第1章 - 控制系统的状态空间描述

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状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状 态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映 每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：
xi fi ( x1, x2 ,, xn ; u1, u2 ,, um ),
i 1, 2,..., n
fi 是线性或非线性函数。
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di (t ) L u (t ) dt
1 t i (t ) u ( )d I 0 L t0
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动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。
[基本概念]：
状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。 状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小变量组。 完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入 的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确 定了。 最小变量组：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描 述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
线性系统是实际非线性对象的线性化近似； 线性系统的处理方法可以为非线性系统问题的解决 提供思路。
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[系统动态方程的模拟结构图]： 常用符号： 积分器

比例器
ki
加法器

模拟结构图：
D
U
B
X



A
X
C

Y
SISO System
MIMO System
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X AX BU Y CX DU
状态空间分析法
倒 立 摆 控 制 系 统 导 弹 控 制 系 统 航 天 器 控 制 系 统 机 器 人 控 制 系 统
1.2 状态空间表达式的建立
1、由系统物理模型建立动态方程 2、由微分方程建立动态方程 3、由传递函数建立动态方程 4、由结构图建立动态方程
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一、从系统物理模型建立动态方程
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状态空间分析法
以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状 态空间分析法。它具有下列优越之处： 便于在数字计算机上求解； 容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离 散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应 控制等现代控制系统的基本描述方法。
核心问题——合理选择系统的状态变量 通常有三种规则：
选择系统中储能元件的输出物理量 选择系统的输出及其各阶导数 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量
注意事项：
同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同； 两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。
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例1：求图示RLC回路的状态空间表达式
状态空间：以状态变量x1 ( t ), x2 ( t ),...,xn ( t ) 为坐标轴所构成的 n维空间。在某一特定时刻 t ，状态向量X (t ) 是状态空间的一个 点。 状态轨迹：以 X ( t ) X ( t0 ) 为起点，随着时间的推移， X (t ) 在 状态空间绘出的一条轨迹。
输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之 间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因 果关系。方程形式如下：
y j j ( x1, x2 ,, xn ; u1, u2 ,, um ),
j 是线性或非线性函数。
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j 1,2,..., p
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状态空间模型表达式
u1 u2 y1
ur
状态变量 （x1,x2,…,xn）
y2
ym
Fig.1 MIMO 系统
动态方程
状态方程：x (t ) f ( x(t ), u(t ), t ) 状态空间模型表达式 输出方程：y(t ) ( x (t ), u(t ), t )
注：f ()和 ）分别是n维和p维的向量函数 （
分析如下系统：
方法：
1、根据物理定律建立系统的物理模型。 2 选择系统中储能元件的输出作为状态变量，将物理模型 转化为状态方程和输出方程。
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2）根据基尔霍夫定律，列写2个回路的方程：
L L
di1 1 dt di2 2 dt duc dt
(i1 i2 ) R1 uc (i2 i1 ) R1 i2 R2 uc 0 i2
两类系统：
输入 代数方程 输出 例：比例放大器
输入 初始状态
动态系统或 动力学系统
微分方程
输出 例：带有储能元件的电路
d 2 y(t ) dv(t ) ma m 2 m f (t ) dt dt f (t ) v(t ) t v(t0 ) m 1 f (t ) 2 y (t ) y(t0 ) v(t0 )t t 2 m
R1 L1 1 R1 L1 2
C
整理得：
1 i i L u 1 di2 R1 R1 R2 L2 i1 L2 i2 L12 uc dt duc 1 dt C i2 di1 dt
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令x1 i1、x2 i2、x3 uc， 则系统的状态方程为： R1 R1 L L1 1 x1 R1 R2 x R1 2 L L2 2 x3 1 0 C 输出方程为： A y 0 0 0 1 L2 0 1 x1 L1 x2 0 u x3 0 B
T
T
其中：
x x1
u u1 u2 ur , r 1维输入向量
y y1
