C【解析】由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得109,a =109154-⨯49=，应选.C5.A【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，1tan 3α∴=-，2πα-<<，sin 10α∴=-，那么22sin sin cos 2sin sin 2cos 42αααααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭α=⎛== ⎝⎭.A 6.B 【解析】因为()22f x ax ax c '=++，那么函数()f x '即()g x 图象的对称轴为1x =-，故可排除,A D ；由选项C 的图象可知，当0x >时，()0f x '>，故函数()323a f x x ax cx =++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x 在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 此题应选.B7.A【解析】依题意得2,2Tππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 4π=2=0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=.A8.B【解析】过点D 作DFAB ⊥于点F ，在Rt AFD ∆中，易知1,45AF A =∠=，梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE 的面积221244S ππ=⨯⨯=，那么丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，应选.B9.D【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，得234f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos 0cos 3f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos 0cos 4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.应选.D10.D 【解析】因为()232f x x bx c '=++，依题意，得那么点(),b c 所满足的可行域如下列图〔阴影局部，且不包括边界〕，其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的间隔的平方，因为点P 到直线AD 的间隔2212332521d ⎛⎫⨯-++ ⎪⎝⎭==+，观察图形可知，22d T PA <<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，应选.D二、填空题：〔7题，每一小题5分〕 11【解析】由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<.由2log x m <，解得02m x <<，故{}02mB x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.12.[]3,5-【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，那么有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.13.〔1〕0.0125；〔2〕72 【解析】〔1〕由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.〔2〕上学时间是不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿.14.56π【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，平移后得到函数2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 15. 1【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y xx''----'==，在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a=-， 由121k k =-，解得 1.a =16.[]()2,12,6--p为真，那么216402a a ∆=-<⇒>或者2a <-q为真，因为[]1,1m ∈-，所以2822,3m ⎡⎤+∈⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式22538a a m --≥+恒成立，只需满足2533a a --≥，解得6a ≥或者1a ≤-p q ∨p q ∧,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或； ②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--.17.(],22ln 2-∞-+【解析】由()20x f x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.三、解答题：本大题一一共5小题，一共65分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 18.【解析】〔1〕2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分=1………………………………………………………6分 〔2〕22ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x …………………7分13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f ……………………………………10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分19.【解析】〔1〕根据“每间隔50人就抽取一人〞,符合系统抽样的原理,故教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：19.4597=⨯=…………………………6分〔2〕从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=〔人〕，分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=〔辆〕，分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人一共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A AB A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有34(,)A A 一共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 20.【解析】 〔1〕∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，∴a x a x x f 3)1(323)(2++-='……………………………………1分∵0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴1-=a ……………………2分∴)1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴1=x 是函数)(x f 的一个极值点………………………………………3分∴1-=a 即为所求………………………………………………………4分 〔2〕∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，假设函数)(x f 在),(∞+-∞不单调，那么03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根…………………………5分∴036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分∴251+>a或者251-<a ………………………………………………8分 〔3〕∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，那么M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ，∴切线的斜率为1253)1(300302-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或者10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数， ∴函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ，∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点……………12分∴方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线……………………………13分21.【解析】〔Ⅰ〕在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB ACBCA ABC=∠∠， sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分〔Ⅱ〕∵AD BC ∥，∴180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，∴95sin sin 2AB BADBD ADB⨯∠==∠.……………………………………14分22.【解析】〔Ⅰ〕1)()(+-=x x G x f =1﹣x+lnx ，求导得：'11()1xf x xx，由'()0f x ，得1x .当0,1x 时，'()0f x ； 当1,x时，'()0f x .所以，函数()yf x 在0,1上是增函数，在1,上是减函数.…………5分(Ⅱ)令 那么()()'11hx m x=-+ 因为0m >，所以10m +>，由()'0h x =得11x m=+ 当10,1x m 时，'()0h x ，()h x 在10,1m 上是增函数；当1,1xm 时，'()0h x ，()h x 在1,1m上是减函数.所以，()h x 在0,上的最大值为1()1ln 101h mm ，解得1m e ≥-所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立.………………………10分〔Ⅲ〕由题意知，ln 2,b a a .由〔Ⅰ〕知()ln 1(1)f x xxf ，即有不等式ln 10xx x .于是ln 21221,baa a aa即21ba………14分。
2021-2022年高三上学期10月月考 数学文试题 含答案
2021年高三上学期10月月考 数学文试题 含答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．在等差数列中，已知，则（ ）A ．12B ．16C ．20D ．242．若、是任意实数，且，则下列不等式成立．．的是（ ） A ． B ． C ． D ．3．已知集合，，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数 的最大值与最小值之和为（ ）A ．B ．0C ．D ．5．在中，若，则是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则 ②若，则③若，则 ④若，则其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．函数25()cos log 22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．1D ．9．已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设表示满足不等式200(*)10x y n N y nx n ⎛> >∈ ≤-+⎝的整数对的个数（其中整数对是指都为整数的有序实数对），则=（ ）A ．1012B ．2014C ．4024D ．4028第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II 上相应位置（只填结果，不写过程）11．若直线和平行，则实数的值为_______12．已知，若恒成立，则实数的取值范围是_________13．已知向量与向量的夹角为60°，若向量，且，则的值为______14．已知奇函数满足，且当时，有，则=_______15．已知正方体的棱长为1，正方体内衣球与面均相切，正方体内另一球与面11111111,,ADD A A B C D CDD C 均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是_________三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II 上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（13分）（1）已知直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线被圆22:2220O x y x y +-+-=所截得的线段长为，求直线的方程。
2024届高三10月大联考(全国乙卷)文科数学含答案解析
2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得 【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（ ）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断 【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解； 当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件 故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（ ）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断 【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称 故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ； 又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可 【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质 故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（ ） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可 【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（ ） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件 【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号） 所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（ ）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可 【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确 故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（ ） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可 【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可； （2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可 【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。
2021-2022年高三上学期10月月考数学试卷(文科) 含解析
