【优选整合】人教A版高中数学选修1-13.2导数的计算教案
人教版高中数学1-1选修3.2导数的计算教案
导数的计算【知识要点】一．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义1212)()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆x )－f (x 0)，则比值xx f x x f ∆-∆+)()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率． (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000. (3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0.二 ．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．三．导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)；③(sin x )′＝cos x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧e x x a a log 1)(log =(a ＞0，且a ≠1)． (2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u .(3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．【典型例题】例1 求曲线122+=x x y 在点)1,1(处的切线方程. 回顾导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. 解: 略例2 曲线运动方程为2221t tt s +-=,求3=t 时的速度. 回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数:)(')(t s t v =.解: 略例3已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(,且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,求c b a ,,的值.【随堂练习】1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)； (2)11+-=x x y ；(3)y ＝sin2x ； (4)y ＝e x ·ln x ．2．求下列函数的导数：(1)y ＝x －e x ；(2)y ＝x 3＋cos x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)⋅=x x y ln3．(tan x )′等于( ) (A)x 2sin 1 (B)x 2sin 1- (C)x 2cos 1 (D)x2cos 1-4．设f (x )＝x ln x ，若f '(x 0)＝2，则x 0等于( )(A)e 2(B)e (C)22ln (D)ln25．f '(x )是1231)(3++=x x x f 的导函数，则f '(－1)＝______．6．若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f '(1)＝______．7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．8．设函数f (x )＝xe kx (k ≠0)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是______．9设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．求a ，b ，c 的值．10．曲线x y 21e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) (A)2e 29 (B)4e 2 (C)2e 2 (D)e 2 6 (1)求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程.(2)过点(1，－3)作曲线y ＝x 2的切线，求切线的方程．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)，且该曲线在点B 处的切线方程为y ＝x －3，求a 、b 、c 的值。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_7
教案（理论教学首页）二、教学方法和手段1、通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，从特殊到一般的思维方法。
2、提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。
3、在探索“平均变化率”的过程中，体会数学的严谨与理性，感受数学中的美感，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
4、接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
三．教学过程1.创设情境，引入新课（1）平均速度与瞬时速度（8分钟）【创设情景，引入课题】播放一段视频林跃在2008年北京奥运会10米跳台夺冠的视频。
（1分钟）【教师提问】假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在这样一个函数关系：10＋6.5t ＋4.9t －=）t （h 2.请同学们思考一下在 0t t =时刻时林跃的瞬时速度是多少？ 【学生活动】通过讨论，找到突破口：要求瞬时速度，就是通过研究0t t =时它附近的平均速度变化，如图（1）。
