上海市第二中学2016-2017学年高三9月初态测试数学试卷(扫描版)
上海市静安区2017届高三第二学期期中教学质量检测数学试题(教师版)
上海市静安区2016学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知集合{}ln 0A x x =，{}|23x B x =<，则AB =________．【答案】()21,log 3【解析】 {}{}ln 0|1A x x x x ==>，{}{}2|23|log 3x B x x x =<=<∴()21,log 3A B ⋂=点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.若实数x ，y 满足约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则3z x y =+的最大值等于________．【答案】12【解析】由约束条件0,,290,x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立方程组290y xx y =⎧⎨+-=⎩，解得：A （3，3），化目标函数z=x+3y 为y=﹣13+13， 由图可知，当直线y=﹣13+13过A 时，直线在y 轴上的截距最大，对应z 最大； 此时z=3+3×3=12．故答案为：12．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3.已知7()a x x -展开式中3x 的系数为84，则正实数a 的值为________.【答案】2【解析】试题分析：∵7()ax x -展开式中第r 项为772177()()r r r r r r r a T C x C a x x --+=-=-，则由已知，得7()a x x-中3x 的系数为84，即当723r -=，即2r =，∴227()84a C -=，解得，2a =.考点：二项式定理.4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____. 【答案】35【解析】【详解】从5个球中任选2个，共有2510C =种选法.2个球颜色不同，共有11326C C =种选法. 所以所求概率为63105p ==. 【此处有视频，请去附件查看】5.设f （x ）为定义在R 上的奇函数．当x≥0时，f （x ）＝2x＋2x ＋b （b 为常数），则f （－1）＝ ．【答案】-3【解析】试题分析：f （x ）为定义在R 上的奇函数，所以()00,1,f b =∴=-()()1112213f f -=-=--+=- 考点：函数奇偶性求函数解析式6.设,P Q 分别为直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（为参数）和曲线C：1,2x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．【解析】 由题意，曲线C：1,2x y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数θ：可得曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5．直线,62x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），消去参数t ，可得直线的普通方程为：2x+y ﹣6=0． 由曲线C 的普通方程为：（x ﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径那么：圆心到直线的距离可得|PQ|的最小值为：d ﹣7.各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N n ∈，()11,2n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量．若lim n n S →∞存在，则实数k 的取值范围是________． 【答案】()(),10,-∞-+∞【解析】由题意，数列的公比q 满足0＜|q|＜1，∵对任意*N n ∈，()11,2n n n n m a a a ++=-都是直线y kx =的法向量， ∴k=112n n n a a a ++--=﹣12+12•1q， ∴k∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．8.已知正四棱锥P ABCD -的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________．【解析】如图，正四棱锥P ﹣ABCD 中，O 为正方形ABCD 的两对角线的交点，则PO ⊥面ABCD ，PO 交MN 于E ，则PE=EO ， 又BD ⊥AC，∴BD⊥面PAC ，过A 作直线l ∥BD ，则l ⊥EA，l⊥AO，∴∠EAO 为所求二面角的平面角．又EO=12AO=4a ，AO=2a，∴AE=4 a∴截面AMN 与底面ABCD所成的二面角的余弦值是5． 9.设0a >，若对于任意的0x >，都有112x a x-≤，则a 的取值范围是________．【答案】⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】对于任意的x ＞0，都有112x a x -≤ ，得到min112x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，因为12x x +≥，所以1a ≤a 4≥； 故答案为：[4+∞）． 点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;10.若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______．【答案】8【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3＜0，原不等式等价于|x 2﹣4x+k|﹣x+3≤5，即﹣x ﹣2≤x 2﹣4x+k≤x+2， 则 x 2﹣5x+k ﹣2≤0且x 2﹣3x+k+2≥0解的最大值为3，设 x 2﹣5x+k ﹣2=0 的根分别为x 1和x 2，x 1＜x 2，x 2﹣3x+k+2=0的根分别为x 3和 x 4，x 3＜x 4．则x 2=3，或 x 4=3． 若x 2=3，则9﹣15+k ﹣2=0，k=8，若x 4=3，则9﹣9+k+2=0，k=﹣2．当k=﹣2时，原不等式无解，检验得：k=8 符合题意，故答案为：8．11.已知1()1x f x x-=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*N n ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +的值为_________．12【解析】由题意，112a=，()2n na f a+=，且0na>，∴a3=13，a5=12，a7=13，a9=12，…，∴a2017=12，∵()2n na f a+=，∴a n+4=f（a n+2），∴a n+4=111111nnnnaaaa--+-++=a n，即数列的周期为4a20=a18=t，则t=1t1t-+，∴t2+2t﹣1=0，∵t＞01，∴a20161，∴a2016+a2017﹣1+1212，12．二、选择题本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12.已知,a b∈R则33log loga b>是“11()()22a b<”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a，b∈R，则“log3a＞log3b”∴a＞b＞0，∵1122a b⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a＞b，∴“log3a＞log3b”⇒“1122a b⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，反之则不成立，∴“log 3a ＞log 3b”是“1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的充分不必要条件， 故选A ．13.已知复数z 满足1+1z z i =- (i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A. iB. -1C. 1D. i - 【答案】C【解析】分析：根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后根据代数形式再判断复数的虚部． 详解：由1+1z z i=-得(1)1i z i +=-+， ∴1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i -+-+-===++-， ∴复数z 的虚部为1．故选C ．点睛：本题考查复数的计算和复数的基本概念，解题时注意在复数(,)z a bi a b R =+∈中，虚部是b ，而不是bi ．14.当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1k x =+的根的个数是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】作出y=k （x+1）的函数图象，如图所示：显然当k ＞0时，两图象在（﹣∞，0）上必有一交点，设y=k （x+1）与x 0，y 0），则)0001k y y k x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得k=12，x 0=1，y 0=1． ∴当10k 2<<时，直线y=k （x+1）与∴直线y=k （x+1）与故选：C ． 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15.曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的个数为（ ）．（1）曲线C 一定经过原点；（2）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；（3）MPN ∆的面积不大于8；（4）曲线C 在一个面积为60的矩形范围内．A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】设P （x ，y ）()2216x -=， （1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C 一定经过原点，不正确；（2）以﹣x 代替x ，﹣y 代替y ，方程成立，即曲线C 关于x 、y 轴对称，不正确；（3）x=0，y=±MPN 的最大面积=1482⨯⨯=<，故正确； （4）令y=0，可得x=C 在一个面积为=的矩形范围内，不正确． 故选B ．点睛：本题主要考查直接法求动点的轨迹方程，化简后利用方程判断曲线的对称性，考查三角形的面积公式.利用直接法求动点的轨迹方程的基本过程是：设出动点的坐标(),x y ，利用题目的已知条件建立关于(),x y 的方程，化简这个方程即可得到动点的轨迹方程.三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16.如图，等腰Rt AOB ∆，2OA OB ==，点C 是OB 的中点，AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；（2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足AC BD ⊥，求θ．【答案】（1）43V π=，(2S π=；（2）2433ππθ=或. 【解析】【详解】试题分析：（1）利用体积、表面积公式，即可求△ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；（2）如图建立空间直角坐标系，利用AC ⊥BD ，4cos 20AC BD θ⋅=--=，即可求θ．试题解析：（1）()21422133V ππ=⨯⨯-=; ((12222S ππ=⨯⨯= （2）如图建立空间直角坐标系，得()2,0,0A ，()0,0,1C ，()0,0,2B由三角比定义，得()2cos ,2sin ,0D θθ则，()2,0,1AC =-，()2cos ,2sin ,2BD θθ=-4cos 20AC BD θ⋅=--=，得1cos 2θ=-，θ [)0,2π∈， 所以，2433ππθ=或17.设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()y f x =的最大值和最小正周期；（2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若1cos 3B =，134C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin A ．【答案】（1）函数()y f x =π；（2）1sin cos 3A B ==。
(完整版)2017届上海市杨浦区高三二模数学卷(含答案)
- - - 1 -杨浦区2016学年度第二学期高三年级质量调研 数学学科试卷 2017.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 行列式123456789中, 元素5的代数余子式的值为_________.2. 设实数0ω>, 若函数()cos()sin()f x x x ωω=+的最小正周期为π, 则ω=_________.3. 已知圆锥的底面半径和高均为1, 则该圆锥的侧面积为_________.4. 设向量(2,3)a =r, 向量(6,)b t =r . 若a r 与b r 的夹角为钝角, 则实数t 的取值范围为 _________.5. 集合2{1,3,}A a =, 集合{1,2}B a a =++. 若B A A ⋃=, 则实数 a =_______.6. 设12,z z 是方程2230z z ++=的两根, 则12||z z -= _________.7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时, 3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为________.- - - 2 -8. 若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z y x =-的最小值为_________.9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点 数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为_________.10. 设A 是椭圆()22221 04x y a a a +=>-上的动点, 点F 的坐标为(2,0)-, 若满足||10AF =的点A 有且仅有两个, 则实数a 的取值范围为_________.11. 已知0a >, 0b >, 当21(4)a b ab++取到最小值时, b =_________. 12. 设函数()||||a f x x x a =+-. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘221x y +≤内,且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 设z ∈C 且0z ≠. “z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的 ( )(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件14．设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其 前21项之和, 则 ()(A) 0d <(B) 0d > (C) 160a <(D) 160a >- - - 3 -S15．如图, N 、S 是球O 直径的两个端点. 圆1C 是经过N 和S 点的大圆, 圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆. 圆1C 和2C 交于点A 、B , 圆1C 和3C 交于点C 、D .设a 、b 、c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长、圆2C 上半圆弧AB 的弧长、圆3C 上半圆弧CD 的弧长. 则,,a b c 的大小关系为 ()(A) b a c >= (B) b c a => (C) b a c >>(D) b c a >>16．对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析
