人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 切线判定和性质的四种应用类型
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人教版九年级数学上册第24章_24.2.2课时2+切线的判定和性质_教学课件
新课讲解
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线 交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D. 求证：AC与⊙D相切.
解：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.
因为∠ABC=90°，
E
所以AB⊥BC，
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
所以DE=DB，
所以AC与⊙D相切.
课堂小结
新课讲解
练一练
下列命题中，真命题是( D ) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
新课讲解
知识点2 切线的性质
如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
应用格式 ∵直线 l 是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线 l ⊥OA.
O l
A
新课讲解
性质定理的证明
B
证法1：反证法.
O
(1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂
直于CD,垂足为M.
C
AM D
(2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，
CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相径，MN是⊙O的切线，切点为N，如
果∠MNB =知52识°点，那么∠NOA的度数为(A )
A.76° B.56° C.54
D.52°
分析：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38° ∴∠NOA=2∠B=76°．
人教版九年级数学上册24.2.2切线的性质课件 (共31页)
A
O B E D C
培优专栏Байду номын сангаас
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点， 过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E， 直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.
（1）证明CF是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
D O B C A
E
变式训练 2、如图同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P， 且AB=6，则圆环的面积为_______
o A p B
当堂训练
以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正
半轴交于A、B两点，若⊙P的半径为5，则A点
3 4．如图，P是射线y＝ x(x＞0)上的一点， 5
的坐标为 （1,0） 。
D B
E
C
O
自学效果检测
4、P96【练习】第2题
l1
A O
l2
5、《听课手册》P45
B
例2
A PD B
A
C
O
O
B
例题选讲 例：AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的 切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断 △BCD的形状,并说明你的理由.
A
D O B
C
当堂训练 1、如图所示,已知两同心圆中,大圆的弦AB、AC 切小圆于D、E,△ABC的周长为12cm,求△ADE的 周长.
C
5 4
.P
3
O A 5
B
课堂小结
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
当堂测试
《小基》P69-70
C A
O
B
E
D
当堂训练
C D E A
O B E D C
培优专栏Байду номын сангаас
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点， 过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E， 直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.
（1）证明CF是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
D O B C A
E
变式训练 2、如图同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P， 且AB=6，则圆环的面积为_______
o A p B
当堂训练
以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正
半轴交于A、B两点，若⊙P的半径为5，则A点
3 4．如图，P是射线y＝ x(x＞0)上的一点， 5
的坐标为 （1,0） 。
D B
E
C
O
自学效果检测
4、P96【练习】第2题
l1
A O
l2
5、《听课手册》P45
B
例2
A PD B
A
C
O
O
B
例题选讲 例：AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的 切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断 △BCD的形状,并说明你的理由.
A
D O B
C
当堂训练 1、如图所示,已知两同心圆中,大圆的弦AB、AC 切小圆于D、E,△ABC的周长为12cm,求△ADE的 周长.
C
5 4
.P
3
O A 5
B
课堂小结
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径
当堂测试
《小基》P69-70
C A
O
B
E
D
当堂训练
C D E A
人教版数学九年级上第二十四章《圆》课件 24.2.2(2)切线的判定和性质
∵ PA是⊙O的切线 ∴∠PAO＝90°
2
P 30°
O
在Rt△PAO中∵ ∠APO＝30° ∴OP=2OA=2r
又
PA OA OP 2 2 2 2 r (2r ) 2 r 3
2 2
2
小结
1、切线的判定定理：
（1）l 经过半径外端点
（2）且 l与半径垂直 2、切线的性质：
作业： 1、课本P101习题24.2 #3、#4； 附加:P103#14；
l
例1
直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线. 分析：因为OC是半径，因此只需证OC⊥AB
证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
增例1：如图，已知Rt△ABC的斜边 AB=8cm，AC=4cm．以点C为圆心作 圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C 相切？为什么？
思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线l⊥OA, 则圆心O到直线l的距离 与 半径OA 相等，直线l和 相切பைடு நூலகம்⊙O的位置关系是_____.
.
O
l A
几何应用: ∵OA⊥直线l ∴直线l是⊙O的切线
如果直线l是⊙O的切线 ,切点为A,那么半径OA 与直线l是否一定垂直呢?
