专题15 直线与椭圆的位置关系-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)

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直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题

1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两个夹角称为焦点弦角，焦点弦角的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线，它是由所有点组成，这些点到两个固定点的距离之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个几何对象，它通过连接两个点并延伸至无限而形成。

直线与椭圆的位置关系讲解(全面)

求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、的, 0右面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点

【小初高学习】专题17 直线与椭圆、抛物线的位置关系-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)

专题十七直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题3】【2017浙江，20】如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分.（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为，再由，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，，因为，所以直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是．因为|PA|==，|PQ|= ，所以．令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．【母题原题4】【2016浙江，理19】如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）02e <≤【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路：第一步：依题意确定圆锥曲线方程.第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式. 第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解. 【方法总结】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝MN ＝ 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 4．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m =+，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．1．【浙江省湖州、衢州、丽水三地市2017-2018学年高二上学期期末】已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ， ,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 【答案】（1）32M y =.（2）3m =.试题解析：（1）设()11,A x y ， ()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立22{ 2202y kx nx kx n x y=+⇒--==，所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（*），又212MCk n k k k+-=-⇒ 211k n k =-⇒=-，代入（*）式，得： 3m =.2.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若，求△面积的最小值.【答案】(1).(2)32.【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出. （Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，则，∴，所以抛物线的方程是.（Ⅱ）设切线，即，切线与轴交点为，圆心到切线的距离为，化简得设两切线斜率分别为，则=，当且仅当时取等号.所以切线与轴围成的三角形面积的最小值为32.3．【腾远2018年（浙江卷）红卷】如图，直线与抛物线相交于两点，是抛物线的焦点，若抛物线上存在点，使点恰为的重心.（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）设，联立方程组，求得，进而利用重心的坐标公式，求得，由题意得不等式组，即可求解；详解：（1）设，由，得，由，得①，则，所以，由点为的重心可得，则，且②，而，即，代入①②得，解得，所以的取值范围为.（2）原点到直线的距离，，设，则，由得或，则在上递增，在上递减，即在或处取得最大值，而，所以，所以.点睛：本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.4．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】已知椭圆：的左，右焦点分别是，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的内角平分线交的长轴于点．（1）求实数的取值范围；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）设，则，求出的方程，利用角平分线的性质，由点到直线距离公式可得，，结合，可得结果；（2），设，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得，从而可得结果.详解：（1）设，则.又，所以直线的方程分别为：．因为．所以．因为，可得，所以，因此．（2）．．所以．设，则．所以，所以．当且仅当时取到等号．另解：．当且仅当时取到最大值．所以．点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.5．【天津市部分区2018年质量调查（二）】已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的上顶点为，过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的，再根据三角形的面积求出，根据，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）过点的直线方程为，代入到由得，可求出点的坐标，再求出的坐标和的坐标，以及|和点到直线的距离，根据三角形的面积求出的值．详解：（2）由题意设直线的方程为，设点由得解得∴，∴直线斜率，直线的方程为，由得点到直线：的距离为∵，∴，又，∴令，则，解得，∴，解得或（舍）∴的值为.6．【2017年天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ， Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则()1,0A ，设直线AP 方程为设()10x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =， 2p a =， 12a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故221622322m m m ⨯⨯=+，整理得2320m m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 7．【2018年浙江省模拟】设抛物线24y x =的焦点为F ，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的动直线交抛物线于不同两点,P Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求APQ ∆面积的最小值.【答案】（1）221y x =-；（2详解：（1）设直线PQ 方程为12x ty =+，代入24y x =得2420.y ty --= 设()()1122,,P x y Q x y ，则124y y t +=， 122y y =-， 21241x x t +=+. ∴212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 设(),M x y ，由212,{ 22,x t y t =+=消去t 得中点M 的轨迹方程为22 1.y x =-（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，. ∵()1,0F ， 212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭∴200121,{ 22.x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线24y x =上，得()221212t λλλ-=-+. 又∵0λ<∴212t λ=-，点A 到直线PQ的距离d =又12PQ y y =-=所以， APQ ∆面积12S PQ d =⋅⋅=1-=设()()31,0f λλλλ-=<，有()()()22121'f λλλλ-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，因此，当12λ=-时()f λ取到最小值.所以， APQ ∆面积的最小值是4. 8．【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知抛物线和：，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；（Ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标设切线的方程为：.利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得，结合图形可知直线斜率.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上，则，直线与圆相切，则，据此可得，则，，而，.令，则，故，的最小值为.试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，设切线的斜率为，则切线的方程为：，即.∴，解得：.∵，∴.（Ⅱ）设切线方程为，由点在直线上得：①圆心到切线的距离，整理得：②将①代入②得：③设方程的两个根分别为，，由韦达定理得：，，从而，.记函数，则，，的最小值为，当取得等号.9．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点，直线交于点，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记的面积分别是，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）时，.【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点P的坐标，由题得，得到的值，得到t的值. (Ⅱ)第二问，先算出的表达式，再得到的解析式，再利用导数或二次函数求它的最小值.(Ⅱ)直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得所以当，即时，.10．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S .（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标；（2）求125S S -的最小值.【答案】（1）y =；（2）24-. 【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---.由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由弦长公式及点到直线距离公式可得212151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次函数的性质可得结果. 试题解析：（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+，2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+- 即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由1y >，知102k <<.联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.所以11P AP =-= ()212k k -=1111Q AQ k ⎫=-=--⎪⎭k =点B 到直线AP 的距离d ==31k +=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2311122k k k +-=()2312512k k k k -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭2237612k k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ 2313242k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故当13k =时， 125S S -有最小值24-. 方法2：设()2P t t ，（1t >），则11AP k t =+，所以直线AQ ： ()1111y x t -=-+，则()0Q t -，. 又直线AB ： 20x y +-=， AB =则点P 到直线AB的距离为21d ==点Q 到直线AB的距离为2d ==所以()212121552S S AB d d -=-= ()232242t =--. 故当2t =时， 125S S -有最小值24-.11．【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆22:132x y C +=，直线():0l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若m >k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）k >k <.（Ⅱ）S ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：(1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，联立直线与椭圆方程，解得()()()2226423360km k m ∆=-+->，根据m >求出实数k 的取值范围(2) 设()11,A x y ， ()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x ==，计算得223k =，再由点到直线的距离算出h m ==，算出面积表达式OAB S ∆126AB h =⋅=，计算出范围解析：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得 ()222236360k xkmx m +++-=，所以()()()2226423360km km∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得k >k <. （Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122623kmx x k -+=+， 21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，所以2121212y y k k k x x ==，即()()12212kx m kx m k x x ++=，化简，得22236k k +=，即223k =.因为12AB x =-=原点O 到直线AB的距离h ==，所以OAB S ∆12AB h =⋅=≤22336222m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=当m =时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以S ⎛∈ ⎝⎭. 12.【河南省周口市2016-2017学年高二下学期期末】已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆：上．（1）求抛物线的方程；（2）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线：交椭圆于，两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，利用已知条件列出的方程组，求出即可得到抛物线方程．试题解析：（1）设点的坐标为．由题可知，，解得，∴抛物线的方程为；（2）由（1）得，抛物线的焦点，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的半焦距，即，又椭圆的离心率为，∴，即，∴椭圆的方程为，设，由，得，由韦达定理，得，由，得，解得或，①∵原点在以线段的圆的外部，则，∴，即，②由①，②得，实数的范围是或，即实数的取值范围是．。

