浙江省宁波市鄞州区咸祥中学高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算学案1 新人教A版必修1
指数与指数幂的运算学案
2.1.1 指数与指数幂的运算一、学习目标：1．理解分数指数幂的概念；2. 掌握有理指数幂的运算性质；3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．能够应用联系观点看问题二、重点与难点分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质三、学法指导：1．本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0，p是一个无理数，则p a表示一个确定的实数”2．在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.3. 在掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.四、学习过程：（一）自主探究动手、思考：一张纸你能折几次，每折一次有多少层呢？1、回顾初中根式的概念：2、复习初中整数指数幂的运算性质；3、根式的概念及运算：（1）定义n次方根：（2）讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？强调：负数 偶次方根,0的任何次方根都是 , 即（3） 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 （4）定义根式：（5） 计算2； 33)8(-（6）分数指数幂的意义规定：0正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（7）有理数指数幂的运算性质（8）求值：2)(b a -（a b <） 234936⎪⎭⎫⎝⎛（9）用分数指数幂表示下列格式：32x32)(n m - （n m >）56qp （0>p ）mm 2（二）合作探讨1、n 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般）2、从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？3、如何理解无理指数幂（三）巩固练习1. 计算：； 55)1.0(-； 2)4(-π；66)(y x -)(y x >；632125.13⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3231312212x x x 3421413223)(a b b a ab b a ∙（0,0>>b a ）五、课后思考：；六、课堂小结：1．学习了分数指数幂的概念和运算性质；2．会熟练的利用有理数指数幂的运算性质进行分数指数幂和根式的运算。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(2)教案 新人教版必修1
2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）内容：分数指数幂一、教学目标（一）知识目标（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
（二）能力目标（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．（3）训练学生思维的灵活性（三）德育目标（1）激发学生自主学习的兴趣（2）养成良好的学习习惯教学重点：次方根的概念及其取值规律。
教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。
引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。
．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来。
二、师生互动，新课讲解： 1.分数指数幂 看下面的例子： 当0 a 时，（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510510a a =；（2）3443412)(a a a==，又4123=，所以412412a a =．从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m nm a a=（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．例如：3273-=-，而3)27(62=-．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． 联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用 (1)a r a s =a r+s(a>0,r,s ∈Q) (2)(a r )s =a rs(a>0,r,s ∈Q) (3)(ab)r =a r b r(a>0,b>0, r,∈Q)3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
教案2.1.1 指数与指数幂的运算(一)
4
x4 的定义域与值域. x
练习 若 4a 4a 1 3 1 2a，求实数a的取值范围. 【师生活动】教师展示例题，请学生先自行思考，对于函数引导学生首先来看定义域；之后再引导学 生遇到复杂的式子要将其拆分，逐个击破，化简函数的表达式，最后再求解值域，最后要注意大案要 写成集合的形式。 （五）课堂小结，回顾新知 1、n 次方根与根式的概念
2
3
1 1 1 1 5730 1 5730 中学过的正整数指数幂，它们的值分别是 ， ， ，„，而对问题 2 中的答案 ， ， 2 4 8 2 2
6000
10000
1 2
100000 5730
，它们的意义又是什么呢？它的指数是分数，也就是我们将把指数的取值范围从正整数扩充
n n 用式子表达：若 x a ，则 x 叫做 a 的 n 次方根。教师给出完整板书：一般地，如果 x a ，那么 x
* n 叫做 a 的 n 次方根。其中 n＞1 且 n∈N 。x 记作 a ，这个式子叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做
被开方数。可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例。 （三）师生合作，探究性质 问题 4：一个数的 n 次方根有几个呢？请大家计算下列数的 n 次方根： （1） 64 的 3 次方根（2）4 的 2 次方根 -32 的 5 次方根 16 的 4 次方根
（2） n为偶数，a n a
n
a 指数与指数幂的运算 （一） 一、n 次方根 1、定义： 2、性质： （1） （2） （3） 二、根式 1、概念： 注： （1） （2）
三、重要结论 1、 2、 四、例题
PPT
自我分析： 新授课与学生互动较多，气氛活跃，并将知识点都顺利清晰地在课堂展现出来。但也存在 以下问题：1、在一道例题的配方问题中耗费了太多时间，而题目的重点应该是强调本节课两 个重要结论的应用。2、在一道习题中忽略了题目中的隐含条件，没有向学生强调说明。 实习同学评议： 教态自然，上课语言自然流畅，和学生互动较多，能够吸学生的注意力。在整个知识讲解中， 脉络简晰，条理清楚，板书工整。稍微欠缺的是对有些重要点，可再次强调说明。 实习学校教师意见： 上课条理清楚，教态自然大方，讲题目能立足于学生，层层深入。教师基本功扎实，信息技术 不仅熟练，而且能做到恰到好处，板书清晰、漂亮，是位优秀的实习老师。
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)教案新人教版必修1
2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(教学设计)内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。
a (a 0)3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n是偶数时，n a n | a | a (a的得出及运用a (a 0)教学过程一、创设情境，新课引入：问题1 (课本P48问题1):从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001 ―― 2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y 1.073x(x N*, x 20).问题2 (课本P58问题2)：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1-L根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P (-)5730.21 1 1当生物死亡了5730, 2 5730, 3 5730 ,…年后，它体内碳14的含量P分别为?,(才2, (?)3，….是正整数1 1 1指数幕.它们的值分别为1 1 1，….2 4 8一6000 一10000 一1000001 ----- 1 ----------- 1 ------------当生物死亡600 0年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为(―)5730,(_) 5730,(_) 5730，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的_」如：2是4的平方根一个正数的平方根有—个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是一(2)若x3a，则x叫a的.女口：2是8的立方根，一2是一8的立方根。