【教师提问】所谓的0t t =时的附近的平均速度速度又要怎么刻画呢？瞬时速度和平均速度有什么关系呢？【教师总结】先求出0t 时刻到0t t +∆时刻的平均速度00()()h t t h t v t+∆-=∆，那么瞬时速度可以用平均速度来约等于，当时间变化量t ∆越小时，平均速度就越接近于瞬时速度，于是我们得到00000()()()lim limt t h t t h t v t v t∆→∆→+∆-==∆。
（2）曲线的切线斜率（5分钟）（1）为什么求曲线的切线的历史原因，17世纪数学家遇到的三类问题。
（2）任意曲线在任意一点的切线定义：割线的极限位置即为切线位置。
【教师提问】那么00(,)M x y 点的切线斜率，按照切线的定义怎么求呢？如下图（2）。
【学生活动】学生按照上述例子瞬时速度的总结，讨论归纳出00(,)M x y 点切线斜率。
即：割线MN 的斜率为平均变化率，当自变量的该变量0x x x ∆=-趋于零时的平均变化率即为M 点的瞬时速度。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》优质课教案_4
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】知识与技能：1.掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.掌握复合函数的导数公式。
过程与方法：培养学生灵活应用公式的能，以及分析探索知识的能力；培养学生的化归思想。
情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，有易入难的探索精神。
【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】复合函数的导数公式及解题应用【学情分析】在前面同学们已经掌握了导数的概念以及几个简单的基本初等函数的导数公式推导过程，也认识了符合函数。
本节，是在原有基础上的加深延续，同学们只要能够记住公式，掌握运算能力，就可以很好的完成本节的内容。
【教学过程】一、 问题导学：1、 依据我们上节课所学的内容，请同学们求出以下函数的导数： y=c y=x y=x 2 y=1/x x y =2、 总结以下函数的导数公式：f(x)=x α(α∈Q *) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x)=a x f(x)=e x f(x)=log a x f(x)=lnx二、 自主学习：1、y=c y ′=0 ； y=x y′=1； y=x 2y′=2x ； y=1/x y′=-1/x 2 ；x y = x y 21='.2、基本初等函数的导数公式：(1)若 f(x)=c (c 为常数)，则f′(x) =0 ；(2)若f(x)=x α(α∈Q *) ，则f ′(x)= αx α-1 ；(3)若 f(x)=sinx ，则f′(x)=cosx ；(4)若f(x)=cosx ，则 f′(x)=-sinx ；(5)若f(x)=a x ， 则f′(x)= a x lna ；(6)若 f(x)=e x , 则f′(x)= e x ；(7)若f(x)=log a x ，则f′(x)= 1/(xlna) ；(8)若f(x)=lnx ， 则f′(x)= 1/x .3、导数运算法则：(1) [f(x)±g(x)]′= f′(x) ± g′(x) ;(2) [f(x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;(3) [f(x)/g(x)] ′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]2(g(x)≠0)三、互动探究：1、求下列函数的导数：（1）y=cf(x) （2）y=x3-2x+3（3）y=x/(2-x) （4）y=log2x（5）y=3cosx-2sinx （6）y=2e x+lnx-ln4（生）（1）y′=cf′(x) （2）y′=3x2-2（3）y′=2/(2-x)2（4）y′=1/(xln2)（5）y′=-3sinx-2cosx （6）y′=2e x+1/x2、复合函数的导数：(1)如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？（生）令y=lnu u=x+2则y′=1/u u′=1 所以y x′=1/(x+2)(2)总结：如何求复合函数y=f(g(x))的导数，并找出与y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系。
推荐-高中数学人教A版选修1-1课件3.2 导数的计算(2)
(4)若 f(x)=cos x,则 f'(x)=-sin x;
(5)若 f(x)=ax,则 f'(x)=axln a(a>0);
(6)若 f(x)=ex,则 f'(x)=ex;
(7)若
f(x)=logax,则
f'(x)=
1 ������ln������
(������
>
0,
且������≠1);
(8)若 f(x)=ln x,则 f'(x)= 1������.
=
(������ + 1)2
(������ + 1)-(������-1)
2
= (������ + 1)2 = (������ + 1)2.
方法二:∵y=
������-1 ������+1
=
������+1-2 ������+1
=
1
−
������+2 1,
∴y'=
1-
2 ������+1
′=
-
2 ������+1
������cos������+cos������ ������2
解析:y'=
(cos������)'������-cos������ ������2
=
−
������sin������������+2 cos������.
答案:C
知识梳理
【做一做 3-2】 下列求导运算正确的是( )
A.
