(寒假总动员)高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法(背)
高二数学立体几何中的向量方法
平行
巩固性训练2
1.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
相交
巩固性训练3
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e 以及与 e 共线 的向量叫做直线l的方向向量。
e
A
B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
l
e1
n1
l1 1 e1 // n1 e1 n1
2
n2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
；/ 微信刷票 ；
天虽然是从封印中出来了,但是用不久估计就得进入神树,由金灵果小樱带着休养生息壹段时间去了.所以她现在很珍惜和根汉在壹起の时光,因为不知道这壹回休养又得多久了.酒楼中の人都在聊成仙路,别の话题都很少,还有壹些人在聊什么漂亮の仙女之类の,总之也就是那些东西. 绝天骄和根汉都易了容,现在也就是壹对中年夫妇の样子,所以也不是特别扎眼.绝天骄传音根汉："你们男人是不是都是这样子,都希望三妻四惬の.""应该都是吧."根汉笑了笑,给她倒了半杯酒,她也不能喝多了这种俗世の酒.绝
高中数学立体几何向量法归纳
B
练习
D1F (0,1, 2)
D
E C
AE D1F 0, DA D1F 0 AE D1F, DA D1F D1F 平面AED 平面A1FD 平面AED
F
Y
A
B X
或证明两平面的法向量垂直
练习
如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，CA CB 1，
BCA 90O，棱AA1 2，M、N分别是A1B1、AA1的
n
α
5、平面法向量的求法
设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0, 则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
6、中点坐标公式 7、重心坐标公式
x
x1
x2 2
y
y1 y2 2
z
z1
z2 2
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2 3
y3
z
z1
z2 3
z3
8、直线与直线所成角公式
cos | AB CD |
| AB | | CD |
9、直线与平面所成角公式
sin | PM n |
| PM || n |
二、基本公式：
1、两点间的距离公式（线段的长度）
AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、向量的长度公式（向量的模）
a
2
a
x2 y2 z2
3、向量的坐标运算公式
若 a (x1, y1, z1) b (x2, y2, z2) 那么
立体几何中的向量方法
P
a
AP t AB
B
这样,点A和向量 a （l的方向向量）
不仅可以确定直线l的位置,还可
A
以具体表示出l上的任意一点.
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问题探究3：
给定平面上的一个点O和两个定 方向（向量），你能确定这个平面在 空间的位置吗？
分析:直线方向向量与直线位置关系,
l1 ∥l2 a ∥b;l1 ⊥l2 a ⊥b
据此可判断两直线的位置关系
①平行②垂直③相交或异面
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例2 (2)设u‚v分别是平面‚ 的法向量,根据下列条件
判断 与 的位置关系:
①
1 u (1,1,2),v (3,2, )
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
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平面的法向量：
直线l ,取直线l的方向向量n,则向量n ， 向量n叫做平面的法向量
l
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
n 完全确定的.
注意：
A
A 1.法向量一定是非零向量;
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lm
l
//
m
a
//
b
a
kb ,
k
R
Page 12
l
l
//
a
u
au
0
Page 13
//
u
// v
立体几何的向量方法
立体几何的向量方法一、 求法向量平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.向量表示平行、垂直关系： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ②l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅= ③α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=求平面的法向量步骤：⑴ 设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵ 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶ 根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；⑷ 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.二、 用向量求空间线段的长度求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a ；三、点到平面的距离的求法用向量求点到平面的距离的方法： 设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. = ||||PA n n ∙ 求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.四、两条异面直线间的距离的求法用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n ∙= 求解.五、求二面角的平面角 若二面角两个面的法向量分别是12,n n ，二面角为θ则12cos cos ,n n θ=-，而 六．直线在平面上的投影若B 是平面上的一点，A 为平面外的一点，那么直线在平面上的投影为S,n cos cos(AB,n)AB.sin S θθ== 为平面的法向量， 121212cos ,.||||n n n n n n ∙<>=。
立体几何中的向量方法-资料
2个定义
方向向量
ar
l
法向量
ur
α
线方线平向行向l量∥m和法向量ar ∥可b得r 如下结论
ar
l
r
m
b
线线方线线垂平向直行向ll量∥ mm和法 向量aarr ∥可 bb得rr 如下结论
r b
ar
l
线线线方面线线平垂平向行直行向lll量∥∥ mm和 法 向量aaarrr ∥可 ubb得rrr 如下结论
由向量加法法则，u B u u D u u 1 r=u B u u D u r+u D u u D u u 1 r=u A uD u r-u A uB u r+u A u Au A u r1
B1 C B
进行向量运算 u B u D u u r 1 2 (u A u D u r u A u B u r u A u A u r 1 )2 2
G
(3)由于PB 平面EFD，则DF PB ，EF PB，
B
从而EFD就是二面角C-PB-D的平面角
uuur uuur
设F(x,y,z),则 PF=kPB, 则(x,y,z-1)=k(1,1,-1),即x=k,y=k,z=1-k
uuur uuur
1
又由 PBgDF=0，即（1,1，-1）▪(x,y,z)=（1,1，-1）▪(k,k,1-k)=3k-1=0,则k3 =
所以 | AC1 | 6 结合几何意义回答问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
思考：
（1）本题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
D1
C1
解：如图，设 ABAA 1AD1，
A1
高二数学寒假作业(人教A版必修五)立体几何中的向量方法word版含答案
