2017_2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质一学案(含答案)北师大版选修2_1

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高中数学椭圆的性质教案

高中数学椭圆的性质教案
教学目标：
1. 理解椭圆的基本概念
2. 掌握椭圆的标准方程
3. 熟练运用椭圆的性质进行问题解答
教学重点：
1. 椭圆的定义及数学性质
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的焦点、长短轴、离心率等性质
教学难点：
1. 椭圆的属性与其他几何图形的比较
2. 椭圆的运用问题解决
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过提问引导学生回顾圆的性质，并引入椭圆的概念，让学生猜测椭圆与圆的异同点。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义及性质，介绍椭圆的标准方程及主要属性。

2. 通过示意图讲解椭圆的焦点、长短轴、离心率等概念。

三、练习（20分钟）
1. 完成课堂练习，巩固椭圆的基本算法。

2. 组织学生进行小组讨论，解决椭圆相关问题。

四、拓展（10分钟）
探讨椭圆在实际生活中的应用，如卫星轨道、天文测量等。

五、作业布置（5分钟）
布置课后作业，要求学生继续复习椭圆相关知识，并尝试解决相关问题。

教学反思：
在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过实际问题解决来理解椭圆的性质和应用。

同时，要注重椭圆与其他几何图形的比较，帮助学生更好地理解椭圆的特点。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（） A 23B 3C 2D ．25．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．26．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．527．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（）A ．8B ．4C ．83D ．438．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切；则以上说法中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．3C ．2D12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A ．12B．2C ．13D二、填空题13．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.16．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.18．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.19．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22222:1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足01290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=___________． 20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:43C x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2OM ON ⋅=-. 求直线l 的方程；25．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由32c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y x，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，所以>0∆，且3是方程的根，所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意，综上，a 的取值范围为[)1,1-，故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =，即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =，所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确；对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确；对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-，又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ，因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-，则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：3【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.16．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计解析：6【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取5A y p =，1113535332ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．故答案为:6．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.18．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2，由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．19．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及解析：2 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点，由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'122PFPF a -=，则212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+，即2212PF PF +2'22()a a =+，又01290F PF ∠=，则222124PF PF c +=，即2'2a a +22c =，所以2'2222a a c c +=，即221211e e +=2，故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =，即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆16=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．(1) 22142x y += (2) 47【分析】（1）由条件得出当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为直角三角形，则b c =，当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值，则22cbR a c==-+22222c a b a c =-=-，可求出椭圆方程. （2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+ ,与椭圆方程联立得出韦达定理，由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---，结合韦达定理可得n 的值，从而得出点Q 的坐标，进而求出直线BQ 的方程，由点到直线的距离公式可得出答案【详解】点P 为椭圆C 上的动点，当1PF x ⊥或2PF x ⊥时，12PF F △为直角三角形. 此时满足条件的点P 有4个，根据满足条件的点P 有6个. 则满足条件的点P 的另2个位置位于椭圆C 的上下顶点处.当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为等腰直角三角形，即b c =12PF F △的内切圆半径我为R ，则()12121211222PF F P Sc y F F PF PF R ==++ 即()P c y a c R =+，所以Pc y R a c=+ 当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值.所以2cb R a c ==+，即22c a c=+22222c a b a c =-=-，即a =解得2,a b =，所以椭圆C 的标准方程为：22142x y +=（2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+由22142x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mny n +++-=所以212122224,,22mn n y y y y m m --+=⋅=++据条件直线BM ，BN 的斜率存在，由条件可得1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=--- 即1212122y y my n my n ⋅=-+-+-，即()()()2212121222y y m y y m n y y n -=+-++-所以()()()()2212121220m y y m n y y n ++-++-=则()()()2222242122022n mn m m n n m m --++-+-=++化简可得()()2320n n --=，即23n =或2n = 当2n =时，直线MN 过点B ，不满足条件.所以 23n =，则()12222243232m m y y m m -⨯-+==++ 由MN 的中点为Q ，则()2232Q my m -=+所以()()2222433232Q m x m m m -=⨯+=++所以()()222232434232BQm m m k m m -+==+-+所以直线BQ 的方程为()2234m y x m =-+，即()23420m y mx m +-+= 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离为d ==47=≤=当且仅当22169mm=,即243m=时取等号.所以点()2,0A-到直线BQ的距离的最大值为47【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的几何性质和椭圆中的定点问题以及点到直线的距离的最值问题，解答本题的关键是由1212122BM BNy yk kx x⋅=⋅=---结合韦达定理得出n的值，进一步得出点Q的坐标()2232Qmym-=+，234BQmkm=+，得出直线BQ的方程为()2234my xm=-+，属于难题.22．（1）2214xy+=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y<<从而可表示出直线PA的方程，然后求出点M的坐标，得到BM的值，同理可得到AN的值，进而可求得四边形ABNM的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab+=，所以⎧=⎪=2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y<<+=.因为()()2,0,0,1A B，所以直线PA的方程为()22yy xx=--，令x=，得022M y y x =--，从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析．【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=，故圆心()11M ，，半径R = 圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩，由此得2102y ≤<，所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．故直线MA 的方程为()11y k x -=-，直线MB 的方程为()11y k x -=--，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+，同理可得：22211B k k x k +-=+，所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++，所以直线AB 和MN 一定平行．【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）22143x y +=；（2）1)y x -或1)y x =-.【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得b =.（2）先验证直线斜率不存在时的可求，然后当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由12122OM ON x x y y ⋅=+=-，将韦达定理代入可得答案. 【详解】解：（1）由题意得，抛物线2:C x =的焦点为 ∴椭圆的一个顶点为，∴b =又∵12c e a ==, 222231114b e a a =-=-=，所以2a =∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，则331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则9124OM ON ⋅=-≠-，所以不合题意， ②当直线斜率存在时，设直线l 为(1)y k x =-且1122(,),(,)M x y N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ∴221222228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++. ∴[]21212121212()1OM ON x x y y x x kx x x x ⋅=+=+-++2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k----=+-+==-++++. ∴22k =∴k =0∆>∴直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆与直线的位置关系，解得本题的关键是联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理得到221222228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++，由[]21212121212()1OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++，然后将韦达定理代入，属于中档题.25．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴213AB x =-==，解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离），则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

