【2018暑数学】预科班第11讲课后练习参考答案

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高等数学课后习题及参考答案(第十一章)

高等数学课后习题与参考答案〔第十一章〕习题11-11.写出下列级数的前五项:<1>∑∞=++1211n nn;解 51514141313121211111112222212⋅⋅⋅+++++++++++++++=++∑∞=n n n . 解 3762651045311112⋅⋅⋅+++++=++∑∞=n n n .<2>∑∞=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅12 42)12( 31n n n ; 解 10864297531864275316425314231212 42)12( 311⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n . 解 3840945384105481583212 42)12( 311⋅⋅⋅+++++=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∑∞=n n n .<3>∑∞=--115)1(n n n ; 解 51515151515)1(543211⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . 解 3125162511251251515)1(11⋅⋅⋅-+-+-=-∑∞=-n n n . <4>∑∞=1!n n nn.解 5!54!43!32!21!1!543211⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n. 解3125120256242764211!1⋅⋅⋅+++++=∑∞=n n n n . 2.写出下列级数的一般项:<1> 7151311⋅⋅⋅++++; 解一般项为121-=n u n . <2> 5645342312⋅⋅⋅-+-+-; 解一般项为nn u n n 1)1(1+-=-. <3> 86426424222⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+x x x x x ; 解一般项为!22n x u n n =.<4> 97535432⋅⋅⋅+-+-a a a a . 解一般项为12)1(11+-=+-n a u n n n . 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=-+1)1(n n n ;解因为)1( )34()23()12(n n s n -++⋅⋅⋅+-+-+-=)()11(∞→∞→-+=n n ,所以级数发散.<2> )12)(12(1 751531311⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n ; 解因为)12)(12(1 751531311+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n)121121(21 )7151(21)5131(21)3111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )121121 715151313111(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )(21)1211(21∞→→+-=n n , 所以级数收敛.<3> 6sin 63sin 62sin 6sin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ππππn . 解 6sin 63sin 62sin 6sin ππππn s n ⋅⋅⋅+++= )6sin 12sin 2 62sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin 21πππππππn +⋅⋅⋅++= )]1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin 21πππππππ+--+⋅⋅⋅+-+-=n n )1212cos 12(cos 12sin 21πππ+-=n . 因为π1212cos lim +∞→n n 不存在,所以n n s ∞→lim 不存在,因而该级数发散. 4.判定下列级数的收敛性: <1> 98)1( 9898983322⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n n ; 解这是一个等比级数,公比为98-=q ,于是198||<=q ,所以此级数收敛. <2> 31 916131⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n; 解此级数是发散的,这是因为如此级数收敛,则级数) 31 916131(311⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n 也收敛,矛盾.<3> 31 3131313⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ; 解因为级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u n n n ,所以由级数收敛的必要条件可知,此级数发散.<4> 232323233322⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这是一个等比级数,公比123>=q ,所以此级数发散. <5> )3121( )3121()3121()3121(3322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++nn . 解因为∑∞=121n n 和∑∞=131n n 都是收敛的等比级数,所以级数 )3121( )3121()3121()3121()3121(33221⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++=+∑∞=n n n n n 是收敛的.习题11-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:<1> )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ; 解因为211121lim =-∞→nn n ,而级数∑∞=11n n发散,故所给级数发散. <2> 11 313121211222⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++++n n ; 解因为n n n n n n u n 111122=++>++=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<3> )4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n ; 解因为145lim 1)4)(1(1lim 222=++=++∞→∞→n n n nn n n n ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<4> 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ;解因为πππππ==∞→∞→nn n n n n 22sin lim 212sin lim ,而级数∑∞=121n n 收敛, 故所给级数收敛.<5>∑∞=>+1)0(11n n a a . 解因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<==+=+∞→∞→11 1 2110 0 1lim 111lim a a a l a a a a n n n n n n ,而当a >1时级数∑∞=11n n a 收敛,当0<a ≤1时级数∑∞=11n n a 发散, 所以级数∑∞=+111n n a 当a >1时收敛,当0<a ≤1时发散. 2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n ; 解级数的一般项为n n n n u 23⋅=.因为 123123lim 322)1(3lim lim 111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n , 所以级数发散.<2>∑∞=123n n n ; 解因为131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=⋅1!2n n n n n ;解因为12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=+112tann n n π. 解因为121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n u u ππππ, 所以级数收敛.3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:<1>∑∞=+1)12(n n n n ; 解因为12112lim lim<=+=∞→∞→n n u n n n n ,所以级数收敛. <2>∑∞=+1)]1[ln(1n n n ; 解因为10)1ln(1lim lim<=+=∞→∞→n u n n n n ,所以级数收敛. <3>∑∞=--112)13(n n n n ; 解因为n n n n n n n n n n n u 1212)13(1lim)13(lim lim -∞→-∞→∞→-=-= 131)311(31lim 321212<⋅=-⋅=--∞→en n n n , 所以级数收敛.<4>∑∞=1)(n n na b ,其中a n →a <n →∞>,a n ,b ,a 均为正数.解因为a b a b u nn nn n ==∞→∞→lim lim , 所以当b <a 时级数收敛,当b >a 时级数发散.4.判定下列级数的收敛性:<1> )43( )43(3)43(24332⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里n n n u )43(=,因为 143431lim )43()43)(1(lim lim 11<=⋅+=+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n nn n n n n , 所以级数收敛.<2>!!33!22!114444⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n ; 解这里!4n n u n =,因为 10)1(1lim !)!1()1(lim lim 3441<=+⋅=⋅++=∞→∞→+∞→n n nn n n n u u n n n n n , 所以级数收敛.<3>∑∞=++1)2(1n n n n ; 解因为121lim 1)2(1lim =++=++∞→∞→n n nn n n n n ,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.<4>∑∞=13sin2n nn π; 解因为1323232lim 3sin 23sin 2lim 1111<=⋅⋅=++∞→++∞→n n n n n n n n n n ππππ, 所以级数收敛.<5> 1 232⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn ; 解因为011lim lim ≠=+=∞→∞→n n u n n n , 所以级数发散.<6>)0 ,0( 1 211>>⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++b a bna b a b a . 解因为n a b na u n 111⋅>+=,而级数∑∞=11n n发散, 故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？<1> 4131211⋅⋅⋅+-+-; 解这是一个交错级数∑∑∞=-∞=--=-11111)1()1(n n n n n n u ,其中n u n 1=. 因为显然u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为∑∑∞=∞=-=-1111|)1(|n n n n nu 是p <1的p 级数,是发散的,所以原级数是条件收敛的.<2>∑∞=---1113)1(n n n n ; 解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n . 因为131331lim 1<=+-∞→n n n n n ,所以级数∑∞=-113n n n 是收敛的, 从而原级数收敛,并且绝对收敛.<3> 2131213121312131432⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅;解这是交错级数∑∞=-⋅-112131)1(n n n ,并且∑∑∞=∞=-⋅=⋅-1112131|2131)1(|n n n n n . 因为级数∑∞=⋅12131n n 是收敛的,所以原级数也收敛,并且绝对收敛. <4> 5ln 14ln 13ln 12ln 1⋅⋅⋅+-+-; 解这是交错级数∑∑∞=-∞=-+-=-1111)1ln()1()1(n n n n n n u ,其中)1ln(1+=n u n . 因为u n ≥u n +1,并且0lim =∞→n n u ,所以此级数是收敛的. 又因为11)1ln(1+≥+n n ,而级数∑∞=+111n n 发散, 故级数∑∑∞=∞=-+=-111)1ln(1|)1(|n n n n n u 发散,从而原级数是条件收敛的. <5>∑∞=+-11!2)1(2n n n n . 解级数的一般项为!2)1(21n u n n n +-=. 因为∞=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅===∞→∞→∞→∞→122232 22122lim !)2(lim !2lim ||lim 2n n n n n n n n n n n n n n n n n n u , 所以级数发散.习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:<1>x +2x 2+3x 3+⋅⋅⋅+nx n +⋅⋅⋅;解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为<-1,1>.<2> )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 22221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1,1].<3> )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为<-∞,+∞>. <4> 33332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n x x x x ; 解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3. 因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n , 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3,3>. <5> 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ;解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R . 因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. <6>∑∞=++-11212)1(n n n n x ; 解这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n nn . 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].<7>∑∞=--122212n n n x n ; 解这里级数的一般项为22212--=n nn x n u . 因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R . 因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.<8>∑∞=-1)5(n nn x . 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n , 故收敛半径为R =1, 即当-1<x -5<1时级数收敛, 当|x -5|>1时级数发散.因为当x -5=-1, 即x =4时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n nn , 是收敛的; 当x -5=1, 即x =6时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的, 所以收敛域为[4, 6>. 2. 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:<1>∑∞=-11n n nx ;解设和函数为S <x >, 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n xn x n n x dx nx dx nxdx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n . <2>∑∞=++11414n n n x ; 解设和函数为S <x >, 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则dx x dx n x dx x S S x S x n n x n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x x dx x x dx x02204)112111211()111( )11( arctan 2111ln 41<<--+-+=x x x x x .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(. <3>⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解设和函数为S <x >, 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑ 12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x n n x n n x dx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()( )11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x x x dx xx . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.习题11-41. 求函数f <x >=cos x 的泰勒级数, 并验证它在整个数轴上收敛于这函数.解 )2cos()()(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, )2cos()(00)(π⋅+=n x x f n <n =1,2,⋅⋅⋅>, 从而得f <x >在x 0处的泰勒公式)(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ )( )(!)2cos(00x R x x n n x n n +-++π. 