������
3.2 导数的计算
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1.能应用导数的定义求函数
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
人教版高中选修1-13.2导数的计算课程设计
人教版高中选修1-13.2导数的计算课程设计一、课程背景本次课程设计是为高中选修1课程中第13章函数的导数部分设计的，其中13.2节内容为导数的计算。
作为高中数学中的重要基础知识点之一，导数的计算在各类数学问题的解决中都扮演着重要角色。
因此，本次课程设计旨在帮助学生深入理解导数的相关概念，并通过练习提高学生的计算能力。
二、教学目的本次课程设计的教学目的主要有以下几点：1.通过导数的概念和推导，使学生了解导数的相关定义和性质。
2.通过导数的计算方法，使学生能够掌握导数的计算技巧。
3.通过练习题目，提高学生的综合运算能力。
三、教学内容本次课程设计的教学内容主要包括以下三个方面：3.1 导数的概念和性质1.导数的定义及其意义。
2.导数的几何意义。
3.函数局部和整体的单调性与导数的关系。
3.2 导数的计算方法1.基本初等函数的导数计算。
2.导数的四则运算法则。
3.高阶导数的计算方法。
3.3 导数的应用1.导数在函数图象的研究中的应用。
2.导数在物理、化学、生物等科学问题中的应用。
四、教学方法本次课程设计采用以下教学方法：1.讲授法：首先通过讲授导数的相关概念和性质，再通过实例展示导数的计算方法。
2.练习法：通过针对不同难度的练习题目，帮助学生巩固所学知识点。
3.探究法：通过让学生分组，让他们自己探究一些有特殊计算方法的导数。
五、教学过程5.1 导数的概念与性质1.导数的定义及其意义：详细讲解导数的定义和意义，让学生掌握导数的相关概念。
2.导数的几何意义：通过几何实例，让学生初步理解导数的几何意义。
3.函数局部和整体的单调性与导数的关系：让学生通过实例掌握函数局部和整体的单调性与导数的关系。
5.2 导数的计算方法1.基本初等函数的导数计算：通过讲解常见的基本初等函数导数的计算方法，让学生掌握导数的计算规律。
2.导数的四则运算法则：通过实例让学生学习导数四则运算法则的计算方法。
3.高阶导数的计算方法：让学生了解高阶导数的概念和计算方法。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_11
3.1.2导数的概念教学内容：导数的概念以及求函数在其定义域内某点处的导数的方法步骤教学目标：知识与技能目标：1．了解导数概念的实际背景，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会用定义求函数在某点的导数过程与方法目标：1.通过实例分析，引导学生用平均速度去求瞬时速度，体验由已知探究未知的数学方法，让学生亲自计算，在计算过程中感受逼近的趋势，并经历观察、分析、归纳、发现规律的过程。
2.引导学生以瞬时速度为基点，从特殊到一般，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，理解导数就是瞬时变化率3.通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法.情感、态度与价值观目标：通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣.教学重点：导数概念的形成过程及导数概念的内涵，用定义求函数在某点的导数教学难点：对导数概念的理解．教学准备：准备学案，投影仪，计算器教学方法：引导探究法：设疑——点拨——引导——探究。
教学设计：教学环节教学内容设计思想师生活动创设情景引入新课1.复习提问平均变化率的求解步棸：函数)(xfy=从1x到2x平均变化率为21()()f x f xyx x-∆=∆∆，函数从x到x x+∆的平均变化率如何表示呢？2.在10米高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在时间段[]2,2t+∆里的平均速度.教师给出：我们求出了运动员在这段时间的平均速度，但平均速度并不能反映运动员在某一时刻的速度，那么我们如何求运动员在某一时刻的速度呢？这一节课我们就来解决这样一个问题。
板书课题 3.1.2导数的概念1.让学生回忆上一节课的内容，在上一节课的基础上进入本节课的学习。
2.从实际问题出发，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究某个时刻的速度，这样能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。
高二人教A版高中数学选修1-3 第三章 导数及其应用3.2 导数的计算
=
28 (1 4)2
=-
6 25
.
因此曲线 y= 2x 在点(2, 4 )处的切线方程为 y- 4 =- 6 (x-2),
x2 1
5
5 25
即 6x+25y-32=0.
答案:(1)6x+25y-32=0
(2)已知曲线 y=5 x ,则过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程为
.
解析:(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5 x 上,
1
f′(x)= x ln a (a>0,且 a≠1)
1
f′(x)= x
2.导数运算法则
和差的导数 积的导数
商的导数
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
[ f (x) ]′= f (x)g(x) f (x)g(x)
3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
课标要求:1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 的导函数.2.理解导数的
x
四则运算法则.3.掌握几种常见函数的导数公式.4.能够应用导数公式及运
算法则进行求导运算.
自主学习 课堂探究
值为( B )
(A)1-cos 1
(B)1+cos 1 (C)cos 1-1
(D)-1-cos 1
5.(商的导数的应用)设函数f(x)= sin x ,f′(x)为函数f(x)的导函数,则
x
f′(π )=
.
