七年级上册数学数学预科班资料
初一数学上册预科讲义
有理数和实数第一部分第一讲有理数的基本概念1、正数像 3、1、+0.33 等的数，叫做正数。
在小学过的数，除 0 外都是正数。
正数都大于 0。
2、负数像−1、−3.12、−175 、−2012等在正数前加上“−”(读作负)号的数，叫做负数。
负数都小于 0。
0既不是正数，也不是负数。
3、相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
“相反意义的量”的含义包含两部分：相反意义，在相反意义的基础上有数量。
如：南为正方向，向南 1km 表示为+1km ，那么向北 3km 表示为−3km 。
若向东走3km 如何表示？4、有理数整数与分数统称为有理数。
凡是可以化成分数形式的数，都是有理数。
否则，不是有理数。
150.5 1.3 0.1▪23▪ 0.12▪3▪ 0.123▪3.1415926 π5、无理数无限不循环小数，如 π。
有理数分类标准：①性质 、②正负⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数正分数分数零正整数整数有理数：先性质后正负 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数非正数非负数零正分数正整数正有理数有理数：先正负后性质)(⎪⎩⎪⎨⎧小数是有理数不可化成分数形式，不—无限不循环小数理数可化为分数形式，是有无限循环小数有限小数⎭⎬⎫注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例 1：⑴下列各组量中，具有相反意义的量是( )A. 节约汽油 10升和浪费粮食B. 向东走 8 公里和向北走 8公里C. 收入 300元和支出 100元D. 身高 1.8米和身高 0.9米⑵如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下5 ℃记作( )A. −5B. −10C. −5 ℃D. −10 ℃⑶如果水位升高 4m时水位变化记为+4m，那么水位下降 3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为 200米，−150米，那么甲地比乙地高出( )A. 200米B. 50米C. 300米D. 350米⑸饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 ± 30(ml) ”字样。
初一预科班数学讲义打印稿
有理数第一章具有相反意义的量1.1学习目标：用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量； 1. 从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性； 2..理解有理数的意义，会对有理数进行分类 3.学习重点：.用正数和负数表示一对具有相反意义量学习难点：.负数概念的建立用正数、负数表示具有相反意义的量一：、10.5、125、为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用表示，例如：我们小学学过的32”-的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用表示，它是在正数前面加上“等大于0 32.、-等就是负数、.例如：3-1、-0.618（读做负）号3 .既不是，也不是（1）0 .）正数和零统称为，负数和零统称为（2（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m表示点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2. （1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类有理数的分类(1)．正整数非负数有理数正分数有理数负整数非正数有理数负分数3-0.37、9、-5.14、-1、78(2)有下列数：3.6、-，其中、0、5整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？11、2010、0、-、2.7、、-10.3、 2 -0.414、-734点拨）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，（1.要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数 .（即自然数））正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数（2 、把下列各数填入相应的大括号内例2131、-、0、-5.32.8 -24、、49、、-（-1）、-5.4 242（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测.吨吨面粉记作50吨，那么运出+200吨面粉记做200、面粉厂运进12、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为米.?0.02kg，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg 标准.4（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（）①0是整数，0是有理数②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数④0是整数，不是自然数A、4个B、3个C、2个D、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（）?）℃，请你写出适合药品保存的温度2、某种药品的说明书上标明保存温度是（720 . 1234、、-、……那么第8、有一列数：-7个数是 .5210179、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是相反数与绝对值数轴1.2数轴1.2.1学习目标：能在数轴上标出表示已知有.2. 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数.3.理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.形结合的数学思想学习重点：. 正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数学习难点：.数轴上的点与有理数之间的关系一、概念点拨）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
初一预科班数学讲义(打印稿)
第一章 有理数1.1 具有相反意义的量学习目标： 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量；2.从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性；3.理解有理数的意义，会对有理数进行分类.学习重点： 用正数和负数表示一对具有相反意义量.学习难点：负数概念的建立.一：用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用 表示，例如：我们小学学过的3、125、10.5、32等大于0的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用 表示，它是在正数前面加上“-”（读做负）号.例如：3、-1、-0.618、-32等就是负数. （1）0既不是 ，也不是 .（2）正数和零统称为 ，负数和零统称为 .（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m 表示 点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、 在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2.（1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类(1)有理数的分类(2)有下列数：3.6、-53、78、0、-0.37、9、-5.14、-1，其中整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？