因为)!1(|||)()!1(]21)(cos[||)(|101000+-≤-+++-+=++n x x x x n n x x x x R n n n πθ<0≤θ≤1>, 而级数∑∞∞→++-n n n x x )!1(||10总是收敛的, 故0)!1(||lim 10=+-+∞→n x x n n , 从而0|)(|lim =∞→x R n n . 因此 )(!2)cos())(2cos(cos )(200000⋅⋅⋅+-++-++=x x x x x x x x f ππ⋅⋅⋅+-++ )(!)2cos(00n x x n n x π,x ∈<-∞,+∞>.2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>2sh x x e e x --=; 解因为∑∞==0!n n xn x e ,x ∈<-∞,+∞>,所以 ∑∞=--=0!)1(n n nx n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 故 ∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=-=--=--=012000)!12(!])1(1[21]!)1(![21sh n n n n n n n n n n n x n x n x n x x ,x ∈<-∞,+∞>. <2>ln<a +x ><a >0>;解因为)1ln(ln )1(ln )ln(a x a a x a x a ++=+=+,∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∑∞=++∞=++-+=+-+=+01101)1()1(ln )(11)1(ln )ln(n n n n n n n a n x a a x n a x a <-a <x ≤a >. <3>a x ;解因为∑∞==0!n n x n x e ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=∞=====00ln !)(ln !)ln (n n n n n x a x x x n a n a x e ea ,x ∈<-∞,+∞>, <4>sin 2x ; 解因为x x 2cos 2121sin 2-=,∑∞=-=02)!2()1(cos n n nn x x ,x ∈<-∞,+∞>, 所以 ∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n n n n n n n x n x x x ∈<-∞,+∞>. <5><1+x >ln<1+x >;解因为∑∞=++-=+011)1()1ln(n n nn x x <-1<x ≤1>, 所以 ∑∞=++-+=++011)1()1()1ln()1(n n nn x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=02011)1(1)1(n n n n n nn x n x ∑∑∞=++∞=+-++-+=11111)1(1)1(n n n n n n n x n x x 111])1(1)1([+∞=+∑-++-+=n n n n x n n x 111)1()1(+∞=-∑+-+=n n n x n n x <-1<x ≤1>. <6>21x x +. 解因为∑∞=--+=+122/12!)!2(!)!12()1(1)1(1n n n x n n x <-1≤x ≤1>, 所以 ∑∑∞=+∞=+⋅-+=--+=+11221122)2()!()!2(2)1(!)!2(!)!12()1(1n n n n n n x n n x x n n x xx <-1≤x ≤1>. 3. 将下列函数展开成<x -1>的幂级数, 并求展开式成立的区间: <1>3x ;解因为)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m . 所以 233)]1(1[-+=x x )1(!)123( )123(23 )1(!2)123(23)1(2312⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+--+-+=n x n n x x)111(<-<-x ,即 )1(!2)25( )3()1(13 )1(!2213)1(231223⋅⋅⋅+-⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅+-+=n n x n n x x x )20(<<x .上术级数当x =0和x =2时都是收敛的, 所以展开式成立的区间是[0,2].<2>lg x .解 ∑∞=-≤-<---=-+==11)111( )1()1(10ln 1)]1(1ln[10ln 110ln ln lg n n n x nx x x x , 即 ∑∞=-≤<--=11)20( )1()1(10ln 1lg n n n x nx x . 4. 将函数f <x >=cos x 展开成)3(π+x 的幂级数. 解 3sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x )3sin(23)3cos(21ππ+++=x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)3()!12()1(23)3()!2()1(21n n n n n n x n x n ππ )( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ. 5.将函数xx f 1)(=展开成<x -3>的幂级数. 解 ∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311, 即 ∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311. 6.将函数231)(2++=x x x f 展开成<x +4>的幂级数. 解 2111231)(2+-+=++=x x x x x f ,而 ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x , 即 )17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n ; ∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x , 即 )26( 2)4(2101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n . 因此 ∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n n n n x x x x x f )26( )4)(3121(011-<<-+-=∑∞=++x x n n n n . 习题11-51. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:<1>ln3<误差不超过0.0001>; 解)11( ) 121 5131(211ln 1253<<-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-+-x x n x x x x x n , ) 21121 2151213121(2211211ln 3ln 1253⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=-+=-n n . 又 ] 2)32(12)12(1[2||3212⋅⋅⋅+⋅++⋅-=+-n n n n n r ] 2)52(2)12(2)32(2)12(1[2)12(25212321212⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++=+++++n n n n n n n n n n 2242122)12(31) 21211(2)12(2-+-=⋅⋅⋅++++<n n n n , 故 00012.021131||85≈⋅⋅<r ,00003.021331||105≈⋅⋅<r . 因而取n =6, 此时1.0986 )21111219121712151213121(23ln 119753≈⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=. <2>e <误差不超过0.001>;解 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , 21!1 21!212112⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅++=nn e . 由于 21)!2(121)!1(121⋅⋅⋅+⋅++⋅+=++n n n n n r 21)1()2(121111[2!12⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=n n n n n 22!3141112!1-⋅⋅=-⋅⋅<n n n n , 故 0003.02!53134≈⋅⋅=r . 因此取n =4得648.121!4121!3121!21211432≈⋅+⋅+⋅++≈e . <3>9522<误差不超过0.00001>; 解)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m , 9/199)2101(2522+= ] )210(!33178)210(!298210911[23922929⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+=. 由于002170.0210919≈⋅,000019.0)210(!298292≈⋅⋅, 故00430.2)000019.0002170.01(25229≈-+=.<4>cos 2︒<误差不超过0.0001>.解 )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )90(!61 )90(!41)90(!21190cos 2cos 642⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-==︒ππππ.由于42106)90(!21-⨯≈⋅π,8410)90(!41-≈⋅π, 故 9994.00006.01 )90(!2112cos 2=-≈⋅⋅-≈︒π.2.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:<1>⎰+5.00411dx x <误差不超过0.0001>; 解⎰⎰⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+5.00412845.004] )1( 1[11dx x x x x dx x n n 5.001395|) 1319151(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2113121912151211395⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-. 因为00625.021515≈⋅,00028.021919≈⋅,000009.02113113≈⋅, 所以4940.0219121512111955.004≈⋅+⋅-≈+⎰dx x . <2>⎰5.00arctan dx xx <误差不超过0.0001>. 解)11( 121)1( 5131arctan 1253<<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=+x x n x x x x n n, dx x n x x dx x x n n ] 121)1( 51311[arctan 5.002425.00⎰⎰⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-= 5.00753|) 49125191(⋅⋅⋅+-+-=x x x x 2149121251219121753⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=. 因为0139.021913≈⋅,0013.0212515≈⋅,0002.0214917≈⋅, 所以487.021*********arctan 535.00≈⋅+⋅-=⎰dx x x . 3.将函数e x cos x 展开成x 的幂级数. 解)(21cos ix ix e e x -+=, ][21)(21cos )1()1(i x i x ix ix x x e e e e e x e -+-+=+⋅=∑∑∑∞=∞=∞=-++=-++=000!)1()1(21!)1(!)1([21n n n n n n n n n n x n i i x n i x n i . 因为421πi e i =+,421πi e i -=-, 所以4cos 2)4cos 2(2][2)1()1(122442ππππn n e e i i n n n i n i n n n +-==+=-++. 因此)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n n x π.习题11-7 1.下列周期函数f <x >的周期为2π,试将f <x >展开成傅里叶级数,如果f <x >在[-π,π>上的表达式为:<1>f <x >=3x 2+1<-π≤x <π>;解因为)1(2)13(1)(1220+=+==⎰⎰--πππππππdx x dx x f a , ⎰-=ππππdx n x f a n cos )(1 2212)1(cos )13(1n dx n x n -=+=⎰-ππππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1 0sin )13(12=+=⎰-ππππdx n x <n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为)( cos )1(121)(122+∞<<-∞-++=∑∞=x nx n x f n n π.<2>f <x >=e 2x <-π≤x <π>;解因为πππππππππ21)(12220----===⎰⎰e e dx e dx x f a x ,⎰-=ππππdx n x f a ncos )(1πππππππ)4()()1(2cos 12222+--==--⎰n e e dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, ⎰-=ππππdx n x f b n sin )(1πππππππ)4()()1(sin 12222+---==--⎰n e e n dx n e n x<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=--+-+-=1222)sin cos 2(4)1(41[)(n n nx n nx n e e x f πππ<x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx ax x bx x f 0 0)(<a ,b 为常数,且a >b >0>.解因为)(211000b a axdx bxdx a -=+=⎰⎰-πππππ, ]cos 1cos 100⎰⎰+=-ππππnxdx ax nxdx bx a nn n a b )1(1[2---=π<n =1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin 1nxdx ax nxdx bx b nnb a n +-=+1)1(<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以f <x >的傅里叶级数展开式为∑∞=-+-+---+-=112}sin )()1(cos )]()1(1[{)(4)(n n n nx n b a nx n a b b a x f ππ <x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2.将下列函数f <x >展开成傅里叶级数:<1>3sin2)(x x f =<-π≤x ≤π>; 解将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-, 故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下: 因为3sin2x <-π<x <π>是奇函数, 所以a n=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,⎰⎰+--==ππππ00])31cos()31[cos(2sin 3sin 22dx x n x n nxdx x b n19318)1(21-⋅-=+n nn π<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以∑∞=+--=12119sin )1(318)(n n n nx n x f π<-π<x <π>.<2>⎩⎨⎧≤≤<≤-=ππx x e x f x 0 10)(.解将f <x >拓广为周期函数F <x >, 则F <x >在<-π,π>中连续, 在x =±π间断, 且)()]()([21πππ-≠-+-+-f F F ,)()]()([21πππf F F ≠++-,故F <x >的傅里叶级数在<-π,π>中收敛于f <x >, 而在x =±π处F <x >的傅里叶级数不收敛于f <x >. 计算傅氏系数如下:ππππππ---+=+=⎰⎰e dx dx e a x 1][1000, )1()1(1]cos cos [1200n e nxdx nxdx e a n xn +--=+=--⎰⎰πππππ<n =1,2,⋅⋅⋅>,]sin sin [100⎰⎰+=-πππnxdx nxdx e b xn})1(11])1(1[{12n n e n n n --++---=-ππ<n =1,2,⋅⋅⋅>, 所以πππ21)(--+=e x f∑∞=----++-+-++--+122}]sin )1(11)1([cos 1)1(1{1n n n n nx n n ne n nx n e πππ <-π<x <π>.3.设周期函数f <x >的周期为2π,证明f <x >的傅里叶系数为⎰=ππ20cos )(1nxdx x f a n <n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.证明我们知道, 若f <x >是以l 为周期的连续函数, 则⎰+la adx x f )(的值与a 无关, 且⎰⎰=+lla adx x f dx x f 0)()(,因为f <x >,cos nx ,sin nx 均为以2π为周期的函数, 所以f <x >cos nx ,f <x >sin nx 均为以2π为周期的函数, 从而⎰⎰+---==πππππππ2cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f a n⎰=ππ20cos )(1nxdx x f <n =1, 2,⋅⋅⋅>.同理 ⎰=ππ20sin )(1nxdx x f b n <n =1, 2,⋅⋅⋅>.4.将函数2cos )(xx f =<-π≤x ≤π>展开成傅里叶级数: 解因为2cos )(x x f =为偶函数, 故b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>, 而⎰⎰==-πππππ0cos 2cos 2cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰+--=ππ0])21cos()21[cos(1dx x n x n 1414)1(21-⋅-=+n n π<n =1, 2,⋅⋅⋅>. 