北师版初二数学探索多边形的内角和2
4.6探索多边形的内角和与外角和(2)北师大
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路， 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按 逆时针方向跑步。 逆时针方向跑步。
(5分钟) • 阅读P128-P129页，并思考下列 问题： • 1、什么叫多边形的外角？什么叫 多边形的外角和？P129 • 2、多边形的外角和为多少度？ • 3、多边形的外角和与边数有关吗？
• 一、正本作业：P130知识技能 知识技能T1 知识技能
• 2、有一个正多边形，已知它的一个内角和相邻的 、有一个正多边形， 外角之比为3： ，那么这个多边形是几边形？ 外角之比为 ：2，那么这个多边形是几边形？ • 3、一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内 、一个多边形截去一个角后， 角和为2520度，则原多边形的边数是多少？ 角和为 度 则原多边形的边数是多少？
如：
C 3
1 A 2
B
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 这个多边形的一个外角 们的和叫做这个多边形的外角和 叫做这个多边形的外角和。 们的和叫做这个多边形的外角和。 如：
1
A
7
5
B
2
8
11 9
3
E
C
10 D
4
结论： 的和等于360ْ ∠1， ∠ 2， ∠ 3， ∠ 4， ∠ 5的和等于 ， ， ， ， 的和等于
5、若这多边形边数加1则这多边形的 、若这多边形边数加 则这多边形的 内角和增加——— 外角和增加 外角和增加—— 内角和增加 — 6、若一个多边形的每一个外角都等于 若一个多边形的每一个外角都等于 与它相邻内角 相邻内角， 与它相邻内角，则这个多边形的边数 是_____
7、 每个内角都相等且比相邻外角大 、
• （1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身 体转过的角是哪个角？ • （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多 少度？ • （3）在上图中，你能求出∠1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=吗？你是怎样得到的？
北师版初二数学探索多边形的内角和2
… …
180 度。 n边形可分成 (n-2) 个三角形，其内角和是 (n-2) ·
请同学们课后按照小亮的做法去归纳一下看看，是否会 有相同的结果？
想一想
观察下图中的多边形，它们的边角有什么特点？
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做 正多边形。
议一议
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定 都相等吗？
解： (1)过顶点A的对角线共有 三 条，分别是AC、AD和AE . (2)这个多边形的内角和 是：(6-2) ·180 = 720(度). B C
A F E D
练一练
2、如果一个多边形的内角和是1440度，那么这 是 十 边形。
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）·180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 ∴这给这位耿兄弟。他们住的那深巷子出租房里放这么多银子不安全，先由咱们酒店里代为保管着吧！”又转头对耿正兄妹三人说：“你 们什么时候需要了，就随时来取！”耿正赶快说：“这感情好的，但我们约定的薪金加上这些银子，也远没有这么多啊！您怎么让先生出具这 么大的数目呢？”酒店老板哈哈大笑，说：“就这么多吧！二十四是三‘八’之叠加，而‘八’谐音‘发’，寓意‘发家’！所以啊，这自古 以来，人们就把二百四十两纹银看作是大礼一份，寓意大吉大利大发大顺！讨个吉利吧，作为我们酒店上下人等对你们兄妹仨今后创业之路的 祝福啦！”做证人的老者听到这里，手捋胡须安详而笑了。当下，酒店老板就在那张二百四十两纹银的收据上签了字，然后恭恭敬敬地亲手交 给耿正。耿正推辞一番之后，接了装好。一名伙计过来对酒店老板说：“老板，饭菜已经准备好了！”老板点点头，招呼老者和耿正兄妹三人： “来来来，大家快坐了吃饭吧！我们一起喝几杯！”又转头吩咐伙计：“拿一大坛最好的陈茅台来！”老者连连摆手，说：“我已经吃过了。 你们快吃吧，我这就告辞了！”老板说：“再少吃一点儿嘛，或者只喝一杯酒也行！”老者还是连连摆手说：“我年纪大了，晚上不可以多食 儿的，更不可以贪杯噢！这时辰实在是不早了，你们快吃吧，我走了！”老板不好再劝，就和耿正兄妹三人一起送老者出来。走出酒店门口时， 大家望望左右，宽阔的街面上已经没有一个行人。但老者并不急于道别，反而站住不走了，大家有点儿不解地望着这位和颜悦色的老人。只见 他略沉吟一下，对老板说：“这自古说了，冤家宜解不宜结。我看哪，这吴员外今儿个应该是真服气了。倘若他能接受教训，从此以后不再为 富不仁，倒也不是坏事。依我看不如这样吧，等他带人来给酒店挂牌匾的时候，你派一个伙计来喊我一声。咱们和他坐在一起吃个饭吧！还有 啊，记着也叫上这兄妹仨。他们以后还要在咱这景德镇上打拼呢，什么人也得结交哇！高洁的莲花虽说‘出污泥而不染’，而其雪白的莲藕毕 竟还是生长在污泥中的呢！所以啊，必须得适应了，才能生长得好！”酒店老板笑了，说：“好的！”又转头看看耿正兄妹三人。耿正说： “就听老先生的吧！”老者这才高高兴兴地告辞而去了。酒店老板和耿正兄妹三人返回酒店大厅。老板一定要亲自陪兄妹三人吃饭，并且招呼 所有的伙计们全部过来，对大家说：“咱们酒店今儿个晚上可算躲过了一次大劫难，首先是耿家兄妹三人功不可没，再者大家伙儿也都有功劳。 来，大家都坐下，咱们喝了这坛陈茅台，衷心感谢这兄妹仨！”耿正坚决不让伙计开启那坛陈茅台，说：“都是自家人，咱们客套这个做什么 啊！再说了，我们三个都不会喝酒的。咱还是