上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1.椭圆x^2/25 + y^2/6.25 = 1的长轴长为10.2.已知直线l的一个方向向量的坐标是(3.4.-5)，则直线l的倾斜角为53.13°。
3.已知二元一次方程组2x + 3y = 1.4x + ky = 2的增广矩阵是[2 3 1.4 k 2]，则此方程组的解是x = (2 - 3k)/(2k - 12)，y = (4 - 2x)/k。
4.行列式中-3的代数余子式的值为-1.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(1.2)，B(4.1)，C(3.6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为x + 2y = 5.6.已知直线l1的方程为3x - y + 1 = 0，直线l2的方程为2x + y - 3 = 0，则两直线l1与l2的夹角是45°。
7.用数学归纳法证明“1 + 2 + … + n < n(n+1)/2（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是k+1.8.执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是12.9.若圆C的方程为x^2 + y^2 - 2ax - 1 = 0，且A(-1.2)，B(2.1)两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是(1.2)。
10.若x^2 + 2ax + 1 = 0，且存在y，使得y^2 + 2ay + 1 = 0，则实数a的取值范围是(-∞。
-1)∪(-1.0)∪(0.+∞)。
11.已知直线l1过点P(1.4)且与x轴交于A点，直线l2过点Q(3.-1)且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且PA = QB，则点M的轨迹方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0.12.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则∠APB的取值范围是(90°。
2016-2017学年上海中学八年级(下)期中数学试卷(含解析)
2016-2017学年上海中学八年级(下)期中数学试卷(含解析)2016-2017学年上海中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．2．（3分）二次根式有意义的条件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥33．（3分）下列计算正确的是（）A．B． C． D．4．（3分）正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6 B．C．9 D．5．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=56．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD AD=BC B．∠A=∠B∠C=∠DC．AB=CD AD=BC D．AB=AD CB=CD7．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（）A．12 B．10 C．7.5 D．59．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．2410．（3分）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD11．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）= ，= ．14．（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为形．15．（3分）已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形面积是，菱形的高．16．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 度．17．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为．18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC 上一动点，则PB+PE的最小值是．三、解答题：（共66分）19．（8分）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）．20．（8分）当x=2﹣时，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．21．（10分）如图所示，四边形ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，求四边形ABCD的面积．22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．23．（10分）（1）化简：2a（a+b）﹣（a+b）2（2）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．试判断四边形OCED 的形状，并说明理由．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．25．（10分）如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．2016-2017学年上海中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2014春•宁津县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数含分母，故B错误；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；故选：D．【点评】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．（3分）（2016春•重庆期中）二次根式有意义的条件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3【分析】根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．【解答】解：∵要使有意义，必须x+3≥0，∴x≥﹣3，故选C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0．3．（3分）（2016春•津南区校级期中）下列计算正确的是（）A．B． C． D．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=，错误；B、原式不能合并，错误；C、原式=2×=，错误；D、原式=5，正确，故选D【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）（2016春•津南区校级期中）正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6 B．C．9 D．【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【解答】解：设对角线长是x．则有x2=36，解得：x=6．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．5．（3分）（2016春•庆云县期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．（3分）（2016春•津南区校级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB∥CD AD=BC B．∠A=∠B∠C=∠DC．AB=CD AD=BC D．AB=AD CB=CD【分析】利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可对A进行判定；根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形可对B进行判定；根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形可对C、D进行判定．【解答】解：A、若AB∥CD，AB=CD，则四边形ABCD为平行四边形，所以A选项错误；B、若∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD为平行四边形，所以B选项错误；C、若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以C选项正确；D、若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．（3分）（2007•南通）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=3∵BC=AD=5∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．8．（3分）（2016春•津南区校级期中）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（）A．12 B．10 C．7.5 D．5【分析】如下图所示：∠AOD=∠BOC=60°，即：∠COD=120°＞∠AOD=60°，AD 是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA=OD=OC=OB=7.5，又因为∠AOD=∠BOC=60°，所以AD的长即可求出．【解答】解：如下图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=15，∠AOD=∠BOC=60°∵四边形ABCD是矩形∴OA=OD=OC=OB=×15=7.5（矩形的对角线互相平分且相等）又∵∠AOD=∠BOC=60°，∴OA=OD=AD=7.5，∵∠COD=120°＞∠AOD=60°∴AD＜DC所以该矩形较短的一边长为7.5，故选C．【点评】本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”．9．（3分）（2016春•苏州期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．24【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．10．（3分）（2016春•津南区校级期中）以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【分析】先根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定逐个判断即可．【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了平行四边形和矩形的判定的应用，能熟记矩形的判定定理是解此题的关键．11．（3分）（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．12．（3分）（2016春•日照期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，=•AF•BC=10．∴S△AFC故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（2016春•津南区校级期中）= ，= ．【分析】根据二次根式的乘除法则以及二次根式的性质化简即可．【解答】解：==，=|﹣|=，故答案分别为，．【点评】本题考查二次根式的化简，二次根式的性质，解题的关键是掌握分母有理化的方法，记住公式=|a|，（）2=a（a＞0），属于中考常考题型．14．（3分）（2012•蓟县模拟）顺次连接矩形各边中点所得四边形为菱形．【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．【解答】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．15．（3分）（2016春•津南区校级期中）已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形面积是24 ，菱形的高．【分析】如图，四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，作AE⊥BC于E，先利用勾股定理求出菱形边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半等于底乘高，即可解决问题．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，作AE⊥BC于E．∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4，∴AB===5，∴BC=AB=5，∴菱形的面积=•AC•BD=24，∵BC•AE=24，∴AE=，∴菱形的高为．故答案为24，．【点评】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积的两种求法，①菱形面积等于三角形乘积的一半，②菱形的面积等于底乘高，属于基础题，中考常考题型．16．（3分）（2016春•津南区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 90 度．【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．故答案为：90．【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．17．（3分）（2004•郫县）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为20 ．【分析】此题要能够根据三角形的中位线定理证明四边形A1B1C1D1是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．【解答】解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1=BD=×10=5同理可得A1B1=AC=4根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，是经常出现的知识点．注意：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．