-0.414、-7、2.7、-31、2010、0、41、-10.3、 2点拨（1）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数.（2）正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数.（即自然数）例2、把下列各数填入相应的大括号内-24、2.8、49、-5.3、21、-43、0、-（-121）、-5.4（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测1、面粉厂运进200吨面粉记做+200吨，那么运出50吨面粉记作吨.非负数非正数正整数正分数有理数负整数负分数2、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为 米.4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg +0.02kg ，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果 标准.（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（ ）①0是整数，0是有理数 ②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数 ④0是整数，不是自然数A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（ ）7、某种药品的说明书上标明保存温度是（20+28、有一列数：-21、52、-103、174……那么第7个数是 . 9、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是1.2 数轴 相反数与绝对值1.2.1 数轴学习目标： 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数形结合的数学思想.学习重点：正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数. 学习难点： 数轴上的点与有理数之间的关系.一、概念点拨（1）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
七年级上册数学数学预科班资料
前言本资料的编写以《新课程标准》为指南，以知识与技能、过程与方法为指导思想，通过基础、提高、综合的三级训练，每一套资料都是从近几年来新课程教学中和各地区重点中学的试题中提炼出来，既有基础题，也有能力题、综合题、发散题、探究题和开放题，及具代表性，形成有特色的培训资料。
所有资料对疑难问题点拨到位，是学生正确掌握解题方法、避开思维误区，切实能够提高学生的成绩。
学生在老师的辅导下，复习旧知识、巩固新知识，学生对知识的掌握和灵活运用能力、综合运用能力有很大的提高。
教学进度安排如下：第一讲有理数的巧算第二讲有理数及其相关应用第三讲绝对值第四讲一元一次方程第五讲一元一次方程的应用第六讲一次方程综合第七讲线段、角与计数第八讲相交线与平行线第九讲图形的面积第十讲二元一次方程组第十一讲一元一次不等式和一元一次不等式组第十二讲复习 + 考试第十三讲试卷讲评 +含绝对值的一元方程与不等式说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资料，要求讲清讲透，不能盲目的赶资料的进度。
2. 为了丰富内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可以根据学生实际从中选取80分钟内容讲授，余下的部分作为同学们自由练习用。
第一讲 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．基础训练一、填空题：1、若21()302α-++=b ，则ab = .2、在数量5-，1，3-，5，2-中位数取三个相乘，其中最大的积是 ，最小的积是 .3、若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则32009()3()--=a +b cd .4、若1=-xyxy，则x 与y 号.（填“同”或“异”） 5、计算1(2)()(2)2---=÷×二、选择题：1、下列计算结果为0的是 . A 、2222-- B 、223(3)-+- C 、22(2)2-+ D 、233--×32、下列各式中正确的是 .A 、22()=-a aB 、33()=-a a C 、22=--a a D 、33=a a3、计算：1110(2)(2)-+-= .A 、2-B 、21(2)-C 、0D 、102-三、计算题： 1、3571()491236--+÷2、27211()9353---÷×(-4)3、23212(10.5)3(3)3⎡⎤⎡⎤--⨯⨯÷-⎣⎦⎢⎥⎣⎦-1-4、如果规定△表示一种运算，且a △b=2a b ab -，求：3△（4△12）的值.拓展训练1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．2．用字母表示数（选讲）我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式:(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．例6计算 103×97×10 009的值．例7计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．例8 计算：3．观察算式找规律例9计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例10计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．（）等比数列的求法错位加减法第二讲 有理数及其相关概念一．知识点拨（一）有理数的绝对值 1、绝对值的意义绝对值的定义采用了描述法：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，有理数a 的绝对值记为|a|。
【练习】初一数学预科讲义
【关键字】练习第一讲有理数的认识一.有理数的概念1.像5,1.2，，......这样的数叫做正数。
它们都比0大。
在正数前面加上“-”号的数叫做负数。
2. 0既不是正数，也不是负数。
0是正数与负数的分界点3. 我们把整数和分数统称有理数。
4. 有理数的分类:（i)按定义分类：（ii)按性质分类：注意：1、（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。
但是本节中的分数不包括分母是1的分数。
（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
2、整数包括正整数、零、负整数。
3、分数包括正分数和负分数。
第一课时1、下列说法错误的是（）A、数轴上，原点位置的确定是任意的B、数轴上，单位长度是固定不变的C、数轴上，单位长度1的长度的确定，可根据需要任意选取D、数轴的两个方向均可以无限延长2、若有理数A>b,在数轴上点A表示的数A，点B表示的数B，则有（）A、点A在点B的左边B、点A在点B的右边C、点A在原点的右边，点B在原点的左边D、点A和点B均在原点左边3、一、填空1.在-3，，-0.5，11中，正数是________________；负数是________________.2.如果+350米表示高于海平面350米,那么低于海平面200米，记作_______________.3.如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示______，物体原地不动记作________.二.选择1.小亮的爸爸开的商店昨天获利120元，他在账本上记下“120元”.今天小店亏了20元，他应记作( )A.20元B.-20元C.-20D.100元2.下列说法正确的是（）A．有理数分为正数和负数 B. 有理数分为整数和小数C．有理数分为正数.负数和0 D. 有理数分为整数和分数3.下列说法正确的个数是（）①0不是非负数；②-5.2不是整数；③正数和负数统称为有理数；④非正整数包括0和负整数；⑤没有最大的有理数也没有最小的有理数；⑥ 0是最小的有理数。
