八年级数学典型错题的分析

八年级数学典型错题的分析
作者：杨翠丽
来源：《初中生世界·初中教学研究》2015年第04期
【摘要】目前针对学生数学错题的研究基本都是站在课堂教学的立场，从数学概念本身的角度分析学生的错误原因。

现实是，学生很多错误的形成还存在心理因素。

本文搜集、调查、整理学生在八年级数学学习中最初学习新知识时容易重复的错误，以及后期阶段测试中得分率仍比较低的错题。

对于每个错误，找学生访谈，了解学生的真实想法，找出学生不同知识点的错误中存在的内在共同点。

【关键词】八年级数学典型错误
一、学生在学习新知识初期的错误类型
学生在学习新知识时对某些概念表现出不能接受的抵触而反复出现错误。

具体分类如下：
1.对字母表示数的正负存在错误观念。

有部分学生顽固地认为没有出现负号的式子的值为正数，如“a”为正数，而出现负号的式子的值就为负数，如“-a”为负数。

实质上，学生强烈抵制“字母即一般（或概括）的数”这个观点。

这个错误观念不纠正，他们常常会本能地出现有关字母正负号的错误。

举例：（a
2.把符号“”与“平方根”混淆起来。

一些学生在认识“是一个无限小数”时就会产生抵触，甚至他们根本没办法接收“是一个数”的事实。

于是在学习二次根式时，他们对符号“”意义的理解就发生了偏差。

部分学生经常把“”与“平方根”等同起来。

比如：“=±2”，学生把“”理解为“4的平方根”，所以他认为结果为“±2”。

又比如：解方程“x2=2”时，学生经常会只写一个结果“x=”，表面上看，他是漏了一个解，但是如果问他“有几个解”时，他往往明确地回答“2个解”，说明他潜意识认为“”就是“2的平方根”，包含了正负两个值。

3.在函数中把表示变量的字母理解为某个数。

学生趋向于把函数和代数公式联系起来，他们不能把函数解析式中表示变量的字母看成是变量，只是把它看成是代数公式中的字母，或者是方程中的未知数，它代表着某个数，只是这个数现在不知道而已。

以至于他们不能把函数解析式与函数图像有机地结合起来。

比如，画出y=5x（0≤x≤4）的函数图像，学生往往不考虑自变量的取值范围，把它画成一条直线，说明图像与自变量的取值范围之间的联系，他们并没有建立起来。

4.对命题中的因果关系存在逻辑错误。

对于命题中的条件与结论分别是什么，学生通常处于雾里看花的朦胧状态，经常把条件与结论混淆。

比如，一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是一种等价关系，其中包含两种因果关系：
第一种是利用根的判别式，不解方程，就可以判断一个一元二次方程根的情况；
第二种，反过来，知道根的情况来判断根的判别式的情况。

但是学生不能分清这两种的区别，习惯性地使用应用比较多的第二种推断来做题。

举例：试判断关于x的方程x2+ax+a=1是否一定有实数根，并说明理由。

学生通常认为此题告知的是“方程有实数根”，要自己“求出字母a的取值范围”。

解：∵方程x2+ax+a=1有实数根，
∴△b2-4ac=a2-4（a-1）=a2-4a+4=（a-2）2≥0，
∴a是一切实数。

正确解答：∵△b2-4ac=a2-4（a-1）=a2-4a+4=（a-2）2≥0，
∴方程x2+ax+a=1一定有实数根。

5.分类讨论产生困难。

学生知道有“分类讨论”这个词，但是他们不知道什么情况下要讨论，为什么要讨论，即使知道此题要讨论，他们也很难找到分类的标准，即不知道怎么讨论。

举例：已知菱形有一个内角为60°，一条对角线长为6，那么菱形的边长为。

学生典型错误：“6”；漏了另一个解“2”。

学生通常不去追究“一条对角线长为6”，到底指“哪条对角线”，然后在“趋易避难”心理的驱使下，选择了比较容易计算的那种情况，算出答案。

正确的分类如下：
二、学生在复习阶段的错误类型
本次研究抽取了八年级第二学期三次校际统一测试、统一批改的学生试卷来进行重点分析，发现经过教师的讲解、学生的作业训练以及早期的错误纠正，学生原有的错误情况有了一些改善，但是有的问题仍旧存在，随着综合性问题的出现，学生产生了新的困难。