18．（3分）（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．三、解答题：（共66分）19．（8分）（2016春•津南区校级期中）计算：（1）2﹣6+3（2）（﹣）．【分析】（1）先把各个二次根式进行化简，合并同类二次根式即可；（2）先把各个二次根式进行化简，合并同类二次根式，再根据二次根式的除法法则计算即可．【解答】解：（1）2﹣6+3=4﹣2+12=14；（2）（﹣）=（5﹣2）÷=3÷=3．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算法则是解题的关键．20．（8分）（2015春•荣昌县期末）当x=2﹣时，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．【分析】因为x2=7﹣4直接代入，可构成两个平方差公式，计算比较简便．【解答】解：∵x2=（2﹣）2=7﹣4，∴原式=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+=49﹣48+[22﹣（）2]+=1+（4﹣3）+=2+．【点评】此题的难点在于将7+4写成（2+）2的形式．21．（10分）（2016春•津南区校级期中）如图所示，四边形ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，求四边形ABCD的面积．【分析】如图，连接BD．首先利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形，分别求出△ABD，△DBC的面积即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=4，AB=3，∴BD===5，∵BD2+BC2=52+122=169，DC2=132=169，∴BD2+BC2=CD2，∴△BDC是直角三角形，∴S△DBC =•BD•BC=×5×12=30，S△ABD=•AD•AB=×3×4=6，∴四边形ABCD的面积=S△BDC +S△ADB=36．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识，解题的关键是把四边形问题转化为三角形问题解决，属于中考常考题型．22．（10分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．【分析】根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，∴CF∥AE，∵DF=BE，∴CF=AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．23．（10分）（2013•济南模拟）（1）化简：2a（a+b）﹣（a+b）2（2）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．试判断四边形OCED 的形状，并说明理由．【分析】（1）提取公因式（a+b），然后整理即可得解；（2）根据矩形的对角线互相垂直平分求出OC=OD，然后求出四边形OCED是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．【解答】（1）解：2a（a+b）﹣（a+b）2，=（a+b）（2a﹣a﹣b），=（a+b）（a﹣b），=a2﹣b2；（2）解：四边形OCED菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OD=BD，OC=AC，∴OC=OD，∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的对角线互相垂直平分的性质，以及平行四边形的判定与一组邻边相等的平行四边形是菱形．24．（10分）（2013•南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．25．（10分）（2011•河池）如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC 于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．【分析】（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠AD B=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，然后根据勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．【解答】（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，∴OA=OB•cos30°=8×=4，AB=OB•sin30°=8×=4，∴点B的坐标为（4，4）；（2）证明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥x轴，∵y轴⊥x轴，∴AB∥y轴，即AB∥CE，∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4∴DB=AB=4∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，∴∠ADB=60°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形；（3）解：设OG的长为x，∵OC=OB=8，∴CG=8﹣x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，即（8﹣x）2=x2+（4）2，解得：x=1，即OG=1．【点评】此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．。
上海市上海中学2017届高三10月月考数学试题Word版含答案
2016学年 第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级 数学试卷（共4页）一．填空题1、已知全集U =R ，集合P =x |x -2{³1}，则C U P = 2、设复数z 1=1+i ,z 2=-2+xi (x ÎR ),若z 1·z 2ÎR ，则x 的值等于3、已知圆C: x 2+y 2=r 2与直线3x -4y +10=0相切，则圆C 的半径r =4、如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的 边长为3，BD 1与底面所成的角的大小为arctan 23，则该 正四棱柱的高等于5、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x 27-y 22=1的右焦点重合，则抛物线C 的方程是6、在二项式(x 2-2x)5的展开式中，x 的一次项系数为 。
（用数字作答） 7、已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角a 的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A (x A ,-45)，则sin2a = 。
（用数值表示）8、设无穷等比数列{a n }(n ÎN *)的公比q =-13,a 1=1, 则n ®¥lim (a2+a 4+a 6+···+a 2n )=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积是 cm 3 10、在D ABC 中，已知且D ABC 的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设f (x )是定义域在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f (x )=ax +1,-1£x £0bx +2x +1,0£x £1ìíïîï其中a ,b ÎR ，若f (12)=f (32)，则b a 3 的值为13、定义：曲线C 上的点到直线L 的距离的最小值称为曲线C 到直线L 的距离。
上海市普陀区2017届初三第二学期质量调研数学试卷及答案
—1—普陀区2016学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列计算正确的是 · ···················································································· （▲） （A ）632a a a =×； （B ）a a a =¸33； （C ）ab b a 333=+； （D ）623)(a a =． 2.如果下列二次根式中有一个与a 是同类二次根式，那么这个根式是是同类二次根式，那么这个根式是·················· （▲） （A ）2a ； （B ）23a ； （C ）3a ； （D ）4a ．3.在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解这11名学生成绩的名学生成绩的 ···· （▲） （A ）中位数；）中位数； （B ）平均数；）平均数； （C ）众数；）众数； （D ）方差．）方差．4.如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果50A =∠，那么12+∠∠的大小为的大小为··································································································· （▲） （A ）°130； （B ）°180； （C ）°230； （D ）°260．5.如图2，在△ABC 中，中，中线中线AD 、CE 交于点O ，设a AB =，b BC =，那么向量AO用向量a 、b 表示为表示为······················································································· （▲） （A ）b a 21+； （B ）b a 3132+；（C ）b a 3232+；（D ）b a 4121+．图1图26.在△ABC 中，6==AC AB ，32cos =ÐB ，以点B 为圆心，AB 为半径作圆B ，以点C为圆心，半径长为13作圆C ，圆B 与圆C 的位置关系是的位置关系是 ···································· （▲） （A ）外切；）外切； （B ）相交；）相交； （C ）内切；）内切； （D ）内含．）内含．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.分解因式：a a 43-＝ ▲ ． 8.方程43x x =-的根是的根是▲ ． 9.不等式组23030x x -ìíî，<≥的解集是的解集是 ▲ ． 10.函数315y x =-的定义域是的定义域是▲ ． 11.如果关于x 的方程230x x c -+=没有实数根，那么c 的取值范围是的取值范围是 ▲ ． 12.已知反比例函数xk y =（k 是常数，0k ¹）的图像在第二、四象限，点),(11y x A 和点),(22y x B 在函数的图像上，当021<<x x 时，可得1y▲ 2y ．（填“>”、“=”、“<”）． 13.一次抽奖活动设置了翻奖牌一次抽奖活动设置了翻奖牌（图（图3展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，你只能看到正面，你可以在9个数字中任意选中一个数字，个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是可见抽中一副球拍的概率是19，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是13．这个事件是．这个事件是▲ ．14.正八边形的中心角等于正八边形的中心角等于 ▲ 度．度．15.如图4，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果21==ECAE DBAD ，那么△ADE 与△ABC 周长的比是周长的比是▲ ． 16.某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数..把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图5所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是分的学生占全班参赛人数的百分率是▲ ． 图3反面反面正面正面图417.一个滑轮起重装置如图6所示，滑轮的半径是10cm ，当滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度为120 时，重物上升时，重物上升▲ cm （结果保留p ）． 18.如图7，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△EBD ，点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上，边DE 交边AB 于点F ，△BDC ∽△ABC ．已知10=BC ，5=AC ，那么△DBF 的面积等于的面积等于▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）分）计算：()320171113sin 60223-æö+-+-°ç÷-èø.20．（本题满分10分）分）解方程组：îíì=++=+-.944,02322y xy x y x21．（本题满分10分）分）在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数的图像与反比例函数xy 8=的图像交于点)4,(m A .（1）求正比例函数的解析式；）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图像向下平移6个单位得到直线l ，设直线l 与x 轴的交点为B ，求ABO Ð的正弦值．的正弦值．图6图5图722．（本题满分10分）分）上海首条中运量公交线路71路已正式开通．该线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，东路中山东一路，全长全长17.5千米．71路车行驶于专设的公交车道，路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号又配以专用的公交信号灯．经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟．求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速．23．（本题满分12分）分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ，且ABE CAD Ð=Ð． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；是矩形；（2）如果AE EG =，求证：2AC BC BG = ．图824．（本题满分12分）分） 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x x m =-+（m ＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图像交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线的图像与y 轴交于点C ，且3OC OB =．（1）求点A 的坐标；的坐标；（2）求直线AC 的表达式；的表达式；（3）点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标．