一定垂直
.
O
切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径
增例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一 点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A． （1）CD与⊙O相切吗？请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°， BD=10，求⊙O的半径．
三、练习：
2
P 30°
O
在Rt△PAO中∵ ∠APO＝30° ∴OP=2OA=2r
又
PA OA OP 2 2 2 2 r (2r ) 2 r 3
2 2
2
小结
1、切线的判定定理：
（1）l 经过半径外端点
（2）且 l与半径垂直 2、切线的性质：
作业： 1、课本P101习题24.2 #3、#4； 附加:P103#14；
l
例1
直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线. 分析：因为OC是半径，因此只需证OC⊥AB
证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
增例1：如图，已知Rt△ABC的斜边 AB=8cm，AC=4cm．以点C为圆心作 圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C 相切？为什么？
思考:
在⊙O中,经过半径OA的 外端点A作直线l⊥OA, 则圆心O到直线l的距离 与 半径OA 相等，直线l和 相切பைடு நூலகம்⊙O的位置关系是_____.
.
O
l A
几何应用: ∵OA⊥直线l ∴直线l是⊙O的切线
如果直线l是⊙O的切线 ,切点为A,那么半径OA 与直线l是否一定垂直呢?
一定垂直
.
O
切线的性质定理: A 圆的切线垂直于过切点的半径
增例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一 点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A． （1）CD与⊙O相切吗？请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°， BD=10，求⊙O的半径．
三、练习：
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
九年级数学上册第24章圆24.2.2第2课时切线的判定和性质课件【人教版】
(1)证明：连接 OP，如答图． ∵CP 与⊙O 相切于点 P，∴OP⊥CP. ∵BD∥CP，∴OP⊥BD，∴点 P 为 的中点， (2)解：连接 AD，如答图． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OPC. ∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA. 又∵∠C＝∠PDB，∴∠DBA＝∠PDB，∴DP∥BC，
当堂测评
1．下列结论中，正确的是( D ) A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线
2．[2017·自贡]如图 24-2-16 所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，
PO 交⊙O 于点 C，连接 BC.若∠P＝40°，则∠B 等于( B )
2．切线的性质 定 理：圆的切线垂直于过切点的 半径 ． 总 结：(1)切线和圆只有一个公共点； (2)切线和圆心的距离等于圆的半径； (3)切线垂直于过切点的半径； (4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．
归类探究
类型之一 切线的判定 如图 24-2-13 所示，在等腰△ABC 中，AC
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
图24216
3．[2017·连云港]如图 24-2-17 所示，线段 AB 与⊙O 相 切于点 B，线段 AO 与⊙O 相交于点 C，AB＝12，AC＝8， 则⊙O 的半径长为 5 .
图24217ຫໍສະໝຸດ 分层作业1．如图 24-2-18 所示，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为
例2答图
类型之三 切线的判定与性质的综合运用 如图 24-2-15 所示，△ABC 为等腰三角形，AB
＝AC, O 是底边 BC 的中点，⊙O 与腰 AB 相切于点 D，求 证：AC 与⊙O 相切．
人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 切线判定和性质的四种应用类型(共19张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°. ∴ED2＋OD2＝OE2. ∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4. ∴⊙O的半径为4.
解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF. ∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F为OD的中点，即OF＝FD. 在△AFO和△CFD中， AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，
∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD. ∴S四边形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4， ∴OE＝8，
第24章 圆
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°. ∴ED2＋OD2＝OE2. ∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4. ∴⊙O的半径为4.
解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF. ∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F为OD的中点，即OF＝FD. 在△AFO和△CFD中， AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，
∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD. ∴S四边形ACDE＝S△ODE. 在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4， ∴OE＝8，
第24章 圆
人教版九年级上24.2切线的判定与性质 (共15张PPT)
连接圆心和切点的半径是常见辅助线
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
人教版实验教科书九年级上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质定理
情景引入
情景引入
复习引入
什么叫直线与圆相切？你有哪些判定的方法？ 方法一、利用公共点个数. 方法二、利用d与r的数量关系判定： d = r 直线与圆相切.
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
则⊙O与AB的位置关系是 相切 .