高二数学寒假作业（人教A 版必修五）立体几何中的向量方法1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴两平面法向量平行，∴－21＝－42＝k －2，∴k ＝4. 答案：C2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相关B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内解析：∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)4．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为B C 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，3)，C(0，2，0)，A(22，0，0)， M(2，2，0)．∴PM →＝(2，2，0)－(0，1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2，0)－(22，0，0)＝(－2，2，0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM.答案：C5．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．答案：C6．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.35解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D 1(0，0，2)．所以BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)．所以cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →|·|CD 1→|＝32×5＝31010. 答案：C7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216 a B.66a C.156 a D.153a 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A(a ，0，0)，C 1(0，a ，a)，N(a ，a ，a 2)．设M(x ，y ，z)，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， (x －a ，y ，z)＝12(－x ，a －y ，a －z) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216 a. 答案：A8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E(1，0，12)，D(0，1，0)，答案：B9．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC A 1B 1C 1＝S △ABC ·OP ＝334·OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3， 又0<∠OAP<π2，∴∠OAP ＝π3. 答案：B10．在四面体P-ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A.63B.33aC.a 3D.6a 解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，则P(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(0，0，a)．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵PA ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又△ABC 为等边三角形，∴H 为△ABC 的重心，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＝33a. ∴点P 到平面ABC 的距离为33a. 答案：B11．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1BC 1的法向量．则n·A 1B →＝0，n·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2， 于是n ＝(2，1，2)，D 1C 1→＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，D 1C 1→〉|＝13. 答案：1312．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12， ∴EF 和BC 1所成的角为60°.答案：60°13．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO.建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B(0，－12，0)， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则BA →·n ＝0，且BD →·n ＝0，∴y 02＋32z 0＝0且32x 0＋y 02＝0， 解之得y 0－3z 0，且y 0＝－3x 0，取x 0＝1，得平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，由于OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． ∴cos 〈n ，OA →〉＝55，∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案：25514．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．15．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．解析：以C 1为坐标原点建立如图所示的坐标系．∵A 1M ＝AN ＝2a 3，则M(a ，2a 3，a 3)，N(2a 3，2a 3，a)， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0，0，0)，D 1(0，a ，0)，∴C 1D 1→＝(0，a ，0)，∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.又C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案：MN ∥平面BB 1C 1C16．如图，四棱锥P ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．(1)∵PB →＝(2，0，－2)，EH →＝(1，0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH.∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH.(2)PD →＝(0，2，－2)，AH →＝(1，0，0)，AF →＝(0，1，1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF∩AH＝A ，∴PD ⊥平面AHF.17．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D.证明：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1，1，1)．∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)，BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·B 1B →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD∩BB 1＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.18．如图，在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所成直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C(t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D(0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0， ∴AC →⊥B 1D →，则AC ⊥B 1D.。
专题立体几何中的向量方法
0，1，1 2
，N
1，1，1 2
，于是D→A1＝(1,0,1)，D→B
＝(1,1,0)，M→N＝
1，0，1 22
.
