第2章 线性动态系统的运动分析 现代控制理论课件
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第2章 线性控制系统的运动分析(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)
2
（3）
将（3）式代入（2）式
b1 2b2t 3b3t kbk t
2
k 1
a(b0 b1t b2t bk t )
2 k
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0 1 1 2 b2 ab1 a b0 2 2! 1 1 k bk abk 1 a b0 k k!
（13）
a0 (t ) I a1 (t ) A a2 (t ) A2 an1 (t ) An1
i 0， 1 ， , (n 1)为待定系数。 ai (t ) 的计算方法为： 其中， ai (t )，
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
（12）
An1 A An an1 An a2 A3 a1 A2 - a0 A
将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出： 都是 An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合 A n 、 An 1 、 A n 2 、
(t ) e
At
1 2 2 1 k k 1 At A t A t 2! k!
0 1 x1 1 x x 2 3 x2 2
0 x(0) 1
求齐次状态方程的解。
（3）
将（3）式代入（2）式
b1 2b2t 3b3t kbk t
2
k 1
a(b0 b1t b2t bk t )
2 k
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0 1 1 2 b2 ab1 a b0 2 2! 1 1 k bk abk 1 a b0 k k!
（13）
a0 (t ) I a1 (t ) A a2 (t ) A2 an1 (t ) An1
i 0， 1 ， , (n 1)为待定系数。 ai (t ) 的计算方法为： 其中， ai (t )，
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
（12）
An1 A An an1 An a2 A3 a1 A2 - a0 A
将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出： 都是 An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合 A n 、 An 1 、 A n 2 、
(t ) e
At
1 2 2 1 k k 1 At A t A t 2! k!
0 1 x1 1 x x 2 3 x2 2
0 x(0) 1
求齐次状态方程的解。
现代控制理论-绪论 PPT课件
控制系统的状态空间描述
系统数学描述的两种基本类型
系统是指由一些相互制约的部分所构成的整体，它可能 是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对 象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图所示。图 中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环 境的作用为系统输出，二者分别用向量 u = [u1, u2, …, up]T 和 y = [y1, y2, …, yq]T 表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的 变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2, …, xn]T 表示。
)
控制（输入）向量
y1(t)
y
(t
)
y2
(t
)
ym
(t
)
输出（量测）向量
f1(x1, x2
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x1
,
x2
fn (x1, x2
, xn , u1, u2 , xn , u1, u2
, xn , u1, u2
,ur ,t)
控制变量 u1 , u2 ,, ur
状态变量 输出变量
x1 , x2 ,, xn 通常并不要求必须是可测量的 y1 , y2 ,, ym 可以直接测量的，又称为量测变量
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DgXu 中南大学信息学院自动化系
系统的动力学特性一般可用一组一阶微分方程来描述
动态特性 xi (t) fi (x1, x2 , , xn;u1,u2, ur ;t) i 1, 2, , n
线性系统的运动分析第二章PPT课件
t0)
x(t)(t)x(0) 则有： x(t)(tt0)x(t0)
线性定常系统的状态转移矩阵
9
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： (t0t0)I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： (tt0)A (tt0)
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
即 A d I ： e A ) 0 ti ( ( i I A ) p i 0 p i T e A
24
（2）当A具有n重特征根 i ：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit
eAtTeAtT1
T
0
0
teit
1 tn1eit (n1)!
T1
teit
0
eit
其中： T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
故上式成立，意为 t 0 至 t 2 的状态转移过程可分解为t 0 至 t 1
及 t 1 至 t 2 的分段转移过程。
11
3、分解性：设A为n×n阶矩阵，t1和t2为两个独立 自变量，则有：
e e e A(t1t2)
A1t A2t
4、可逆性： e At 总是非奇异的，必有逆存在，且：(eAt)1 eAt
23
（1）当A的特征值 1,2,,n为两两相异时：对角线标准型
e1t eAtTeAtT1 T
0
0 T1
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 p i ，并得到T阵及T的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏反变换法 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿定理
《现代控制理论基础》课件
预测控制
预测控制是一种基于模型预测 未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心 组件，负责计算并施加控制 信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是 各种各样的设备或系统，了 解操作对象的特性是设计有 效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们 可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之 间关系的数学表达式，常用于 分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制 系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳 定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁 棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、 稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学 习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实 际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系 统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标 函数来设计最优控制策略的方 法。
非线性规划
第2章 现代控制理论1PPT课件
时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0
现代控制系统课件第2章
2021/1/4
5
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.1 状态转移矩阵
齐次微分方程的自由解为： x(t) eAt x0
或
x(t) e A(tt0 ) x0
从这个解的表达式可知，初始时刻的状态矢量x0， 到任意t>0或t>t0时刻的状态矢量x(t)的一种矢量变换 关系，变换矩阵就是矩阵指数函数 eAt 。
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例
x1 x2
0 2
1 3
x1 x2
0 1u
求 u(t) 为单位阶跃函数时,系统状态方程的解 (设
初始状态为零).