初一数学预科
博扬培训学校初一预科数学编者：周志高第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示：（ ）（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ____.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、 小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
寒假初一预科班第一节复习课PPT演示课件
5、若 x 3, y 1 是方程3x ay 8 的一个解，则a=_______
中考链接
1、-2的相反数是 （ ）【2014年乌鲁木齐中考题】
（A）-2
（B）-
1 2
（C） 1
2
（D）2
2、一件服装以120元销售，可获利20%，则这件服装的进价是（）
基本概念
四:图形初步认识
基本概念
1.我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。 2.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分 不都在同一平面内，它们是立体图形。 3.有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都 在同一平面内，它们是平面图形。 4.将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开，可以展开成平面图形， 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 5.几何体简称为体。 6.包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。 7.面与面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。 8.点动成面，面动成线，线动成体。 9.经过探究可以得到一个基本事实：经过两点有一条直线，并且只有 一条直线。 简述为：两点确定一条直线（公理）。
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 15.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘， 再把积相加。 16.有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号 得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 17.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a叫做底数，n叫做指数
4.几个单项的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母 的项叫做常数项
七年级新生数学预科班培训资料 第04讲 有理数的减法和加减混合运算
第四讲有理数的减法和加减混合运算一、目标1，理解加减法混合运算统一为加法运算的意义，学会把加减法统一成加法．2，能较为熟练地进行有理数减法的运算；3，会正确熟练地进行有理数加减混合运算，发展学生的运算能力．4，能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．本节的重点是能把加、减法统一成加法运算，二、重点、难点教学重点：1，掌握有理数减法的法则；2，把加、减混合运算统一成加法运算，并用加法运算律合理地进行运算知识难点：有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数。
三、知识要点1、温故知新1、有理数的加法法则：2、有理数的加法的交换律、结合律（用数学语言表示）3、计算：（1）16+（－25）十24＋（－35）；（2）（－2.48）＋（＋4.33）＋（－7.52）＋（－4.33）．4、小明同学前段时间就碰到过这样一个问题：某地一天的气温是一3～4℃，求这天的温差，可是他不会算，同学们能帮助他解决吗？2、教材解读1、先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4。
即X+（－3）=4，因为7+（－3）=4，所以4－（－3）=74＋（＋3)=7与4－（－3)=72、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母把法则表示为[a －b =a ＋（－b ）]3、例世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？4、计算：（－20）＋（＋3）－（－5）一（＋7）5，归纳明确“减法可以转化为加法”． 加减混合运算可以统一为加法运算，如：a ＋b －c =a ＋b ＋（－C ）．5、省略加号．式子(－20)＋（＋3）十（＋5）＋（一7）是－20,+3，＋5,－7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号和加号，把它写为－20+3+5－7，读作：“负20正3正5负7的和”，或读作“负20加3加5减7"，鼓励学生使用第一种读法；并让学生体会两种读法的区别．6、例计算：（1）（－7）－（＋5）＋（－4）－（－10）； （2）3712()()14263-+----3、综合运用1. 某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃。
七年级新生数学预科班培训资料 第06讲 有理数的除法和乘除混合运算
第六讲有理数的除法和乘除混合运算一、目标1、理解除法是乘法的逆运算；2、掌握除法法则，会进行有理数的除法运算；3、掌握有理数的乘除混合运算.二、重点、难点教学难点1、理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系2、乘除混合运算的运算技巧教学重点有理数的除法法则和乘除混合运算三、知识要点1、温故知新（1）、有理数的乘法法则：（2）、倒数和负倒数的概念（3）、用数学式子表示：乘法的结合律、交换律、分配律2、教材解读（一）1、小明从家里到学校，每分钟走50米，共走了20分钟，问小明家离学校有多远？(50×20=100)2 、放学时，小明仍然以每分钟50米的速度回家，应该走多少分钟？（100 ÷50=20）3、从上面这个例子你可以发现，有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系？4、比较大小：8÷（－4）8×（一14）；（－15）÷3 （－15）×13；（一114）÷（一2）（－114）×（一12）5、有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.思考：两数相除，同号得，异号得，并把绝对值相.0除以任何一个不等于0的数，都得例题：（1）（－15）÷（－3）； (2)（－12）÷（一16）；（3）（－8）÷（一14）（4）化简下列分数：312-= ； 1245--= （分数可以理解为分子除以分母）注意：因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.6、有理数的加减乘除混合运算，按“先乘除，后加减．．．．．．．”的顺序进行.有括号的先算括号里面的. 例题：计算： （1）－1－（－10）÷21×2 ＋（－4） （2）（－12）÷（一4）÷（一115）（3）－2.5÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯4385 （4）（－12）÷（－3）÷⎪⎭⎫⎝⎛-5113、综合运用1、已知0.19x =，0.99y =，且0xy<，则x y -=__________.2、当b <0时，a ,a －b ,a +b ,a －2b 中从小到大的顺序为___________.3、一口深井，井底有一只青蛙，这只青蛙白天沿着井壁向上爬3米，夜间又滑落2米，到了第十天的下午，这只青蛙恰好爬到井口，则这口井的深度是 .4、有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是＋7，＋3，－3，＋7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请写出一个成功的算式：______________=24.5、计算（1）109)325.0(321÷-⨯- （2）56)3(72+⨯--⨯-（3）)85()32()25.0(-⨯-÷- （4）－1＋[1124－（38＋16－34）×24]÷5.6、随着科技的发展，计算机行业近年来飞速发展，电脑的每台零售价也以每年平均20%的速度降价，如果去年一台电脑零售价为a 万元，那么现在的电脑的零售价为多少钱呢？如果去年一台电脑零售价为1.2万元，那么现在电脑的零售价大约为多少钱呢？7、为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。
