人教版数学八年级勾股定理复习学案(知识点)

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《勾股定理》复习学案(单元复习)

《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ，化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系是小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为。

八年级数学下册勾股定理复习学案新人教

勾股定理学习目标1.掌握直角三角形的边.角之间所存在的关系.2.熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.导学过程【课前导学】1.勾股定理：（即：）公式的变形：（1）=2c ，=c（2）=2a ，=a （3）=2b ，=b2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长c b a ,,满足，那么这个三角形是 .3.满足的三个正整数，称为勾股数。

例如：4.互逆命题和互逆定理互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的恰为第二个命题的，而第一个命题的恰为第二个命题的，像这样的两个命题叫做．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的．互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是，那么它也是一个称这两个定理互为，其中一个叫做另一个的逆定理。

【典例点击】例1．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．例2．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？【达标检测】1.右图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2.在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c ．3.已知一个Rt △ABC 的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是4.已知a ，b ，c 为⊿ABC 三边，a=6，b=8，b<c ，且c 为整数，则c= ．5.若直角三角形的两直角边长为b a ,,且满足04962=-++-b a a ，则该直角三角形的斜边长为多少？6．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．7．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为多少？斜边上的高是多少？【课后作业】一．选择题1.如图：带阴影部分的半圆的面积是 .2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：①3.4.5 ②5.12.13③8.15.17 ④ 4.5.6，其中能够成直角三角形的有3．下列各命题的逆命题成立的是（）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等二．解答题1．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，已知旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．2．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是多少？3.若△ABC 的三边c b a ,,满足条件c b a c b a 262410338222++=+++,试判定△ABC 的形状.5．如图所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ．现将梯子的底端A 向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降到B′，那么BB′也等于1m 吗?6 8 8m O B ′ B AA ′2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若分式22x x -+有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．x=2 B ．x=-2 C ．x≠2 D ．x≠-22．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．64．分式12x x --有意义的条件是（） A ．1x ≠B ．2x ≠C ．1x ≠且2x ≠D ．1x ≠或2x ≠ 5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A ．正方形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．正五边形6．如果一组数据1、2、x 、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（）A ．1B ．2C ．5D ．67．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的（）．A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点8．二十一世纪，纳米技术将被广泛应用，纳米是长度计量单位，1 纳米=0.000000001 米，则 5 纳米可以用科学记数法表示为( )A ．9510⨯米B ．85010-⨯米C ．9510-⨯ 米D ．8510-⨯ 米9．运用分式的性质，下列计算正确的是（）A．632x xx = B ．0x y x y +=+ C ．a x a b x b +=+ D ．1x y x y-+=-- 10．如图，已知平行四边形ABCD 中，4,B A ∠=∠则C ∠=( )A ．18B ．36C ．72D ．114二、填空题 11．若△ABC 的三边长分别为5、13、12，则△ABC 的形状是．12．关于x 的一元一次不等式组2152x x m ->⎧⎪⎨+≤⎪⎩中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则m 的值是_______．13．某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm ，若甲跳远成绩的方差为2S 甲=65.84，乙跳远成绩的方差为2S 乙=285.21，则成绩比较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）14．约分32366ab c abc=___________． 15．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ） 185 180 185 180方差 3.6 3.6 7.4 8.1___________． 16．在平面直角坐标系中有一点()5,12P -，则点P 到原点O 的距离是________．17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．三、解答题18．如图(甲)，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．(1)求证:CE CF =；(2)在如图(甲)中，若G 在AD 上，且45GCE ∠=︒，则GE BE GD =+成立吗？证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题:如图(乙)四边形ABCD 中，AD ∥BC (BC ＞AD )，90B ∠=︒，6AB BC ==,点E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，2BE =，求DE 的长．19．（6分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明△CEF 是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．20．（6分）如图，直线343y x =-+与x 轴相交于点A ，与直线3y x =相交于点P ．(1)求点P 的坐标．(2)请判断△OPA 的形状并说明理由．(3)动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动(E 不与点O 、A 重合)，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式．21．（6分）解方程：(1)11322x x x-=--- (2)24120x x --=22．（8分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O .若∠AOD =120°，AB =3，求AC 的长.23．（8分）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16分钟回到家中．设小明出发第t分钟的速度为v米/分，离家的距离为s米．v与t之间的部分图象、s与t之间的部分图象分别如图1与图2（图象没画完整，其中图中的空心圈表示不包含这一点），则当小明离家600米时，所用的时间是（）分钟．A．4.5 B．8.25 C．4.5 或8.25 D．4.5 或8.524．（10分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由.25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别()1,3A ，()2,1B ，()24,C ，以坐标原点为位似中心，在第三象限画出与ABC ∆位似的三角形，使相似比为2:1，并写出所画三角形的顶点坐标.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】根据分式有意义分母不能为零即可解答.【详解】∵分式x 2x 2-+有意义，∴x+2≠0，∴x≠-2.故选：D.【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式分母不能为零是解题的关键点.2．B【解析】【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=1AC，2同理HG∥AC，HG=1AC，2∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=1BD，AC=BD，2∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B．【点睛】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．3．A【解析】【详解】作DE⊥AB于E，∵AB=10，S△ABD =15，∴DE=3，∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，故选A.4．B根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：x-2≠0，∴x≠2故选：B．【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．