21.1一元整式方程课件
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21.1.1一元二次方程第1节ppt(共36张)
第30页，共36页。
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
沪教版(上海)数学八年级数学下册-21.1 一元整式方程 课件
（1）、买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的 单价；
解：设练习本的单价为x元 3x＝12
（2）、买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱， 求练习本的单价；
解：设练习本的单价为x元 ax＝12
（3）、一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米， 求这个正方形的边长；
解：设正方形的边长为x厘米
分情况讨 论
当b 1时，x 2b 2 b 1
当b 1时，x没有实数根
小结：
解含字母系数的一元一次或一元二次方程与含数字 系数的方程的步骤一样吗？有哪些区别呢？
1.方程左右两边同时除以含字母的式子时，要分类 讨论这个式子的值是否为零；
2.在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，要 分类讨论这个式子的值的正负情况。
012251023????xxx中含有未知数的项的最高次数是如果经过调整的一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是nn是正整数那么这个方程就叫做一元nn次方程
21.1 一元整式方程
一、课前练习
1、下列两个方程分别属于什么方程？
（1） 3(x 3) 4 （2） (x 1)2 4
2、根据下列问题列方程：
思考2：比较下列方程的相同点和不同点：
x3 10 x 2 25x 12 0 3x 1 x 1 2
x 2 4 x 12 0
不同点： x3 10x2 25x 12 0 中含有未知数的项的最高次数是_3_
如果经过调整的一元整式方程中含有未知数的项的最 高次数是n（n是正整数），那么这个方程就叫做一元n 次方程； 其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高 次方程。
分情况讨 论
当a 0时，方程x 2 ; a
当a 0时，方程0 x 2，这时无论x取何值，
解：设练习本的单价为x元 3x＝12
（2）、买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱， 求练习本的单价；
解：设练习本的单价为x元 ax＝12
（3）、一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米， 求这个正方形的边长；
解：设正方形的边长为x厘米
分情况讨 论
当b 1时，x 2b 2 b 1
当b 1时，x没有实数根
小结：
解含字母系数的一元一次或一元二次方程与含数字 系数的方程的步骤一样吗？有哪些区别呢？
1.方程左右两边同时除以含字母的式子时，要分类 讨论这个式子的值是否为零；
2.在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，要 分类讨论这个式子的值的正负情况。
012251023????xxx中含有未知数的项的最高次数是如果经过调整的一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是nn是正整数那么这个方程就叫做一元nn次方程
21.1 一元整式方程
一、课前练习
1、下列两个方程分别属于什么方程？
（1） 3(x 3) 4 （2） (x 1)2 4
2、根据下列问题列方程：
思考2：比较下列方程的相同点和不同点：
x3 10 x 2 25x 12 0 3x 1 x 1 2
x 2 4 x 12 0
不同点： x3 10x2 25x 12 0 中含有未知数的项的最高次数是_3_
如果经过调整的一元整式方程中含有未知数的项的最 高次数是n（n是正整数），那么这个方程就叫做一元n 次方程； 其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高 次方程。
分情况讨 论
当a 0时，方程x 2 ; a
当a 0时，方程0 x 2，这时无论x取何值，
人教版九年级数学上册21.1《一元二次方程》课件(共23张PPT)
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7
（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
【解题过程】
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程； 二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3. （2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程. 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一般形式确定它的 二次项系数、一次项系数和常数项.
