数学建模最优化模型

模型的建立和求解
• 首先作图分析：
由图和前述的假设可知：森林烧毁面积 b(t2 )等于图中三角形
的积，即
b(t2 )
1 2
ht，2 而
t2
t1
h,所以
vx a
b(t2 )
1 2
ht1
1 2
h2 vx
a
，而火灾的损失费 w1 c1b(t2 )与救火费用 w2之和为：
w
1 2
c1ht1
c1h 2 2(vx
a)
c3 x
c2 xh vx a
• 所以森林救火费用最小问题的数学模型为：
min
.w
1 2
c1ht1
c1h 2 2(vx
a)
c3 x
c2 xh vx a
上述问题是一个无约束的非线性规划问题，
其最优解 x*可用微分方法求得（即一阶导数
为零的点）。因此，应派出的救火队员的最 合适的人数为( x*必须为正整数)：
➢ 最优化方法的应用
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛 的模型之一,其内容包括线性规划、非线性规划、 整数线性规划、动态规划、多目标规划、决策规 划等.
一般在实际生活中，我们总是利用 最优化方 法解决两方面的问题：成本最小化和利润最大化
例：森林救火费用最小问题
的面积为 ， 为烧毁单位面积森林的损 失 。w费1 ，c1则* b火(t2灾) 造成的损失费为
• 易见 ddbt表示单位时间内烧毁的森林面积
Baidu Nhomakorabea
当t
0, t时2 ，
db dt
；0 设当
t 时t1 ，
db dt
得其最大值 h。 db
为 a设在0；a0称,t1为中火，势dt为蔓延t的速线度性；函在数，t1,t其2中 斜，率ddbt
谢 谢！！！
为 t 的线性函数，其斜率为 a v * x ，0 其中
为救x 火队员人数， 为v每个队员的平均灭火
速度。
• 每个救火队员单位时间的费用为c2，一次性 支出的费用为c3，于是得到救火费用为
w2 c3 * x c2 (t2 t1) * x
• 不考虑森林地形分布的差异，同时也不考 虑风向和风速的影响，并且一切救火设备 和救火人员都正常工作。
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v 2
➢ 一般优化模型的总结
➢ 说明：
确定目标
建立目标函数；
分析因素
对影响目标函数变化的各个因素进
行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的因 素可以假设掉。
确定决定性因素
确定影响问题变化的主要因素
（利用相关度），同时达到简化问题的作用，为模型的建 立和求解奠定基础。
分析各因素之间的作用 分析各因素之间的相互作用
，从而可以确定各因素是相互独立的、或是相关的。（统 计回归中的交互项的引入）
把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，从
而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划 、多目标规划等。
在森林失火时，应派多少消防队员去救火最 合适？派的队员越多，灭火的速度越快，火灾 造成的损失越小，但救援的开支会增大。我们 的问题是：派出多少队员救火，才能使火灾损 失费与救火费用之和最小？
➢模型的假设
• 火灾损失费与森林烧毁的面积成正比， 烧毁面积与失t火 时0 间的长短有关。
，t1火设被失扑火灭时b(的t刻)时c刻1 ，为开。始t2救时t火刻的森时林刻烧为毁