2021-2022年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁B）（）UA．∅B．{5} C．{3} D．{3，5}2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足=1， =2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．10．复数+的虚部是．11．已知，，则在方向上的射影长为．12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=（用a表示），若，则a=．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？17．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．xx北京首都师大附中育新学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选D．2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据象限角的定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：“α为第二象限角”时，“为锐角”不一定成立，“为锐角”时，“α为第二象限角”一定成立，故“α为第二象限角”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B3．已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积公式，结合=1，=2，且（+）⊥，即可求得结论．【解答】解：∵=1，=2，且（+）⊥，∴（+）•=1+1×2×cos＜，＞=0∴cos＜，＞=﹣∵＜，＞∈[0，π]∴＜，＞=故选B．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0） B．（0，）C．（，） D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件知，本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换．【解答】解：由题意函数y=sin（2x﹣）的图象上各点向右平移个单位长度，得到y=sin（2x﹣﹣）=sin（2x﹣），再把横坐标缩短为原来的一半，所得图象的表达式是：y=sin（4x﹣）．故选：D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A7．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项【解答】解：由题设知，|OA|=2（单位：m），OB=1，两者行一秒后，甲行到B停止，乙此时行到A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）的值增加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中AB所扫过的面积，由于点B是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到C后，即B与C重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数y=S（t）随着时间t 的增加先是增加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有A符合题意故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤﹣5．【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．【分析】①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即解得即m≤﹣5故答案为m≤﹣510．复数+的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．11．已知，，则在方向上的射影长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在方向上的射影长为：，代入计算可得答案．【解答】解：∵，，∴在方向上的射影长为：==，故答案为：12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=2a（用a表示），若，则a=1．【考点】函数的值．【分析】由函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，知f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；由=，知f（2）=2a=2，由此能求出a．【解答】解：∵函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，∴f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；∵=，∴f（2）=2a=2，∴a=1．故答案为：2a，1．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是②③（填序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．【解答】解：①∵函数f（x）=（）x为R上的递减函数，故①不正确，②∵sin2（x+π）≥sin2x∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，则，解得m ≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．【考点】解三角形；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…所以，．…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab•cosC==9所以，c=3．…又由正弦定理得，，所以，．…因为a＜b，所以A为锐角，所以，．…所以，sin（C﹣A）=sinC•cosA﹣cosC•sinA=．…16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）首先根据列表求出a的值，然后列出P（x）的关系式，整理即可．（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*，把函数转化为关于t的等式，利用基本不等式求解【解答】解：（1）根据列表数据可得：a=108由题意，当日产量为x时，次品数为：正品数：∴y=整理得：（80≤x≤100，x∈N*）（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*==当且仅当t=即t=12时取得最大盈利，此时x=9617．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，然后求出ω，利用f（）=2，求出φ，即可求出函数的解析式．（2）通过g（x）=f（x）﹣2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过[0，]求出相位的范围，然后求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图可得A=2，，所以T=π．因为所以ω=2．…当时，f（x）=2，可得，因为，所以．…所以f（x）的解析式为．…（2）==…=．…因为，所以．当，即x=时，函数g（x）有最大值，最大值为：2 …当，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为﹣1．…18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知函数f（x）=x﹣ae x，对其进行求导，利用导数研究其单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣ae x．…当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数．…当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna．…若x＜﹣lna则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数；若x＞﹣lna则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立．又因为当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数，所以f（x）在点x=﹣lna处取最大值，且f（﹣lna）=﹣lna﹣ae﹣lna=﹣lna﹣1．…令﹣lna﹣1≤0，得，故f（x）≤0对x∈R恒成立时，a的取值范围是．…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）利用导数确定函数的取值情况，确定函数y=f（x）零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为，…f（1）=﹣a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1﹣a，所以切线l的方程为y﹣（1﹣a）=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x．…（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x=lnx﹣x+1，x＞0，则F'（x）==0，解得x=1．x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+0 ﹣F（x）↗最大值↘…F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1﹣a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．…（Ⅲ）令f（x）=lnx﹣ax+1=0，则a=．令g（x）=，则g'（x）=，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…若a=1，f（x）=lnx﹣ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．若a≤0，f（x）=lnx﹣ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax﹣1与曲线y=lnx有一个交点）．若0＜a＜1，解f'（x）=，得x=，由函数的单调性得知f（x）在x=处取最大值，f（）=ln，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（=﹣，所以f（x）在单调递增区间（0，）有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．xx11月19日l20519 5027 倧31513 7B19 笙e38295 9597 閗39634 9AD2 髒30789 7845 硅24984 6198 憘-#}27048 69A8 榨36062 8CDE 賞f。
2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案
绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x <<.。
高三数学上学期10月联考试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校政和一中、周宁一中2021届高三数学上学期10月联考试题文本卷须知： 1.2.请将答案正确填写上在答题卡上 1、集合2{560}A x x x =-+≤，{21}x B x =>，那么AB =〔〕A ．[2,3]B ．(0,)+∞C ．(0,2)(3,)+∞D ．(0,2][3,)+∞2、设复数z 满足(1+i)z=2i ，那么∣z ∣=A ．12BCD ．23、函数()4,0{2,0xx x f x x ->=≤，那么()5f f ⎡⎤⎣⎦的值是〔〕 A.2B.-2C.12D.12- 4、假设1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，那么〔〕A.ab c << B.a c b << C.c a b << D.b a c <<5、向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，那么+p q的值是〔〕ABC ．5D ．136、设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩那么z=x+y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．37、假设点),(b a A 在第一象限，且在直线01=-+y x 上，那么ba 41+的最小值为〔〕A ．8B ．9C ．10D ．128、等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.假设a 2，a 3，a 6成等比数列，那么{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8 9、函数()()sin f x A x ωϕ=+〔0,0,2A πωϕ>><〕的图象如图所示，将()f x 的图象向右平移m 个单位得到()g x 的图象关于y 轴对称，那么正数m 的最小值为〔〕 A.6πB.56π C.3πD.23π 10、假设α，β为锐角，且满足cos α=，cos 〔α+β〕=，那么sin β的值是〔〕A ．﹣B ．C ．D ．11、设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，假设12A B A C ⊥,那么双曲线的渐近线的斜率为〔〕A ．12B.22C.1D 212、函数4log 3(0),()1() 3 (0),4x x x x f x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩假设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，那么12||x x -=〔〕A ．3ln 2-B ． 3ln 2C ．22D ．313、函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x ,那么()2=f .14、.设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，那么AB =.15、单位向量,a b，假设向量2a b -与b 垂直，那么向量a 与b 的夹角为.16、定义在R 上的函数y=f 〔x 〕，满足f 〔2﹣x 〕=f 〔x 〕，〔x ﹣1〕f ′〔x 〕＜0，假设 f 〔3a+1〕＜f 〔3〕，那么实数a 的取值范围是. 17、〔12分〕在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 2cos cos .c c A a C -=〔Ⅰ〕求bc的值〔Ⅱ〕假设21,3b c α+=+=,求ABC ∆的面积.S18、〔12分〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，222a b +=.〔1〕假设335a b +=，求{b n}的通项公式；〔2〕假设321T =，求3S .19、〔12分〕围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙〔利用旧墙需维修〕，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如下列图，旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为〔单位：〕，修建此矩形场地围墙的总费用为〔单位：元〕 〔1〕将表示为的函数；〔2〕试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
高三数学上学期10月联考试题文试题 2
卜人入州八九几市潮王学校2021届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟〞高三10月联考文科数学试题 总分：150分时间是：120分钟本卷须知：2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