ax2 bx 0a 0
ax2 c 0a 0
ax2 0a 0
当b=0,c=0时，
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动5
问题1：一元一次方程的根是什么？
使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次 方程的解（或根）.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
活动2
一元二次方程的一般形式的应用
21.1 一元二次方程
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖长方体盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为 3600cm² ,那么铁皮各角应切去边长为多少cm的正方形? 请大家根据题目设未知数、列出方程. 设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形，由题意知
问题2：类比一元一次方程的根的定义，说一说 一元二次方程的根的概念是什么？
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
第二十一章21.1一元二次方程
答案 2 易错警示 根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二 次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解 题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取 值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一 一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一 元二次方程
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整 式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程 仍是整式方程
正确理解题 目的含义
找出其中的数量 关系和等量关系
列出一元 二次方程
栏目索引
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
21.1一元整式方程课件
bx=4-3b 当 b≠0时，x= 4-3b
b
当 b=0时, 原方程无解
∴当 b≠0时，原方程 的根是 x= 4-3b 当 b=0时, 原b方程无解
(4) by2+1=2 解： by2=1 1
当b>0时, y2= b y= b
b
当b≤0时, 原方程无实数根
∴当b>0时,原方程的根是
x1 =
b， b
除了一元一次方程、 一元二次方程、一元三次 方程,是否还有其它方程?
一元三次方程
一元四次方程．一元五次方程等
如果一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n是正整 数),那么这个方程叫做_一__元_n_次__方__程_;其中次数n大于2的方程统 称为__一_元__高__次_方__程_,简称高次方程.
1
a
x2 1
(4) =
2x 2
2
(5) x +x=a2-2a-3
整式方程
一元二次方程 一元三次方程 一元一次方程 一元四次方程
(6) x4+7x2-8=0
试写出两个一元整式方程，三个高次方程；再写 一个项数（项为0除外）为2的一元四次方程.
想一想：如果关于x的方程ax=b无解，那么实数a、 b满足什么条件？
元二次方程?
(1) x 1 x
不是
（2）3 x =12 是一元一次方
（3）4y2=16 是一元二次方程
为什么？
1.买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练 习本的单价.
分析：设练习本的单价为x元 a x =12( a是正整数)
如何列方程?
2一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于2s（平方单 位），求这个正方形的边长．
本节学习了哪些知识点，有何收获？
b
当 b=0时, 原方程无解
∴当 b≠0时，原方程 的根是 x= 4-3b 当 b=0时, 原b方程无解
(4) by2+1=2 解： by2=1 1
当b>0时, y2= b y= b
b
当b≤0时, 原方程无实数根
∴当b>0时,原方程的根是
x1 =
b， b
除了一元一次方程、 一元二次方程、一元三次 方程,是否还有其它方程?
一元三次方程
一元四次方程．一元五次方程等
如果一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n是正整 数),那么这个方程叫做_一__元_n_次__方__程_;其中次数n大于2的方程统 称为__一_元__高__次_方__程_,简称高次方程.
1
a
x2 1
(4) =
2x 2
2
(5) x +x=a2-2a-3
整式方程
一元二次方程 一元三次方程 一元一次方程 一元四次方程
(6) x4+7x2-8=0
试写出两个一元整式方程，三个高次方程；再写 一个项数（项为0除外）为2的一元四次方程.
想一想：如果关于x的方程ax=b无解，那么实数a、 b满足什么条件？
元二次方程?
(1) x 1 x
不是
（2）3 x =12 是一元一次方
（3）4y2=16 是一元二次方程
为什么？
1.买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练 习本的单价.
分析：设练习本的单价为x元 a x =12( a是正整数)
如何列方程?
2一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于2s（平方单 位），求这个正方形的边长．
本节学习了哪些知识点，有何收获？
第1节 一元整式方程
第21章 第一节《整式方程》学习目标知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式；经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法；通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.知识概要1.一元整式方程的概念在方程①：12ax =(a 是正整数)和②：)0(22>=b s bx 中，x 是未知数：字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数。
方程①是含字母系数的一元一次方程，方程②是含字母系数的一元二次方程。
一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程． 一元n 次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数)，这个方程叫做一元n 次方程． 一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程．评析：解含字母系数的一元整式方程时，需要对字母系数的取值情况进行分类讨论。
2.特殊的高次方程的解法(1)二项方程定义：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．一般形式为：0=+b ax n(0,0≠≠b a ,n 是正整数) 解法：将0=+b ax n 变形为 a b x n -=，再求a b -的n 次方根，如果ab -存在n 次方根，可以利用计算器算出这个方程的根或近似根。
根的情况：当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根.(2)双二次方程定义：一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
七年级数学上册21整式1课件新版新人教版1
【问题3】上面的问题中，既有已知数，又有
用字母表示的未知数，字母表示数有什么意义？ 用含有字母的式子表示数量关系有什么意义？
用字母表示数，字母和数一样可以 参与运算，可以用式子把数量关系简明 地表示出来.