3.1.1 椭圆及其标准方程备课笔记

3.1.1 椭圆及其标准方程本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。

以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。

通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。

通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，培养数学抽象的核心素养．2.掌握椭圆的标准方程，培养数学运算的核心素养．3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程难点：运用标准方程解决相关问题（一）新知导入椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。

探究取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F 1,F 2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？（二）椭圆及其标准方程知识点一椭圆的定义◆椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．集合语言表示：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}【思考】(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？【做一做】下列说法正确的是（）A ．到点12(4,0),(4,0)F F 的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆知识点二椭圆的标准方程【探究2】根据椭圆的形状，我们怎样建立坐标系可能使椭圆的方程形式简单呢？你能推导出椭圆的标准方程吗？椭圆的标准方程√(x +c)2+y 2+√(x −c)2+y 2=2a . ①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得√(x +c)2+y 2=2a −√(x −c)2+y 2，②对方程②两边平方，得(x +c)2+y 2=4a 2 −4a√(x −c )2+y 2+(x −c)2+y 2，整理得a 2−cx =a√(x −c )2+y 2， ③对方程③两边平方，得a 4−2a 2cx +c 2x 2=a 2x 2−2a 2cx +a 2c 2+a 2y 2，整理得 (a 2−c 2)x 2+a 2y 2= a 2(a 2−c 2) ， ④ 将方程④两边同除以a 2(a 2−c 2)，得x 2a 2+y 2a 2−c 2=1. ⑤ 由椭圆的定义可知2a >2c >0 ，即a >c >0，所以a 2−c 2>0. 观察下图，你能从中找出表示a ，c ，√a 2−c 2的线段吗？由图可知，|PF 1|=|PF 2|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c , |PO |=√a 2−c 2 令b = |PO |=√a 2−c 2,那么方程⑤就是x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) ⑥称焦点在x 轴上的椭圆方程.类似的方法，将焦点置于y 轴时，可得焦点在y 的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).◆椭圆的标准方程【做一做1】已知椭圆中a ＝5, c ＝3, 焦点在x 轴上，则椭圆标准方程为________．【做一做2】椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3)【做一做3】(教材P109练习1改编)设P 是椭圆x 216＋y 225＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若P 到焦点F 1的距离是3，则P 到另一焦点F 2的距离等于( )A ．10B ．8C ．7D ．51.求椭圆的标准方程例1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142.【类题通法】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a ＞b ＞0).(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c 的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．2．求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．再根据条件确定m 、n 的值．3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．将点的坐标代入解方程组求得系数．【巩固练习1】求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．2.椭圆标准方程的判定例2.若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72C.72<m <16 D ．m >72【类题通法】方程x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，n ＞0，m ＞n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＜n .【巩固练习2】命题p ：方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是( )A ．3<m <5B ．4<m <5C ．1<m <5D ．m >13.椭圆的定义及应用例3.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[分析] 先根据方程求出a 、b 、c 的值，再利用椭圆的定义和余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|的值．最后利用三角形的面积公式求出S △F 1PF 2.【类题通法】1.椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a . 2.椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．【拓展】椭圆焦点三角形的性质1．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、解三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．如求△F 1PF 2的面积问题，|PF 1|·|PF 2|的最值问题．2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量．3．关于椭圆中的焦点三角形△F 1PF 2，常出现的结论有： (1)△F 1PF 2的周长为2a ＋2c ；(2)若点P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积S ＝b 2tan θ2.在选择题、填空题中可以直接使用此公式求椭圆焦点三角形的面积．(3)对于椭圆上的点P ，∠F 1PF 2随着点P 从长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2最大．【巩固练习3】如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[分析] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．4.与椭圆有关的轨迹问题例4.如图，一动圆过定点A(2,0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[分析] 根据两圆内切的特点，得出|MA|＋|MB|＝6＞|AB|＝4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进而求出a2，b2即可得点M的轨迹方程．