国语学校17—18学年下学期高二入学考试数学(文)试题(附答案)

成都外国语学校高二下学期入学考试数学文科试卷注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2、本堂考试120分钟，满分150分。

3、答题前，请考生务必先将自己的姓名、学号填写在机读卡上，并使用2B 铅笔填涂。

4、考试结束后，请考生将试卷第页和机读卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在机读卡上) 1．设集合{}{}240,20A x x B x x =->=+<，则A B = （ ） A ．{}2x x >B ．{}2x x <-C ．{2x x <-或}2x >D ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2．已知命题p: ()0,ln 10x x ∀>+> ；命题q ：若,b a >则22b a >，下列命题为真命题的是A. p q ∧B. p q ⌝∧C.p q ⌝∧ D.p q ⌝⌝∧3．若π1cos()43α+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．46- B ．46+C ．718D 4．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ） A ．2014n ≤ B ．2015n ≤C ．2016n ≤D ．2018n ≤5．函数()20164cos 2016exy x =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）6.若直线)0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为（ ） A．B．C．+D ．+27．已知实数,x y 满足1{2 1 y y x x y m≤≥-+≥，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则实数m 等于（ ）A. ﹣4B. ﹣2C. 0D. 1 8．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )A．4B．C ．8D ．129．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有()7,16λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ⋅=成立的点P 有（ ）个 A ．2B ．4C ．6D ．010.已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.(]1,3B. (C.⎤⎦D.[)3,+∞11．已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为1 A 、2 A ，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()111,P x y ，()222,P x y ，则21x x -的最小值为（ ） A．B ．2C ．4D．12．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足()()1f x f x +=-，当11x -≤<，()3f x x =．函数()|log 0{ 10a x x g x x x=-<，，，若函数()()()h x f x g x =-在[)6-+∞，上有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1077⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，，B. ][117997⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，C. (]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，D. (]11199⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卷上。