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y2 ym , m 1维输出向量
T
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x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
a11 a12 a1n a a a 2n A 21 22 , n n维系统矩阵, 表征各状态变量间的关系 an1 an 2 ann
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状态向量：把x1 ( t ), x2 ( t ),...,xn ( t ) 这几个状态变量看成是向量 X (t ) 的分量，则 X (t ) 称为状态向量。记作： 分量之间 的关系？ x1 ( t ) T 或： X (t ) [ x1 (t ), x2 ( t )..., xn (t )] X(t) xn ( t )
几种典型系统的动态方程
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线性时变系统的状态空间表达式
x (t ) A(t ) x (t ) B(t ) u(t ) y (t ) C (t ) x (t ) D(t ) u(t )
可记为
( A(t), B(t), C(t), D(t ))
x2 xn , n 1维状态向量
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变量的关系
d11 d12 d1r d d d 2r 21 22 D , dm1 dm 2 dmr
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m r维前馈矩阵, 又称为直接转移矩阵 表征输入对输出的直接传递关系 通常D＝0
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状态方程的通式为：
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12 u2 b1r ur x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22 u2 b2 r ur xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2 u2 bnr ur
可简记为
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( A(t ), B(t ), C(t ), D(t ))
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线性时不变(定常)系统的状态空间表达式
x (t ) Ax(t ) Bu(t ) 可简记为： y(t ) Cx(t ) Du(t )
x (t ) Ax Bu y(t ) Cx
输出方程的通式为：
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn bm1u1 d m 2u2 d mr ur
SISO线性定常系统的状态空间表达式
x (t ) Ax bu y(t ) cx
b为nX1维， c为1Xn维
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为描述系统方便，经常用 ( A, B, C, D) 代表一个动 力学系统。 状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别 的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯 一。 主要研究线性时不变系统的分析和综合问题：
代入上式并整理得： x1 x3 x x 4 2 状态方程： k1 k1 B1 B2 1 x1 x2 x3 x4 u x3 M1 M1 M1 M1 M1 k1 k1 k2 B1 B1 B2 x1 x2 x3 x4 x4 M2 M2 M2 M2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学模型
适用对象
仅适用于单输入单输出 可推广至：多输入多输出 系统（SISO），线性、 系统，非线性、时变系统 定常系统
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第一章 控制系统的状态空间描述
§ 1.1 状态空间描述的基本概念 § 1.2 线性连续系统的状态空间表达式 § 1.3 非线性连续系统的状态空间表达式 § 1.4 线性连续系统的状态空间表达式 § 1.5 应用MATLAB实现数学模型的转换
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第一章 控制系统的状态空间描述
1、状态变量和状态变量模型
状态、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、 状态空间表达式 状态结构图
2、状态空间表达式的建立
动态系统模型、微分方程、传递函数、状态结构图
3、状态空间表达式的四种标准型及转换
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1.1 状态空间模型的基本概念
C
x1 1 x2 x3
此为SISO系统， 状态变量与系统 的储能元件个数相同
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[例2]试列出在外力f作用下，以质量 M1 , M2 的位移 y1 , y2 为输出的动态方程。
机械阻尼运动模型
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隔离受力分析
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则据牛顿第二 定律有： 选状态变量
M 2 2 k1 ( y1 y2 ) B1 ( y1 y2 ) B2 y2 k2 y2 y
M1 1 f B1 ( y1 y2 ) k1 ( y1 y2 ) y
x1 y1 , x2 y2 , x3 y1 v1, x4 y2 v2 , u f
现代控制理论
第一章（1）
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现代控制理论与经典控制理论的对比（1）
经典（频域法） 理论基础 现代（时域法）
以常微分方程稳定性理 常微分方程稳定性理论； 论和Fourier变换为基础 状态空间分析；泛函分析、 的根轨迹和奈奎斯特判 微分几何等现代数学工具 据理论 传递函数（研究系统外 部特性，不完全描述） 状态空间表达式（深入系 统内部，是内部描述，完 全描述）
b11 b B 21 bn1 b12 b22 bn 2 b1r b2 r , bnr
n r维输入矩阵, 表征输入对每个变量的作用
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y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
c11 c12 c1n c c22 c2 n , C 21 cm1 cm 2 cmn