高一数学必修2空间几何部分公式定理大全

必修2空间几何部分公式定理总结

棱柱、棱锥、棱台的表面积

设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即

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设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即

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设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

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柱、锥、台的体积公式

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）

锥体体积公式为：，（为底面积，为高）

台体体积公式为：

（，分别为上、下底面面积，为高）

球的体积和表面积

球的体积公式

球的表面积公式

其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关.

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.

推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面.

推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面.

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

空间两条直线的位置关系有且只有三种：

共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点.

空间中直线与平面位置关系有且只有三种：

直线在平面内——有无数个公共点

直线与平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面平行——没有公共点

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

两个平面的位置关系只有两种：

两个平面平行——没有公共点

两个平面相交——有一条公共直线

异面直线所成的角

已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥，∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.

异面直线的判定定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线

是异面直线.

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行. 两个平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

推论：一个平面内两条相交的直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.

两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行，还有如下推论：

⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；

⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；

⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.

⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.

直线和平面垂直的概念

如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做. 叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.

直线和平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

直线与平面所成的角

如图，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.

直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.

两个平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.

在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

判断两平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角为直角.

三垂线定理：

平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

如图：在平面内的直线若垂直于直线，则就一定垂直于平面的斜线.

直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.

平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

两个平面垂直的性质还有：

⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线，必在这个平面内；

⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；

⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.

空间平行和垂直关系的转化