初一预科数学第七讲
有理数具有相反意义的量 一、知识概述为了表示具有相反意义的量，例如―5，―2，―237，―0.7等数。
像这样的一些新数，叫做负数。
过去学过的那些数（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正数。
正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。
零既不是正数，也不是负数。
数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；正整数、负整数和零统称为整数；数32，41，885，+5.6，…叫做正分数；―97，―76，―3.5，…叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
“0”也是自然数。
二、例题解答1、―10表示支出10元，那么+50表示 ；如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作 ；如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。
比海平面高50m 的地方，它的高度记作海拨 ；比海平面低30m 的地方，它的高度记作海拨 ；2、下面说法正确的是（ ）A ．正数都带有“+”号B ．不带“+”号的数都是负数C ．小学数学中学过的数都可以看作是正数D ．0既不是正数也不是负数 3、下列说法中，具有相反意义的量是（ ）A 、体重减少5千克与身高增加2厘米B 、气温降低2度又降低4度C 、向东行走2千米与向南行走3千米D 、浪费10度电与节约3度电4、一种零件的内径尺寸在图纸上是10±0.05（单位mm ），表示这种零件的标准尺寸是10mm ，加工要求最大不超过标准尺寸 ，最小不超过标准尺寸 。
5、将下列各数填入相应的大括号里。
－9，21，0，－281，2000，＋61，103，－10.8 正数集合{}；负数集合{}6、有理数的分类①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分。
②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：7、把下列各数填入相应集合的括号内：29，―5.5，2002，76，―1，90%，3.14，0，―231，―0.01，―2，1 （1）整数集合：{ …} （2）分数集合：{ …}（3）正数集合：{ …} （4）负数集合：{ …} （5）正整数集合：{ …} （6）负整数集合：{ …} （7）正分数集合：{ …} （8）负分数集合：{ …} （9）正有理数集合：{ …} （10）负有理数集合：{ …} 三、练习巩固1、数学测验班平均分80分，小华85分，高出平均分5分记作+5，小松78分，记作 。
七年级新生数学预科班培训资料第12讲列方程解应用题
第十二讲 列方程解应用题一、目标通过本节课的学习，巩固一元一次方程的解法，掌握一元一次方程解应用题的步骤，探索问题情景中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程.二、重点、难点教学重点：1、从不同的角度来找等量关系，列方程2、列一元一次方程解应用题的步骤；教学难点：1、通过分析题意，寻找等量关系，列方程2、商品进价、商品售价、商品利润、商品利润率的关系进行学习.三、知识要点1、温故知新1、什么叫做同类项？合并同类项的方法是什么？2、解一元一次方程的一般步骤是什么？（1）、161514331=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x （2）、02.005.01.023.025.0x x -=--2、教材解读1、已知1212006)(20052-+y y x 与互为相反数，计算20062005y x +的值2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价为多少？3、小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔可以跑3圈。
一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇。
求两人的速度。
第二天小王打算和叔叔同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇。
你能先给小王预测一下吗？3、综合运用1、一只轮船在相距80千米的两码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需5小时，那么水流速度是每小时________千米.2、某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是________.3、有含盐8%的盐水40千克，加x千克盐变为含盐20%的盐水，所列方程为_________.4、方程2(x－3)(x+4)=0的根是_________.5、一年级有学生a人，已知男生比女生多b人（a﹥b），则男生有_____人,女生有______人.6、哥哥对弟弟说“我是你现在的年龄时，你才只有5岁，而现在我已经31岁了”，问现在弟弟的年龄是________.7、某产品现在的成本是每件51元，比原来的成本降低了25%，原来的成本是________元.8、有甲、乙两种学生用写字本，甲种写字本的单价是0.25元，乙种写字本的单价是0.28元.两种写字本共卖了100本，卖了26.65元，问两种写字本各卖出多少？9、杨洋的妈妈在家附近超市（不用坐车）买了10瓶酸奶，但她在“家乐福”食品超市内发现同样的酸奶，在这里买比家附近超市买每瓶便宜0.2元，于是她又用同样多的钱买了一些酸奶，正好比在家附近多买2瓶，问：（1）杨洋妈妈每次买酸奶用的钱是多少？两家超市每瓶酸奶的价格分别是多少？（2）若她只买10瓶酸奶，去掉公交费往返2元钱，在哪家超市购买合算？10、某服装个体户在进一批服装时，进价按原标价打七五折，他打算对该批服装标一新价格写在价目卡上，并注明降价20%销售，这样仍可获得25%的纯利，问这个个体户给这批服装定的新标价和原标价之间的关系？11、如图为一块在电脑屏幕上出现的色块图，由6个颜色不同的正方形拼成的长方形，如果中间最小的正方形边长为1，求所拼成的长方形的面积。
第7讲.初一预科班.学生版
3
2
易错点分析
易错点 1——一元一次不等式：
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式.例如 2x > 5 是一个一元一次不等式.
易错点 2——不等式解（解集） 不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如： −4 ， −2 ， 0 ，1， 2 都是不
演练5
⑴ （2008 年上海市中考试题）不等式 x − 3 < 0 的解集是
．
⑵ （2007 北京五中分校学初一月考试题第 2 题 3 分）使不等式 x − 5 > 4x −1成立的值中最大
的整数是（ ）
A．0
B． −2
C． −1
D．2
⑶ （2008 北京市八一中学初一期中考试第 10 题 2 分） 不等式 5x − 2 ≤ 8 的所有正整数解的
如果 a < b ，并且 c < 0 ，那么 ac > bc （或 a > b ） cc
注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．
⑵ 在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式 3 > 2 为例，在
不等式 3 > 2 两边都乘同一个数 a 时，有下面三种情形：
和是：_______.