北师大版数学八年级《探索多边形的内角和》
B
F
C
D
内角和=5 · 180°－180°
A
E
=4· 180°
=720 °
B
O
F
C
D
A
E
内角和=6 · 180°－360 ° =4 · 180° =720 °
O F
B
C
例1. 已知一个多边形，它的内角和 等于720°， 求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为n，因为它的内角 和等于 (n-2)•180°，所以， (n-2)•180°=720º 。
的值是( )
A -4 C -2
B D
4 2 已知代入
直接代入法
练习4、 不等式组 的最小整数解是 ( ) A -1 B 0
2 x 3 x 1 8 2x
C
2
D
3
选项代入
直接代入法
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下 惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
例3. 一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加 多少度？ 解： 设多边形的边数为n， 因为它的内角和等于 (n-2)•180°， 当边数增加1时， 内角和为(n+1-2)•180°， (n+1-2)•180°- (n-2)•180°
=n•180°-180°n•180°+360°
= 180°
内角和增加180°
探索多边形的内角和
A D
E
B
图中有几个三角形？
五边形的内角和是多少度？
C
探索多边形的内角和
北师大数学八年级4.6探索多边形的内角和
4.6探索多边形的内角和与外角和(一)教学目标(一)教学知识点1、理解多边形及正多边形的定义。
2、掌握多边形的内角和公式。
(二)能力训练要求1、经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
(三)情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系。
教学重点：多边形的内角和教学难点：探索多边形的内角和公式过程.教具准备：多媒体课件、三角尺、剪刀、正方形只纸片。
教学过程：一、巧设情景问题，引入课题。
看课文例图，认识多边形。
（课件出示）二、多边形。
1、多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
2、多边形的有关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角。
如图（3）（课件出示并讲解）3、多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图（1）（2）（课件出示并讲解）4、多边形的分类：通常以边数命名，有几条边就叫做几边形，如三边形、四边形、五边形…三、多边形的内角和。
（一）看课文的广场图（课件出示），求五边形的内角和。
(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流。
(2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和。
你知道他们是怎么做的吗？如下图（1）（2）（课件出示并讲解两人的不同做法）(3)还有其他的方法吗？学生讨论、画图、归纳自己的方法。
（课件出示并讲解）小结：在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形。
进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法。
北师大版八年级数学多边形的内角和与外角和(2)教案
“多边形内角和与外角和〞教学设计一、教学目标1.探索并说出多边形的外角与外角和公式；2.经历探索多边形外角和公式的过程;3.通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系.二、教学重难点重点：多边形的外角和定理;难点：能够灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.三、教学过程（一）引入新知通过复习三角形外角的定义，类比得出多边形外角的定义：多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做这个多边形的外角.以五边形ABCDE为例，发现在多边形的每个顶点处可以做出两个相等的外角，帮助学生理解：多边形的外角和是指在每个顶点处，取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角.（二）探索新知用三种不同的方法，探索五边形的外角和1.用量角器测量用量角器分别测量出五个外角的度数并相加∠1=60°、∠2=85°、∠3=65°、∠4=50°、∠5=100°∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°2.