江苏南京市第九中学2011届高三期中考试数学试卷

（第9题图）

江苏南京市第九中学2011届高三数学期中考试

一．填空题：(5′×14) 1．已知a 是实数，

1a i

i

-+是纯虚数，则=a __________________; 2．若集合2{|90}A x x x =-<，⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧∈∈=*Z y

Z y y B 4|且，则集合A B 的元素个数为 .

3．在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，[)b a ,是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则b a -=________________;

4．在圆中有结论“如图，AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A 、B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则由PO 2＝PC ·PD ．”类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆中的中心，F 1，F 2是椭圆的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P

5．幂函数α

x y =，当α取不同的正数时，在区间[]1,0上它们的图像是一族美丽的曲线（如

图）．设点)1,0(),0,1(B A ,连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数β

αx y x y ==,的图像三等分，即有.NA MN BM ==那么，αβ=______;

6.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AA 1，AB ，CC 1的中点，给出下列3对线段所在直线：①D 1E 与BG ； ②D 1E 与C 1F ；③A 1C 与C 1F ．其中，是异面直线的对数共 有 对 7．设双曲线

22

221(0)x y

a b a b

-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l 的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率______; 8．已知函数)(3)(3

R a ax x x f ∈-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围_ ;

B

D

D

B C D A

1 A B 1

C

1 D

1 （ 第6 题 ）

E

G F

9.如图，运行该流程图的结果是____________;

10.已知)0,3(-A )3,0(B ，O 为坐标原点，C 在第二象限，且 30=∠AOC ，

OB OA OC +=λ，则实数λ的值为_______.

11.用红、黄两种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“有同一个面上的三个顶点同色”的概率等于______．

12．若函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时2()1f x x =-,函数

()()(

)lg 010x x g x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,10-内零点的个数为

_______;

13．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3%mg/ml,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少40%，为了保障交通安全，某地根据《道路安全法》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08% mg/ml,那么喝了少量酒后的驾驶员，至少 小时后才能开车（精确到1h ）.

14.已知正数x ，y 满足(1＋x )(1＋2y )＝2，则4xy ＋1

xy

的最小值是 ．

二．解答题：14′×2+15′×2+16′×2，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本题满分14分)

已知ABC ∆中，21,,3

AC ABC BAC x π

=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅ ． （1）求()f x 解析式及定义域； （2）设()6()1g x m f x =⋅+ (0,

)3

x π

∈，是否存在实数m ，使函数()g x 的值域为3

(1,]2

？

若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．

16．（本题满分14分）

在长方体1111ABCD A B C D -中，

2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的

一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为

40

3

. （1）求1A A 的长；

（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直， 如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.

17.（本题满分14分）

某地产开发公司拟在如图所示夹角为︒60的角形区域BAC 内进行地产开发. 根据市政 要求，此地产开发必须在角形区域的两边之间建一条定长为500m 的绿化带PQ ，并且规定 由此绿化带和角形区域围成的APQ ∆的面积作为此开发商的开发面积. 问开发商如何给

Q P ,进行选址，才能使自己的开发面积最大？并求最大开发面积.

18．（本小题满分16分）

已知221(5)5(13)C x y A ++=- :，点，． （Ⅰ）求过点A 与1C 相切的直线l 的方程；

（Ⅱ）设21C C 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切

P 的坐标；若不存在，试说明理由．

19. （本小题满分16分）

已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 2

3n – 1

(n ∈N *).

⑴求数列{a n }的最大项；

⑵设b n = a n + p

a n – 2

，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；

⑶设*,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，

p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.