直线与椭圆的位置关系-高中数学复习

点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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高中总复习·数学
解析：由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
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则点 P （－ c ，），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－，直线 PO 的斜

1

1
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1
率 kPO ＝＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－＝－，则
−

c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
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高中总复习·数学
4.
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（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ：＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝，
1 −2

2
1 ＋2
2

故椭圆的离心率 e ＝＝

1−
2
2
＝ .
2

2
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高中总复习·数学
1
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（2）已知斜率为－且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆＋＝1相

直线和椭圆位置关系总结大全

直线和椭圆位置关系总结大全1.直线不交于椭圆：当直线与椭圆不相交时，可以分为以下两种情况：(1)直线在椭圆外部：此时直线与椭圆没有交点；(2)直线在椭圆内部：此时直线与椭圆没有交点。

2.直线与椭圆外切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆外切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆外切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。

3.直线与椭圆内切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆内切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆内切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。

4.直线穿过椭圆：当一条直线穿过椭圆时，可以分为以下三种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆没有交点：此时直线与椭圆相离。

5.直线包围椭圆：当一条直线将椭圆切割成两个部分时，可以分为以下两种情况：(1)直线穿过椭圆：此时直线将椭圆分成内外两个部分；(2)直线在椭圆外部：此时直线将椭圆分成两个不相交的部分。

6.直线与椭圆重合：当直线与椭圆方程相同或者参数相同时，直线与椭圆重合。

7.直线与椭圆相交：当直线与椭圆有交点时，可以分为以下几种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆相交于两条线段：此时直线穿过椭圆。

总之，直线和椭圆之间的位置关系相当复杂，可以分为不交、外切、内切、相离、穿过、重合和相交等情况。

具体的位置关系可以通过解方程或者观察图形进行判断，同时利用相关的几何性质也可以得到更加精确的结论。

直线与椭圆的位置关系典型例题及答案

直线与椭圆的位置关系典型例题1.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o,2AF FB = .（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为()y x c -，其中c联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率 23c e a ==. ……6分（Ⅱ）因为21AB y y =-2221534a b=+.由23c a =得b =.所以51544a =，得a=3，b =椭圆C 的方程为22195x y +=. ……12分2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.23、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q，满足=，证明：点Q 总在某定直线上.4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈ ，证明22μλ+为定值.。

专题15 直线与椭圆的位置关系-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)

直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题

直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
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• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题
01
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的基本定义
直线的定义
直线是无限延伸的，没有起点和终点。在平面几何中，直线通常用两点间的连线表示。
椭圆的定义
椭圆是一种平面曲线，其定义是固定两点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
通过观察直线与椭圆的交点个数来判断位置关系。
02
弦长公式
弦长的定义及计算方法
Байду номын сангаас弦长定义
弦长是指连接圆内任意两点间的线段长度。
计算方法
通过利用勾股定理和圆的基本性质，可以计算出连接圆内两点的线段长度。
弦长公式的推导过程
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
圆的基本性质：圆内任意两点间的距离平方等于这两点与圆心距离的平方和。
直线与椭圆的位置关系分类
相交
直线与椭圆有两个不同的交点。
相切
直线与椭圆只有一个交点。
相离
直线与椭圆没有交点。
判断直线与椭圆位置关系的常用方法
代数法
通过联立直线和椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，然后根据判别式的值判断直线与椭圆的位置关系。
几何法
参数法
通过引入参数来表示直线的方程，然后代入椭圆的方程进行求解，根据解的情况判断位置关系。
弦中点的性质
弦中点与椭圆中心连线段与弦AB垂直，且该线段等于A、B两点到椭圆中心的距离之和的一半。
弦中点问题的求解方法
利用定义求解
根据弦中点的定义，可以求出弦中点的坐标。
利用几何性质求解

直线与椭圆位置关系(经典)

直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。

1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。

2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。

3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。

题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。

解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。

另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。

因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。

解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。

因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。

另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。

专题5.1 直线与椭圆的位置关系(第01期)-2019年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列(原卷

一、解答题
1．已知椭圆的左焦点，上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同两点，且线段的中点在圆上，求的值.
2．已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.
3．已知椭圆的离心率在椭圆W上．
(1)求椭圆W的方程；
(2)若曲线与椭圆W相交于A、B、C、D四点，AB//CD ，在y轴右侧．证明：直线AC与BD相交于定点E，并求出定点E的坐标．
4．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知：，椭圆：，为椭圆右顶点.过原点
且异于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，其中.设直线，的斜率分别为，.
（Ⅰ）求的值；
1
（Ⅱ）记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
6．设，分别是椭圆C ：的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．
Ⅰ求的周长；
Ⅱ若存在直线l，使得直线，AB ，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R 到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．
2。

专题09 直线与椭圆、抛物线的位置关系-2019浙江高考数学试题探源与变式 (1)