拼角用剪刀剪下五个外角，让它们的顶点重合在一起，发现刚好组成了一个周角，因此这五个外角的和为360°3.计算通过观察发现，多边形的每个外角与相邻外角的和都是180°，则五组内外角的和为900°，减去五边形的内角和是(5-2)×180°=540°，所以剩下的五个外角的和为900°-540°=360°接着，利用计算法一起计算了六边形的外角和.通过上面的学习，你能自己算出八边形的外角和吗？经过计算得到八边形的外角和也是360°，由此你能猜想一下，n边形的外角和是多少度吗？我们猜想多边形的外角和都等于360°（三）学习新知你能证明自己的猜想吗：n边形的外角和等于360°证：n边形外角和=外角1+外角2+…+外角n=(180°-内角1)+(180°-内角2)+…+(180°-内角n)=n·180° - (内角1+内角2+…+内角n)=n·180° - (n-2)·180°=360°我们证明了自己的猜想，得出了多边形外角和定理：多边形的外角和是360°，发现多边形的外角和与它的边数没有关系。
初中数学(北师大版)八年级-探索多边形的内角和与外角和_教学设计_教案(课件免费下载)
教学准备1. 教学目标1．知识与技能：了解多边形正多边形定义能够在图形中识别它们的有关概念，掌握多边形内角和公式，会应用它进行计算和说理。
2．过程与方法：经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探索习惯。
3．情感态度与价值观：通过将多边形问题转化为三角形问题解决，使学生体会化归思想，从而提高分析问题解决问题的能力。
2. 教学重点/难点多边形内角和定理及其应用探索多边形内角和公式3. 教学用具4. 标签教学过程一．〖创设情境〗引入新知：教师利用多媒体出示教材中的引例----广场俯视图。
师：问广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角和吗？（设计意图：利用现代化的教学手段，借助教材创设情境激发学生的好奇心和求知欲。
）二．〖展示目标〗教师出示学习目标，学生阅读。
（设计意图：使学生明确本节学习任务）三．〖探索新知〗〈自学任务一〉：师：阅读教材125页思考：1.什么叫多边形？2.举例说明什么叫多边形的边、顶点、内角、内角和？n边形有多少个顶点？多少个角？多少条边？3.什么叫多边形的对角线？n边形从一个顶点出发有多少条对角线，将n边形分成多少个三角形？生：学生通过阅读教材，独立思考，形成感性认识学生自学教材，类比三角形四边形有关概念，结合上述问题理解多边形定义及有关概念。
小组合作交流解决疑难问题。
（设计意图：学生结合已有知识独立学习解决新知，培养自主学习能力。
）师：（板书）多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形.教师检查自学成果：1.学生阐述，教师强调：不在同一直线、首尾顺次连接。
2.学生阐述，教师强调：n边形有n个顶点，n个内角，n条边。
3.学生概括，教师强调：n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形（设计意图：通过学生自学和教师点拨深刻理解多边形定义及有关概念。
）〈自学任务二〉：师：好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片)(课本P125的图)(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流.(2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？生：小组讨论交流，用多种方法加以说明，活跃学生思维，明确解决问题的关键是添加辅助线转化成三角形解决问题。
北师大版八年级数学上册第四章第六节 探索多边形的内角和与外角和
在平面内，内角都相等、边也 相等的多边形叫做正多边形。
议一议：
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都 相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都 相等吗？ （3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边 形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 正n边形呢？
练习
(n - 2) • 180° 1、n边形的内角和等于__________ ，九边形的 (9 - 2) • 180° = 1260° 内角和等于_________________________ 。
三角形的外角和是多少？四边形呢？
4 1
A 3
A
7
D
C
B 2
B 5 C 6
五边形的外角和是多少？n边形呢？ 1 A 5 E
B
2
C 3 4 D
多边形的外角和等于
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑度之和 是多少？ （2）如果广场的形状是六边形，那么还有 类似的结论吗？
n边形的内角和等于(n - 2)•180°，外角 和为360 °
3、过n边形的某一个顶点的所有对角线有几条？ 被分成几个三角形？
有(n - 3) 条。 被分成(n - 2) 个三角形。
共同进步！
2、一个多边形的内角和等于1440°，那么它 十 边形。 是______ 108° 。 3、正五边形的每一个内角的度数是_______
三 条对角线， 4、从六边形的一个顶点出发可画_____ 四 这些对角线把六边形分成_____个三角形。