3．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.请将正确之答案填涂在答题卡上. 1．集合{}1,0,1A =-，{}=1B x x =，那么A B =A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-2．函数()f x =的定义域是A ．(,2)(0,)-∞-+∞B ．(,2)(2,0)-∞--C ．(2,0)-D ．(2,0]-3．错误的选项是．．．．．．“假设x y =，那么sin sin x y =〞“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-〞的否认是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-〞C ．假设p q ∨p q ∧D ．在ABC ∆中，“A B >〞是“sin sin A B >〞的充要条件4．向量(2,2)a =，(,1)b n =，假设向量a b -与a 是平行向量，那么n =A.1B.1-C.3D.3-5.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数()sin 2f x x =的图象上所有点A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 6．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时3()log (1)f x x =+，那么[(8)]f f -=A.2-B.1-C.1D.27．函数2sin()([0,])3y x x ππ=-∈的增区间为A.[0,]6πB.[0,]2πC.5[0,]6πD.5[,]6ππ 8．11617a=，16log b =，17log c =，那么a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 9．函数2()(1)x f x e x =-+〔e 为自然对数的底〕，那么()f x 的大致图象是ABCD10．平面直角坐标系xOy 中，点00(,)P x y 在单位圆O 上，设xOPα∠=，假设5( )36ππα∈，，且3sin()65πα+=，那么0x 的值是 A．310-B．310+C．310D．310- 11．函数⎩⎨⎧>≤+=0|,log |0|,2|)(2x x x x x f ，假设关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，那么1234x x x x +++的取值范围为A ．1[2,]4-B ．1(2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞ 12．设函数()1ln f x ax b x x=---，假设1x =是()f x 的极小值点，那么a 的取值范围为A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),0-∞二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．假设点(2,4)P 在幂函数()y f x =的图象上，那么(3)f =;14．函数2()f x x ax b =-+在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =+，那么a b +=;15．在边长为2的正ABC ∆中，设3BC BD =，2CA CE =，那么AD BE ⋅=;16.1()2sin() (,)64f x x x R πωω=+>∈，假设()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，那么ω的取值范围是．三．解答题：一共70分。
新课标2025届高三数学上学期10月大联考试卷及答案解析
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|13}A x x =-<≤，2{|4}B x x =>，则R ()A B = ð（ ）A. ()1,2- B. (]1,2-C. (]2,3- D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合2{|4}(,2)(2,)B x x =>=-∞-+∞ ，则R [2,2]B =-ð，而{|13}A x x =-<≤，所以R ()(1,2]A B =- ð.故选：B 2. 使不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件是（ ）A. ()(),12,-∞-+∞ B. (](),12,-∞-+∞ C. ()[),12,-∞-⋃+∞ D. (][),12,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用分式不等式化简可得2x ≥或1x <-，即可根据真子集关系求解.【详解】由312x ≤-可得()()120320220x x x x x ⎧+-≤-+≤⇒⎨--≠⎩，解得x >2或1x ≤-，设不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件构成的集合是A ,则(](),12,∞∞--⋃+是A 的一个真子集，结合选项可知A 可以为(][),12,-∞-⋃+∞，故选：D3. 已知函数()lg f x x =，()13g x x =-，则()()13100g f f g ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 6B. 6- C. 5D. 5-【答案】A 【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【详解】11lg 2100100f ⎛⎫==-⎪⎝⎭,()()313310g -=-⨯-=,故()()()()()13210132lg106100g f f g g f ⎛⎫⎛⎫--=--=-⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.4. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 15b r B. 125b C. bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b 上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r r r rr .故选：B.5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()6,8A -，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可得3cos 5α==-，即可由诱导公式化简求解.【详解】由题意可知3cos 5α==-，π3sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故选：A6. 已知函数32()22ln f x x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. 1 C.12D.14【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】函数32()22ln f x x x x =--，求导得22()62f x x x x'=--，则(1)2f '=，而(1)1f =，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-，该切线交x 轴于点1(,0)2，交y 轴于点(0,1)-，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=.故选：D7. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（ ）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数y =f (x )在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数y =f (x )在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知y =f (x )在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.8. 已知函数()cos(2)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象过点1(0,)2A ，且对任意12π2π,(,)23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，则ω的取值范围是（ ）A. 25[,34B. 1(0,2C. 25811[,][,3434D. 15(0,][,2]23【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出ϕ，再利用单调递增区间求出ω范围.【详解】依题意，1(0)cos 2f ϕ==，而0πϕ<<，则π3ϕ=，π()cos(23f x x ω=+，由对任意12π2π,(,23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，得函数()f x 在π2π(,23上单调递增，当2(,)2π3πx ∈时，ππ4ππ2(π,)3333x ωωω+∈++，而余弦函数cos y x =的递增区间为：[]()2ππ,2πk k k -∈Z ，则[]()π4πππ,2ππ,2π333k k k ωω⎛⎫++⊆-∈ ⎪⎝⎭Z ，于是ππ2ππ3,4ππ2π33k k k ωω⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+≤⎪⎩Z ，解得423,3124k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤-⎪⎩Z ，显然32k−14>02k−43<32k−14，即11366k <<，而k ∈Z ，因此1k =或2k =，所以ω的取值范围是2534ω≤∈或81134ω≤∈.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知01d c a b <<<<<，则（ ）A. a d b c +<+ B. ac bd <C. b a a b < D.2b aa b+>【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ；举例说明判断B ；利用指数函数、幂函数单调性判断C ；作差变形判断D.【详解】对于A ，由,d c a b <<，得a d b c +<+，A 正确；对于B ，取114,1,,32d c a b =-=-==，满足01d c a b <<<<<，而123ac bd =->-=，B 错误；对于C ，由01a b <<<，得函数x y a =在R 上递减，a y x =在(0,)+∞上递增，则b a a a a b <<，C 正确；对于D ，由01a b <<<，得220b a a b +-=>，D 正确.故选：ACD10. 已知函数π()cos )(0)6f x a x x a =->的最小值为，则（ ）A. 直线π2x =为()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 在区间π4π(,)23上单调递减C. 将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象D. 当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则t 的取值范围为π[,π]3【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出a ，进而求出()f x ，再逐项分析判断即可.【详解】函数33()cos sin sin ()22f x a x x x x a x x ϕ=+=+=+，其中ϕ由tan ϕ=确定，依题意，=20a -=，而0a >，解得a =3π()sin )26f x x x x ==+，对于A ，πππ3(2262f =+=≠，即直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，A 错误；对于B ，当π4π(,23x ∈时，2π3π(,32π6x ∈+，而正弦函数sin y x =在2π3π(,32上递减，因此()f x 在区间π4π(,23上单调递减，B 正确；对于C ，πππ(336f x x x +=++=是偶函数，C 错误；对于D ，当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则当πππ[,]666x t ++∈-时，1πsin()126x -≤+≤，因此ππ7π266t ≤+≤，解得ππ3t ≤≤，D 正确.故选：BD11. 已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1f =，(1)1f -=-，则（ ）A. (0)0f = B. (2)()f x f x +=-C.20241()2024n f n ==∑ D. 对任意*n ∈N ，都有(2)0f n =【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得.【详解】对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1,(1)1f f =-=-，对于A ，令0x y ==，得(0)(0)(1)(0)(1)2(0)f f f f f f =+=，则(0)0f =，A 正确；对于B ，令,1x y ∈=-R ，得(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f f x f x -=+-+=-+，因此(2)()f x f x +=-，B 正确；对于C ，由(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，又(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，即(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，因此202410(1)(2)(3)(4)]()506[n f n f f f f =+++==∑，C 错误；对于D ，由(2)()f x f x +=-，得(2)(4)(0)0f f f =-=-=，又()f x 是周期为4的周期函数，因此对任意*n ∈N ，都有(42)(4)0f n f n +==，即(2)0f n =，D 正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面向量a，b 满足2= a ，3b =，且a b += ，则a b -= ______.【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得..【详解】依题意，2222||||2||2||a b a a b b ++=+- ，而2= a ，3b = ，且a b += ，则29|23|242a b +=⨯-+⨯ ，所以a b -= .13. 已知α为锐角且πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##0.25-【解析】cos sin αα=-，即可利用辅助角公式求解.【详解】由πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得)()()()22sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin αααααααα+=-=+-，由于α为锐角，所以sin cos 0αα+>cos sin αα=-，()πcos sin sin cos 4ααααα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，故π1sin 44α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故答案为：14-14. 已知不等式()242e 822e 2ln x x axx a x x x ++--<-对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3a >【解析】【分析】原不等式可化为()()24ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，利用()2e x f x x =+为R 上的增函数可得2ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，结合参变分离可求a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()242e82ln e 2xxaxx x x x ax +++<++，也就是()()24ln 2e24ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，因为2,e x y x y ==均为R 上的增函数，故()2e xf x x =+为R 上的增函数，故原不等式即为()()24ln f x x f x ax +<+，故24ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，故a >4−x +lnx x对任意0x >恒成立，设s (x )=4−x +lnx x,x >0，则()221ln x xs x x '--=，设()21ln v x x x =--，则()120v x x x'=--<，故()21ln v x x x =--在(0,+∞)上为减函数，而()10v =，故当x ∈(0,1)时，()0v x >即()0s x '>，故()s x 在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，()0v x <即()0s x '<，故()s x 在(1,+∞)上减函数，故()()max 13s x s ==，故3a >，故答案为：3a >.