2012年高三数学立体几何解答题精选训练(文科有答案2)

立体几何训练题1.（2010上海高考20题）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． (1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．2. （2011山东高考19）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2AB AD =，11AD A B =，60BAD ∠=. （1）证明：1AA BD ⊥； （2）证明：1//CC 平面1A BD .3. （2011江苏高考16）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠= ，,E F 分别是,AP AD 的中点. （1）求证：直线//EF 平面PCD ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PADCA D4.（2010北京高考17）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

//EF AC ，AB =,1CE EF ==.（1）求证：//AF 平面BDE ； （2）求证：CF ⊥平面BDE ;5.(2010安徽高考19)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，22AB EF ==，//AB EF ,EF FB ⊥,90BFC ∠= ，BF FC =,H 为BC 的中点， (1)求证：//FH 平面EDB ; （2）求证：AC ⊥平面EDB ; （3）求四面体B DEF -的体积；6.(2011江西高考18）如图，在ABC ∆中，2B π∠=，2AB BC ==，P 为AB 边上一动点，PD 平行BC 交AC 于点D ，现将PDA ∆沿PD 翻折至'PDA ∆，使平面'PDA ⊥平面PBCD . （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为'A C 的中点，求证：'A B DE ⊥.BCC7.(2010新课标18题)如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（1）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;（2）若AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -8.(2011珠海模拟16)在边长为6cm 的正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，,M N 分别为,AB CF 的中点，现沿,,AE AE EF 折叠，使,,B C D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E AFMN -的体积．9．（2011韶关模拟18题）如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.(1)求证：直线//1BB 平面DE D 1； (2)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； (3)求三棱锥DE A A 1-的体积.1B A F M F CA BABCD 1A 1B 1C A)(C 1B 10.（2011广州二模19题）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =． （1）求证：AC BD ⊥；（2）求三棱锥E BCD -的体积．11.(2011佛山模拟19题)如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，E ，F 分别是棱BC ，11B C 上的动点，且1//EF CC ，11CD DD ==，2,3AB BC ==.（1）证明：无论点E 怎样运动，四边形1EFD D 都为矩形； （2）当1EC =时，求几何体1A EFD D -的体积．12. (2011深圳第二高级中学高三模拟17题)如图)1(是一个水平放置的正三棱柱111C B A ABC -，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的正（主）视图如图)2(． ⑴求正三棱柱111C B A ABC -的体积； ⑵证明：11//ADC B A 平面；⑶图)1(5中垂直于平面11B BCC 的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明） AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1D 1A D 1A 1EBCO DP )(P AA B C D DC B 图5 直观图 俯视图 13.（2011温州模拟题）一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，.（1）若E 是PD 的中点,求证: //PB ACE 平面； （2）求证:PC BD ⊥； （3）求三棱锥C PAB -的体积.14.(2011东莞模拟18题)如图，四棱锥ABCD P -，PAB ∆≌CBA ∆，在它的俯视图ABCD 中，CD BC =，1=AD ，︒=∠=∠60BAD BCD ．⑴求证：PBC ∆是直角三角形； ⑵求四棱锥P ABCD -的体积．15．（2011惠州模拟18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD 垂直于底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形，//,90DC AB BAD ︒∠=，且2224AB AD DC PD ====（单位：cm ），E 为PA 的中点。

（１）若正视方向与AD 平行，请在下面作出该几何体的正视图并求出正视图面积； （２）证明：//DE 平面PBC ；（３）证明：DE ⊥平面PAB ；B主视图俯视图左视图(P )B (A )B (C )(D )C (D C答案1.（2010上海高考20题）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． (1) 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图 （作图时，不需考虑骨架等因素）．【答案】．(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图为两个圆，一个正方形．2. （2011山东高考19）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2AB AD =，11AD A B =，60BAD ∠=. （1）证明：1AA BD ⊥； （2）证明：1//CC 平面1A BD . 【答案】．证法二：C3. （2011江苏高考16）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠= ，,E F 分别是,AP AD 的中点.求证：（1）直线//EF 平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD .4.（2010北京高考17）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

//EF AC ， 2AB =,1CE EF ==.（1）求证：//AF 平面BDE ； （2）求证：CF ⊥平面BDF ;【答案】． 证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。

因为EF ∥AG,且EF=1，AG=12AG=1 所以四边形AGEF 为平行四边形 所以AF ∥EG因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE（Ⅱ）连接FG 。

因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。

所以CF ⊥EG.因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.EFA DCBCF5.(2010安徽高考19题)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB; （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；【答案】．(1),1//,21//,2////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB ∴∴⊂∴证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故又四边形为平行四边形，而平面，平面C0,.,..//,,90,.FB BFG FH FH BF FG H BC FH BC FH ABCD FH AC FH EG AC EG AC BD EG BD G AC EDBFB BFC BF CDEF BF B DEF BC A ∏⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥⋂=∴⊥⊥∠=∴⊥∴-= （）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC 。