练习1（教科书第 56页练习）
（1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用
式子表示在这个月内销售这种商品的要 x元，买一个排球需要 y元， 买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个 排球、2个足球共需要的钱数；
例2.
（3）如左下图（图中长度单位： cm），用式子 表示三角尺的面积；
（4）右 下图是一所住宅的建筑平面图（图中长 度单位： m），用式子表示这所住宅的建筑面积 .
如果用v表示速度，列车行驶的路程是多少？
（3）回顾以前所学的知识，你还能举出用字母表示 数或数量关系的例子吗？
【问题2】
怎样分析数量关系并用含有字母的式子表示数 量关系呢？
例1
（1）苹果原价是每千克 p元，按8折优惠出售，
用式子表示现价；
（2）某产品前年的产量是 n件，去年的产量是前 年产量的 m倍，用式子表示去年的产量；
（4）某校前年购买计算机 x 台，去年购买数量是前年的
2倍，今年购买数量又是去年的2倍，则学校三年共购买计算
机 ( x ? 2 x ? 4 x) 台；
（5）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读， 如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共 (4a ?本2；5)
（6）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，
x2 ? 2x ? 18．
归纳：
列式就是把实际问题中与数量有关的语句， 用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也 就是把文字语言转化为符号语言．
21.1 一元整式方程
21.1 一元整式方程第一组21-11、以下关于x的方程没有字母系数的是（）A、ax=1B、x2+ax=5C、x2+x=1D、mx2+1=x2、判断下列关于x的方程，是整式方程的是（）A、ax+1x =1B、x2+xa=5C、ax2+x=√xD、x2+1x+1=x3、下列关于x的方程是含字母系数a的一元二次方程的是（）A、1x2=a B、x2+1x=aC、x+x2=aD、x2(x2+ax)=x44、下列关于x的方程是高次方程的是（）A、x3=1B、x5=1xC、x+1x3=1D、x2(x2+1)=x45、下列说法错误的个数是（）①关于x的方程ax=b的解是x=ba；②关于x的方程x2=−a无解；③关于x的方程(a2+1)x=b有唯一解。
A、0B、1C、2D、36、关于x的方程(ax−1)2+a(2x−1)=0，下列说法不正确的是（）A、若a<0方程一定无解B、若a>1方程一定有两解C、可能有重根D、可能有无数解7、判断下列关于x 的方程，不是整式方程的在括号内打“×”，是整式方程的在括号内填写其次数。
（1）12x 2+a =0（ ） （2）x +81a =0（ ）（3）a +x 2=5x 4−1a （ ） （4）x+22+1x =13（ ）（5）2x+x =−3（ ） （6）x 4+ax −8=0（ ）8、请写出一个关于x 的高次方程 。
9、关于x 的方程ax =1的解是：当a ≠0时，x= ；当a=0时，原方程 。
10、关于x 的方程(a 2+3)x 2=1的根是 。
11、已知关于x 的方程(a 2−4)x 2−(a +2)x −2=0，当a 时，它是一元一次方程；当a 时，它是一元二次方程。
12、关于x 的方程3a 2x −2=a (x −1)无解，则a = 。
13、已知关于x 的方程x3−a +1=0的解比3x +a−23=0的解大3，试求a 的值。
14、解关于x 的方程：（1）5x =a ； （2）a 2x =1； （3）5ax +3=a ； （4）a 2x +x =1； （5）m (x −2)+6=2x ； （6）a(x−1)2=x +115、解关于x 的方程：（1）(k 2+2k )x =2+k ； （2）a (ax −1)=x +1；（3）ax +b 2=bx +a 2； （4）x 2=a 2；（5）x 2=a ； （6）a 2x 2+x 2=(ax +1)(ax −1)+a ； （7）(ax)2=1； （8）(ax +1)(ax −1)=a 2； （9）mx 2=−1； （10）a (x 2−a )=1； （11）(a −3)x 2−4=0； （12）bx 2−1=1−x 2； （13）x (ax −1)=a −x ； （14）x 2−a b =x 2−b a(a >0，b >0)16、解关于x 的方程a(x 2−a)2=x 2−2。
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x
x