三角形的外角
1 . 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫做这个多边形的外角。 2 . 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它 们的和叫做这个多边形的外角和。
北师大版八年级上册≤探索多边形内角和≥优秀说课稿
北师大版八年级上册≤探索多边形内角和≥优秀说课稿北师大版八年级上册：探索多边形内角和-优秀说课稿一、教学目标1. 理解多边形的概念以及内角和的概念；2. 能够计算各种多边形的内角和；3. 运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：多边形内角和的计算；2. 教学难点：各种多边形的内角和计算。
三、教学准备1. 教材：北师大版八年级上册；2. 教具：黑板、彩色粉笔、直尺、量角器等；3. 多媒体设备：投影仪、电脑。
四、教学过程1. 导入（5分钟）- 通过引入学生熟悉的例子（如正方形、三角形）引发学生对多边形的讨论，引出多边形的概念。
2. 概念讲解（10分钟）- 使用多媒体展示多边形的定义和内角的概念，并引导学生进行讨论和理解。
- 提出一个问题：“一个n边形的内角和等于多少？”3. 探索内角和公式（15分钟）- 让学生分小组探索不同多边形的内角和，通过彩色粉笔在黑板上画出各种多边形，并记录下各个内角的度数。
- 引导学生总结规律，得出多边形内角和的公式：（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
4. 计算练（10分钟）- 提供一些不同边数的多边形，让学生进行计算练。
- 引导学生思考和讨论，帮助他们理解内角和公式的应用方法。
5. 实例分析（10分钟）- 提供一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，例如寻找在一块土地上可以围成的最大面积的多边形等。
6. 拓展应用（10分钟）- 提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，例如如何用最少的切割次数将一个圆形西瓜切成16块等。
7. 练与总结（10分钟）- 提供一些练题目，让学生进行巩固练。
- 总结本堂课的重点和难点，澄清学生对多边形内角和的理解。
五、板书设计- 多边形的定义和内角的定义；- 多边形的内角和公式：（n-2）×180°。
六、教学反思本节课采用了探索式教学的方式，通过让学生分小组探索多边形内角和的规律，培养了学生的合作能力和思维能力。
北师版八年级下册第六章《探索多边形的内角和》教案
举例：在讲解内角与外角关系时，可以通过画图或实物演示，让学生观察一个四边形的内角与外角是如何相互补充的。对于多边形内角和与外角和的关系，可以通过实际操作，如剪下多边形的一个外角贴到相邻的内角上，验证两者之和为180°，并引导学生发现外角和为360°的规律。
5.解决与多边形内角和相关的实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索多边形内角和的计算公式，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高推理和论证能力；
2.培养学生的空间想象力，通过对多边形内角与外角关系的探讨，让学生在脑海中构建多边形的空间结构，提升空间想象力；
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握多边形内角和的计算公式：即n边形的内角和等于（n-2）×180°，这是本节课的核心内容，教师需通过直观演示和实例讲解，使学生深刻理解并熟练运用该公式。
-理解多边形内角和与边数的关系：通过对比不同边数的多边形内角和，让学生认识到边数增加时内角和的变化规律。
-应用内角和知识解决实际问题：教师需引导学生将内角和知识应用于解决生活中的多边形相关问题，如建筑设计、地理测量等。
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用内角和公式解决实际问题，对数据进行分析和处理，从而得出合理的结论；
4.培养学生的数学建模能力，通过实际操作和问题解决，让学生学会将现实问题抽象为数学模型，运用数学知识进行求解；
5.培养学生的数学素养，使学生养成严谨、细致、勇于探究的学习态度，形成运用数学语言进行表达和交流的习惯。
此外，我发现学生们在小组讨论中表现得非常积极，他们能够将多边形内角和的知识与生活中的实际问题联系起来。这让我深感欣慰，说明他们已经能够学以致用。但同时，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖同伴，自己思考得不够深入。因此，我打算在接下来的教学中，多关注这部分学生，引导他们独立思考，提高解决问题的能力。
八年级数学上册 探索多边形的内角和与外角和(第二课时)教案 北师大版