【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()(ln sin cos f x x x =++.（1）证明：()f x 是周期函数；（2）求()f x 的单调递增区间.【答案】（1）证明见解析；（2）3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数周期性即可证明得出结论；（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.【小问1详解】为由()(ln sin cos f x x x =++可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；ππ2π44x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()ππ2πln 2πln 44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可知()f x 是以2π为周期的周期函数【小问2详解】由复合函数单调性可知求得π4y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭易知π04y x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭恒成立，可得函数()f x 的定义域为R ；因此只需πππ2π2π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，解得3ππ2π2π,Z 44k x k k -+≤≤+∈；即()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.16. 在平面四边形ABCD 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，AC CD ⊥且AC =.（1）求AD 的长；（2）若M 为CD 的中点，求cos AMB ∠.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中由余弦定理求出3AC =，然后利用勾股定理求解即可；（2）在BCM 与ADM △中，由余弦定理分别求出BM 与AM ，然后在AMB 中，由余弦定理求解即可.【小问1详解】在三角形ABC 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，所以由余弦定理得：22212cos 332392AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=++⨯⨯=，所以3AC =，又AC =，所以CD =，又AC CD ⊥，所以AD ==.【小问2详解】在三角形ABC 中，120ABC ∠=︒，所以30BAC ACB ∠=∠=︒，所以3090120BCD ∠=︒+︒=︒，所以在BCM 中，M 为CD 的中点，所以MC =，BC =，120BCM ∠=︒，所以由余弦定理得：22231212cos 3424BM BC CM BC CM BCM =+-⋅∠=++=，所以BM =，在ADM △中，60ADC ∠=︒，AD =DM =，所以由余弦定理得：22231392cos 122424AM AD DM AD DM ADM =+-⋅∠=+-⨯=所以AM =，所以在AMB中，由余弦定理得：222cos 2AM BM AB AMB AM BM +-∠===⋅17. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6a =，2π3A =，向量()cos ,cos m b C c B = ，()sin ,sin n B C =- ，且m n ⊥ ，ABC V 所在平面内存在点D ，满足()30AD AC AB λλ=+> .（1）判断ABC V 是否为等腰三角形；（2）当2λ=时，求ABD △的面积；【答案】（1）ABC V 等腰三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由m n ⊥ ，得到cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断；（2）画出图，在ABC V 中，由正弦定理求出b 与c ，设2AE AC AB =+ ，则13ABD ABE S S =求解即可.【小问1详解】因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅= ，所以cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理角化边得22cos cos 0b C c B -=，由余弦定理得：22222222022a b c a c b b c ab ac +-+-⋅-⋅=，所以整理得：()()2222220b a b c c ac b +--+-=，所以()()22220b c a b c bc -+++=，所以0b c -=，所以b c =，故ABC V 是等腰三角形.【小问2详解】是在ABC V中，由正弦定理得：sin sin b a B A ===，所以12b ==，c =，当2λ=时，32AD AC AB =+ ，如图2AE AC AB =+ ，所以在ABE 中，60ABE ∠=，AB =BE =所以11111sin 33232ABD ABE S S AB BE ABE ==⨯⋅∠=⨯⨯= 18. 已知函数()()e 1()x f x x a a =++∈R .（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，e e e(e 1)x x x >-.【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.（2）构造函数()e ,0x h x x x =->，利用导数证得e 1x x >+，再利用函数单调性信不等式性质推理即得.【小问1详解】函数()()e 1x f x x a =++的定义域为R ，01()e x x a x f ≥--≥⇔，令1(e )x g x x -=-，依题意，()a g x ≥恒成立，1()1ex g x -+'=，当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()(0)1g x g ==-，于是1a ≥-，所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【小问2详解】当0x >时，令()e x h x x =-，求导得()e 10x h x '=->，函数()h x (0,)+∞上单调递增，在则()(0)1h x h >=，即e 1x x >+，因此e 1e e x x +>，e 1e e xx x x +>，令()e e 1,0x x x x x ϕ=-+>，求导得()e 0x x x ϕ=>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，即e e 1x x x >-，于是1e e(e 1)x x x +>-，所以e e e(e 1)x x x >-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19. 阅读材料一：设函数()f x 在区间D 上有定义，若对任意12,x x D ∈和任意()0,1λ∈，都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≤+-，则称()f x 是区间D 上的下凸函数；反之，如果都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≥+-，则称()f x 是区间D 上的上凸函数.阅读材料二：若函数()f x 在区间D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在区间D 上也可导，则称()f x 在区间D 上存在二阶导函数，即()()()f x x f ''''=.设函数()f x 在区间D 上存在二阶导函数，则()f x 在区间D 上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x D ∈都有()0f x ''≥（()0f x ''≤）且在区间D 的任意子区间内()f x ''不恒为0.阅读材料三：设函数()f x 在区间D 上连续，00(,)x x D δδ-+⊆（其中δ为无限接近于0的正数），()f x 在00(,)x x δδ-+上存在二阶导函数，若()f x ''在00)(,x x δ-和00(,)x x δ+上的符号相反，则点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意0a ≥，0b ≥≥（2）设函数32()69f x mx nx x =+-+，若点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，求实数m ，n 的值，并证明()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称：（3）设函数2()2ln 33g x x x x =+-+，若点00(,())x g x 是曲线()y g x =的一个拐点，且120()()2()g x g x g x +=，其中12012x x <<<<，试证明：1202x x x +>.【答案】（1）证明见解析；（2）1,3m n ==-，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造函数()0x x ϕ=>，证明()ϕx 是上凸函数即可推理得证.（2）利用“拐点”的意义可得(1)0f ''=，结合(1)1f =求出,m n ；再利用中心对称的定义计算推理即可.（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数()(2)(),01h x g x g x x =-+<<，利用导数探讨单调性可得(2)()2g x g x -+<，再结合给定条件及函数()g x 的单调性推理即得.【小问1详解】当0a =或0b =≥成立，令函数()0x x ϕ=>，121()2x x ϕ-'=，321()04x x ϕ-''=-<，因此函数()x ϕ=是上凸函数，则对任意0,0a b >>，1212()333))(3(a b a b ϕϕϕ+≥+≥，所以对任意0a ≥，0b ≥≥恒成立.【小问2详解】函数32()69f x mx nx x =+-+，则2()326f x mx nx '=+-，()62f x mx n ''=+，由点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，得当1x <时()f x ''值与当1x >时()f x ''值符号相反，因此(1)620f m n ''=+=，又(1)31f m n =++=，解得1,3m n ==-；32()369f x x x x =--+，3322(1)(1)(1)(1)3[(1)(1)]6[(1)(1)]18f x f x x x x x x x ++-=++--++--++-+22263(22)12182x x =+-+-+=，所以()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称.【小问3详解】函数2()2ln 33g x x x x =+-+的定义域为(0,)+∞，则2()23g x x x '=+-，22()2g x x''=-+，当01x <<时，()0g x ''<，当1x >时，()0g x ''>，依题意，01x =，0()(1)1g x g ==，当12012x x <<<<时，12()()2+=g x g x ，即21()2()g x g x =-，令22()(2)()(2)(23)2ln 332ln (2)3h x g x g x x x x x x x +-++-+--+=--+=2(2)2l 2ln 4n 42x x x x =+-+-+，01x <<，求导得32(1)2444(1)()444402(2)(2)x x h x x x x x x x x x ⋅---'=+-+=+-=>---，即函数()h x 在(0,1)上单调递增，(0,1),()(1)2x h x h ∀∈<=，即(2)()2g x g x -+<，而101x <<，则11(2)()2g x g x -+<，即11(2)2()g x g x -<-，因此12(2)()g x g x -<，当0x >时，2()23310g x x x '=+-≥-=>，当且仅当1x =时取等号，于是函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又121x ->，因此122x x -<，即122x x +>，所以1202x x x +>.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.在。
高三数学上学期10月联考试题文试题
2021届高三数学上学期10月联考试题 文制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
考生注意：1.本套试卷分选择题和非选择题两局部。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
2.在答题之前，所有考生必须用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内工程填写上清楚。
3.考生答题时，请将答案答在答题卡上。
选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，2，3}，那么A ∩B ＝ A.{1，2} B.{0，2} C.{0，1} D.{1}2.假设i 是虚数单位，那么2(3＋i)iA.2＋6iB.2－6iC.－2－6iD.－2＋6i222,0()log 2,0x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，那么f(1)＋f(－1)＝22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，那么实数m 的值是 B.131cos()36πα+=-，且263ππα<<，那么7sin()12πα+=A. 70212+-B.70212-C.27012-D.70212+△ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，那么事件“AD>104a 〞发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.137.某几何体的三视图如下图，假设该几何体的体积为3π＋6，那么x 等于C.6D.7△ABC 所在平面上的一点，且2BD DC AD AB AC λμ＝－，若＝＋，那么λ－µ＝A.6B.－6C.－32D.－3 ()sin()(0)6f x x πωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为2π，将函数f(x)的图象向左平移3π个单位长度得到函数g(x)的图象，那么以下说法正确的选项是①函数g(x)的最小正周期为π； ②函数g(x)的图象关于点(712π，0)对称；③函数g(x)的图象关于直线23xπ=对称；④函数g(x)在[3π，π]上单调递增。
高三数学上学期10月联考试题文试题 2
2021届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟〞高三10月联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日文科数学试题总分：150分 时间是：120分钟考前须知：1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号等填写上在答题卡和试卷规定的正确位置上。
2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在套本套试卷上无效。