§2.1.1《指数与指数幂的运算》教案(第一课时)
“目标导航，问题引领”自主学习法课堂模式备课设计高一数学组成员：周连平杨金银曹容菊何兴华苏春元郭婷秦丽§2.1.1《指数与指数幂的运算》教案（第一课时）高一数学备课组主备人：曹容菊时间：10月3日第二章基本初等函数（I）§2.1.指数函数§2.1.1指数与指数幂的运算一．教学目标（一）知识与技能目标：1、理解n次方根和根式的概念；2、理解有理数指数幂的意义，培养学生观察、分析、抽象等认知能力。
（二）过程与方法目标：通过师生共同讨论和探究的方法，使得学生参与到指数范围的扩充和完善的过程中，从而领会类比、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法的运用和提高分析解决问题的能力。
（三）情态与价值目标：1、体会数学模型与实际问题之间的关系，从而感受数学的应用价值；2、让学生体验数学的简洁美和统一美。
3、让学生学会用联系的观点看待问题。
二、教学重点和难点教学重点：理解有理数指数幂的意义。
教学难点：理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之间的转化三、学法与教学用具1、学法：根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
2、教学用具：多媒体手段四、教学思路（第一课时）（一）创设情景，揭示课题．以实例引入，激发学生探究分数指数幂的兴趣与欲望。
问题1：百万富翁与“指数爆炸”：杰米是百万富翁,一天,一个叫的人对他说,我想和你订个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.杰米欣喜若狂,同意了。
思考：杰米与韦伯一个月以后谁更有钱？问题2：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 的关系。
引导学生得出关系式：573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭基于时间的连续性和死亡生物体碳14含量变化的连续性，说明引进分数指数幂必要性，如6000573012P ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
高一数学必修1教材《指数与指数幂的运算》教学设计
2.1.1指数与指数幂的运算 第1课时《根式》一、 教学目标1、知识目标：理解n 次方根和n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
2、能力目标：通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力。
3、情感态度与价值观：通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想。
二、 教学重点：n 次方根的概念及其取值规律教学难点：n 次方根的概念及其运算根据的研究．三、 过程与方法：教学方法：启发探索式．（一）、预习自学1、指数幂的定义 ：a 的正整数指数幂=na （其中R a n N n ∈>∈,1,*）a 的零次幂=0a （其中a ） a 的负整数指数幂=-n a （其中a ）2、平方根与立方根的定义：（1）平方根：如果 ，那么 叫做 的平方根。
正数a的平方根有 个，它们 ，记作 ，0的平方根是 ，负数 。
（2）立方根：如果 ，那么 叫做 的立方根。
正数a 的立方根是一个 ，负数a 的立方根是一个 ，0的立方根是 ，实数a 的立方根记作 。
3、n 次方根的概念：一般的，如果 其中（ ） 当n 是奇数时 ， 记作当n 时偶数时 记作 负数 0的 ，记作 4、根式的概念：（1）定义：（2）性质 ⅰ） =n na )( ，ⅱ）当n 为奇数时=n n a ，n 为偶数时=n n a5、预习书P50例16、小试牛刀：化简下列各式：（1）38- （2）)(222b a b ab a <+-（3）66)2(+x （4）)1()31(2<--x xx （二）质疑、解疑1、式子n a 中a 的取值范围由什么决定?2、式子n a 的符号一定是正的吗？有什么规律？3、式子nn a )(中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果是什么？4、式子n n a 中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果一定是非负的吗？（三）实践1、根式有意义的条件：求347311aaa a ++-+-的值2、根式的化简与求值（1）计算 3048334160625.0--+π（2）如果,5-<m 化简251012)6(244++++--m m m m（3）设,33<<-x 求961222++-+-x x x x 的值（四）师生小结（五）验收：优化设计活页卷62页四、 课后反思2.1.1指数与指数幂的运算 第2课时《分数指数幂》一、教学目标1、 知识目标：能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化。
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)导学案 新人教A版必修1
《2.1.1 指数与指数幂的运算（1）》导学案【学习目标】其中2、3是重点和难点1．了解指数函数模型背景及实用性必要性，了解根式的概念及表示方法，理解根式的概念。
2．掌握n 次方根的求解。
3．理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景。
【课前导学】阅读教材第49-50页，完成新知学习。
1、n 次方根：一般地，如果 ，那么 ,其中1n n N *>∈且。
2、当n 为奇数时, 正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 ，这时a的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，且互为 ，用符号 表示。
负数没有 方根，0的任何次方根都是 ，即= 。
3叫做 , 这里n 叫做 , a 叫做 。
4n = 。
当n 是奇数时，= ；当n 是偶数时，= = 。
【预习自测】首先完成教材上P59第1题，然后做自测题。
1= 。
2= 。
3)a b ≤= 。
4、下列说法正确的是（ ）A.4的平方根只有2B.27的立方根有3和-3C.a 的nD.若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根 5、下列各式正确的是( )3 a =＝2 D ．0a ＝1 【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。
探究一：思考1：4的平方根是什么？任何一个数有平方根吗？一个数的平方根有几个？ 思考2：-27的立方根是什么？任何一个数有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 思考3:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果4,x a =5,x a =6,x a =参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？ 思考5:推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？试给出其定义。
探究二：思考1:-8的立方根，32的5次方根，-32的5次方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程3,x a =5x a =分别有解吗？有几个解？ 思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程4,x a = 6,x a =分别有解吗？有几个解？ 思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考6:n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n 次方根用根式怎么分类表示？探究三：思考1：3,5,4分别等于什么？一般地，n 等于什么？思考2例1、求值化简：变式：a b <）例2变式： （推广：= a ≥0）【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）A.很好B.较好C.一般D.较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟 满分：10分）计分：1= 。
指数与幂指数运算学案(一),(二)