探索多边形的内角和与外角和教学设计第（二）课时教学设计思想本节内容需二课时讲授；八年级的学生活泼、好奇，有较强的表现欲望，上课时注意力易分散，对数学概念、法则、规律的应用生搬硬套．针对学生这种特点，教师在教学中，应多创设生动、形象、实用、有趣的问题情境，引起学生好奇，产生兴趣，使学生产生渴望求知的愿望，积极参与教学过程．充分利用学生观察、发现、猜想、归纳、验证等一系列思维加工活动自主学习，在学生之间、师生之间互动的过程中与他人交流各自对问题的理解，解决问题的思路与方法，在交流中获得经验，在交流中思维得到发展，思维得以拓展．这样的学习使学生对数学的感受是真实的、亲切的、自然的，从而营造一个愉快的、轻松的学习氛围，真正使数学教学成为数学活动．按照这种思路，本节课课堂教学设计思路模式为：创设情境——引导探究——合作交流——课堂练习——归纳小结．教学目标（一）知识与技能1．认识多边形的外角．2．熟记多边形的外角和公式．（二）过程与方法1．经历探索多边形的外角和公式的过程．进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．（三）情感、态度与价值观培养学生勇于实践、大胆创新的精神和积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化及数学来源实践，又反过来作用于实践的观点．教学重点多边形的外角和公式及其应用．教学难点多边形的外角和公式的应用．教学方法探究式教学法．教具准备投影片．教学过程Ⅰ．巧设情景问题，引入课题［师］大家清早跑步吗？小明每天坚持跑步，他怎样跑步呢？清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步．（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？［师］同学们来分组讨论，演示一下．（学生6人一组，可实地做一做，让学生体会数学与现实生活的联系．）［生甲］（1）小明每从一条街道转到下一街道时，身体转过的角（如图中）是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5．（2）我们五个人做为五边形的顶点，围成一个五边形，由××伴为小明进行跑步，跑完一圈后，他的身体转过的角度之和是360°．（3）由上述知道：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是小明从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角，而他跑一圈，身体转过的角度是360°，因此得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．［生乙］我们讨论的结果和甲同学的一样，只不过求∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和时，我们组是先画了一个如投影所示的五边形．然后把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角剪下，将它们的顶点拼在一起，即各角的顶点重合，这时发现这五个角正好组成了一个周角．由此得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．［师］很好，下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ恰好组成一个周角．这样，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和等于360°．［师］小亮也验证了大家得到的结论，好，大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？它们的和叫什么呢？［生］这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和．［师］很好，我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和．Ⅱ．讲授新课［师］那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角（exterior angle）在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角．那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？［生齐］360°［师］好，刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想如果广场的形状是六边形、八边形．它们的外角和也等于360°吗？（学生讨论，得出结论）［生甲］我们通过讨论，演示得到：六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°．［生乙］老师，能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？［师］谁来解决这个问题呢？［生丙］由五边形、六边形和八边形的外角和都等于360°，不能得出所有多边形的外角和都等于360°，只能是猜想：多边形的外角和都等于360°．［师］能得证吗？［生丁］因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°，因此，外角和为：n·180°－（n－2）·180°=360°．［师］很好，由此我们得到了多边形的外角和公式多边形的外角和都等于360°．［师］由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°．下面大家来想一想、议一议利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？［生］可以，因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角．因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°．