3．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.请将正确之答案填涂在答题卡上. 1．集合{}1,0,1A =-，{}=1B x x =，那么AB =A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1- 2．函数()f x =的定义域是A ．(,2)(0,)-∞-+∞B ．(,2)(2,0)-∞--C ．(2,0)-D ．(2,0]-3．以下命题中错误的选项是．．．．．．A ．命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题是真命题B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-〞的否认是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-〞C ．假设p q ∨为真命题，那么p q ∧为真命题D ．在ABC ∆中，“A B >〞是“sin sin A B >〞的充要条件4．向量(2,2)a =，(,1)b n =，假设向量a b -与a 是平行向量，那么n =A.1B.1-C.3D.3- 5.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数()sin 2f x x =的图象上所有点A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 6．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时3()log (1)f x x =+，那么[(8)]f f -=A.2-B.1-C.1D.2 7．函数2sin()([0,])3y x x ππ=-∈的增区间为A. [0,]6πB. [0,]2πC. 5[0,]6π D. 5[,]6ππ 8．11617a =，16log b =17log c =，那么a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>9．函数2()(1)x f x e x =-+〔e 为自然对数的底〕，那么()f x 的大致图象是A B C D 10．平面直角坐标系xOy 中，点00(,)P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，假设5()36ππα∈，，且3sin()65πα+=，那么0x 的值是A ．310- B ．310+ C ．310 D ．310- 11．函数⎩⎨⎧>≤+=0|,log |0|,2|)(2x x x x x f ，假设关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，那么1234x x x x +++的取值范围为A ．1[2,]4-B ．1(2,]4- C ．[2,)-+∞ D ．(2,)-+∞ 12．设函数()1ln f x ax b x x=---，假设1x =是()f x 的极小值点，那么a 的取值范围为 A ．()1,0- B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),0-∞二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．假设点(2,4)P 在幂函数()y f x =的图象上，那么(3)f = ;14．函数2()f x x ax b =-+在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =+，那么a b += ;15．在边长为2的正ABC ∆中，设3BC BD =，2CA CE =，那么AD BE ⋅= ; 16. 1()2sin() (,)64f x x x R πωω=+>∈，假设()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，那么ω的取值范围是 ．三．解答题：一共70分。
10月高三上学期文科数学第一次月考试卷(有答案)
10月高三上学期文科数学第一次月考试卷（有答案）2019年10月高三上学期文科数学第一次月考试卷（有答案）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共2页。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。
1. 已知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,3,5,7}，B={2,4,5}，则UAB=()A.{6,8}B.{5,7}C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}2. 已知a，b，cR，命题若a+b+c=3，则a2+b2+c2的否命题是()A.若a+b+c3，则a2 +b2+c23B.若a+b+c=3，则a2+b2+c23C.若a+b+c3，则a2+b2+c23D.若a2+b2+c23，则a+b+c=33. 函数f(x)=11-x+lg(1+x)的定义域是()A.(-，-1)B.(1，+)C.(-1,1)(1，+)D.(-，+)4. 已知函数f(x)=2x，x0，x+1，x0，若f(a)+f(1)=0，则实数a的值等于()A.-3B.-1C.1D.35. 设( )A. B. C. D.6. 如图是函数f(x)的导函数y =f (x)的图象，则正确的是()A.在(-2,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时，f(x)取到极小值7. 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，在区间(0，6)内解的个数的最小值是( )A.2B.3C.4D.58. 函数f(x)=x+log2x的零点所在区间为()A. B. C. D.9. 设f(x)是周期为2的奇函数，当01时，f(x)= ，则=()A.-12B.-14C. 14D. 121 0.函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A. 0，B. ，0C.- ，0D.0，-第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分11 . 若f(x)=x 是幂函数，且满足f(4)f(2) =3，则=12. x=3是x2=9的条件13. 已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(-2)=3，则f(2)=14. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是15. 已知命题p：函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R.;命题q：函数y=-(5-2a)x是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分。
高三数学10月上学期第一次联考试题 文含解析 试题
临川第一中学2021届高三数学10月上学期第一次联考试题 文〔含解析〕第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内答题.{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，那么A B =〔〕A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D.{}6x x >【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用交集的运算即可求出。
【详解】因为{}{242B x x x x =>=>或者}2x <-，{}26A x x =-<<，所以{}26A B x x ⋂=<<，应选A. 【点睛】此题主要考察集合的交集运算.,a b ∈R ，那么“()20a b a ->〞是“a b >〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，假设0a =，那么无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->〞是“a b >〞的充分不必要条件，应选A 。
【点睛】此题主要考察分、必要条件的定义的应用。
a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜c ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】根据y ＝23x (x >0)是增函数和y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x是减函数可求得结果. 【详解】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故此题答案为D.【点睛】此题考察幂函数和指数函数的性质，考察学生利用函数单调性进展比拟大小，掌握幂函数和指数函数的根本知识是重点，属根底题.z 满足342z i +-=，那么z z ⋅的最大值为〔〕A. 9B. 81C. 7D. 49【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点的轨迹是以〔-3,4〕为圆心，半径为2的圆，z z ⋅表示圆上的点到原点的间隔 的平方，由几何知识即可求出。
高三数学10月第一次大联考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学10月第一次大联考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.〕{}{}=11,=1,0,1,2A x x B -<≤-，那么A B =〔〕A.{}-101，， B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,2【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求出结果。
【详解】{}0,1A B =，应选C 。
【点睛】此题主要考察交集的运算。
()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，〞的否认是〔〕A.()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+，B.()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C.()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D.()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，【答案】C 【解析】 【分析】()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，〞的否认为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，〞，应选C.x M ∀∈，()p x ，其否认为(),x M p x ∃∈⌝x M ∃∈，()p x ，其否认为(),x M p x ∀∈⌝.{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =≤，假设M N ⊆，那么实数a 的取值范围是〔〕A.()2,+∞B.[)2,+∞C.(),1-∞-D.(],1-∞-【答案】B 【解析】 【分析】根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解. 【详解】{}|12Mx x =-<<，{}|N x x a =≤，且M N ⊆，所以2a ≥.故实数a 的取值范围为[)2,+∞，应选：B.【点睛】此题主要考察了集合子集的概念，属于容易题. )A.1x >，那么21x >B. C.220x x +-=〞的D.,,a b c ∈R ，假设22ac bc >，那么a ＞b 〞的【答案】B 【解析】 【分析】 A ，C B; 根据DD. 【点睛】此题考察()222f x x ax =++在区间(),4-∞上单调递减，那么a 的取值范围是〔〕A.[)4,+∞B.(],4-∞C.(),4-∞-D.(],4-∞-【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数()222f x x ax =++的二次项系数为正数，对称轴为直线x a =-，其对称轴左侧的图像是下降的，∴4a -≥，故4a ≤-， 因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-，应选：D.【点睛】此题主要考察了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.sin ()ln(2)xf x x =+的图象可能是〔〕A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】sin ()(0)0ln(2)xf x f x =⇒=+排除BD1sinsin 12()()05ln(2)2ln()2x f x f x =⇒=>+排除C 故答案选A【点睛】此题考察了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案. 7.某电动汽车“行车数据〞的两次记录如下表：〔注：累计里程指汽车从出厂开场累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开场累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间是段内行驶100公里的耗电量估计正确的选项是 A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=， 所以对该车在两次记录时间是段内行驶100公里的耗电量估计正确的选项是：大于1，应选D ．【点睛】此题主要考察了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．tan 2α=，那么22sin 3sin cos cos 1αααα+=+〔〕 A.53B.54C.52D.2【答案】A 【解析】 【分析】正切值，观察所求式子，采取弦化切思想，分子分母同除以2cos α即可求解. 【详解】∵tan 2α=，那么22222sin 3sin cos sin 3sin cos cos 12cos sin ααααααααα++=++22tan 3tan 5tan 23ααα+==+.选A. 【点睛】此题主要考察了同角三角函数间的关系，弦化切的思想，属于中档题.0.23，30.2，0.2log 3的大小顺序是〔〕A.0.230.230.2log 3<<B.0.230.23log 30.2<<C.0.230.2log 330.2<<D.30.20.2log 30.23<<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1的大小即可. 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.231>，300.21<<，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，应选D.【点睛】此题主要考察了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.x ，y ，假设p ：4x ≠或者1y ≠，q ：5x y +≠，那么p 是q 的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 取特殊值6x=，1y =-,可知p qq ⇒p ,即可得出结论.【详解】取6x=，1y =-，满足条件p ,此时5x y +=，即pq ，故p 是q 的不充分条件，q ：5x y +≠⇒p ：4x ≠或者1y ≠等价于4x =且15y x y =⇒+=，易知成立，所以p 是q的必要条件. 故答案选B. .11.ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，那么sin sin AC =〔〕A.B.40C.6D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，化角为边可得2224a b c -=，利用余弦定理化角为边可得224124c c bc -=-，得到a c、关系，再根据正弦定理求解即可. 【详解】由及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2221cos 42b c a A bc+--==，∴224124c c bc -=-，∴3124c b =，∴3462b c =⨯=，6b c =， ∵2224a b c-=，∴a =，sin sin AC=应选A. 【点睛】此题主要考察了正弦定理，余弦定理，边角互化的思想，属于中档题.()22,0511,04x x x x f x a x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为[]15,1-，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(],2-∞-B.[)2,0-C.[]2,1--D.{}2-【答案】B 【解析】 【分析】分段研究，当05x ≤≤时,可得()151f x -≤≤，所以只需0a x ≤<时，114x⎛⎫- ⎪⎝⎭取值为[]15,1-的子集即可. 【详解】当05x ≤≤时，()()22211f x x x x =-+=--+，所以()151f x -≤≤；当0a x ≤<时，()114xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递增函数，所以()1104af x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭， 因为()f x 的值域为[]15,1-，所以111540aa ⎧⎛⎫-≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩，故20a -≤<，应选B. 