导数的基本公式及运算法则习题课
高中数学 导数的运算
y =
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
=
lim
x0
4(
x
x) x
4
x
= lim 4 = 4. x0
(2x)=2. (3x)=3. (4x)=4.
y y=4x y=3x
4 y=2x 3 2
o1 x
练习: (课本13, 14页 “探究”)
1. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=2x,
y=3x, y=4x 的图象, 并根据导数定义, 求它们的导数.
导数的运算法则(第二课时)
几个常用函数的导数
返回目录
1. 常数函数, 正比例函数, 反比例函数, 幂函数等的导数各是多少?
2. 以上函数的导数与图象、函数性质各 有什么关系?
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以
下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何?
(1) y=c (c为常数);
y=x2y o
(3) y=x2;
(4)
y
=
1 x
;
(5) y = x.
(3) y=x2,
y
x
= = =
lim
x0
lim
x0
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x x) x
f
(
(x x)2 x2
x x2 2x(x) (x)2 x2
x
x)
几何意义: 当 x<0 时, 切线的斜率为 负, 且逐渐增大;
4. 若 f(x)=cos x, 则 f (x)= sin x;
5. 若 f(x)=ax, 则 f (x)=ax lna;
(完整版)导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则一、教学目标： 1．知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x（二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，xv x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）xx y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xxy +-=。
第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
导数的概念习题课
丝罕见，那种粗俗的墨蓝色鸵鸟模样的神态好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。…………那个身穿狼狈的灵冰衫的大叔是
娜哥瓜乌
保镖。他出生在Ｄ．勒西日世界的钢条湖，绰号：八腿病鬼！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十
多公斤。此人最善使用的兵器是『紫风摇精牛肝矛』，有一身奇特的武功『蓝雨蚌圣剃须刀爪』，看家的魔法是『黄影缸魔钢筋语录』，另外身上还带
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率 ,它 反映了 因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以
x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
四、导函数
如果函数y f (x)在区间(a ,b)內每一点都可导，就说 函数y f (x)在区间(a,b)內可导。这时，对于(a,b)內每一
个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率 ,即
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
x
若f (x0)存在, 过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所 代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化 率的本质
2. f
'(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
导数计算习题课
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
习题课(导数与微分)
利用 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必定连续，从而有 − + a + b = 1 = 1 (a + b + 1) f (1 ) = f (1 ) = f (1) 2 即 a=2 ′ ′ f − (1) = f + (1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ax + b ,
f (x) =
1 ( a+ b + 1) , 2
解y = − ln( 1 −源自x ), 令 u = 1 − x .
y = – lnu .
.
u′ −1 1 dy dy du = . =− = − = ⋅ ∴ y′ = 1− x u 1− x dx du dx
.
(4)复合函数求导练习 题 复合函数求导练习23题 复合函数求导练习
1
o o
( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x (e
1 14 (ln(1 − x ))′ = − 1− x 3 o 3 15 (ln 2 x )′ = x
o o
.
21 (arcsin3 x )′ = 22 (e )′ = 2 xe
o x2 o
x2
3 1 − 9x2
16 (e 17
o o
o
3 x +1
)′ = 3e
3 x +1
2 (arctan2 x )′ = 1 + 4 x 2
0
√
).
( (
× ). √ √
).
(
).
(2)判断是非(是： √ 非： × )： 判断是非( 判断是非
.
已知 y = f ( x )在点 x 0 可导 ：
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) e . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 − h) − f ( x 0 ) f . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 + 3h) − f ( x 0 ) 1 g . f ′( x 0 ) = lim h 3 h→ 0
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 习题课——导数的概念及运算法则
f'(x)= lim
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,
Δ→0
Δ
也简称导数,有时也将导数记作y'.
2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(0),f'(-1)的值.
2
2(x+x) -2x2
解:f'(x)= lim
又由题图知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图
象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.
答案:D
f(1-2x)-f(1)
3.已知函数 f(x)=2ln 3x+8x,则 lim
的值为(xຫໍສະໝຸດ Δ→0A.10B.-10
C.-20
).
D.20
6
2
解析:∵f(x)=2ln 3x+8x,∴f'(x)=3x+8=8+x .根据导数定义,知
(1-2Δ)-(1)
(1-2Δ)-(1)
=-2 lim
=-2f'(1)=-20.故选 C.