n⊥D→A1， 设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 n⊥D→B，
n·D→A1＝x＋z＝0， 即 n·D→B＝x＋y＝0，
取 x＝1，则 y＝－1，z
＝－1，∴平面 A1BD 的一个法向量为 n＝(1，－1，－1)．
→
→
→
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)， F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴ED＝(0,2,2)，EG＝(2,2,0)，AB
＝(2,0，－2)．设平面 DEG 的法向量为 n＝(x，y，z)，
E→D·n＝0， 则 E→G·n＝0，
2y＋2z＝0，
即
→ 这时 n1·BD1＝－2－2＋4＝0.∴当 Q 为 CC 1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.
【二】证明垂直问题
空间中垂直关系的向量表示 线线 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2， 垂直 b3)，则 l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面 设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是 u＝(a2，b2，c2)， 垂直 则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R) 面面 若平面α的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则α 垂直 ⊥β ⇔ u⊥v ⇔u·v ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
则 B(0, 0， 0) ， A1(0, 2，
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法是一种应用向量的数学工具和技巧来研究和解决与立体几何相关的问题的方法。
向量方法可以使得我们更加直观地理解和推导立体几何中的性质和结论，并且可以解决许多传统几何方法比较复杂的问题。
在本文中，我们将详细讨论立体几何中的向量方法，并且给出一些具体的例子来说明其应用。
首先，我们需要明确向量的基本概念和性质。
在立体几何中，我们通常使用三维空间中的向量来描述和表示几何体。
一个向量可以被表示成一个有方向和长度的箭头，其中方向表示向量指向的方向，长度表示向量的大小。
在数学上，向量可以用坐标表示，如表示为一个三维向量(a,b,c)，其中a，b，c分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
利用向量的表示方法，我们可以推导出一些基本的立体几何结论。
例如，我们可以根据向量的平行和垂直性质来判断线段、直线和平面的关系。
如果两个向量平行，则它们所表示的线段或直线也是平行的。
如果两个向量垂直，则它们所表示的线段或直线也是垂直的。
另外，向量的加法和减法也是我们在立体几何中常常使用的运算。
如果我们想要求两个向量之和，则可以将它们的对应分量相加得到新的向量。
同样地，如果我们想要求两个向量的差，则可以将它们的对应分量相减得到新的向量。
这些运算对于求解几何体的位置、长度和角度等问题非常有用。
进一步地，向量的数量积和向量积是在立体几何中经常应用的运算。
数量积（也称为点积）可以用来求解两个向量之间的夹角。
具体地，如果两个向量A和B的数量积为0，则它们是垂直的；如果数量积为正，则它们是锐角；如果数量积为负，则它们是钝角。
向量积（也称为叉积）可以用来求解一个平面的法向量，以及计算平面的面积和体积。
具体地，向量积的大小等于该平面的面积的二倍，而向量积的方向与该平面垂直，并且遵循右手定则。
除了上述的基本运算和性质，向量方法还可以应用于解决许多具体的立体几何问题。
例如，通过向量法可以证明平行四边形的对角线互相平分，并且可以推导出梅涅劳斯定理（即三角形的三条中线交于一点且互相平分）。
高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法(学)
专题十一 立体集合中的向量方法 学一学------基础知识结论 空间向量与垂直关系 1．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直 线面垂直 面面垂直设直线l 的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m ⇔a b ⊥r r _ 设直线l 的方向向量是a ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u ＝(a2，b2，c 2)，则l ⊥α⇔//a u rr 若平面α的法向量u ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u v ⊥r r2.空间中垂直关系的证明方法线线垂直 线面垂直 面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为0． ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量． ①证明两个平面的法向量垂直．②证明两直线所成角为直角. ②证明直线与平面内的相交直线垂直. ②证明二面角的平面角为直角._.空间向量与空间角角的分类 向量求法 范围异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a ，b ，则cos θ＝cos ,a ba b a b ⋅〈〉=⋅rr r r r ＝⎝⎛⎦⎤0，π2直线与平 面所成 的角 设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝cos ,a n a n a n ⋅〈〉=⋅r r r r r⎣⎡⎦⎤0，π2二面角 设二面角α—l —β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝121212cos ,n n n n n n ⋅〈〉=⋅u r u u ru r u r u u r_________[0，π]学一学------方法规律技巧1．利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角范围是(0,]2π，构造两条直线的方向向量,a b r r ，先求,a b r r 夹角的余弦值cos ,a b 〈〉r r ，设异面直线所成的角为θ，则有cos cos ,a b θ=〈〉r r ．例1．如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ， D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ．（1）求证：AB ⊥平面P CB ；（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小；2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角的范围是[0,]2π，构造直线的方向向量a r ，和计算平面的法向量b r ，再计算,a b r r 夹角的余弦值cos ,a b 〈〉r r ，设直线和平面所成的角为θ，则sin cos ,a b θ=〈〉r r ．例2. 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =，12AA =，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A . （1）证明：1BC AB ⊥； （2）若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析；（2）355553．二面角求法 二面角的平面角的范围是[0,]π，先求两个半平面的法向量,a b r r ，再计算法向量的夹角cos ,a b 〈〉r r ，设二面角的大小为θ，则cos cos ,a b θ=±〈〉r r ，然后再观察二面角是锐二面角还是钝二面角决定符号. 例3. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且3BC AC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=DB ．（1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A--的余弦值．∴二面角C PB A--的余弦值为．15 5。