§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）学习目标：⒈理解n 次方根、根式概念，能正确应用根式的运算性质； ⒉提高认识、接受新事物的能力． 教学重点：根式的概念． 教学难点：根式的概念的理解． 教学过程：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国国内生产总值（GDP ）年平均增长率可望达到7.3%．那么，在2001～2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？2001年我国的国内生产总值可望为2000年的___________倍； 2002年我国的国内生产总值可望为2000年的____________倍； 2003年我国的国内生产总值可望为2000年的_____________倍；…… ……设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么可列方程为__________________________即从2000年起，x 年后我国的国内生产总值为2000年的(17.3%)x +倍． 整数指数幂n a 的含义是什么？它具有哪些运算性质？__________________________整数指数幂有如下运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Z ，那么rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．．0a =_____,n a -=________*()n N ∈下面同学们再来看一个生物数学问题：生物学家通过研究发现，当生物死亡以后，其体内含有的放射性同位素14C 会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据这个规律，科学家获得了生物体内14C 的含量P 与死亡年数t 之间的关系537012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据这个公式，当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内14C 的含量分别为多少？__________________________（II ）讲授新课： ⒈n 次方根的意义：（1）什么叫做a 的平方根？什么叫做a 的立方根．什么叫做a 的n 次方根？（2）、正数的奇次方根是____数，负数的奇次方根是_____数； 正数的偶次方根有____个且________，负数_______偶次方根； 0的任何次方根都是____． （3）、a 的n 次方根的表示：如果nx a =，那么212(0)n k x n k a =+==>⎪⎩(*)k N ∈．其中式子n a 叫____，n 叫____，a 叫____． ⒉根式的性质：⑵当na =当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．例⒈见课本50P 例1． （Ⅲ）课后练习： 求下列各式的值：；；课时小结⒈n次方根的意义；⒉根式的运算性质．§2.1.1指数函数一. 引入新课我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.比如我们看下面的问题:问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别指数函数1.定义:形如的函数称为指数函数.2.几点说明:(1) 关于对的规定:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?（2）指数函数的判定请看下面函数是否是指数函数. (1) , (2), (3)(4), (5).3、归纳性质：画出函数和x21y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=函数的图象完成下表： 函数y=a x (a>1)函数 y=x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛1(0<a<1)图象定义域 值域: 性质由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.可列一个表,如下:填好后,让学生仿照此例再列一个的表,将相应的内容填好.例1. 比较下列各组数的大小(1) 与; (2)1.0-8.0与2.08.0(3)与1 （4）与;练习：比较下列各组数的大小(1)与 (2)与(3)与例2、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么20年后，我国人口约为多少亿？（精确到亿）2.1.1指数与指数幂的运算（二）【教学目标】1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力【教学重难点】教学重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质..教学难点：（1）分数指数幂概念的理解.【教学过程】1、新知探究提出问题（1）整数指数幂的运算性质是什么？（2）观察以下式子，并总结出规律：0a>1025a a===；842a a===；1234a a===；1052a a===.（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？*(0,,,x m n N >∈且n>1)规定：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)nma a m n N n =>∈>. 提出问题（1） 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ （2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质： 如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ． 3、应用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.320)a a a >例3、化简下列各式：（1）2+； （２）)3324()3(5621121231b a b a b a -÷--- 练习：求值：（1） （2 (３)．若)2143(x --有意义，则ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５(4)．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________．（5）．下列互化中正确的是（ ）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y y y Ｃ．)0,((4343)()≠=-y x x y yx Ｄ．331x x -= 4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法. （1）33221221122;(2);(3)a aa a a a a a -----++-。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案 新人教A版必修1
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（一）教案新人教A版必修1§2.1.1 指数一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；n 次方根：一般地，若nx a =，则x 叫做a 的n次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用na 表示，如果是负数，用n a -表示，na 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号na 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？零的n 次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：()nna a=肯定成立，nna表示a n的n 次方根，等式nn a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么nna 等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n nn a a=n 为偶数,0||,0nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩34334(3)27(8)|8|8--=--=-=小结：当n nna 绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π-2(4)()a b -分析：当n ||nn a a =，然后再去绝对值.()nn nn a a =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值22211,a a a a -+=-求的取值范围. 3343334(8)(32)(23)---三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n是的次方根,n 为奇数时,=n为偶数时，nx a =±2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时,3．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题。
指数与指数幂的运算(教案)
2.1.1（1）指数与指数幂的运算（根式）
教学目标 知识与技能目标：
理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
过程与方法目标：
通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；
通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
情感、态度、价值观目标：
通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n 的得出及运用。