【类题通法】定义法求轨迹方程如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．【巩固练习4】已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．1.已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 29＋y 24＝1C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 2.椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．83.若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．4.如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.1椭圆及其标准方程 -A 基础练一、选择题 1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．到点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D ．到点12(4,0),(4,0)F F -距离相等的点的轨迹是椭圆2．（2020·沙坪坝·重庆一中月考）若椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，过左焦点F '作倾斜角为60︒的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，则PQF △的周长为（）A ．B ．C ．6D ．83.（2020·天津一中期中）若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2，0)，则a =（）A B C D 4.（2020·浙江丽水高二月考）已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）5．（多选题）已知椭圆22:13620x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，定点(1,4)A ，若点P是椭圆E 上的动点，则1||PA PF +的值可能为（）A ．7B ．10C ．17D ．196．（多选题）（2020全国高二课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上一点，12,F F 是其两个焦点，则12F PF ∠的大小可能为（）A ．34πB ．23πC ．2πD ．4π二、填空题7.（2020全国高二课时练）已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2√15,则此椭圆的标准方程为 .8.椭圆x 212+y 23=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点M 在y 轴上,则点M 的纵坐标为 .9．（2020河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______．10．（2020·江西南昌二中高二月考）如图所示，12F F 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 2b 的值为 .三、解答题11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);(2)c ∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.12. （2020·富平县富平中学高二月考）已知某椭圆C ，它的中心在坐标原点，左焦点为F （﹣，0），且过点D （2，0）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知点A （1，），当点P 在椭圆C 上变动时，求出线段PA 中点M 的轨迹方程．3.1.1 椭圆的标准方程 -B 提高练一、选择题1．（202010=的化简结果为（）A ．2212516x y += B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=2.如果方程x 24−m +y 2m -3=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )A.(3,4)B.(72,+∞) C.(3,72)D.(72,4)3．（2020全国高二课时练习）“15m <<”是“方程22215x y m m+=--表示椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（2020·东辽县第一高级中学校高二期中）已知在ABC ∆中，点()2,0A -，点()2,0B ，若tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=，则点C 的轨迹方程为（）A ．22148x y +=B ．22148x y +=（2x ≠±） C ．22148x y -=D ．22184x y +=（2x ≠±）5．（多选题）已知P 是椭圆22194x y +=上一点，椭圆的左、右焦点分别为12,F F ，且121cos 3F PF ∠=，则（）A ．12PF F △的周长为12B ．12PF F S ∆=C ．点P 到xD ．122PF PF ⋅=6．（多选题）设P 是椭圆C :x 22+y 2=1上任意一点,F 1,F 2是椭圆C 的左、右焦点,则( )A.|PF 1|+|PF 2|=2√2B.-2<|PF 1|-|PF 2|<2C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2D.0≤PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1 二、填空题 7．（2020怀仁市高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 顶点(3,0)A -和(3,0)C ，顶点B 在椭圆2212516x y +=上，则sin sin 2sin A C B+=_ _． 8. （2020·九江市第三中学期中）已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是__．9.（2020全国高二课时练）如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= .10．（2020·宁夏银川一中期中）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若2232AF BF =，122BF BF =，则椭圆C 的方程为 . 三、解答题11.（2020全国高二课时练）（2020全国高二课时练）已知椭圆M 与椭圆N :x 216+y 212=1有相同的焦点,且椭圆M 过点(-1,2√55). (1)求椭圆M 的标准方程;(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆M 上,且△PF 1F 2的面积为1,求点P 的坐标.12．如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点M (43,13),且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若R ,S 是椭圆C 上的两个点,线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ,O 为坐标原点,求证:P ,O ,M 三点共线.。

2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】

思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.