【点睛】此题主要考察了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕3()ln 4f x x =-的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或者90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 求出导函数'()f x ，然后在定义域内解不等式'()0f x <得减区间．【详解】33'()44f x x x =-=，由3'()04f x x=<，又0x >得904x <<．∴减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或者9(0,]4．【点睛】此题考察导数与函数的单调性，一般由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间．()()2x f x x a e =-，且()'13f e =，那么曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.【答案】10x y --=【解析】 【分析】 求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，那么()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x=处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】此题主要考察了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，那么()g x 的解析式为______.【答案】()sin 23gx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】 【分析】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位,根据图象变换规律，得到()12f x π+，写出解析式即可.【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向左平移12π个单位后所得图象对应的解析式为sin 2sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】此题主要考察了函数图象的平移变换，属于中档题. ______.①函数()1f x x=在区间()(),00,-∞⋃+∞上单调递减；②函数131x y +=+的图象过定点()1,2-；③假设1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，那么()()0f m f n ⋅<；④方程3log 124x =的解是19x=. 【答案】②④ 【解析】 【分析】 ①()1f x x=在定义域上无单调性，错误；②利用指数函数恒过定点性质可求其正确；③举反例可分析出结论错误；④利用指数、对数的性质求解方程，结论正确. 【详解】说法①：函数()1f x x=在(),0-∞、()0,∞+每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：11>-，而()()11f f >-，不具有单调递减的性质；说法②：当1x =-时，2y =，所以函数()111x y a a +=+>的图象过定点()1,2-是正确的；说法③：假设()f m ，()f n 中也存在一个为零时，就不符合()()0f m f n ⋅<，故本说法不正确；说法④：33log l 23og 12log 491222xx x x -==-⇒⇒=⇒=，故本说法④正确. 综上，此题之答案为②④.【点睛】此题主要考察了函数单调性，零点，定点问题，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者推演步骤.〕p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.〔1〕假设p m 的取值范围； 〔2〕假设p q ∧p q ∨m 的取值范围.【答案】〔1〕13m ≤≤；〔2〕1m <或者23m <≤. 【解析】 【分析】 〔1〕p []0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-p ，q q ,即可求出m 的取值范围. 【详解】对于p ：()2min234x m m -≥-成立，而[]0,1x ∈，有()min 233x -=-，∴234m m -≥-，∴13m ≤≤.q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，只需()2min210x x m -+-≤，而()2min212xx m m -+-=-+，∴20m -+≤，∴2m ≤；〔1〕假设p 为真，那么13m ≤≤； 〔2〕假设p q ∧为p q ∨p ，q 一真一假.假设qp 132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；假设pq 132m m m ⎧⎨≤⎩或，所以1m <.综上，1m <或者23m <≤. .()()212cos cos f x x x x x R =--∈.〔1〕求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间.【答案】〔1〕2；〔2〕π，,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】〔1〕利用降幂公式及二倍角公式，两角和正弦公式的逆用化简，代入求值即可〔2〕根据正弦型函数的周期、单调性求出周期，递减区间即可.【详解】〔1〕()212cos cos f x x x x =--cos 222sin 26x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭. 那么242sin 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔2〕因为()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 解得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，()f x 的单调递减区间是,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】此题主要考察了三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质，属于中档题.()x f x e =.〔1〕假设()24f a =，务实数a 的值；〔2〕设函数()()2x g x e kx k R =-∈，假设()g x 在()0,∞+上没有零点，求k 的取值范围.【答案】〔1〕ln 2a =；〔2〕24e k <. 【解析】【分析】〔1〕代入解析式，取对数即可求解〔2〕转化为方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，求()()20xe h x x x=>的值域即可得到k 的范围. 【详解】〔1〕因为()224a f a e ==，即：2a e =， 所以ln 2a =.〔2〕由题意可知，()2x g x e kx =-，函数()g x 在()0,∞+上没有零点等价于方程2xe k x =在()0,∞+上无实数解，设()()20xe h x x x =>，那么()()()32'0x e x h x x x-=>， ∴()hx 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()h x 在2x =上获得极小值，也是最小值，∴()()224e h x h ≥=， ∴24e k <. 【点睛】此题主要考察了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.()()1x f x ae x =+〔其中 2.71828e =⋅⋅⋅〕，()22g x x bx =++，它们在0x =处有一样的切线. 〔1〕求函数()f x ，()g x 的解析式；〔2〕假设函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e -，务实数t 的取值范围. 【答案】〔1〕()()21x f x e x =+，()242g x x x =++；〔2〕32t -≤≤-.【解析】【分析】〔1〕两函数在0x =处有一样的切线可知()()''00f g =，()()002f a g ===，联立求解即可〔2〕利用导数可求出()f x 的唯一极小值，也就是最小值()222f e -=-，转化为[]2,1t t -∈+即可求t 范围.【详解】〔1〕()()'2x f x ae x =+，()'2g x x b =+，由题意，两函数在0x=处有一样的切线， ∴()'02f a =，()'0g b =，∴2a b =，()()002f a g ===， ∴2a=，4b =， ∴()()21x f x e x =+，()242g x x x =++.〔2〕由〔1〕得()()'22x f x e x =+.当2x >-时，那么()'0f x >，所以()f x 在()2,-+∞上单调递增，当2x <-时，那么()'0f x <，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，而函数()()2min 22f x f e =-=-，∴[]2,1t t -∈+，即32t -≤≤-.故实数t 的取值范围是32t-≤≤-. 【点睛】此题主要考察了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设2212sin 2ac B a c =+-，且2b = 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值.【答案】〔1〕4π；〔2〕18. 【解析】【分析】〔1〕由2b =，2212sin 2ac B a c =+-等式右边可化为余弦定理形式，根据sin cos B B =求角即可〔2〕由余弦定理结合均值不等式可求出ac 的最大值，即可求出三角面积的最大值.【详解】〔1〕由2212sin 2ac Ba c =+-得：2222sin 2cos ac B a cb ac B =+-=， 即：sin cos B B =. ∴tan 1B =，又()0,B π∈，∴4B π=.〔2〕由(2222cos 2b a c ac B ac =+-≥，当且仅当a c =等号成立.得：24ac +≤. ()max 11sin 248ABC S ac B ac ∆==≤. 【点睛】此题主要考察了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.()221f x x ax =-+在区间[]2,3上的最小值为1.〔1〕求a 的值；〔2〕假设存在0x 使得不等式()333xx x f k <⋅在[]1,1x ∈-成立，务实数k 的取值范围.【答案】〔1〕1；〔2〕()0,∞+.【解析】【分析】 〔1〕二次函数写出对称轴，分2a <，23a ≤≤，3a >三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出a 〔2〕别离参数可得2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭，令13x t =，换元后求最小值，只需k 大于最小值即可.【详解】〔1〕()()221f x x a a =-+-. 当2a <时，()()min 2541f x f a ==-=，解得1a =；当23a ≤≤时，()()2min 11f x f a a ==-=，解得0a =不符合题意；当3a >时，()()min 31061f x f a ==-=，解得32a =，不符合题意. 综上所述，1a =.〔2〕因为()2332313333xx x x x x x f k k -⋅+<⋅⇒<⋅， 可化为2111233x x k ⎛⎫+-⋅< ⎪⎝⎭， 令13x t =，那么221k t t >-+.因[]1,1x ∈-，故1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故不等式221k t t >-+在1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解. 记()()22211h t t t t =-+=-，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()min 10h t h ==， 所以k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】此题主要考察了二次函数的最值，分类讨论，别离参数，不等式有解问题，属于中档题.。
2025届贵州省高三数学上学期10月联考试题附答案解析
2025届贵州省高三数学上学期10月联考试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A x x B x y x =≤-≤==∣∣，则A B = （）A.[]0,4 B.(]0,1 C.(]0,4 D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ︒），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（）A.32B.55C.34D.2554.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（）A.12 B.12-C.2D.2-5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）A.6B.15C.15D.156.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“//a b ”是“a b b a ++= ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<≤⎪=⎨⎪+>⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(]1,2 D.[)2,+∞8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（）A .3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3iz=+-，则（）A.10z =B.86i z =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN 的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（）A.()56f -=- B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.已知y =是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x tf x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln0.4052≈）2025届贵州省高三数学上学期10月联考试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A x x B x y x =≤-≤==∣∣，则A B = （）A.[]0,4 B.(]0,1 C.(]0,4 D.[]0,1【答案】C 【解析】【分析】解不等式求得集合A ，再由对数函数定义可得集合B ，即可求得结果.【详解】解不等式045x ≤-≤可得{}14A xx =≤≤∣-，由对数函数定义域可得{}0B xx =>∣,所以可得(]0,4A B ⋂=.故选：C2.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ︒），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将该组数据从小到大排列：5,6,6,6,8,9,10,11，共8项，又860 4.8⨯=%，所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8.故选：C.3.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x yC m m+=>的焦距为2，则其离心率为（）A.2B.5C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出m ，再根据椭圆的离心率公式即可得解.【详解】因为焦点在y 轴上的椭圆()222:104x yC m m +=>的焦距为2，所以2=，解得25m =，所以椭圆的离心率55e ==.故选：B .4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（）A.12 B.12-C.72D.72-【答案】C 【解析】【分析】由()3sin2,0,π4αα=-∈可知α为钝角，从而sin 0α>，cos 0α->，sin cos 0αα->，于是先计算2(sin cos )αα-，再开方即可．【详解】()0,πα∈ ，sin 0α∴>，3sin24α=- ，而sin 22sin cos ααα=，cos 0a ∴<，α\为钝角，sin cos 0αα∴->，237(sin cos )1sin 2144ααα∴-=-=+=，sin cos 2αα∴-=．故选：C ．