教学过程：
板书设计：
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算（一）
定义例1 例3
性质例2
教学反思：（课后完善）。
高中数学 第二章 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算(一)学案(含解析)新人教A版必修
§2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(一)学习目标 1.理解n 次方根、n 次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．知识点一 n 次方根、n 次根式思考 若x 2＝3，这样的x 有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？ 答案 这样的x 有2个，它们都称为3的平方根，记作± 3. 梳理 (1)a 的n 次方根的定义一般地，如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 naa ∈Rn 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 知识点二 根式的性质 (1)n0＝0(n ∈N *，且n >1)； (2)(na )n＝a (n ∈N *，且n >1)； (3)na n ＝a (n 为大于1的奇数)；(4)n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，(n 为大于1的偶数)．1．当a ≥0时，na 表示一个数．( √ )2．实数a 的n 次方根有且只有一个．( × ) 3．当n 为偶数，a ≥0时，na ≥0.( √ )4.n a n ＝⎝⎛⎭⎫n a n.( × )类型一 根式的意义 例1 求使等式a －3a 2－9＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围．考点 n 次方根及根式概念 题点 根式化简中变量的取值范围 解a －3a 2－9＝a －32a ＋3＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]．反思与感悟 对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围． 考点 n 次方根及根式概念 题点 根式化简中变量的取值范围 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1， ∴a －1≥0，∴a ≥1.类型二 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)43－π4；(2)a －b2(a >b )；(3)(a －1)2＋1－a2＋31－a3.考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)43－π4＝|3－π|＝π－3.(2)a －b 2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1.反思与感悟 n 为奇数时⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数均可；n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n＝a ；而a 为任意实数na n均有意义，且na n＝|a |. 跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7－27；(2)43a －34(a ≤1)；(3)3a 3＋41－a 4.考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 解 (1)7－27＝－2.(2)43a －34＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋41－a4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.类型三 有限制条件的根式的化简例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 解 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.引申探究例3中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，则结果又是什么？ 解 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4.反思与感悟 当n 为偶数时，na n先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 跟踪训练3 已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6x 2－4x ＋43＝________.考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 1解析 ∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0， ∴(4x －1)4＋6x 2－4x ＋43＝x －1＋6x －26＝x －1－(x －2) ＝1.1．已知x 5＝6，则x 等于( ) A.6B.56C ．－56D ．±56 考点 n 次方根及根式概念 题点 n 次方根及根式概念 答案 B2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3m C.6m D.5－m 考点 n 次方根及根式概念 题点 n 次方根及根式概念答案 C3．(42)4运算的结果是( ) A ．2B ．－2C ．±2D．不确定 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 A4.3－8的值是________． 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 －2 5.a －b2＋5a －b5的值是________．考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 0或2(a －b ) 解析a －b2＋5a －b5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤b ，2a －b ，a >b .1．根式的概念：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.n 为奇数时，x ＝na ，n 为偶数时，x ＝±na (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2．掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，na n＝a ，n 为偶数，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.3．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况.一、选择题1．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102C.210D ．±102 考点 n 次方根及根式概念题点 n 次方根及根式概念 答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.故选D. 2．化简1－2x2(2x >1)的结果是( )A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x )2考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 C 解析1－2x2＝|1－2x |，∵2x >1，∴1－2x <0，∴|1－2x |＝－(1－2x )＝2x －1.3．化简3－8125的值是( ) A.25 B ．－25C ．±25D ．－35考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 B解析 3－8125＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝－25. 4．化简e －1＋e2－4等于( )A ．e －e －1B ．e －1－e C ．e ＋e －1D ．0考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 A解析e－1＋e2－4＝e－2＋2e－1e＋e2－4＝e－2－2＋e2＝e－1－e2＝|e－1－e|＝e－e－1.5．若2<a<3，化简2－a2＋43－a4的结果是( ) A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1考点根式的化简题点条件根式的化简答案 C解析∵2<a<3，∴a－2>0，a－3<0，∴2－a2＋43－a4＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.6．5－26的平方根是( )A.3＋ 2B.3－ 2C.2－ 3D.3－2，2－ 3 考点n次方根及根式概念题点n次方根及根式概念答案 D解析±5－26＝±3－26＋2＝±3－22＝±(3－2)．7．化简－x3的值是( )A．x－x B．－x xC．－x－x D．x x考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简答案 C解析要使－x3有意义，需－x3≥0，即x≤0.∴－x 3＝－x ·x 2＝|x |－x ＝－x －x .8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 D解析 由图知f (－1)＝a －b ＋0.1<0， ∴a －b <0. ∴4a －b4＝|a －b |＝－(a －b )＝b －a .二、填空题9．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.考点 根式的化简 题点 条件根式的化简 答案 1解析 ∵x <0，∴原式＝－x －(－x )＋－x－x＝－x ＋x ＋1＝1. 10.3－223＋22＝________.考点 根式的化简 题点 二重根式的化简 答案 3－2 2 解析 方法一3－223＋22＝2－122＋12＝2－12＋1＝2－122＋12－1＝3－2 2.方法二3－223＋22＝3－2223＋223－22＝3－2 2.11．把a－1a根号外的a 移到根号内等于________．考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 －－a 解析 要使－1a有意义，需a <0.∴a－1a＝－|a |－1a＝－|a |2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－－a .12．化简3－63＋45－44＋35－43的值为______．考点 根式的化简 题点 二重根式的化简 答案 －6 解析 ∵3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 三、解答题13．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，求f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a .考点 根式的化简 题点 条件根式的化简解 f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，因为0<a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .四、探究与拓展14．化简(1－a )·41a －13＝________.考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简 答案 －4a －1解析 方法一 要使函数有意义需a －1>0.(1－a )41a －13＝－41－a4·1a －13＝－4a －1.方法二 要使函数有意义需a －1>0，(1－a )41a －13＝(1－a )41·a －1a －14＝1－a a －14a －1＝－4a －1. 15．计算：(1)614－3338＋30.125； (2)3－83＋43－24－32－33；(3)3⎝⎛⎭⎪⎫34－143·(3＋1)＋(2015－2014)0. 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)原式＝254－3278＋318＝52－32＋12＝32.(2)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋ 3＝－8.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14·(3＋1)＋1 ＝12(3－1)·(3＋1)＋1 ＝12(3－1)＋1＝1＋1＝2.。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算教案 新人教A版必修1
课题：指数与指数幂的运算(1)课时：001课 型：新授课教学目标：了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念教学重点：掌握n 次方根的求解.教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景教学过程：一、复习准备：1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ）2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 记法：3,a a二. 讲授新课:1. 教学指数函数模型应用背景：① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？ ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2t P =. 探究该式意义？ ③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.2. 教学根式的概念及运算：① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根. 探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 简记：n a . 例如：328=，则382=③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 3273=,3273-=-, 记：n x a =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记：n a ±强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 00n =④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 .⑤ 定义根式：像n a 的式子就叫做根式（radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）.⑥ 计算22(3)、334、(2)n n - → 探究： ()n n a 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般） 结论：()n n a a =. 当n 是奇数时，a a n n =；当n 是偶数时，(0)||(0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩3、例题讲解（P 5O 例题1）：求下列各式的值33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π- 2(4)()a b -三、巩固练习：1. 计算或化简：532-；36a （推广：np n mp m a a =， a ≥0）.2、 化简：526743642++--- ；6323 1.512⨯⨯3、求值化简： 33()a -； 44(7)-； 66(3)π-； 22()a b -（a b <）四、课堂小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n 是的次方根,n 为奇数时,= n 为偶数时，n x a =±；2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时, 五、 布置作业：书P 59 、 1题.六、课后记 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)全册精品教案 新人教A版必修1
2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题先让我们一起来看两个问题（见教材P52—53）.在问题2中，我们已经知道23111,(),(),222…老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发学是正整数指数幂，它们的值分别为111 ,,, 248….那么，600010000100000573057305730 111(),(),()222的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.生的学习积极性.复习引入什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a=，则x叫做a的平方根.同理，若3x a=，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.形成概念类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n次方根：一般地，若n x a=，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，正数a的n次方根中，正数用n a表示，如果是负数，用n a-表示.当n为奇数时，a的n次方根用符号n a表示，n a叫做根式.其中n称为根指数，a为被老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.开方数.深化概念类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？nnn a n aan a n a⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为nn a n aan a n⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：()nn a a=()nn a a=肯定成立，n n a表示a n的n次方根，等式n n a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a等于什么？让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=；n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩.举出实例，加深理解.通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈） （3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-； 当n =3π-. （3）||x y -，当x y ≥时，x y -； 当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =； 当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n的奇偶性对式子n n a值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==||2|2=+---=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。
