2014石景山一模文数

2014年石景山区高三统一测试

数学（文科）

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

1．已知全集U =R ，集合{}

2

|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A

B =ð（ ）

A ．{}|01x x <<

B ．{}|0x x <

C ．{}|2x x >

D ．{}|12x x <<

2．下列函数中，在(0)+∞，

内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =-

D ．2x y =

3．直线:40l x -=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．无法确定

4．双曲线22

221x y a b

-=(00)a b >>，

的渐近线方程是2y x =±，则其离心率为（ ）

A ．5

B C D

5．下列函数中周期为π且图象关于直线3

x π

=

对称的函数是（ ） A ．2sin()2

3

x y π

=+

B ．2sin(2)6y x π

=-

C ．2sin(2)6y x π

=+

D ．2sin()2

3

x y π

=-

6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（

7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（ ）

8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516

x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）

A B ．3

C ．

125

D ．1

A ．4

B ．12

C

D ．24

A ．2-

B ．

1

2

C ．1-

D ．2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 是虚数单位，计算

41i

i

+=+_________. 10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，

，则数列}{

n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{

n b 的前n 项和=n S _____________． 11．已知命题p :0x x e ∃∈

12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩

，

，

，则2z x y =+的最大值是_________. 13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其

它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 14．若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域内的任意实数x 分别满足：

()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直

线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在△ABC 中，角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<

2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a =

，b =

c 边的长和△ABC 的面积.

16．（本小题满分13分）

某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．

（Ⅰ）求分数在[5060)，

的频率及全班人数； （Ⅱ）求分数在[8090)，

之间的频数，并计算频率分布直方图中[8090)，间矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在[80100)，

之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90100)，

之间的概率．

17.（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥A BCDE -，1AB BC AC BE ====，2CD =，

CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．

（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面ADE ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求四棱锥A BCDE -的体积．

C

D

B

A

F E

18．（本小题满分13分）已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，

上没有零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>，称圆心在原点O ，半径

C 的“准圆”.若椭圆C

的一个焦点为0)F ，其短轴上的

一个端点到F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，

过点P 作椭圆的切线12l l ，

交“准圆”于点M N ，

（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，

求直线12l l ，

的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值. 20．（本小题满分13分）

对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n =，，，

，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列

12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．

已知数列{}n b 为数列1{

}()2

n n *

∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值；

（Ⅱ）若生成数列{}n b 满足的通项公式为1

312(1312n

n n

n k b k n k ⎧=+⎪⎪=∈⎨

⎪-≠+⎪⎩N)，，，，，求n S .