5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）A.6 B.15C.15D.15【答案】A【解析】【分析】设甲圆台的高为1h ，乙圆台的高为2h ，利用勾股定理求出1h ，2h ，再由圆台的体积公式计算即可得解.【详解】设圆台甲的高为1h ，圆台乙的高为2h ，则1h ==，2h ==，所以圆台甲的体积()222311135π93π33V r r r r =++⨯=，圆台乙的体积()222321π93π33V r r r r =++⨯=，所以圆台甲、乙的体积之比为312135π363rV V ==.故选：A.6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“//a b ”是“a b b a ++= ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】||||||||||||a b b a a b a b ++=⇔+=-，则22()(||||)a b a b +=- ，整理得||||a b a b =-⋅ ，而向量,a b 均为非零向量，则,a b 反向共线且a b ≥ ，有//a b ；反之，若//a b，,a b可能同向共线，也可能反向共线，即||||||a b a b =⋅，所以“//a b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.故选：B7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<≤⎪=⎨⎪+>⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.(]1,2 D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】分1a >，01a <<两种情况，分别求出函数(]()10,log 1,a y x a y x x a x=∈=+∈+∞，；，值域，结合题意可得答案.【详解】当1a >时，1y x =在(]0,x a ∈上的值域为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；log 1a y x =+在(),x a ∈+∞上单调递增，则log 1a y x =+在(),x a ∈+∞上值域为()2,+∞，则此时()f x 值域不可能为R ，则1a >不合题意；当01a <<时，1y x =在(]0,x a ∈上的值域为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；log 1a y x =+在(),x a ∈+∞上单调递减，则log 1a y x =+在(),x a ∈+∞上值域为(),2-∞，要使()f x 值域为R ，则1211201a aa ⎧≤⎪⇒≤<⎨⎪<<⎩.故选：B8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（）A.3 B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得a ，再画出()f x 与cos y x =图象在同一坐标系中即可得解.【详解】()()sin2cos22f x x a x x ϕ=+=+，其中tan a ϕ=，且()0,πϕ∈，则有()ππ2π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得()ππ,3k k ϕ=+∈Z ，即π3ϕ=，则tan a ϕ==，即()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，画出()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与()cos g x x =图象如图所示：由图可知，曲线=与cos y x =的交点个数为4.故选：B .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3iz=+-，则（）A.10z =B.86i z =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限【答案】ACD【分析】利用复数的乘法求出z ，再逐项计算判断即得.【详解】依题意，(13i)(3i)68i z =+-=+，对于A ，||10z ==，A 正确；对于B ，68i z =-，B 错误；对于C ，z 的虚部为8，C 正确；对于D ，z 在复平面内对应的点(6,8)位于第一象限，D 正确.故选：ACD10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+【答案】BC【分析】利用勾股定理求得EF ，根据点斜式求得直线FN 的方程，联立直线FN 的方程和抛物线的方程，求得N 横坐标，根据抛物线的定义求得NF ，进而计算出PFN 的面积.【详解】圆22:670A x y x +-+=即()2232x y -+=，是圆心为()3,0A，半径r =.抛物线的焦点1,0，准线为1x =-，由于直线FN 与圆A 相切，所以EF ==，A 选项错误.由于AE EF ==，所以4EFA ∠=，所以直线FN 的斜率为1，方程为1y x =-，即10x y --=，B 选项正确.由2140y x y x y =-⎧⎪=⎨⎪>⎩解得32N N x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即(32N ++，根据抛物线的定义得14N NF NP x ==+=+C 选项正确.所以PFN的面积为((14282⨯+⨯+=+，D 选项错误.故选：BC11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f ='D.1001()5050i f i ==∑【答案】AD【分析】应用赋值法判断A ，B 选项；对()()2220f x f x x --+-=求导，得到()()22f x f x ''-+=，赋值法得到()11f '=，判断C ；根据函数()()g x f x x =-的周期性结合赋值法得出()()()()1234f f f f +++再计算即可求解判断D.【详解】由已知有()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，令5x =时，()()()65828383f f f +=-=-++=-=，故()()565f f --==-，故A 选项正确；令7x =时，()()12612675f f =-+=-+=，()32f =故()()37f f ≠，故B 选项错误；由已知有：()f x 在R 上可导，对()()2220f x f x x --+-=求导有：()()()2220f x x f x '''---+=，即()()22f x f x ''-+=，()()22f x f x ''++-=，令1x =时，()()112f f ''+=，则()11f '=，又因为()f x 是奇函数，故()f x '是偶函数，所以()()22f x f x ''+=-故()()()4f x f x f x '''+=-=，所以()f x '也是一个周期为4的周期函数，()()()101425111f f f '''=⨯+==，C 选项错误；令()()g x f x x =-，则()()2g x g x -=恒成立，由已知()g x 是奇函数，故()()()2g x g x g x -==--，故()()2g x g x +=-，则()()()42g x g x g x +=-+=，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，又因为()()222f x f x x =-+-，奇函数()f x 的定义域为R ，所以()00f =，令3x =时，()()2314f f =-+=，()()121f f -=-=-，所以()12f =，令2x =时，()()22420f f -=+=，所以()22f =，令4x =时，()()()24228824f f f +-=---=+=，所以()44f =,()10010011()()12100i i f g i i ===++++∑∑ ()()()()()()()25123425123412100f f f f =+++-⨯+++++++ ()()()25222425123412100=+++-⨯+++++++ ()1001100050502+=+=，故D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；（2）若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称；（3）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.【答案】2-【解析】【分析】根据已知条件可得出2432a a a =+，化简即可求出公比q .【详解】由已知条件可知2432a a a =+，又因等比数列{}n a ，所以23242,a a a a q q =⋅=⋅，且0n a ≠，代入到2432a a a =+，可得22222q a a a q =⋅+⋅，化简()()22120q q q q +-=-+=，解之可得2q =-或1q =(舍).故答案为：2-13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.【答案】12【解析】【分析】先从标有字母A ，B ，C 中任选一个，共有2张卡片，再从剩余字母中各取一张卡片，结合组合数运算求解.【详解】由题意可知：先从标有字母A ，B ，C 中任选一个，共有2张卡片，再从剩余字母中各取一张卡片，所以不同的取法种数为111322C C C 12⋅⋅=.故答案为：12.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.【答案】()1,0-【解析】【分析】令()()2e 2xf x x kx =--+，分析可知函数()f x 在R 上有3个零点，且()00f =，对实数k的取值进行分类讨论，分析函数()f x 的单调性与极值，结合零点存在定理可得出实数k 的取值范围.【详解】解：令()()2e 2xf x x kx =--+，由题意可知，函数()f x 在R 上有3个零点，且()00f =，且()()1e xf x x k '=--，令()()1e xg x x k =--，则()e xg x x '=，由()0g x '<可得0x <，由()0g x '>可得0x >，所以，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，()()min 01f x f k ''==--，分以下几种情况讨论：（1）当10k --≥时，即当1k ≤-时，对任意的x ∈R ，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 在R 上单调递增，则函数()f x 只有1个零点，不合乎题意；（2）当0k ≥时，且当0x <时，()()()2e 22e 2xxf x x kx x =--+≥-+，令()()2e 2xh x x =-+，其中0x <，则()()1e 0xh x x '=-<，所以，函数()h x 在(),0-∞上单调递减，故当0x <时，()()00h x h >=，则()()()2e 22e 20xxf x x kx x =--+≥-+>，此时，函数()f x 在(),0-∞上没有零点，当0x >时，()()1e xf x x k '=--，由（1）知，()f x '在()0,∞+上单调递增，因为()010f k '=--<，()()221e110k f k k k k k +'+=+->+-=>，所以，存在()00,2x k ∈+，使得()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减，则()()00f x f <=，当0x x >时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增，则函数()f x 在()0,x +∞上至多1个零点，从而可知，当0k ≥时，函数()f x 在R 上至多2个零点，不合乎题意；（3）当10k -<<时，()()1e xf x x k '=--，由（1）可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，因为()010f k '=--<，()10f k '=->，所以，存在()10,1x ∈，使得()10fx '=，且当10x x <<时，()0f x '<，则函数()f x 在()10,x 上单调递减，则当10x x <<时，()()00f x f <=，当1x x >时，()0f x '>，则函数()f x 在()1,x +∞上单调递增，因为()2220f k =->，所以，存在()21,2x x ∈，使得()20f x =，此时，函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点，因为函数()f x '在(),0-∞上单调递减，()010f k '=--<，当1111e kf k k k ⎛⎫⎛⎫'=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t k =<-，()()()1e 1e 1e t t tm t t t t t t-⎡⎤=--=--⎣⎦，令()2e tq t t t -=--，其中1t <-，则()21e tq t t -'=-+，令()2e 1tr t t -=+-，其中1t <-，则()2e2e 0tr t -'=-<-<，所以，函数()q t '在(),1∞--上单调递减，因为()1e 30q '-=-<，3e 250-<，323e 502q ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，所以，存在03,12t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()0002e 10t q t t -'=+-=，可得00e 12t t -=-，当0t t <时，()0q t '>，此时，函数()q t 单调递增，当01t t <<-时，()0q t '<，此时，函数()q t 单调递减，所以，()02220000000max e2110t q t t t t t t t t -=--=-+-=+-<，因为函数()21u t t t =+-在3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，则()3124u t u ⎛⎫<-=- ⎪⎝⎭，即()200max 10q t t t +=-<，故当1t <-时，()()e 0tm t q t t=⋅>，即10f k ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，即存在31,0x k ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()30f x '=，当3<x x 时，()0f x '>，即函数()f x 在()3,x -∞上单调递增，当30x x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在()3,0x 上单调递减，此时，()()00f x f >=，且()30f x >，因为()2221e 222e 0kkk f k kk-⎛⎫⎛⎫=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，存在432,x x k ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()40f x =，此时，函数()f x 在(),0-∞上也存在唯一零点，故当10k -<<时，函数()f x 在R 上有且只有3个零点.综上所述，实数k 的取值范围是()1,0-.故答案为：()1,0-.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .【答案】（1）2π3C =（2）13cos 14A =【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析求解；（2）根据题意利用余弦定理解得57b c =，37a c =，即可求cos A .【小问1详解】因为2cos cos cos 0c C a B b A ++=，由正弦定理可得()2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin 0C C A B B A C C A B C C C ++=++=+=，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得2cos 10C +=，即1cos 2C =-，所以2π3C =.【小问2详解】因为2a c b +=，即2a b c =-，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即()()22222c b c b b c b =-++-，整理可得57b c =，37a c =，所以222222259134949cos 521427c c c b c a A bc c c +-+-===⨯⨯.