解:
(t)
e At
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
x(t) e At x(0) 0te A(t ) Bu( )d
0 1
例:已知 A 2 3 ，求eAt
解： s 1
sI A 2 s 3
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(sI A) 1
1 sI A
adj (sI
A)
(s
1 1)(s
2)
s 3
2
1 s
s3
(
s
1)( s 2
2)
(s 1)( s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)( s 2)
x(t) eAt x0 , t 0
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证明： 和标量微分方程求解类似，先假设式齐次状 态方程的解x(t)为t的矢量幂级数形式，即:
x(t) 0 1t 2t 2 iti
**
代入齐次状态方程中, 得
1 22t iit i1
现代控制理论第2章 线性系统的运动
定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵
于是齐次状态方程的解为:
x(t ) e x(0) e x0
At At
(2 7)
另用拉氏变换法求解齐次微分方程:
x(t ) Ax(t ) sx(s) x(0) Ax(s)
x(s) (sI A) x(0)
1
拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:
2. 状态转移矩阵的计算。
a. 直接求取；
b. 拉普拉斯变换；
c. 化矩阵A为对角型或约当型；
d.化矩阵指数 e At
为A的有限项。
（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质
1 2 2 1 i i Φ(t ) e I At A t A t (2 9 1) 2! i!
表明 (t ) 具有分段组合的性质。
④ Φ1 (t ) Φ(t ) , Φ1 (t ) Φ(t ) 证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有
Φt t Φt Φ t I Φ t t Φ t Φt I
Φ 1 (t ) Φ(t )
At
t0 0
x(t ) (t t0 )x(t0 )
x(t ) (t )x(0)
(2 10)
(2 9)
状态转移矩阵 (t )包含了系统自由运动的全部信息， 完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。
几点解释：
① 如果t为某给定常数T，那么零输入响应 x(t ) 就是状 态空间中由初始状态 x 0 经线性变换常数阵 (t ) 所致。
（一）齐次状态方程解的一般表达式
x(t ) A(t )x(t ),
x(t0 ) x0 ,
2
t t0
i
b 2t bi t
现代控制理论课件
输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
输入分控制与干扰。
输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息 。若输出是由传感器测量得到的， 又称为观测。 状态、状态变量和状态向量 ：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过
程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态；其中的各个变量称为状态变 量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。
1－1 自动控制发展历史简介 自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类在认识世界和改造世 界的过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。 早在公元前300年，古希腊就运用反馈控制原理设计了浮子调节器，并 应用于水钟和油灯中。在如图1－1所示的水钟原理图中，最上面的蓄水 池提供水源，中间蓄水池浮动水塞保证恒定水位，以确保其流出的水滴 速度均匀，从而保证最下面水池中的带有指针的浮子均匀上升，并指示 出时间信息。 同样早在1000多年前，我国古代先人们也发明了铜壶滴漏计时器、指南 车等控制装置。首次应用于工业的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年发 明的用来控制蒸汽机转速的飞球控制器，如图1－2所示。而前苏联则认 为1765年珀尔朱诺夫（I.Polzunov）的浮子水位调节器最有历史意义。
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现代控制理论的基本内容 科学在发展，控制论也在不断发展。所以“现代”两个字加在“控制理 论”前面，其含义会给人误解的。实际上，我们讲的现代控制理论指的 是五六十年代所产生的一些控制理论，主要包括： 用状态空间法对多输入多输出复杂系统建模，并进一步通过状态方程求 解分析，研究系统的可控性、可观性及其稳定性，分析系统的实现问题； 用变分法、最大（最小）值原理、动态规划原理等求解系统的最优控制 问题；其中常见的最优控制包括时间最短、能耗最少等等，以及它们的 组合优化问题；相应的有状态调节器、输出调节器、跟踪器等综合设计 问题； 最优控制往往要求系统的状态反馈控制，但在许多情况下系统的状态是 很难求得的，往往需要一些专门的处理方法，如卡尔曼滤波技术来求得。 这些都是现代控制理论的范畴。 六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成几个重 要的分支课程，如线性系统理论，最优控制理论，自适应控制理论，系 统辩识理论，等等。
