高中数列综合题

数列综合1、明确基本的问题和方法问题：如求通项（递推）、求和（积）、不等式方法：求通项（叠加、叠乘、…）、求和（裂项、错位相减、…）、不等式（做差比较、 构造函数、数学归纳法、…）2、关注提示性的信息——方法的选择〖例1〗已知各项全不为零的数列{}k a 的前k 项和为k S ，且112k k k S a a +=（*N k ∈），其中11a =. （1）求数列{}k a 的通项公式；（2）对任意给定的正整数n （2n ≥），数列{}k b 满足11k k k b k nb a ++-=（1,2,,1k n =-），11b =.求12n b b b +++.解析：（1）利用11,1.,2.n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）在数列求和时，常考虑确定其通项.观察已知条件11k k k b k nb a ++-=，选择“叠乘”，则易于求出通项k b .解：（1）当1k=时，由111212a S a a ==及11a =，得22a =.当2k ≥时，由1111122k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=-，得11()2k k k k a a a a +--=.因为0k a ≠，所以112k k a a +--=.从而211(1)221m a m m -=+-⋅=-，22(1)22m a m m =+-⋅=，*N m ∈. 综上，k a k =（*N k ∈）. （2）因为k a k =，所以111k k k b n k n k b a k ++--=-=-+. 11121121(1)(2)(1)1(1)1(1)C (1)21k k k k k k n k k b b b n k n k n b b b b b k k n------+-+-=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅. （1,2,,kn =）故123n b b b b ++++12311C C C (1)C n n n n n n n -⎡⎤=-+-+-⎣⎦ {}0121111C C C (1)C [1(11)]n n nnn n n n n n⎡⎤=--+-+-=--=⎣⎦. 〖例2〗数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+（1c >为常数，1,2,3,n =）且3218a a -=.（1）求c 的值；（2）证明：1n n a a +<（1,2,3,n =）；（3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 解析：（2）有递推关系——选择做差（3）化归为熟悉问题——求和：裂项；做差11111(53)(813)1403939(2)nn n n k kn a a a aa +++=++--=⋅-∑，问题实现了转化：探索n a 与2和138的关系. （1）解：依题意，22111122a a a c c =-+=-，223221111()2222a a a c c =-+=-+. 由3218a a -=，得211111()()22228c c -+--=，解得2c =，或1c =（舍去）.（2）证明：2211122(2)022n nn n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=. 因为11a =，所以10n n a a +->,即1n n a a +<（1,2,3,n =）.（3）解：由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--， 从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以111111111111()122222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++=-=-=------∑∑. 所以1111111140140(53)(813)13923939(2)nn n n n k kn n a a a a a a a ++++=+++--=--=-⋅-∑.由11a =，经计算可得232a =，3138a =，且由（2）得 1n a ≥（*N n ∈）. 下面用数学归纳法证明：对于任意*N n ∈，有2n a <成立.①当1n =时，由11a =，显然结论成立.②假设当n k =时，2k a <.当1n k =+时，因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2211313(1)(21)22222k k a a +=-+<-+=.即当1n k =+时，不等式也成立。

由①，②可知，对于任意*N n ∈，有2n a <，亦即12n a ≤<.所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111140(53)(813)03939(2)n n n n k k n a a a a a +++=++--=>⋅-∑，故1114039nn k k a a +=>∑.〖例3〗 已知曲线22:20n C x nx y -+=（1,2,n =）.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为n k （0n k >）的切线n l ，切点为(,)n n n P x y .（1）求数列{}n x 与{}n y 的通项公式； （2）证明：13521n n nxx x x x y -<<.解析：（1）分析一：将切线方程与圆的方程联立求解，即得到切点坐标.在这种方法中，需要求切线n l 的方程. 分析二：从图形（平面几何）出发，会得到比较简捷的解法.在这种方法中，需要特别重视数形结合思想的应用.（2）分析：数列与函数的结合——从问题出发构造所需：如何求211ni i x-=∏？.解：（1）法一：设直线:(1)n n l y k x =+，与圆n C 方程联立22(1)20n y k x x nx y =+⎧⎨-+=⎩. 消去y ，得2222(1)(22)0nn n k x k n x k ++-+=.——（*） 则2222(22)4(1)0n n n k n k k ∆=--+=，解得n k =（n k =舍去）.代回方程（*）解得1nnx n =+.所以(1)1n n n y k x n =+=+.法二：如图1所示，过n P 作n n P Q x ⊥轴于n Q .则(,0)n n Q x圆222:()n C x n y n -+=，圆心(,0)n C n ，半径||n n P C n =. 由直线n l 是切线可知n n n PP P C ⊥.则n n Rt PP C ∆中，2||||||n n n n n P C Q C PC =⋅，即2()(n n n x =-⋅整理可得1nnx n =+. 又2||||||n n n n n P Q PQ Q C =⋅，即2(1)()n n n y x n x =+⋅-，整理得n y =.（2）证明==n nx y =① 因为111021(1)(2)n n n n x x n n n n ++-=-=>++++，故数列{}n x 是单调递增数列. 所以213521123421212342121()234522121n n n n n x x x x x x x x x x n n n ---<=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++.即13521n x x x x -<② 令()f x x x =-，()1f x x '=-.对给定区间(0,)4π有()0fx '<，所以函数()f x 在区间(0,)4π上单调递减. 这样，当(0,)4x π∈时有()(0)0f xf <=.而当*N n ∈4π≤<，所以0f =-<.n nxy <.