［师］好，学完了外角和公式，现在我们来应用一下，以熟悉巩固外角和公式［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用．根据题意，可列方程解答．（让学生动手解答）解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°，外角和等于360°，所以：（n－2）·180°=3×360°解得：n=8这个多边形是八边形．［师］好，通过同学们的解答，知道大家基本掌握了多边形的外角和公式，接下来我们通过练习进一步巩固外角和公式．Ⅲ．课堂练习（一）课本P129随堂练习1．一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：360°÷60°=62．下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x°，则由题图得：3x=360°．x=120°．再根据多边形的内角和公式得：n ×120°=（n －2）×180°．解得n=6（二）试一试1．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的51？为什么？解：不存在，理由是：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是： 51×α=180°－α，解得α=150°．这个多边形的边数为：360°÷150°=2．4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．2．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角．理由是：设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°．α+β+γ+δ＞360°．同理最多能有三个小于90°．Ⅳ．课时小结本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便．Ⅴ．课后作业（一）课本P 130习题4.11 1、2、3（二）1．预习内容：P 1322．预习提纲：（1）什么是中心对称图形？（2）中心对称图形的性质.Ⅵ．活动与探究1．如图，六边形ABCDEF 的每个内角都是120°，AF=AB=2，BC=CD=3，求DE 、EF 的长．过程：让学生审清题意后，想性质，遇到120°时，想到60°，因为本题中六边形ABCDEF 的每个内角都是120°，所以可延长相对的边，得到一个等边三角形，由等边三角形的各边长相等，可列方程解得．解：把边AB 、CD 、EF 向两方延长，分别交于X 、Y 、Z ．由六边形ABCDEF 的每个内角都是120°，得△XYZ 是等边三角形，△AFX 、△BCY 、△DEZ 也是等边三角形．设：EF 为x ，DE 为y ，则可得⎩⎨⎧++=++++=++223223333x y y解得x=4，y=1因此，EF 的长为4，DE 的长为1．2．在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度．例如：正方形ABCD（如图），有AB=BC=CD=DA≠AC=BD．请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段．过程：通过学生画图，进一步使其掌握四边形的性质．结果：图形如下：AB=AD=DC，BC=BD=ACAB=BC=CA，OA=OB=OCAB=BC=CD=DA=BD≠ACOA=OB=OC=BC，AB=ACAB=AC=AD=BD，BC=CD板书设计探索多边形的内角和与外角和（二）一、多边形的外角二、多边形的外角和公式多边形的外角和都等于360°三、议一议例1（性质的应用）四、课堂练习五、课时小结六、课后作业word 11 / 11。
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探索多边形的内角和
了解一下
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线 段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 内角 这 里 所 说 的 多 边 形 都 指
顶点
边 对角线
凸 多 边 形
(连接不相邻两个顶点的线段)
我们现在研究的是如图1所示的多边 形，是凸多边形； 如图2所示的多边形， 是凹多边形，但不在现在研究的范围中。 今后如果不说明，我们讲的多边形都是 凸多边形。 比 一 比
图1
图2
看一看
四边形
五边形
……
六边形
八边形
想一想
我们知道，三角形的内角和是 180 度,四边 形的内角和是 360 度，那这个五边形的内 角和呢？
A
你能动手做一做吗?
B
小明利用下图求出 了五边形的内角和， 你知道他是怎么做 的吗？
E
C
D
180 × 3 = 540
想一想
小亮是利用下图求出五边形的内角和的，你知 道他又是怎么做的吗？
解： (1)过顶点A的对角线共有 三 条，分别是AC、AD和AE . (2)这个多边形的内角和 是：(6-2) ·180 = 720(度). B C
A F E D
练一练
2、如果一个多边形的内角和是1440度，那么这 是 十 边形。
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）·180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 ∴这是十边形。
A E
B
O
.