立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结
讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结一、几种角的范围1、 _________________________________ 二面角平面角的范围：2、 _________________________________ 线面角的范围：3、 _________________________________ 直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：_______________5、向量夹角范围：_________________二、立体几何中的向量方法1.三个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ .(2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量.(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B).2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2).女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ；女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2).若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________(3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2).若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ；若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则(2) 求直线与平面所成的角：设直线I 的方向向量为a ,平面a 的法向量为n ,直线I 与平面a 所成的角为 0,则 si nA |cos 〈 a , n > |=(3) 求二面角的大小：(I )若 AB , CD 分别是二面角a — I — B 的两个半平面内与棱I 垂直的异面直线，则二面角的大 小就是向量AB , CD 的夹角(如图①所示).(H )设n i , n 2分别是二面角a — I — B 的两个半平面a, B 的法向量，贝U 向量n i 与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③).4. 求点面距：平面a 外一点P 到平面a 的距离为:其中n 为平面a 的法向量，PQ 为平面a 的斜线，Q 为斜足 5. 平面法向量的求法设出平面的一个法向量n = (x , y , z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为 0, 列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零 解,即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同， 法向量的坐标不唯一. 6. 射影面积公式：二面角的平面角为 a ,则cos a=7. 利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求.⑵空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0, n,两异面直线所成的角的范围是o , n . (3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况 .三、二面角的平面角的求法1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线d=② ③所成的角的大小就是二面角的平面角。
知识讲解 立体几何中的向量方法(基础)
立体几何中的向量方法 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。
3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。
4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。
【要点梳理】要点一、直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量。
要点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2. 平面的法向量定义：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。
已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n=（x ，y ，z ）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。
高三数学复习课件：立体几何中的向量方法
=
解析
√3
√8
=
关闭
√6
4
.
答案
-10-
知识梳理
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1
双基自测
2
3
4
5
3.
关闭
不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2.
已知直三棱柱ABC-A
可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C
1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),
1B1C1在空间直角坐标系中,如图所示,且
n1与n2的夹角的大小就是二面角的大小.
-5-
知识梳理
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双基自测
1
2
3
4
-6-
5
4.利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点 A(x1,y1,z1),点 B(x2,y2,z2),则
|AB|=||= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
(2)点到平面的距离
(2)平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两个不共线向量,n
· = 0,
为平面 α 的一个法向量,则可用方程组
求出平面 α 的一个
· = 0
法向量 n.
-8-
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双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. (
)
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. (
√5
关闭
A ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 .