Δ
x→0
-2Δ
-2Δ→0
答案:C
1
4.已知函数f(x)=
3
sin3x+3xf'(0),则f'(0)=
y'=αxα-1
y'=axln a 特别地(ex)'=ex
1
1
y'=x a 特别地(ln x)'=x
1
(2)导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题课 PPT
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
练 3 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时， 切 线 的 斜 率 最 小 ， 最 小 斜 率 为 3 ， 此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
高中数学第二章导数及其应用习题课用导数研究函数的单调性极值最值课件北师大版选择性必修第二册
递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
1
1
则 φ'(x)= -2a,且 ∈(0,1).
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.
分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2 2(2 -1)
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
).
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大
值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小
2 2
则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤ -2x 在[1,+∞)上恒成立.
因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】 已知函数f(x)= 1x2+aln x.
导数与微分习题课
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业 必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
人教A版高中数学选修2-2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习习题(含答案解析)
选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B.163 C.103 D.133 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C [解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 [答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________. [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______． [答案] －32 [解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ， 故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. [解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)． 对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
导数的求导法则切线计算
第10讲变化率与导数、导数的计算诊断-基础知识知识梳理1.2.导数的运算法则⑴[f(X)±(x)] f，(X)±，(x).⑵[f(x)g(x)]，= f' (x)g(x) + f(x)g' (x).口xMxtK 2<jg, n二[gx]2 (g(x)工0).3.复合函数的导数设u = v(x)在点x处可导，y= f(u)在点u处可导，则复合函数f［v(x)］在点x处可导, 且f' (x) = f' (u) v v (x).［感悟提升］1•“过某点”与“在某点”的区别曲线y=f(x) “在点P(x o, y o)处的切线”与“过点P(x o, y o)的切线”的区别：前者P(x o, y o)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x o, y o)不一定为切点.2.导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，女口(4).三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式. 由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).以例求法举一反三x x 1 _ x — ?si n x ,2x + 1突破-高频考点考点一导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数： X X(1)y = e c os x ； (2)y =x — sin qcos 2；ln (2x + 1 \⑶ y=——.解 (1)y '_ (e x )' cos x + ^(cos x)'_ e <cos x — e <sln x.[In 2x + 1 ] ' x — x ' In 2x + 1x2x +1 ' 2x , o , 2x +1 X-2+ 门 2x +1 — n2x + 门 _ 2 _ 2x x _ 2x —(2x + 1 )n (2x + 1 )= 2x +1 x 2 .规律方法（i ）本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误 ②不能正确运用求导公式和求导法则，在第 （3）小题中，忘记对内层函数 进行求导.（2）求函数的导数应注意：① 求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；1 1 — 2COS x.②根式形式，先化为分数指数幕，再求导.