专题九直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2019浙江，15】15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【★答案★】15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得315,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PFk ==.【母题原题2】【2018浙江，17】已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【★答案★】5 【解析】设，由得因为A ,B 在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.【母题原题3】【2019浙江，21】21.如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的标准方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【★答案★】（1）1，1x =-；（2）1，()2,0G . 【解析】 (1)由题意可得12p=，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1k x x x x +=+=， ()12121242,4y y k x x y y k+=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得：131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得：()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦，且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦，由于34y k=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k +==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++- ()212132124828168y y ≥-=+-⨯+-.当且仅当21214888y y -=-，即21843y =+，162y =+时等号成立.此时121424y k y ==-，281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G . 【母题原题4】【2018浙江，21】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【★答案★】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题5】【2017浙江，20】如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求的最大值【★答案★】（I）（-1，1）；（II）.【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，，因为，所以直线AP斜率的取值范围是．（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是．因为|PA|==，|PQ|= ，所以．令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．【母题原题6】【2016浙江，理19】如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【★答案★】（Ⅰ）2222211a k k a k ++（Ⅱ）202e <≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k =-+．因此22212222111a k AP k x k a k=+-=++ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，2211121a k k AP +=2222221a k k AQ +=，22221122122121a k k a k k ++=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a a ==得，所求离心率的取值范围为02e <≤．【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路：第一步：依题意确定圆锥曲线方程.第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式. 第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解. 【方法总结】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN MN 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 4．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m =+，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．一、选择题1．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（）A ．24-B ．14-C ．36-D ．33-【★答案★】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=.122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k=-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k =-+=-++=-+.∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④．由③④可得2112k =，∵k 0<．∴3k =-. 故选：C ．2．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一)】已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：22x y 259+=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M|=（） A ．10 B ．8C ．6D ．4【★答案★】A 【解析】如图，由直线1为∠F 1PF 2的外角平分线，l⊥F 2M ，可得|PM|=|PF 2|，而椭圆E: 221259x y +=的a=5，2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PM|=|F 1M|=10，故选：A ．二、填空题3．【上海市虹口区2019届高三二模】已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【★答案★】2【解析】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故★答案★为：2．4．【浙教版高中数学高三二轮】已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M，N两点，则弦MN的长为________，MN的垂直平分线方程为________.【★答案★】 11x＋22y－1＝0【解析】由8x2＋9y2＝72得＝1，故椭圆的焦点为(1，0)，(－1，0)，不妨设l的方程为y＝2(x－1).由得11x2－18x－9＝0.由根与系数的关系，得x M＋x N＝，x M·x N ＝－.由弦长公式得|MN|＝|x M－x N|＝·＝＝；又MN的中点坐标为，∴MN的垂直平分线方程为11x＋22y－1＝0.故填 11x＋22y－1＝0.5．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为_____________.【★答案★】【解析】由题意，设直线的方程为，，则，联立椭圆方程可得，由韦达定理可得，，是线段的两个三等分点线段的中点与线段的中点重合，解得故★答案★为6．【江苏省泰州姜堰中学2018—2019学年高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与圆O：相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则______．【★答案★】3【解析】取椭圆的左焦点，连接，直线FP 与圆O ：相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，可得，，由椭圆的定义可得，在直角三角形中，可得：，即，可得，可得，故★答案★为3．三、解答题7．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点是(1,0)F ，直线1l ：1y k x =，2l ：2y k x =分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：224x y +=相切．（1）求直线AB 的方程（含1k 、2k ）；（2）若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求MON S ∆的取值范围．【★答案★】（1）1212()40k k x k k y -++=；（2）2] 【解析】（1）焦点是(1,0)F ，可得12p=，即2p =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，抛物线方程为24y x =，联立1y k x =，可得21144(,)A k k ，同理可得22244(,)B k k ，若AB 斜率存在，可得12121212AB y y k kk x x k k -==-+，AB 的方程为122112144()k k y x k k k k -=-+，化为1212()40k k x k k y -++=， AB 的斜率不存在时，也满足上面的方程，则直线AB 的方程为1212()40k k x k k y -++=；（2）过A ，B 的直线与圆O ：224x y +=相切，可得2d r ===，化简为221212()()4k k k k ++=，即有1220k k -≤<，cos ||||OA OBAOB OA OB x ⋅∠==⋅=，由221212()()4k k k k ++=，可得cos AOB ∠=，22121212()44sin 52k k k k MON k k --+∠=-，设1252(5,9]t k k =-∈，则222121212()444sin 452MONk k k k S MON k k ∆--+=∠=⋅-2(5)2(5)444t t t----+=⋅218494918()184t t t t t-+-==-+≤-=，当7t取等号，即121[2,0)k k =-∈-，所以max ()2MON S ∆=，又2491618(5)55MON S ∆>-+=，即45MON S ∆>，即有MON S ∆的取值范围为45(,2]5. 8．【山东省烟台市2019届高三高考一模】已知为抛物线：的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．【★答案★】(1) (2)【解析】（1）因为，在抛物线方程中，令，可得．于是当直线与轴垂直时，，解得．所以抛物线的方程为．（2）因为抛物线的准线方程为，所以．设直线的方程为，联立消去，得．设，，则，. 若点满足条件，则，即，因为点，，均在抛物线上，所以，，．代入化简可得，将，代入，解得．将代入抛物线方程，可得．于是点为满足题意的点．9．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）记、的面积分别为，，求的最小值.【★答案★】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得，∴，∴抛物线的方程为.（Ⅱ）设直线：，：，，，，由，，同理可得，从而，点到的距离，，∴.又，∴.当且仅当，即时有最小值.10．【安徽省江淮十校2019届高三第三次联考】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.【★答案★】(1)2;(2)有最小值4，此时.【解析】（1）设，，，则，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，，，故，∴，，从而.（2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，又由直线过点，∴，联立得，，点到直线的距离，，当且仅当时，有最小值4，此时.11．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点，直线交于点，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记的面积分别是，求的最小值．【★答案★】（Ⅰ）；（Ⅱ）时，.【解析】(Ⅰ)设，故直线AM 的方程为，直线BN 的方程为联立得：，解得： , 代入直线AM 可得(Ⅱ)直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：解得所以当，即时，.12．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S .（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标；（2）求125S S -的最小值.【★答案★】（1）152y +=；（2）24-. 【解析】（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+- 即210y y --=，得15y += （2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由1y >，知102k <<. 联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 所以()222211111P k AP k k k -=+-=+- ()22121k k k -=+1111QAQk⎫=-=--⎪⎭k=点B到直线AP的距离d==31k+=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭2311122kkk+-=()2312512kkk k-⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭2237612k kk⎛⎫--+= ⎪⎝⎭2313242k⎛⎫=--⎪⎝⎭故当13k=时，125S S-有最小值24-.方法2：设()2P t t，（1t>），则11APkt=+，所以直线AQ：()1111y xt-=-+，则()0Q t-，.又直线AB：20x y+-=，AB=则点P到直线AB的距离为21d==，点Q到直线AB的距离为2d==所以()212121552S S AB d d-=-=()232242t=--.故当2t=时，125S S-有最小值24-.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用.2. 注意根与系数的关系的应用. （1）弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别是()11,A x y ，()22,B x y 则221212()()AB x x y y =-+-2121k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-21k a∆=+.3. 有关中点弦问题.（1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系. （2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算.4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决.（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值.二、题型梳理1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2]. 3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．考点1点差法与中点弦例1 （1）椭圆221164x y+=的弦被点()2,1P所平分，求此弦所在直线的方程.（2）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝2b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.考点2直线与圆锥曲线的位置关系例2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k的直线l与椭圆221 2xy+=有两个不同的交点P和Q．求k的取值范围.规律方法（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）；（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论.考点3 与弦长有关的问题例3 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.考点4 例4 过点)0 ,3(-P 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值.例5 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x (a>b>0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.yxOABP考点5 椭圆中的定点、定值问题例6 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线P A 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不同的三点，A ⎝⎛⎭⎫32，322，B (－3，－3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(1)求椭圆的标准方程； (2)求点C 的坐标；(3)设动点P 在椭圆上(异于点A ，B ，C )，且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明：OM →·ON →为定值，并求出该定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：△从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.△直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.考点6 圆锥曲线中的最值、范围问题例8 已知圆为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足，求的取值范围.M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=λ=λ1.已知直线y =－x +1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x －2y =0上，求此椭圆的离心率.2.已知椭圆C 的方程x y 22431+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称.3.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，离心率22=e ，椭圆C 上的点到F的距离的最大值为12+，直线l 过点F 与椭圆C 交于不同的两点,.A B （1）求椭圆C 的方程；（2）若223||=AB ，求直线l 的方程.4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若坐标原点O 到直线l 的距离为2，求AOB ∆面积的最大值.5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程.6.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（△）求椭圆C 的标准方程；（△）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．7.已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）. (1) 求椭圆C 的方程；(2) E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.32本次课课后练习1.椭圆221369x y +=的一条弦被()4,2A 平分，那么这条弦所在的直线方程是 .2.已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．3.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，离心率为22.分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且OE ＝EF . (1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值.5.已知,A B 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左，右顶点，B (2，0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交于其于点M ， N ，交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列．（△）求椭圆C 的方程；（△）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 求12S S 的取值范围．x6.已知椭圆的中点为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2，t)(t＞0)在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线FH，且与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．。