5．A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选A正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D错误．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．详解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，∴x=6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选C.点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.7．D【解析】【分析】根据角平分线的性质求解即可．【详解】到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点故答案为：D．【点睛】本题考查了到三角形三条边距离相等的点，掌握角平分线的性质是解题的关键．试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：5纳米=5×10﹣9，故选C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．D【解析】【分析】根据分式的分子分母都乘以（或者除以）同一个整式，分式的值不变，可解答【详解】A、分子分母都除以x2，故A错误；B、分子分母都除以（x+y），故B错误；C、分子分母都减x，分式的值发生变化，故C错误；D、分子分母都除以（x﹣y），故D正确；故选：D．【点睛】此题考查分式的基本性质，难度不大【分析】由平行四边形的邻角互补得到A ∠的度数，由平行四边形的对角相等求C ∠．【详解】解：因为：平行四边形ABCD ，所以：180A B ∠+∠=︒，A C ∠=∠，又因为：4,B A ∠=∠所以：5180A ∠=︒，解得：36A ∠=︒，所以：36C ∠=︒．故选B ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的角的性质是解题关键．二、填空题11．直角三角形【解析】【分析】熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．即可得出.【详解】22251213+=∴△ABC 是直角三角形.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键.12．m=1解不等式2152x x m ->⎧⎪⎨+≤⎪⎩，表达出解集，根据数轴得出251m -=-即可．【详解】解：不等式2152x x m ->⎧⎪⎨+≤⎪⎩①②，解不等式①得：1x <解不等式②得：25x m ≤-，由数轴可知，251m -=-，解得m=1，故答案为：m=1．【点睛】本题考查了根据不等式的解集求不等式中的参数问题，解题的关键是正确解出不等式组，根据解集表达出含参数的方程．13．甲．【解析】试题分析：∵2S 甲=65.84，2S 乙=285.21，∴2S 甲＜2S 乙，∴甲的成绩比乙稳定．故答案为甲．考点：方差．14．26b c【解析】【分析】32366ab c abc =26b c,（分子分母同时除以6abc ）. 【点睛】本题考查了分式的变形和化简,属于简单题,熟悉分式的性质是解题关键.15．甲【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．【详解】解：∵x x x x =>=甲乙丁丙，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵S 甲2=S 乙2＜S 丙2＜S 丁2，∴选择甲参赛；故答案为：甲．【点睛】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．16．13【解析】【分析】根据点的坐标利用勾股定理，即可求出点P 到原点的距离解：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离为：22+=，51213故答案为：13.【点睛】本题主要考查学生对勾股定理和点的坐标的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.17．42【解析】【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E，通过证明△ADF≌△ABC来证明四边形ABCD为菱形，从而得到AC与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.【详解】解：连接AC和BD，其交点为O，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD==故本题答案为：【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.三、解答题18．（1）见解析；（1）成立，理由见解析；（3）5【解析】分析：（1）因为ABCD 为正方形，所以CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE ，则△BCE ≌△DCF ，即可求证CE=CF ；（1）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE ≌△DCF ，所以∠ECG=∠FCG ，CE=CF ，CG=CG ，则△ECG ≌△FCG ，故GE=BE+GD 成立；（3）①过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于点G ，利用勾股定理求得DE 的长.详解：（1）在正方形ABCD 中 CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．CB CD B CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCF （SAS ）．∴CE=CF ．（1）GE=BE+GD 成立．理由如下： ∵∠BCD=90°，∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE ≌△DCF （已证）， ∴∠BCE=∠DCF ．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°． ∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG 和△FCG 中，CE CF ECG FCG CG CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．∴GE=FG ．∵FG=GD+DF ，∴GE=BE+GD ．（3）①如图1，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，由（1）和题设知：DE=DG+BE，设DG=x，则AD=6-x，DE=x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD1+AE1=DE1，∴（6-x）1+31=（x+3）1，解得x=1．∴DE=1+3=5.点睛：此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．19．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC 的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴△CEF是等腰三角形；（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AC ＝12AB ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．20．（1）(2,；（2）△POA 是等边三角形，理由见解析；（3）当0＜t≤4时，28=S ，当4＜t ＜8时，28=-+-S 【解析】【分析】（1）将两直线的解析式联立组成方程组，解得x 、y 的值即为两直线的交点坐标的横纵坐标；（2）求得直线AP 与x 轴的交点坐标（4，0），利用OP=4PA=4得到OA=OP=PA 从而判定△POA 是等边三角形；（3）分别求得OF 和EF 的值，利用三角形的面积计算方法表示出三角形的面积即可．【详解】解：（1）解方程组y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴点P的坐标为：(2,；（2）当y=0时，x=4，∴点A 的坐标为（4，0）．∵44OP PA ====，∴OA=OP=PA ，∴△POA 是等边三角形；（3）①当0＜t ≤4时，如图，在Rt △EOF 中，∵∠EOF=60°，OE=t ，∴EF=32t ，OF=12t ， ∴21131322228S OF EF t t t =••=⨯⨯=．当4＜t ＜8时，如图，设EB 与OP 相交于点C ，∵CE=PE=t-4，AE=8-t ，∴AF=4-12t ，3)t -， ∴OF=OA-AF=4-（4-12t ）=12t ， ∴1113()(4))222S CE OF EF t t t =+•=-+-=2+-；综合上述，可得：当0＜t≤4时，2=S ；当4＜t ＜8时，2=+-S . 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合知识，解题的关键是正确的利用一次函数的性质求与坐标轴的交点坐标并转化为线段的长．21．（1）原方程无解；（1）x ＝6或x ＝－1．【解析】【分析】（1）先去分母，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得答案；（1）利用因式分解法进行求解即可得.【详解】（1）两边同乘（x-1），得1＝x －1－3(x －1)，解得：x ＝1，检验：x ＝1时，x －1＝0，x ＝1是原方程的增根，原方程无解；（1）因式分解，得(x －6)(x ＋1)＝0 ，x －6＝0或x ＋1＝0，x ＝6或x ＝－1．【点睛】本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法、注意事项以及一元二次方程的解法是解题的关键.22．1【解析】【分析】依据矩形的性质可知△AOB是等边三角形，所以AO=AB=3，则AC=2AO=1．【详解】解：∵在矩形ABCD中，∴AO=BO=CO=DO．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=10°．∴△AOB是等边三角形．∴AO=AB=3，∴AC=2AO=1．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线相等且互相平分，则其分成的四条线段都相等．23．D【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以求得小明从家去和返回时两种情况下离家600米对应的时间，本题得以解决．【详解】解：由图2可得，当2＜t＜5时，小明的速度为：（680-200）÷（5-2）=160m/min，设当小明离家600米时，所用的时间是t分钟，则200+160（t-2）=600时，t=4.5，80（16-t ）=600时，t=8.5，故选：D ．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（1）10300y x =-+（830x ≤<）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚.【解析】【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x 的取值范围；（2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求得；（3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得.【详解】（1）设 y kx b =+，将点（10，200）、（15，150）分别代入，则1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩， ∴10300y x =-+，∵蜜柚销售不会亏本，∴x 8≥，又0y >，∴103000x -+≥ ，∴30x ≤，∴ 830x ≤≤ ；（2）设利润为w 元，则 ()()810300w x x =--+=2103802400x x -+-=2210(19)1210x x --+，∴ 当19x = 时， w 最大为1210，∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元；(3) 当19x = 时，110y =，110×40=4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚.【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.25．见解析，(2,6)A '--，(4,2)B '--，(8,4)C '--.【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】解：如图所示：，则(2,6)B'--，(8,4)C'--.A'--，(4,2)【点睛】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点(x，y)，经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(-kx，-ky).2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．数据2，6，4，5，4，3的平均数和众数分别是（）A．5和4 B．4和4 C．4.5和4 D．4和52．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击了10次、甲、乙两人的成绩如表所示，丙、丁两人的成绩如图所示.欲选一名运动员参赛，从平均数和方差两个因素分析，应选（）.甲乙平均数9 8方差 1 1A．甲B．乙C．丙D．丁3．下列各组多项式中，没有公因式的是（）A．ax﹣bx和by﹣ay B．3x﹣9xy和6y2﹣2yC．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b24．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，﹣1）5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则BC的长为（）A．4 B．6 C．7 D．86．如图，OA＝3，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A．64327B．233C．169D．3297．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是()A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3)8．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等9．若1|2|0a b ++-=，则不等式0ax b +≤的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 中，ABDC ，8AD BC ==，10AB =，6CD =，则四边形ABCD 的面积是（）．A ．1615B ．165C ．3215D ．1617二、填空题 11．每本书的厚度为0.62cm ，把这些书摞在一起总厚度h （单位：cm ）随书的本数n 的变化而变化，请写出h 关于n 的函数解析式_____．12．若平面直角坐标系内的点M 在第四象限，且M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则点M 的坐标为_________________．13．直线4y x =+与坐标轴围成的图形的面积为________.14．对于反比例函数3y x =，当1x <-时，y 的取值范围是__________． 15．若a 2﹣5ab ﹣b 2＝0，则a b b a-的值为_____． 16．一次函数y=ax+b 与正比例函数y=kx 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x 的不等式ax+b≥kx 的解集为______．17．因式分解：x 2﹣x=______．三、解答题18．先化简，再求值22226951222a ab b b a b a ab a b a⎛⎫-+÷--- ⎪--⎝⎭，其中a ＝3，b ＝﹣1． 19．（6分）如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝CE ，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图．(1)在图1中，画出∠DAE 的平分线；(2)在图2中，画出∠AEC 的平分线．20．（6分）如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，交BF 于点C ．(1)求证：AB ＝BC ；(2)尺规作图：在AE 上找一点D ，使得四边形ABCD 为菱形(不写作法，保留作图痕迹)21．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，E F 、分别为边长AB CD 、的中点，连结DE BF BD 、、．若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．22．（8分）如图所示,在边长为1的网格中作出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90∘,再向下平移2格后的图形△A′B′C′.23．（8分）在今年“绿色清明，文明祭祀”活动中，某花店用1200元购进若干菊花，很快售完，接着又用3000元购进第二批菊花，已知第二批所购进菊花的数量是第一批所购进菊花数量的2倍，且每朵菊花的进价比第一批每朵菊花的进价多1元.（1）求第一批每朵瓶菊花的进价是多少元？（2）若第一批每朵菊花按5元售价销售，要使总利润不低于1500元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是多少元？24．（10分）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程=1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于x的分式方程，得x=a+1．由题意可得a+1＞0，所以a＞﹣1，问题解决．小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠1，即a+1≠1才行．（1）请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．25．（10分）如图，在△ABC中，AB =AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：BD＝CE.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据平均数和众数的概念求解．【详解】这组数据的平均数是：（2+6+4+5+4+3）=4；∵4出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4；故选B．【点睛】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．2．C【解析】【分析】【详解】试题分析：丙的平均数=98910989109910+++++++++=9，丙的方差=110 [1+1+1=1]=0.4，乙的平均数=8988798108710+++++++++=8.2，由题意可知，丙的成绩最好，故选C ．考点：1、方差；2、折线统计图；3、加权平均数3．D【解析】【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【详解】A 、ax ﹣bx ＝x （a ﹣b ）和by ﹣ay ＝﹣y （a ﹣b ），故两多项式的公因式为：a ﹣b ，故此选项不合题意；B 、3x ﹣9xy ＝3x （1﹣3y ）和6y 2﹣2y ＝﹣2y （1﹣3y ），故两多项式的公因式为：1﹣3y ，故此选项不合题意；C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题关键．4．B【解析】【分析】【详解】已知点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，所以B的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案选C.考点：坐标与图形变化﹣平移.5．C【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，且AD=BC，结合角平分线的性质可求得DE=DC=AB=1，则可求得AD的长，可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=1，AD∥BC，AD=BC，∴∠DEC=∠BCE．∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=1．∵AE=3，∴AD=BC=3+1=2．故选C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得DE=DC 是解题的关键． 6．B【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA 1，然后根据30°角的三角函数值求出A 1A 2即可.【详解】解：∵∠OAA1＝90°，OA ∠AOA 1＝30°，∴AA 1＝ 12OA 1，由勾股定理得：OA 2+AA 12＝OA 12，2+（12OA 1 ）2＝OA 12，解得：OA 1＝2，∵∠A 1OA 2＝30°，∴A 1A 2=3故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．7．B【解析】【分析】首先连接AB 交OC 于点D ，由四边形OACB 是菱形，可得AB OC ⊥，AD BD 1==，OD CD 3==，易得点B 的坐标是()3,1-．【详解】连接AB 交OC 于点D ，四边形OACB 是菱形，AB OC ∴⊥，AD BD 1==，OD CD 3==，∴点B 的坐标是()3,1-．故选B ．【点睛】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直.解此题注意数形结合思想的应用． 8．A【解析】试题分析：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选A ．。

