2012学年第一学期高三数学期中(文科)试卷(答案)

2012学年第一学期高三数学期中（文科）考试试卷

考试时间120分钟，满分150分

一、填空题（每小题4分，共56分） 1、已知3

sin 25

πα⎛⎫-=

⎪⎝⎭，则()cos πα-= 35- 。

2

、函数y 的定义域是 5[2,2]66

k k k Z p p

p p ++

。 3、函数()sin cos sin y x x x =-的最小正周期为 p 。

4、已知函数2211

()f x x x x

+=+，则)(x f 的解析式为 2()2(2f x x x =- 或2)x ?

。

5、已知函数)02(42

1

)(2≤≤--=

x x x f ，则反函数=-)(1

x f

[0,1]x - 。

6、9

2

12x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭展开式中9x 的系数为_______212-______。

7、若1n

x ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 1215 。

8、若偶函数()f x 在(],0-∞上为增函数，则不等式()()212f x f x +>-的解集 13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭

_ 。 9、已知等腰三角形ABC 的一个底角A 的正弦值为5

13

，则此三角形顶角B 的余弦值为 119

169

-

。 10、在ABC ∆中，已知2

2

tan tan a B b A =，则ABC ∆为 等腰或直角 三角形。 11、函数()lg sin f x x x =- 的零点个数是 3 个。

12、设函数()

()()

()17

02,10x

x f x f a x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=<⎝⎭

⎨⎪

≥⎩

若，则实数a 的取值范围是 (3,1)- 。

13、函数()y f x =的图象与2x

y =的图象关于y 轴对称，若()1

y f

x -=是()y f x =的反函数，

则()

1

22y f

x x -=-的单调递增区间是 _(),0-∞_ 。 14、三个同学对问题“关于x 的不等式ax x x x ≥-++2

32525在[1,12]上恒成立，求实数a 的

取值范围提出各自的解题思路：

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。

乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”。 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”。

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确解集，即a 的取值范围是 (],10-∞ 。

二、选择题（每小题5分，共20分）

15、“2()6

k k Z π

απ=

+∈”是“1

cos 22

α=

”的（ A ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

16、已知函数()f x 的图象与函数()21x g x =-的图象关于点(0,1)对称，则()f x 的解析式（ A ） (A) 1

()()32

x

f x =-+ (B) ()23x f x =-+ (C) ()21x f x =+ (D) 1()()12

x

f x =+ 17、方程0cos sin 2

=++K x x 有解, 实数K 的取值范围（ D ） (A)]45,1[- (B)]1,45[ (C) ]0,45[-

(D) 5[,1]4

- 18、已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，且

(2)2f -=-，当[]12,0,3x x ∈且12x x ≠时，都有

1212

()()

0f x f x x x ->-，则给出下列命题：

①(2012)2f =-；② 函数()y f x =图象的一条对称轴为6x =-；

③ 函数()y f x =在[]9,6--上为减函数；④ 方程()0f x =在[]9,9-上有4个根， 上述命题中的所有正确命题的序号是（ D ）

(A) ①② (B) ②③④ (C) ①③④ (D) ①②③④

三、解答题（本大题共74分，12+14+14+16+18=74） 19、函数)3)(2(x x y -+=

的定义域为集合A ，函数2lg[(1)1]y kx k x =-++ 的定义域为集

合B ，当B A ⊆时，求实数k 的取值范围。 答案：1,2

⎛⎤∈-∞- ⎥⎝

⎦

k

20、在ABC ∆中，已知5cos 13A =

，10

tan cot 223

B B +=，21c =， （1）求cos()A B -的值； （2）求AB

C ∆的面积。 答案：（1）56

cos(A B)65

-=； （2）ABC S 126∆=。

21、某船在海面A 处测得灯塔C 在北偏东30︒方向,与A

相距,测得灯塔B 在北偏西

75︒方向,与A

相距.船由A 向正北方向航行到D 处,测得灯塔B 在南偏西60︒方向.

这时灯塔C 与D 相距多少海里?C 在D 的什么方向? 答案

: 30︒处

22、设a R ∈，()f x 是奇函数，且42

(2)41

⋅+-=+x x

a a f x （1）试求)(x f 的反函数1

()f x -的解析式及)(1x f -的定义域；

（2

）设1()x g x k +=，若12[,]23

x ∈时，1

()()f x g x -≤恒成立，求实数k 的取值范围.

答案：（1）)1,1(,11log )(21

-∈-+=-x x

x

x f ；

（2）]35,0(。

23、设函数(

)g x =

函数()(]3,3,h x x x a =+∈-，其中a 为常数且0>a ，令函数()x f 为函数()x g 和()x h 的积函数。

（1）求函数()x f 的表达式，并求其定义域； （2）当4

1

=

a 时，求函数()x f 的值域； （3）是否存在自然数a ，使得函数()x f 的值域恰为[]2,3？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合；若不存在，试说明理由。 解：（1）(

)f x =

，[]()0,,0x a a ∈>。 （2）∵41=

a ，∴函数()x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0，令t x =+1，则()2

1-=t x ，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈23,1t ， ∴()()2244

2t t f x F t t t t

-+==

=+-， ∵t t 4=

时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉±=23,12t ，又⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈23,1t 时， ()t F 单调递增， ∴()13,36F t ⎡⎤∈⎢

⎥⎣⎦，即函数()x f 的值域为13,36⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

。 （3）假设存在这样的自然数a 满足条件，令t x =+1，则

()()2244

2t t f x F t t t t

-+===+-，

∵[]()0,,0x a a ∈>，则[]

1.1+∈a t ，要满足值域为[]2,3，则要满足()min 2F t =， 由于当且仅当t

t 4=

2=⇒t 时，44

≥+t t 中等号成立，且此时()2F t =恰为最小值，

∴21121a ⎡⎤∈⇒

≥⇒≥⎣⎦

，

又

()t F 在[]

2,1上是减函数，在

[]

1,

2+a 上是增函数，

∴

)

13F

=

≤

233909a a a a ⇒+≤⇒≤⇒≤≤， \91≤≤a 又a Z Î，{

}1,2,3,4,5,6,7,8,9a \