〖例4〗 已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…43n n b a -<≤，123n =，，，….解析：（1）一种典型的递推公式：1n na pa q +=+，其中0,1p ≠，0q ≠. （2）已知条件中的递推关系——选择数学归纳法. 从结论出发——做差+分析法（做差后如何处理）.解：（1）由已知，11)(2)1)1)n n n a a a +=+=-+，则11)2)1)(nn n a a a +=-+=，又12a =-{n a 是首项为21的等比数列.则1(21)1)n n na -==，即n a 的通项公式为1)1]n na =-+，123n =，，，….（2）用数学归纳法证明. （ⅰ）当1n =2<，112b a ==11b a <≤，结论成立.（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，亦即430k k b a -<-当1n k =+时，134(3(4(30232323k k k k k k k b b b b b b b ++-+----=-==>+++.又1323k b <=-+所以21(3(3(23k k k k b b b b +---=<--+443411)(k k a a -+-=≤141k k b a ++≤.也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…. 〖例5〗已知曲线:1C xy =，过C 上一点111(,)A x y 作斜率为1k 的直线，交曲线C 于另一点222(,)A x y ，再过222(,)A x y 作斜率为2k 的直线，交曲线C 于另一点333(,)A x y ，…，过(,)n n n A x y 作斜率为n k 的直线，交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++，…，其中11x =，21()4n n n nx k n x x +=-∈+N*. （1）求1n x +与n x 的关系式；（2）判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：122222n x x x -+-++-<.解：（1）由已知过(,)n n n A x y 斜率为214n n n x x x +-+的直线为21()4n n n n nx y y x x x x +-=--+， 直线交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++，所以1121()4n n n n n n nx y y x x x x +++-=--+， 即121111()4n n n n n n n x x x x x x x +++-=--+，10n n x x +-≠，所以141n n n x x x ++=+()n ∈*N .（2）当n 为奇数时，2n x <；当n 为偶数时，2n x >. 因为1111422211n n n n n x x x x x ----+--=-=-++，注意到0n x >，所以2n x -与12n x --异号，由于112x =<，所以22x >，以此类推，当21n k =-()k ∈*N 时，2n x <；当2n k =()k ∈*N 时，2n x >. （3）由于0n x >，143111n n n n x x x x ++==+++，所以1(1,2,3,)n x n ≥=， 所以122122112n n n n n n x x x x x x +---==≤-++，所以121211111122222222n n n n n x x x x -----≤-≤-≤≤-=， 所以12222n x x x -+-++-2111111()()222222n n--≤++++=-<.〖例6〗已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，2k a 是关于x 的方程2(32)32kkx k x k -++⋅0=的两个根，且212k k a a -≤（1,2,3,k =）.（1）求1a ，3a ，5a ，7a ； （2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15624n T ≤≤（n ∈N*）． 解析：（2）根据韦达定理有21232kk k a a k -+=+，故采用分组求和求解2n S . （3）不难发现()f n 不具周期性，故()(1)f n -的值无从确定.这样，在写出具体项分析规律时发现116T =，2524T =.因此，在证明16n T ≤时只需证明 问题即转化为先考虑如何求和？由韦达定理可得2121132kk k a a k -=⋅⋅，根据形式可确定将其放所谓等比数列求和，这样就要把()(1)f n -放缩为1或1-.当然，如何将132kk ⋅进行合适的放缩需要进行探索和调整.解：（1）方程2(32)320kkx k x k -++⋅=的两个根为13x k =，22kx =，当1k =时，1232x x ==，，所以12a =； 当2k =时，16x =，24x =，所以34a =； 当3k =时，19x =，28x =，所以58a =； 当4k=时，112x =，216x =，所以712a =．（2）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)nn =+++++++2133222n n n++=+-.（3）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 则112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=. 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥2311111662622n ⎛⎫+-++⎪⋅⎝⎭≥1116626n=+>⋅， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++⎪⋅⎝⎭≤515249224n =-<⋅. 综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤. 〖例7〗A 是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈ ，都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数L （01L <<），使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有()()121222x x L xx ϕϕ-≤-. （1）设()x ϕ=[2,4]x ∈，证明：()x A ϕ∈；（2）设()x A ϕ∈.如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的； （3）设()x A ϕ∈.任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ϕ+=，1,2,n =.证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，不等式1211k k p k L x x x x L-+-≤--成立. 解析：（3）关注提示性的信息（1）证明：因为()x ϕ=[2,4]x ∈.所以(2)x ϕ=，[1,2]x ∈.当[1,2]x ∈时，3125x ≤+≤，所以1(2)2x ϕ<=≤<.对任意的12,[1,2]x x ∈， 122||3x x ≤-. 取23L =，则01L <<，对任意的12,[1,2]x x ∈，都有()()121222x x L x x ϕϕ-≤-. 综上有()x A ϕ∈.（2）设()x A ϕ∈.