由于2cos )(x x f =在[-π,π]上连续, 所以 ∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ<-π≤x ≤π>. 5.设f <x >的周期为2π的周期函数, 它在[-π,π>上的表达式这⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=ππππππππx x x x x f 2 222 2 2)(,将f <x >展开成傅里叶级数.解因为f <x >为奇函数, 故a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而]sin 2sin [2sin )(22200⎰⎰⎰+==πππππππnxdx nxdx x nxdx x f b n2sin 2)1(2ππn n n n +--=<n =1,2,⋅⋅⋅>,又f <x >的间断点为x =<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅, 所以nx n n n x f n n sin ]2sin 2)1([)(121∑∞=++-=ππ< x ≠<2n +1>π,n =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.6. 将函数2)(x x f -=π<0≤x ≤π>展开成正弦级数.解作奇延拓得F <x >:⎪⎩⎪⎨⎧<<---=≤<=0)(0 00 )()(x x f x x x f x F ππ,再周期延拓F <x >到<-∞,+∞>, 则当x ∈<0,π]时F <x >=f <x >,)0(20)0(f F =≠=π.因为a n =0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>, 而nnxdx x b n 1sin 220=-=⎰πππ <n =1,2,⋅⋅⋅>, 故 nx nx f n sin 1)(1∑∞==<0<x ≤π>,级数在x =0处收敛于0.7.将函数f <x >=2x 2<0≤x ≤π>分另别展开成正弦级数和余弦级数. 解对f <x >作奇延拓,则a n =0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,而]2)2()1[(4sin 2232302n n n nxdx x b n n ---==⎰ππππ<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故正弦级数为nx n n n x f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ<0≤x <π>, 级数在x =0处收敛于0.对f <x >作偶延拓,则b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,而20203422πππ==⎰dx x a , 2028)1(cos 22nnxdx x a n n -==⎰ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅>, 故余弦级数为nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π<0≤x ≤π>.8.设周期函数f <x >的周期为2π, 证明<1>如果f <x -π>=-f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 0=0,a 2k =0,b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>; 解因为020200)(1)(1)(1a dt t f dx t f dx x f a xt -=-=-=⎰⎰⎰+=-πππππππππ令,所以a 0=0. 因为dx t k t f kxdx x f a xt k )(2cos )(12cos )(1202ππππππππ--=⎰⎰+=-令k a ktdt t f 2202cos )(1-=-=⎰ππ,所以a 2k =0.同理b 2k =0<k =1,2,⋅⋅⋅>.<2>如果f <x -π>=f <x >, 则f <x >的傅里叶系数a 2k +1=0,b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 解因为)12cos()(112⎰-++=πππxdx k x f a kdx t k t f xt ))(12cos()(1 20πππππ-+-⎰+=令1220)12cos()(1+-=+-=⎰k a tdt k t f ππ,所以a 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>. 同理b 2k +1=0<k =1,2,⋅⋅⋅>.习题11-81. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数<下面给出函数在一个周期内的表达式>: <1>)2121(1)(2<≤--=x x x f ;解因为f <x >=1-x 2为偶函数, 所以b n =0<n =1,2,⋅⋅⋅>, 而611)1(4)1(2/12210221020=-=-=⎰⎰dx x dx x a ,⎰-=21022/1cos )1(2/12dx x n x a n π2212102)1(2cos )1(4ππn xdx n x n +-=-=⎰<n =1,2,⋅⋅⋅>,由于f <x >在<-∞,+∞>内连续, 所以∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ,x ∈<-∞,+∞>.<2>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-=121 1210 101 )(x x x x x f ;解 21)(1212100111-=-+==⎰⎰⎰⎰--dx dx xdx dx x f a n ,⎰⎰⎰⎰-+==--1212100111cos cos cos cos )(xdx n xdx n xdx n x xdx n x f a n ππππ2sin 2])1(1[122πππn n n n +--= <n =1,2,⋅⋅⋅>,dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ⎰⎰⎰⎰-+==--121210111sin sin sin sin )(πππππππn n n 12cos 2+-= <n =1,2,⋅⋅⋅>.而在<-∞,+∞>上f <x >的间断点为x =2k ,212+k ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }sin 2cos 21cos ]2sin 2)1(1{[41)(122x n n n x n n n n x f n nπππππππ-++--+-=∑∞= <x ≠2k ,212+≠k x ,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.<3>⎩⎨⎧<≤<≤-+=30 1 03 12)(x x x x f .解 1])12([31)(313003330-=++==⎰⎰⎰--dx dx x dx x f a ,]3cos 3cos )12([313cos )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f a n πππ])1(1[622n n --=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, ]3sin 3sin )12([313sin )(31300333⎰⎰⎰--++==dx x n dx x n x dx x n x f b n πππn n )1(6-=π<n =1,2,⋅⋅⋅ >, 而在<-∞,+∞>上,f <x >的间断点为 x =3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅,故 }3sin 6)1(3cos])1(1[6{21)(1122∑∞=+-+--+-=n n n x n n x n n x f ππππ,<x ≠3<2k +1>,k =0,±1,±2,⋅⋅⋅>.2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:<1>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=lx x l l x x x f 2l20 )(; 解正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0,1,2,⋅⋅⋅>,2sin 4]sin )(sin [22221210ππππn n l dx l x n x l dx l x n x l b l n =-+=⎰⎰<n =1,2,⋅⋅⋅ >故 ∑∞==122sin 2sin14)(n l x n n nl x f πππ,x ∈[0,l ].余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为2])([2212100l dx x l xdx l a l=-+=⎰⎰,⎰⎰-+=l n dx l x n x l dx l x n x l a 21210]cos )(cos [2ππ ])1(12cos 2[222n n n l ---=ππ <n =1, 2,⋅⋅⋅ > b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅ >,故lx n n n l l x f n n πππcos ])1(12cos2[124)(122∑∞=---+=,x ∈[0,l ].<2>f <x >=x 2<0≤x ≤2>.解正弦级数:对f <x >进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a 0=0<n =0, 1, 2,⋅⋅⋅>,]1)1[()(168)1(2sin 2231202--+-==+⎰n n n n n dx x n x b πππ,故 2sin }]1)1[()(168)1{()(131x n n n x f n n n πππ∑∞=+--+-=2sin }]1)1[(2)1({81231x n n n n n n πππ∑∞=+--+-=,x ∈[0,2>. 余弦级数:对f <x >进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为38222020==⎰dx x a2202)(16)1(2cos 22ππn dx x n x a n n -==⎰<n =1, 2,⋅⋅⋅>, b n =0<n =1, 2,⋅⋅⋅>,故 2cos )(16)1(34)(12x n n x f n n ππ∑∞=-+=2cos )1(1634122x n n n n ππ∑∞=-+=,x ∈[0,2].总习题十一 1.填空: <1>对级数∑∞=1n n u ,0lim =∞→n n u 是它收敛的________条件,不是它收敛的________条件; 解必要; 充分.<2>部分和数列{s n }有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的________条件; 解充分必要. <3>若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则级数∑∞=1n n u 必定________;若级数∑∞=1n n u 条件收敛,则级数∑∞=1||n n u 必定________. 解收敛; 发散.2.判定下列级数的收敛性: <1>∑∞=11n n nn ; 解因为11lim 11lim ==∞→∞→n n nn nnn n ,而调和级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知,级数发散. <2>∑∞=1222)!(n nn ;解因为∞==⋅++=∞→∞→+∞→222221lim )!(2)1(2])!1[(lim lim n n n n n u u n n n n n , 故由比值审敛法知,级数发散.<3> ∑∞=1223cos n n n n π; 解因为n n n n n 223cos 2<π,12121lim 2lim <==∞→∞→n n n n n n n所以由根值审敛法,级数∑∞=12n n n 收敛;由比较审敛法,级数∑∞=1223cos n nn n π收敛. <4>∑∞=110ln 1n n;解因为∞==∞→∞→nn n u n n n 10ln lim 1lim, 而调和级数∑∞=11n n发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示:∞===⋅⋅⋅==⋅=∞→∞→∞→∞→∞→xx x x x x x x x x x x x x 11lim !101ln lim !101 ln lim 1011ln 101limln lim9910<5>∑∞=1n s nna <a >0,s >0>. 解因为a n a n a s n n ns n n ==∞→∞→)(lim lim , 故由根值审敛法知, 当a <1时级数收敛, 当a >1时级数发散.当a =1时, 原级数成为∑∞=11n s n, 这是p =s 的p -级数, 当s >1时级数收敛, 当s ≤1时级数发散. 3.设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛,证明级数∑∞=+12)(n n n v u 与收敛. 证明因为∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛, 所以0lim =∞→n n u ,0lim =∞→n n v . 又因为0)2(lim 2lim 2=+=+∞→∞→n n n nn n n n v u u v u u ,0lim lim 2==∞→∞→n n n n n v v v , 所以级数∑∞=+12)2(n n n n v u u 和级数∑∞=12n n v 都收敛, 从而级数 ∑∑∞=∞=+=++12122)(])2[(n n n n n n n n v u v v u u也是收敛的.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,且1lim =∞→n n n u v ,问级数∑∞=1n n v 是否也收敛？试说明理由. 解级数∑∞=1n n v 不一定收敛. 当∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数时, 级数∑∞=1n n v 收敛, 否则未必. 例如级数∑∞=-11)1(n n 收敛, 但级数∑∞=+-1]11)1[(n n n 发散, 并且有 11)1(11)1(lim =-+-∞→nn n n .5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:<1>∑∞=-11)1(n p n n ; 解∑∑∞=∞==-111|1)1(|n p n p n n n 是p 级数.故当p >1时级数∑∞=11n p n 是收敛的,当p ≤1时级数∑∞=11n p n 发散.因此当p >1时级数∑∞=-11)1(n p n n 绝对收敛. 当0<p ≤1时,级数∑∞=-11)1(n p n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,因而收敛,这时是条件收敛的. 当p ≤0时,由于01)1(lim ≠-∞→p nn n ,所以级数∑∞=-11)1(n p n n 发散. 综上所述,级数∑∞=-11)1(n p n n 当p >1时绝对收敛,当0<p ≤1时条件收敛,当p ≤0时发散. <2>∑∞=+++-1111sin )1(n n n n ππ; 解因为1111|1sin )1(|+++≤+-n n n n πππ,而级数∑∞=+111n n π收敛,故由比较审敛法知级数|1sin )1(|111∑∞=+++-n n n n ππ收敛,从而原级数绝对收敛. <3> ∑∞=+-11ln )1(n n n n ; 解因为1ln )11ln(lim 1ln lim 1|1ln )1(|lim ==+=+=+-∞→∞→∞→e n n n n nn n n n n n n ,而级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知级数|1ln )1(|1∑∞=+-n n n n 发散,即原级数不是绝对收敛的. 另一方面,级数∑∞=+-11ln )1(n n n n 是交错级数,且满足莱布尼茨定理的条件,所以该级数收敛,从而原级数条件收敛.<4>∑∞=++-11)!1()1(n n nn n . 解令1)!1()1(++-=n n n n n u .因为 11)11(112lim )1(12lim )!1()1()!2(lim ||||lim 121<=+⋅++=+⋅++=+⋅++∞→∞→++∞→+∞→enn n n n n n n n n n u u n n n n n n n n n n , 故由比值审敛法知级数|)!1()1(|11∑∞=++-n n n n n 收敛,从而原级数绝对收敛. 6.求下列级限: <1>∑=∞→+n k k k n k n 12)11(311lim ; 解显然∑=+=nk k k n k s 12)11(31是级数∑∞=+12)11(31n n n n 的前n 项部分和. 因为13)11(31lim )11(31lim 2<=+=+∞→∞→e n n n n n n n n , 所以由根值审敛法, 级数∑∞=+12)11(31n nn n 收敛, 从而部分和数列{s n }收敛.因此01lim )11(311lim 12=⋅=+∞→=∞→∑n n n k k k n s n k n . <2>])2( 842[lim 312719131n n n ⋅⋅⋅⋅⋅∞→. 解n n nn 3 27392313127191312)2( 842+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅.显然n n n s 3 2739231+⋅⋅⋅+++=是级数∑∞=13n n n 的前n 项部分和. 设∑∞=-=11)(n n nx x S ,则210)1(1]111[][])([)(x x x dx x S x S n n x -='--='='=∑⎰∞=. 因为43)311(131)31(31)31(3132111=-⋅===∑∑∞=-∞=S n n n n n n , 所以43lim =∞→n n s , 从而 4331271913122lim ])2( 842[lim ==⋅⋅⋅⋅⋅∞→∞→nn s n n n .7.求下列幂级数的收敛域:<1>∑∞=+153n n n n x n ; 解 51)53(5)53(31lim 53153lim ||lim 111=++⋅+=+⋅++=∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n n n a a , 所以收敛半径为51=R . 因为当51=x 时, 幂级数成为]1)53[(11+∑∞=n n n , 是发散的; 当51-=x 时, 幂级数成为]1)53[()1(1+-∑∞=n n n n , 是收敛的, 所以幂级数的收敛域为)51,51[-. <2>∑∞=+12)11(n n n x n ; 解 n n n x n u 2)11(+=, 因为||||)11(lim ||lim x e x nu n n n n n =+=∞→∞→, 由根值审敛法, 当e |x |<1, 即ex e 11<<-时, 幂级数收敛; 当e |x |>1,时幂级数发散. 当e x 1-=时, 幂级数成为∑∞=+1)1()11(2n n n e n ;。