专题5.1 直线与椭圆的位置关系-2019年高考数学(理)

一、解答题
1．已知椭圆的左焦点，上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同两点，且线段的中点在圆上，求的值.
2．已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.
3．已知椭圆的离心率在椭圆W上．
(1)求椭圆W的方程；
(2)若曲线与椭圆W相交于A、B、C、D四点，AB//CD，在y轴右侧．证明：直线AC与BD相交于定点E，并求出定点E的坐标．
4．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知：，椭圆：，为椭圆右顶点.过原点
且异于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为，其中.设直线，的斜率分别为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
6．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．
Ⅰ求的周长；
Ⅱ若存在直线l，使得直线，AB，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R 到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．。

专题17 直线与椭圆、抛物线的位置关系-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)

专题十七直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题3】【2017浙江，20】点P（x,y）过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II【答案】（I）（-1，1）；（II【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分.（Ⅰ）由斜率公式可得AP AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，因为，所以直线AP（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q因为．所以 f(k)因此当【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法【母题原题4】【2016浙江，理19】如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）0e <≤ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路：第一步：依题意确定圆锥曲线方程.第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式. 第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解. 【方法总结】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝MN ＝ 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 4．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m =+，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．1．【浙江省湖州、衢州、丽水三地市2017-2018学年高二上学期期末】已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ， ,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 【答案】（1）32M y =.（2）3m =.试题解析：（1）设()11,A x y ， ()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立22{2202y kx n x kx n x y=+⇒--==，所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（*），又212MCk n k k k+-=-⇒ 211k n k =-⇒=-，代入（*）式，得： 3m =.2.【2018届浙江省杭州市第二中学6.【答案】(2)32.【解析】分析：.的切线.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，.详解：.所以切线与轴围成的三角形面积32.3．【腾远2018.（1（2.【答案】（1（2【解析】分析：（1，联立方程组，求得详解：（1②，的取值范围为.（2点睛：本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.4．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】：的内角平分线（1（2【答案】（1（2【解析】分析：（1）利用角平分线的性质，（2）.详解：（1．（2点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.5．【天津市部分区2018年质量调查（二）：的两个焦点构成的三角形面积为（1（2.【答案】【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的即可求出椭圆方程，到直线的距离，根据三角形的面积求出详解：（2得6．【2017年天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ， Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则()1,0A ，设直线AP 方程为设()10x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD 的面积为2解方程求出m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =， 2p a =， 12a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD ，故22162232m m m ⨯⨯=+2320m m -+=，解得3m =3m =±.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 7．【2018年浙江省模拟】设抛物线24y x =的焦点为F ，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的动直线交抛物线于不同两点,P Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求APQ ∆面积的最小值.【答案】（1）221y x =-；（2详解：（1）设直线PQ 方程为12x ty =+，代入24y x =得2420.y ty --= 设()()1122,,P x y Q x y ，则124y y t +=， 122y y =-， 21241x x t +=+. ∴212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 设(),M x y ，由212,{ 22,x t y t =+=消去t 得中点M 的轨迹方程为22 1.y x =-（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，. ∵()1,0F ， 212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭∴200121,{ 22.x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线24y x =上，得()221212t λλλ-=-+. 又∵0λ<∴212t λ=-，点A 到直线PQ的距离d =又12PQ y y =-=所以， APQ ∆面积12S PQ d =⋅⋅=1-=设()()31,0f λλλλ-=<，有()()()22121'f λλλλ-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，因此，当12λ=-时()f λ取到最小值.所以， APQ ∆.8．【浙江省金华十校2018年4..【答案】【解析】试题分析：利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得故，的最小值为.试题解析：，∴.9．【2018P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点Pt的值. (Ⅱ)第二问，先算出次函数求它的最小值.(Ⅱ)时，.10．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S .（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标；（2）求125S S -的最小值.【答案】（1）y =；（2）24-. 【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---.由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得12y =；（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由弦长公式及点到直线距离公式可得212151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次函数的性质可得结果. 试题解析：（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由1y >，知102k <<.联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.所以11P AP =-=()212k k-=1111Q AQ k ⎫=-=--⎪⎭k =点B 到直线AP 的距离d ==31k +=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2311122k k k +-=()2312512k k k k -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭2237612k k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ 2313242k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故当13k =时， 125S S -有最小值24-. 方法2：设()2P t t ，（1t >），则11AP k t =+，所以直线AQ ： ()1111y x t -=-+，则()0Q t -，. 又直线AB ： 20x y +-=， AB =则点P 到直线AB的距离为21d ==点Q 到直线AB的距离为2d ==所以()2121215522S S AB d d ⎫-=-= ()232242t =--. 故当2t =时， 125S S -有最小值24-.11．【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆22:132x y C +=，直线():0l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若m >k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）k >k <.（Ⅱ）S ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：(1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，联立直线与椭圆方程，解得()()()2226423360km k m ∆=-+->，根据m >求出实数k 的取值范围(2) 设()11,A x y ， ()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x ==，计算得223k =，再由点到直线的距离算出h m ==，算出面积表达式OAB S ∆12AB h =⋅=，计算出范围解析：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得 ()222236360k xkmx m +++-=，所以()()()2226423360km km∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得k >k <. （Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122623kmx x k -+=+， 21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，所以2121212y y k k k x x ==，即()()12212kx m kx m k x x ++=，化简，得22236k k +=，即223k =.因为12AB x=-=原点O到直线AB的距离h==，所以OABS∆12AB h=⋅=≤223362222m m⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当m=时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，所以S⎛∈⎝⎭.12.【河南省周口市2016-20173（1（2）：：两个不同的点，若原点在以线段的取值范围．【答案】（1（2【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为抛物线方程．试题解析：（1的方程为（2）由（1，由韦达定理，得，，即实数。

