南京工业大学复变函数试题A(2009.12)

复变函数与积分变换模拟试卷.doc答案

南2009-2010学年第1学期《复变函数与积分变换》课程期末试卷（A ）答案一填空（20102=⨯分）1．所谓的扩充复平面是指 ∞ 的复平面。

2．设yi x z +=是虚数（即0≠y ），则21zz+为实数的条件是 122=+y x 3.设C 是单位圆1=z 的上半部分逆时针方向，则=-⎰cdz z )1( 24.计算⎰=+122cos z dz z z5．指数函数的Laplace 变换=][kt e Lk s ks >-)Re(16.设0z 是)(z f 的)1(>m m 级极点，计算)(z f 在0z 处的留数的方法有：10]),([Re )1(-=c z z f s )]()[(lim )!1(1]),([Re )2(01100z f z z dz d m z z f s m m m z z --=--→7．1=z 是函数zz e-1的本性奇点（奇点的类型）。

8.位移性质若),()]([S F t f L =则有=)]([t f e L at ),(a s F -9．设=-=-)0),((Re ,1)(4z f s z e z f z !31二．计算下列各题（3065=⨯分）1.研究函数2)(z z f =的解析性.解 222)(y x z z f +==专业：班级：学号：姓名：-------------------------装----------------------订------------------------线------------------------22),(y x y x u +=x x u 2=∂∂ y yu 2=∂∂（2分） 0),(=y x v0=∂∂x v 0=∂∂yv（2分） xvx u y vx u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂满足C-R 方程点外处处解析在除去0)(=∴z z f （2分） 2．计算积分⎰cdz z ，其中C 是以1,121=-=z z 和i z =3三点为顶点的三角形边界。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

2008-2009(1)第二学期复变函数期末考试试题

2008－2009第二学期复变函数期末考试试题一填空题（每小题4分）1. 复变函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在点0z 解析与在0z 点（）等价A 可导B 邻域内能展开成幂级数C v u ,满足柯西-黎曼条件D v u ,可微 2．若函数)(z f 在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-C n dz a z z f 1)()(等于（） A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π 3．函数()()21-=z z z f 在以原点为中心的圆环域内的洛朗展式，有（）个 A 1 B 2 C 3 D 44．0=z 是函数3sin zz 的（） A 可去奇点 B 二级极点 C 三级极点 D 本性奇点5．设()z Q 在点0=z 处解析，()00≠Q ,()()()1-=z z z Q z f ,则()]0,[Re z f s 等于（）A.()0Q B ．()0Q - C ．()0Q ' D ．()0Q '- 二填空题（每小题4分）1 设()1001i z +=，则z Im ＝___________。

2 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，y y x v =),(，则_______)(='z f 。