人教版八年级下册第17章勾股定理全章复习学案

。
公式变形①：若知道 a ， b ，则 c
；
公式变形②：若知道 a ， c ，则 b
；
公式变形③：若知道 b ， c ，则 a
；
例 1：求图中的直角三角形中未知边的长度： b
，c
.
练一练 (1)在 Rt ABC中，若 C 90 ， a 4 ， b 3 ，则 c
10、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，顶角∠BAC=120°，E、F 分
别为 BD、CD 中点，试求 B、C 两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。（结果保
A
留根号）
B
E
D
F
C
11、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为 AB
边上一点，求证：（1） △ACE ≌△BCD ；（2） AD2 DB2 DE2 ．
课人
年级八年级学科数学授课时间
课题
17 章勾股定理全章复习
课型
复习
学习目标复习勾股定理及其逆定理，利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形
学习关键
重点难点
勾股定理及其逆定理的应用利用定理解决实际问题
学教过程
二次备课
一、知识要点 1：直角三角形中，已知两边求第三边
1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为 a ，b ，c ，C 90 ，则
面时还多 l 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗
杆的高度吗?
A
B
C
练一练
一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为 6cm，杯深 16cm. 今有一根长为 22cm 的吸管如图 2 放入杯中，露在杯口外的

人教版八年级数学下册：第17章勾股定理小结复习导学案

第17章勾股定理小结复习导学案一、复习导入（一）导入课题：本节课我们一起复习“勾股定理”（板书课题）.（二）复习目标：1.复习与回顾本章的重要知识点.2.总结本章的重要思想方法.（三）复习重、难点：重点：勾股定理及其逆定理.难点：综合运用.二、分层复习第一层次学习（一）复习指导1.复习内容：P22页到P39页.2.复习时间：8分钟.3.复习要求：通过课本和笔记复习和回顾本章的重要知识点.4.复习参考提纲：（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有．（2）如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是三角形.（3）如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.（4）两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题. 原命题正确，逆命题正确.（5）一个命题有逆命题，一个定理的逆命题正确，所以它有逆定理(填“一定”或“不一定”).（二）自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.（三）互助学习：1.师助生：明了学情；差异指导.2.生助生：学生自主研讨疑难之处.（四）强化：1.勾股定理及其逆定理.2.强调本章的数学思想方法.第二层次学习（一）复习指导1.复习内容：典例剖析，考点跟踪.2.复习时间：15分钟.3.复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.4.复习参考提纲：例1下列各组数中，不是勾股数的是（）A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17例2如图中，边长x等于5的三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个34x2415 12例2图1 / 22 / 2例3 一束光线从y 轴上点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点 B （3，3），则光线从A 点到B 点经过的路线长是 .例4 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a 、b ，那么(a ＋b)2的值是______．例5 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是AD 中点．求证：CE ⊥BE ．例6 如图，一圆柱形油罐，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，请你算一算梯子最短需多少米？（已知油罐的底面周长是12米，高AB 是5米）（二）自主复习：学生完成复习参考提纲中的例题. （三）互助学习：1.师助生：明了学情；差异指导.2.生助生：学生自主研讨疑难之处. （四）强化：1.点两位学生口答例1、例2；点三位学生板演例3、例4、例5.2.点评其中的易错点. 三、评价：1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.例3图例4图例5图ACBDE F 例6图。

《勾股定理》复习学案(期末复习)

第3题第4题《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的等于斜边c 的，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，那么这个三角形是三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个，称为勾股数。

★注意：1.勾股定理仅适用于三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。

【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝＋。

化简后即为 c 2＝。

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米。

【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1）（2）（3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。