5
解析
答案
-11-
知识梳理
高二理科数学寒假作业立体几何中的向量方法
寒假作业（25）立体几何中的向量方法1、在正方形1111ABCD A B C D -中，若E 为11A C 的中点，则直线CE 垂直于( ) A.ACB.BDC.1A DD.1A A2、在三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为12,n n u r u u r ，若12,3n n π=u r u u r ，则二面角A BD C --的大小为( )A.3πB.23πC.3π或23π D.6π或3π 3、设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a r ，α的法向量为n r ，若2,3a n π=r r ，则l 与α所成的角为( )A.23π B.3π C.6π D.56π 4、若异面直线1l 的方向向量与2l 的方向向量的夹角为150︒，则1l 与2l 所成的角为( ) A.30︒B.150︒C.30︒或150︒D.以上均不对5、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1C C 的中点，则直线BE 与平面1B BD 所成的角的正弦值为( ) A.10-B.105C.5-D.5 6、如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ,PA AD AC ==,点F 为PC 的中点，则二面角C BF D --的正切值为( )A.3 B.3 C.3 237、已知长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,12AA =,E 是侧棱1BB 的中点,则直线AE 与平面11A ED 所成角的大小为( )A.60︒B.90︒C.45︒D.以上都不对8、如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱锥1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==,点,E F 分别为111,C D A B 的中点,则二面角11B A B E --的余弦值为( )A.3-B.3-C.3 D.3 9、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别在1,A D AC 上，且1121,33A E A D AF AC ==则( )A.EF 至多与1,A D AC 之一垂直B.1,EF A D EF AC ⊥⊥C.EF 与1BD 相交D.EF 与1BD 异面10、已知直线l 过点(1,0,1)P -,且平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过点直线l 与点(1,2,3)M ，则平面α的法向量不可能是( )A.(1,4,2)-B.11,1,42⎛⎫-⎪⎝⎭C.11,1,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(0,1,1)-11、在三棱锥O ABC -中，已知,,OA OB OC 两两垂直且相等，点,P Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足11,22BP BC AQ AO ≤≥,则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.12、在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =,则直线CD 与平面1BDC 所成角的正弦值为_____________.13、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是1BB ，CD 的中点，则点F 到平面11A D E 的距离为__________.14、如图,等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的余弦值为3,M ,N 分别是AC ,BC 的中点,则,EM AN 所成角的余弦值等于__________.15、如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC △中，190CA CB BCA ==∠=︒，，棱 12AA M N =，、分别是111A B A A ，的中点.（1）求BN u u u r的长；（2）求11,BA C cos B <>u u u r u u u u r的值；（3）求证：11.A B C M ⊥答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则1111(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),,,122A B C D A C E ⎛⎫⎪⎝⎭.∴1111,,1,(1,1,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)22CE AC BD A D A A ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r.∵1111,,1(1,1,0)002222CE BD ⎛⎫⋅=-⋅--=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,∴CE BD ⊥u u u r u u u r,∴CE BD ⊥.2答案及解析： 答案：C解析：当二面角A BD C --为锐角时，它就等于12,3n n π=u r u u r ；当二面角A BD C --为钝角时，它应等于122,33n n πππ-=π-=u r u u r .3答案及解析： 答案：C解析：如图所示，直线l 与平面α所成的角2326θπππ=-=.4答案及解析：答案：A解析：直线1l 与2l 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦.故选A.5答案及解析： 答案：B解析：如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则1(0,0,0),(2,2,0),(2,2,2),(0,2,1)D B B E .∴1(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)BD BB BE =--==-u u u r u u u r u u u r.设平面1B BD 的法向量为(,,)n x y z =r .∵1,n BD n BB ⊥⊥r u u u r r u u u r ，∴22020x y z --=⎧⎨=⎩∴0x yz =-⎧⎨=⎩令1y =，则(1,1,0)n =-r .∴10cos ,n BE n BE n BE⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ,设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,n BE θ==r u u u r .6答案及解析： 答案：D解析：如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF ,∵四边形ABCD 为菱形，∴O 为AC 的中点，AC BD ⊥.∵F 为PC 的中点，∴//OF PA .∵PA ⊥平面ABCD ,∴OF ⊥平面ABCD .