的坐标．25．（本题满分14分）分）如图10，半圆O 的直径AB ＝10，有一条定长为6的动弦CD 在弧AB 上滑动（点C 、点D 分别不与点A 、点B 重合），点E 、F 在AB 上，EC ⊥CD ，FD ⊥CD ． （1）求证：EO OF =；（2）联结OC ，如果△ECO 中有一个内角等于45 ，求线段EF 的长；的长；（3）当动弦CD 在弧AB 上滑动时，上滑动时，设变量设变量CE x =，四边形CDFE 面积为S ，周长为l ，问：S 与l 是否分别随着x 的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．数定义域，以说明你的结论．图9图10普陀区2016学年度第二学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）分）1．(D)； 2．(C)； 3．(A) ； 4．(C) ； 5．(B)； 6．(B). 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.)2)(2(-+a a a ； 8.x =1； 9. 302x ≤<； 105x ¹； 11．94c >；12 <；13．抽中一张唱片；．抽中一张唱片； 14．45； 15．1:3； 16．80%；17．203p ； 18．4516． 三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）分）19．解：原式=233)32()1(8´-++-+ · ···················································· （8分）分）=239-. · ············································································ （2分）分）20．解：方程②可变形为9)2(2=+y x . · ························································ （2分）分）得：32=+y x 或32-=+y x ， · ······················································ （2分）分）原方程组可化为îíì=+-=-；32,23y x y x îíì-=+-=-.32,23y x y x · ······································ （2分）分） 解得解得 îíì==；1,111y x ïïîïïíì-=-=.51,51322y x ······························································ （4分）分） ∴原方程组的解是îíì==；1,111y x ïïîïïíì-=-=.51,51322y x 21．解：（1）∵反比例函数8y x=的图像经过)4,(m A∴84m =，解得2=m ．∴点A 的坐标为)4,2(． · ··························································· （2分）分） 设正比例函数的解析式为)0(¹=k kx y ， ∵正比例函数的图像经过点A ，∴可得∴可得 k 24=，解得，解得2=k ． ∴正比例函数的解析式是x y 2=． · ············································· （2分）分）（2）∵正比例函数向下平移6个单位得到直线l ，∴直线l 的表达式为62-=x y ． ··············································· （2分）分） ∵直线l 与x 轴的交点为B ，∴点B 的坐标是()3,0． ···················· （1分）分）∴17AB =． ······································································ （1分）分） ∴4417sin 1717ABO Ð==． · ················································· （2分）分） 即：ABO Ð的正弦值等于41717．22．解：设早晚高峰时段71路在专用车道内行驶的平均车速x 千米/时． · ·············· （1分）分） 根据题意，可列方程17.517.522.5660x x -=- ． ········································ （4分）分） 整理得 262800x x --=．· ···························································· （1分）分） 解得 120x =，214x =-． ···························································· （2分）分） 经检验 120x =，214x =-都是原方程的解都是原方程的解．．因为速度不能负数，所以取20x =． · ················································· （1分）分） 答：71路在专用车道内行驶的平均车速20千米/时． · ···························· （1分）分）23． 证明：（1）∵BE ⊥AC ，∴90AFB Ð=．············································ （1分）分） ∴90ABE BAF Ð+Ð= ． ·················································· （2分）分）∵ABE CAD Ð=Ð，∴90CAD BAF Ð+Ð= ．···················· （1分）分） 即 90BAD Ð=．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． · ·········· （1分）分） （2）联结AG ．∵AE EG =，∴EAG EGA Ð=Ð． ········································ （1分）分）∵四边形ABCD 是平行四边形，，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∵AB ∥CD ，∴ABG BGC Ð=Ð．∴CAD BGC Ð=Ð． ······· （1分）分） ∴AGC GAC Ð=Ð．∴CA CG =． · ········································ （1分）分） ∵AD ∥BC ，∴CAD ACB Ð=Ð．∴ACB BGC Ð=Ð． ······· （1分）分）∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCG Ð=． · ······························ （1分）分） ∴BCG ABC Ð=Ð，∴△BCG ∽△ABC ． · ····························· （1分）分）∴ACBC BG CG=．∴2AC BC BG = ． · ········································· （1分）分）24．（1）解：由题意得，二次函数图像的对称轴是直线1x =， ························· （1分）分） 反比例函数解析式是5y x=． ··················································· （1分）分） 把1x =代入5y x=，得5y =．∴点A 的坐标为()1,5． ·························································· （1分）分）（2）由题意得，点B 的坐标为()1,0． · ··················································· （1分）分） ∵3OC OB =，∴3OC =． ························································ （1分）分） ∵m ＞0，∴3m =．设直线AC 的表达式是3y kx =+，∵点A 在直线AC 上，∴2k =．∴直线AC 的表达式是23y x =+． ······ （1分）分）（3）点F 坐标是95,42æöç÷èø，()15,25+，()3,2-． ································ （6分）分）25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ． · ···································· （1分）分） ∵OH ⊥CD ，OH 是弦心距，∴CH DH =． · ···························· （1分）分）∵EC ⊥CD ，FD ⊥CD ，OH ⊥CD ，∴EC ∥OH ∥FD ． · ······· （1分）分） ∵CH DH =，∴EO OF =． ·················································· （1分）分）（2）∵ECO COH Ð=Ð，∴45ECO й． · ····································· （1分）分） ①当45EOC Ð= 时，过点E 作EM ⊥OC ，垂足为点M ． 在Rt △OCH 中，OC ＝5，132CH CD ==， 由勾股定理，得OH ＝4． · ····················································· （1分）分）∴::3:4:5CH OH CO =．∵ECM COH Ð=Ð，90CME OHC Ð=Ð=，∴△ECM ∽△COH ． 在Rt △ECM 中，可设4CM m =，3EM m =． 在Rt △EOM 中，3OM CM m ==，32EO m = ． ∵ CM OM OC +=， ∴435m m +=．解得解得57m =．所以1527EO =， 30227EF EO ==． · ··········· （2分）分） ②当45CEO Ð= 时，时， 过点O 作ON ⊥EC ，垂足为点N ． 在Rt △CON 中，3ON HC ==，4CN HO ==． 在Rt △EON 中，32EO =．所以62EF =． · ······························································ （2分）分） 综上所述，线段EF 的长等于3027或62． （3） 四边形CDFE 的面积S 不随变量x 的变化而变化，是一个不变量；的变化而变化，是一个不变量； 四边形CDFE 的周长l 随变量x 的变化而变化．的变化而变化． ······················ （1分）分） S ＝24(0＜x ＜8)； ······························································ （1分）分）(是一个常值函数) l ＝22825x x -+＋14(0＜x ＜8)． · ········································ （1分）分）说明：定义域2个1分，漏写、写错1个或全错，均扣1分．分．。
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：圆锥曲线
上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：圆锥曲线一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线22221x y a b-=00a b >>（,）的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．2、（奉贤区2016届高三二模）双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．3、（虹口区2016届高三二模）如图, 2222+1(0)x y A B a b a b=>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.4、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为5、（静安区2016届高三二模）已知双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为 .6、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）. (A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线7、（浦东新区2016届高三二模）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则PF PA的最小值是（ ）（A ）12（B ）22（C ）32（D ）2338、（普陀区2016届高三二模）过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）抛物线x y 42=的焦点坐标是____________10、（杨浦区2016届高三二模）已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则||||PM PF = . 11、（闸北区2016届高三二模）已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PFF ∆的面积为9，则b = ． 12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________13、（奉贤区2016届高三二模）已知抛物线24y x =上一点()0,23M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为________． 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模） 已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，Q 是椭圆外的动点，满足12F Q a =．点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足20PT TF ⋅=，20TF ≠ ．（1）当5,3a b ==时，用点P 的横坐标x 表示1F P；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使12F MF ∆的面积2S b =？若存在，求出12F MF ∠的正切值；若不存在，说明理由．（第22题图）P NQxOAMy2、（奉贤区2016届高三二模）已知椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点O 的直线与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．3、（虹口区2016届高三二模）已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）； (2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ， 使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存 在，请说明理由．(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程．4、（黄浦区2016届高三二模）对于双曲线22(,)22:1a b x y C a b-=(,0)a b >，若点00(,)P x y 满足2200221x y a b -<，则称P 在的(,)a b C 外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b ->，则称P 在(,)a b C 的内部； （1）若直线1y kx =+上的点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围；（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=(0)r >在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围；（3）若曲线2||1xy mx =+(0)m >上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围；5、（静安区2016届高三二模）已知12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（其中0a b >>）的左、右焦点，椭圆C 过点(3,1)-且与抛物线28y x =-有一个公共的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．6、（闵行区2016届高三二模）已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．7、（浦东新区2016届高三二模）教材曾有介绍：圆222r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。