人教版-数学-八年级下册-《勾股定理》复习学案

《勾股定理》复习学案知识框架·唤起回忆一问一答问题1：勾股定理的内容及其应用范围.答：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 应用范围：它适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长.问题2：勾股定理的逆定理的内容及基本应用程序.答：内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定的一般步骤：（1）先确定最大的边（如c）；（2）验证c2与a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，则∠C=90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.此时情况有两种：（1）当a2+b2>c2时，三角形为锐角三角形；（2）当a2+b2<c2时，三角形为钝角三角形.（以上两条了解即可）问题3：勾股定理及其逆定理的发现与证明涉及哪些主要方法？答：（1）一般化与特殊化的方法；（2）割补的方法；（3）构造模型的方法；（4）面积法.知识体系考点1：求线段长例1如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是【】A.3B．4C．5D．6解析：过点D作DE⊥BC于点E，因为BD平分∠ABC，所以AD＝DE，又因为∠A ＝90°，AB ＝4，BD ＝5，所以AD ＝3，故DE ＝3，即点D 到BC 的距离为3．故选A.跟踪训练1 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，BC ＝12，AC ＝9，AB 为【】A ．12B ．13C ．14D ．15例2 某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ．（1）求∠ACB 的大小；（2）求AB 的长度．解析：（1）∵AC ＝BC ，∠A ＝30°，∴∠A ＝∠B ＝30°．∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝180°－30°－30°＝120°；（2）∵AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AB ＝2AD ．在Rt △ADC 中，∠A ＝30°，AC ＝8，则CD ＝4,AD=43,∴AB ＝2AD ＝83（m ）．跟踪训练2 如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC ＝3，求线段AD 的长．考点2：勾股定理的应用例3 某路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若AB ＝4，AC ＝10，∠ABC ＝60°，求B 、C 两点间的距离．解析：过A 点作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝30°．∵AB ＝4，∴BD ＝2，∴AD ＝23．在Rt △ADC 中，∵AC ＝10，∴CD ＝22AC AD -＝10012-＝222．∴BC ＝2＋222．答：B 、C 两点间的距离为2＋222.跟踪训练3 已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？【】A.100B.180C.220D.260考点3：判别直角三角形例4若一个三角形的周长是123cm，一边长为33cm，其他两边之差为3cm，则这个三角形是________________.解析：易知三条边长度分别为33，43，53，由于（33）2+（43）2=（53）2，由勾股定理逆定理得该三角形是直角三角形.跟踪训练4 如图所示，AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC 是直角三角形吗？请说明理由.考点4：互逆命题例5 （1）任何一个命题都有__________；（2）“两直线平行，内错角相等.”的逆定理是________.答案：（1）逆命题；（2）内错角相等，两直线平行.考点5：探索规律例6已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE……依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_____________________．解析：后一个等腰直角三角形的直角边是前一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的斜边长为2，第二个等腰直角三角形的斜边长为2……故第n个等腰直角三角形的斜边长是（2）n．故填（2）n．⊥AB，跟踪训练5如图，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，过直角顶点C作CA1垂足为A1，再过A1作AC1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2……这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，求CA1和.////的值.答案1.D2.解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30°．∴在Rt△ADC中，设CD=x,则AD=2x,由3）2+x2=（2x）2，解得x=1，所以线段AD的长为2．3.C4.解：∠BAC是直角.理由：根据勾股定理，得AC2=5，AB2=20，而BC2=25.所以AC2+AB2=BC2.所以△BAC是直角三角形且∠BAC是直角.5.125，54.。

第十八章勾股定理复习学案

c ba HG F EDCBAbacbac cabcab ac c baED A第十八章勾股定理一、课程学习目标1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。

2、会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。

3、了解勾股数的概念，能识记一些常见的勾股数。

4、能在数轴上找到一些表示无理数的点的位置，如2、13等。

5、了解逆命题、逆定理的概念。

能写出一个命题的逆命题，会判定是否成立。

6、领会和掌握“数形结合”“方程”“转化”“分类讨论”等数学思想方法。

二、本章知识结构图三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是: ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证。

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b=+=++所以222a b c +=方法三：2112S 222ADE ABES S ab c∆∆=+=⋅+梯形，1()()2S a b a b =+⋅+梯形，化简得证。

四、知识要点———经典例题———跟踪练习18.1勾股定理（一）知识要点1、勾股定理：。

2、至少会用三种方法来证明勾股定理。

（二）经典例题例1：直角三角形的两条直角边长分别为5，12，则斜边上的高为。

例2：已知Rt △ABC 的周长为24，∠C=90°，且AB ：AC =5：3，则BC 的长等于（）。

例3：在△ABC 中，090=∠C ，AB=10，（1）若030=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01）（2）若045=∠A ，求BC 、AC 的长（精确地0.01）例4：有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖立放比门高1尺,斜放则恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求门的高度.例5：如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，那么()2b a + 的值为（）A ．13 B.19 C.25 D.169例6：一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动。