答案:- 1
π
课堂探究
题型一 利用导数公式求函数的导数
人教A版数学高二选修1-1教学案3.2导数的计算
[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 81～P 85的内容，回答下列问题． 已知函数：①y ＝f (x )＝c ，②y ＝f (x )＝x ，③y ＝f (x )＝x 2， ④y ＝f (x )＝1x ，⑤y ＝f (x )＝x .(1)函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx＝0，(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？提示：由导数的定义得：(x )′＝1，(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x . (3)函数②③⑤均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x )′＝⎝⎛⎭⎫x 12′＝12x 12－1＝12x ，∴(x α)′＝αx α－1． 2．归纳总结，核心必记 (1)基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝α·xα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a xf ′(x )＝1x ln a(a ＞0，且a ≠1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． [问题思考](1)常数函数的导数为0说明什么？提示：说明常数函数f (x )＝c 图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x 轴．(2)对于公式“若f (x )＝x α(α∈Q *)，则f ′(x )＝αx α－1”，若把“α∈Q *”改为“α∈R ”，公式是否仍然成立？提示：当α∈R 时，f ′(x )＝αx α－1仍然成立．(3)下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎫sin π4′＝cos π4＝22.提示：不正确．因为sinπ4＝22是一个常数， 而常数的导数为零，所以⎝⎛⎭⎫sin π4′＝0．(4)若f (x )，g (x )都是可导函数，且f (x )≠0，那么下列关系式成立吗？ ①[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)； ②⎣⎡⎦⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2. 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确．[课前反思](1)基本初等函数的导数公式有哪些？； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？．[思考] 你能说出函数f (x )＝c 与f (x )＝x α、f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x 、f (x )＝a x 与f (x )＝e x 、f (x )＝log a x 与f (x )＝ln x 的导数公式有什么特点和联系吗？名师指津：(1)幂函数f (x )＝x α中的α可以由Q *推广到任意实数． (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，(e x )′＝e x 是(a x )′＝a x ln a 的特例．(4)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，(ln x )′＝1x 是(log a x )′＝1x ln a 的特例．讲一讲1．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1.[尝试解答] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．练一练1．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫1e x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫110x； (3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1e x ′＝⎝⎛⎭⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫110x ′＝⎝⎛⎭⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数， ∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ， ∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .讲一讲2．(链接教材P 84－例2)求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.[尝试解答] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝（e x ＋1）′（e x －1）－（e x ＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝e x （e x －1）－（e x ＋1）e x （e x －1）2＝－2e x （e x －1）2.利用导数运算法则求解的策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．练一练2．求下列函数的导数： (1)y ＝cos xx ；(2)y ＝x sin x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x2.解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·（x ）′x 2 ＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝（1＋x ）21－x ＋（1－x ）21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4（1－x ）′（1－x ）2＝4（1－x ）2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′ ＝1x ln 10＋2x3.讲一讲3．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思考点拨] 将直线y ＝x 向上平移，当直线与曲线y ＝e x 相切时，该切点到直线y ＝x的距离最小．[尝试解答] 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1， 又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 练一练3．求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用导数公式求导数，见讲1；(2)利用导数运算法则求导数，见讲2；(3)利用导数运算研究曲线的切线问题，见讲3.3．本节课的易错点是导数公式(a x)′＝a x ln a和(log a x)′＝1x ln a以及运算法则[f(x)·g(x)]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f（x）g（x）′的区别．