13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()136n n n S a a =+，则数列{}n a 的通项公式为________．14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表；根据上表可得回归直线方程为ˆ0.9296.8yx =-，则表格中空白处的值为________． 15．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =，则m 的最小值为________．16 .过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于Q P ,两点，则FQ FP 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分10分）已知函数()21cos 2f x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a b 、 的值．18.(本小题满分12分）．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用a 表示．（把频率当作概率）．（1）假设5a =，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？（2）假设数字a 的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．19．(本小题满分12分）正项数列{}n a 满足()()21121310n n n n n a a a a a ++-+-+=， 11a =，数列{}n b 为等差数列， 321b a +=， 313a b =. （1）求证： 12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===， 90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．21．(本小题满分12分）已知函数()121log 1axf x x -=-为奇函数, a 为常数. （1）确定a 的值；（2）求证： ()f x 是()1+∞，上的增函数；22.(本小题满分12分）如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.成都外国语学校高二下期入学考试数学试题（文） 1．设集合{}{}240,20A x x B x x =->=+<，则A B = （ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <- C ．{2x x <-或}2x >D ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】B2．已知命题p: ()0,ln 10x x ∀>+> ；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是A. p q ∧B. p q ⌝∧C.p q ⌝∧ D. p q ⌝⌝∧【解析】由0x >时()11,ln 1x x +>+有意义，知p是真命题，由()()222221,21;12,12>>->--<-可知q 是假命题，即,p q ⌝均是真命题，故选B.3．若π1cos()43α+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A B C ．718D 【答案】A4．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ） A ．2014n ≤ B ．2015n ≤C ．2016n ≤D ．2018n ≤【答案】A【解析】前6步的执行结果如下：0,1s n ==；2s n ==；0,3s n ==；0,4s n ==；5s n ==；0,6s n ==；观察可知，s 的值以3为周期循环出现，所以判断条件为2014n ≤？时，s =5．函数()20164cos 2016exy x =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）【答案】A【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B 、D ，又()04130f =-=>，故选A ． 6若直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．+D ．+2试题分析：圆即（x+1）2+（y ﹣2）2=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故=+++1，利用基本不等式求得式子的最小值．解：圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y ﹣2）2=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）上，故﹣1a ﹣2b+2=0，即 a+2b=2，∴=+=+++1≥+2=，当且仅当时，等号成立，故选 C ．7．已知实数,x y 满足1{2 1 y y x x y m≤≥-+≥，如果目标函数z x y=-的最小值为2-，则实数m 等于（ ） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 1 【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z x y =-，得y x z =-，如图所示，当直线 y x z =- 过点B时， z 最小，把B 1,1)m -（ 代入112z x y m =-=--=-，解得0m = ，故选C. 8．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )A．4 B．C ．8D ．12【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，侧面是底边长为2，高为2的等腰三角形，所以该几何体的侧面积为142282S =⨯⨯⨯=． 9．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有()7,16λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ⋅=成立的点P 有（ ）个 A ．2 B ．4C ．6D ．0【答案】B【解析】若P 在AB 上，()()[]5,4PE PF PA AE PB BF PA PB AE BF ⋅=++=⋅+⋅∈-；若P 在CD 上，()()[]7,16PE PF PD DE PC CF PD PC DE CF ⋅=++=⋅+⋅∈；若P 在AE 上，()[]0,4PE PF PE PA AB BF PE PA PE BF ⋅=⋅++=⋅+⋅∈；同理，P 在BF 上时也有[]0,4PE PF ⋅∈；若P 在DE 上，()[]0,16PE PF PE PD DC CF PE PD PE CF ⋅=⋅++=⋅+⋅∈；同理，P 在CF 上时也有[]0,16PE PF ⋅∈；所以，综上可知当()7,16λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．10.已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.(]1,3B. (C.⎤⎦D.[)3,+∞11．已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为1 A 、2 A ，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()111,P x y ，()222,P x y ，则21x x -的最小值为（ ） A．B ．2C ．4D．【答案】Al与圆相切，1∴=，221m k ∴=+．由221y kx mx y =+⎧⎨-=⎩，得()()2221210k x mkx m ---+=，()()()222222221221044114180101k m k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩， 21k ∴<，11k ∴-<<，故k 的取值范围为()1,1-．由于12221mkx x k +=-，21x x ∴-===， 201k < ≤，∴当20k =时，21xx -取最小值12．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足()()1f x f x +=-，当11x -≤<，()3f x x =．函数()|log 0{ 10a x x g x x x=-<，，，若函数()()()h x f x g x =-在[)6-+∞，上有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1077⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，，B. ][117997⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，C. (]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，D. (]11199⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，，【解析】因为()()()21f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期函数且周期为2，如图()f x 的图像与1(0)y x x=-<的图像在[)6,0-有两个不同的交点，故()f x 的图像与()g x 在()0,+∞有4个不同的交点，故log 71{log 91a a <≥ ，解的79a <≤或1197a ≤<，选C ．13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()136n n n S a a =+，则数列{}n a 的通项公式为________． 【答案】3n a n =【解析】当1n =时，()1111136S a a a ==+，解得13a =； 当2n ≥时，()()1111336n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+⎡⎤⎣⎦，整理得()()1130n n n n a a a a --+--=．因为0n a >，所以130n n a a ---=，即13n n a a --=，所以{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=，即3n a n =． 14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表；根据上表可得回归直线方程为ˆ0.9296.8yx =-，则表格中空白处的值为________． 【答案】60【解析】根据回归直线经过样本中心(),x y 可得，表格中空白处的值为60． 15．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =，则m 的最小值为________．【答案】2【解析】如图所示，()0,1A -，()0,1F ，过P 作准线的垂线，垂足是H ，由对称性，不妨令P 在第一象限，sin PF PH m PAH PAPA∴===∠，∴问题等价于求PAH ∠的最小值，而2111114tan 14x y PAH x x x x ++∠===+=≥，当且仅当1124x xx =⇒=时等号成立，所以sin m PAH =∠，即：min m =16 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。