(新人教版)数学八年级下册第十七章勾股定理单元复习讲义学案

人教版初中数学八年级下册第十七章句股定理章节复习教学设计一、教学目标z1.复习与回顾本擎的重要知识点；2.勾股定理及其逆定理的用途和相互关系；3.总结本章的重要思想方法及其应用；4.勾股定理及逆定理的综合运用．二、教学过程z 知识网络如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b ，斜边长为c ，那么①a 2+bi＝ι，l .句股定理的变式：（l)c＝乓亏V;(2)a 2=c 2－旷；（3)b 2=C 2-a 2; ( 4 )a ＝正亡,T;(5)b=lc 亡歹．实际问题｜｜｜二二二二｜勾股定理（直角三角形边长的计算）＇逆命题实际问题｜｜勾股定理（判定直角三角形）｜←一一一一｜的逆定理知识梳理一、勾股定理已知直角三角形中的任意两边，均可求出第三边长；已知直角三角形的一边，可确定另两边的数量关系；证明含平方关系的问题等．如果三角形的三边长α，b,c 满足②α2+b 2=/，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a 2+b 2=c 2.两直角边的平方和等于斜边的平方．a：勾般因因回回a i +b i =c 2 c =U 工b2a 2=c 2-b 2 a ＝♂习Tb 2=c 2-a 2b =Jcf"习二、句股定理的实际应用利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(l）读懂题意，分析己知、未知间的关系；(2）构造直角三角形；(3）利用勾股定理等列方程；(4）解决实际问题．转T也题进臼川构’学l l l E ’我旬欣纯理利用三、利用句股定理表示无理数的方法：(1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．(2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数．l i-2-1IA2--1 o 1 2s : 4类似地，利用勾股定理，可以作出长为-./2，飞／言，-./5，…的线段按照同样方法，可以在数轴上画出表示飞斤，d ，飞／言，{'ii,-./5，…的点A一－··四、折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法：(I）设一条未知线段的长为x（一般设所求线段的长为x); (2）用已失I］线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3）在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4）解这个方程，从而求出所求线段长．c AB五、原命题与逆命题'-l唾晦哩，也DEc题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．六、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b, c满足矿＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形AbB c七、句股数如果三角形的三边长a,b, c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数固回回因因常见勾股数：3.4, 5; 6, 8, 10; 5, l2, l3; 8, 15, l7; 7, 24, 25等等．回国团团团回因一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数．如：3, 4, 5; 6, 8, 10: 9, 12, 15; 12, 16, 20…考点梳理考点解析考点1：句股定理的简单应用例1.在Rt.6.ABC中，LC=90。

勾股定理

课题：勾股定理复习学案1．知识点梳理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c =．（2）勾股定理各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边也分别为,,a b c ，则2a =_________，2b =_________，2c =_________．（3）勾股定理的逆定理：在△ABC 中，若,,a b c 三边满足___________，则△ABC 为___________．（4）勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．（5）几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．（6）直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角．直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30︒，那么30︒的角所对的直角边是斜边的．（7）举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？可以从角、边两个方面判断．①从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得A ∠= ，根据定义可判断△ABC 是直角三角形．在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，A 30∠=︒，2B A ∠=∠= °，3C A ∠=∠= °，△ABC 是直角三角形．②从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而2222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是三角形，但这里要注意的是b 所对的角90B ∠=︒．在△ABC 三条边的比为::5:12:a b c = ，△ABC 是直角三角形．8．通过回顾与思考中的问题的交流，由学生自己建立本章的知识结构图．三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用二、典型例题 1．利用勾股定理求边长．例1 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．跟踪训练1:一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它斜边上的高线长为A. 5B. 2.5C. 2.4D. 22．利用勾股定理求图形面积．（1）如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，Af 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积．3．利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度．例3 在△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，，且2()()a b a b c +-=，则（A ）A ∠为直角（B ）C ∠为直角（C ）B ∠为直角（D ）不是直角三角形跟踪训练3:已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状． ①41409a b c ===，，； ②222220a m n b m n c mn m n =-=+=>>，，（）．4．勾股定理及逆定理的综合应用．例4 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？跟踪训练4:如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON =30°.公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时， A 处受噪音影响的时间为．{例5 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）dm．A．20 B．25 C．30 D．35三、巩固练习1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，32．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）．A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）．A．2 B．4 C．8 D．164．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）．A. 25B. 14C. 7D. 7或255．如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）四、拓展提升1．已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1410a b c m c c m +==，，求Rt △ABC 的面积．2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m ，坡角30906A B BC ∠=︒∠=︒=，，m ．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ m 时，有222DC AE BC =+．3．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD ＝80cm ，高AB ＝60cm ，水深AE ＝40cm .在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60cm ，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．4．如图，铁路上A ，B 两点相距25 km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？第一章勾股定理单元测试题一、选择题．（共10道小题，每题3分，共30分）1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）．A．1cm，3cm，3 cm； B．2 cm，3 cm，4 cm；C．4 cm，6 cm，8 cm； D．5 cm，12 cm，13 cm．2．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边的长的平方为（）．A．5 B．7 C．25 D．25或73．三角形的三边长分别为5，12，13，边长为12的边上的高为（）.A．5 B．12 C．13 D．60 134．已知一个直角三角形的斜边长比直角边长多2，另一条直角边长为8，则斜边长为（）．A．12 B．6 C．17 D．155．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AE=4，DF=2，图中有（）个直角三角形．A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．下列条件中，不能．．判断一个三角形是直角三角形的是A. 三个角的比为1:2:3B. 三条边满足关系a2 ＝b2 - c2C. 三条边的比为1:2:3D. 三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A7．如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）．A. 14B. 16C. 20D. 288．如图，在△ABC中，AC=10，DC=6，AD=8，BC=21，则AB 的长为（）.A. 15B. 16C. 14D. 179．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）．A．3cm2B．4cm2 C．6cm2 D．12cm210．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1mB．大于1m C．等于1mCBDFD ．小于或等于1 m二、填空题．（共10道小题，每题3分，共30分）11．如图，数轴上点A 表示的数是__________．12．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m 处折断倒下，旗杆顶不落在离旗杆底部4m 处，则旗杆折断之前的高度是．14．如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B = 90，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段DN 的长为．17．如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．18．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm ,30 cm ,在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从P 处爬到C 处去吃，有多种走法，则最短路程是．20．如图，在一个长方形草坪ABCD 上，放着一根长方体的木块，已知AD =6米，AB =5米，该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A 处爬过木块到达C 处需要走的最短路程是_________米．三．解答下列各题．21．如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长，已知滑梯的高CE =BD =3m ，CD =1m ，求滑道AC 的长．（6分）22．如图，已知四边形ABCD 中，AB =15，BC =20，AD =7，CD =24，∠B =90○，求四边形ABCD 的面积. （6分）23．如图，25米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为7米,如果梯子的顶端沿墙下滑4米,那么梯足将向外移多少米?（6分）24．如图正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识．（6分）（1）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．（2）求△ABC 的面积．25．构造定义（8分）学习了勾股定理及其逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，反之结论也成立。