专题17 直线与椭圆、抛物线的位置关系-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)

专题十七直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题3】【2017浙江，20】点P（x,y）过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II【答案】（I）（-1，1）；（II【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分.（Ⅰ）由斜率公式可得AP AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，因为，所以直线AP（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q因为．所以 f(k)因此当【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法【母题原题4】【2016浙江，理19】如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）02e <≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e <≤【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路：第一步：依题意确定圆锥曲线方程.第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式. 第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解. 【方法总结】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝MN 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 4．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m =+，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．1．【浙江省湖州、衢州、丽水三地市2017-2018学年高二上学期期末】已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ， ,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 【答案】（1）32M y =.（2）3m =.试题解析：（1）设()11,A x y ， ()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立22{ 2202y kx n x kx n x y=+⇒--==，所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（*），又212MCk n k k k +-=-⇒ 211k n k=-⇒=-，代入（*）式，得： 3m =.2.【2018届浙江省杭州市第二中学6.【答案】(2)32.【解析】分析：.的切线.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，.详解：.所以切线与轴围成的三角形面积32.3．【腾远2018.（1（2.【答案】（1（2【解析】分析：（1，联立方程组，求得详解：（1②，的取值范围为.（2点睛：本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.4．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】：的内角平分线（1（2【答案】（1（2【解析】分析：（1）利用角平分线的性质，（2）.详解：（1．（2点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.5．【天津市部分区2018年质量调查（二）：的两个焦点构成的三角形面积为（1（2.【答案】【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的即可求出椭圆方程，到直线的距离，根据三角形的面积求出详解：（2得6．【2017年天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ， Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD ，求直线AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则()1,0A ，设直线AP 方程为设()10x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD 解方程求出m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意， 12c a =，2p a =， 12a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故22162232m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x +-=，或330x -=. 7．【2018年浙江省模拟】设抛物线24y x =的焦点为F ，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的动直线交抛物线于不同两点,P Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求APQ ∆面积的最小值.【答案】（1）221y x =-；（2详解：（1）设直线PQ 方程为12x ty =+，代入24y x =得2420.y ty --= 设()()1122,,P x y Q x y ，则124y y t +=， 122y y =-， 21241x x t +=+.∴212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 设(),M x y ，由212,{ 22,x t y t =+=消去t 得中点M 的轨迹方程为22 1.y x =-（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，. ∵()1,0F ， 212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭∴200121,{ 22.x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线24y x =上，得()221212t λλλ-=-+. 又∵0λ< ∴212t λ=-，点A 到直线PQ的距离d =又12PQ y y =-=所以， APQ ∆面积12S PQ d =⋅⋅=1-=设()()31,0f λλλλ-=<，有()()()22121'f λλλλ-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，因此，当12λ=-时()f λ取到最小值.所以， APQ ∆面积的最小值是4.8．【浙江省金华十校2018年4..【答案】【解析】试题分析：利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得故，的最小值为.试题解析：，∴.9．【2018P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点Pt的值. (Ⅱ)第二问，先算出次函数求它的最小值.(Ⅱ)时，.10．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S .（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标；（2）求125S S -的最小值.【答案】（1）12y +=；（2）24-. 【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---.由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =；（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由弦长公式及点到直线距离公式可得212151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次函数的性质可得结果. 试题解析：（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由1y >，知102k <<. 联立()211{y k x y x-=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.所以11P AP =-=()212k k-=1111Q AQ k ⎫=-=--⎪⎭k =点B 到直线AP 的距离d ==31k +=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2311122k k k +-= ()2312512k k k k -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 2237612k k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭2313242k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故当13k =时， 125S S -有最小值24-. 方法2：设()2P t t ，（1t >），则11AP k t =+，所以直线AQ ： ()1111y x t -=-+，则()0Q t -，. 又直线AB ： 20x y +-=， AB =则点P 到直线AB的距离为21d ==点Q 到直线AB的距离为2d ==所以()212121552S S AB d d -=-= ()232242t =--. 故当2t =时， 125S S -有最小值24-.11．【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆22:132x y C +=，直线():0l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若m ，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）k >k <.（Ⅱ）S ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：(1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，联立直线与椭圆方程，解得()()()2226423360km k m ∆=-+->，根据m ，求出实数k 的取值范围(2) 设()11,A x y ， ()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x ==，计算得223k =，再由点到直线的距离算出h m ==，算出面积表达式OAB S ∆12AB h =⋅=，计算出范围解析：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得 ()222236360k xkmx m +++-=，所以()()()2226423360km k m∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得3k >或3k <-. （Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122623kmx x k -+=+， 21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，所以2121212y y k k k x x ==，即()()12212kx m kx m k x x ++=，化简，得22236k k +=，即223k =.因为12AB x=-=，原点O到直线AB的距离h m==，所以OABS∆12AB h=⋅=6≤⨯223362222m m⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当m=时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，所以S⎛∈⎝⎭.12.【河南省周口市2016-20173（1（2）：：两个不同的点，若原点在以线段的取值范围．【答案】（1（2【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为抛物线方程．试题解析：（1的方程为（2）由（1，由韦达定理，得，，即实数。