湘教版高中学案数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质

始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点
p
的距离等于顶点到准线的距离,大小为2 .
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观
的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题.
变式训练1
已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,
(2)因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若l与x轴垂直,则|AB|=4,不符合题
意,所以可设所求直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
= (-1),
由 2
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
= 4,
2 2 +4
则由根与系数的关系,得 x1+x2=
2
故设 A(3,m)(m>0),代入 y2=8x 得 m2=24,所以 m=2√6或 m=-2√6(舍去).
所以 A(3,2√6),B(3,-2√6),|OA|=|OB|=√33,
所以△OAB 的周长为 2√33+4√6.
规律方法
抛物线的几何性质的应用方法
(1)抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线
第3章
3.3.2 抛物线的简单几何性质
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.掌握抛物线的几何性质;
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题;
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.
基础落实•必备知识全过关

人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。

作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。

因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

重点：椭圆的方程及其性质的应用难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。

3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)

y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
-b≤x≤b，-a≤y≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a，0)、(-a，0)、 (0，b)、(0，-b)
(b，0)、(-b，0)、 (0，a)、(0，-a)
(c，0)、(-c，0)
(0，c)、(0，-c)
长半轴长为a，短半轴长为b. a>b
cos B 7 18
则AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cos B 25 9
5 AC
3
2a 1 5 8 33
2c 1 e 2c 3 2a 8
随堂练习 8、与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率0.8.
x2
y2
1或
y2
x2
1
125 45
扁
圆
随着学习的深入，可以体会到，虽然 b 也能刻画椭圆的扁平程度，但
c a
a
中a，c是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的
程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性
总结
标准方程范围
对称性顶点坐标焦点坐标
半轴长离心率
椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a，-b≤y≤b
25 16
x2 y2 (2) 1
25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x

高中数学椭圆教案备课记录

高中数学椭圆教案备课记录课程名称：高中数学椭圆
教学目标：
1. 了解椭圆的定义和性质；
2. 掌握椭圆的标准方程和参数方程；
3. 熟练运用椭圆的相关公式解决问题。

教学重点：
1. 椭圆的定义和性质；
2. 椭圆的标准方程和参数方程。

教学难点：
1. 参数方程的理解和运用；
2. 椭圆的性质的灵活运用。

教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 让学生回顾椭圆的定义，并简单介绍椭圆的性质。

二、授课（30分钟）
1. 讲解椭圆的标准方程和参数方程的推导和特点；
2. 演示如何将椭圆的标准方程转化为参数方程；
3. 确认学生的理解，并进行相关练习。

三、练习（15分钟）
1. 布置椭圆相关的练习题，让学生在课堂上解答；
2. 监督学生的答题过程，及时纠正错误。

四、总结（5分钟）
1. 总结椭圆的重点知识和难点，强化学生的记忆；
2. 鼓励学生多加练习，巩固所学知识。

教学反思：
1. 本节课的难点主要集中在参数方程的理解和应用上，需要多加强化；
2. 下节课可以增加一些实际问题的运用，提升学生的综合能力。

苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第三章圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程

系数即可.即“先定位,后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦
点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成
mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不
含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.
2
(3)(方法一)①当椭圆的焦点在 x 轴上时,可设椭圆的标准方程为
2
2
+
2
2 =1(a>b>0).

依题意,有
2
2
1
1
( )
( )
3 + 3 = 1,
2
2

2
1
(- )
0 + 22 = 1,
2
解得

由 a>b>0,知不合题意,故舍去.
=
2 =
1
,
5
1
.
4
②当椭圆的焦点在 y
依题意,有
2
2
所以所求椭圆的标准方程为169 + 144=1.
(2)设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
则
4 + 2 = 1,

14
+
4
= 1,
解得
=
=
1
,
8
1
,
4
2
所以所求椭圆的标准方程为
8
2
+ =1.
4
探究点二椭圆定义的应用
【例 2】化方程

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程双曲线的简单几何性质分层作业册

,即

a2=9,b2=16,
2
− 16 =1,故 A 正确;
B 不正确;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4
b= a,
3
焦点 F 到渐近线的距离 d=

2 + 2
=b=4,故 C 不正确;
|PF|的最小值为c-a=5-3=2,故D正确.
故选AD.
)
解析由于双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为
2
2
2
− 2 =1(a>0,b>0),

所以渐近线的方程为
再由 c =a +b =a +
2
2
2
2

y=± x,即

2
4

3
=
2
所以双曲线的标准方程为 9
离心率

e=
=
5
,故
3
4
bx±ay=0,由题意
3
25 2
a =25,可得
9
=

a2=9,焦点可能在 x 轴,也可能
4.双曲线
2
C:
2
2
− =1(m>0)的一条渐近线的方程为

2x+y=0,则双曲线 C 的离
心率为( D )
A. 2
B.2
解析根据题意,双曲线
则有
2
C: 2
−
2
=1(m>0)的一条渐近线的方程为

2
=2,即
m=8,则双曲线的方程为
2
2
则双曲线的离心率为
=
5

湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程椭圆的简单几何性质

∵a-c≤|PF1|≤a+c,∴a-c≤ 3 ≤a+c,结合 0<e<1,可得3≤e<1.
故选 A.
规律方法
方法
求椭圆离心率的取值范围的两种方法
解读
适合题型
利用椭圆的几何性质,如:设P(x0,y0)为椭圆
几何法
x2
a2
+
y2
=1
b2
(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c
题设条件有明
+
2
=1
4
2
D.
6
2
C.
6
+
2
=1
36
+
2
=1
4
答案 A
+ = 10,
= 6,
解析由题意可得 2 = 4√5, 解得 = 4,
= 2√5,
2 = 2 - 2 ,
2
因此,椭圆的标准方程为
36
故选 A.
+
2
16
=1.
2
4.已知椭圆 2
2
长与椭圆
21
.
答案
1
2

-

解析由题意知直线 AB 的方程为 + =1,即 bx-ay+ab=0.
左焦点的坐标为 F(-c,0),则
|- + |
√ 2 + 2
=

√7
,
∴√7(a-c)=√2 + 2 ,∴7(a-c)2=a2+b2=a2+a2-c2=2a2-c2,
即 5a2-14ac+8c2=0,

2017-2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质(二)学案北师大版选修

1.2 椭圆的简单性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系.思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系？梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆______；若Δ＝0，则直线和椭圆______；若Δ<0，则直线和椭圆______. (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫作直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫作______.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22，将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入上式，得|AB |＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝x 1－x 22＋k2x 1－x 22＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0. 例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________.引申探究若将本例中P 点坐标改为“(1，k )”呢？反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点. (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点. (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.跟踪训练2 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B.－63C.±63D.±33类型二弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程.引申探究在本例中求弦AB 的长.反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程. 跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA |＋|PB |取得最值.(2)求解形如|PA |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值.1.若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A.－2<a < 2B.a <－2或a > 2C.－2<a <2D.－1<a <12.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交3.已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________.4.若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________.5.直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长. (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝＋1k2y 1－y 22＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2(k 为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 0－x 2a 2＋y 0－y 2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程.特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错. 提醒：完成作业第三章 §1 1.2(二)答案精析问题导学知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外.思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)相交相切相离 (2)弦长题型探究例1 (－∞，－332)∪(332，＋∞)引申探究(－∞，－423)∪(423，＋∞)跟踪训练1 C 例2 (1)A(2)解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 跟踪训练2 (1)C (2)C例3 解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2). 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝k 2－k 4k 2＋1. 又M 为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝k 2－k 4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三对称点法(或共线法) 设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y ). ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①－x 2＋－y 2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究解由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)，故|AB |＝－2＋－2＝2 5.跟踪训练3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －，x 236＋y29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 1y 2＋y 1，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－＝25 10－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .跟踪训练4 解由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接PA (如图)，则|PM →|＝ |PA →|2－|A M →|2＝ |P A →|2－1，∴当|PA →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.当堂训练1.A2.C3.274.(－2,2)5.解设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k2)(－4k1＋2k2)2＝329，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.。

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高一上必修一第一章集合1、集合的基本关系2、集合的含义与表示3、集合的基本运算第二章函数1、生活中的变量关系2、对函数的进一步认识3、函数的单调性4、二次函数性质的再研究5、简单的幂函数第三章指数函数和对数函数1、正整数指数函数2、指数概念的扩充3、指数函数4、对数5、对数函数6、指数函数、幂函数、对数函数增第四章函数应用1、函数与方程2、实际问题的函数建模必修二第一章立体几何初步1、简单几何体2、三视图3、直观图4、空间图形的基本关系与公理5、平行关系6、垂直关系7、简单几何体的面积和体积8、面积公式和体积公式的简单应用第二章解析几何初步1、直线与直线的方程2、圆与圆的方程3、空间直角坐标系高一下必修三第一章统计1、统计活动：随机选取数字2、从普查到抽样3、抽样方法4、统计图表5、数据的数字特征6、用样本估计总体7、统计活动：结婚年龄的变化8、相关性9、最小二乘法第二章算法初步1、算法的基本思想2、算法的基本结构及设计3、排序问题4、几种基本语句第三章概率1、随机事件的概率2、古典概型3、模拟方法――概率的应用必修四第一章三角函数1、周期现象与周期函数2、角的概念的推广3、弧度制4、正弦函数5、余弦函数6、正切函数7、函数的图像8、同角三角函数的基本关系第二章平面向量1、从位移、速度、力到向量2、从位移的合成到向量的加法3、从速度的倍数到数乘向量4、平面向量的坐标5、从力做的功到向量的数量积6、平面向量数量积的坐标表示7、向量应用举例第三章三角恒等变形1、两角和与差的三角函数2、二倍角的正弦、余弦和正切3、半角的三角函数4、三角函数的和差化积与积化和差5、三角函数的简单应用高二上（文理）必修五第一章数列1、数列的概念2、数列的函数特性3、等差数列4、等差数列的前n项和5、等比数列6、等比数列的前n项和7、数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形1、正弦定理与余弦定理正弦定理2、正弦定理3、余弦定理4、三角形中的几何计算5、解三角形的实际应用举例第三章不等式1、不等关系·1.1、不等式关系·1.2、比较大小2.一元二次不等式2.1、一元二次不等式的解法2.2、一元二次不等式的应用3、基本不等式3.1 基本不等式3.2、基本不等式与最大（小）值4 线性规划·4.1、二元一次不等式（组）与平面区·4.2、简单线性规划·4.3、简单线性规划的应用高二上（文）选修1-1第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件2.1充分条件2．2必要条件2．3充要条件3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题3．3全称命题与特称命题的否定4逻辑联结词,且,或,非4．1逻辑联结词,且4．2逻辑联结词,或4．3逻辑联结词,非第二章圆锥曲线与方程1椭圆1．1椭圆及其标准方程1．2椭圆的简单性质2抛物线2．1抛物线及其标准方程2．2抛物线的简单性质3 曲线3．1双曲线及其标准方程3．2双曲线的简单性质第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念2．2导数的几何意义3计算导数4导数的四则运算法则4．1导数的加法与减法法则4．2导数的乘法与除法法则第四章导数应用4．1导数的加法与减法法则4．2导数的乘法与除法法则高二上（理）选修1-2第一章统计案例1 回归分析1.1 回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析2独立性检验2.1条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3独立性检验的基本思想2.4独立性检验的应用第二章框图1 流程图2结构图第二章推理与证明1 归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2 数学证明3 综合法与分析法3.1综合法3.2分析法4反证法第三章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩充1.2复数的有关概念2复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法高二下（理）选修2-1第一章常用逻辑用语1命题2充分条件与必要条件3全称量词与存在量词4逻辑联结词“且”“或”“非”3向量的坐标表示和空间向量基本定理4用向量讨论垂直与平行5夹角的计算6距离的计算第三章圆锥曲线与方程1椭圆1．1椭圆及其标准方程1．2椭圆的简单性质2抛物线2．1抛物线及其标准方程2．2抛物线的简单性质3双曲线3．1双曲线及其标准方程3．2双曲线的简单性质4曲线与方程4．1曲线与方程4．2圆锥曲线的共同特征4．3直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明1归纳与类比2综合法与分析法3反证法4数学归纳法第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3计算导数4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则5简单复合函数的求导法则第三章导数应用1 函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值2 导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大、最小值问题第四章定积分1 定积分的概念1.1定积分背景-面积和路程问题1.2定积分2 微积分基本定理3 定积分的简单应用3.1平面图形的面积3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念2 复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分步乘法计数原理2.排列2.1 排列的原理2.2 排列数公式3.组合3.1 组合及组合数公式3.2 组合数的两个性质4.简单计数问题5.二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率1.离散型随机变量及其分布列2.超几何分布3.条件概率与独立事件4.二项分布5.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差5.2 离散型随机变量均值与方差6.正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例1.回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析2.独立性检验2.1 独立性检验2.2 独立性检验的基本思想2.3 独立性检验的应用选修3-1第一章数学发展概述第二章数与符号第三章几何学发展史第四章数学史上的丰碑----微积分第五章无限第六章数学名题赏析选修3-2选修3-3第一章球面的基本性质1.直线、平面与球面的我诶制关系2.球面直线与球面距离第二章球面上的三角形1.球面三角形2.球面直线与球面距离3.球面三角形的边角关系4.球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何1.球面上的欧拉公式2.简单多面体的欧拉公式3.欧氏几何与球面几何的比较选修4-1第一章直线、多边形、圆1.全等与相似2.圆与直线3.圆与四边形第二章圆锥曲线1.截面欣赏2.直线与球、平面与球的位置关系3.柱面与平面的截面4.平面截圆锥面5.圆锥曲线的几何性质选修4-2第一章平面向量与二阶方阵1 平面向量及向量的运算2 向量的坐标表示及直线的向量方程3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵1 几种特殊的矩阵变换2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法1 变换的合成与矩阵乘法2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵1 逆变换与逆矩阵2 初等变换与逆矩阵3 二阶行列式与逆矩阵4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量1 矩阵变换的特征值与特征向量2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-3选修4-4第一章坐标系1 平面直角坐标系2 极坐标系3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程1参数方程的概念2 直线和圆锥曲线的参数方程3 参数方程化成普通方程4 平摆线和渐开线选修4-5第一章不等关系与基本不等式l不等式的性质2含有绝对值的不等式3平均值不等式4不等式的证明5不等式的应用第二章几个重妻的不等式1柯西不等式2排序不等式3数学归纳法与贝努利不等式选修4-6第一章带余除法与书的进位制1、整除与带余除法2、二进制第二章可约性1、素数与合数2、最大公因数与辗转相除法3、算术基本定理及其应用4、不定方程第三章同余1、同余及其应用2、欧拉定理。