《勾股定理》学案

《勾股定理》复习学案第1讲勾股定理（1）一、勾股定理1．勾股定理的具体内容用字母表示为：。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；3. 若∠A=30°，三边之间的关系：；4. 若∠A=45°，三边之间的关系：；5. 若D是斜边AB的中点，则有＝＝；二、回顾勾股定理的证明：你能用这个图形证明勾股定理吗？二、课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

3.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高；⑵求S△ABC。

三、课堂检测：1．填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

4，AC=4，AD是BC边上的高，求BC 2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=3的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

第2讲勾股定理（2）一、求出下列直角三角形中未知的边．归纳：（1）在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？应该注意哪些问题？（2）直角三角形中哪条边最长？它所对的是什么角？二、探究11.在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 的长2．在矩形中，如何确定直角三角形模型？3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？6 10 A C B 2 45° A 15C B 2 30°三．探究2如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①球梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．四、课堂检测：1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

八年级勾股定理复习教案

复习课勾股定理【知识系统】1、勾股定理：假如直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为 c，那么。

即直角三角形两直角边的等于。

2、勾股逆定理：假如直角三角形三边长a、b、c 知足，那么这个三角形是三角形。

（且∠=90°）注意：（1）勾股定理与其逆定理的差别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判断定理，它不单能够判断三角形能否为直角三角形，并且能够判断直角三角形中哪一个角为直角，这类利用计算的方法来证明的方法，表现了数形联合的思想。

（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且 c 为最大边时，222①若 a +b =c ，则∠ C 为直角；222②若 c >a +b ，则∠ C 为钝角；③若 c2<a2+b2，则∠ C 为锐角。

（3）知足条件 a2+b2 =c2的三个整数，称为勾股数。

常有的勾股数组有： 3、4、5； 5 、12、13； 8 、15、17； 7 、24、25； 20 、21、29； 9 、40、41；这些勾股数组的整数倍仍旧是勾股数组。

3、最短距离：将立体图形睁开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

222注意：（ 1）勾股数是一组数据，一定知足两个条件：①知足a b c；②三个数都为正整数。

【考点应用】【题型一勾股定理定理的应用】1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和 4cm,求第三边的长。

2、（ 1）一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），假如梯子的顶端沿墙下滑0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动米A8B6C第 1题图第 2题图第 3题图（2）如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，假如梯复习课子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，（填“ >”，“ =”，或“ <”）（3）如图，梯子 AB 斜靠在墙面上， AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯足B 沿 CB 方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（）A. x=yB. x>yC. x < yD. 不可以确立（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳索垂到地面上还多 1 m ，当他把绳索的下端拉开 5 米后，发现绳索下端恰巧触到地面，试问旗杆的高度为米【题型二勾股定理逆定理的应用】 1、怎样判断一个三角形是直角三角形：① 先确立最大边（如 c ）；② 考证 c 2 与 a 2b 2 能否拥有相等关系③ 若 c 2 = a 2 b 2 ，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形；若 c 2 ≠ a 2 b 2 ，则△ ABC 不是直角三角形。

人教版八年级下册第十七章勾股定理复习学案

C：△ABC的面积是60 D：△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
4、下列定理中,没有逆定理的是（）
A：两直线平行，内错角相等B：直角三角形两锐角互余
C：对顶角相等D：同位角相等，两直线平行
5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A： B： C Nhomakorabea D：3
6、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（）
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c，满足，那么这个三角形是直角三角形。
3.逆命题，逆定理
①逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题
②逆定理：如果一个定理的逆定理经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理
22.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长。
收获（效果）评价
○有收获○没有收获
说明：
学生签字：
教师评定
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
说明：
教
研
部
建
议
主管签字：
年月日
4.勾股数
（1）满足的三个正整数a,b,c称为勾股数
（2）对于任意两个整数m,n（m>n>0）, ，这三个数就是一组勾股数。
（3）常见的勾股数：①3,4,5②6,8，10③8,15,17④7,24,25⑤5,12,13⑥9,12,15
练习：
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）