上海市2016-2017学年高二第二学期期末考试数学试卷(含解析)
2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.。
(上海)高三数学-上海市宝山区2017届高三下学期期中考试(二模)数学试卷 Word版含答案
宝山2016学年第二学期高三数学教学质量检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1:6题每题4分，第7:12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-u r r ，P 为曲线()10m n x ⋅=>u r r上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x L 为1,2,L ,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC V 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设T Ü,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===L.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 1-9.1210. 0.03 12.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a >或32a <-20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩（3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。
2017.04 上海市闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷(二模)
（1）若 y = f (x) 是奇函数，则 y = f (f (x)) 也是奇函数；
（2）若 y = f (x) 是周期函数，则 y = f (f (x)) 也是周期函数；
（3）若 y = f (x) 是单调递减函数，则 y = f (f (x)) 也是单调递减函数； （4）若函数 y = f (x) 存在反函数 y = f −1(x)，且函数 y = f (x) − f −1(x) 有零点，则函数 y = f (x) − x
（1）若 f (x) = 4g(x) + 3，求 x 的值； （2）若存在 x ∈ [0, 4]，使不等式 f (a + x) − g(−2x) ≥ 3 成立，求实数 a 的取值范围．
3
19.（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图所示，∠P AQ 是某海湾旅游区的一角，其中 ∠P AQ = 120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游
P，
1
使 P 到直线 x = c 的距离是 |P F1| 与 |P F2| 的等差中项，则 b 的最大值为
．
11. 己知定点 A(1, 1)，动点 P 在圆 x2 + y2 = 1 上，点 P 关于直线 y = x 的对称点为 P ′，向量 A# Q– = O# P–′，
O 是坐标原点，则 P# Q– 的取值范围是
也有零点．
其中正确的命题共有
（）
（A）1 个
（B）2 个
（C）3 个
（D）4 个
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题
上海市普陀区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案
2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研2017.4考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.1A 1B 1C 1D B D A C EF xyo已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.2016学年第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分x令目标函数y x k +=3, 可行域的端点分别为()3,11，)10,4(，⎪⎭⎫ ⎝⎛10,25，⎪⎭⎫⎝⎛213,25，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，36333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
2017届上海各区高三数学二模试卷汇总
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上海二中2017届高三上学期期中数学试卷 含解析
2016—2017学年上海二中高三（上）期中数学试卷一、填空题（4*12=48分）1．向量=（3，4)与向量=（1，0）的夹角大小为．2．若cos(﹣θ）=，则sin2（θ﹣）= ．3．关于x、y的方程组的增广矩阵经过变换后得到，则= ．4．函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．5．设函数f(x)=，若f（a+1）≥f(2a﹣1），则实数a的取值范围是．6．设函数f（x）的定义域为R，且为奇函数,当x＞0时,f（x）=﹣x2+2x．若f（x）在区间［﹣1,a﹣2]上是单调递增函数，则a的取值范围是．7．平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3,∠BAD=60°,点E，F分别满足=2，=，则•= ．8．已知数列｛a n｝的前n项和S n满足4a n﹣3S n=2，其中n∈N＊．则数列｛a n｝的通项公式为．9．若x＞0，则函数y=x+的最小值为．10．数列｛a n}中,若a i=k2（2k≤i＜2k+1，i∈N*,k∈N)，则满足a i+a2i≥100的i的最小值为．11．分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图：易知第三行有白圈5个，黑圈4个．我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1,0），第二行记为（2，1），第三行记为(5，4）．照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（x n,y n），则= ．12．已知不等式（ax+3）(x2﹣b）≤0对任意x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a,b是整数,则a+b的取值的集合为{4,10｝．二、选择题(4＊6=24分）13．已知x，y∈R，则“x＞0，y＜0”是“xy＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．函数f（x）=|x｜+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．15．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=8b=16A=30°B．a=25b=30A=150°C．a=30b=40A=30° D．a=72b=60A=135°16．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜617．某市家庭煤气的使用量x(m3）和煤气费f（x）(元）满足关系f（x)=,已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A．11。
上海市位育中学2017届高三上学期9月零次考试数学试题
绝密★启用前上海市位育中学2017届高三上学期9月零次考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设x ∈R ，则“x ＞1”是“x 2＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若函数()y f x =存在反函数,则方程()f x c =(c 为常数)( ) A ．有且只有一个实根 B ．至少有一个实根 C ．至多有一个实根 D ．没有实数根3．设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）. A ．1B ．2C ．3D ．44．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．设全集U =R ,集合3405x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,则U A =ð______6．若tan 3α=,则22sin sin cos 2cos αααα++=______ 7．已知函数22()log 1f x a x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭是奇函数,则不等式()0f x <的解集是______ 8．若集合{}2=10A x ax ax -+==∅,则实数a 的取值范围是__________. 9．函数()2f x x =+__________． 10．函数1x ay x a -=--的图像的对称中心是()4,1P ,则实数a =______11．数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1323n n a S ++=(n *∈N ),则数列{}n a 的通项公式n a =______12．无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为______.13．已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中13214n a a a +++⋅⋅⋅+=，2423n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =______.14．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．15．已知()()()sin f x x x ϕϕ=+-是偶函数,则所有满足条件的ϕ的值组成的集合为______16．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______17．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是____．18．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,n x x x L 满足1206n x x x π≤<<<≤L ，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112n n f x f x -+-=L （2m ≥，*N m ∈），则m 的最小值为__________． 三、解答题19．解关于x 的不等式:11axx ≤-; 20．已知函数()cos2cos f x x x x =+; (1)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值,并指出取得最大值时对应的x 的值;(2)若06πθ<<,且()43f θ=,求cos2θ的值; 21．甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.22．已知()21,f x log a a R x ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈. （1）当1a =时，解不等式()1f x >； （2）若关于x 的方程()()220f x log x+=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得n m S a =,则称{}n a 是“H 数列”;(1)若数列{}n a 的前n 项和2nn S =(n *∈N ),判断数列{}n a 是否是“H 数列”?若是,给出证明;若不是,说明理由;(2)设数列{}n a 是常数列,证明:{}n a 为“H 数列”的充要条件是0n a =;(3)设{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d <,若{}n a 是“H 数列”,求d 的值;参考答案1．A 【解析】 【详解】试题分析：由x >1可得x 2>1成立，反之不成立，所以“x >1”是“x 2>1”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件 2．C 【解析】 【分析】由已知函数y ＝f （x ）存在反函数，根据函数的定义，可得函数的x ，y 之间是一一对应的关系，然后分析c 与函数y ＝f （x ）的值域的关系，即可得到答案． 【详解】若函数y ＝f （x ）存在反函数， 则函数是一个单射函数 设B 为函数y ＝f （x ）的值域当c ∈B 时，方程f （x ）＝c 有一实根； 当c ∉B 时，方程f （x ）＝c 无实根； 故方程f （x ）＝c 至多有一个实根 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是反函数，根的存在性及根的个数判断，其中根据函数的定义得到函数是一个单射函数是解答本题的关键． 3．B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 4．B 【解析】 【详解】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根考点：不等式性质 5．4,53⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】解分式不等式求出集合A 后可得补集． 【详解】由3405x x +≤-得(34)(5)05x x x +-≤⎧⎨≠⎩，(34)(5)05x x x +-≥⎧⇒⎨≠⎩43x ⇒≤-或5x >，即4{|3A x x =≤-或5}x >，∴U 4{|5}3A x x =-<≤ð．