演练6 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
⑴ 3 − 7x < 12 − 5(x −1)
⑵ 0.5x + 2(1 − 0.3x) > 0.4x − 0.6
演练7 求不等式 3x − 2 − 9 − 2x ≤ x −1 的非负整数解．
3
4
2
演练8 当 x 取何值时，代数式 5(x −1) − 2(x − 2) 的值大于 x + 2 的相反数．
第1讲.初一预科班.教师版
|初一预科班·第1讲·教师版| 1【建议：老师要先把基本概念讲透后再进行例题讲解与练习，根据本班的具体情况选讲例题即可，实战演练即作业．】一、有理数六大基本概念Ⅰ：正数、负数及有理数概念随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6℃和零下4℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像1−、 3.12−、175−、2008−等在正数前加上“−”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数. 一个数字前面的“+”，“−”号叫做它的符号.正数前面的“+”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km −.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 第一讲有理数之六大必考概念知识点睛|初一预科班·第1讲·教师版| 2()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩有限小数可化成分数形式,是有理数小数无限循环小数无限不限循环小数---不可化成分数形式,不是有理数Ⅱ：数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：|初一预科班·第1讲·教师版| 3有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.Ⅲ：相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0． 相反数必须成对出现，不能单独存在．例如5+和5−互为相反数，或者说5+是5−的相反数，5−是5+ 的相反数， 而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开． 例如3+与3−互为相反数，而3+与2−虽然符号不同，但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“−”号即可．一般地，数a 的相反数是a −；这里以a 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a −不一定是负数．当0a >时，0a −<；当0a =时，0a −=；当0a <时，0a −>.⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=， 反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个“−”号，也可以把“−”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“−”号，则化简后只保留一个“−”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“−”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.Ⅳ：绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5−符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：|初一预科班·第1讲·教师版| 4①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩ ②(0)(0)a a a a a ⎧=⎨−<⎩≥ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨−⎩≤ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =Ⅴ：倒数、负倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数. a ，b 互为倒数，则1a b ⋅=；反之亦然.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； 互为倒数的两个数的乘积一定是1；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可(正整数可以看作分母为1的分数) 负倒数：乘积为1−的两个数互为负倒数.a ，b 互为负倒数，则1a b ⋅=−.反之亦然.二、有理数大小的比较数轴上的数，右边的数总大于左边的数． 正数大于0，负数小于0，正数大于负数 两个负数，绝对值大的反而小两数比较大小，可按符号情况分类：0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0注☆“0”的9种说法：（1）既不是正数也不是负数的数． （2） 最大的非正数． （3） 最小的非负数．（4） 与其相反数相等的数． （5） 最小的非负整数． （6） 最大的非正整数． （7） 最小的自然数．（8） 绝对值最小的有理数． （9）没有倒数的数．【建议】更多的说法教师可自行补充．|初一预科班·第1讲·教师版| 5【例1】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶3−，0；⑷ D ；⑸ “()60030mL ±”表示每瓶饮料容量最小可以是()60030mL −，最大可以是()60030mL −，抽出的5瓶容量均在()60030mL −与()60030mL +之间，因此合格．【例2】【例3】 10【例4】 ⑴ √；⑵×；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×．先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的数大，故 113.510 2.54522−<−<<<<<+ 【例5-例10】C ； 3±1− 1−，0，1，2 选D 7−【例11】 C 【例12】 ⑴ ()a a −+=−，正数；⑵()a a −−=，负数；⑶ ()a a −+−=⎡⎤⎣⎦；⑷ a −，正数；⑸ (){}a a −+−−−⎡⎤⎣⎦【例13】 ⑴ 37−，12a ；⑵ 2−，4b −−；⑶ 4−；⑷ 5，a b −−，7bc −+−【例14】 选A 6 【例15】 ⑴ 1.5−；⑵ 0，1±，2±，3±【例16】 5m n +=，1m =，4n =，有()14，，()14−，，()14−，，()14−，；若2m =，3n =，有()23，，()23−，，()23−，，()23−−，；若3m =，2n =有()32−，，()32，，()32−，，()32−−，；若4m =，1n =有()41，，()41−，，()41−−，，()41−，，所以16组．【例17】 ∵20x −≥，30y −≥，要使230x y −+−=，当且仅当20x −=且30y −=，有2x =，3y =则6xy =；变型70x y +−=，根据绝对值的非负性，有0x =，7y =，∴0xy =例题答案-11 2.510432543210|初一预科班·第1讲·教师版| 6【例18】 数轴上右边的数总比左边的数大，0a c −>，0a b +<，0b c +<，原式()0a c a b b c =−+−−++= 【例19】 ⑴ x ，原点，=；⑵ 1；⑶ x ，3，2x =或4；⑷ x ，2−，0x =或4− 【例20】 A 【例21】 D 【例22】 > 【例23】 4−，3− 【例24】 经分析a ，b ，a −，b −在数轴上表示如图所示：数轴上右边的数总比左边的数大，所以a b b a <−<<−，选C ．演练1-5 C C D C B演练6 属于负数的有： 4.5−，12−，0.313− ，11−；属于非负有理数：6，0，2.4 ，3.14 演练7 B 演练8 3−演练9 4−或2−演练10 小虫前6s 共爬行12个单位长度；B 点到A 点的距离为3个单位长度；B 点对应折数是2．BA131演练11 a −演练12 他们的相反数分别是：3，2，3−，0，1−， 2.5−．如图：-0323 演练13 C 演练14 B 演练15 A 演练16 D 演练17 B 演练18 D演练19 D演练20 3.5，3.5，27−演练21 ⑴ A ；⑵ 3−，2−，1−，0，1；⑶ >，>挑战1 ②⑤挑战2⑴-百货大楼⑵ ()4 4.58.5−−=（千米）⑶ 4 1.510 4.520+++−+−=（千米）200.051×=(升)大比拼答案演练答案b -ab a 0。