3 ()i Ln 43--的实部是，虚部是。

4 0=z 是函数z z sin -的__________阶零点。

5 函数]1)(z 11z 1[1z 1)(5+++++=z f 在点0=z 处的留数为__________________。

三完成下列各题（每题10分）（1）试证：当0→z 时，()zz z f Re =的极限不存在。

复变函数与积分变换考题附答案

答案：一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1sin )44--+i ππ2、1,1-+--i i3、2104+-=v u4、4+k e ππ5、12+i二、计算与解答题（本大题共8小题，每小题9分，总计72分）1.223e ()d ()==-⎰f z z ξξξξξ，当(1)||3,>z 22023e e ()()d =2[]'|()==-=-⎰z f z i z ξξξξξξπξξ 220222e ()e 212|2()=----==-z z i i z z ξξξξππξ (2)0||3,<<z 122222e e ()()d d -=+-⎰⎰C C z f z z ξξξξξξξξ2222221e e 21222----=+=z z z z i i i z z z πππ(3)0=z ，22033e 2()d (e )''|42!=====⎰i f z i ξξξξπξπξ 2、2()()(,)=++f z x y iv x y φ，由于2(,)()=+u x y x y φ为调和函数，故=-xx yy u u ，即''()2=-y φ，212()=-++y y C y C φ.由C-R 方程，12=,2==-+=-x y y x u x v u y C v 从而得到 132=++v xy C x C . 由于(0)'(0)0==f f ，得1230===C C C . 因此2222()(,)2,()2=-==-+=，y y v x y xy f z x y xyi z φ. 3、将函数21()-=z f z z在将01=z 处展开成泰勒级数，并指出收敛半径. 收敛半径1=R ，即|1|1-<z2101111()(1)()'(1)()'11(1)((1)(1))'(1)(1)∞∞+==-==--=--+-=----=--∑∑n n n nn n z f z z z z z z z z n z4、333241111()cos (1)2!4!2!4!==-+-=-+-z f z z z z z z z z11Re [(),0]4!24==s f z5、扩充复平面内函数3e ()(1e )=-zz f z z 的奇点为,0∞和使10,1,12,0,1,2,-=====±±z z e e z Ln i k k π当220,11(1)(1)2!2!2!=-=-+++=---=---z z z z k e z z z故0=z 是()f z 的四级极点.设()1,(2)0,'(2)0=-=≠z g z e g k i g k i ππ2,1,2,==±±z i k k π是一级极点.又lim 2→∞=∞k k i π，故∞不是孤立奇点.6、841d (2)(5)=--⎰z z z z812Re [(),]2(Re [(),5]Re [(),])===-+∞∑k k i s f z z i s f z s f z ππ851Re [(),5]lim(5)(),Re [(052→=-=∞-），]＝z s f z z f z s f z 所以，原式8152-＝-2iπ7、ℱ0000[()cos ]()cos ()2-+∞+∞---∞-∞+=⋅=⋅⎰⎰i t i t iwtiwte ef t t f t t edt f t e dt ωωωω00()()0011()()[()()]22+∞---+-∞=⋅+⋅=-++⎰i t i tf t e f t e dt F F ωωωωωωωωℱ0000[()cos ]()cos cos |1+∞--=-∞===⎰i t i t t f t t t te dt te ωωωδωω8、两边Laplace 变换得 2()(4)(1)=++sY s s s求逆变换得 4441()c o s s in 171717-=-++t y t e t t 三1、由卷积定理L a t t af t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰0d )(L ss aF t f 1)(]1*)([⋅=3、由C-R 方程得 '()0=+=-=x x y y f z u iv v iu ，得0====x x y y u v v u ，从而12,==u c v c ，故()f z 在D 内恒为常数.。

大学《复变函数》试卷及答案

∴方程的解为
---------------------------- 6分
2．函数在复平面内何处可导，何处解析，并求
解：设，则
．四个偏导数在复平面上都连续，
由C—R方程得：．
故仅在直线上可导，在复平面上处处不解析．
--------------------------- 4分
且因为点在曲线上，所以．
大学《复变函数》试卷及答案
一.判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√”，错误打“×”.）
评
分
阅
卷
人
1．．（）
2．若在不解析，则不存在．（）
3．为函数的孤立奇点．（）
4．级数收敛．（）
5．在点处不连续．（）
二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.）
评
分
阅
卷
人
1.复参数方程（t为参数）的直角坐标方程为
3.下列结论错误的是（）
（A）是函数的二阶极点．（B）是函数的可去奇点．
（C）．(D) 是函数的本性奇点．
4.下列结论错误的是（）
（A）C为不通过原点的简则也为解析函数．
(C)在点解析的函数一定可以在点的邻域内展开成泰勒级数．
(D)对于任意的复数．
解：由于在平面上处处解析，所以积分
与路径无关，又的一个原函数为，
---------------------------- 5分
故
＝．
------------------------ 7分
2．．
解：在内有两个不解析点，分别为简单极
点、二级极点
，
------------------------ 5分

大学复变函数专项试卷及答案

大学复变函数专项试卷及答案一、填空题（每小题4分，共24分）1． =+++-)121311Re(i i i .2．若函数())6()1(232222y x xy i y m xy x z f +-+--+=在复平面内处处解析，那么实常数m = 。

3．设C 为1<=r z ，那么⎰--C z z dz)1)(1(32＝。

4．幂级数∑∞=03n nnz 的收敛半径=R 。

5．设C是沿2x y =自原点到i +1的曲线段，求dzz C⎰＝。

6．函数341)(-=z z f 在0=z 处的泰勒级数为。

二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1．的主值为)1(i Ln -（）A ．42ln πi+ B. 42ln πi- C ．2ln 4i +πD.2ln 4i -π2．设22-+=ni nin α),3,2,1( =n ,则=∞→n n αlim （） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。