③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.【训练1】(1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0,+x)内可导，且f(e x)= x+ e x, 则f'(1) = ____________ .⑵若f(x) = ^/3^x + e2x，贝U f' (x) = ______ .解析(1)令e x= t,则x= In t,•'f(t) = In t +1, 即卩f(x) = In x+ x.1因此f' (x)= (In x+x)' = + 1,于是f' (1)= 1 + 1 = 2.x⑵若f(x)= a3+ 2ax—x2，则f' (x)= 3a2+ 2x.( x)(3) (教材习题改编)函数y= xcosx —sin x的导函数是y'= —xsin x. (V)⑷[f(ax+ b)] '= f' (ax+ b). (x )考点二导数的几何意义【例2】(1)(2013广东卷)若曲线尸kx+ In x在点(1, k)处的切线平行于x轴,则k= ________ .⑵设f(x) = xln x + 1，若f' (x o) = 2,贝U f(x)在点(x o, y o)处的切线方程为1解析(1)函数y= kx+ In x的导函数y' = k+ x,入由导数y'E仁0,得k+1 = 0,则k=— 1.(2)因为f(x) = xln x+ 1,1所以f' (x)= In x+x • = In x+ 1.x因为f' (x o) = 2,所以In x o+ 1 = 2, 解得x o= e,所以y o= e+ 1.由点斜式得，f(x)在点(e, e+ 1)处的切线方程为y—(e+ 1) = 2(x—e),即2x—y —e + 1 = o.答案(1)— 1 (2)2x—y —e+ 1 = o规律方法(1)导数f' (x o)的几何意义就是函数y= f(x)在点P(x o, y o)处的切线的斜率•第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为o,进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力.⑵在求切线方程时，应先判断已知点Q(a, b)是否为切点，若已知点Q(a, b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程.【训练2】（1）（2012新课标全国卷）曲线y=x（3ln x+ 1）在点（1,1）处的切线方程为（2）若函数f（x）= e x cos x,则此函数图象在点（1, f（1））处的切线的倾斜角为（）•A •0 B •锐角C •直角D •钝角3解析(1)了= x(3ln x+ 1),.°y' = 3ln x+ 1 + x x= 3ln x+ 4,「k= y' |x= 1= 4, 入所求切线的方程为y—1= 4(x- 1)，即4x-y-3 = 0.(2)f‘ (x) = e x cos x—e x sin x= e x(cos x—sin x),•■f' (1)= e(cos 1— sin 1).n n••2>1>4・而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1.•f (1)<0,即卩f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率k<0,f •切线的倾斜角是钝角.答案(1)4x —y — 3 = 0 (2)D考点三导数运算与导数几何意义的应用In x 【例3】(2013北京卷)设I为曲线C: y=业在点(1,0)处的切线.X⑴求I的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线I的下方.导数几何意义审题路线⑴求f' (1) ——> 点斜式求直线I的方程转化运用导数⑵构建g(x) = x— 1 —f(x) --- >g(x)>0对x>0且X M 1恒成立------- >研究函数y =g(x)的性质一获得结论解⑴设f(x) = I：X,则f' (x)= 1 F x.1 —In 1 ••• f' (1)= 1= 1,即切线I的斜率k= 1.由I过点(1,0),得I的方程为y= x— 1.⑵令g(x) = x— 1 —f(x)，贝U除切点之外，曲线C在直线I的下方等价于g(x)>0(?x>0, X M 1).2x —1 + In x g(x)满足g(1) = 0,且g' (x)二1—f' (x)二x2 .当0<x<1 时，x2—1<0, In x<0,••• g' (x)<0，故g(xx)在(0,1)上单调递减；当x>1 时，x—1>0, In x>0, g' (x)>0, g(x)单调递增.所以，g(x)>g(1)= 0(? x>0, X M 1).所以除切点之外，曲线C在直线I的下方.规律方法(1)准确求切线I的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线I的ae 2+ ae 2—位置关系转化为函数g(x) = x — 1 — f(x)在区间(0,+x )上大于o 恒成立的问题, 进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用.(2)当曲线y =f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线 方程为x = x o ；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解 . 1【训练3】(2014济南质检)设函数f(x)= ae x + x + b(0<a<1).ae (1) 求f(x)在［0,+x )内的最小值；3(2) 设曲线y =f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y =㊁x ，求a 和b 的值. . , x 1 (ae —1( ae + 1)解(1)f (x) = ae — ae x =ae x. 1令 f ' (x) = 0，得 x = In >0.a 1当 0<x<ln 时，f ' (x)<0;a 1当 x>ln ，f ' (x)>0.a••• f(x)在0，In 1上递减，在lln a ，+^ '上递增. 