第5讲.初一预科班.教师版
|初一预科班·第5讲·教师版| 1等式的概念及性质等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．等式的类型：恒 等 式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x += 需要1x =才成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，11x x +=−．等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．若a b =，则a c b c ±=±．等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式．若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a bc c=．注意点：⑴ 在等式变形的过程中，等式两边必须同时进行． 即：同时加或减，同时乘以或除以，不能漏掉某一边．⑵ 在运用等式的性质2时，应注意：不能在等式的两边同时除以0，因为0不能作除数． ⑶ 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =．等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．方程的有关概念方程：含有未知数的等式．即：①方程中必须含有未知数；②方程是一个等式，但等式不一定是方程． 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 解方程：求方程的解的过程．注意点 1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 注意点 2：方程的解的检验：要验证某个数是不是方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如50x +=中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示．第五讲一元一次方程的解法及应用知识点睛|初一预科班·第5讲·教师版| 2未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c −=中，a 、2b −、c 是已知数，x 、y 是未知数．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．一元一次方程的最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式． 一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．注意：⑴ 任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=−是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．⑵ 对于方程ax b =与方程()0ax b a =≠，方程ax b =的解要分类讨论．①当0a ≠时，方程的解是bx a=；②当0a =且0b =时，方程的解是任意数；③当0a =且0b ≠时，方程无解．一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤： ⑴去分母； ⑵去括号； ⑶移项； ⑷合并同类项； ⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。
新初一预科数学讲义
目录第一讲数系的第一次扩充有理数概念 (4)有理数的表示----数轴 (9)第二讲相反数与绝对值相反数 (14)绝对值 (16)第三讲有理数的加减有理数的加法 (21)有理数的减法及加减混合运算 (25)第四讲有理数的乘除有理数的乘法 (30)有理数的除法 (32)第五讲有理数的乘方 (34)第六讲有理数的混合运算 (38)第七讲整式的概念及加减运算代数式及其运算 (41)单项式 (45)多项式 (47)第八讲整式的加减运算同类项及加减运算 (50)第九讲一元一次方程（一） (55)第十讲一元一次方程（二） (60)七年级数学单元检测题....................................63 第十一讲丰富的图形世界 (67)第十二讲平面图形及其位置关系 (78)第一讲数系的第一次扩充学习目标1.认识负数，理解有理数的定义、分类2.通过反复对比练习掌握正数，负数，数轴的概念，并能解决实际问题。
学习重点1.与有理数有关概念的区分认识。
2.数轴的认识与应用。
知识框架图（你会画吗？）专题一有理数概念加减乘除的估算；会使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算)提问：生活中具有相反意义的量怎么表示？下面的问题该如何解决？（1） 温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？（2） 海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？（3） 生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？2、 教材知识梳理负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数【知识点1】正数与负数的概念（一）正数：像5，1.2，13....这样的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
按符号分类：0, 5.2⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎩⎩有理数负整数：如-1，-2,- 3，…负有理数11负分数：如-，-，…23 按定义分类：,5.2, 5.2⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩⎩正整数：如1，2, 3，…整数0负整数：如-1，-2,- 3，…有理数11正分数：如，，…23分数11负分数：如-，-，…23 【例1】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－32,28,0,4,513,－5.2. 整数集合{}负数集合{}负分数集合{}非负正数数集合{}【基础练习】1、零下30C 记作（）0C ；（ ）既不是正数，也不是负数。
第7讲.初一预科班.教师版
|初一预科班·第7讲·教师版| 1不等式的基本概念及性质易错点1——不等式不等式：利用不等符号连接的式子叫不等式．不等号包括：“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”． 例如：52−<−，314a +>−+，10x +≤，210a +>，0x ≥，35a a ≠等都是不等式． 注意：不等式32≥成立；而不等式33≥也成立，因为33=成立，所以不等式33≥成立．易错点2——不等式的性质基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >（或a bc c >）如果a b <，并且0c >，那么ac bc <（或a bc c<）基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <（或a bc c <）如果a b <，并且0c <，那么ac bc >（或a bc c>）注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．⑵ 在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式32>为例，在不等式32>两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形： ① 如果0a >，那么32a a >； ② 如果0a =时，那么32a a =； ③ 如果0a <时，那么32a a <．