以O 为原点，,,OB OC OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设1PA AD AC ===,则3BD =，∴31,0,0,0,0,22B F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，130,,0,,0,022C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结合图形可知，10,,02OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ,且OC u u u r 为平面BDF 的一个法向量.由31,,02BC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u r，31,0,2FB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,可求得平面BCF 的一个法向量(1,3,3)n =r.∴21cos ,7n OC =r u u u r ，27sin ,n OC =r u u u r ，∴23tan ,n OC =r u u u r .7答案及解析： 答案：B解析：如图，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.由题意知，1(1,0,2),(1,1,1),(0,0,2),(1,0,0)A E D A ,所以11(0,1,1),(1,1,1),(0,1,1)A E D E EA =-=-=--u u u r u u u u r u u u r.设平面11A ED 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则由1100n A E n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得00y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =，得1,0y x ==，所以(0,1,1)n =r ，cos ,122n EA n EA n EA⋅===-⋅r u u u rr u u u r r u u u r .所以,180n EA =︒r u u u r .所以直线AE 与平面1A ED 所成的角为90︒.8答案及解析： 答案：C解析：设1AD =，则111(1,0,2),(1,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,因为,E F 分别为11C D ,1A B 的中点，所以(0,1,2),(1,1,1)E F ，所以11(1,1,0),(0,2,2)A E A B =-=-u u u r u u u r,设(,,)m x y z =是平面1A BE 的法向量，则110A E m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r所以0220x y y z -+=⎧⎨-=⎩所以y x y z =⎧⎨=⎩取1x =，则1y z ==，所以平面1A BE 的一个法向量为(1,1,1)m =u r.又DA ⊥平面11A B B ，所以(1,0,0)DA =u u u r 是平面11A B B 的一个法向量，所以3cos ,3m DA m AD m DA⋅===u r u u u ru r u u u r u r u u u r ，又二面角11B A B E --为锐二面角，所以二面角11B A B E --3C9答案及解析： 答案：B解析：如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则1(1,0,1),(2,1,0),(3,0,3),(3,0,0),(0,3,0),(0,0,0)E F A A C D ，∴(1,1,1)EF =-u u u r ,(3,3,0)AC =-u u u r,1(3,0,3)A D =--u u u u r ,∵0EF AC ⋅=u u u r u u u r ,10EF A D ⋅=u u u r u u u u r ,∴EF AC ⊥,1EF A D ⊥,故选B.10答案及解析： 答案：D解析：因为(0,2,4)PM =u u u u r,直线l 平行于向量a r ，若n r 是平面α的法向量，则必须满足n a n PM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r u u u ur 把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D11答案及解析：答案：33⎤⎥⎣⎦解析：根据题意，以O 为原点，分别以,,OA OB OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1OA OB OC ===,则(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,1)A B C P b b -112b ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，(,0,0)Q a 102a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.(,,1)QP a b b =--u u u r ，(0,1,0)OB =u u u r ,所以cos ,QP OB QP OB QP OB ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 22222(1)111a b b a b b ==++-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[][]10,1,1,2a b b ∈∈，所以当0,1a b ==时，cos ,1QP OB =u u u r u u u r 取得最大值；当12a b ==时，3cos ,3QP OB =u u u r u u u r 取得最小值，所以PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是3⎤⎥⎣⎦.12答案及解析：答案：23解析：以D为坐标原点，分别以1,,DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，连接1,BD C D,设122AA AB==,则1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2)D C B C.设平面1BDC的一个法向量为(,,)n x y z=r，则1,n DB n DC⊥⊥r u u u r r u u u u r,所以有20x yy z+=⎧⎨+=⎩令2y=-，得(2,2,1)n=-r.