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取1BB 中点M ，连接,AM CM ，求证1BB ⊥平面AMC 即可得证1AC BB ⊥.（2）由（1）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，求出平面ABC 与平面1ACC 的法向量m 与n，即可由空间角的向量法求解.【小问1详解】如图，取1BB 中点M ，连接,AM CM ，因为AB BC AC ===111π2,4AA B BC B BA ∠∠===，所以1BM =，故由余弦定理1AM CM ===，所以222222,AM BM AB CM BM BC +=+=，故AM BM ⊥即1AM BB ⊥，⊥CM BM 即1CM BB ⊥，又,AM CM ⊂平面AMC ，AM CM M ⋂=，所以1BB ⊥平面AMC ，又AC ⊂平面AMC ，所以1AC BB ⊥.【小问2详解】由（1）可得1AM BB ⊥、1CM BB ⊥且AM CM AC 222+=即AM CM ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则()()()11,0,1,0,1,1,2,1,1AB AC AC =-=-=--，设平面ABC 与平面1ACC 的一个法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则m AB m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，1n ACn AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以111100m AB x z m AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，221222020n AC y z n AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取11z =，21z =，则()()1,1,1,0,1,1m n == ，所以cos,3m nm nm n⋅====，设平面ABC与平面1ACC夹角为θ，则cos3θ=.所以平面ABC与平面1ACC 夹角的余弦值63.17.已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X的分布列与期望.【答案】（1）23（2）分布列见详解，()25081E X=【解析】【分析】（1）考虑甲先得1分，分为甲抢到答题并且答对，或者是乙抢到并且答错两种情况，分别计算概率即可；（2）在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率.X的所有可能取值分别为2,4,5，利用独立事件的乘法公式计算得出X的分布列，求出()E X即可.【小问1详解】设每道题的抢答中，记甲得1分为事件M.M发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，∴3741112()2232P M=⨯+⨯=，∴甲率先得1分的概率为23.【小问2详解】由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为21,33，设两人共抢答了X 道题比赛结束，根据比赛规则，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，X245P5920811681()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知y =是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.【答案】（1）22:124x y C -=.（2）（i）证明见解析；（ii ）10x y -±=.【解析】【分析】（1）由题可得2222221baa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解该方程组即可得解.（2）（i ）设():0l y kx t t =+≠，联立22124y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，则由韦达定理结合中点坐标公式可求出AB 的中点坐标，接着由AB 的中点在直线2y x =上即可求解得证.（ii ）由（i ）结合弦长公式以及点到直线距离公式依次求出A 和AB 的中点到直线l 的距离d，再由12MAB S AB d =⋅= 即可求解.【小问1详解】由题可得22222222241ba ab a b ⎧=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎩，所以C 的方程为22124x y -=.【小问2详解】（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22124y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()()()()22222220,Δ24248240k kt ktt k -≠=-----=-+>，设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt tx y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t ktk k=--，因为0t ≠，所以1k =，故l 的斜率为定值.（ii ）由（i ）得l 的方程为0x y t -+=，且4AB =，又点M 到l 的距离d ==所以1122MAB S AB d =⋅=⨯== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x tf x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln0.4052≈）【答案】（1）答案见解析（2）1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由定义中,,a b c 的任意性，将条件不等式转化为min max 2()()f x g x >.求min ()1f x =，构造二次函数()g x ，使max ()2g x <即可；（2）按t 与2的大小分类讨论，求解函数()f x 的值域，再结合定义建立关于t 的不等式求解可得；（3）利用（1）结论得min ()1f x =，转化命题证明max ()2g x <，构造函数()()hx g x '=，设出隐零点探求零点范围031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明max ()2g x <即00000()ln(1)ln 2g x x x x x =+-+<，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数15)ln ,22x x x x ϕ(=+<<，证明()2x ϕ<即可.【小问1详解】由()ln f x x x =-，()0,x ∞∈+，得11()1x f x x x'-=-=，令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 在()1,∞+上单调递增.所以min ()(1)1f x f ==.因为()g x 为二次函数，且(2)()g x g x -=，所以()g x 的对称轴为1x =，设()2()20g x ax ax c a =-+≠，要使“()()f x f x -”为三角形函数，只要min max 2()()f x g x >，取1,0=-=a c ，则22()2(1)1g x x x x =-+=--+，max ()(1)1g x g ==，满足2(1)21(1)f g =>=，则()()()()()(),,0,,211a b c f a f b f g g c ∞∀∈++≥>≥，即()()()f a f b g c +>成立.故若()ln f x x x =-，取2()2g x x x =-+，可使得“()()f x g x -”为三角形函数.（答案不唯一，参考函数()()21,0,2g x a x c a c =--+><，写出任意一个满足题意的()g x 都可以）【小问2详解】()()221,0,2222x x x t t f x x +-==+∈+∞++，①当2t =时，()1f x =，则任意()()()(),,0,,21a b c f a f b f c ∞∀∈++=>=，故“()()f x f x -”为三角形函数.②当2t >时，由3,110,223022xx x >+><<+，则220223x t t --<<+，211()133t t f x -+<<+=；要使“()()f x f x -”为三角形函数，由1213t +⨯≥，解得5t ≤，则有()()()()1,,0,,23t a b c f a f b f c ∞+∀∈++>≥>，所以25t <≤；③当2t <时，则2210()1,3223x t t t f x --+<<<<+，要使“()()f x f x -”为三角形函数，由1213t +⨯≥，解得12t ≥，则有()()()()1,,0,,213t a b c f a f b f c ∞+⎛⎫∀∈++>≥> ⎪⎝⎭，所以122t ≤<；综上所述，实数t 的取值范围为1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】()ln f x x x =-，()0,x ∞∈+.由（1）知，min ()(1)1f x f ==，则任意(),0,a b ∈+∞，()()2(1)2f a f b f +≥=；下面证明max ()2g x <.由()()ln 1ln g x x x x x =+-+，()0,x ∞∈+，则11()ln 11ln 11g x x x x x '=--+=-++，令()1ln 1h x x x =-+，()0,x ∞∈+则211()0(1)h x x x'=--<+，所以()h x 在()0,∞+上单调递减.又1(1)02h =>，由参考数据3ln 0.4052≈可知，323ln 0252h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，则存在唯一的实数031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0h x =，即001ln 01x x -=+(*).所以当00x x <<时，()0,()0'>>h x g x ，()g x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，()0,()0'<<h x g x ，()g x 在()0,x +∞上单调递减；故max 00000()()ln(1)ln g x g x x x x x ==+-+，由(*)式可知001ln 1x x =+，则()0max 000()ln 11x g x x x x =+-++，令())ln 11xx x x x ϕ(=+-++，312x <<则()()()2211110111x x xx x x x ϕ+-=-+=+>+++'，所以()ϕx 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故3333332()ln 1ln e 1.9232225212x ϕϕ⎛⎫⎛⎫<=+-+<-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.即max ()2g x <.所以()()()()()max ,,0,,2a b c f a f b g x g c ∞∀∈++≥>≥成立，即()()()f a f b g c +>.故“()()f x g x -”为三角形函数，命题得证.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
高三10月联考全科试题发布
高三10月联考全科试题一、语文（一）阅读理解本次阅读理解部分共有4篇文章，每篇文章后有5道问题，共计20道问题。
文章题材涉及文学、历史、科技、社会等方面，旨在考查学生的阅读理解能力、分析能力和文学素养。
（二）作文作文题目：《秋天的思考》要求：1. 立意明确，思想深刻；2. 逻辑严密，表达清晰；3. 语言生动，有文采；4. 字数不少于800字。
二、数学（一）选择题选择题部分共有15道题目，每道题目有4个选项，其中只有1个选项是正确的。
题目涉及代数、几何、概率统计等方面，旨在考查学生的数学基础知识和解题能力。
（二）解答题解答题部分共有5道题目，要求学生写出详细的解题过程和答案。
题目涉及函数、数列、不等式等方面，旨在考查学生的数学思维能力和解题技巧。
三、英语（一）听力理解听力理解部分共有3段录音材料，每段录音材料后有5道问题，共计15道问题。
录音材料涉及日常生活、学校生活、社会热点等方面，旨在考查学生的听力理解能力和口语表达能力。
（二）阅读理解阅读理解部分共有4篇文章，每篇文章后有5道问题，共计20道问题。
文章题材涉及文化、科技、社会等方面，旨在考查学生的阅读理解能力、词汇量和语法知识。
（三）写作写作部分要求学生写一篇议论文，题目自拟。
要求：1. 观点明确，论证充分；2. 语言流畅，表达准确；3. 字数不少于150字。
四、物理（一）选择题选择题部分共有20道题目，每道题目有4个选项，其中只有1个选项是正确的。
题目涉及力学、热学、电磁学等方面，旨在考查学生的物理基础知识和解题能力。
（二）实验题实验题部分要求学生根据给定的实验器材和实验步骤完成实验，并写出实验报告。
实验涉及力学、光学等方面，旨在考查学生的实验操作能力和实验数据处理能力。
五、化学（一）选择题选择题部分共有20道题目，每道题目有4个选项，其中只有1个选项是正确的。
题目涉及无机化学、有机化学等方面，旨在考查学生的化学基础知识和解题能力。
（二）实验题实验题部分要求学生根据给定的实验器材和实验步骤完成实验，并写出实验报告。
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全新人教版高三上学期数学10月联考试卷（文科）
考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，平面向
量，复数，数列（少量），立体几何，不等式。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120
分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的．
1．已知全集U R =，集合1{|30},{|2}4
x A x x B x =-<=>，则=)(B C A U （ ）
A ．{|23}x x -≤≤
B ．{|23}x x -<<
C ．{|2}x x ≤-
D ．{|3}x x < 2．复数满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A ．3
B ．3i -
C ．3i
D ．3-
3．已知54sin -=α，且α是第四象限角，则)4
sin(απ-的值为（ ） A ．1025 B ．523 C ．1027 D ．5
24 4．已知命题:p 函数tan()6y x π=-+
在定义域上为减函数，命题:q 在ABC ∆中，若 30A >，则1sin 2
A >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧⌝)(
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．q p ∨
5．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 则y x z +=2的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知2.05.1=a ，5.1log 2.0=b ，5.12.0=c ，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3π
=A ，2=b ，33=∆ABC S ，则
=-+-+C
B A c b a s i n 2s i n s i n 2（ ） A ．372 B ．3214
C ．4
D ．4
26+ 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的
是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．48
9．在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且AD AC 4=，
P 为BD 上一点，向量)0,0(>>+=μλμλAC AB AP ，则μλ1
4
+的最小值为（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
10．已知函数)cos 1(sin )(x x x g -=，则|)(|x g 在],[ππ-的图像大致为（ ）
11．已知直线21y x =+与曲线x y ae x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．e
D ．2e
12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0
,1640,)(23x x x x e x f x ，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数 为（ ）。