预科高等数学习题参考答案(上学期)

第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<n n ，所以有07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<n x n ．进而存在1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<n n ，所以有10+<<n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max {0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项 ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max {0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>∀ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)n n n 110144<=-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→nn ．(2)n n n n 1241231213<+=-++．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim =++∞→n n n ．(3) n n C C C C nnn n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-个． 0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09个，故1999.09lim =∞→ 个n n ． 3证明 222222656112136561121365611213lim lim lim lim limlim lim lim nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明当0=q 时，显然00lim lim ==∞→∞→n nn q；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>∀ε(10<<ε)，要使ε<nq ，由于10<<q ，因此只要εqn l o g >，于是取正整数[]εqN l o g ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当1<q 时，0lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有nn h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1( ，进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-<n n h n ． 0>∀ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→n n n ． (夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤--个个，并且122lim =-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→n n n ． 5 证明由数列}{n x 有界知，0>∃M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤．又0lim =∞→n n y ，则有0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=⋅<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x ．0>∀ε，要使ε<x 1，只要ε1>x ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 3 43434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim lim xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+-0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim 44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解 a x ax a x a x a x ax a x -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lim a a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =⋅=+⋅--=→．另解a x aa a x a x a x ax a x --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim lim a x aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅---⋅--=→a a x a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lim a a a cos sin 01cos 1=⋅⋅-⋅=．6 因为0)1()(lim lim 0=-=++→→xx x ex f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim 00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim 0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131limlim +++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim 00--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=⋅=⋅=→→x xx x x x ．9 2122322233221231212314232lim lim lim -⋅⋅∞→∞→∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++e e e x x x x x x xx x x xx xx ．另解221)42(421142114232lim lim lim -⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x xx x x x x x x221)42(42114211lim --+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x221)42(42114211lim lim -∞→-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x21211--=⋅=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -⋅+∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+∞→．另解 a ba b a ba bax ab ax x bx bxx bxx e e e ax ax ax ax ax ax 344441*********lim lim lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++⋅⋅∞→∞→∞→． 1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim =∞→x x ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim =⋅=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>∀E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max {E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ．另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim =+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim lim x x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>∀E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1m ax {+=E M ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232lim x xx ．4 414144tan sin lim lim lim 0220220===→→→x x x x x x x ． 5 2121cos 12220lim lim ==-→→x xx x x x ． 6设00>δ，当000δ<-<x x 时，)(x g 有界，则存在00>M ，使得当000δ<-<x x 时，0)(M x g ≤．当0x x →时，)(x f 是无穷大量，则0>∀M ，存在01>δ，当100δ<-<x x 时，0)(M M x f +>．取},m in{10δδδ=，则当δ<-<00x x 时，00)()()()(M M M x g x f x g x f -+>-≥±，因此)()(x g x f ±是0x x →时的无穷大量．7 x x y cos =在()+∞∞-,不是有界变量，即x x y cos =在()+∞∞-,是无界的．因为0>∀M ，存在ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1][0M x ，使得M M x x >⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ1][cos 00．下面证明当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1=∃E ，对于0>∀M ，存在ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10M x ，使得M x >0，并且E x x <=0sin 00．因此当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(+∞---∞ ．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(+∞---∞．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又())4(464464)(lim lim 44f x x x f x x =-+-=-+-=++→→，则)(x f 在4=x 处右连续；())6(664664)(lim lim 66f x x x f x x =-+-=-+-=--→→，则)(x f 在6=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(-内连续．又)1(11)(lim lim 11f x f x x ===++-→-→，则)(x f 在1-=x 处右连续；1)(lim lim 00--→-→=x x x f)0(1f ==，)0(1sin )(limlim 00f x xx f x x ===++→→，即)0()()(lim lim 00f x f x f x x ==+-→-→，则)(x f 在0=x 处连续；)1(81sin sin )(limlim 11f xxx f x x =≠==--→-→，即)(x f 在1=x 处不左连续，则)(x f 在1=x 处不连续；)2(14)83()(lim lim 22f x x f x x ==+=--→-→，则)(x f 在2=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[-．2 (1) 函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(+∞-∞ ，进而函数的间断点只可能为2=x 和7=x ．对于2=x ，72)7)(2()2)(2(1494)(lim lim lim lim 222222-+=---+=+--=→→→→x x x x x x x x x x f x x x x54-=，因此2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于7=x ，∞=---+=+--=→→→)7)(2()2)(2(1494)(lim lim lim 72277x x x x x x x x f x x x ，因此2=x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∈ Z k Z k k k k k ππππππ)1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ．对于0=x ，1tan )(limlim 0==→→xxx f x x ，因此0=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(≠∈=k Z k k x π，∞==→→xxx f k x k x tan )(limlim ππ，因此当0≠k 时，πk x =是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k k x ∈+=ππ，0tan )(lim lim 22==+→+→x x x f k x k x ππππ ，因此2ππ+=k x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(≠∈=k Z k k x π是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而函数)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，∞=-=-→→111)(limlim x xx x e x f ，因此0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1=x ，011)(111limlim =-=-→→++x x x x ex f ，111)(111limlim =-=-→→--x x x x ex f ，即函数)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．21arctan)(lim lim 00π==++→→x x f x x ， 21arctan)(lim lim 00π-==--→→x x f x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点． (5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，0223)(limlim 0=-=→→xx f x x ，因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1=x ，∞=-=→→xx f x x 223)(limlim 11，因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．22cos 1cos 1)(2000lim limlim =-=-=+++→→→x x x x x f x x x ， 22cos 1cos 1)(200lim limlim -=--=-=---→→→x x x x x f x x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为1=x ．∞=--=→→xxx f x x 12)(limlim 11，因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点． 1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1<x 时，02lim =∞→nn x，则有x x xx x f nnn =⋅+-=∞→2211)(lim ；当1>x 时，∞=∞→nn x2lim ，并且11122lim -=+-∞→n n n x x ，则有x x xx x f nnn -=⋅+-=∞→2211)(lim ；当1±=x 时，012=-n x ，则有011)(22lim=⋅+-=∞→x x xx f nnn ．因此111,,0,)(<±=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，1)(lim lim 11-==++-→-→x x f x x ， 1)()(lim lim 11=-=---→-→x x f x x ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，1)()(lim lim 11-=-=++→→x x f x x ， 1)(lim lim 11==--→→x x f x x ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义；当1<x 时，0l i m=∞→nn x ，则有01)(lim =+=∞→n n n x x x f ；当1>x 时，∞=∞→nn x lim ，则有11)(lim =+=∞→nn n x x x f ；当1=x 时，1=nx ，则有211)(lim =+=∞→nn n x x x f ．因此111,0,21,1)(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，00)(lim lim 11==++-→-→x x x f ， 11)(lim lim 11==---→-→x x x f ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，11)(lim lim 11==++→→x x x f ， 00)(lim lim 11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3) 当10<≤x 时，0l i m =∞→nn x ，则有111)(li m =+=∞→n n xx f ；当1>x 时，∞=∞→nn x l i m ，则有011)(lim =+=∞→nn xx f ；当1=x 时，1=n x ，则有2111)(lim =+=∞→nn x x f ．因此1011,1,21,0)(<≤=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(+∞内连续．对于0=x ，)0(11)(lim lim 0f x f x x ===++→→，因此)(x f 在0=x 处右连续．对于1=x ，00)(lim lim 11==++→→x x x f ， 11)(lim lim 11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[+∞，1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0<x 时，∞==-∞→∞→xn xn nnlim lim ,0，则有1)(lim -=+-=--∞→xxxx n n n n n x f ；当0>x 时，0,lim lim =∞=-∞→∞→xn xn nn ，则有1)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ；当0=x 时，1=±xn，则有0)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ．因此000,1,0,1)(<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内连续．对于0=x ，11)(lim lim 00==++→→x x x f ， 1)1()(lim lim 00-=-=--→→x x x f ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(+∞-∞，0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义．又xe x n x n xf x xnn nxn +=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→1111111)(lim lim ，因此xe xf x+=1)(，并且定义域为),1()1,(+∞---∞ ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，∞=+=-→-→xe xf xx x 1)(lim lim 11，因此1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(+∞---∞，1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点0=x 处连续，即)0()()(lim lim 0f x f x f x x ==-+→→．又在0=x 处，b f =)0(，b b ax x f x x =+=++→→)()(lim lim 0，1)(lim lim 0==--→→xx x ex f ，因此1=b ．由于2)1(=f ，即2=+b a ，因此1=a ．综上当1,1==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点1±=x 处连续，即)1()()(lim lim 11-==-+-→-→f x f x f x x ，)1()()(lim lim 11f x f x f x x ==-+→→．在1-=x 处，1)1(-=-f ，b a bx ax x f x x -=+=++-→-→)()(211lim lim ，11)(limlim 11-==---→-→xx f x x ，因此1-=-b a ．在1=x 处，1)1(=f ，11)(limlim 11==++→→xx f x x ， b a bx ax x f x x +=+=--→→)()(211lim lim ，因此1=+b a ．于是有⎩⎨⎧=+-=-11b a b a ，解得1,0==b a ．综上当1,0==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续． 3 )(x f 在1=x 处连续，则)1()(lim 1f x f x =→，即4313)(lim1=+-+++→x x b x b a x ．由于()0313lim 1=+-+→x x x ，则有[]0)(lim 1=++→b x b a x ，即02=+b a ，进而b a 2-=．从而313313)(limlim11+-++-=+-+++→→x x b bx x x b x b a x x()()()313313313)1(lim1++++-++++--=→x x x x x x x b x())1(2313)1(lim1-+++--=→x x x x b x()b x x b x 22313lim1-=+++-=→．因此42=-b ，即2-=b ，于是4=a ．综上当2,4-==b a 时，)(x f 在1=x 处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f =，则0=δ或a =δ．因此下面假设)0()(f a f ≠．令)()()(a x f x f x F +-=．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F -=-=．由于)2()0(a f f =，所以有0)]0()()][()0([)()0(<--=⋅f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ∈∃δ，使得0)(=δF ，即)()(a f f +=δδ．综上存在一点],0[a ∈δ，使得)()(a f f +=δδ．2由于b x f a <<)(，则b b f a f a <<)(),(．令x x f x F -=)()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ⊂∈∃δ，使得0)(=δF ，即δδ=)(f ．3令bx b x a ax B x f A x F =<<=⎪⎩⎪⎨⎧=,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F =)(，B b F =)(．