又EF//AB ，EF BC 。

而EF ，EF 平面EF AB 又为的中点，。

平面又，又，平面（Ⅲ）解：EF 平面为四面体的高，又2,111*.323B DEF B BF FC V -=∴====6.(2011江西高考18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于 点D,现将C'',PDA. PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面（1）当棱锥'A PBCD-的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为''.AC B DE⊥的中点，求证：A【答案】．7.(2010新课标18题)如图，已知四棱锥P ABCD-的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC BD⊥,垂足为H，PH是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD;（Ⅱ）若AB=,APB ADB∠=∠=60°,求四棱锥P-【答案】．(1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD内,且PH BD=H.所以AC⊥平面PBD.故平面PAC平面PBD. ……..6分(2)因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC⊥所以因为∠APB=ADR=600所以可得等腰梯形ABCD的面积为S=12……..9分所以四棱锥的体积为V=13x（33+……..12分8.(2011珠海模拟16题)在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积．【答案】．AMNFB CA DA FBA 1B 1C 1D 1ABCDE（1）因翻折后B 、C 、D 重合（如图），所以MN 应是ABF ∆的一条中位线，………………3分则////MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪⊄⇒⎬⊂⎪⎭平面平面平面．………6分 （2）因为}AB BE AB AB AF⊥⇒⊥⊥平面BEF ，……………8分且6,3AB BE BF ===，∴9A BEF V -=，………………………………………10分 又3,4E AFMN AFMN E ABF ABC V S V S --∆== ∴274E AFMN V -=．…………………………………12分9（2011韶关模拟18题）．如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.(1)求证：直线//1BB 平面DE D 1； (2)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； (3)求三棱锥DE A A 1-的体积.【答案】．(Ⅰ)证明：在长方体1111D C B A ABCD -中,11//DD BB ，又 ∵ ⊄1BB 平面DE D 1，⊆1DD 平面DE D 1∴ 直线//1BB 平面DE D 1 ………………………4分 (Ⅱ)证明：在长方形ABCD 中,∵11==AA AB ,2=AD ,∴2==DE AE ,∴2224AD DE AE ==+,故DE AE ⊥, ………………………6分 ∵在长方形ABCD 中有⊥1DD 平面ABCD ,⊆AE 平面ABCD , ∴ ⊥1DD AE , ………………………7分 又∵D DE DD = 1,∴直线AE ⊥平面DE D 1, ………………………8分 而⊆AE 平面AE A 1,所以平面AE A 1⊥平面DE D 1. ………………………10分(Ⅲ)=-DE A A V 1 =⨯=∆-ADE ADE A S AA V 1311312121131=⨯⨯⨯⨯.………………………14分10.（2011广州二模19题）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =． （1）求证：AC BD ⊥；（2）求三棱锥E BCD -的体积．EEAA A 1EC【答案】．（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．）（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ． 因为B D⊂平面，所以A ⊥．………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==8分以下给出求三棱锥E BCD -体积的两种方法： 方法1：由（1）知，AC ⊥平面EBD ，所以13E BCD C EBD EBD V V S CA --∆==⨯．……………………………………………10分 因为EA ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面， 所以EA AB ⊥，即ED AB ⊥．其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==，所以11422EBD S ED AB ∆=⨯⨯=⨯⨯=．………………………………13分所以11633E BCD V -=⨯=．………………………………………14分方法2：因为EA ABC ⊥平面，所以111333E BCD E ABC D ABC ABC ABC ABC V V V S EA S DA S ED ---∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯．其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==，所以11422ABC S AC AB ∆=⨯⨯=⨯=．…………………………13分AD 1A 1 EBC OD所以1164433E BCD V -=⨯⨯=．……………………………………………14分11.(2011佛山模拟19题)如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，E ，F 分别是棱BC ，11B C 上的动点，且1//EF CC ，11CD DD ==，2,3AB BC ==.（Ⅰ）证明：无论点E 怎样运动， 四边形1EFD D 都为矩形； （Ⅱ）当1EC =时，求几何体1A EFD D -的体积．19．解：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//DD CC ， ∵1//EF CC ，∴1//EF DD ， ---------------------------------------2分 又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面ABCD 平面1EFD D ED =， 平面1111A B C D 平面11EFD D FD =，∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形，-----------------------------4分 ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD 内，∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； ---------------------------------6分 （Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥， ----------------8分在Rt ABE ∆中，2AB =，2BE =，则AE = -----------------------9分在Rt CDE ∆中，1EC =，1CD =，则DE =； ------------10分 在直角梯形中ABCD，AD ==∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1ED DD D = ，∴AE ⊥平面1EFD D ； ----------------------------12分 由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D为矩形，且DE =11DD =，∴矩形1EFD D的面积为11EFD D S DE DD =⋅=∴几何体1A EFD D -的体积为11114333A EFD D EFD D V S AE -=⋅==．----------------14分12. (2011深圳第二高级中学高三模拟17题)如图)1(5是一个水平放置的正三棱柱111C B A ABC -，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的正（主）视图如图)2(5．图ABCD1A1B1CA)(C1B⑴求正三棱柱111CBAABC-的体积；⑵证明：11//ADCBA平面；⑶图)1(5中垂直于平面11BBCC的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）⒘⑴依题意，在正三棱柱中，3=AD，31=AA，从而2=AB……2分，所以正三棱柱的体积121AAADABShV⨯⨯⨯==……4分，3333221=⨯⨯⨯=……5分．⑵连接CA1，设EACCA=11，连接DE……6分，因为CCAA11是正三棱柱的侧面，所以CCAA11是矩形，E是CA1的中点……7分，所以DE是BCA1∆的中位线，BADE1//……8分，因为1ADCDE平面⊂，11ADCBA平面⊄，所以11//ADCBA平面……10分．⑶平面ABC、平面111CBA、平面DAC1……13分（每对个给1分）．13.（温州中学高三2008学年第一学期期末考试数学试卷文）. （本小题满分14分）一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点.（1）求证:PB ACE平面；（2）求证:PC BD⊥；（3）求三棱锥C PAB-的体积.2．（1）证明：依题意，该三视图所对应的直观图为一侧棱PA垂直于底面ABCD的四棱锥，且PA=AB=AD=1，四边形ABCD为正方形；分别连结AC、BD交于O，连结EO，∵E是PD的中点，∴PB∥EO，又PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE。