基于图像的小波变换

基于图片的小波变换

研硕13-13张佳浩

0 引言

在经典的信号分析理论中,傅里叶理论是应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但它只是一种纯频域的分析方法,不能提供局部时间段上的频率信息。随后的短时傅里叶变换STFT，虽然可以同时分析时域和频域信息,但是由于STFT的固定时窗,对于分析时变信号是不利的。这是因为时变信号中的高频一般持续时间很短,而低频持续时间比较长,所以都希望对高频信号采用大的时窗,对低频信号采用小的时窗进行分析。小波变换正是在这样的背景下发展起来的。近年来,小波变换作为一种变换域信号处理方法,得到了非常迅速的发展,在信号分析、图像处理、地震勘探和非线性科学等诸多领域得到了广泛的运用。小波理论为各种信号及图像处理方法提供了一种统一的分析框架,成为当前信号与图像处理等众多领域的研究热点。当前对数字图像进行多分辨率观察和处理时，离散小波变换（DWT）是首选的数学工具。除了具有有效、高度直观的描述框架以及多分辨率图像存储之外，DWT还有利于我们深入了解图像时域和频域特性。

1 小波变换

小波变换是一种窗口大小固定不变,但其形状可以改变的局部化分析方法。小波变换在信号的高频部分可以取得较好的时间分辨率;在信号的低频部分,可以取得较好的频率分辨率,从而能有效地从信号(如语音、图像等)中提取信息。

小波变换分为以下两种:

1.1 连续小波变换

引言中提到的短时傅里叶变换(STFT),其窗口函数是通过函数

时间轴的平移与频率限制得到的,由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言,需要时频窗口具有可调的性质,即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性,而在

低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此,特引入窗口函数,并定义平方可积分函数的连续小波变换为:

(1)

式中:a称为尺度参数;b称为平移参数。很显然,并非所有函数都能保证式(1)中的变换对于所有均有意义;另外,在实际应用中,尤其是信号处理以及图像处理的应用中,变

换只是一种简化问题、处理问题的有效手段,最终目的需要回到对原问题的求解,因此还要保证连续小波变换存在逆变换。同时,作为窗口函数,为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰

减特性,经常要求函数具有如下性质:

式中:C为与x,ω无关的常数;ε>0。

1.2 离散小波变换

进行数字信号处理时要采用离散化处理。离散小波变换针对尺度参数a、平移参数b进行离散化,最常用的是二进制动态采样网络,每个网格点对应的尺度为2j,平移为2jk,即:

(2)

该离散化小波称为二进制小波。

二进制小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一开始选择一个放大倍数,它对应为观测信号的某部分内容。如果想进一步观看信号的更小细节,则需要提高放大倍数,即减小j 值。在这个意义上讲,小波变换被称为数学显微镜。

2 Daubechies小波

Daubechies小波简称db小波，是由法国学者Daubechies Ingrid于20世纪90年代初提出并构造的一系列二进制小波，常表示为dbN，dbN中的N表示db小波的阶次，当N=4时，尺度函数φ(t)及小波函数ψ(t)的时域、频域波形如下：

3 利用小波变换处理图像

小波变换是对传统傅里叶变换的集成和发展,其多分辨率分析具有良好的时频特性。对高频采用逐渐精细的时域步长,可以聚焦到分析对象的任意细节,因此特别适合于图像信号这一类非平稳信号的处理,已成为一种图像处理的新手段。

3.1 图像的离散小波变换

图像离散小波快速分解的迭代计算过程如下:

原始图像经过高通和低通滤波器，按列2倍抽取后再滤波，滤波后的信号按行2倍抽取，得到4个较低分辨率的分量。是通过两个低通滤波器产生的，因而称为近似系数，、、分别是水平、垂直和对角线细节系数。

上图是用db4作为小波函数，对图像进行一阶小波变换、二阶小波变换、三阶和四阶小波变换后的图像，图中左上角显示的是近似系数，按顺时针方向显示的依次是水平、对角线和垂直细节系数。

3.2 图像的离散小波反变换

离散小波反变换的计算过程如下：

在图示的迭代运算中，都对4个尺度j 近似和细节子图像上取样（通过在每两个元素间插入零），并通过两个一维滤波器（一个执行子图像的列操作，另一个执行行操作）进行卷积操作。结果相加产生了尺度j+1近似，这个过程会一直重复，直到原图像被重构为止。

3.2.1 图像的模糊处理

许多场合下需要对图像进行模糊处理，实现信息的保密性。利用小波变换将图像分解之后，在做逆变换重构图像时，将各级细节系数依次设置为零，仿真结果如下：

上图是对图像进行四级小波分解后模糊重构的结果，显示的依次是分别将第四级到第一

级的三个细节系数置零的结果，从图中可看出图像的分辨率越来越低，实现了模糊的效果。

3.2.2图像的渐进重构

上图是利用第四级分解的近似系数矩阵分别与第四级到第一级的细节系数矩阵进行离散小波逆变换产生的，图中显示的依次是第四级近似系数小波图像、一次重构后的图像、二次重构后的图像、三次重构后的图像，从图中可明显的看出图像的分辨率在逐渐提高。

图像在数据库中存储时，如果是对图像的数据进行存储，会占用很大的存储空间，利用本文所提供的处理方法对图像进行分解，把图像的多尺度分解进行存储，则会大大减少存储空间。当浏览一个远程图像数据库来寻找一幅指定的图像时，数据库将图像的各个分量依次传输到我们的终端设备上，终端显示设备依据接收到的数据，逐渐建立最终的高分辨率图像的一个更高分辨率的近似（基于用户的需要），这种方法还能够降低传输线路和传输设备的负载，大大提高传输速率。

4结语

本文对小波变换进行了简单介绍，并给出了离散小波变换在图像处理中的简单应用，实现了图像的分解和重构，通过对分解出的细节系数进行处理，实现了不同的模糊重构与渐进重构过程，有一定的实用意义。