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
现代控制理论ppt
求解方法
通过利用拉格朗日乘子法或Riccati方程，求 解线性二次调节器问题，得到最优控制输入
。
动态规划与最优控制策略
动态规划的基本思想
将一个多阶段决策问题转化为一系列单 阶段问题，通过求解单阶段问题得到多 阶段的最优解。
பைடு நூலகம்
VS
最优控制策略的确定
根据动态规划的递推关系，逐步求解每个 阶段的优化问题，最终得到最优控制策略 。
总结词
稳定性分析是研究非线性系统的重要方法，主要关注系统在受到扰动后能否恢 复到原始状态或稳定状态。
详细描述
稳定性分析通过分析系统的动态行为，判断系统是否具有抵抗外部干扰的能力。 对于非线性系统，稳定性分析需要考虑系统的初始状态、输入信号以及系统的 非线性特性等因素。
非线性系统的控制设计方法
总结词
要点二
详细描述
线性系统是指在输入和输出之间满足线性关系的系统，即 系统的输出量可以用输入量的线性组合来表示。线性系统 的性质包括叠加性、均匀性和时不变性等。叠加性是指多 个输入信号的响应等于各自输入信号响应的总和；均匀性 是指系统对不同频率信号的响应是一样的；时不变性是指 系统对时间的变化不敏感，即系统在不同时刻的响应是一 样的。
量随时间的变化规律，输出方程描述了输出量与状态变量之间的关系。
线性系统的稳定性分析
• 总结词：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，线性系统的稳定性分 析是现代控制理论的重要研究内容。
• 详细描述：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，如果一个系统受到 扰动后能够自我恢复到原来的状态，那么这个系统就是稳定的。线性系 统的稳定性分析是现代控制理论的重要研究内容，常用的方法有劳斯赫尔维茨稳定判据和奈奎斯特稳定判据等。劳斯-赫尔维茨稳定判据是 一种基于系统极点的判据，通过判断系统的极点是否都在复平面的左半 部分来判断系统的稳定性；奈奎斯特稳定判据是一种基于频率域的判据， 通过判断系统的频率响应是否在复平面的右半部分来判断系统的稳定性。
现代控制理论第二章3至4节广东工业大学PPT课件
xA xB u , x(t0)x0
例 2-8 求下述系统在单位阶跃下的状态运动规律：
x02 13x10u
eAt
2et e2t 2et 2e2t
et e2t et 2e2t
x (t) (t;0 ,x 0 ;u ) e A tx 0 0 te A (t )B u ( ) d
u(t) 1(t)
或
t
y ( t) C Φ ( t-t0 ) x ( t0 ) t0 C Φ ( t- τ)B u ( τ) d τ D u ( t)
或
t
y ( t) C Φ ( t)x 0 0 C Φ ( t-τ)B u ( τ) d τ D u ( t)
线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。 ➢第一个部分是由初始状态所引起的自由运动 ➢第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动。 ➢第三个部分是由直联项引起的前馈响应。
证明： 考虑如下等式
d (eAt x) dt
d (eAt)xeAt x dt
AeAtxeAtxeAt[xAx]
eAt Bu(t)
对上式在区间 0, t 上进行积分：
eA tx(t)x(0)t eA B u ()d 0
x (t) e A t te A B u ( )d te A (t )B u ( ) d
1 2 [ 2[x 21x (0 1()0 ) x2x (0 2()0 )1 ]e 1]et t[ 2[x x11 ((0 0)) x x22((0 0)) 1 1 ]]ee 22 tt
状态方程解的意义
由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性定常连续系统状态 方程的解由两个部分相加组成。
➢第一个部分是由初始状态所引起的自由运动, ✓ 它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响, ✓ 与初始时刻后的输入无关, ✓ 称为状态的零输入响应。
例 2-8 求下述系统在单位阶跃下的状态运动规律：
x02 13x10u
eAt
2et e2t 2et 2e2t
et e2t et 2e2t
x (t) (t;0 ,x 0 ;u ) e A tx 0 0 te A (t )B u ( ) d
u(t) 1(t)
或
t
y ( t) C Φ ( t-t0 ) x ( t0 ) t0 C Φ ( t- τ)B u ( τ) d τ D u ( t)
或
t
y ( t) C Φ ( t)x 0 0 C Φ ( t-τ)B u ( τ) d τ D u ( t)
线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。 ➢第一个部分是由初始状态所引起的自由运动 ➢第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动。 ➢第三个部分是由直联项引起的前馈响应。
证明： 考虑如下等式
d (eAt x) dt
d (eAt)xeAt x dt
AeAtxeAtxeAt[xAx]
eAt Bu(t)
对上式在区间 0, t 上进行积分：
eA tx(t)x(0)t eA B u ()d 0
x (t) e A t te A B u ( )d te A (t )B u ( ) d
1 2 [ 2[x 21x (0 1()0 ) x2x (0 2()0 )1 ]e 1]et t[ 2[x x11 ((0 0)) x x22((0 0)) 1 1 ]]ee 22 tt
状态方程解的意义