专题17 直线与椭圆、抛物线的位置关系-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)

专题十七直线与椭圆、抛物线的位置关系【母题原题1】【2018浙江，17】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【母题原题2】【2018浙江，21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.【母题原题3】【2017浙江，20】点P（x,y）过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II【答案】（I）（-1，1）；（II【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分.（Ⅰ）由斜率公式可得AP AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，因为，所以直线AP（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程解得点Q因为．所以 f(k)因此当【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法【母题原题4】【2016浙江，理19】如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22221a k a k +（Ⅱ）02e <≤．【解析】试题分析：（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e <≤【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．【思路点睛】（Ⅰ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点()0,1Α为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求得a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．【命题意图】考查圆锥曲线的标准方程及几何性质，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【答题模板】求解直线圆锥曲线位置关系问题的一般思路：第一步：依题意确定圆锥曲线方程.第二步：联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，应用韦达定理，构建目标关系式. 第三步：针对目标关系式的特点，选择利用函数、不等式、导数等知识，按要求运算求解. 【方法总结】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2．常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝MN 2.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． 3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 4．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx m =+，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．6.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．1．【浙江省湖州、衢州、丽水三地市2017-2018学年高二上学期期末】已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ， ,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 【答案】（1）32M y =.（2）3m =.试题解析：（1）设()11,A x y ， ()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立22{ 2202y kx n x kx n x y=+⇒--==，所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（*），又212MCk n k k k +-=-⇒ 211k n k=-⇒=-，代入（*）式，得： 3m =.2.【2018届浙江省杭州市第二中学6.【答案】(2)32.【解析】分析：.的切线.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，.详解：.所以切线与轴围成的三角形面积32.3．【腾远2018.（1（2.【答案】（1（2【解析】分析：（1，联立方程组，求得详解：（1②，的取值范围为.（2点睛：本题主要考直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.4．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试】：的内角平分线（1（2【答案】（1（2【解析】分析：（1）利用角平分线的性质，（2）.详解：（1．（2点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.5．【天津市部分区2018年质量调查（二）：的两个焦点构成的三角形面积为（1（2.【答案】【解析】分析：（1）根据抛物线的性质可得椭圆中的即可求出椭圆方程，到直线的距离，根据三角形的面积求出详解：（2得6．【2017年天津卷】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ， Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD ，求直线AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x -=，或330x -=. 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则()1,0A ，设直线AP 方程为设()10x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD 解方程求出m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意， 12c a =，2p a =， 12a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为()222623*********mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故22162232m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x +-=，或330x -=. 7．【2018年浙江省模拟】设抛物线24y x =的焦点为F ，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的动直线交抛物线于不同两点,P Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求APQ ∆面积的最小值.【答案】（1）221y x =-；（2详解：（1）设直线PQ 方程为12x ty =+，代入24y x =得2420.y ty --= 设()()1122,,P x y Q x y ，则124y y t +=， 122y y =-， 21241x x t +=+.∴212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 设(),M x y ，由212,{ 22,x t y t =+=消去t 得中点M 的轨迹方程为22 1.y x =-（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，. ∵()1,0F ， 212,22M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭∴200121,{ 22.x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线24y x =上，得()221212t λλλ-=-+. 又∵0λ< ∴212t λ=-，点A 到直线PQ的距离d =又12PQ y y =-=所以， APQ ∆面积12S PQ d =⋅⋅=1-=设()()31,0f λλλλ-=<，有()()()22121'f λλλλ-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，因此，当12λ=-时()f λ取到最小值.所以， APQ ∆面积的最小值是4.8．【浙江省金华十校2018年4..【答案】【解析】试题分析：利用圆心到直线的距离等于半径解方程可得故，的最小值为.试题解析：，∴.9．【2018P位于第一象限．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，联立直线AM和BN的方程得到它们的交点Pt的值. (Ⅱ)第二问，先算出次函数求它的最小值.(Ⅱ)时，.10．【2018届浙江省嵊州市高三上期末】如图，已知抛物线2y x =，点()11A ，， ()42B -，，抛物线上的点()P x y ， (1)y >，直线AP 与x 轴相交于点Q ，记PAB ， QAB 的面积分别是1S ， 2S .（1）若AP PB ⊥，求点P 的纵坐标；（2）求125S S -的最小值.【答案】（1）12y +=；（2）24-. 【解析】试题分析：（1）由斜率公式可得2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---.由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =；（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，联立()211{ y k x y x -=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，由弦长公式及点到直线距离公式可得212151531532422222S S AP d AQ d AP AQ d k ⎛⎫⎛⎫-=-=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用二次函数的性质可得结果. 试题解析：（1）因为2111111AP y y k x y y --===--+， 2221442AP y y k x y y ++===---. 由AP BP ⊥，得11112AP BP k k y y ⋅=⋅=-+-即210y y --=，得y =（2）设直线AP ： ()11y k x -=-，则110Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，由1y >，知102k <<. 联立()211{y k x y x-=-=，消去x 得210ky y k -+-=，则1P k y k -=， 211k k P k k ⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.所以11P AP =-=()212k k-=1111Q AQ k ⎫=-=--⎪⎭k =点B 到直线AP 的距离d ==31k +=.所以12151552222S S AP d AQ d AP AQ d ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭2311122k k k +-= ()2312512k k k k -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 2237612k k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭2313242k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故当13k =时， 125S S -有最小值24-. 方法2：设()2P t t ，（1t >），则11AP k t =+，所以直线AQ ： ()1111y x t -=-+，则()0Q t -，. 又直线AB ： 20x y +-=， AB =则点P 到直线AB的距离为21d ==点Q 到直线AB的距离为2d ==所以()212121552S S AB d d -=-= ()232242t =--. 故当2t =时， 125S S -有最小值24-.11．【2018届浙江省杭州市高三上期末】已知椭圆22:132x y C +=，直线():0l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若m ，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）k >k <.（Ⅱ）S ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：(1)由直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，联立直线与椭圆方程，解得()()()2226423360km k m ∆=-+->，根据m ，求出实数k 的取值范围(2) 设()11,A x y ， ()22,B x y ，由直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列，得2121212y y k k k x x ==，计算得223k =，再由点到直线的距离算出h m ==，算出面积表达式OAB S ∆12AB h =⋅=，计算出范围解析：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得 ()222236360k xkmx m +++-=，所以()()()2226423360km k m∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得3k >或3k <-. （Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122623kmx x k -+=+， 21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，所以2121212y y k k k x x ==，即()()12212kx m kx m k x x ++=，化简，得22236k k +=，即223k =.因为12AB x=-=，原点O到直线AB的距离h m==，所以OABS∆12AB h=⋅=6≤⨯223362222m m⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当m=时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，所以S⎛∈⎝⎭.12.【河南省周口市2016-20173（1（2）：：两个不同的点，若原点在以线段的取值范围．【答案】（1（2【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为抛物线方程．试题解析：（1的方程为（2）由（1，由韦达定理，得，，即实数。