O
A
C
B
拓展应用
例3、如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于
P,PD⊥AC于D 求证：PD是⊙O的切线
A O
证明：连接OP ∵AB=AC
∴∠B= ∠C
同理∠B = ∠OPB ∴∠C =∠OPB ∴OP∥AC
D
又PD ⊥ AC
B
P
C
∴OP ⊥ PD
∴PD为⊙O的切线
拓展应用二
例4、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC平行于弦AD
求证：DC是⊙O的切线
C
证明：连接OD
∵BC与⊙O相切
D
∵OA=OD
∴ ∠1= ∠3
∴∠OBC=900
12
3
4
A
O
又AD ∥ OC
∴∠ODC=900
B
∴∠1= ∠2，∠3= ∠4 ∴OD⊥DC
∴ ∠2= ∠4
∴DC是⊙O的切线
∵OD=OB,OC公共
∴△OCD≌△OCB ∴∠ODC= ∠ OBC
课后小结
这节课我们主要解决了以下两个问题： 1、学习了切线的判定定理： （1）利用d与r的数量关系判定：d = r 直线与圆相切 （2）利用切线的判定定理判定 2、学习了切线的性质并灵活运用解决综合问题
人教版数学九年级上册24 第2课时切线的性质与判定课件
切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共
点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的 距离等于半径(即d=r)时，直线与
dr
圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端并且垂
O
直于这条半径的直线是圆的切线。
A
要点归纳
l l l
新课讲解
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
连接 O
作垂直 O
AC B
AC B
对比思考
新课讲解
2 切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么 OA与l垂直吗？
★切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
★应用格式 ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA.
O
A
l
CD切小⊙O于点A,且A点为
CD的中点，连接OA,根据垂
径定理，则CD ⊥OA,
即圆的切线垂直于经过切点
的半径．
C
新课讲解
O
A
D
练一练 1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，
若∠ABN=30°，则∠AOB= 60°.
2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于
B
OE OA2 AE2 82 (4 3)2 =4,
又∵ 小⊙O半径为4厘米,
OE等于小圆半径 ∴AB是⊙O的切线.
能力提升
已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只 需写出两种情况）：
九年级数学人教版上册：24.2第2课时 切线的判定与性
少?_O__T_的_ 长度 ,直线
AB和⊙O有什么位置关
系相? 切
A
T
BL
_________.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
∵OT⊥AB且OT为半径 ∴AB是⊙O的切线
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
注意:定理中的两个条件缺一不可．
1.下列图形中的直线 l是不是圆O的切线,为什么?
圆的切线．( √ ) (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．( √ )
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为
半径的圆与底边相切．( √ )
探索切线性质
一条直线满足
①过圆心 ③过切点
②垂直于切线
C
如图,直线CT与⊙O相切于点T,
直径CT与直线AB有怎样的位置关系?.
●O
• 直径CT垂直于直线AB.
求证：（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
A D
E
B
O CF
证明：（1）连接OD，DC 则，DC⊥AB 且AC=BC
∴RT△ACD≌RT△BCD B
∴AD=BD （2）由（1）可知
∠DCA=∠DCB， 且∠DCB=∠CDO ∵∠ACD+∠CDE=90 ∴∠CDO+∠CDE=90 ∴DF为 O的切线
A
T
B
1.定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
１、切线和圆只有一个公共点。
２、切线和圆心的距离等于半径。
３、切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
切线的性质３、４、５可归纳为：已知直线满足a、过 圆心，b、过切点，c、垂直于切线中任意两个，便得 到第三个结论。
人教版数学九上课件24.2.2.2切线的判定和性质
等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 4.三角形的内切圆、内心的概念 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角
形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
1
2
3
4
1.如图,AB 是☉O 的弦,BC 与☉O 相切于点 B,连接 OA,OB.若∠ABC=70°,则 ∠A 等于( )
名师指导(1)经过切点与切线垂直的直线必过圆心;
(2)经过圆心与切线垂直的直线必过切点.
课标要求 知识梳理
3.圆的切线长的概念和切线长定理 (1)圆的切线长的概念:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间
线段 的长,叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 切线长 相
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1
第2课时 切线的判定和性质
课标要求 知识梳理
1.理解并能熟练地运用切线的性质定理和判定定理. 2.掌握切线长定理及其应用. 3.会作三角形的内切圆并能够解决一些数学问题.