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1.2 椭圆的简单性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考1 观察椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样
的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
梳理椭圆的简单性质
知识点二椭圆的离心率
思考如何刻画椭圆的扁圆程度？
梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e ＝____________称为椭圆的离心率.
(2)对于x 2a 2＋y 2
b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____，反之，e 越接近于0，
c 就越接近于0，从而
b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，
c ＝0，两焦点重合，图形变
成圆，方程变为x 2
＋y 2
＝a 2
.(如图)
类型一由椭圆方程研究其简单性质
例1 求椭圆9x 2
＋16y 2
＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x 2
＋16y 2
＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
类型二椭圆的性质的简单应用
命题角度1 依据椭圆的性质求标准方程
例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程.
反思与感悟此类问题应由所给的性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
命题角度2 对称性问题
例3 讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.
反思与感悟研究曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性，只需用“－y ”代替方程中的“y ”，用“－x ”代替方程中的“x ”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性. 跟踪训练3 曲线x 2
－2y ＋1＝0的对称轴为( ) A.x 轴 B.y 轴 C.直线y ＝x
D.无法确定
类型三椭圆的离心率的求解
例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且
与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤14
2
，求椭圆离心率e 的取值范围.
反思与感悟求e 的取值范围有以下几个步骤 (1)切入点：已知|k |≤
14
2
，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式. (2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤
142
，求e 的取值范围.
(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围.
跟踪训练4 已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若
△PF 1F 2的内切圆的半径为3
2
，则此椭圆的离心率为________.
1.已知椭圆的方程为2x 2
＋3y 2
＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )
A.1
3
B.
3
3
C.
2
2
D.
1
2
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
A.x2
2
＋
y2
4
＝1 B.x2＋
y2
6
＝1
C.x2
6
＋y2＝1 D.
x2
8
＋
y2
5
＝1
3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________________________________________________________________________.
4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________________________________________________________________________.
1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.
2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
提醒：完成作业第三章§1 1.2(一)。