3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（）。

A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。

4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )A.1)(+=z ez f ； B ．-=z z f )( ；C ．n z z f =)( ；D ．)sin (cos )(y i y e z f x+=。

5．下列级数中，条件收敛的级数是（）A. ∑∞=+08)56(n nni ； B. ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-03)1(n n n i n ； C. ∑∞=02n n i； D.∑∞=+0)1(1n n in .三．计算题（每小题7分，共49分） 1．设i z 31+=求61z 。

2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。

3．计算积分⎰-Cdz z z 4)2(sin π，其中C ：2=z 。

复变函数期末考试试题

复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （）2.有界整函数必在整个复平面为常数。

( ) 3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( ） 7。

若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。

若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。

（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。

7。

若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。

=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。

复变函数复习考卷及其答案好!

复变函数复习考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. $e^z$B. $\frac{1}{z}$C. $\sqrt{z}$D. $\ln(z)$2. 复变函数在孤立奇点处的洛朗级数展开中，负幂项系数的含义是？（）A. 函数在该点的留数B. 函数在该点的导数C. 函数在该点的极限D. 函数在该点的幅角3. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是？（）A. 柯西黎曼方程成立B. 洛朗级数展开存在C. 原函数存在D. 哈尔迪惠特尼定理成立A. 柯西积分定理B. 奇点定理C. 留数定理5. 复变函数在孤立奇点处的留数等于？（）A. 奇点处的函数值B. 奇点处的导数C. 奇点处的极限D. 奇点处 Laurent 展开式中负幂项系数的和6. 复变函数的导数等于？（）A. 实部关于 x 的偏导数B. 虚部关于 y 的偏导数C. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的和D. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的差7. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是？（）A. D 为单连通区域B. D 为多连通区域C. D 为有界区域D. D 为无界区域8. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是？（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 无条件收敛D. 不能确定二、填空题（每题4分，共40分）1. 复变函数 $f(z) = e^z$ 在 $z=0$ 处的泰勒级数展开式为______。

2. 复变函数的导数 $f'(z)$ 满足______方程。

3. 若复变函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径______。

4. 复变函数在孤立奇点处的留数等于该点______项系数的和。

5. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是______。

6. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是 D 为______区域。

7. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是______。

复变函数考试答案

复变函数考试答案单选题（共40题，每题2分）1 .• A.充分• B.必要• C.充要• D.以上都不对2 .• A.只有一个• B.至少一个• C.没有• D.无法确定3 .• A.•• B.•• C.•• D.•4 .• A.•• B.•• C.•• D.•5 .• A.•• B.•• C.•• D.•6 .• A.•• B.•• C.•• D.•7 .• A.•• B.•• C.-1• D.18 .• A.•• B.•• C.•• D.•9 .• A.条件收敛• B.绝对收敛• C.发散• D.以上都不是• A.0• B.•• C.•• D.•11 .• A.连续• B.可导• C.可微• D.某一邻域内可微• A.•• B.•• C.•• D.•13 .• A.•• B.•• C.•• D.以上都不对14 .• A.直线• B.圆• C.双曲线• D.抛物线15 .• A.负实轴•• B.正实轴• C.实轴• D.单位圆16 .• A.•• B.•• C.•• D.•17 .• A.•• B.•• C.•• D.•18 .• A.第一、二、三• B.第二、三、四• C.第三、四、一• D.第四、一、二19 .• A.•• B.•• C.•• D.•20 .• A.三点共圆• B.三点共线• C.•• D.•••••• A.•• B.•• C.•• D.023 .• A.无关• B.有关• C.不一定有关• D.与方向有关24 .• A.1• B.2• C.•• D.•25 .• A.单值• B.有限的多值• C.无限多值• D.以上都不对26 .• A.必要非充分• B.充分非必要• C.充分必要• D.以上都不对27 .• A.•• B.•• C.•• D.•28 .• A.3• B.•• C.•• D.•29 .• A.•• B.•• C.•• D.•• A.三级极点• B.三级零点• C.可去奇点• D.本性奇点31 .• A.•• B.•• C.•• D.•32 .• A.•• B.•• C.•• D.•33 .• A.•• B.•• C.•• D.•••••35 .• A.极点•• B.非孤立奇点• C.本性奇点• D.可去奇点36 .• A.零点• B.一级极点• C.二级极点• D.三级极点37 .• A.•• B.•• C.•• D.•38 .• A.•• B.•• C.•• D.•••••• A.•• B.•• C.•• D.•多选题（共10题，每题2分）1 .• A.不连续• B.连续• C.不可微• D.可微• E.解析2 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•3 .••• B.•• C.•• D.•• E.•4 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.••••••6 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•7 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•8 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•9 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•10 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•。

复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。

定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。

（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。

（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =⎰ 。

（3分）定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。

（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。

（3分）3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222i k i π++，其中k 为整数。

（3分） 4、设()2010sin z f z z+=，则()0Re z s f z ==2010。

（3分）二、验证计算题（共16分）。

1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。

（8分）解：（1）22u x x ∂=+∂，222u x ∂=∂；2u y y∂=-∂，222u y ∂=-∂。

由于22220u u y x∂∂+=∂∂，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。

（4分）（2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有22v u x y x∂∂==+∂∂，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y∂∂=-=∂∂又2()v y C x x ∂'=+∂ ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。

复变A卷加答案

广东技术师范学院2008—2009学年度第( 一)学期期末考试试卷科目：复变函数（A ）卷考试形式：闭卷考试时间: 120 分钟一、填空（每题3分，共24分）1. 复数Z 的模是幅角是/4π+2K π(K 为整数)， Z 在复平面上所代表的点是（）。

2. 2z i -=在复平面上的几何图形为圆，其圆心是z= I ,圆的半径是,2 。

3. Z=-i,Z 的指数表示式为2ieπ- ，三角表达式为=c o s ()s i n ()22iππ-+- 4. iz →lim212z z -+ = -1+i 。

5. f(z)=zeiz 2+的导函数为 22zi e + 。

6.cos idz π⎰= s i n ()iπ 。

7. 函数1,ze 其奇点是 z=0 。

8．6z []6c o s 6(a r g )s i n 6(a r g )z z + 。

二、各题给出四个答案，选出正确的一个答案，填在括弧中（每小题2分共10分）1.(C)2.(B)3.(C)4.(C)5.(A)1．),(21)(zzz z i z f +=其在z=0处极限不存在的原因是【】A ） z=0时F （z ）无定义B ） z=0时F （z ）不连续C ） z 沿不同直线趋零时，F （z ）趋于不同的值D ） Z 趋于零时F （z ）不趋于零 2．函数在一点z 可导，则在该点【】A ）必解析B ）极限存在C ）则在z 点邻域必可导D ）可展成幂级数3．复数z=a-1+bi,若z=0，则a 、b 分别是【】A) 0，0 B) 0，1 C) 1，0 D) 1，14. 21(1)n n i n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑收敛，是因为【】A)1(1)nn n∞=-∑收敛 B)211n n∞=∑收敛C)1(1)n n n ∞=-∑和211n n∞=∑都收敛 5．⎰=11Z dz=【】A) 0B) 2K π(K 为整数) C) 2πi D) 1三、计算题（必须要有计算过程）（共30分）：（1）（6分）dz z c⎰2，c ：沿原点至点z=1的直线段。

南京工业大学复变函数试题a(.12)

南京工业大学复变函数试题(A)卷（闭）2009――2010学年第 1 学期使用班级电子、通信08级班级学号姓名得分一、判断题（每题2分，计10分）1、如果0z 是)(z f 的奇点，那么)(z f 在0z 处不可导（）2、设)(z f 在单连通区域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分0)()('=⎰dz z f z f c（） 3、设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，则u 也是v 的共轭调和函数（）4、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛（）5、如果0z 是)(z f 的m 级极点，那么0z 就是)(1z f 的m 级零点（）二、填空题（每空3分，计24分）1、复数z 满足：12≤-i z ，则______)min(arg ______,)max(arg ==z z 。

2、)(i Ln -的主值为______________。

3、沿从原点到i +1的直线段，计算积分⎰++i dz z 102)1(的值为_____________________。

4、级数∑∞=-13)1(n nn z 的收敛半径=R _______________。

5、0=z 为函数41)(ze zf z -=的___________级极点。

6、=++⎰dz z z c 4412____________,其中1:=z C 。

7、=]0,[Re 1z e s _________________。

三、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。

（8分四、函数z1=ω将z 平面上的曲线1=x 映成ω平面上怎样的曲线。

（8分）五、沿指定曲线正向计算下列积分：（1、2每题6分，3题8分，计20分） 1、,)2(21dz z i z c ⎰+）－（其中1:=z C 。

2、,)1(122dz z z z c ⎰--其中2:=z C 。

复变函数试题库(南信大数统院)(word文档良心出品)

1、 dz2. sin 2z+ cos 2z =《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）（n 为自然数）1.展式.f (z)二1("1)("2)，求 f(z)在D 二｛z:0 |z|1｝内的罗朗3.函数sin z的周期为 ___________ 4.设 1f （z ）z 2 1，则f （z ）的孤立奇点有5.幕级数 QO nz n 的收敛半径为n £2.1i --------------- |zITcoszdz.3.设 f (z =3?1d ，，其中 C 二｛z:|z|=3｝，试求 f'(V i).z -1w = ------4.求复数 z 1的实部与虚部 6.若函数 f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是 limz = lim.z i z 2 …zn 7.若n —"，贝U 一宀 Z 2zeRes （飞,0）二 8. z _____________ ，其中n 为自然数. sin z9. --------- 的孤立奇点为 __________ .z仃、lim f（z ）=10. 若z0是f （z ）的极点，则z >z0三.计算题（40分）：四.证明题.（20分） 1.函数f （z ）在区域D 内解析.证明：如果| f （z ） |在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2.试证：f （z ）=p z （1-z ）在割去线段0乞Rez 乞1的z 平面内能分出两个单值解析分支，并求出支割线0乞Rez 乞1上岸取正值的那支在 z =-1的值.《复变函数》考试试题（二）二.填空题.（20分）1.设z= — i ,则| z|= __,argz= __,z= __2.设 f (z) =(x 2 2xy) i(1 -sin(x 2 y 2),~z = x iy C ,则 lim f(z)二—^1+i3.|zV（n 为自然数）oO4. 幕级数瓦nz n的收敛半径为______________ .n卫5. 若z o是f(z)的m阶零点且m>0，则z是f'(z)的___________ 零点•6. 函数e z的周期为 ___________ .5 37. 方程2z -z +3z+8=0在单位圆内的零点个数为 _______________ .18. 设f(z)= --------- 2，贝U f (z)的孤立奇点有 __________ .1 +z9. 函数f (z) =| z |的不解析点之集为__________ .z 一1八10. Res(-^,1) = _____ .z三•计算题.(40分)1. 求函数sin(2z‘)的幕级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数■■ z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z二i处的值.i3. 计算积分：dz，积分路径为(1)单位圆(| z|= 1)的右半i圆.四.证明题.(20分)z =2 4.求sin zdz1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二.填空题.(20分)1. 设f (z)=r^，则f(z)的定义域为_____________________ .z + 12. 函数e z的周期为_________ .3. 若Z n = —+ i(^-)n，贝U 1计Z n =1_n n +4. sin2z + cos2z = ____________ .dz5. |z—z°|=1 (z_ %)" = ____________ .( n为自然数)oO6. 幕级数送nx n的收敛半径为 _____________ .7. 设f(z)=亠; ，则f (z)的孤立奇点有z + 18. 设e z = 一1,贝u z= _______ .9. 若z0是f(z)的极点，则lim f(z)= ______.Z of (z)在DQQ4.求z - 2z ' z - 8z - 2 = 0在| z |<1内根的个数.四.证明题.(20分) 1.函数f(z) 在区域D 内解析.证明：如果 |f(z)| 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2.设 f(z)是- -整函数，并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及M使得当| z|- R 时|f(z)r M |z|n，证明f(z) 是- -个至多n 次的多项式或一常数。

(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十三)

《复变函数》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设(cos sin )z r i θθ=+，则1z=_____________________．２．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0lim ()z z f z A →=的充要条件是_______________________．３．设函数()f z 在单连通区域D 内解析，则()f z 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分()C f z dz =⎰_________________________．４．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z a f z →=____________________．５．设()sin f z z z =，则0z =是()f z 的________阶零点．６．设21()1f z z=+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设z a z a b -++=，其中,a b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是_________________．８．设sincos 66z i ππ=--，则z 的三角表示为_________________________．９．40cos z zdz π=⎰___________________________．１０．设2()ze f z z-=，则()f z 在0z =处的留数为________________________．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）(1) cos i ； (2) ln(23)i -+; (3) 33i - 2．求解方程380z +=．（７分）３．设22u x y xy =-+，验证u 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之()1f i i =-+．（８分）４．计算积分．（10分）(1)2()C x iy dz +⎰，其中C 是沿2y x =由原点到点1z i =+的曲线． (2) 120[()]ix y ix dz +-+⎰，积分路径为自原点沿虚线轴到i ，再由i 沿水平方向向右到1i +．５．试将函数1()(1)(2)f z z z =--分别在圆环域01z <<和12z <<内展开为洛朗级数．（８分）６．计算下列积分．（８分） (1) 2252(1)z z dz z z =--⎰； (2) 224sin (1)z z dz z z =-⎰．７．计算积分241x dx x +∞-∞+⎰．（８分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1) 11n n nz∞-=∑； (2) 1(1)!n n n z n ∞=-∑．９．讨论2()f z z =的可导性和解析性．（６分）三、证明题．１．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 为常数，证明()f z 必为常数．（５分）２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．（５分）《复变函数》考试试题（十三）参考答案一、填空题．（每题２分）1. 1i e r θ-2. 0lim (,)x x o y y ou x y u →→=及0lim (,)x x o y y o v x y v →→= 3. 0 4. ∞ 5. 2 6. 24621(1)n n z z z z -+-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅ 7.椭圆8. 1(1)2-+ 9. )124π+- 10. 1- 二、计算题．１．计算下列各题．（９分）解: (1) 11cos ()2i e e -=+ (2) ln(23)ln 23arg(23)i i i i -+=-++-+13ln13(arctan )22i π=+- (3) 3(3)ln3(3)(ln32)3ln32(6ln3)3i i i i k k i k e e e πππ---+⋅++-===227[cos(ln 3)sin(ln 3)]k ei π=- 2. 解: 233802k i z z e ππ++=⇒=== (0,1,2)k =故380z +=共有三个根: 01z =, 12z =-, 21z =3. 解: 222,2x y u x y xy u x y u y x =-+⇒=+=-+2222220u u u x y∂∂⇒+=-=⇒∂∂是调和函数. (,)(,)(0,0)(0,0)(,)()(2)(2)x y x y y x v x y u dx u dy c y x dx x y dy c =-++=-+++⎰⎰ 00()(2)x yx dx x y dy c =-+++⎰⎰22222x y xy c =-+++ 22221()()(2)222x y f z u iv x y xy i xy ⇒=+=-++-+++ 211(2)22i z i =-+ 4. 解 (1)12222015()()()66c x iy dz x ix d x ix i +=++=-+⎰⎰ (2) 11122000[()]()[(1)]ix y ix dz i y dy x ix dx +-+=-+-+⎰⎰⎰ 11(3)2326i i i =-+-=-+ 5. 解: 01z <<时01111()()(1)(2)2122n n n o n z f z z z z z z ∞∞====-=-+----∑∑ 101(1)n n n z z ∞+==-∑ 12z <<时11111()1(1)(2)212(1)(1)2f z z z z z z z z-==-=------- 0121n n n o n z n z+∞+∞===--+∑∑ 6. 解: (1) 22522[Re (,)]4(1)c z z dz i s f i z z ππ==-=-∞=--⎰(2) 224sin 2[Re (,)]0(1)z z dz i s fz z π==-∞=-⎰ 7.解: 设24()1z f z z =+ 1(1)2z i =+和21)2z i =-+为上半平面内的两个一级极点,且121Re [(),]z z s f z z →==222Re [(),]lim 2z z s f z z →==24212x dx i x ππ+∞-∞=+=+⎰ 8. (1) 1R = (2) R =∞9. 解: 设z x iy =+,则222()f z z x y ==+ 2,2,0x y x y u x u y v v ==== 当且仅当0x y ==时,满足C R -条件,故()f z 仅在0z =可导,在z 平面内处处不解析.三、1. 证明: 设f u iv =+,因为()f z 为常数,不妨设22u v C += (C 为常数)则0x y u u v v ⋅+⋅= 0y y u u v v ⋅+⋅=由于()f z 在D 内解析,从而有x y u v =, y x u v =-将此代入上述两式可得0x y x y u u v v ====于是12,u C v C ≡≡ 因此()f z 在D 内为常数.2. 解: 设z x iy =+, a A Bi =+ （A ，B 为实常数）则()()()()az A Bi x iy Ax By i Ay Bx =-+=++- 0az az b az az b ++=++=⇔2()0Ax By b ++= 故0az az b ++=的轨迹是直线22)0Ax By b ++=。

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1、 dz2. sin 2z+ cos 2z =《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）（n 为自然数）1.展式.f (z)二1("1)("2)，求 f(z)在D 二｛z:0 |z|1｝内的罗朗3.函数sin z的周期为 ___________ 4.设 1f （z ）z 2 1，则f （z ）的孤立奇点有5.幕级数 QO nz n 的收敛半径为n £2.1i --------------- |zITcoszdz.3.设 f (z =3?1d ，，其中 C 二｛z:|z|=3｝，试求 f'(V i).z -1w = ------4.求复数 z 1的实部与虚部 6.若函数 f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是 limz = lim.z i z 2 …zn 7.若n —"，贝U 一宀 Z 2zeRes （飞,0）二 8. z _____________ ，其中n 为自然数. sin z9. --------- 的孤立奇点为 __________ .z仃、lim f（z ）=10. 若z0是f （z ）的极点，则z >z0三.计算题（40分）：四.证明题.（20分） 1.函数f （z ）在区域D 内解析.证明：如果| f （z ） |在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2.试证：f （z ）=p z （1-z ）在割去线段0乞Rez 乞1的z 平面内能分出两个单值解析分支，并求出支割线0乞Rez 乞1上岸取正值的那支在 z =-1的值.《复变函数》考试试题（二）二.填空题.（20分）1.设z= — i ,则| z|= __,argz= __,z= __2.设 f (z) =(x 2 2xy) i(1 -sin(x 2 y 2),~z = x iy C ,则 lim f(z)二—^1+i3.|zV（n 为自然数）oO4. 幕级数瓦nz n的收敛半径为______________ .n卫5. 若z o是f(z)的m阶零点且m>0，则z是f'(z)的___________ 零点•6. 函数e z的周期为 ___________ .5 37. 方程2z -z +3z+8=0在单位圆内的零点个数为 _______________ .18. 设f(z)= --------- 2，贝U f (z)的孤立奇点有 __________ .1 +z9. 函数f (z) =| z |的不解析点之集为__________ .z 一1八10. Res(-^,1) = _____ .z三•计算题.(40分)1. 求函数sin(2z‘)的幕级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数■■ z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z二i处的值.i3. 计算积分：dz，积分路径为(1)单位圆(| z|= 1)的右半i圆.四.证明题.(20分)z =2 4.求sin zdz1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)二.填空题.(20分)1. 设f (z)=r^，则f(z)的定义域为_____________________ .z + 12. 函数e z的周期为_________ .3. 若Z n = —+ i(^-)n，贝U 1计Z n =1_n n +4. sin2z + cos2z = ____________ .dz5. |z—z°|=1 (z_ %)" = ____________ .( n为自然数)oO6. 幕级数送nx n的收敛半径为 _____________ .7. 设f(z)=亠; ，则f (z)的孤立奇点有z + 18. 设e z = 一1,贝u z= _______ .9. 若z0是f(z)的极点，则lim f(z)= ______.Z of (z)在DQQ4.求z - 2z ' z - 8z - 2 = 0在| z |<1内根的个数.四.证明题.(20分) 1.函数f(z) 在区域D 内解析.证明：如果 |f(z)| 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2.设 f(z)是- -整函数，并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及M使得当| z|- R 时|f(z)r M |z|n，证明f(z) 是- -个至多n 次的多项式或一常数。