故答案为：4(,5]3-．【点睛】本题考查集合的补集运算，解题关键是解分式不等式确定集合A ． 6．75【解析】 【分析】把求值式看作分母为1的分式，并把1代换为22sin cos αα+，化为sin cos αα，的齐次式求值．【详解】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos αααααααααα++++=+22tan tan 2tan 1ααα++=+ 223327315++==+． 故答案为：75．【点睛】本题考查三角函数求值，考查同角间的三角函数关系，解题关键是“1”的代换化求值式为sin cos αα，的齐次式求值．7．()1,0- 【解析】 【分析】由奇函数的定义求得a ，结合对数函数性质解不等式． 【详解】由题意2(0)log (2)0f a =-=，1a =，此时函数为2221()log (1)log 11xf x x x+=-=--为奇函数，所以由21()log 01xf x x +=<-得1011x x+<<-，解得10x -<<． 故答案为：(1,0)-． 【点睛】本题考查奇函数的性质，考查解对数不等式．解题关键是由奇函数性质求出参数a ． 8．[)0,4 【解析】 【分析】本题首先要理解{}2=10A x ax ax -+==∅,即210ax ax -+=无实数解,即可求得答案. 【详解】当0a =时,原不等式无实解,故符合题意. 当0a ≠时, 210ax ax -+=无实数解,故∆<0,可得:240a a -< 解得:04a <<综上所述,实数a 的取值范围是:[)0,4. 故答案为:[)0,4. 【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 9．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数()2f x x =令t 0=≥，则21x t =-.得22117y 222(),t 048t t t =-+=--+≥.当14t =时，函数有最大值178. 所以值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择 10．3 【解析】 【分析】用分离常数法分离常数，然后结合函数1y x=的性质可得对称中心． 【详解】由题意1x a y x a -=--111x a =+--，其图象对称中心是(1,1)a +，∴14a +=，3a =．故答案为：3. 【点睛】本题考查函数的对称性．解题关键是掌握幂函数1y x=的性质及图象平移的知识． 11．113n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由1323n n a S ++=，再写出一个等式1323n n a S -+=，两式相减可得数列的递推关系，从而确定数列的性质． 【详解】∵1323n n a S ++=，∴2n ≥时，1323n n a S -+=，两式相减得130n n a a +-=，即113n n a a +=，又11a =，∴{}n a 是等比数列，公比是13，首项是1，∴11()3n n a -=．故答案为：11()3n -．【点睛】本题考查等比数列的通项公式．已知前n 项和n S 与项的关系，求通项公式，方法是利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列的递推关系，从而确定数列是等比数列还是等差数列，或者是有其它的性质，以便求得通项公式． 12．S 【解析】 【分析】根据条件判断数列{}n b 为等比数列，然后确定数列{}n b 的首项和公比，利用无穷等比数列各项和公式进行求解． 【详解】解：∵无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，∴设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 则由定义得11a S q=-． ∵数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，(332313313132333231332313)n n n n n n n n n n n n n nq a a a b a a a q b a a a a a a --++++----++++∴===++++， ∴数列{}n b 为等比数列，且公比30q q =，首项()2112311b a a a a q q=++=++，∴数列{}n b 的各项和为()()()22111133211111(1)1a q q a q q b a S qq q S qq q '++++=====----++． 故答案为：S ． 【点睛】本题主要考查无穷等比数列的各项和公式以及等比数列的判断，利用立方差公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．无穷等比数列{}n a 的各项和公式为：11a S q=-． 13．3 【解析】 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列前n 项和公式，可以求出n 的值. 【详解】12113211)(1)(44(1)24n n n a a a a a a n n ++++++⋅⋅⋅+=⇒=⇒++=，222421(33)23n n n a a a a n a na ++++⋅⋅⋅+⇒=⇒==，所以有1143(1)3n n n a na n ++=⇒=+. 故答案为：3 【点睛】本题考查了等差数列下标的性质和等差数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14．8 【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题. 15．,6k k Z πϕϕπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】利用偶函数定义结合正弦函数性质求解． 【详解】∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，即sin())sin())x x x x ϕϕϕϕ++-=-++--sin())x x ϕϕ=--++，sin())sin())x x x x ϕϕϕϕ+-+=---，2sin()2sin()2sin()333x x x πππϕϕϕ+-=--+=-+-， 此式对任意实数x 恒成立，则()2,33x x k k Z ππϕϕππ+-+-+-=+∈，∴,6k k Z πϕπ=+∈．故答案为：,6k k Z πϕϕπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是掌握奇偶性的定义及恒等式知识． 16．9 【解析】 【分析】由奇函数性质得(0)0f =，由周期性得(2)(2)f f -=，再由奇函数性质得(2)0f =，再结合周期可得． 【详解】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈． 在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点． 故答案为：9. 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，考查函数的奇偶性与周期性，掌握奇函数定义和周期函数定义是解题关键． 17．()2,+∞ 【解析】钝角三角形内角,,A B C 的度数成等差数列，则+3A B C B ππ++=⇒=⇒2,33B A C ππ=+=，可设三个角分别为,,333A A πππ-+，故133sin A A sinAc m a sin A ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⎛⎫- ⎪⎝⎭，又,tan 633A A ππ<<<<tan t A =，且3t <<，则m =，在⎣ 上是增函数，2m ∴>，故答案为()2,+?.18．8 【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取 123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =考点：三角函数性质19．当0a <时,()1,1,1x a ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥-⎝⎦U ，当0a =时,()(),11,x ?ト+?，当01a <<时,()1,1,1x a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢-⎣⎭U ，当1a =时,(),1x ∈-∞，当1a >时,1,11x a ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭． 【解析】 【分析】先分类0a =和0a ≠，然后在0a ≠时，把分式不等式转化为整式不等式，再由最高次项系数是等于0，大于0，小于0分类，同时对相应方程的两根要讨论大小． 【详解】0a =时，不等式恒成立，解集为()(),11,-∞+∞U ；0a ≠时，不等式化为(1)101a x x -+≤-，即[(1)1](1)0a x x -+-≤且1x ≠，1a =时，不等式为10x -≤且1x ≠，∴1x <，1a >时，不等式化为1()(1)01x x a +-≤-且1x ≠，111x a ≤<-， 1a <时，不等式化为1()(1)01x x a +-≥-且1x ≠， 0a <时，11x a≤-或1x >，01a <<时，1x <或11x a≥-．综上不等式解集为：当0a <时,()1,1,1x a ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥-⎝⎦U ，当0a =时,()(),11,x ?ト+?，当01a <<时,()1,1,1x a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢-⎣⎭U ，当1a =时,(),1x ∈-∞，当1a >时,1,11x a ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭． 【点睛】本题考查解含参数的分式不等式．解题时可利用移项通分化分式不等式为整式不等式，然后分类讨论解整式不等式即可．20．(1)6x π=,最大值为2;(2; 【解析】 【分析】把函数利用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式， （1）利用正弦函数性质可得最大值． （2） 由2(2)66ππθθ=+-，结合两角差的余弦公式计算．【详解】()cos2cos f x x x x =+cos 222(sincos 2cossin 2)66x x x x ππ=+==+2sin(2)6x π=+，（1）[0,]2x π∈，则72[,]666x πππ+∈， ∴262x ππ+=即6x π=时，max ()2f x =．（2）4()2sin(2)63f πθθ=+=，2sin(2)63πθ+=，∵06πθ<<，∴2662πππθ<+<，∴cos(2)6πθ+==， ∴cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin666666ππππππθθθθ=+-=+++213232=⨯+⨯26=． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．考查三角函数问题时一般要利用二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再结合正弦函数的性质求解．三角函数求值问题，一定要观察寻找已知角和未知角之间的联系，以确定选用哪个公式进行化简变形． 21．(1)310x ≤≤(2)6x =时，元【解析】 【详解】(1)根据题意，200351x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－≥3000，即5x －14－3x≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100351x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝9×104211613612x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－－＋，故x ＝6时，y max ＝457500元． 22．（1）(0,1)（2）0a =或14a =-，（3）23a ≥ 【解析】 【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据a 分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数()f x 单调性，确定()f x 最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果. 【详解】（1）当1a =时，()22111f x log a log x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⎭+ ()211112101111log x x x x f x ⎛⎫>++>∴>∴∴ ⎪⎝>⎭<∴<Q不等式解集为(0,1) （2）()()()22222100f x log xloga log x x ⎛+=∴+⎫ ⎝⎭+⎪=Q 222111,0,010a x a x ax x x x ⎛⎫ ⎪⎝+=+>∴+-⎭>= ①当0a =时，210ax x +-=仅有一解1x =，满足题意； ②当0a ≠时，则0∆≥， 若10140,4a a ∆=⇒+==-时，解为2x =，满足题意；若10140,4a a ∆>⇒+>>-时，解为0x =≠此时110a x x =+=>Q即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意； 综上，0a =或14a =-， （3）因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差为()(1)t f f t -+，因此2211()(1)log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即2(1)10at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为0a >，所以2(1)1y at a t =++-在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以21131(1)1(1)1=4242y at a t a a a =++-≥⨯++⨯-- 因此3120423a a -≥∴≥ 【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.23．(1)是,见解析;(2)见解析;(3)1d =- 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，确定n S 是数列中的项即可； （2）利用n S 是数列中的项可求，注意要证明必要性和充分性． （3）利用n m S a =，求出m ，由m 是正整数分析d 的可能情形． 【详解】（1）2nn S =，则112a S ==，2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，显然对任意的2nn S =是数列中的第1n +项，所以数列{}n a 是“H 数列”；（2）数列{}n a 是常数列,即1n a a =，而1n S na =，数列{}n a 是“H 数列”，则11n S na a ==对一切正整数n 成立，所以10a =；反之，若10a =，则0,0n n a S ==是数列{}n a 中的项，即数列{}n a 是“H 数列”． 综上，{}n a 为“H 数列”的充要条件是0n a =;（3）{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d <，1(1)n a n d =+-，(1)2-=+n n n S n d ， 若{}n a 是“H 数列”，则存在正整数m ，使得(1)1(1)2n n n S n d m d -=+=+-， 1(1)12n n n m d --=++，(1)2n n -是正整数，所以1n d -是整数，因为*n N ∈，所以d 是所有正整数的公约数，又0d <，所以1d =-． 【点睛】本题考查数列新定义问题，考查了学生的创新意识．理解新定义是解题关键．本题新定义实质就是对任意的n S ，求出m ，使n m S a =．。