不等式具有互逆性和传递性：不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．知识点睛第七讲 不 等 式|初一预科班·第7讲·教师版| 2易错点3——不等式的性质与等式性质的对比：等式的性质 不等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是０），所得结果，仍是等式． 两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不能除以０ 而不等式性质中，不等式两边不能乘以０，也不能除以０一元一次不等式易错点1——一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.例如25x >是一个一元一次不等式.易错点2——不等式解（解集）不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4−，2−，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集． 一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．其中x 是未知数，a ，b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b <或ax b >（0a ≠）叫做一元一次不等式的标准形式．易错点3——解一元一次不等式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．|初一预科班·第7讲·教师版| 3一元一次不等式组易错点1——一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．例如1302841x x x ⎧−⎪⎨⎪+<−⎩≥是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必须是两个或两个以上；另外，这里的几个一元一次不等式必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次方程组了，例如，不等式组24x y >⎧⎨<⎩中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但在这个不等式组中，未知数共有两个，所以这个不等式组不是一元一次不等式组．易错点2——一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不 等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．易错点3——解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．a b >）|初一预科班·第7讲·教师版| 4【例1】 ⑴0a >； ⑵0a ≥； ⑶0a ≤；⑷0x y −<； ⑸1a −≤； ⑹48m ≥； ⑺133x x ≤；⑻ 102q q −−≤【例2】 ⑴不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；⑵不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑸不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．【例3】根据题意可得0a >、0b <、0c =，所以选择B ． 【例4】D 【例5】A 【例6】不等式所有解组成这个不等式的解集当未知数等于某个值，且该值在这个不等式的解集的范围内，则它是不等式的一个解，否则不是这个不等式的解．选A ．【例7】需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．(1)1.5(2)(3)【例8】不等式32x −<≤的所有整数解为2−、1−、0、1、2，故所有整数解的和为0． 【例9】A 【例10】 ⑴1x ≥； 1⑵，2，3. 【例11】 ⑴3x >．⑵解：去括号，得51286x x −−≤．移项，得58612x x −−+≤． 合并，得36x −≤．系数化为1，得2x −≥．⑶4x −≥ ⑷2x ≤；正整数解1，2.【例12】根据题意，列不等式得：2315x x −−−≤，解得：4x ≥．【例13】解方程得625m x −=，根据题意：得0x ≥，∴6205m−≥，解得3m ≤．满足题意的正整数m 的值是1，2，3．【例14】⑴ D ⑵ C【例15】 ⑴14x −<≤； ⑵23x −<<； ⑶542x <≤； ⑷21x −<−≤ ⑸5x >【例16】依题意列不等式组，3800x x >−>，解得2080x <<．例题答案|初一预科班·第7讲·教师版| 5演练1 ⑴C ； ⑵30%(5)2x +−≤．演练2 让学生说明每一步的依据． ⑴<； ⑵<； ⑶>； ⑷>． 演练3 选择C ，正确应为22ac bc ≥． 演练4 选择D ．演练5 ⑴ 3x <；⑵ C ；⑶ 3演练6 ⑴7x >−，图略； ⑵265x <，教师可再问学生，此不等式的非负整数解为？其非负整数解为0，1，2，3，4，5．图略．演练7 解不等式组得2912x ≤，所以其非负整数解为0，1，2．演练8 由题意可列不等式为：5(1)2(2)(2)x x x −−−>−+，解得14x >−．演练9 由0abcd >得a 、b 、c 、d 中负数的个数为0个、2个或4个，又0a b c d +++>，所以最多 有2个负数，选择B ．演练10 ⑴ 13x −<≤；⑵12x −<≤，图略．演练11 不等式组的解集为：13x <<，整数解为2； 演练12 0x ≥；演练13 设八戒买了x 个西瓜，则35845x ×+≤，解得154x ≤，故八戒至多买3个西瓜．挑战1 ⑴列出方程组2743x y m x y m +=+⎧⎨−=−⎩得325x m y m=+⎧⎨=−⎩，由题意得253m −<<．⑵253m −<<，320m +>，50m −<，∴32532543m m m m m +−−=++−=−．挑战2 设需要B 型车x 辆，由题意得20515300x ×+≥，解得1133x ≥．由于x 是车的数量，应为正整数，所以x 的最小值为14．答：至少需要14台B 型车．大比拼答案演练答案|初一预科班·第7讲·教师版| 6【教师备选1】 如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ）A ．a b −>−B ．11a b< C ．2a b b +> D ．||||a b < 【解析】 选择C ．【教师备选2】 当x 为何值时，代数式2113x +−的值不小于354x+的值？【解析】 依题意，得2135134x x ++−≥，解得177x −≤．【教师备选3】 2(20)203(34)2521623x x x x x −+−+⎧⎪−+⎨<⎪⎩≥ 【解析】2x ≤．【教师备选4】 已知方程组35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩的解x 与y 的和是负数，求k 的取值范围． 【解析】 解方程组，得264x k y k =−⎧⎨=−⎩，∵0x y +<，∴2640k k −+−<，解得2k <．【教师备选5】 （2007北京市第二中学分校期中质量检测第29题5分）若方程组3223x y ky x +=⎧⎨−=⎩的解满足1x <且1y >，求k 的整数解．【解析】 512k −<<；012k =，，【教师备选6】 已知关于x 的不等式(2)50a b x a b −+−>的解集是107x <，解不等式350ax b +>． 【解析】 ∵(2)5a b x b a −>−的解集为107x <，可得20a b −<，且52b a x a b −<−，∴51027b a a b −=−，解得35b a =，∴3722055a a b a a −=−=<，即0a <．∴不等式350ax b +>的解集为513b x a <−=−．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
前言本资料的编写以《新课程标准》为指南，以知识与技能、过程与方法为指导思想，通过基础、提高、综合的三级训练，每一套资料都是从近几年来新课程教学中和各地区重点中学的试题中提炼出来，既有基础题，也有能力题、综合题、发散题、探究题和开放题，及具代表性，形成有特色的培训资料。
所有资料对疑难问题点拨到位，是学生正确掌握解题方法、避开思维误区，切实能够提高学生的成绩。
学生在老师的辅导下，复习旧知识、巩固新知识，学生对知识的掌握和灵活运用能力、综合运用能力有很大的提高。