我们提取得分率比较低的题目，再次针对学生错误存在的内在共同点，从认知心理活动进行分析与分类。

1.不能正确理解概念。

八年级学生会把概念“方程的增根”与“方程的根”、符号“”与“平方根”混淆起来。

同时他们也经常把命题的条件和结论的因果关系混淆起来。

举例1：2010学年八年级数学期中考试第17题：使分式方程-2=产生增根的k的值是。

此题正确答案是k=±3，得分率为68%。

学生一般只答一个解。

举例2：2010学年八年级数学5月月考第9题：方程x3-2x=0的解是。

正确答案：x1=0，x2=，x3=-，得分率为79%。

2.不能把自然语言转化成与之等价的数学符号语言。

学生不能全部接纳同一个意义的不同表征形式，以至于不能顺利建立不同形式的等价命题之间的联系，从而不能自如地进行相互转化。

举例1：2010学年八年级数学期中考试第6题：已知，函数y=-2x+3，当x 时，该函数在x轴上方。

学生就是不能把“函数在x轴上方”正确转化成数学符号语言“y>0”，说明“函数在x轴上方”与“y>0”这两个概念在这些学生的思维中没有建立概括性的关系。

其实，在此题中这是相等的两个概念。

3.不能把概念灵活运用到不同的情境中。

学生通过学习训练，能在一般常见的情境中运用所学的概念解决问题，然而当题目提供的情境比较少见或者比较抽象时，学生就不知所措。

举例：2010学年八年级数学期中考试第7题：若点P（-2，m）、Q（2，n）是直线y=（m2+1）x+b（b是常数）上的两点，则m、 n大小关系是。

平时学生常见的题目表述比较直接，通常会问“函数y=（m2+1）x+b（m、b是常数）随着x的增大而。

”那么学生会比较肯定地回答“增大”。

此题的情境比较抽象，学生看见字母多的问题，本身就有不能驾驭的不自信，而且此题涉及的概念也比较多。

第一，“m2+1，是个正数”；第二，“一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）当k>0时，y随着x的增大而增大”；第三，“若点P（-2，m）、Q（2，n）是直线y=
（m2+1）x+b（b是常数）上的两点”，即“当x=-2”时，y=m；x=2时，y=n。

4.不能客观审视自己的解题过程，从中发现自己的错误。

很多学生只靠本能来做题，做完题目后，他们就很少主动地去审视自己有没有正确理解题意、计算过程是否正确，要解决的这个问题需要用到哪个概念，要注意哪些事项，等等。

举例：2010学年八年级数学期中考试第4题：若多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点引出的对角线有（）。

A.7条
B.8条
C.9条
D.10条
此题正确答案应该是C，得分率只有50%。

很多学生选D。

通过访谈，发现很多学生都能正确计算出这是一个十二边形，但是在计算对角线条数时，他们忘了要去掉原先的这个顶点，因为顶点与它自身不能连接成对角线。

这个错误就好像小学生数人数时忘记数自己一样经典。

5.对难度稍大的题目的恐惧情绪抑制思维活动。

很多学生一看见文字比较多的应用题、图形比较复杂的几何题以及综合性强的压轴题，就产生了恐惧情绪，就会厌烦，而懒得认真思考，只能自动放弃。

几乎每份试卷的这些题型的得分率都比较低，学生也经常会在此开天窗。

然而当他人讲解解题方法时，他们一样感觉原来方法挺简单，埋怨自己考试时怎么就想不出来。

举例1：2010学年八年级数学期末试卷第23题：用一张直角边长为4cm的等腰直角三角形纸片，剪出一个面积尽可能大的正方形。

甲、乙两位同学分别按照方案一、方案二进行裁剪，记正方形EDFC的面积为S1，正方形MNGH的面积为S2。

（1）请你通过计算，直接写出S1与S2的大小；
（2）比较S1与S2的大小。

此题满分7分，得分率为77.5%，正确答案为S1=4，S2=，S1>S2。

学生错误情况：有11人得3分，只能计算对S1=4；有2人得4分，计算对S1=4，能判断出S1>S2；有1人得1分，只能猜测出S1>S2；有1人得0分。

此题表现形式是一个现实应用题，实质就是计算面积，而且不用写出计算过程，只需写出答案，也就是说学生可以用各种方法（比如小学学过的割补法、八年级学的勾股定理等）来解决，然而在这样的文字表述下，很多同学放弃了计算S2。

6.相同的练习过多导致习惯性错误。

在一段时间内，如果对同一个概念用同一种情境同一种表述形式来连续地训练学生的话，那么当问题题意突然发生微小的变化时，学生往往会轻易地忽略掉变化，习惯性地解答而导致错误。

举例：2010学年八年级数学期末试卷第3题：对于非零向量，下列命题中假命题是（）。

在考前复习阶段的测试中，没有出现过选择“错误答案”的选择题。

很多学生反映说此题没有看清题意，以为是选择“真命题”，所以考试时看见一个肯定正确的答案就选上了。

因为平时选择题是要求选择正确答案的居多，习惯使然。

（作者单位：上海市松江区教师进修学院）。