探究式学案：2.1.1 指数与指数幂的运算（一）
2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时 根式课程学习目标：1、理解n 次方程的概念及n 次方根的性质．2、会求或化简根指数为正整数时的根式．课程导学建议：1、本课时建议采用“教师主讲式”．2、重点需理解根式的有关性质．知识记忆与理解知识体系梳理学习情境建构：有一则神话，说的是茅山老道有“穿墙之术”，该法术可以让人视墙壁为无物而随意进出，门窗就成了摆设，读了这则故事的人未免会心生遐想：如果我有了穿墙术，就会……． 数学中也有”穿墙术”的例子，如：去括号法则：—(a +b )=—a —b ，这里我们可以认为负号穿过了括号分别与a 、b 作用，让每一项变成其相反数．再如：322=232·323=383，……．不难发现，根号内带分数的整数部分可以“钻”到根号外面去，颇有趣味，然而这一点并非对任何数都成立，如：323≠332，你能否举出几个根号的穿墙术吗？ 读记教材交流：问题1：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？ 问题2：若x 4=a ，x 5=a ，x 6=a ，则根据上面的结论我们又能得到什么呢？问题3：什么叫做n 次方根？问题4：n 次方根有哪些性质？基础学习交流：问题1：下列运算中，正确的是：（ ）A 、b a b a -=-66)(B 、228822)(b a b a -=+C 、4444b a -=a —b D 、b a b a +=+1010)(问题2：在612545462)3(,,,)2(+---n n a a （其中a ∈R ，n ∈N *）这四个式中，没有意义的是______．问题3：求值：22)4()3(ππ-+-．问题4：请回答“学习情境建构”中的问题．技能应用与拓展：方法技巧探究：能力技能交流：[问题1]（1）已知x 4=4，则x 等于：（ ）A 、2B 、—2C 、±2D 、1 （2）若x <0，则|x |+||22x x x +等于：（ ） A 、1 B 、—1 C 、1+2x D 、1—2x[方法指导]开偶次方时，应注意被开方式的符号．[拓展问题]化简下列各式：（1）33)2(-a ； （2）)()(2b a b a <-； （3）2)2(a -．[方法指导]根据根式的性质进行化简，当n 为奇数，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥0,,0,a a a a [拓展问题]若36221144a a a -=+-，求实数a 的取值范围．[拓展问题]化简44)33(-a由上述问题及其拓展可以得出什么结论？方法归纳交流：1、n n a 不一定等于a ，计算时要分清n 是偶数还是奇数．2、对多重根号的计算，一是配方为完全平方式，二是整体思想，采用换元法进行计算． 课程达标检测：1、下列四个式子中，没有意义的是（下列各式中的a ，x ∈R ，n ∈N *）A 、622)2(+-nB 、52aC 、34x -D 、812)5(+-n2、若5<a <8，则式子22)8()5(---a a 的值为__________，3、已知y =2632234+-+-x x ，求实数x 、y 的值．参考答案学习情境建构：问题1：若x 2＝a ，则x 叫做a 的平方根．正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2.0的平方根为0.负数没有平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2. 问题2：若x 4=a ，x 5=a ，x 6=a ，则根据上面的结论我们可猜想x 分别叫做a 的4次方根、5次方根、6次方根.．问题3： n 次方根的概念：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. ①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，因此a的n 次方根用符号n a 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，可用符号±n a 表示，负数没有偶次方根．③0的任何次方根都是0. 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．问题4：n 次方根的性质：(1)①(n a )n ＝a (a >0)．②当n 是奇数时，n a n ＝a ；基础学习交流：问题1：【解析】在根式运算中，要看清是偶次方根还是奇次方根的运算，它们的运算性质是不一样的．这四个都是偶次方根的运算，当a ≥0时，n a n ＝a ，∵a 2＋b 2≥0，所以只有B 选项是正确的，其余都不对．【答案】B问题2问题3：|3||4|341ππππ=-+-=-+-=问题4：请回答“学习情景设置”中的问题．【解析】如：5524＝5524，6635＝6635，3227＝2327等等． 能力技能交流：[问题1]（1）C（2）|x |＋x 2＋x 2|x |＝|x |＋|x |＋|x ||x |＝2|x |＋1＝－2x ＋1；答案D [拓展问题] (1)3（a －2）3＝a －2；（2||a b b a =-=-（32,2|2|2,2a a a a a -≤⎧-=⎨->⎩[拓展问题] ==1－2a ≥0，12a ≤[拓展问题] 33,1|33|33,1a a a a a -≥⎧-=⎨-<⎩课程达标检测：1、D2、原式=a －5－(8－a )=2a －13，答案：2a －133、由题320230x x -≥⎧⎨-≥⎩，∴2323x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴2=3x，则00222y ==++=。
浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算学案1 新人教A版必修1
浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算学案1 新人教A 版必修1【内容提要】1、根式：（初中已学过）（1）方根的定义：如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根（*,1N n n ∈>且）（2）方根的表示： ①当n 是奇数时，a 的n 次方根记作：n a ； ②当n 是偶数时，正数a 的n 次方根记作：±n a .(0>a ) ③0的任何次方根都是0，记作：00=n ； 负数没有偶次方根。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
（3）方根的性质：①a a nn =)(； ②当n 为奇数时，a a n n =；③当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,||a a a a a a n n2.正数的有理数指数幂： （1）正分数指数幂的意义：)1,,,0(,*>∈>=n N n m a a a n m nm（2）负分数指数幂的意义：)1,,,0(,11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂没有意义。
（3）有理指数幂的运算性质———同整数指数幂的运算性质（初中已学）①),,0(,Q n m a aa a nm nm∈>=+②),,0(,)(Q n m a a a mnn m ∈>=③),0,0(,)(Q m b a b a ab m m m∈>>=3.正数的无理数指数幂：无理数指数幂αa （α,0>a 是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
【典例解析】 例1、化简求值： （1）xy xy xy ⋅-312（2）1212--+-+x x x x（3）)324)(3)(2(4132213141y x y xy x ----（4）)6()3(43221314141----÷-yxy x x例2、求值：（1）已知212123232121,3-----=+xxx x x x 求的值。
浙江省宁波市鄞州区咸祥中学高中数学 2.1.1 指数与指
浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算学案2 新人教A 版必修1一．学习内容：必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》的第一课时——根式。