课时达标训练（十五）[即时达标对点练]题组1利用导数公式求函数的导数1．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x；②⎝⎛⎭⎫sinπ3′＝cosπ3；③若y＝1x2，则y′＝－1x；④⎝⎛⎭⎫－1x′＝12x x.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sinπ3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误.⎝⎛⎭⎫1x2′＝0－（x2）′x4＝－2xx4＝－2x3，所以③错误.⎝⎛⎭⎫－1x′＝－0－（x12）′x＝12x－12x＝12x－32＝12x x，所以④正确．2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于()A.13 B.12 C.18 D.14解析：选D∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.∴f′(1)＝α＝14.题组2利用导数的运算法则求导数3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案：x 2＋6x （x ＋3）25．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x. 解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x . (2)y ′＝(cos x ·ln x )′ ＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e xsin x ′＝（e x ）′·sin x －e x ·（sin x ）′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x＝e x （sin x －cos x ）sin 2x.题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题7．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋18．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：110．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－2解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：16．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________． 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝xg (x )，求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．高中数学-打印版精心校对完整版 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是 sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_6
3.2导数的计算第一课时几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式一、1．知识与技能二、了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y＝xα(α∈Q)的导数．三、2．过程与方法四、掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．五、教学重难点六、本节重点：常数函数、幂函数的导数七、本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．预习案阅读课本，完成学案的知识归纳1.几个常用函数的导数（1）若y=f(x)=c,则'f(x)=＿＿＿（2）若y=f(x)=x,则'f(x)=＿＿＿（3）若2f x x==，则'f(x)=＿＿＿（4）若1y()f xy()==则'f(x)=＿＿x2基本初等函数的导数公式新课导入求函数导数的方法是：根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1) 函数y=f(x)=c 的导数. 0:(),()(),0,()lim 0.x y y f x C y f x x f x C C x y f x C x ∆→∆==∆=+∆-=-=∆∆''∴===∆解 公式1: .公式2是怎么推导出来的呢？（了解）探究案[例1] 求下列函数的导数．(1) 2y a = (a 为常数)． (2) 12y x =(3)y ＝cosx. （4）y=lnx方法小结：变式1求下列函数的导数(1) x y e = (2)4y x -=(3)y ＝2x (4)y ＝log 2x[例2]求下列函数的导数(1)y ＝1x 2 (2)y ＝3x(3) y =方法小结：变式2求下列函数的导数(1) y = (2)31y x =(3)y =拓展延伸：求函数f (x )＝1x 在x ＝1处的导数．方法小结：课堂小结训练案一、选择题1．函数f(x)＝0的导数是( ) A．0 B．1 C．不存在 D．不确定2．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是( )A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝03．已知函数f(x)＝1x，则f′(－2)＝( )A．4 B.14C．－4 D．－144．下列结论中不正确的是( ) A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝1x，则y′＝－12xC．若y＝－x，则y′＝－12xD．若y＝3x，则y′|x＝1＝3二、填空题5．曲线y＝n x在x＝2处的导数为12，则n等于________．6．若函数y＝sint，则y′|t＝6π＝________.。
数学：第三章《导数的计算》教案1(新人教A版选修1-1)
课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的：1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、讲解例题 P83 例1 练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-Q32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦练习： 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、导数运算法则三、课后作业：[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
高中数学人教A版选修1-1 3.2 导数的计算
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 1 求下列函数的导数:
(1)y=���2���2;(2)y=sin x-������1-1;
(3)y=sin
������-
3π 2
;(4)y=(
������+1)
1 ������
-1
.
解:(1)y'=
2 ������2
'=(2x-2)'=-4x-3;
(2)y'=
f(x)=1x
f'(x)=-x12
特别提醒这三个函数都是幂函数,其导数是求解其他函数导数
的基础,应牢记.其中应特别注意的是函数 f(x)=1������(或 f(x)=x-1),其导数 为 f'(x)=-���1���2,而不是 f'(x)=���1���2.
