C086.专题复习-圆周运动类问题(上)

专 题 复 习 — 圆周运动类问题 ( 上 )
庞留根 吕叔湘中学 2007年7月 Email: dyszplg@
专题复习 —圆周运动类问题 (上) 一、命题趋向与考点 二、复习精要 向心力来源 处理圆周运动的方法和注意点 绳、杆模型 天体的运动研究思路及方法 天体的有关数据 （一）重力场中的圆周运动问题. 例1 例2 05年广东卷14 06年江苏省盐城中学模拟17 （二） 天体(卫星)运动类问题 练习 05年广东卷15 2006年江苏卷14 2006年全国卷Ⅰ16 2006年广东卷17 2006年天津理综卷25 例3 (三) 综合力作用下的圆周运动问题. 例4 例5 2005年上海卷23
R
b
题目
C
a
2页
B
3页
末页
解:
（1） 对a球：3mg+mg=mva2/R
v a 4 gR
对b球：mg - 0.75mg = mvb2/R
vb
1 gR 4
4R S a v a t 4 gR 4R g SB vBt 1 4R gR R 4 g
b ∴Sa—Sb=3R
④当 v Lg 时， FN随v增大 而增大，且FN ＞0（ FN为拉力， 方向指向圆心）
v
FN2
L
FN1 mg O
4、天体的运动研究思路及方法： (1) 基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需 要的向心力由万有引力提供，即： Mm v2 4 2 G 2 m m 2 r m 2 r r r T (2) 估算天体的质量和密度 Mm 4 2 4 2 r 3 由 G 2 m 2 r 得：M ．即只要测出环绕 2 r T GT 星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计 算出中心天体的质量. 3 3r M 4 3 由 , ,V R 得： 2 3 GT R V 3 R为中心天体的星体半径 3 特殊:当r＝R时，即卫星绕天体M表面运行时， GT 2 由此可以测量天体的密度.
例2、 如图示,M为悬挂在竖直平面内某一点O的木质小球， （可以看作质点）悬线长为L，质量为m 的子弹以水平初 速v0射入球在中而未穿出,要使子弹射入小球后，小球能 在竖直平面内运动，悬线始终不发生松弛,求子弹的初速 度v0的大小应满足的条件（不计空气阻力） 解： 若小球能在竖直平面内作圆周运动，到最高点的速度为V m1V2 / L ≥ m1 g 式中m1 =(M+m) 由机械能守恒定律 1/2 m V2+m g×2L= 1/2 m V 2 O
1 1 1 1
V1 5 gL v0 由动量守恒定律 m v0 = (M+m) V1 m M m M v0 5 gL m 2 若小球只能在下半个圆周内作摆动 1/2 m1V2 =m1gh ≤m1gL m M V2 2 gL v0 2 gL m
05年广东卷14 14.如图所示,半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直 平面内,半圆环与粗糙的水平地面切于圆环的端点A.一 质量为m=0.10kg的小球,以初速度v0=7.0m/s在水平地面 上向左作加速度a=3.0m/s2 的匀减速直线运动，运动 4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。求A、 C间的距离（取重力加速度g=10m/s2）。 vA2 -v02 =-2as 解: 匀减速运动过程中有 mg=mvB12 / R 恰好能做圆周运动,在最高点B满足 ∴ vB1=2m/s 假使物体能到达半圆环最高点B, 由机械能守恒定律: B 2 =2mgR+ 1/2 mv 2 1/2 mvA B
题目
2页
3页
末页
（3）球从水平半径右端点C到最高点过程中， , 由机械能守恒定律 1 1 2 2 va 2 6 gR 对a球： mv a mv a 2 mg R 2 2 9 1 1 2 2 vb 2 gR 对b球： mv b mv b 2 mg R 4 2 2
1、重力场中的匀速圆周运动：明确天体运动的向 心力是由万有引力来提供的，常见问题如计算天体 质量和密度，星体表面及某一高度处的重力加速度 和卫星运行的变轨等。不同星球表面的力学规律相 同，但g不同，解决该类问题应注意求解该星球表 面的重力加速度。
2、竖直圆轨道的圆周运动：质点在竖直面内的圆周 运动的问题是牛顿定律与机械能守恒应用加小球通过 最高点有极值限制的综合题,解题的关键在于判断不同 约束条件下的速度临界问题。
3、绳、杆模型——圆周运动的两种临界问题 （1） 绳的模型:如图所示，没有物体支承的小球，在 竖直平面作圆周运动： 最高点F1+mg=mv12/R, 最低点F2 -mg=mv22/R ①过最高点临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力 的作用。 v临界 Rg 由mg=mv2/R 得 注意：如果小球带电,且空间存在电、磁场时，临界 条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹 v 1 力的合力等于向心力, 此时临界速度 R F1 mg v临界 Rg OF 2 ②能过最高点条件：v≥v临界 ③不能过最高点条件：v<v临界 mg