设CD与平面1BDC所成的角为θ，则2sin cos,3n DCn DCn DCθ⋅===r u u u rr u u u rr u u u r.13答案及解析：35解析：如图，以D为坐标原点，分别以1,,DA DC DD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则1(,0,)A a a，1(0,0,)D a，(,0,0)A a，(,,0)B a a，1(,,)B a a a，,,2a E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，0,,2a F a ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面11A D E 的法向量为(,,)n x y z =r ，则1110,0n A D n A E ⋅=⋅=r u u u u r r u u u r ,即(,,)(,0,0)0(,,)0,,02x y z a a x y z a ⋅-=⎧⎪⎨⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩∴002ax a ay z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩∴02x z y =⎧⎪⎨=⎪⎩令2z =，得(0,1,2)n =r .又10,,2a FD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，∴所求距离13352105a FD n d a n⋅===u u u u r r r.14答案及解析：答案：16解析：设2AB =,过点C 作CO ⊥平面ABDE ,OH AB ⊥,则CH AB ⊥, CHO ∠为二面角C AB D --的平面角,∵3,cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=,结合等边ABC ∆与正方形可知此四棱锥为正四棱锥,则3AN EM CH ===()12AN AC AB =+u u u r u u u r u u u r ,12EM AC AE =-u u u u r u u u r u u u r ,()111222AN EM AB ACAC AE ⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r ,故,EM AN 所成角的余弦值为16EM AN EM AN ⋅=⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r .15答案及解析：答案：（1）以射线CA u u u r 、CB u u u r 、1CC u u u ur 分别为坐标系OX OY OZ 、、轴，则010101B N （，，），（，，）， |BN u u u r|=222)01()10()01(-+-+-=3 （2）11102012000A B C （，，），（，，），（，，）111,1,2)0,2),(1,BA CB ==-u u u r u u u u r ,（∴11,BA C cos B <>u u u r u u u u r |CB ||BA |11112223222102)1(1221)1(01++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=1030 （3）111002,,222C M （，，），（）， 1C M u u u u u r =（21，21，0），1112A B --=u u u u r （，，） ∴1111(1)1022C M A B ⋅=⨯-+⨯+⨯(-2)=0u u u u u r u u u u r 11A B C M ⊥解析：。
【人教A版】高中数学选修2-1：立体几何中的向量方法
方向向量与法向量
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
1、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
X
EG
DCFY来自B例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， 求证：PA//平面EDB.
Z
证法1 立体几何法
P
E
D
C
Y
A
G
B X
证法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
2.平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
l
注意：法向量是否可为零向量？
1）、平面的法向量为非零向量
n
平面的法向量是否只有一个？
2）、一个平面有无数多个法向量，
E(0, 1 , 1 ) 22
G( 1 ,1，0) 22
PA (1, 0, 1), EG (1 , 0, 1)
Z
P
22
所以PA 2EG，即PA // EG
E
而EG 平面EDB,
且PA 平面EDB
D
C Y
所以，PA// 平面EDB A
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专题11 立体几何中的向量方法
【背一背】
一、空间向量与平行关系 1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个． 2．平面的法向量
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行
设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l ∥m ⇔//a b ⇔a b
λ=
2220)a b c ≠. (2)线面平行
设直线l 的方向向量为a ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u ＝(a2，b2，c2)，则l ∥α⇔a u ⊥⇔0a u ⋅=⇔
1212120a a bb c c ＋＋＝
. (3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u ＝(a1，b1，c1)，v ＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔//u v ⇔u v λ=⇔
111
222a b c a b c ==
222(0)a b c ≠
空间向量与垂直关系
1．空间垂直关系的向量表示
2.空间中垂直关系的证明方法
空间向量与空间角 1．空间中的角
,a b b a b
⋅〉=
⋅＝
所成的角为θ，l 的方向向量，则sin θ＝
,a n n a n
⋅〉=
⋅
设二面角α—l —β的平面角为法向量为n1，n212,n n n n n ⋅〉=
⋅
_________
解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求直线和平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结两种常见的求法向量坐标的方法，希望大家掌握这个一重要技能. 方程法
利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设置可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以了. 双0速算法
在实际中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0，就可以快速求得法向量，而且正确率高，在考试中作用明显，举例说明
例题：已知向量,a b 是平面α内的两个不共线向量，且(1,2,0)a =，(3,0,4)b =，求平面α的一个法向量
解：先找一个与
(1,2,0)
a =垂直的向量n，因为0
n a⋅=，故可先取n的,x y坐标分别为2,1-，z的值待
定，即
(2,1,)
n z
=-，又因为0
n b⋅=，即640
z
+=，所以
3
2
z=-
，取
3
(2,1,)
2
n=--
.。