二．学习要求：能说出n 次方根以及根式的定义； 能记住n 次方根的性质和表示方法；记住根式有意义的条件并能用其求根式中字母的取值范围；会运用两个常用等式进行根式的化简和求值。
三．学习过程：引言：问题1 根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成好是1个单位，2001年为第1年，那么：1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的_______________倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的_______________倍；3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的_______________倍；……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，试写出y 与x 满足的关系式：______________________________________问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系（*） 问题探究：①以上两个问题中所涉及到的函数模型你是否学过？②在问题1中正整数指数幂 的含义是什么，它具有哪些运算性质。
③在问题2中当生物死亡了5730 ， ，，…年后，它体内碳14的含量P 分别为多少？若生物体死亡了6000年，10000万，100000年后，它体内碳14的含量为多少？探究新知（一）问题探究：① 如果 ，那么 就是4的________________； 如果 ，那么3就是27的_____________________； ② 如果 ，那么x 叫做a 的______________________；如果 ，那么x 叫做a 的______________________；如果 ，那么x 叫做a 的______________________；5730t 21）（=P x 073.1y =57302⨯57303⨯422=±）（）（2±2733=a =2x a x =3a x =4③ 类比以上结论，一般地，如果 ，那么x 叫做a 的______________。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案
2．1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引] 1.n 次方根(1)n 次方根的定义：一般地，如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *. (2)n 次方根的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可合并写成±na (a ＞0)．③0的任何次方根都是0，记作n0＝0. ④负数没有偶次方根. 2．根式(1)式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)式子na n对任意a ∈R 都有意义，当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.3．分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：nma ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝nm a1 (a ＞0，m ，n ∈N *,且n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 5．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值． (1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3－23＝－2.(2)4－32＝432＝ 3.(3)83－π8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式． (1)5－25；(2)4－104；(3)4a －b4.解 (1)5－25＝－2.(2)4－104＝|－10|＝10.(3)4a －b4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b a ≥b ，b －a a ＜b .要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式． (1)3a ·4a ； (2) a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a . (2)原式＝21a ·41a ·81a ＝87a . (3)原式＝32a ·23a ＝613a .(4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝67a 23b .规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nm a ＝na m和nm a-＝nm a1＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2) 3ab2ab3(a ，b ＞0)；(3)32432⎪⎪⎭⎫⎝⎛b (b ＜0)；(4)13x5x 22(x ≠0)．解 (1)原式＝31a ·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0)． (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a ＝(25a ·27b )31＝65a 67b (a ，b ＞0)． (3)原式＝324132⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0)．(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝53-x(x ≠0)．要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06431-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21；(2)化简： 3329-a a÷33137--⋅a a (a ＞0)．解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[2931⨯a ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2331a]÷[⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯3721a ·31321⨯a]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3323-a a·()1321-215-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-a a . 解 (1)原式＝(－1)32-⎝ ⎛⎭⎪⎫33832-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·23-a )31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(25a ·213-a)21＝(a －4)21＝a －2.1．下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a 答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.a －b2＋5a －b5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 答案 C解析 当a －b ≥0时， 原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.3．计算[(－2)2]12的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－22答案 A解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1,221-，⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-，2－1中，最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1B ．221- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1221- D ．2－1 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－2,221-＝12＝22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-＝2，2－1＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-最大．5．221-＋－402＋12－1－1－5·832＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简 3a a 的结果是( ) A ．a B.a C ．