r月地=3.84×108m t23=1.28s
（一）重力场中的圆周运动问题. 例1 长L的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球, 现使小球在竖直平面内作圆周运动,小球通过最低点和最 高点时所受的绳拉力分别为T1和T2 ( 速度分别为v0和v ). 求证：(1)T1－T2＝6mg (2) v 0 5 gL v 证明：(1)由牛顿第二定律，在最低点和 mgT2 最高点分别有： O T1－mg＝mv02/L ① T2＋mg＝mv2/L ② L T1 T1－T2＝2mg＋(m/L)(v02－v2) ③ v0 由机械能守恒得：mv02/2＝mv2/2＋mg2L， mg 得：v02－v2＝4gL ④ 由③、④两式得：T1－T2＝6mg (2)由②式知，由于绳拉力T2≥0，可得 v gL 代入④式得： v 0 5 gL
Mm v2 ①由 G 2 m r 得: r r
v
即轨道半径越大，绕行速度越小

GM r GM r3
Mm ②由 G 2 m 2 r 得: r
即轨道半径越大，绕行角速度越小 即轨道半径越大，绕行周期越大
r3 Mm 4 2 ③由 G m 2 r 得: T 2 GM r2 T
（5）地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它 的周期T＝24h． 要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定 高度h． 即: 周期一定, 高度一定, 位置一定, 三颗卫星覆盖赤道 Mm 4 2 m 2 ( R h) 由: G 得： 2 ( R h) T 4 2 h3 R 3.6 104 km 5.6 R R表示地球半径 GMT 2 （6）对于人造卫星运动应注意 ①圆周运动的轨道问题----圆轨道的圆心必过地心 ②发射速度与运行环绕速度的区分 ③同步卫星与近地卫星的区分 ④人造卫星的圆周运动与地球自转的圆周运动的区分
∴ vB=3 m/s
R A
v0 C
因为vB > vB1 小球能通过最高点B,
小球从B点作平抛运动, B→C 有 2R=1/2 gt2
SAC =vB t 解得 SAC =1.2m
06年江苏省盐城中学模拟17、 17、如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖 直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进 入管内，a通过最高点A时，对管上部的压力为3mg， b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg。求： （1）a、b两球落地点间的距离； （2）a、b两球通过光滑半圆管最低点B时圆管对 a、b两球的弹力如何？ （3）a、b两球通过光滑半圆管水平半径右端点C时 圆管对a、b两球的弹力如何？ A
题目
A R
a
2页
C
B
3页
末页
（2）球从最低点到最高点过程中,由机械能守恒定律 1 1 2 2 对a球： mv a mv a1 mg 2 R va 1 8 gR 2 2
1 1 2 2 对b球： mv b mv b1 mg 2 R 2 2
v b1
17 gR 4
球在最低点受力分析，根据牛顿第二定律得 2 va1 N a1 9mg 对a球： N a 1 mg m R 2 21 v b1 N b1 mg N b1 mg m 对b球： 4 R
球在水平半径右端点C受力分析,由牛顿第二定律得
对a球： 对b球：
2 va 2 Na2 m R 2 vb 2 N b2 m R
N a 2 6mg
N b2 9 mg 4
Hale Waihona Puke 题目2页3页末页
(二) 天体(卫星)运动类问题 2005年江苏卷5.某人造卫星运动的轨道可近似看作 是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星 到地心的距离从r1慢慢变到r2 ，用EK1 、EK2分别 表示卫星在两个轨道上的动能， 则 （ B ） A . r1 < r2, EK1 < EK2 C. r1 < r2, EK1 > EK2 B. r1 > r2, EK1 < EK2 D. r1 > r2, EK1 > EK2
二、复习精要 1.圆周运动的问题重点是向心力的来源和运动的规律, 主要利用F向=mv2/R=mω2R=m(4π2/T2) R求解. 对于匀速圆周运动,合外力为向心力,利用F向=mv2/R, 求 解. (1)匀速圆周运动： 受力特征——合外力大小不变，方向始终与速度垂直 且指向圆心 运动特征——速度和加速度大小不变，方向时刻变化 的变加速曲线运动 (2)非匀速圆周运动： 受力特征——合外力大小和方向都在变,一方面提供圆 周运动所需的向心力,另一方面提供切向分力以改变速 度的大小 运动特征——速度和加速度的大小及方向都在变化的 变加速曲线运动
⑶向心力来源：
①在重力场中天体运动：F万=F心 ②在匀强磁场中—带电粒子的匀速圆周运动: F洛=F心 ③在电场中—原子核外电子绕核的旋转运动: