(几何综合图形变式)汇编1111111

1.（东城一模）24. 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．2.（西城一模）24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1) 求证：BF∥AC；(2) 若AC边的中点为M，求证：2DF EM；(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1 图23.（海淀一摸）24．在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.4. （石景山一摸）24．（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系；（2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形， AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD 与AD 所在直线交于点E ．①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当︒<∠<︒A 0时，上述结论成立；当︒<∠≤︒180A 时，上述结论不成立．5. （朝阳一摸）23. 阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD 长． 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD 的长为 ； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点， 若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD 和AB 的长．6. （朝阳一摸）25. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由； ② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．M D B A CEADMBC图1 图27. （昌平一模）25． 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，直线MN 经过点O ，设锐角∠DOC=∠ ，将△DOC 以直线MN 为对称轴翻折得到△D ’OC ’，直线A D ’、B C ’交于点P ． （1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想A D ’、B C ’的数量关系以及∠APB 与∠α的大小关系； （2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，∠APB 与∠α有怎样的等量关系？请证明．图3图2图1D CBANC'OMPD'D CBAN C'O MPD'D'PM OC'NA BCD8. （房山一模）25．如图1在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=5，以点B 为圆心，以2为半径作圆. ⑴设点P 为☉B 上的一个动点，线段CP 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，联结DA ，DB ，PB ，如图2．求证：AD=BP ；⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=_______；⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD 有最大值，且最大值为_______；当∠PBC=_________° 时，BD 有最小值，且最小值为______．9. （丰台一模）24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC ，DA=DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ． （1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．10. （门头沟一模）24.已知：在△ABC 中，BC=2AC ，∠DBC=∠ACB，BD=BC ，CD 交线段AB 于点E ． （1）如图l ，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE 、CE 之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE ； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH=10，求CE 的长.11. （密云一模）24．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠= ，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当MA N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MA N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．12. （平谷一模）25.两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°， ∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）求证：AF ＋EF=DE ；（2）若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角α，且060α<<°°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出⑴中的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60180β<<°°，其它条件不变，如图③．你认为⑴中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由．13.（顺义一模）25．问题：如图1，在Rt△ABC中，90C∠=︒，30ABC∠=︒，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在ACB∠的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由BAC∠的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．14.（延庆一模）24.如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD下面的证法供你参考：把ACD∆绕点A瞬时间针旋转60得到ABE∆，连接ED，则有ABEACD∆≅∆,DC=EB∵AD=AE,60=∠DAE∴ADE∆是等边三角形∴AD=DE在DBE∆中，BD+EB > DE即：BD+DC>AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DC>2AD（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.创新应用：（3）已知：如图3，等腰△ABC中， AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角）， D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC =180º， BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.CABD图115. （通州一模）25．已知四边形ABCD ，点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），线段BE 的垂直平分线交射线AC 于点P ，联结DP ，PE. （1）若四边形ABCD 是正方形，猜想PD 与PE 的关系，并证明你的结论.（2）若四边形ABCD 是矩形，（1）中的PD 与PE 的关系还成立吗？ （填：成立或不成立）. （3）若四边形ABCD 是矩形，AB=6，cos∠ACD=35，设AP=x ，△PCE 的面积为y,当AP>12AC 时，求y 与x 之间的函数关系式.16. （燕山一模）24. 已知：如图，点P 是线段AB上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△A PC 和正△BPD ，AD 和BC 交于点M. （1）当△A PC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数；（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.17、（2012丰台二模）24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．CE BAD FP AEFPB D CBAAB18、（2012门头沟二模）24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°．（1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少.19、（2012昌平二模）25．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠DBC ，交AC 于E ，过点A 作AF ⊥BE 于G ，交BC 于F ，交BD 于H ．（1）若∠BAC =45°，求证：①AF 平分∠BAC ；②FC =2HD ．（2）若∠BAC =30°，请直接写出FC 与HD 的等量关系．DM A BF 图3N F 2P A 2M 2 D MA BFD 1图2B 1KCD MA BFE图1H G E D C FB A GA BDEFHC20、（2012朝阳二模）23．正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的动点，点E 在AB 边上，且∠EPB =60°，沿PE 翻折△EBP 得到△P EB '. F 是CD 边上一点，沿PF 翻折△FCP 得到△P FC '，使点'C 落在射线'PB 上．（1）如图，当BP =1时，四边形''FC EB 的面积为 ；（2）若BP =m ，则四边形''FC EB 的面积为 （要求：用含m 的代数式表示，并写出m 的取值范围）．备用图21（2012朝阳二模）24. 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P .求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.22、（2012大兴二模）23.在△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC 交AB 于点E ，PF ∥AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．(1)如图1，若点P 在BC 边上，此时PD =0，易证PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系是PD +PE +PF =AB ；当点P 在△ABC 内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系，然后证明你的结论；(2)如图3，当点P 在△ABC 外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系．（不用说明理由）NM DEFABCDA CB F C'B'P E D A C B23、（2012东城二模）24. 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC 上，且60MON ∠= ．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间数量关系； （2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．24、（2012房山二模）24．探究问题：已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O .⑴△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD = ；⑵当小明做完⑴问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.⑶运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.O DEABCO EDBCADCF BEA图1 图2 图325、（2012海淀二模）25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）. （1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3F A ( M) D N DA C ED N MB FEC BFN M E C B A26、（2012密云二模）25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ．①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．27、（2012平谷二模）24．如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ． （1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ．① 求证：AG ⊥CE ； ② 如果AD =4，DG =2，求CE 的长．28、（2012石景山二模）24．在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.A B C D E F G 图2 A B C D EF G 图1 P H AC D BG EF 图3A B C D E 图111 / 1229、（顺义二模）24．已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系； （2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．图1 图230、（西城二模）24．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的 时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．(1)当t = 5秒时，点P 走过的路径长为 ；当t = 秒时，点P 与点E 重合；(2)当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值； (3)当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．31、（延庆二模）24. （1）如图1：在△ABC 中，FE DCBAF E D CB A12 / 12AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。