【做一做 1】 若 f(x)=x2,g(x)=1������,则 f'[g'(2)]=
3
x)'+(������2)'=-sin
x+32
1
������2=-sin
x+32������;
(4)y'= ln������-
1 2
������
'=(ln x)'-
1 2
������
'=1������ −
1 2
������ ln12
=
1 ������
+
1 2
������
ln 2;
(5)由于 y=(x+1)(x-1)(x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1,所以
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_3
§1.2.1几个常用函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程：一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y 1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=三．课堂练习1．课本P 13探究12．课本P 13探究24．求函数y =四．回顾总结。
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2018年下学期骨干引领课教案授课班级：授课人：授课时间：《3.2.1几个常用函数的导数》说课稿惠天启一、教材分析1、教学内容本节课的教学内容主要是从科学研究和工程技术的需要出发，通过一系列具体事例说明函数导数计算的作用，多面引发学生对学习导数的计算方法和有关运算公式的兴趣。
继而根据函数导数的定义推导出几个简单函数的导数。
2、教材的地位和作用本节课是高中新课程湖南教育出版社《数学》选修1—1第三章第二节的第１个课时，在此之前学生已对求自由落体的瞬时速度、求作抛物线的切线的问题作了探索，学习了导数的概念和几何意义，掌握了导数的定义与求导的方法，能够运用导数的定义解决一些实际问题。
通过这节课的学习学生将掌握几种常见幂函数的导数，为求导数打下坚实的基础。
因此，我认为本节课有着承前启后的作用，也有着非常重要的实际意义。
３、教学重点难点：本节教学重点是牢固、准确地记住几种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础。
本节教学难点是灵活动用公式求导。
４、关于几个常用函数导数公式。
（１）y=c(c为常数)的导数。
常数函数的导数为零的几何意义是曲线f(x)=c（c为常数）在任意点处的切线平行于x轴。
（２）y=x2的导数公式的推导。
y'=2x表示函数y=x2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：二、学情分析(1)学生已学习了平均速度的求法。
（2）学生已经知道了平均变化率，理解了平均变化率的几何意义就是过曲线上两点的割线的斜率。
（３）学生掌握了导数的定义和导数的几何意义，会利用导数的定义求函数的导数。
三、目标分析根据课程标准、教材内容、考虑到学生已有的知识结构和心理特征，我确定了如下的教学目标：知识与技能：了解函数导数运算的作用；理解并熟记课内推导出的几个常用函数导数公式并能运用公式求导。
过程与方法：学习过程中逐步掌握的“由特殊到一般，再由一般到特殊”的研究数学的思想方法，通过学习，能够鉴赏公式所蕴涵的数学美。
2019-2020年人教A版高中数学选修1-1 3-2 导数的计算 教案
2019-2020年人教A 版高中数学选修1-1 3-2 导数的计算 教案一、教学目标：1.知识与技能：（1）能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数()x f y =在0x 处的导数的方法与步骤；（2）理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给8个函数的导数公式，并能求简单函数的导数。
2. 过程与方法通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数在某点处导数的计算过程以及由函数在此点处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会他们之间的联系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透；3. 情态与价值观在求解具体函数的导函数的过程中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系。
二、教学重点.难点重点：推导几个常用函数的导数；难点：推导几个常用函数的导数。
三、学情分析从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，具有一定的想象能力和研究问题的能力．四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．六、自主学习导函数的定义：如果函数)(x f 在区间),(b a 上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '：即：则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。
1.对于导数的理解要注意以下几点：(1)“函数在一点处的导数”是一个数值，不是一个变数。
“函数的导数”是一个函数。
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3. 2.1几个常用函数导数课前预习学案（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =上课学案学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程学习过程合作探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数1y x = 21y x '=- 例2 求函数2()y f x x ==的导数解析：因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 有效训练练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x x ==的导数反思总结 1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.当堂检测1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 . 课后练习学案1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？3.2.1几个常用函数导数（教案）教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。
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3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点二类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数. (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x 2；(5)＝log 12x ；(6)y ＝3x .考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数导数公式的应用 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x－4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(6)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导. 跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ； (2)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＋x ＝1－x x ＋x ＝1x ＝x －12，∴y ′＝－12x －32.(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由. 考点 基本初等函数的导数公式 题意 利用导数公式求解切线问题解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线. 设切点为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为(－12，14).所以所求切线方程为y －14＝(－1)(x ＋12)，即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究若例2条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程. 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M (12，14).所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20).∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大. 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大， 故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.1.下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②53()x ＝23x ； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x. 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案 C解析 ∵②53()x '＝5323x ；③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，故选C.2.质点的运动方程是s ＝1t 4(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)，则质点在t ＝3 s 时的速度为( )A.－4×3－4 m /sB.－3×3－4 m/sC.－5×3－5 m /sD.－4×3－5 m/s答案 D解析 ∵s ′＝(1t 4)′＝－4t －5，∴s ′|t ＝3＝－4×3－5.则质点在t ＝3 s 时的速度为－4×3－5 m/s.3.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 答案 1e解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.4.求过曲线y ＝sin x 上的点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.解 曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π6)，即123x ＋18y －23π－9＝0. 