从而f(x)在［0,+x )上的最小值f In a = 2+ b. 3⑵T y =f(x)在点(2，f(2))处的切线为y = 2x ， 3••• f(2)= 3,且 f ' (2) = 3， 1ae 2+ b = 3 ae1 32 = ae 2 1 2解之得b = 2且 a = e 2.理解导数的概念时，要注意f'(X0), (f(X0))'与f' (x)的区别：f' (x)是函数y=f(x)的导函数，f' (x o)是f(x)在x= x o处的导数值，是常量但不一定为0, (f(x o))'是常数一定为0, 即(f(x o))' = 0.培养-解题能力教拣解邇提进能力易错辨析3――求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014杭州质检)若存在过点0(0,0)的直线I与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 和y=x2+ a都相切，则a的值是().1A - 1 B.641 1c. 1或64 D - 1或—鬲［错解］V 点0(0,0)在曲线f(x) = x3—3x2+ 2x 上,•••直线I与曲线y=f(x)相切于点O.则k= f' (0) = 2,直线I的方程为y= 2x.又直线I与曲线y= x2+ a相切，•'x2+ a —2x= 0 满足△= 4 —4a= 0, a= 1,选A.［答案］A［错因］(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x) = x3—3x2+ 2x相切这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误：一是当点0(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻.--K又203x 0 + 2, C . In 2［正解］易知点0(0,0)在曲线f(x) = X 3— 3X 2+ 2x 上， ⑴当0(0,0)是切点时，同上面解法.⑵当0(0,0)不是切点时，设切点为 P(X 0, y 0),则y ° = x 3— 3x 0 + 2x 0,且k = f '(X 0)=3x 0— 6x 0 + 2.由①，②联立，得X 0= 2(x 0= 0舍)，所以k = — 4, 1•••所求切线I 的方程为y = — 4x.「 1出 y = — 4x ， /曰 2 1 c 由 得 x + 4x + a = 0.I 2 | 4y = x + a ,1 1 1 依题意，16— 4a = 0,「a = §4.综上，a = 1 或 a = §4.［防范措施］(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键, 分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异.(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算.【自主体验】1函数y = In x(x>0)的图象与直线y =2x + a 相切，贝U a 等于().A . 2ln 2B .In 2 + 1D .In 2 — 1y f I r p解析设切点为(x o, y o)，且y' = X,.・. =X = 2，则x o= 2, y o= InX X0 212. 又点(2, In 2)在直线y=2x+ a上，1.n 2 = 2X2+ a,「a= In 2 —1.课时-题组训练_ 阶梯训擦竦出富分对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 •若函数f(x)= ax4+ bx2+ c满足f' (1) = 2,则f' (—1)等于().A1 B 2 C. 2 D . 0解析f' (x) = 4ax3+ 2bx,.f' (x)为奇函数且f' (1)= 2,.' (—1)= —2. 答案B2.y= —x+ 8,贝U f(5) + f' (5)=如图,C.—2 D . 4解析 ■•yx — 1 — x + 1X - 12212 ,y k=(X —1)—23=2 =3- 1 212，・•—a = 2，即解析 如图可知，f(5) = 3, f ' (5)=— 1,因此 f(5) + f ' (5) = 2. 答案 A3. （2014济南质检）设曲线 尸 在点（3,2）处的切线与直线ax + y + 1= 0垂直,X — 1 则 a =（）.A . 2B . — 21 1C .— 2 D.Q =—2. 答案 B1 2 14•已知曲线y = ^x 2— 3ln x 的一条切线的斜率为一刁则切点横坐标为（）. A . — 2 B . 3 C . 2 或—3 D . 2I1 313 1 解析 设切点坐标为（x o , y o ）,，.y ' = ?x — x ，： = 2x 0 — x 0 = — 2，即卩 x 0+x o — 6= 0,解得 x o = 2 或一 3（舍）. 答案 D5. （2014湛江调研）曲线y = e —2x+ 1在点（0,2）处的切线与直线y = 0和y =x 围成 的三角形的面积为（）.A1 f 1A? B .1C.3 D .1解析y' |x=o= (—2e-2x)|x=o= —2,故曲线y= e"2x+ 1在点(0,2)处的切线方程为y= —2x+ 2,易得切线与直线y= 0和y=x的交点分别为(1,0), |，故围成1 2 1的三角形的面积为心1X 3二3.二、填空题6. _________________________________________________ 已知函数f(x) = f' J4C0S x+ sin x,则的值为_________________________________ .解析f (x)= —f' ；Sin x+ cos x,.f —f' ©sin :+ cos ；, f ©=\n n n2—1,--f4二(2—1)cos 4+ sin 4二1.答案17. (2013南通一调)曲线f(x)= f e1 e x—f(0)x+ 1x2在点(1, f(1))处的切线方程为________ .解析f‘(x)=f e1 e x—f(0)+x? f ' (1)=f j1 e1—f(0)+1? f(0) = 1.在函数f(x)D Df ' f 1 \ 1 1=e e x—f(0)x+ ?x2中，令x= 0,则得f ' (1)= e所以f(1)= e—?,所以f(x)在1 1(1, f(1))处的切线方程为y= e(x—1)+ f(1) = ex—?,即y= ex —1答案y= ex—28 .若以曲线y= Jx3+ bx2+ 4x+ c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是_____________ .2 2解析y ' = x + 2bx + 4 ,与'> 0 恒成立，二△二4b —16< 0,A-2< b< 2.答案[—2,2]g(X)min = g(2)=92,•a>9,a^ —1 2.、解答题9.已知函数f(x) = x3+ (1 -a)x2—a(a+ 2)x+ b(a, b€ R).⑴若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3,求a, b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x—a(a + 2).⑴由题意得I0芒二+ 2 一3, 解得 b = 0, a= — 3 或 1.⑵•/曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，•••关于x的方程f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x —a(a+ 2)= 0有两个不相等的实数根,•••4(1 —a)2+ 12a(a+ 2)>0,即4a2+ 4a + 1>0,10.已知函数f(x) = x3—ax2+ 10.(1)当a= 1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)在区间［1,2］内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围. 解(1)当a= 1 时，f' (x) = 3x2—2x, f(2)= 14,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率k=f'⑵=8,•曲线y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—14= 8(x—2),即卩8x—y —2 = 0.3x3+ 10 10⑵由已知得a>x x2 = x+x0,入入设g(x) = x+ x0(1w x<2), g' (x) = 1—2；0,•/ 1< x< 2,•g' (x)v0,「. g(x)在［1,2］上是减函数.能力提升题组(建议用时：25分钟)•a的取值范围是一、选择题1. (2014北京西城质检)已知P, Q为抛物线x2= 2y上两点，点P, Q的横坐标分别为4,—2,过P, Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A. 1B. 3C.—4D. —8解析依题意，得P(4,8), Q( —2,2).2x由y= 2，得y，= x.•••在点P处的切线方程为y—8 = 4(x—4)，即y= 4x —8.①在点Q处的切线方程为y—2= —2(x+ 2),即卩y= —2x—2•②联立①，②得点A(1,—4).答案C2. 已知f(x)= log a x(a>1)的导函数是f' (x),记A= f，(a), B = f(a+ 1)—f(a), C =f，(a+ 1),则().A. A>B>C B . A>C>BC. B>A>CD. C>B>Af(a+ 1)— f(a) 解析记M(a, f(a)), N(a+ 1, f(a+ 1)),则由于B= f(a+ 1)—f(a)= ,(a+ 1 —a表示直线MN的斜率，A= f，(a)表示函数f(x)= log a x在点M处的切线斜率；C=f，(a+ 1)表示函数f(x) = log a x在点N处的切线斜率.由图象得，A>B>C.答案A、填空题3. (2014武汉中学月考)已知曲线f(x) = x n + 1(n€ N*)与直线x= 1交于点P,设曲线y= f(x)在点P处的切线与X轴交点的横坐标为X n,贝U log2 013X1 + log2 013X2+… + lOg2 013X2 012 的值为 __________________ .解析f' (x)= (n+ 1)X n, k= f' (1) = n+ 1,点P(1,1)处的切线方程为y— 1 = (n+ 1)(x-1),1 n 阳n令y= 0,得x= 1 —= ，即X n= ,n+ 1 n+ 1 n+ 11 2 3 2 011 2 012 1•'X1 X2 … X2 012= 2X3X4^^X 2 012X2 013= 2 013，贝卩log2 013x1 + log2 013x2 + …+ lOg2 013X2 012=lOg2 013(X1X2 …X2 012) =—1.三、解答题4. (2013福建卷改编)已知函数f(x) = X—aln x(a€ R).(1) 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程；(2) 当实数a>0时，求函数f(x)的极值.a解函数f(x)的定义域为(0,+^), f' (x)= 1—.X2(1)当a=2 时，f(x) = x —2ln x, f' (x)= 1 —(x>0),X因而f(1)=1, f' (1) = —1,所以曲线y= f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y—1 = —(x—1)，即x+ y—2= 0.a x—a⑵由f' (x) = 1—x= x, x>0.令f' (x) = 0,得x= a>0.当x€ (0, a)时，f (x)<0;当x€ (a,+x)时，f (x)>0.从而函数f(x)在x= a处取得极小值，且极小值为f(a)= a —aln a,无极大值.。
导数的四则运算
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ), y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
2
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有 其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中 心. 2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
x x x
即: y (u v ) u v.