由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性定常连续系统状态 方程的解由两个部分相加组成。
➢第一个部分是由初始状态所引起的自由运动, ✓ 它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响, ✓ 与初始时刻后的输入无关, ✓ 称为状态的零输入响应。
现代控制理论 现代控制理论 第二章 线性控制系统的运动分析
cos t sin t = sin t cos t
(2) 拉氏变换法
e =L
At
1
[(sI A) ]
1
& 例：已知 x1 0 1 x1 x = 2 3 x 2 &2
解：
求 φ (t )
1 s 1 s 0 0 sI A = 2 3 = 2 s + 3 0 s
1 s2 1 s 0
1 s 3 1 t 0.5t 2 1 = 0 1 t s2 1 1 0 0 s
G = e AT
1 T 0.5T 2 = 0 1 T 0 0 1
T T Aτ H = ∫ e dτ B = 0 0 0
离散化的方程为：
1 2 T 2 T 0
+ L + β1 z + β 0 N (z ) = bn + n = bn + n 1 z + an1 z + L + a1 z + a0 D( z )
β n1 z
n 1 1
脉冲响应函数
入中间变量 Q( z )
n n1
bn = 0
在
N (z )
D( z ) 的串联分解中，引 ，则有
z Q(z) + an1z Q(z) +L+ a1zQ(z) + a0Q(z) = u(z)
其中
G
= e
AT T A τ
H = ∫ e 0 C = C D = D
例2-12线性定常系统方程为
d τ B
0 & x = 0 0 y = [ 1
将其离散化。
1 0 0 0
0 0 1 x + 0 u 1 0 0 ]x
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线性控制系统的运动分析-PPT文档资 料
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。—的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。—的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《现代控制理论基础》ch2第二章线性控制系统的运动分析.ppt
式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得：bk
1 k!
Akb0
（4）
将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：
x(t)
(I
At
1 2!
A2t 2
1 k!
Akt k
)x0
e At
x0
（5）
2021/3/12
5
二、拉氏变换求解：
齐次状态方程：x Ax 初始状态为：x(t) |t0 x(0)
两边取拉氏变换得：sX (s) x(0) AX (s)
11
9、当A是约当矩阵时：
A1
0
A
A2
0
An
其中 Ai 是约当块
e A1t
0
则有：e At
e A2t
0
e
Ant
1 0 0 0
[例如]： A 0 2 1 0
0 0 2 1 0 0 0 2
2021/3/12
其中 e Ait 是对应约当
块 Ai 的矩阵指数函数。
12
二、矩阵指数函数的计算：
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
2021/3/12
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（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
2021/3/12
3
[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解
一、直接求解：
1、标量齐次微分方程： x ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eat x(0)
2、齐次状态方程 x(t) Ax(t) 满足初始状态x(t) |t0 x(0)的解是：x(t) e At x(0) , t 0
设齐次状态方程的解为 x(t) b0 b1t b2t 2 bktk （1）
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e A t d ia g ( e 1 t,e 2 t, e n t)
1
10．对应于
A
=
0
0
（约当阵）的状态转移矩阵是一个右上三角阵：
1
e
t
tet
1 t2et 2!
e At
et
tet
0
t (n
n 1
1)!
et
t n2
et
(n 2)!
tet
e t
三、状态运动模态
状态转移矩阵e A t 包含了系统自由运动的全部信息。
e(A B)t eA teB t eB teA t
否 则 上 式 不 成 立 。
7. L(eAt)sIA1
证： L (e A t) L (k 0A k ! k tk) k 0A k ! kL (tk) k 0A k ! ks k k ! 1 k 0s A k k 1
( s I A )L ( e A t) ( s I A )k 0 s A k k 1 k 0A s k k k 0 A s k k 1 1 A s 0 0 I
5.(t2 t0) (t2 t1)(t1 t0) x(t2) (t2 t1)x(t1) (t2 t1)(t1 t0)x(t0)
又：x(t2) (t2 t0)x(t0)
上式成立
状态分段转移:
x(t0) ( t 1t 0) x( t(2t1t )0) (t 2 t 1) x(t2)
6. 矩 阵 A 、 B 满 足 乘 法 交 换 律 时 ， 即 A BB A 时 ， 有
k 0 k !
k 0 k !
k 0 k !