5.求下列函数的导数.(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π2－x ).解 (1)y ′＝0.(2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝32()x '＝3212x ＝32x .(4)y ′＝1x ln 10.(5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.40分钟课时作业一、选择题1.下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x )′＝－3212x -；④(5x 2)′＝3525x -；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B解析 ∵②(x －1)′＝－x －2；⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确.故选B.2.若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( ) A.1 B.－1 C.±1 D.3 3 答案 C解析 ∵f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 3.正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.(π3，32) B.(－π3，－32)或(π3，32)C.(2k π＋π3，32) (k ∈Z )D.(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32) (k ∈Z )答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，k ∈Z ，∴y 0＝32或－32.4.已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A.4 B.－4 C.28 D.－28 答案 C解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，②由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.5.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1e D.－1e答案 C解析 设切点坐标为(x 0，ln x 0)， 则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝1x 0，又切线斜率可表示为ln x 0－0x 0－0，∴1x 0＝ln x 0x 0，则x 0＝e ， ∴切线的斜率为1e.6.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )等于( ) A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x答案 A解析 f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )， 可知周期为4，∴f 2 016(x )＝f 504×4(x )＝sin x .7.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) A.f (x )＝e x B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝ln x D.f (x )＝sin x答案 D解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A 项中，(e x )′＝e x >0，B 项中，(x 3)′＝3x 2≥0，C 项中，x >0，即(ln x )′＝1x >0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D. 二、填空题8.已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx 且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.答案 －4解析 ∵f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m ，∴f ′(2)＝－14，又g ′(2)＝1f ′(2)，∴m ＝－4.9.设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 答案 (1,1)解析 因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0).因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).10.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为____________. 答案 {x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴其解集为{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }.11.若曲线y ＝12x -在点(a ，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64 解析 ∵y ＝12x-，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，12a -)处的切线斜率k ＝－3212a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a - (x －a ).令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·3212a -＝9412a -＝18， ∴a ＝64. 三、解答题12.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近.则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以e x 0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 13.已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程. 解 因为f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，所以f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax .设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝ax 0，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 2，x 0＝e 2，y 0＝e.所以切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e ，切点为(e 2，e)，所以切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_5
第三章3.2.1几个常用函数的导数【教学目标】2. 注意培养学生归纳类比的能力；【教学重、难点】能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用。
【教学过程】【情境一】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？【情境二】1.利用定义求出函数①c y =的导数2.若表示速度关于时间的函数，则可以如何解释？如何描述物体的运动状态？问题1：函数值的增量y ∆是什么？（0）问题2：自变量的增量x ∆是多少（x x x x -∆+=∆)(）问题3：x y ∆∆=？?lim 0=∆∆→∆xy x 与x ∆的取值有关吗？ ()y f x =y c =0y '=一、知识与技能：1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题。
2．掌握五个公式，理解公式的证明过程；二、过程与方法：1. 通过本节的学习，使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、x y =的导数公式； 2.掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数．三、情感态度与价值观：1.通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。
问题4：你得到的函数c y =的导数是什么？（0='='c y ）与c 的取值有关系吗？【探究一】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=2x,y=3x,y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。
（1） 从图象上看它们的导数分别表示什么？（2） 这三个函数中哪个增长的最快？哪个增长的最慢？【探究二】在同一平面直角坐标系中画出函数 y=-2x,y=-3x,y=-4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》优质课教案_0
一、教学目标：
知识与技能：
1、掌握几个常用函数的导数公式，了解函数导数表示的几何意义、物理意义。
2、了解由导数定义推导几个常用函数的导数的推导过程。
3、运用导数公式。
过程与方法：
1、了解由导数定义推导几个常用函数的导数的一般方法和基本步骤。
2、运用“类比”思想求一些简单函数的导数。
情感态度价值观：
1、让同学们快乐学习，学习快乐，让学生体会推导过程，提高同学们处事的能力，培养学生举一反三的能力，注重培养学生自学能力。
2、通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识、几何知识之间的联系，提高学生的数学引用意识。
二、教学重点：
让学生会根据导数的定义求四个常用函数：的导数，并能利用导数公式求函数切线的斜率以及切线的方程，引导学生了解导数的几何意义，物理意义。
4.若f(x)=x4,则f(x)=4x3
猜想1：(xn)=(n为）
3、小菜一碟
练习1：求下列函数的导数
练习2：(x0)=。
4例题：画出函数的图象.求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
所以，曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1)即x+y-2=0
5.小结
6.作业：
课后练习
三、教学难点：
1、由导数定义求常用函数导数的推导过程。
2、根据的函数图象结合导数描述函数值与自变量的变化情况，理解函数导数与切线斜率的关系。
四、课时安排：1课时
五、教学用具：板书
六、教学方法：讲述法，讨论交流
七、教学过程：
1.复习
（1）导数的定义
（2）求函数的导数步骤
2探究1根据导数的定义，求下列函数的导数公式.