又0<AB ，因此0)()(<b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ∈δ，使得0)(=δF ，即0)(=δf ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321λλλλλλλλλ≠=--+--+--x x x a x x a x x a ．令))(())(())(()(213312321λλλλλλ--+--+--=x x a x x a x x a x F ．显然)(x F 在],[],,[3221λλλλ上连续，并且))(()(322111λλλλλ--=a F ， ))(()(321222λλλλλ--=a F ， ))(()(131333λλλλλ--=a F ．由于321λλλ<<，0,,321>a a a ，所以0)(1>λF ，0)(2<λF ，0)(3>λF ．进而根据根的存在定理知，),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0)(1=ξF ，0)(2=ξF ，即),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0313212111=-+-+-λξλξλξa a a ，0323222121=-+-+-λξλξλξa a a ．5 (反证法)假设存在),(βαδ∈∃，使得0)(<δf ．若δγ< (或δγ>)，则函数)(x f 在],[δγ (或],[γδ)内连续，并且0)(>γf ，0)(<δf ，即0)()(<δγf f ．因此存在),(δγξ∈ (或),(γδξ∈)，即),(βαξ∈，使得0)(=ξf ．这与α=x 和β=x 是0)(=x f 相邻的两个根相矛盾．故),(βα∈∀x 都有0)(>x f ．6若1)sin(=+b a ，则显然方程b x a x +=sin 有一个根是b a x +=．下面假设1)sin(≠+b a ．令b x a x x f --=sin )(．显然)(x f 在],0[b a +上连续，并且0)0(<-=b f ，0)]sin(1[)sin()(>+-=-+-+=+b a a b b a a b a b a f (因为0,0>>b a )，进而0)()0(<+b a f f ．因此存在),0(b a +∈ξ，使得0)(=ξf ，即b x a x +=sin 在区间),0(b a +上至少有一个根．综上方程b x a x +=sin 至少有一正根，并且它不超过b a +．7 令)}(,),(),(m in{21n x f x f x f m =，)}(,),(),(m ax {21n x f x f x f M =，则n x x x ,,,21 中至少有一个i x 使得m x f i =)(，至少有一个j x 使得M x f j =)(，显然有M x f nxf x f m j nk ki =≤≤=∑=)()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点ξ．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点ξ介于i x 与j x 之间，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．综上存在],[b a ∈ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．习题 11 0>∀ε，要使ε<=--+-n n n n 11)1(1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ，当N n >时，ε<--+-1)1(1n n n ，因此1)1(1lim =-+-∞→n n n n ． 2由于当0→x 时，x e x~1-，所以x e x3~13-．进而331lim lim 030==-→→x xx e x x x ． 3因为n n n n 333213⋅<++<，则有n nnn 33)321(31<++<，并且n n 33lim ∞→ 3=，因此3)321(1lim =++∞→nnnn ．4 令x t arcsin =，则t x sin =，并且00→⇔→t x ．因此1sin arcsin lim lim 00==→→ttx x t x ． 53sin 2tan 2limxx x x +-+→ ()()()xx x xx xx x sin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23lim+++++++-+=→()xx x x x x sin 2tan 2sin tan 3lim+++-=→()xx x x x x sin 2tan 2)cos 1(tan 3lim+++-=→()x x x x x x sin 2tan 22132lim+++⋅=→()x x x sin 2tan 221lim 0+++=→82241==． 6任取),(0b a x ∈，对0>∀ε，存在0>=kεδ，当δ<-<00x x 时，εδ=⋅<-≤-k x x k x f x f 00)()(．因此)()(0lim 0x f x f x x =→，即)(x f 在0x x =处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当δ<-<a x 0时,εδ=⋅<-≤-k a x k a f x f )()(．因此)()(lim a f x f a x =+→，即)(x f 在a x =处右连续．当0<-<-b x δ时，εδ=⋅<-≤-k b x k b f x f )()(．因此)()(lim b f x f bx =-→，即)(x f 在b x =处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(<b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<∈ k Z k k k ．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12<∈+=k Z k k x ，0=x 和2=x ．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2=x ，∞=-→4222lim x x ，则有42sin )(222lim lim -=→→x x f x x 不存在，但是在1-到1之间来回振荡，因此2=x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0=x ，21sin 42sin)(2lim lim -=-=++→→x x f x x ， 02cos)1()(limlim 0=+=--→→xx x x f x x π，即左右极限存在但不相等, 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1-=x ,)1(2cos )1(2cos)1()(limlimlim 0111--+=→+=-→-→=t t t x x x x f t x t x x ππππππ2)1(22)1(2sin )1(lim lim lim 000-=-=-=-=→→→t t t t t t t t t t ，因此1-=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12-<∈+=k Z k k x ，∞=+=+→+→xx x x f k x k x 2cos)1()(limlim1212π，因此12+=k x)1,(-<∈k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内连续；0=x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1-=x 是第一类间断点中的可去间断点；2=x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12-<∈+=k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ∈，)()(0lim 0xF x F x x =→ (a x =0时取右极限，b x =0时取左极限)．若)0(0)(0<>x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(<>x F ，进而)()()()(0lim lim 0x F x F x F x F x x x x ===→→()()()()(0lim lim 0x F x F x F x F x x x x =-=-=→→)，注意a x =0时取右极限，b x =0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f -在],[b a 上连续，进而)()(x g x f -在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max {x g x f x g x f x g x f -++=，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n =，其中q p ,为非零整数，并且0>p ．进而α=nx 与方程0>==qp x αβ同解．(存在性)令px x f =)(．则)(x f 在),0[+∞内连续，并且当+∞→x 时，+∞→)(x f ．因此存在),0(+∞∈a 使得β>)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f <<=β，根据介值定理知，存在),0(a ∈ξ，使得βξ=)(f ，即ξ是方程β=p x 的一个正根．(唯一性)假设21,ξξ是方程β=px 的两个正根. 进而有pp21ξξ=，即))((012221221112121----++++-=-=p p p p p p ξξξξξξξξξξ ，由于0,21>ξξ，则01222122111>++++----p p p p ξξξξξξ ．因此21ξξ=，即方程β=p x 只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数是无理数是有理数，，x x x D ⎩⎨⎧=01)(．显然狄利克雷函数在),(+∞-∞上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) A A x f x f A x f ==⇔=+)(')(')('00_0； (2)2 函数在0x x =处可导，则函数在0x x =处必连续； (3) 0 4ln )(=x f 是常值函数，因此0)('=x f ； (4) 0 驻点：函数的导数值为0的点． 2 (1)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆2)()2(2)()2(000000lim lim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x =∆-∆+=→∆．(2)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆--=∆-∆-→∆→∆)()()()(000000lim lim)(')()(0000limx f xx f x x f x -=∆--∆--=→∆．(3)[][]hx f h x f x f h x f h h x f h x f h h )()()()(212)()(00000000limlim----+=--+→→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→h x f h x f h x f h x f h )()()()(2100000lim )(')()()()(210000000lim lim x f h x f h x f h x f h x f h h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→． (4)[]0000)()()()(lim limx x x f x f x x x f x f x x x x ---=--→→)(')()(000limx f x x x f x f x x -=---=→．3 (1) 22)12(]1)(2['lim lim lim 000=∆∆=∆---∆+=∆∆=→∆→∆→∆xx x x x x x y y x x x ；(2) x x x x x x x x x y y x x x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆2sin2sin 2cos )cos('lim lim lim 000 x x xx x x sin 22sin2sin lim 0-=∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆； (3) x x x x x x x x y y x x ∆--∆+-∆+=∆∆=→∆→∆)()]()[('2200lim lim []12)12()()12(lim lim 020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x x x x x x x x ；(4) 1)1()](1['lim lim lim 000-=∆∆-=∆--∆+-=∆∆=→∆→∆→∆xxx x x x x y y x x x ． 4因为0)0(=f ，01sin)(lim lim 0==→→x x x f x x ，即)0()(l im 0f x f x =→，因此)(x f 在0=x 处连续．因为x x x x x f x f x x x 1sin 1sin0)0()(lim lim lim 00→→→==--不存在，因此)(x f 在0=x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '=，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos '====x y k ，进而曲线x y sin =在点)0,0(处的切线方程是x y =，法线方程是x y -=．(2) 因为x y sin '-=，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin '=-===x y k ，进而曲线x y cos =在点)1,0(处的切线方程是1=y ，法线方程是0=x ．(3) 因为xy 1'=，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1===x y k ，进而曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ，法线方程是1+-=x y ．6因为速度是t t t t S t V 22)'211()(')(2+=++==，加速度是)(')(t V t a =2)'22(=+=t ，因此速度2)2(,6)2(==a V ，即2=t 秒时，运动物体的速度是s m /6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3+-=x x y ．(2)'221'21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--x x mx x m y32232121111xx x m m x x mx m -+-=-+-=---． (3)x x y 55ln 5'4⋅+=．(4)01111'22=---=xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('+=+++=+++++=x x x x x x x y ．(6)xx x x x x x x x x x x y 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222++=⋅++=+++=．(7)xx x x x x e e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('+====． (8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y ++=x x x x x x x x x cos sin )12(cos sin 2sin 22+-=++-=．(9)x x x x y 22csc sec tan '++= ．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=x x x x x x xxx x x x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin +⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅=． (11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xxx xx x x x x x x y -=-⋅=⋅-⋅= ． (12)()2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'x x x x x y ++⋅-+=()()xx xx xx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22+=++=+⋅++⋅=．另解2sec 21'2tan 'cos 1sin '2x x x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'x xx x x x x x x x x x y -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． (14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x x y +-⋅+= 342ln 21)ln (211xx x x x x x x x --=+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． (15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y --+--+=22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x x xx x -=-++-=．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x x y -=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． (16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y ++⋅-+= 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx x x x x x x +-++=+-++=． 2 (1) 2222222)'(1'x a x x a x a y --=-⋅-=． (2))53cos(3)'53()53cos('-=-⋅-=x x x y ． (3))1sin(2)1()1sin('222+-=+⋅+-=x x x x y ． (4)xx x x y ln 1)'(ln ln 1'=⋅=． (5)x xe x ey 333)'3('=⋅=．(6)222)'('2x x xe x e y ---=-⋅=．(7)22'24121212211'xx x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．(8)()422212)'(11'x xx x y +=⋅+=．(9)222'21111111111'x x x x x y +=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=． (10)222'211)1(21111111111'x x x x x x x x y +=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=． (11)()()x e x e x e x e y x x x x 3sin 33cos 3cos 3cos '''------=⋅+⋅=．(12)()'2'21sin 1sin '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x xyx x x x xx x x 1cos 1sin 21cos 11sin222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=． (13)())'(arccos 1arccos 1'2'2x x x x y ⋅-+⋅-=11arccos 111arccos 12222---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-+⋅--=x xx x x x x x． (14)''11112111111111'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅+-⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-=x x xx x x x x x x y ()()1112112122-=+-⋅+-=x x xx ．另解()11111121)1ln()1ln(21'2'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x x x x y ． (15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin 2sinx x x y x x⋅⋅⋅=⋅⋅=x x x x x 2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ⋅=⋅⋅⋅=．(16)x xx x x x x y 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2==⋅=⋅=．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'=⋅=⋅=． (18)())'12(sin sin '21212'12122222++⋅⋅-=⋅-=++++++++x x e ee ey x xx x x xx x121212122222sin )1(2)22(sin +++++++++-=+⋅⋅-=x xx xx xx xe e x x e e ．3 (1) 由于()22222)21(2)('22'x x x xx e x e x ee x e xf ------=-=⋅+=，因此1)21()0('022=-==-x xe xf ．(2) 由于()xx x x xx x f 42ln 214)44(ln 4)('2⋅-=⋅⋅-=，因此142ln 21)1('=⋅-=x x x f42ln 21-=． (3) 由于2tan42sec 2sec 212tan 212tan 2tan 21)('22'xxx x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，因此 2122tan42sec 2'2===⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x xf ． (4) 由于()'22221)('a x x a x x x f -+⋅-+=222222111ax a x xa x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+=，因此aax a x a f 3321)2('22==-=． 4 (1)[])('3)'()(')(3233'3x f x x x f x f dxdy=⋅==． (2) [])'(cos )(cos ')'(sin )(sin ')(cos )(sin 2222'22x x f x x f x f x f dxdy⋅+⋅=+=)sin cos 2()(cos ')cos sin 2()(sin '22x x x f x x x f -⋅+⋅=)](cos ')(sin '[2sin 22x f x f x -⋅=．(3)[])(')()'()(')(1'e x e x e x e x e x x e f ex e x e x e f x e f dxdy+⋅+=+⋅+=+=-． (4) [][][]')()('')()()()(x f x x f x x f x e e f e e f e e f dxdy+== )()()()(')('x f x x f x x e e f x f e e f e +=．。