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专题15 直线与椭圆的位置关系【母题来源一】【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是______________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点，由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得1|2|||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得32x =-或212x =（舍去），又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3(2P -，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得1|2|||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3(,22P -，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径．结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解．也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆22(1)4y m m x +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =______________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=， 2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【命题意图】通过考查椭圆的标准方程、简单几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想的运用和运算求解能力．【命题规律】椭圆问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以椭圆的标准方程、离心率及直线与椭圆的位置关系为主，注意椭圆的定义和圆、向量等的结合，注意题中隐含条件的挖掘．【答题模板】1．直线与椭圆的弦长问题有三种解法（1）过椭圆的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．2．此类问题离不开根与系数的关系，因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与椭圆的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决椭圆综合问题的重要方法之一，尤其是弦中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．【方法总结】1．椭圆定义的集合语言：1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用：（1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△．2．求椭圆的方程有两种方法（1）定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法．这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断．根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）．第二步，设方程．根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>．第三步，找关系．根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）．第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且． 3．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a ，c ，代入公式ce a=．（2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）． 4．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，则弦长1212||(0)＝AB x x y y k =-=-≠．（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 5．中点弦问题AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a-．6．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解．7．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC △的重心，且BMA △与CMO △的面积之比为32，则直线BC 的斜率为A ．4-B ．14-C ．-D ．-【答案】C【分析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ，(0,)M m ，33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+，由B M A △与CMO △的面积之比为32，可得2BM MC =1220x x ⇒+=；联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩2236k m =2214m k -+，利用原点O 是ABC △的重心，得31228()14km x x x k =-+=+，32214my k=-+，由223344x y +=22144k m ⇒+=，由此可得k 的值．【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ，(0,)M m ，33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+，因为原点O 是ABC △的重心，所以BMA △与CMO △的高之比为3，又BMA △与CMO △的面积之比为32，则2BM MC =，即2BM MC =1220x x ⇒+= ①，联立2244y kx mx y =+⎧⇒⎨+=⎩222(41)8440k x mkx m +++-=，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+ ②，由①②整理可得22223614m k m k =-+ ③，因为原点O 是ABC △的重心，所以31228()14km x x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k =-+=-++=-+．因为223344x y +=，所以22222282()4()41441414km m k m k k-+=⇒+=++ ④．由③④可得2112k =，因为0k <，所以6k =-．故选C ．【名师点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，根与系数关系的应用，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．2．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷】已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为ba的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若椭圆上存在一点P ，满足OA OB OP ++=0（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为A BC ．2D ．12【答案】A【分析】根据平方差法得到直线OM 的方程为by x a=-，联立方程组，解得点P 的坐标，再根据OA OB OP ++=0，得2OP OM =-，把点(,)bcP c a-代入椭圆的方程，即可求解离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，由题意知2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得1212121222()(()()0)x x x x y y y y a b+-+-+=，则1212220AB x x y yk a b+++⋅=，而AB bk a =，所以00220x y a b +=，所以直线OM 的方程为by x a=-，联立b y x a =-与()b y x c a =+，解得2P c x =-，2P bcy a=，又OA OB OP ++=0，所以2OP OM =-，所以点(,)bcP c a-代入椭圆的方程，得222a c =，所以c e a ==，故选A ．【名师点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：（1）求出a ，c ，代入公式ce a=；（2）只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．3．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F 1，F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 在射线F 1P 的延长线上，且|PQ |=|2PF |，若|PQ |的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为A ．35 B ．13 C ．45D ．19【答案】C【分析】利用|PQ |的最小值为1，最大值为9，可得a ，c 的值，从而可得椭圆的离心率．【解析】因为2||,||PQ PF PQ =的最小值为1，最大值为9， ∴|PF 2|的最大值为a +c =9，最小值为a -c =1，∴a =5，c =4， ∴椭圆的离心率为45c e a ==，故选C ．4．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟】椭圆上存在两点，，关于直线对称，若为坐标原点，则 = A ．1 B ． C ．D ．