上海市南模中学2017届高三上学期9月初态考试数学试题
…………外……………内…绝密★启用前上海市南模中学2017届高三上学期9月初态考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．函数123x y -=+()x R ∈的反函数的解析表达式为（ ）A ．22log (3)3y x x =>- B ．23log (3)2x y x -=> C ．23log (3)2xy x -=<D ．22log (3)3y x x=<-2．将函数()2sin(2)3f x x θ=--的图像F 按向量=,36a π⎛⎫⎪⎝⎭r 平移得到图像F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是（ ）A ．6π-B ．3π-C ．2π D ．3π 3．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为1，过顶点A 作一平面α与侧面11BCC B 交于EF ，且EF ∥BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角的大小为06x x π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭＜，四边形BCEF 面积为y ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．关于x 的方程2(1)x a x ++10a b +++=(,a b ∈R 且0a ≠)的两实根为12x x 、,若12012x x <<<<,则ba的取值范围是（ ）A ．42,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．52,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．51,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．复数12i-的共轭复数是 ___________ 6．已知R 是实数集，2|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|1N y y ==，则R N C M ⋂= .7．已知tan 2α=,则2cos 2(sin cos )ααα=-________ 8．函数lg ,()21,0xx x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,若()0f a >,则a 的取值范围是________9．已知定义在R 上的奇函数()f x 是(],0-∞上的增函数,且()12f =,()24f -=-,设(){}40P x f x t =+-<,{}()2Q x f x =<-,若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是________10．已知函数,(0)?()(3)4,(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为____．11．若(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为_______.12．已知函数f (n )＝n 2cos (nπ)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝_______ 13．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为______cm 2．14．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切．则○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………15．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为____.16．在直角坐标系xOy 中,抛物线()220y px p =->的焦点F 与双曲线2288x y -=的左焦点重合,点A 在抛物线上,且6AF =,若P 是抛物线准线上一动点,则PO PA +的最小值为________17．已知ABC V 中,60C ∠=°,3c =,则该三角形内切圆半径的取值范围是________18．数列{}n x 中,10x =,111n n n x x n n++=+,则数列通项公式n x =________ 评卷人 得分三、解答题19．已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a b c ﹑﹑，若cos cos A bB a=且sin cos C A =．(Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin 2cos 22C f x x A x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 20．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （I ）求出该几何体的体积； （II ）求证：EM ∥平面ABC ；（III ）试问在棱DC 上是否存在点N ，使NM ⊥平面BDE ？ 若存在，确定点N 的位置； 若不存在，请说明理由.21．已知函数()22x x f x a -=+（常数)a ∈R ． （1）若1a =-，且()4f x =，求x 的值；（2）若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数；（3）若存在[0,1]x ∈，使得()()22f x f x >⎡⎤⎣⎦成立，求实数a 的取值范围． 22．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}nb 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n nb nc a n ≤⎧=⎨≥⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S ≤-≤对*n ∈N 恒成立，求B A -的最小值． 23．给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O 的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,F F .（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=u u u u u r u u u u u r，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m mn n 的直线的最短距离mindb =.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．A 【解析】 【分析】先求函数值域，再求x ，即得结果. 【详解】1233x y -=+>Q ，又1221231log 232(3)log 3xx y x y y y --=-∴=--==⇒-+ 所以函数123xy -=+()x R ∈的反函数为22log (3)3y x x =>- 故选：A 【点睛】本题考查求反函数，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．B 【解析】 【分析】先根据向量平移规律得函数解析式，再根据对称轴列方程，解得θ，最后对照选项选择. 【详解】函数()2sin(2)3f x x θ=--的图像F 按向量=,36a π⎛⎫⎪⎝⎭r 平移得到2sin[2()]332sin(2)63y x x ππθθ=---+=--因为一条对称轴是直线4x π=,所以2,(),()4323k k Z k k Z ππππθπθπ⨯--=+∈∴=--∈当0k =时3πθ=-故选：B 【点睛】本题考查向量平移以及三角函数对称轴，考查综合分析求解能力，属中档题. 3．C 【解析】【分析】先作出平面α与底面ABC所成的二面角的平面角为x，如图为GAH∠,在直角三角形AGH中用x,及AH=表示出GH,再利用四边形BCEF面积为y BC GH=⨯求出()f x,根据解析式，作出简图，即可得到答案.【详解】作图如下：过A作AM BCP,,H G分别是,BC EF中点,则AH BC⊥,所以AH AM⊥,在等腰三角形AEF∆中,AG EF⊥，//EF BCQ,AG AM∴⊥,所以GAH∠是平面α与底面ABC所成角的平面角.GAH x∴∠=,tanGH xAH =,GH x∴=,所以四边形BCEF面积为：()y f x=BC GH=⨯x =根据正切函数图象可知C 符合. 故选:C 【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明GAH ∠是平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题. 4．D 【解析】 【分析】根据实根分别列不等式组，即得可行域，再根据目标函数意义（斜率），结合图象求结果. 【详解】由题意得1010111023042210370a b a b a a b a b a a b a b ++>++>⎧⎧⎪⎪+++++<∴++<⎨⎨⎪⎪+++++>++>⎩⎩作可行域如图(4,5),(2,1),(3,2)A C B ---，则b a 的取值范围是51(,)(,)42OA OC k k =--故选：D 【点睛】本题考查二次方程实根分别以及利用线性规划求范围，考查综合分析求解能力，属中档题.5．i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - . 6．[]1,2 【解析】试题分析：{}2|1|02M x x x x x ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭或，{}{}|1|1N y y y y ===≥ {}|12R N C M x x ∴⋂=≤≤考点：集合的交并补运算及解不等式点评：集合的交并补运算常借助于数轴来求解，将集合标注在数轴上，通过观察数轴上的点求解 7．3- 【解析】 【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果. 【详解】2222cos 2cos sin cos sin 1tan 123(sin cos )(sin cos )cos sin 1tan 12ααααααααααααα-+++=====------故答案为：3- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．(,1)(0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】根据分段函数解析式分类列不等式，最后求并集. 【详解】由题意得：0lg 0a a <⎧⎨>⎩或0210a a ≥⎧⎨->⎩，解得1a <-或0a >故答案为：(,1)(0,)-∞-+∞U 【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．(3,)+∞ 【解析】 【分析】先根据奇函数性质得函数单调性，再根据单调性确定P,Q 解集，最后根据充要关系得解集包含关系，列不等式解得结果. 【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 是(],0-∞上的增函数，所以函数()f x 在R 上是增函数， 因为()12f =,()24f -=-,所以()12f -=-,()24f =,(){}(){}{}40(2)2(,2)P x f x t x f x t f x x t t =+-<=+<=+<=-∞- {}{}{}()2()(1)1(,1)Q x f x x f x f x x =<-=<-=<-=-∞-因为“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件,所以P n Q ，即213t t -<-∴> 故答案为：(3,)+∞ 【点睛】本题考查根据函数奇偶性与单调性解不等式以及根据充要关系取参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题函数f x （）是单调减函数；则013014a a a ⎧⎪-⎨⎪≥⎩＜＜＜，解得a 的取值范围．【详解】对任意x 1≠x 2，都有()()12120f x f x x x -<-成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则013014a a a ⎧⎪-⎨⎪≥⎩＜＜＜，解得104a <≤. 即答案为10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键． 11．20 【解析】由二项展开式的通项1r n r r n T C x -+=，所以121221n n a a C C +=+=，解得6n =，所以展示式中各项中系数的最大值为展开式中的中间项，即第4项，即4620C =.12．－100 【解析】 【分析】分n 为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案． 【详解】若n 为偶数，则a n ＝f （n ）+f （n +1）＝n 2﹣（n +1）2＝﹣（2n +1）， 偶数项为首项为a 2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f （n ）+f （n +1）＝﹣n 2+（n +1）2＝2n +1， 奇数项为首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．∴a 1+a 2+a 3+…+a 100 ＝（a 1+a 3+…+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）()504950495034505422⨯⨯=⨯+⨯+⨯--⨯=-100． 故答案为：-100． 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题． 13．100π 【解析】容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解． 【详解】设实心铁球的半径为R ，则43πR 3=π×102×53，得R =5， 故这个铁球的表面积为S =4πR 2=100πcm 2． 故填：100π． 【点睛】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力．14．22x+1y 2+=（）【解析】试题分析：令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0，与x 轴的交点为（-1，0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ==所以圆C 的方程为()2212x y ++=.考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系 15．