课标要求 知识梳理
1.圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
A.15°
B.20°
C.30°
D.70°
∵BC 与☉O 相切于点 B,∴OB⊥BC.∴∠OBC=90°. ∵∠ABC=70°,∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°. B∵OA=OB,∴∠A=∠OBA=20°.
解析
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答案
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2.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B.如果 ∠APB=60°,PA=8,那么弦 AB 的长是( )
形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
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1.如图,AB 是☉O 的弦,BC 与☉O 相切于点 B,连接 OA,OB.若∠ABC=70°,则 ∠A 等于( )
名师指导(1)经过切点与切线垂直的直线必过圆心;
(2)经过圆心与切线垂直的直线必过切点.
课标要求 知识梳理
3.圆的切线长的概念和切线长定理 (1)圆的切线长的概念:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间
线段 的长,叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的 切线长 相
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
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第2课时 切线的判定和性质
课标要求 知识梳理
1.理解并能熟练地运用切线的性质定理和判定定理. 2.掌握切线长定理及其应用. 3.会作三角形的内切圆并能够解决一些数学问题.
课标要求 知识梳理
1.圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
A.15°
B.20°
C.30°
D.70°
∵BC 与☉O 相切于点 B,∴OB⊥BC.∴∠OBC=90°. ∵∠ABC=70°,∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°. B∵OA=OB,∴∠A=∠OBA=20°.
解析
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答案
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2.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B.如果 ∠APB=60°,PA=8,那么弦 AB 的长是( )
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BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，
切点为B，OC∥AD，BA，CD的延
长线相交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
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证明：如图，连接DO. ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO. ∴∠COD＝∠COB. 在△COD和△COB中，
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∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB(SAS)． ∴∠CDO＝∠CBO. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°. ∴CD是⊙O的切线．
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∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ODC. ∵CB＝CD，∴∠OBC＝∠ODC， ∴∠BOC＝2∠OBC.∵∠BOC＋∠OBC＝90°， ∴∠OBC＝30°， ∴∠ABC＝2∠OBC＝60°.
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类型
3 应用于求圆的半径
3．(中考·凉山州)如图，已知AB为⊙O的直径，AD，
第24章 圆
双休作业(七) 2 切线判定和性质的四种应用类型
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类型
1 应用于求线段的长
1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线
上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；
3
直线CD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO＋∠1＝90°. ∵OD＝OB， ∴∠CBD＝∠1.
点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥A︵ACC，
交BA的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
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(2)连接CD，若OA＝AE＝4，求四边形ACDE的面积． 解：如图，∵OD⊥AC，∴AF＝CF. ∵AC∥DE，且OA＝AE， ∴F为OD的中点，即OF＝FD. 在△AFO和△CFD中， AF＝CF，∠AFO＝∠CFD，OF＝DF，
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又∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠1＝∠CDA， ∴∠CDA＋∠ADO＝90°， 即∠CDO＝90°， ∴OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线．
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(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，
⊙O的半径是3，求BE的长．
∵AC＝2，⊙O的半径是3， ∴OC＝2＋3＝5，OD＝3. 在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4. ∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，
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(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OE＝r＋1， ∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO＝90°. ∴ED2＋OD2＝OE2. ∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4. ∴⊙O的半径为4.
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类型
4 应用于求图形的面积
4．(中考·通辽)如图，AB为⊙O的直径，D为 的中
证明：如图，连接OA，OB，OC. ∵AB与⊙O切于点A， ∴OA⊥AB，即∠BAO＝90°.
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∵四边形ABCD为菱形， ∴BA＝BC. 又∵OA＝OC，OB＝OB， ∴△ABO≌△CBO. ∴∠BCO＝∠BAO＝90°， ∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线．
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(2)求∠B的度数． 解：如图，连接BD. ∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO＝∠CBO. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC， ∴点O在BD上．
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∴DE＝BE，∠CBE＝90°. 设DE＝BE＝x， 在Rt△CBE中，由勾股定理得CE2＝BE2＋BC2， 则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2， 解得x＝6，即BE＝6.
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类型
2 应用于求角的度数
2．(中考·珠海)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶
点A，C，D，且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线；