【答案】C【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点，的坐标与参数的关系，然后根据，的中点在直线上求出参数的值，进而得到点，的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【解析】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得， ∵直线与椭圆交于两点，∴ ，解得．设，，，，的中点为，，则，∴，，∴点的坐标为，．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，，∴，，∴．故选C．5．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率e的取值范围为，直线1y x=-+交椭圆于点M，N，O为坐标原点且OM ON⊥，则椭圆长轴长的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和斜率的数量积得22221aba=-，再根据离心率公式可得2221bea=-，化简变形即可得答案．【解析】联立方程222211y xx ya b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222222()20(1)a b x a x a b+-+-=，设11(,)M x y，22(,)N x y，则212222ax xa b+=+，221222(1)a bx xa b-=+，由OM ON⊥，可得1212x x y y+=，所以1212((1)10)x x x x +--=，化简可得1212()10x x x x -++=，所以2222222(1)210a b a a b a b --+=++，化简可得22221a b a =-，因为c e a ==2221b e a =-，因为e ∈，所以211[,]32e ∈，所以22111[,]32b a -∈，所以221223b a ≤≤，所以21122213a ≤≤-，所以25342a ≤≤，a ≤≤2a ≤≤所以椭圆的长轴长的取值范围为，故选C ．【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意充分利用根与系数的关系进行分析，属于中档题．6．【2018年11月浙江省学考】已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若||||OB OF =，则该椭圆的离心率是______________．【分析】根据椭圆的性质，可推出b c =，转化求解椭圆的离心率即可．【解析】O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若||||OB OF =，可得b c =，则a =，所以该椭圆的离心率2c e a ==．【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，熟练掌握椭圆a ，b ，c 之间的关系是解决本题的关键．7．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同于的C ，D 两点，若2||3||BD AC =，则椭圆的离心率是______________．【答案】3【分析】先求出C ，D 两点坐标，再根据弦长公式化简2||3||BD AC =，解得离心率．【解析】过A 作AB 的垂线的方程为()ay x a b=-，与22221x y a b +=联立方程组解得4444()C a a b x a b-=+，过B 作AB 的垂线的方程为ay x b b=+，与22221x y a b +=联立方程组解得32442D a b x a b-=+，因为2||3||BD AC =，所以2|0|3||D C x x a -=-，所以3244444432a b a b a b a b⨯=++，所以22222333a b a c ==-，所以223a c =，所以213e =，所以3e =．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率，考查综合分析与求解能力，属中档题．8．【浙北四校2019届高三12月模拟考试】如图，已知1F ，2F 分别是椭圆22143x y +=的左，右焦点，A ，B ，C 是椭圆上x 轴上方的三点，且12AF BOCF （O 为坐标原点），则12||||AF CF OB +的取值范围是______________．【答案】2)【分析】延长2CF 交椭圆于D ，有对称性可知当CD 垂直于x 轴时，比值最小，当倾斜角为0时比值最大，但取不到．【解析】延长2CF 交椭圆于D ，有对称性可知12||||AF CF CD +=，当CD 垂直于x 轴时，||||CD OB 最小，此时||||CD OB == 当倾斜角为0时比值最大，此时||42||2CD OB ===2，但取不到．故12||||AF CF OB +的取值范围是2)．【名师点睛】本题考查椭圆的对称性的运用，考查小题小做的技巧，是中档题．9．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，直线b y x a=交椭圆于A ，B 两点，若cos ∠AFB 13=，则椭圆C 的离心率是______________．【答案】5【分析】设椭圆的左焦点为1F ，1AF m =，AF n =，由对称性结合余弦定理在1AF F △中，得到23mn b =，联立直线与椭圆，求得弦长||AB ，在AFB △中，由余弦定理得到223344mn a b -=，可得a ，b 的关系，即可计算离心率e ．【解析】如图，设椭圆的左焦点为1F ，由对称性可知，11cos cos 3F AF AFB ∠=-∠=-，设1AF m =，AF n =，在1AF F △中，由余弦定理可得2221(2)co 2s m n mn c F AF =+-∠，又2m n a +=，所以224443mn a c -=，即23mn b =，联立直线b y x a =与椭圆22221x y a b+=，可得A ），B （,），则||AB =又在AFB △中，由余弦定理可得22222822co 2s ()3a b AFB m n m n n n m m =+-+∠=+-，所以223344mn a b -=，所以22233443a b b =-，即222254a b b b ==+，所以224c b =，所以e =．【名师点睛】本题考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了焦点三角形问题，涉及余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．10．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟考试】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，其关于直线y bx =的对称点Q 在椭圆上，则离心率e =______________，FOQ S =△______________．12【分析】设出Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解析】设Q （m ，n ），由题可得11n m b =-- ①，122n b m c +=⋅ ②，22221m n a b += ③，由①②可得221b m a-=，22b n a =，代入③可得2422(441)41e e e e -++=，即62410e e +-=．即64422422210e e e e e -+-+-=，即242(21)(21)0e e e -++=，解得2e =，所以a =1b =，1c =，所以()0,1Q ，所以FOQ △是等腰直角三角形，所以111122FOQ S =⨯⨯=△．【名师点睛】（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质和对称问题，意在考查学生对这些基础知识的转化能力和分析能力；（2）求点11(,)A x y 关于直线l ：y kx b =+的对称点22(,)B x y 时，由于直线l 是AB 的垂直平分线，所以只需解方程12121y y k x x -⨯=--且121222y y x x k b ++=⋅+即可．11．【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，直线11:2l y x =-，直线21:2l y x =，P 为椭圆上任意一点，过P 作1PM l 且与直线2l 交于点M ，作2PN l 且与1l 交于点N ，若22||||PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______________．【解析】令22||||PM PN t +=（t 为常数），设112211(,)(),,22M x x N x x -，由平行四边形知识，222222125||||||()4||PM PN OM ON x x t +=+=+=，设点(,)P x y ，因为121211(,)22OP OM ON x x x x =+=+-，所以1222221212842()11522x x x x y x x t y x x =+⎧⎪⇒+=+=⎨=-⎪⎩，此方程即为椭圆方程，所以椭圆的离心率e =【名师点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系以及椭圆离心率的求法，属于中档题；设112211(,)(),,22M x x N x x -，根据平行四边形知识可将22||||PM PN +为定值得到椭圆方程22845x y t +=，即可得到椭圆的离心率．12．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点．如果C ，D 是线段AB 的两个三等分点，则直线l 的斜率为______________．【答案】2±【分析】设直线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，C ，D 是线段AB 的两个三等分点，则线段AB 的中点与线段CD 的中点重合，得到关系式求出斜率．【解析】由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(,0)mC k-，(0,)D m ，将y kx m =+代入2212x y +=，可得222(12)4220k x kmx m +++-=，则2216880k m ∆=-+>，122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+，因为C ，D 是线段AB 的两个三等分点，所以线段AB 的中点与线段CD 的中点重合，所以1224012km m x x k k -+==-+，解得2k =±．【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题目中“C ，D 是线段AB 的两个三等分点”出发，联立直线方程与椭圆方程，求得线段中点坐标，得到方程求出结果，解题关键是找出相等的量．。