若存在12,(1,2)x x ∈使得(2)i i x x ϕ=（1,2i =）.由条件②知，存在常数L （01L <<）使得121212|||(2)(2)|||x x x x L x x ϕϕ-=-≤-， 因为01L <<，所以120x x -=，即12x x =.（3）设()x A ϕ∈.任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ϕ+=，1,2,n =.由条件①知(1,2)n x ∈，1,2,n =.由条件②知，存在常数L （01L <<），使得对任意的正整数n ， 121||n L x x -≤≤-.从而对给定的正整数k 及任意的正整数p ，112121(1)||||11k p k L L L x x x x L L---=-≤---. 〖例8〗对于每项均是正整数的数列12:,,,n A a a a ，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列112():,1,1,,1n T A n a a a ---.对于每项均是非负整数的数列12:,,,m B b b b ，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++.设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())k k A T T A +=（0,1,2,k =）.（1）如果数列0A 为5，3，2，写出数列1A ，2A ； （2）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =.（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=.解析：（1）、（2）两问较为容易，只需按“定义”写出具体表达式即可.根据（2）的结论，当数列进行1T 变换后再求“S 和”后相等，而121(())k k A T T A +=，这样就需要先确定数列进行2T 变换前后“S 和”（即2(())S T A 与()S A ）的关系，由此确定（3）的解题方向.不难确定，当去掉数列中为0的项后“S 和”不变，而交换两项后由排序不等式也容易得到“S 和”减小，即2(())()S T A S A ≤，结合（2）即知21((()))()S T T A S A ≤.又由于0A 中每一项皆为正整数，对于数列的序列k A ，其“S 和”不会无限地减小.解：（1）10():3,4,2,1T A ，1210(()):4,3,2,1A T T A =，11():4,3,2,1,0T A ，2211(()):4,3,2,1A T T A =.（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12,,,n a a a ，则11()T A 为112():,1,1,,1n T A n a a a ---.从而22111(())2[(1)(1)](1)nniii i S T A n i a n a ===++-++-∑∑.又211()2nniii i S A ia a===+∑∑，所以1(())()0S T A S A -=，即1(())()S T A S A =.（3）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12,,,n a a a .当存在1i j n ≤<≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，则()()2()2()()0j i i i i j S B S A ia ja ia ja i j a a -=+--=--≤. 当存在1m n ≤<，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12,,,m a a a 为C ，则()()S C S A =.所以2(())()S T A S A ≤.从而对任意给定的数列0A ，由121(())k k A T T A +=（0,1,2,k =）可知11()(())k k S A S T A +≤.又由（2）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤. 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +≤-.因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===. 即存在正整数K ，当时k K ≥时，1()()k k S A S A +=.〖例9〗已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：1,3,, 3.n n n n n a c a a a a d++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （1）当11a =，1c =，3d =时， 求数列{}n a 的通项公式；（2）当101a <<，1c =，3d=时，试用1a 表示数列{}n a 的前100项和100S ； （3）当110a m <<（m 是正整数），1c m =，正整数3d m ≥时，求证：数列21a m -，321m a m+-，621m a m +-，921m a m +-成等比数列当且仅当3d m =. 解析：（3）对整数的处理——3d m ≥解：（1）由题意得1,32,2,31,3,3,n n k a n k n k =-⎧⎪==-⎨⎪=⎩*k ∈N .（2）当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623a a =+，1733a a =+，…，131113k k a a --=+，13123k k a a -=+，131133k k a a +-=+，…. 所以10012345679899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ 11131311111(31)633(11)1983323a a a =++++++⨯=-+. （3）当3d m =时，211a a m=+. 因为311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=，所以13213m a a m m+=+. 因为11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=，所以162219m a a m m+=+. 因为1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=，所以1923127m a a m m +=+. 所以211a a m -=，13213m a a m m +-=，162219m a a m m +-=，1923127m a a m m +-=.即当3d m =时，数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m +++----是公比为13m 的等比数列. 当31d m ≥+时，13231(0,)m a a d m ++=∈，162313(3,3)m a a d m++=+∈+， 163331(0,)m a d a d m +++=∈，19233311(3,3)m a m d a d m m+++-=+∈-. 由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m+->， 故数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列. 所以，数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m +++----成等比数列当且仅当3d m =.。