人教版数学八年级下册第十七章《勾股定理(1)》复习学案

勾股定理复习〔1〕学习目标1.理解勾股定理的内容，直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一、复习回忆在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此根底上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半局部学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识构造如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理提醒了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法〞．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．2.勾股定理逆定理“假设三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为________.〞这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS 〞证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1〕直角三角形的两边，求第三边；(2〕在数轴上作出表示n 〔n 为正整数〕的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，表达了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，假设222c b a =+，那么三角形是直角三角形；假设222c b a >+，那么三角形是锐角三角形；假设2<+c b a 22，那么三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．三、随堂练习1.如果以下各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为〔〕A ． 6B ． 36C ． 64D ． 84.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为〔〕A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？假设是，哪个角是直角四、课堂检测1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距〔〕A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，那么旗杆的高为〔〕A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm3．在△ABC中，∠C＝90°，假设a＝5，b＝12，那么c＝＿＿＿4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，那么它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，那么它的面积是＿＿7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，门宽4尺．求竹竿高与门高．8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？五、小结与反思图3。

八年级数学下册17勾股定理复习导学案新人教版

第17章勾股定理一、知识梳理1。

勾股定理：直角三角形中的平方和等于的平方．即：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么．2。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．3。

如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设正好相反，那么把这样的两个命题叫做 ,如果把其中叫做原命题,另一个叫做它的_________.4。

一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个__________,我们称这两个定理为 .5、应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题,在应用定理时,应注意：（1）没有图的要按题意画好图并标上字母；(2)不要用错定理（3）求有关线段长问题,通常要引入未知数,根据有关的定理建立方程，从而解决问题;(4）空间问题要通过它的展开图转化为平面图形来解决二、题型、技巧归纳考点一勾股定理及逆定理例1、下列说法正确的是（）A。

若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C。

若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2＋b2＝c2D。

若 a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90° ，则a2＋b2＝c2例2、(1）已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿度；(2)△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为＿＿＿＿.考点二互逆命题【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a＝b，则|a｜＝|b｜ B．全等三角形的周长相等C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形考点三勾股定理的应用【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:AB2－AP2=PB·PC。

三、随堂检测1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252．下列各组数中，以a,b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1。

八年级下册数学人教版勾股定理初步知识复习教案

勾股定理应用初步复习教案1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是。

一、内容讲解知识点一：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2=c2）例1、在Rt△ABC，∠C=90°，已知a=1,c=2, 求b。

A变式练习：在Rt △ABC ，∠C=90°，已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

知识点二：勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若AB，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b例1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=32，c=4；变式训练：如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P . 求证：222BC AP BP +=.知识点三：勾股定理考点题型考点1、已知两边求第三边例1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为______．例2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．变式训练：已知直角三角形的两边长是3、4，则另一条是________________。

考点2、求斜边上的高例1：如图，AB=3cm ，BC=4cm ，求AB 边上的高CD 的长。

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【第1—2课时】《勾股定理》知识复习
知识点一：勾股定理
勾股定理: .
【典例精析】已知,如图,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1.求BC 和AD 的长。

点评：本题由特殊角可以想到构造，由勾股定理求出各边的长度。

【以练助学】
1.在△ABC 中，∠C=90°,①a=5,b=12,则c= ,
②若c=10,a ∶b=3∶4,则a= ,b= .
2.直角三角形两边长度分别为3和4，则第三边为。

3.在Rt △ABC 中，斜边AB=2,则=++222CA BC AB .
4如图，正方形A 的面积为16，正方形B 的面积为9，那么正方形C 的面积是。

5.以面积为9m 2的正方形的对角线为边作一正方形，则正方形的面积为（）
A. 9m 2
B. 13m 2
C. 18m 2
D. 24m 2
6．一个三角形三个内角之比为1∶2∶1，则其相对的三边之比分别为（ )
A.1∶2∶1
B.1∶2∶1
C. 1∶4∶1
D.2∶1∶2
7.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）
A.4
B.8
C.10
D.12
8.如图，在一河AB 的同侧有两个集镇C 、D ，现要在河边修一座水厂，向两镇供水，要求使EC=ED,已知D 、C 到岸AB 的距离AD=15km,BC=10km,且AB=25km,求E 离A 多远。

知识点二：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
A D
B E
C 第9题图第5题图 C B A A B
D
E C
【以练助学】
1.△ABC 中，若a ∶b ∶c=1∶3∶2,则∠A ∶∠B ∶∠C= .
2.在△ABC 中，若AB=2,AC=2,BC=2,则∠B= 。

3.一个三角形三边的比是5∶12∶13，且周长为60cm,则它的面积为。

4.等边三角形的边长为a,则这个三角形的高为。

5.若直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为。

6.在△ABC 中，三条边a,b,c 若满足222c b a -=,则下列说法正确的是（ )
A.△ABC 不是直角三角形
B.∠A+∠B=90°
C.∠A+∠C=90°
D.∠A=90°
7.把直角三角形两条直角边同时扩大为原来的2倍，则其斜边扩大为原来的（ )
A.2倍
B.4倍
C. 2倍
D.不能确定
8.用下列各组正数作为三角形三边长，能构成直角三角形的是（）
A.a-1,2a,2a+1
B.a-1,a 2,a+1
C.a-1,a 2,a+1
D. a-1,a 2,a+1
9.在四边形ABCD 中，∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12.
①AD ⊥BD 吗？为什么？②求四边形ABCD 的面积。

知识点三：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解生活中的实际问题
①勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，其作用：已知两边求第三边;证明三角形中某些线段的平方关系;作长为m 的线段。

②勾股定理的逆定理常用来判断一个三角形是否为直角三角形。

【典例精析】有一个小孩站在距他1米且比他高50厘米的向日葵旁边，当风吹倒向日葵时，向日葵的顶处正好可以碰到他的头顶，那么你能计算出向日葵和小孩的高度吗？
1.要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要米长的梯子。

2.一艘轮船以16km/h 速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距。

C A
D B A C
E D B。