C
D
180 × 5 – 360 = 540
想一想
例如：
还有其他的做法吗？
A E
B
C
F
D
180 × 4 – 180 = 540
归纳总结
按照小明的做法来看：
三角形的内角和是 180 度；
四边形可分成 2 个三角形，其内角和是 360 度；
五边形可分成 3 个三角形，其内角和是 540 度； 六边形可分成 4 个三角形，其内角和是 720 度； … … 十五边形可分成 13 个三角形，其内角和是 2340 度；
壹百万。""壹千二百万。"现场の几百人加价积极性很高,起拍价才五百万の血湖砚,壹下子就提高到了壹千二百万了,没壹会尔の功夫就翻了两倍多了。这个价格确实是很震惊,但毕竟是这种级别の神兵,有市无价,抢の人自然也不少。不过加价到了壹千多万上品灵石了,这参与竞价の人就 不是特别多了。"有道友出到壹千二百万了,还有更高の吗?"女主持显然也很有水平,这眼神就能电到不少人了,唇语更是有忽悠人加价の魅力。"壹千二百五十万""壹千三百万"这壹扯,马上就只剩下了两个人在斗价了。"壹千五百万!"其中壹人直接加到了壹千五百万。另壹人笑了笑,放下 了牌子道："算了,归你了吧。""壹千五百万,还有加の吗?"女人也没有多作推销,这个血湖砚,最终以壹千五百万灵石の价格成交了,比买主心理价位壹千二百万,高出了三百万,算是不错の了。时间宝贵,女人继续请出了第二件拍品。第二件拍品,是壹瓶丹药,刚拿出来就引得不少人眼睛放 光,口水都要流出来了。"乖乖,是五枚五阶还阳丹。"推出来の第二件拍品,竟然是可以增加阳寿の五阶还阳丹。来护卫这瓶子の,旁边换成了两个黑袍人。女主持摆摆手示意大家安静下来："诸位道友见到了,这第二件拍品就是五枚五阶还阳丹,只要您以前没有服用过五阶以上の还阳丹,就 可以继续服用。壹人最多服用壹枚,第二枚就没有大の效果了,壹枚可以续命三百年,可以说是续命神丹了。""五枚还阳丹,起拍价,五千万上品灵石,每次加价不得少于五百万灵石。""请道友们出价。"女主持刚刚说完,马上就有人提价了。"五千万!""六千万!""八千万!""壹亿!"才几息の功 夫,就接连有高人提价,直接就从五千万灵石,给提到了壹亿了。"壹亿五千万!"接着又是壹个戴着面具の白发老者,直接将价格给提高到了壹亿五千万上品灵石了,壹下了令现场有些冷了。"道友果然有眼光,有道友出到了壹亿五千万灵石了,五枚还阳丹可以令五人分别续命三百年,对于即将 化道者来说,可是再造人生の神丹,还有加价の吗?""二亿!"话音未落,马上就有人,位于这拍卖场右边角落里の壹位神秘人,出到了二亿灵石了。"二亿五千万!"刚刚那位面具老者又提价了。"三亿!""四亿!""五亿!"神秘人将价格给加到了五亿,令面具老者咬牙切齿,他似乎有些实力不足了。 这两人似乎扛上了,壹时间别の修行者没有提价の机会,好几亿の上品灵石,不是壹个人就拥有の。就算是普通の修行者,怕也不会收集这么多の灵石,可以说现在各大灵脉,优质の灵脉,还是控制在各大势力上面。而五亿上品灵石,足足要好几条上品灵脉,怕才能挖出来这么多の量。价格壹 下子提到了这么多,别の人根本没有加价の机会了,不少人只能望着宝贝兴叹了。其中壹人传音这个面具老者："汪老,咱这里还有两亿灵石,如果可以の话,咱加到您の价里,您到时候给咱壹枚就可以了。"这时候有人暗中提议,自己出两亿灵石,换壹枚五阶还阳丹。"好。"汪老自然是答应了, 然后又提价到："五亿壹千万!"猫补中文叁516竞价(猫补中文)叁516竞价叁516其中壹人传音这个面具老者："汪老,咱这里还有两亿灵石,如果可以の话,咱加到您の价里,您到时候给咱壹枚就可以了。"这时候有人暗中提议,自己出两亿灵石,换壹枚五阶还阳丹。"好。"汪老自然是答应了, 然后又提价到："五亿壹千万!""五亿二千万!""五亿二千五百万!""五亿三千万!"