49【解析】试题分析：“心有灵犀”数有或，则他们“心有灵犀”的概率为．考点：古典概型．16． 【解析】 【分析】先求双曲线左焦点得抛物线焦点，再根据抛物线定义得A 点坐标，最后根据对称求最值.22228818x x y y -=∴-=∴Q 双曲线的左焦点为2(3,0)36,122p p y x -∴-=-∴==-，26363,36A A A AF x x y =∴-=∴=-=Q ，因为O 关于抛物线准线的对称点为(6,0)B ,则||PO PA PB PA AB +=+≥==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线左焦点、抛物线方程与定义以及利用对称性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 17．1(0,]2【解析】 【分析】先根据等面积法以及余弦定理得内切圆半径函数关系式，再根据基本不等式求取值范围. 【详解】设ABC V 内切圆半径为11()sin22r r a b c ab C r ∴++=∴= 2222212cos 3()3[()3]3c a b ab C a b ab ab a b =+-∴=+-∴=+-Q22210()0[()3]()232a b a b ab a b a b ++<≤∴<+-≤<+≤Q从而1)(0,]2r a b ==+∈ 故答案为：1(0,]2【点睛】本题考查三角形面积公式、余弦定理以及基本不等式应用，考查综合分析求解能力，属中档题. 18．1n - 【解析】先变形，构造新数列，根据常数列定义求1n x n n+，即得结果. 【详解】111111111(1)11n n n n n n x x x x n x x n n n n n n n n n n ++++=+∴=+∴-=-++++Q 11111n n x x n n n n+∴+=+++ 因此数列1{}n x n n +为常数列，111==111=1n n x x x n n n ++∴-故答案为：1n - 【点睛】本题考查根据递推关系求通项以及等差数列定义，考查综合分析求解能力，属中档题. 19．(Ⅰ)6A B π==,23C π=;(Ⅱ)单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈. 它的相邻两对称轴间的距离为2π. 【解析】 【详解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:cos sin cos sin A BB A=,得sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=,即A B =或2A B π+=．当A B =时,有sin(2)cos A A π-=, 即1sin 2A =,得6A B π==,23C π=; 当2A B π+=时,有sin()cos 2A ππ-=,即cos 1A =，不符题设，∴6A B π==,23C π=． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+； 当2[2,2]()622x k k k Z πππππ+∈-+∈时,()2sin(2)6f x x π=+为增函数， 即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈.它的相邻两对称轴间的距离为2π. 20．略【解析】解法一：由题意，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE//DC ，AE=2，DC=4，AB ⊥AC ，且AE=AC=2，（I ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB, 又AB ⊥AC, ∴AB ⊥平面ACDE , …………2分∴四棱锥B-ACDE 的高h=AB=2，梯形ACDE 的面积S= 6 ∴143B ACDE V S h -=⋅⋅=， 即所求几何体的体积为4 ………………４分（II ）证明：∵M 为DB 的中点，取BC 中点G ，连接，∴ MG ∥DC ，且12MG DC =∴ MG AE ，∴四边形AGME 为平行四边形， ……6分 ∴EM ∥AG, 又AG ⊄平面ABC AG ⊆平面ABC ， ∴EM ∥平面ABC.……8分 （III ）由（II ）知，EM ∥AG ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC,∴AG ⊥平面BCD ∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面BCD 10分 在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N,∴MN ⊥平面BDE 点N 即为所求的点 ………………10分 ∵DMN ∆∽DCB ∆62633,4DN DM DB DC DN DN DC∴==∴=∴=即∴ 边DC 上存在点N ，满足DN=34DC 时， 有MN ⊥平面BDE. …………12分 解法二：（I ）（同解法一） …………4分∥ = BAEGN DCM（II ）由（I ）知EA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AB ⊥AC 。
【中小学资料】上海市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷(含解析)
2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为．3．若复数z满足，则= ．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为cm3．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是．二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：115．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．21．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．2016-2017学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0 ．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】根据点向式方程计算即可【解答】解：方向向量为，且过点A（3，4）的方程为=，即2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．3．若复数z满足，则= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．【解答】解：∵==，∴．故答案为：．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为2±．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a的值．【解答】解：直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率为a，直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，∴tan==||，求得a==2﹣，或a==2+，故答案为：2±．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，可得：，解得k=．故答案为：．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z 取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出线性约束条件，所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x+1+z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2故答案为：﹣2．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为45°．【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故答案为45°．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为x+y﹣2=0 ．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程．【解答】解：∵参数方程（t为参数），∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y），整理，得一般方程为：x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：以椭圆3x2+13y2=39的焦点为（±，0），则双曲线的顶点（±，0），可得a=，以为渐近线的双曲线，可得b=，所求的双曲线方程为：．故答案为：．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为y=2x2+2 ．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【分析】设出P的坐标，求出M的坐标，动点M在抛物线y=4x2+1上运动，点M满足抛物线方程，代入求解，即可得到P的轨迹方程．【解答】解：设P的坐标（x，y），由题意点M为线段OP的中点，可知M（，），动点M在抛物线y=4x2+1上运动，所以=4+1，所以y=2x2+2动点P的轨迹方程为：y=2x2+2．故答案为：y=2x2+2．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为288 cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，纬圆半径是：3cm，地球仪的半径是：6cm；地球仪的体积是：π×63=288cm3，故答案为：288π．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是（0，）．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交，可得1﹣1＜＜1+1，可得0＜2，即a∈（0，）．故答案为：（0，）二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，∴p是q的必要不充分条件，故选：B14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果．【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体，需要看出所给的四个几何体的三视图，正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，故符合题意的有（2）（3）（4）三个，故选A．16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选A三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程；（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点即可【解答】解：（1）（1）设P（x，y），∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，∴，整理得x2=8y∴点P的轨迹C是以原点为顶点，对称轴为y轴的抛物线．（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点．直线AF方程：x+3y﹣6=0由得P（，）|PA|+|PF|的最小值为．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出．利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角．（2）求出平面ABD的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科）解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）．由O1是A1C1中点，可得O1（1，1，3）．于是，．设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ，则．因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为．（2）设是平面ABD的法向量．∴又，∴取z=2，可得即平面BA1C1的一个法向量是．∴=．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a+1）2+（b+2）2=8．则z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a2+b2+2a+4b）+（b﹣2a﹣b+2a）i=3，即a2+b2+2a+4b=3，化为（a+1）2+（b+2）2=8．∴z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．∴|z|=，则|z|的最大值为．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）（2）令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4，解得k【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）∴P（﹣2，1）．（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∴k＞0令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4解得k=∴直线l方程为：x﹣2y+4=021．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…。
(完整word版)2017届上海市普陀区高三二模数学卷(含答案),推荐文档
2017届第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线N A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）FEBA P20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分设,PC AB u u u r u u ur的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 分 所以，,PC AB u u u r u u u r 的夹角为arccos 3，即异面直线PC 与AB 所成角的大小为分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=， 即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分 因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP ∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分 在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分 解得x19=， 即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。