练一练:求下列函数的导数 (1) y=5x2-4x+1 y 10 x 4 (3)y=x2-cosx (4) y=(2+x)(3-x) (5) y=(2x-1)(3x+2)
练一练:求下列函数的导数 (1) y=100 (2) y=x5 (3)y=4x2 +3x
?
51
(4)y=4x2 -3x
C
'
导数与微分习题课
dx
− xy 2( 2 + 2 )
2
;
3 .
arctan
xy
−
(
−
)
,求
4. 2 + 2 =
.
dx2
1. = (
11
四、计算n阶导数
1. =
1+
; 2. = sin2 .
1−
2 ⋅ !
−1
;
−2
cos(2
+
).
(1 − )+1
2
五、
1
导数与微分
习题课
一、主要内容
dy
= ′ ⇔ dy = ′ dx ⇔ = dy + ()
dx
关
系
导
数
lim
→0
基本公式
高阶导数
微 分
dy = ′
高阶微分
求 导 法 则
2
二、典型例题
例1
解
设 () = ( − 1)( − 2) ⋯ ( − 100),
∵ (
) =
,
−1
( − 1)+1
∴ () =
3 1
1
=4+ (
−
)
2 −1 +1
1 ()
(−1) !
(
) =
,
+1
( + 1)+1
3
1
1
(−1) ! [
−
].
2
( − 1)+1 ( + 1)+1
9
课堂练习
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′ ＝ ＝xx＋－11x＋－′1xx2－＋11x＋－1x＝2－1x＋2x1＋21. ′
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0， 故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
(3)y＝xx2＋＋33.
解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x ＝ex(sin x＋cos x)．
x2 ) ' 1 x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2 (1 x 2 ) 2
(4) y ' (2x3 ) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x 3 )'3(x sin x)'0
6x 2 3(sin x x cos x)
LOREM IPSUM DOLOR
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit.
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合 而成的．
(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝ x； (2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1.
导数的基本公式及运算法则
习题课
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1 : (C ) ' 0;
公式2 : ( x n ) ' nx n1;
公式3 : (sin x) ' cos x;
公式4 : (cos x) ' sin x;
公式5 : (a x ) ' a x ln a(a 0);
公式6 : (e x ) ' e x ;
公式7 : (log a
x) '
1 (a 0, 且a 1); x ln a
公式8 : (ln x) ' 1 ; x
需要使用导数的运算法则求导:
f (x) g(x) f (x) g(x)
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
(1) y ' (x3 cos x) ' (x3 ) ' (cos x) ' 3x2 sin x
(2) y ' ( x2ex ) ' ( x2 ) ' ex x2 (ex ) ' 2xex x2ex ( x 2) xex
(3)
y'
x
( 1
x2
)
'
x '(1
x2 ) x(1 (1 x2 )2
= (3x4) (ex ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x . f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1
例12 求下列函数的导数：
(1) y x3 cos x (2) y x2ex
(3)
答案解析：
y
x 1 x2
(4) y 2x3 3xsin x e2
变式训练 1 求下列函数的导数．x2－π6)； (3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e2x2＋1.
解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u15＝u－5， ∴y′x＝y′u·u′x＝－5u－6·3 ＝－15u－6＝－1＋153x6. (2)令u＝x2－6π，则y＝sinu， ∴y′x＝y′u·u′x ＝cosu·(x2－6π)′＝2xcosu＝2xcos(x2－6π)．
解：(3)y′＝(xx2＋＋33)′＝x＋3′x2＋3x2－ ＋3x＋ 2 3x2＋3′
＝x2＋3－ x2＋x＋332×2x ＝－xx2－ 2＋63x＋2 3.
例题：求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x
解：
(1) y ' cos x x(sin x) cos x xsin x y" sin x (sin x x cosx) 2sin x x cosx
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(4)y′＝(x·tan x)′＝(xcsoisnxx)′
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcos x＋x cos2x .
练习：求下列函数的导数
例2:求下列函数的导数:
(1) y x3 2x 3
(2)
y
1 x
2 x2
;
(3)
y
x 1 x2
;
(4) y tan x;
(5) y (2x2 3) 1 x2 ;
(6) y
1 x4
;
(7) y x x;
答案: (1) y 3x2 2;
(2)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 x2 (1 x2 )2
高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，所得到的一个新函数， 记作 f (x) 或 y 称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．