列出的方程： x(10 2x)2 48 即： x 10x 25：
比较下列方程的相同点和不同点：
x 3 10x 2 25x 12 0 1 3x x 1 2 x 2 4 x 12 0
相同点： 1.只含有1个未知数； 2.方程中所含的代数式都是关于未知数的整式。 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数 的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。
解：设练习本的单价为x元 ax＝12
问题1：
3、一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这 个正方形的边长； 解：设正方形的边长为x厘米
4 x 2 16
4、一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于s（平方单 位），求这个正方形的边长. 解：设正方形的边长为x
bx2 S
思考1：
观察以下两个方程的区别：
21.1 一元整式方程
一、复习
• 1、什么是一元一次方程？一元二次 方程？ • 2、解一元一次方程、一元二次方程 的基本步骤是什么？
问题1：
根据下列问题列方程：
1、买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价； 解：设练习本的单价为x元 3x＝12 2、买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求 练习本的单价；
解：方程（1）（2）（3）（6）是整式方程；其中 方程（1）是一元二次方程， 方程（2）是一元三次方程， 方程（3）是一元一次方程， 方程（6）是一元四次方程。
课堂小结：
这节课你有什么收获？
谢谢！
例题3：
判断下列关于x的方程，那些都是整式方程？这 些整式方程分别是一元几次方程？
1 2 3 x a x 1 0 （1） 2 3 （2） 4 x 8 1 0
（3） 3a
1 2x 5x 2
x2 1 （4） 2x 3 2 2 x a 2a 3 （5） x 4 2 （6） x 7 x 8 0
思考2：
比较下列方程的相同点和不同点：
x 3 10x 2 25x 12 0 1 3x x 1 2 2 x 4 x 12 0
不同点：
x3 10x 2 25x 12 0
中含有未知数的项的最高次数是3
如果经过调整的一元整式方程中含有未知数的项的最 高次数是n（n是正整数），那么这个方程就叫做一元n 次方程； 其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高 次方程。
2
2
问题2：
解下列关于x的方程：
1 3x x 1 2 x2 4x 12 0
例题1：
解下列关于x的方程：
（1）
(3a 2) x 2(3 x)
解： 3ax 2 x 6 2 x 3ax 2 x 2 x 6
3ax 6 2 当a 0时，方程x ; a 当a 0时，方程0 x 6，这时无论x取何值， 等式0 x 6都不成立，因此方程无 解。 2 所以，当a 0时，原方程的根是 x ; a 当a 0时，原方程无解。
例题1：
（2） bx
2
1 1 x (b 1)
2
解：bx2 x 2 1 1
(b 1) x 2 2 2 x (b 1) b 1
2
2b 2 当b 1时，x b 1 当b 1时，x没有实数根
想一想：
解一元一次或一元二次含字母系数的方程与数字系 数方程的步骤一样吗？
3x 12和ax 12
在ax=12中，x是未知数，a是用字母表示的已知数， 项ax中，字母a是项的系数，把a叫做字母系数， 这个方程是含字母系数的一元一次方程。 3x=12是含数字系数的一元一次方程。
思考1：
观察以下两个方程的区别：
4 x 2 16和bx2 S
在bx =S中，x是未知数，b和S是用字母表示的已知 2 数， bx 项中，字母b是字母系数，S是常数项，字母S 也叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元二 次方程。 4x =16是含数字系数的一元二次方程。
1.用含字母系数的式子去乘或除方程的两边时，这 个式子的值不能等于零； 2.在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，这 个式子的值不能小于零。
例题2：
有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个 角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成 一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小 正方形的边长为x分米，根据题意列方程：