9．对应于对角阵 A = d ia g (1 ,2 , ,n )的状态转移矩阵也是对角矩阵，为
e A t d ia g ( e 1 t,e 2 t, e n t)
证：A = d ia g (1 ,2 , ,n )
A k= d ia g (1 k,2 k, ,n k)
系统的动态特性是由系统矩阵A的特征值决定的，称之为运动模态。
对于具有n个互不相同的特征值 1,2, ,n 的系统矩阵A，由它们所对应的
线性无关的n个特征向量构成的变换矩阵 P[12 A = P 1 A P = Q A P = d i a g ( 1 ,2 ,,n ) 其中：
n] 得：
Q P 1
等式两边同幂次项的系数应相等，即：
b1 A b0
b
2
1 2
A b1
1 2
!
A
2
b
0
b
3
1 3
A
b2
1 3!
A
3b
0
b
k
1 k
!
A
k
b
0
将初始条件代入，有： b0 x(t0)
状态方程的解可写为：
x ( t ) [ I A ( t t 0 ) 2 1 ! A 2 ( t t 0 ) 2 k 1 ! A k ( t t 0 ) k ] x ( t A0 ) 0 Ik 0 k 1 ! A k ( t t 0 ) k x ( t 0 )
q q
1 2
由状态转移矩阵的性质9有
q
n
e A t d ia g (e 1 t,e 2 t, e n t)
进一步得到新的状态空间中的状态解：
x ( t ) e A t x ( 0 ) d i a g ( e 1 t , e 2 t ,, e n t ) x ( 0 )
记 ： e A ( t t 0 ) I A ( t t 0 ) 2 1 ! A 2 ( t t 0 ) 2 k 1 ! A k ( t t 0 ) k k 0 k 1 ! A k ( t t 0 ) k矩数阵函指数
仿照标量指数函数 e a ( t t 0 ) 1 a ( t t 0 ) 2 1 ! a 2 ( t t 0 ) 2 k 1 ! a k ( t t 0 ) k k 0 k 1 ! a k ( t t 0 ) k
e A t k 0 k 1 ! [ d i a g ( 1 k ,2 k ,,n k ) ] t k d i a g ( k 0 k 1 ! 1 k t k ,k 0 k 1 ! 2 k t k ,,k 0 k 1 ! n k t k )
eit
k 0
k1!ik t k
第二章 线性动态系统的运动分析
已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的 系统状态运动或输出响应，实质上就是求解系统的状态方程并分析 解的性质，以解析形式或数值形式得出系统状态的变化规律，属于 定量分析。
§1、线性定常系统的运动分析
一、线性定常系统齐次状态方程的解
齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：
x = Ax
x
(t
)
t
t0
x(t0 )
设解x ( t ) 为向量幂级数： x ( t ) b 0 b 1 ( t t 0 ) b 2 ( t t 0 ) 2 b k ( t t 0 ) k
代入状态方程得： b 1 2 b 2 (t t0 ) 3 b 3 (t t0 )2 k b k(t t0 )k 1 A [b 0 b 1 (t t0 ) b 2 (t t0 )2 b k(t t0 )k]
x ( t ) P x = [ 1 2n ] d i a g ( e 1 t , e 2 t , , e n t ) x ( 0 ) [ 1 e 1 t2 e 2 t n e n t ] x ( 0 )
所以状态方程的解为：
x(t)eA(tt0)x(t0)
4. 1(t)(t) 由性质3得，(tt)(t)(t)(t)(t)(0)I
求逆：1(t)(t) 或1(t)(t)
对x(t)(t)x(0)两边左乘1(t)：1(t)x(t)x(0)
x(0) (t) x(t), 状态转移可逆 x(t) 给出了状态方程的频域解法
8 .非 奇 异 变 换 x P x ， 有 ： A P 1 A P状 态 转 移 矩 阵 也 有 ：
(t) P 1(t)P
证： ( t ) e A t e P 1 A P t t k ( P 1 A P ) k t k ( P 1 A k P ) P 1 ( t k A k ) P = P 1( t ) P