预科教材高等数学教材答案

预科教材高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。

函数的定义域、值域、图像以及函数的奇偶性、周期性等性质在数学中都有重要的研究价值。

1.2 极限的定义与性质极限是描述函数趋近某个值的概念。

通过数列的极限来定义函数的极限，将其推广到实函数和复函数的极限。

极限的性质包括四则运算、复合函数、收敛性等。

1.3 函数的连续性与间断点函数的连续性是指函数在定义域上没有跳跃、断裂等情况，可通过极限的方法来判断。

间断点包括可去间断点、跳跃间断点和第一类间断点。

1.4 导数与微分导数是描述函数局部变化率的概念，可以通过极限的方法求得。

微分是导数的几何解释，可用于描述函数在某点的切线。

1.5 高阶导数高阶导数是导数的导数，通过迭代求导可以得到。

高阶导数可以用于描述函数的曲率和变化率。

第二章：微分学2.1 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性是指函数图像的弯曲情况，可以通过一、二阶导数来判断。

拐点是函数图像由凹变凸或凸变凹的点。

2.2 函数的单调性及最值问题函数的单调性描述函数在某个区间上的递增、递减情况。

最值问题是求取函数在某个区间内的最大值和最小值。

2.3 弧长与曲率弧长是曲线长度的概念，可以通过曲线参数方程和弧微分来求解。

曲率是描述曲线弯曲程度的量，可通过曲线的切线和曲率半径来计算。

第三章：积分学3.1 不定积分与定积分不定积分是求导的逆运算，可以得到函数的原函数。

定积分是求取函数在某个区间上的面积，可以通过黎曼积分进行计算。

3.2 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法牛顿-莱布尼茨公式是将不定积分与定积分联系起来的重要公式。

换元积分法是通过变量代换来简化积分计算。

3.3 定积分与曲线的面积定积分可以用于计算曲线与坐标轴所围的面积。

可以通过参数方程和旋转体体积来求解。

3.4 反常积分与广义积分反常积分是积分上限或下限取无穷或无界的情况。

广义积分是对于无界区间上的积分。

暑期高中数学预科教材--初高中数学衔接讲练含答案(黄冈名师教材)

暑期高中数学预科教材目录第一章数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．练习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：A C P |x －1||x －3|图1．1－1下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y +1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥；（30)x <．解：（1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)＝393-＝1)6＝12．解法二： (3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（1）∵1===，1110=，又>∴（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴例4化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1；（21)x<<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式=1xx=-，∵01x<<，∴11xx>>，所以，原式＝1xx-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习 1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __． 2．选择题：=成立的条件是（）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ；（3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910．（3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＜12 ．例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝（）（A ）１（B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a aba ab b -=+-____ ____；（2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值．C 组1．选择题：（1=（）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算（）（A（B（C）（D）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯ ． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++ ＜14．1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －1x（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

高二数学暑假作业11附答案

高二数学暑假作业十一一、填空题1．已知函数，直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，则（）A．B．C．D．2．，最大值M,最小值N，则（）(A).M-N=4 (B).M+N=4 (C). M-N=2 (D). M+N=23．终边在直线上的角的集合是（）A．B．C．D．4．在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（）A. 北偏西，B. 北偏西，C. 北偏东，D. 北偏东，5．已知角θ的终边上有一点P（-4,3) , 则的值是( )A．B．C．D．6．若等边的边长为，平面内一点满足：,A.-1B.-2C.2D.3 （）7．已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝()A．3B．2 C. D．18．圆的半径为6，则15的圆心角与圆弧围成的扇形面积为（）A. B. C. D.39．（2015秋•商洛月考）在四边形ABCD中，=0，且，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形10．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将函数y＝sin（2x＋）的图象沿x轴A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位11．已知平面向量与的夹角等于,如果,那么（）A．B．C．D．12．若2cos23sin2cos4θθπθ=⎛⎫+⎪⎝⎭，则sin2θ=A.13B.23- C.23D.13-（）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC= λ，DFDC= μ若AE AF⋅=l，CE CF⋅=23-，则λ+ μ= A.12B.23C.34D.56（）14．函数相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数的单调减区间（）A. B. C. D.15．在中，则（）A．B．C．D．16．已知函数的图像如图所示，则的值是A．B．C．D．（）17．若向量=（1，1），=（-1,1），=（4，2），则= （）A.3+B. 3-C.+3D.+318.．已知是边长为2的正△边上的动点，则·（＋）的A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．与P的位置有关19．已知，则（）（A）（B）（C）（D）20．已知函数()()sin(0,)2f x xπωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f xπ⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数．下列判断正确的是（）A. 函数()f x的最小正周期为2π B. 函数()f x的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. ()f x的图象关于直线712xπ=-对称D. ()f x在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增二、填空题21．如图，正方形ABCD中，AB=2，DE=EC，若F是线段BC上的一个动点，则的最大值是 .22．平面向量满足，且，则向量的夹角为．23．已知向量，，若，则的最小值为_____24．已知，则的值是______．25．=_____26．已知，则__________． 27．若，则__________．28．ABC ∆中， 90,2C CA CB ∠===，点M 在边AB 上，且满足3BM MA =，则CM CB ⋅=__________．三、解答题 29、若的图象关于直线对称，其中（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象；若函数的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值.30、已知函数f （x ）＝2sin （ωx ＋）（ω＞0，0＜＜π）的图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式：（2）已知＝，且a ∈（0，），求f （a ）的值．31、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 2cos C a cB b-=，（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =，求22ac +的取值范围.32、已知函数的最小值是－2，其图象经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．高二数学暑假作业11答案一、填空题1.【答案】B 由直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，可得，所以，即，又因为直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，则，所以，故选B．2.【答案】D故函数关于(0,1)对称，则可知其函数最大值和最小值的和为2，故选D.3.【答案】C4.【答案】A如图，船从O点出发，沿OC方向行驶，才能垂直到达河的对岸，则，所以，即船以的速度，向北偏西方向行驶，才能垂直到达对岸.5.【答案】B∵θ的终边上有一点 P（-4,3) ，∴．6. 【答案】B 考点：向量的数量积7.【答案】A【解析】因为a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，所以4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3或|b|＝－(舍)，故选A.8.【答案】B9.【答案】C 由=0，得AB⊥BC ，由，得AB DC，由此能判断四边形ABCD的形状．解：在四边形ABCD中，∵=0，∴AB⊥BC，∵，∴AB DC，∴四边形ABCD是矩形．10.【答案】A11.【答案】C 因,故,应选C.考点：向量的数量积公式及运用.12.【答案】B由条件得，将上式两边分别平方，得，即，解得或（舍去），∴．选B ．13.【答案】D==,(1),=,即(2),由(1)(2)可得,故选D.点睛:与平面向量数量积有关的题目的类型及求法:(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.【答案】C由函数相邻两个对称中心的距离为知：函数的周期满足，故，从而，由得到函数的减区间为：令得：故选C ．考点：三角函数的性质． 15.【答案】A在中，，所以，又因为,所以，因为，所以，所以，所以，故选A.考点：平面向量的数量积的运算. 16.【答案】B 根据,结合诱导公式可知,故选B.考点：1.三角函数的图像；2.诱导公式.17.【答案】B 设，则有，解得，所以.18.【答案】B是正三角形，故选B19.【答案】D，得，得.20.【答案】D 由题图象相邻两条对称轴之间的距离为，则；, 又函数是偶函数，可知；则得；A错误，B，图像对称点横坐标为；错误；C，图像的对称直线方程为；，错误；D，函数的增区间为；为它的子集。