x
列出的方程： x(10 2x)2 48 即： x 10x 25：
比较下列方程的相同点和不同点：
x 3 10x 2 25x 12 0 1 3x x 1 2 x 2 4 x 12 0
相同点： 1.只含有1个未知数； 2.方程中所含的代数式都是关于未知数的整式。 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数 的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。
解：设练习本的单价为x元 ax＝12
问题1：
3、一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这 个正方形的边长； 解：设正方形的边长为x厘米
4 x 2 16
4、一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于s（平方单 位），求这个正方形的边长. 解：设正方形的边长为x
bx2 S
思考1：
观察以下两个方程的区别：
21.1 一元整式方程
一、复习
• 1、什么是一元一次方程？一元二次 方程？ • 2、解一元一次方程、一元二次方程 的基本步骤是什么？
问题1：
根据下列问题列方程：
1、买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价； 解：设练习本的单价为x元 3x＝12 2、买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求 练习本的单价；
解：方程（1）（2）（3）（6）是整式方程；其中 方程（1）是一元二次方程， 方程（2）是一元三次方程， 方程（3）是一元一次方程， 方程（6）是一元四次方程。
课堂小结：
这节课你有什么收获？
谢谢！
例题3：
判断下列关于x的方程，那些都是整式方程？这 些整式方程分别是一元几次方程？
1 2 3 x a x 1 0 （1） 2 3 （2） 4 x 8 1 0
（3） 3a
1 2x 5x 2
x2 1 （4） 2x 3 2 2 x a 2a 3 （5） x 4 2 （6） x 7 x 8 0
思考2：
比较下列方程的相同点和不同点：
x 3 10x 2 25x 12 0 1 3x x 1 2 2 x 4 x 12 0
不同点：
x3 10x 2 25x 12 0
中含有未知数的项的最高次数是3
如果经过调整的一元整式方程中含有未知数的项的最 高次数是n（n是正整数），那么这个方程就叫做一元n 次方程； 其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高 次方程。
2
2
问题2：
解下列关于x的方程：
1 3x x 1 2 x2 4x 12 0
例题1：
解下列关于x的方程：
（1）
(3a 2) x 2(3 x)
解： 3ax 2 x 6 2 x 3ax 2 x 2 x 6
3ax 6 2 当a 0时，方程x ; a 当a 0时，方程0 x 6，这时无论x取何值， 等式0 x 6都不成立，因此方程无 解。 2 所以，当a 0时，原方程的根是 x ; a 当a 0时，原方程无解。
例题1：
（2） bx
2
1 1 x (b 1)
2
解：bx2 x 2 1 1
(b 1) x 2 2 2 x (b 1) b 1
2
2b 2 当b 1时，x b 1 当b 1时，x没有实数根
想一想：
解一元一次或一元二次含字母系数的方程与数字系 数方程的步骤一样吗？
3x 12和ax 12
在ax=12中，x是未知数，a是用字母表示的已知数， 项ax中，字母a是项的系数，把a叫做字母系数， 这个方程是含字母系数的一元一次方程。 3x=12是含数字系数的一元一次方程。
思考1：
观察以下两个方程的区别：
4 x 2 16和bx2 S
在bx =S中，x是未知数，b和S是用字母表示的已知 2 数， bx 项中，字母b是字母系数，S是常数项，字母S 也叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元二 次方程。 4x =16是含数字系数的一元二次方程。
1.用含字母系数的式子去乘或除方程的两边时，这 个式子的值不能等于零； 2.在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，这 个式子的值不能小于零。
例题2：
有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个 角上分别剪去大小一样的一个小正方形，然后做成 一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小 正方形的边长为x分米，根据题意列方程：