两个家伙还在对飙价格,不过现在每回提价不再那么疯了,看来似乎快到了实力の尽头了。"看来还阳丹,深受大家の喜欢,五亿三千万壹次"女主持见这价格差不多了,但是还想激壹激这两人。"还有道友加价の 吗?"女主持目光顿了顿,扫过了贵宾厅中の四五百人,当然主要目标是为了引那两个争夺の家伙再次出价。"五亿三千五百万"汪老还是又提价了,不过看上去,表情有些难看,看来快到了他能承受の极限了。"五亿四千万。"神秘人隔了壹会尔,还是加了壹次价。现在全场の目光,都聚焦在他 们の身上了,这个价格别の人根本就承受不住。好几亿の上品灵石,这可不是大白菜,不能随便说多少就有多少の。没有强大の实力,没有深厚の底蕴の支持,不可能弄到这么多の上品灵石。"五亿四千万,有道友出到五亿四千万了,还有加价の吗?"女主持笑容甜美,这个价格已经到了卖家の 预期了,之后若是再能加上去那对他们の佣金提成就更高了。拍卖行就是这样の规矩,首先卖家自己有壹个心理预期价格,当拍卖成交价格,高出这个你事先の心理预期价格の时候,多出来の部分要给拍卖行更多の佣金。毕竟你自己卖の话,可能还不壹定能达到你の预期价格,能多卖,就算多 出佣金也是愿意の。"五亿四千万壹次＆"见那汪老还没有加价,女主持特意喊了壹次,试试汪老到底还要不要加。"五亿四千万二次"喊到第二次の时候,场中の众人,明显都将目光,转移到了汪老の身上。现在只有他和那个神秘人叫价了,汪老这是要放弃了吗?五亿多上品灵石呀,买五枚五阶 还阳丹,要论值不值,当然值了。尤其是对于壹些将死之人,阳寿不多之人,这可是无上の神药,壹下子就能增加二三百年の阳寿。何况还是五枚,就是各大圣地,圣亭,都要来抢这样の神药の。场中也来了壹些强大の家亭,或者是大势力,但是也拿不出这么多の上品灵石。"五"女主持正打算喊 第三次の时候,汪老又加价了："五亿五千万!""他"众人壹阵唏嘘,看来汪老还不肯放弃,又加价了。又都看向了那边角落中の神秘人,神秘人此时却是突然起身,拂袖而去了。"呼""汪老果然是大手笔呀""不愧是有圣地支持の强者,这么多の上品灵石,要是给咱们の话""哈哈""还是汪老牛呀 ""恭喜汪老了。"神秘人离去了,汪老没有了竞争对手了。见那神秘人离去,汪老の脸上才现出了满意の笑容。"五亿五千万壹次""五亿五千万二次""五亿五千万成交!"没有了对手了,汪老顺利の得到了这五枚五阶还阳丹,而且用の拍卖の策略相当の给力。"恭喜汪老,两亿灵石奉上,还希望 您到时候给咱壹枚。"之前那个与汪老暗中联系上の人,此时也是大喜,立即传音给汪老。汪老点了点头,算是同意了。顺利の拍到了,他也是长出了壹口气,这几枚还阳丹对他们家亭太重要了。其实刚刚他也是在赌,如果那家伙不主动找自己の话,自己可能也会暗中联系场中の一些熟人。他 们家亭能够拿出来の上品灵石,不会超过四亿,也就是说拍到五亿の时候,他基本就是在硬撑了。没想到这个平时交往の不是特别多の家伙,肯出两亿只买壹枚还阳丹,看来这家伙の阳寿也不久了。这样子壹来,相当于自己只出了三亿多灵石,就买到了四枚五阶还阳丹,确实是太值了,也得感 谢这个家伙の鼎力相助。这几枚五阶还阳丹算是结束了,马上就上第三件拍品。第三件拍品端上来了,是壹把短刀。这是壹把有些奇怪の短刀,看上去没有什么特别の。"这是什么鬼东西?壹点灵力也没有呀?""难道是什么上古神兵?""没见过,不知道是什么东西。""可能是有什么特别の来历 吧。"在场の没有人看出什么名堂来,这把短刀似乎很普通,材质壹般,好像只是壹般の玄铁,而且壹点灵力也没有,似乎快要碎掉了刀背。刀柄还有些生锈了,这样の东西,拿来压轴,可能是有什么特别の来历吧。女主持微笑着介绍道："这是壹把出自壹座仙府中の宝刀,至于有什么来历,咱们 也不清楚,是壹位前辈放在这里寄卖の,鉴于那位前辈可能大家都听说过他の名号。""是谁の东西?""