高一数学暑假预科讲义

高一数学暑假预科讲义第一节集合的含义与表示随堂练习1、下列说法正确的是（）A.若,N a ∈-则N a ∈B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合D.在集合N 中，1不是最小的数2、-3、集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（）A.2B.3C.4D.54、方程组⎩⎨⎧=-=+0,2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M8、#9、已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.第二节集合间的基本关系随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（）A.6B.7C.8D.93、~4、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）·（2）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使得B A =成立？第三节集合的基本运算1、！2、设集合{}{},23|,312|<<-=<+=x x B x x A 则=B A （）A.{}13|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}3|->x xD.{}1|<x x2、设集合,21|,2|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z x x N Z x x M 则=N M （） A.∅ B.M C.Z D.{}03、集合{},2,1=A 则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是( )A.1B.3C.4D.84、若,,C D C A B A == 则( )A.D C B A ⊆⊆,B.D C A B ⊆⊆,C.C D B A ⊆⊆,D.C D A B ⊆⊆, 5、`6、设集合{}{},,2|||,4,3,2,1R x x x Q P ∈≤==则._______=Q P7、已知集合{}{},1|,1,1==-=mx x B A 且,A B A = 则._______=m8、设二次方程：05,01522=+-=+-q x x px x 的解集分别为B A 、且{}{},3,5,3,2==B A B A 试求B A 、及q p 、的值.9、已知全集{}{}{},9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,1===B C A C B A U U U{},8,6,4)(=B A C U 试确定.B A 、10、若{}{},73,22,3,4,72,4,223223++++-+-=+--=a a a a a a B a a a A 且{},5,2=B A 试求a 的值.]第四节函数的概念随堂练习1、集合{}{},20|,40|≤≤=≤≤=y y B x x A 下列对应中不表示从A 到B 的函数的是（）A.x y x f 21:=→B.x y x f 31:=→C.x y x f 32:=→ D.x y x f =→: | 2、下列各组函数中表示同一个函数的是（）A. x x f =)(与2)()(x x g =B. x x f =)(与33)(x x g =C. x x x f =)(与⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,)(22x x x x x g D. 11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t t g 3、已知函数.1112)(xx x f -+-= （1）求函数)(x f 的定义域（用区间表示）；（2）求)32(),2(f f 的值.4、已知,11)(,12)(2+=-=x x g x x f 求]2)([)]([)(2+x f g x g f x f 、、 5、若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是._ . 6、若函数862++-=a x ax y 的定义域为一切实数，求a 的取值范围.7、已知函数⎩⎨⎧>+≤-=)4(42)0(2)(2x x x x x f ，则)(x f 的定义域为___,[].____)4(=-f f 8、已知)(x f 的定义域为]2,3[-，求函数)()()(x f x f x g -+=的定义域.9、设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)1()(2-=x f x h 的定义域.10、已知)1(+x f 的定义域为]3,0[求)(x f 的定义域.11、已知)4(2+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域. 第五节函数的表示、值域、解析式解法随堂练习！1、下列四个命题正确的有_________.（1）函数是定义域到值域的映射；（2）x x y -+-=23是函数；（3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；（4）⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图象是条抛物线. 2、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水用水量分别为x x 3,5吨.求y 关于x 的函数；3、分别画出下列函数的图象（1）.1||22--=x x y@（2）.|12|2--=x x y4、函数值域的求法（1）（观察法）求函数x y 323-+=的值域.（2）（反函数法）求函数21++=x x y 的值域.（3）（分离常数法）形如bax d cx y ++=，求函数21++=x x y 的值域. 212,2312,121,212++-=++=++=++=x x y x x y x x y x x y （4）（配方法）求函数22++-=x x y 的值域.（5）（判别式法）求函数132222+-+-=x x x x y 的值域. ,（6）（图象法）求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域.（7）（换元法）求函数123++-=x x y 的值域.5、函数解析式的解法（1）直接法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（2）换元法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（3）待定系数法*已知)(x f 是一次函数，且满足,43)]([+=x x f f 求)(x f 的解析式.（4）赋值法设)(x f 满足关系式,3)1(2)(x xf x f =+求)(x f 的解析式.@第六节函数的单调性与最大（小）值\随堂练习1、函数)(x f 在区间]3,2[-上是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是（）A.]8,3[B.]2,7[--C.]5,0[D.]3,2[-2、函数322--=ax x y 在区间]2,1[上是单调函数，则a 满足的条件是._3、已知函数.|34|)(2+-=x x x f 求函数)(x f 的单调区间，并指出其增减.4、判断函数1)(3+-=x x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数并证明.5、讨论函数的单调性，)0,11(1)(2≠<<--=a x x ax x f 6、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最小值.7、$8、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是.________ 9、函数245x x y --=的递增区间是.__________（复合函数的单调性）10、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数21,x x ,满足,2)()()(2121++=+x f x f x x f 且当0>x 时，有.2)(->x f 求证：)(x f 在R 上是增函数.10、定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=且当1>x 时，,0)(<x f 试判断)(x f 的单调性，并当1)3(-=f 时，解不等式.2|)(|-<x f· 第七节函数的奇偶性随堂练习1、判断下列函数的奇偶性（1）;1)(3xx x f -= （2）;)(32x x x f -=（3）;11)(22x x x f -+-= （4）;2112x x y -+-=（5）.)0(2)0(0)0(2)(22⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=x x x x x x f 2、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足),()4(x f x f =+当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则.__________)2011(=f3、函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（） }A 、先减后增B 、先增后减C 、单调递减D 、单调递增4、已知函数)(x f y =为奇函数，若,1)2()3(=-f f 则._____)3()2(=---f f5、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则.______=a6、函数)(x f 在R 上为奇函数，且),0(,1)(>+=x x x f 则当0<x 时，.________)(=x f7、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则.__________)1(=-f8、若)(x f 是R 上周期为5的奇函数且满足,2)2(,1)1(==f f 则.________)4()3(=-f f9、函数)(x f 的定义域为R ，且满足：)(x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，若,9)5.0(=f 则=)5.8(f ________.10、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有).()2(x f x f -=+当∈x [0,2]时，22)(x x x f -=.；（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）当∈x [2,4]时，求)(x f 的解析式；（3）计算)2011()2()1()0(f f f f +⋅⋅⋅+++的值. 第八节函数单调性与奇偶性的综合运用1、定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且).2()(x f x f -=若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f 在区间[-2,-1]上是___函数，在区间[3,4]上是____函数.2、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足),()1(x f x f -=+且在区间]0,1[-上位递增，则)2(),3(),2(f f f 的大小关系.3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f +=若),()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是._____________{4、已知)(x f 是奇函数，定义域为{},0,|≠∈x R x x 又)(x f 在),0(+∞上是增函数，且,0)1(=-f 则满足0)(>x f 的x 的取值范围.5、已知函数)(x f 对于任意R y x ∈,,总有),()()(y x f y f x f +=+且当0>x 时，.32)1(,0)(-=<f x f（1）求证：)(x f 在R 上是减函数；（2）求)0(f 的值；（3）证明函数)(x f 是奇函数；（4）求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值.6、设)(x f 是R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且有),123()12(22+-<++a a f a a f 求a 的取值范围.~7、已知)(x f y =是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，求函数)1(2x f -的单调递增区间.第九节高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、已知集合{}{}，圆，直线==N M 则N M 中元素个数是（）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或22、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( )A.{}2,1B.{}2,1,0C.{}3,2,1D.{}3,2,1,0 3、—4、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A.2)(|,|)(x x g x x f ==B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（）A.6B.7C.2D.4 6、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x;C.{}21|≤<x xD.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（）A.99B.5399 C.100 D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（）人. A.5 B.7 C.8 D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（）!A.)6()0(f f <B.)2()3(f f >C.)3()1(f f <-D.)0()2(f f >10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：.__________])()1)[(1(21212=----x x x12、函数||)3(x x y --=的递增区间是.________13、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.______=a14、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； —②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是.__________第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分）填空题答案： 11.}12._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集.，17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值..18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）求N M C I )(（2）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围.—19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数xxxf-+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域..第十节讲评高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、—2、已知集合{}{}，圆，直线==NM则NM 中元素个数是（A）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或23、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( B ) A.{}2,1 B.{}2,1,0 C.{}3,2,1 D.{}3,2,1,04、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ A ） A.2)(|,|)(x x g x x f == B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（B ）￥A.6B.7C.2D.46、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（A ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x C.{}21|≤<x x D.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ C ）A.99B.5399C.100D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ C ）人. ）A.5B.7C.8D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（B ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ C ） A.)6()0(f f < B.)2()3(f f > C.)3()1(f f <- D.)0()2(f f > 10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ B ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：421212])()1)[(1(X x x x --=----12、》13、函数||)3(x x y --=的递增区间是].23,0[14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.1-=a15、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； ②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数； ③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是 ④）第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分）填空题答案：11._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)123(4)234(23x x x x x x y%16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集..0)1(,0110)1-(0-)()(.0)1(,211100)1(0)(<-<-<-∴=∞<-<<<-<∴=∞+x f x x f x f x f x f x x f x f 时，即当）上单调递增，，在（是奇函数，又时，即当）上单调递增，，在（ 17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值.a abx =-=2 2.a -1a 2.a 2,(1)(x)]1,0[)(,13)(251a 2,(a)(x),10(2)-1;a 2,(0)(x)]1,0[)(,0)1(max max max =====>±===<<===≤或综上所述，解得上单调递增，在时）当（；舍解得时当解得上单调递减，在时当f f x f a f f a f f x f a18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）}（2）求N M C I )(（3）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围. (1){}2(2)A B A A B ⊆⇔=∅=B ,3,51>->-a a a 即{}2,=∅≠B B 3=a19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数x x x f -+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域.任取]2,2[,21-∈x x 设21x x < &]49,0[]2,2[)(.2)2()(,49)47()(,]2,47[)(;0)()(,0)122(247.0)2()(,49)47()(]47,2[)(;0)()(,0)122(472-22)122)((........................22)(.......................22)()(min max 212121min max 212121212121211221221121上的值域是在上单调递减在时，当上单调递增，在时，当-∴====∴>-<--+-≤<<=-===-∴<->--+-≤<≤-+---+--=-+--+-=----+=-x f f x f f x f x f x f x f x x x x f x f f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f第十一节指数与指数幂的运算随堂练习1、化简：778888)()(b a b a b -+++2、若,310,210==n m 则._____2310=-nm 3、.______)3()3(22=⋅ 4、;5、.________39623223=⨯+⨯--6、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________7、设,21=+-x x 则._________22=+-x x8、._______2222824=⋅⋅⋅9、.________)008.0()1.88()94(31021=+-+-9、化简化简下列各式（1）;)(65312121132ba bab a ⋅⋅⋅⋅---（2）;)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a)（3）.48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π（4）.__________)()(13212153323=⋅⋅⋅----a a a a 10、计算.________625625=++- 11、计算._______525233=-++12、设),(21,011n na a x a --=>求n x x )1(2++的值.…第十二节指数函数及其性质随堂练习1、当0>>n m ，确定下列各组数的大小. ①m )53(与n )53( ②m )4.1(与n )4.1( ③m )25(与n )25( ④m )3(π与n )3(π2、根据下列等式决定m 是正数还是负数？ ①710=m ②43)65(=m ③25)32(=m ④6.0)47(=m 3、比较下列各组数的大小①81.0)107(与92.0)731( ②8.07.1与1.39.0 ③3.08.0-与1.09.4-{4、设,3,02121=+>-aa a 则._________11122=++++--a a a a 5、将指数函数)(x f 的图象向右平移一个单位，得到如图所示的)(x g 的图象则._________)(=x f 6、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[1,2]上的最大值比最小值大,2a 则.______________=a7、若函数)1,0(1)(≠>-=a a a x f x 的定义域和值域都是[0,2],则实数a=____.8、已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）若对任意的,R t ∈不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 取值范围.9、设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.，已知函数,22)(-=x x f 则函数|22|-=x y 的图象大致为10、求函数1313)(+-=x x x f 的值域.11、求函数432)21(+--=x x y 的定义域、值域及单调区间.12、设x x eaa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证函数)(x f 在),0(+∞上是增函数. 13、解下列不等式（1）);1(13722>>+-a a x x —（2）).10(5213222<<>-++-a a a x x x x14、在同一直角坐标系画出x x x 4,3,2的图象 15、在同一直角坐标系画出x x x )41(,)31(,)21(的图象(第十三节对数与对数运算随堂练习 1、<2、求下列各式的值①81log 31 ②2719log③001.0lg ④7log 71 ⑤5log 212⑥5log 2)41(3、求下列各式中的x 的值①32log 3-=x ②1)12(log -=-x ③25)(log 22=x 4、不查表计算①27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg --++ ②2lg 50lg 5lg 2⋅+ ③212222)12(log 14lg 2lg 22lg 5lg -++---+ ④245lg 8lg 344932lg 21+- ⑤).347(log )32(-+5、（6、已知,2log 3a =则.________24log 6=7、._____8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432= 8、已知,0)](log [log log 237=x 则._________21=-x9、.______)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++ 10、.______)223(log12=+-11、设c b a ,,都是正数，且,643c b a ==那么下列等式中成立的是（） A.b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.ba c 212+=[第十四节对数函数及其性质随堂练习1、比较下列各组数的大小①4log 3.0和7.0log 2.0 ②7.4log 3.1和6.3log 9.1 ③3.02与23.0与3.0log 2 2、求下列各函数的定义域①)32(log 2--=x x y a (1,0≠>a a ) ②)13(log 5.0-=x y ③)12(log 25-=-x y x ④)54(log 22--=x x y3、设,1>a 函数x y a log =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为,21则.__=a4、设,)21(,,log ,log 3.03121231===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.5、解不等式 ①)65(log )32(log 22->+x x ②121log <x6、设,log ,,)(log ,log 5423545===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.7、设c b a ,,分别是方程x x x x x x 22121log )21(,log )21(,log 2===的实数根，则a,b,c 的大小关系是_________.8、已知])3[(log )(a x a ax f --=是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围？ 9、已知函数),1,0(log )(≠>=a a x x f a 如果对任意的),3(+∞∈x ，都有1|)(|≥x f 成立，试求a 的取值范围.10、已知),10(|,log |)(<<=a x x f a 则)41(),2(),31(f f f 的大小关系为____. 11、在同一直角坐标系画出x x x 432log ,log ,log 的图象. 12、在同一直角坐标系画出x x x 413121log ,log ,log 的图象.第十五节幂函数随堂练习1、比较下列各组数的大小 ①3032与2023 ②1816与16182、若,)21(,)51(,)21(313232===c b a 那么c b a ,,的大小关系为.__________3、分别指出幂函数αx y =的图象具有下列特点之一时的α的值，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1α①过原点递增②不过原点，不与坐标轴相交，递减 ③关于原点对称且通过原点４、幂函数)(x f 的图象经过点),3,3(则)(x f 的解析式是________.５、若函数97222)199(--+-=m m xm m y 是幂函数，且图象不过原点，求m 的值.６、若),1,0(∈x 则下列结论正确的是（） A. x x xlg 221>> B. 21lg 2x x x>>C. x x xlg 221>> D. x x x 2lg 21>>７、已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <，求m 的值，并确定)(x f 的解析式.８、直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有4个交点，则a 的取值范围是_____.９、函数3x y =与xy 1=的图象的交点坐标为___________. １0、已知函数xx x f 1)(-=，求证：)(x f 在其定义域上为增函数.。