a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·21a )31＝(23a )31＝21a ＝a .2．若(1－2x )43-有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ∈R 且x ≠12C ．x ＞12D ．x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝141－2x3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.3．若a <12，则化简42a －12的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 答案 C解析 ∵a <12，∴2a －1<0，∴2a －12＝1－2a ， ∴42a －12＝1－2a .4．化简3421413223abb a ab b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(a ，b ＞0)的结果是( )A.b a B ．ab C.a bD ．a 2b 答案 C解析 原式＝[a 3b 2(ab 2)31]21÷(a 1b 2b 31a 31-)＝21313⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a21322⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b÷(32a 37b )＝3235-a×3734-b＝a b.5．计算(2a －3b32-)·(－3a －1b )÷(4a －4b35-)得( )A ．－32b 2 B.32b 2C ．－32b 37D.32b 37答案 A解析 原式＝354-314-46--ba b a ＝－32b 2.6．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 71n －3＝________.答案 3×2n －3解析 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 71n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384371n －3＝3[(128)71]n －3＝3×2n －3. 7．(1)求279＋ 3338－30.064的值； (2)化简21212121nm n m +-＋21212121nm n m -+.解 (1)原式＝259＋3278－30.43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫323－30.43＝53＋32－0.4＝8330. (2)原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121212212122121n m n m n m n m ＝2m ＋n m －n . 二、能力提升8．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝a m 1，5＝b m 1，∵2×5＝a m 1·b m 1＝ba m 11+∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 9．化简23－610－43＋22得( )A ．3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 答案 A解析 原式＝ 23－610－42＋1＝ 23－622－42＋22＝ 23－62－2＝ 9＋62＋2 ＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14251解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.11．计算下列各式的值：(1)(0.027)31－⎝ ⎛⎭⎪⎫61421＋25643＋(22)32－3－1＋π0；(2)733－3324－6319＋4333；(3)(a 58·b56-)21-·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解 (1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52221＋(44)43＋(223)32－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715.(2)原式＝7×331－3323×3－63⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋43133⨯ ＝7×331－6×331－6×332-＋331＝2×331－2×3×332-＝2×331－2×331＝0. (3)原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2158a ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2156-b·54a ÷53b＝54-a ·53b ·54a ÷53b＝5454+-a5353-b＝a 0b 0＝1.三、探究与创新12．(1)已知2x＋2－x＝a (常数)，求8x ＋8－x的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求21212121yx y x +-的值．解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2， ∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x＋4－x－1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)21212121y x y x +-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121212121y x y x y x 2＝()()y x xy -y x -+212.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x ＜y ，∴x －y ＝－63.③ 将②③代入①，得21212121y x yx +-＝36921221-⨯-＝－33. 13．若a ＝2，b >0， 求b b 21212a a a +＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3121b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--323121b b a a 的值． 解 原式＝23a ＋b －1＋⎝⎛⎭⎫a 213－⎝⎛⎭⎫b 31-3 ＝23a ＋b －1＋23a －b －1＝223a ＝2×232＝4 2.。
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浙江省宁波市鄞州区咸祥中学2014高中数学 2.1.1 指数与指数幂
的运算学案1 新人教A 版必修1
【内容提要】
1、根式：（初中已学过）
（1）方根的定义：如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根（*,1N n n ∈>且） （2）方根的表示： ①当n 是奇数时，a 的n 次方根记作：n a ； ②当n 是偶数时，正数a 的n 次方根记作：±n a .(0>a ) ③0的任何次方根都是0，记作：00=n ； 负数没有偶次方根。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
（3）方根的性质：①a a n n =)(； ②当n 为奇数时，a a n n =； ③当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)
0(,)
0(,||a a a a a a n n
2.正数的有理数指数幂： （1）正分数指数幂的意义：)1,,,0(,*>∈>=n N n m a a a n m n m
（2）负分数指数幂的意义：)1,,,0(,1
1*>∈>=
=-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
注：0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂没有意义。
（3）有理指数幂的运算性质———同整数指数幂的运算性质（初中已学）
①),,0(,Q n m a a
a a n
m n
m
∈>=+
②),,0(,)(Q n m a a a m n
n m ∈>=
③),0,0(,)
(Q m b a b a ab m m m
∈>>=
3.正数的无理数指数幂：
无理数指数幂α
a （α,0>a 是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
【典例解析】 例1、化简求值： （1）xy xy xy
⋅-312
（2）1212--+-+x x x x
（3）)3
2
4)(3)(2(4
132213
14
1y x y x y x ---
-
（4）)6()3(43
22
13
14
14
1-
-
-
-÷-y x y x x
例2、求值：
（1）已知
2
12
12
3232
12
1,3-
-
---=+x
x
x x x x 求
的值。
（2）已知x
x
x x x
a a a a a
--+++=332,
12求的值。
（3）已知y x y
x
66,
3264,
927-==求的值。