（1）函数y=f(x)=x
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1
的函数，称 f ( x) 为 f ( x ) 的导函数，通常也简称为导数。
1. 对于导数的理解要注意以下几点： (1) “函数在一点处的导数”是一个数值，不是 区别与联系；
一个变数。“函数的导数”是一个函数。注意这两个概念的
(2) 函数 y f x 在 x0 处 的导数 f (x0) 就是导数 f (x)在点 x0 处的函数值，所以求函数在一点处的导数
2．几个常见函数的导数 （ 1）基本初等函数的导数公式 这些公式由于受到我们所掌握的知识的局限，很多都无法推导，所以只能靠记忆； （ 2）两种求导方法： ①由导数定义求导；②由公式求导； 导数公式表
函数
导函数
函数
导函数
y c c为常数
a
y x a是实数 y ax a 0,a 1
y sin x y cos x y tan x
1 的曲线的切线方程。 3
3
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物 变化的规律。 六、课堂小结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 七、课时练与测 八、教学反思
4
数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会他们之间的联系与不同，体会算 法思想在求导过程中的渗透；
3. 情态与价值观 在求解具体函数的导函数的过程中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般
的数学逻辑的关系。
二、教学重点 .难点 重点：推导几个常用函数的导数；
难点：推导几个常用函数的导数。 三、学情分析
1
，切点
M
(1 , 1) ，
2
24
所求直线方程为 4x 4y 1 0 。
五、当堂检测
1．函数 y 3 x 的导数为（ ）
A ． 3x
B． 1 x 3
2
C．
1 x
3
3
2
D． 1 x 3 3
2．已知 f x x a ,若f ( 1) 4 ，则 a 的值为（ ）
A． 4
B． 4
3．下列结论中
C． 4
D ．不确定
①若 y
cos x ，则 y
sin x ；② 若f (x)
1 ,则 y x
1
；
2x x
③ 若y
f ( x)
1 x 2 , 则 f (3)
2 ；正确的个数为（ 27
）
A ． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4. 已知曲线 f ( x) 1 ，（ 1）求曲线过点 A(1,0) 的切线方程；（ 2）求满足斜率为 x
3.1.3 导数的计算
一、教学目标：
1.知识与技能：
（ 1）能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数
y f x 在 x0 处的导数的方法与步骤；
（ 2）理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给
8 个 函数的导数公式，并能求简单函数的导数。
2. 过程与方法 通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数在某点处导数的计算过程以及由函数在此点处导
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到 求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究 比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 六、自主学习 导函数的定义：
如果函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f ( x) ：即：则 f ( x) 是关于 x
y loga x a 0,a 1
典型例题：
例 1. 试求函数 y f (x) x 的导数。
解：
y c x x x
x
x
x
( x x x )( x x x) x( x x x )
＝
1
( x x x)
y'
f ' ( x)
y lim
lim
1
x0 x x0 x x
从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理
解和认识，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 四、教学方法
探析归纳，讲练结合 五、教学过程
新课引入 我们知道， 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，
物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 那
么，对于函数 y f ( x) ，如何求它的导数呢？
1 x 2x
例 2. 已知点 P（ -1，1），点 Q（ 2，4）是曲线 y x2 上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线的切线方程。
解： y ' 2x ，设切点为 M ( x0 , y0 ) ，则 y ' x x0 2 x0.
因为 PQ 的斜 率 k 4 1 1,又切线平行于 PQ， 21
所以 k 2x0 1 ，即 x0