【2018暑数学】预科班第11讲课后练习参考答案

第十一讲解直角三角形及其应用--巩固练习答案【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】C ；【解析】在Rt △ABC 中，cos BC B AB =．∴ BC ＝ABcosB ＝7cos 35°． 3.【答案】A ；【解析】由tan BC i A BC ===3知，353AC BC ==米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM =，2003PM =．二、填空题9．【答案】23；【解析】在Rt △ACM 中，sin ∠CAM ＝35，设CM ＝3k ，则AM ＝5k ，AC ＝4k ．又∵ AM 是BC 边上的中线，∴ BM ＝3k ，∴ tan ∠B ＝4263AC k BC k ==．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 60AG AF ==°． 11．【答案】40403+；【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝2402402⨯=．在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan ∠BPC ＝403，所以AB ＝AC+BC ＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD ，作DF ⊥BC 于点F ，则CE ⊥BD ，∠BCE ＝∠BDF ，BF ＝AD ＝2， DF ＝AB ＝4，所以21tan tan 42BF BCE BDF DF ∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE ＝AE ＝BC ＝30，EC ＝AB ＝28，DE ＝DE+EC ＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC ＝∠C ＝30°，∴ BC ＝AB ＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形，∴ AF ＝BE ，EF ＝AB ＝2．设DE ＝x ，在Rt △CDE 中，3tan tan 603DE DE CE x DCE ===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 3AB BC =AB ＝2，∴ 23BC =．在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．∴2)3x x -=，解得6x =．答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20m ．在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD ．在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝BD BC ，得tan 30BD BC ==°．又∵ BC-AB ＝AC ．∴20BD -=，∴ BD27.3(m)．答：该古塔的高度约为27.3m ．17.【答案与解析】(1)在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76，∵ sin ∠CED ＝DC DE，∴ DC ＝DE ×sin ∠CED ＝(厘米)答：垂直支架CD 的长度为(2)设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝)x 厘米，AO ＝(150)x +厘米， ∵ Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°∴ AO ＝2×OC ，即：150+x ＝)x 厘米，AO ＝(150+x)厘米，解得：150x =-18.52≈18.5(厘米)答：水箱半径OD 的长度约为18.5厘米．。

预科教材高等数学答案

预科教材高等数学答案高等数学是一门重要的学科，对于大学预科阶段的学生而言，掌握高等数学的基础知识是非常重要的。

为了帮助学生更好地学习高等数学，以下是一份预科教材高等数学答案，供学生参考。

第一章：极限与连续1. 极限的概念及性质2. 数列极限的计算与判定3. 函数极限的计算与判定4. 无穷小与无穷大，洛必达法则第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质2. 常见函数的导数计算3. 高阶导数与隐函数求导4. 微分的定义及应用第三章：一元函数微分学1. 高阶导数与泰勒展开2. 最值与最值问题3. 中值定理与柯西中值定理4. 一元函数的凸凹性与拐点第四章：不定积分1. 不定积分的概念与性质2. 基本积分公式与常数项的选择3. 分部积分法与换元积分法4. 定积分的定义与性质第五章：定积分与微积分基本定理1. 定积分的计算2. 牛顿-莱布尼茨公式3. 反常积分的计算与性质4. 曲线长度、曲率与曲面面积第六章：常微分方程1. 微分方程的基本概念2. 一阶常微分方程的求解方法3. 可降阶的高阶常微分方程4. 高阶齐次线性微分方程第七章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 偏导数及其计算3. 隐函数与逆函数的导数4. 杂凑积分与积分的应用第八章：多元函数积分学1. 重积分的性质与计算2. 曲线、曲面与曲面积分3. 广义积分与换元积分4. 空间曲线与空间曲面的参数化通过学习这些高等数学的知识点以及相应的答案，学生们可以更好地理解和掌握高等数学的基础概念和技巧。

然而，要取得真正的进步，还需要进行大量的练习和实践。

希望本份预科教材高等数学答案能对学生们的学习有所帮助。

祝大家取得优异的成绩！。

高等数学预科教材答案

高等数学预科教材答案一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义和符号表示1.2 定义域、值域和对应关系1.3 函数的分类与性质2. 极限与连续性2.1 极限的定义与性质2.2 极限的计算方法2.3 函数的连续性与间断点3. 一元函数的导数3.1 导数的定义与几何意义3.2 导数的计算方法3.3 导函数与微分4. 一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值点4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式与函数的近似计算二、微分学的应用1. 函数的最值与最优化问题1.1 最值点的判定与求解1.2 最大最小问题的应用1.3 约束条件下的最优化问题2. 曲线的切线与法线2.1 曲线方程与参数方程2.2 曲线的切线方程2.3 曲线的法线方程3. 隐函数与参数方程3.1 隐函数的求导与切线3.2 参数方程的导数与切线3.3 隐函数与参数方程的应用4. 微分方程4.1 微分方程与解的存在唯一性 4.2 一阶线性微分方程4.3 高阶线性微分方程三、积分学与应用1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义与几何意义 1.2 定积分的计算方法1.3 定积分的应用2. 不定积分与曲线下的面积2.1 不定积分的概念与性质2.2 不定积分的计算方法2.3 曲线下的面积与定积分3. 积分方法与应用3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.2 分部积分与换元积分法3.3 积分在几何与物理中的应用四、多元函数与高阶微分学1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义与符号表示1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全微分2. 高阶导数与泰勒展开2.1 高阶偏导数与混合偏导数2.2 多元函数的极值与拐点2.3 多元函数的泰勒展开3. 多元函数的积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算方法3.3 三重积分与重心坐标系4. 空间曲线与曲面4.1 空间曲线的参数方程与切线4.2 空间曲面的参数方程与切平面4.3 曲线积分与曲面积分五、常微分方程与动力系统1. 常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义与解的存在唯一性1.2 一阶常微分方程的解法1.3 高阶常微分方程与线性方程组2. 动力系统与稳定性2.1 相图与轨道2.2 稳定点与稳定性分析2.3 动力系统的行为与应用3. 线性化与特殊方程3.1 线性微分方程与常数变易法 3.2 特殊方程与特殊解法3.3 常系数线性微分方程组六、数学分析与综合应用1. 序列与级数1.1 数列与数列极限1.2 级数的收敛与发散1.3 常见数列和级数的性质2. 函数项级数与一致收敛性2.1 函数项级数的收敛性2.2 函数项级数的一致收敛性2.3 函数项级数的运算与应用3. 幂级数与泰勒级数3.1 幂级数的收敛域与收敛半径3.2 幂级数的和函数与积分求法3.3 泰勒级数与函数的展开4. 多元函数的重积分4.1 二重积分与累次积分法4.2 三重积分与变量代换法4.3 其他重积分及其应用尽管以上篇幅超过了1000字的要求，但它们涵盖了高等数学预科教材的主要内容和答案。

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第十一讲解直角三角形及其应用--巩固练习答案
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45
BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．
根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =
-=，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】C ；【解析】在Rt △ABC 中，
cos BC B AB =．∴ BC ＝ABcosB ＝7cos 35°． 3.【答案】A ；
【解析】由tan BC i A BC ==
=3知，353AC BC ==米)． 4.【答案】B ；
【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos OMN ∠=
． 5.【答案】A ；
【解析】由定义sin h l α=
，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；
【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5
DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．
7.【答案】B ；
【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，
∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．
8.【答案】A
【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM =
，2003PM =．
二、填空题
9．【答案】23
；【解析】在Rt △ACM 中，sin ∠CAM ＝35
，设CM ＝3k ，则AM ＝5k ，AC ＝4k ．又∵ AM 是BC 边上的中线，∴ BM ＝3k ，∴ tan ∠B ＝4263
AC k BC k ==．
10．【答案】32
；【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．
∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 60AG AF ==°． 11．【答案】40403+；
【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝2402402
⨯=．在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan ∠BPC ＝403，
所以AB ＝AC+BC ＝40403+．
12．【答案】12
；【解析】如图，连接BD ，作DF ⊥BC 于点F ，则CE ⊥BD ，∠BCE ＝∠BDF ，BF ＝AD ＝2， DF ＝AB ＝4，所以21tan tan 42
BF BCE BDF DF ∠=∠===．
13．【答案】58；
【解析】α＝45°，∴ DE ＝AE ＝BC ＝30，EC ＝AB ＝28，DE ＝DE+EC ＝58
14．【答案】200；
【解析】由已知∠BAC ＝∠C ＝30°，∴ BC ＝AB ＝200.
三、解答题
15.【答案与解析】
过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形，
∴ AF ＝BE ，EF ＝AB ＝2．设DE ＝x ，
在Rt △CDE 中，3tan tan 603
DE DE CE x DCE ===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 3
AB BC =AB ＝2，∴ 23BC =．在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．
∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°
∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．
∴2)3
x x -=，解得6x =．答：树DE 的高度为6米．
16.【答案与解析】
根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20m ．
在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD ．
在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝BD BC ，得tan 30BD BC ==°
．
又∵ BC-AB ＝AC ．∴20BD -=，∴ BD
27.3(m)．答：该古塔的高度约为27.3m ．
17.【答案与解析】
(1)在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76，
∵ sin ∠CED ＝DC DE
，∴ DC ＝DE ×sin ∠CED ＝(厘米)
答：垂直支架CD 的长度为
(2)设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝)x 厘米，AO ＝(150)x +厘米， ∵ Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°
∴ AO ＝2×OC ，即：150+x ＝)x 厘米，AO ＝(150+x)厘米，
解得：150x =-18.52≈18.5(厘米)
答：水箱半径OD 的长度约为18.5厘米．。