教学进度安排如下：第一讲有理数的巧算第二讲有理数及其相关应用第三讲绝对值第四讲一元一次方程第五讲一元一次方程的应用第六讲一次方程综合第七讲线段、角与计数第八讲相交线与平行线第九讲图形的面积第十讲二元一次方程组第十一讲一元一次不等式和一元一次不等式组第十二讲复习 + 考试第十三讲试卷讲评 +含绝对值的一元方程与不等式说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资料，要求讲清讲透，不能盲目的赶资料的进度。
2. 为了丰富内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可以根据学生实际从中选取80分钟内容讲授，余下的部分作为同学们自由练习用。
第一讲 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．基础训练一、填空题：1、若21()302α-++=b ，则ab = .2、在数量5-，1，3-，5，2-中位数取三个相乘，其中最大的积是 ，最小的积是 .3、若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则32009()3()--=a +b cd .4、若1=-xyxy，则x 与y 号.（填“同”或“异”） 5、计算1(2)()(2)2---=÷×二、选择题：1、下列计算结果为0的是 . A 、2222-- B 、223(3)-+- C 、22(2)2-+ D 、233--×32、下列各式中正确的是 .A 、22()=-a aB 、33()=-a a C 、22=--a a D 、33=a a3、计算：1110(2)(2)-+-= .A 、2-B 、21(2)-C 、0D 、102-三、计算题： 1、3571()491236--+÷2、27211()9353---÷×(-4)3、23212(10.5)3(3)3⎡⎤⎡⎤--⨯⨯÷-⎣⎦⎢⎥⎣⎦-1-4、如果规定△表示一种运算，且a △b=2a b ab -，求：3△（4△12）的值.拓展训练1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．2．用字母表示数（选讲）我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式:(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．例6计算 103×97×10 009的值．例7计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．例8 计算：3．观察算式找规律例9计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例10计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．（）等比数列的求法错位加减法第二讲 有理数及其相关概念一．知识点拨（一）有理数的绝对值 1、绝对值的意义绝对值的定义采用了描述法：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，有理数a 的绝对值记为|a|。
2、去绝对值符号的法则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||时当时当时当a a••a •••a a•••a根据绝对值的意义，应抽象出一个很重要的性质：|a|≥0，即a 的绝对值为非负数，零的绝对值最小。
3、绝对值的几何意义|a|的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离。
|a-b|的几何意义是：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离。
（三）有理数大小的比较我们知道，负数<0<正数，而两个负有理数比大小，绝对值大的反而小。
（四）有理数的运算 1、有理数运算（1）对有理数的四则运算法则，应注意：要本着“先定符号，后绝对值”的顺序运算，养成良好习惯。
（2）有理数运算仍然满足加法两大定律和乘法三大定律，请同学们自觉运用这些定律，使计算过程更合理更简便。
2、定义新运算定义新运算指我们给定的一些运算，这些运算中指定了符号的含义，只须根据其含义运算即可。
基础训练1.平方等于本身的数是 。
2.前进3米记作+3米，那么后退5米记作 。
3画.一个数轴应具备三点，这三点是 ， ， 。
4.如果2-a +2)1(+b =0，那么=a ，=b 。
5.计算：1－2+3－4+…99－100= 。
6．27-= ，—（—7·6）= 。
7．比较大小：—(—5) —5-， —3.5 —4.8．武胜县人口大约为810000人，用科学计数法表示为 人。
9．倒数等于本身的数是： 。
10．在自然数中，前50个奇数的和减去前50个偶数的和的差是（ ）11.已知：x=3，y=2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5B 、1C 、5或1D 、—5或—112. 当b 为何值时，10-12-b 有最大值，最大值是多少？13.已知2)1(,22-=+y x =4，求：x+y 的值。
14、有理数a ，b ，c 的位置如图所示，计算：|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|拓展训练 例1、9998,19991998,9897,19981997----这四个数由小到大的排列顺序是（ ） A 、999819991998989719981997-<-<-<- B 、989799981998199719991998-<-<-<- C 、199919981998199799989897-<-<-<-D 、199819979897199919989998-<-<-<-例2、已知a ，b ，c 都是负数，并且0||||||=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A 、负数B 、非负数C 、正数D 、非正数那么，购买每种教具一件共需多少元？拓展一：已知X+2Y+3Z=10 4X+3Y+2Z=15 求X+Y+Z= B例4、3个有理数a 、b 、c 两两不等，那么ba ac a c c b c b b a ------,,中有 个是负数。
例5、设三个互不相等的有理数，即可表示为1、a+b 、a 的形式，又可表示为0、ab 、b 的形式，求20001999b a +的值。
例6、三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bcbc ac ac ab ab c c b b a a x ||||||||||||+++++=，则123+++cx bx ax 的值是多少？例7、若a 、b 、c 为整数，且1||||9919=-+-a c b a ，试计算||||||c b b a a c -+-+-的值。
第三讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．例5 若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x ，求x+y 的值．例6 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．计算巩固：)712()324()2(-⨯-÷- ； 211)161(2)2()1(332002÷-⨯--⨯-36)659718743(⨯-+- 330152412189126631510128966432⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯第四讲 一元一次方程一、知识点拨1、 称为方程。
2、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程称为 。
3、绝对值符号内含有未知数的方程称为 。
4、依据方程中未知数的个数，方程可分为：一元方程、二元方程、三元方程；依据方程中未知数的最高次数，方程又可分为：一次方程、二次方程、三次方程等。
5、一元一次方程是最简单的方程，也是最基本的方程，解方程最终都化归为解一元一次方程。
6、使方程左边和右边相等的未知数的值称为 ，求方程的解的过程称为 。
7、解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式ax=b ； （5）方程两边同除以未知数的系数。
解一元一次方程没有固定的步骤，去分母与去括号是因题而异，灵活掌握。
但是，不管采取什么顺序，都要保证正确地运用各种运算法则，以及同解原理，使得到的方程与原方程同解。