点的合成运动(h)-练习
点的复合运动
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的 参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、 加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题 动 点：杆上A点。 动系：固连于滑块B。 定系：固连于墙面。 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概 念
牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。 （2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起 着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬 时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3）、注 意
第5章点的合成运动习题解答
第五章 点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系： 定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即r e a v v v +=解题要领1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2 牵连速度是牵连点的速度.3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理1 牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即r e a a a a +=，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成n r t r ne t e n a t a a a a a a a +++=+其中 t v a d d a t a=，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e2e n e ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r nr ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-点的合成运动(圣才出品)
图 7-4 解：以 M 为动点，水轮为动系，牵连运动轨迹为定轴转动，速度分析如图 7-5 所示。
图 7-5 由 va = ve + vr 在 x、y 两个方向上的分量得
va sin 60o = ve + vr sin va cos 60o = vr cos
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图 7-1
图 7-2
7-2 图 7-2 中的速度平行四边形有无错误？错在哪里？
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答：都有错误，改正见图 7-3。
图 7-3 7-3 如下计算对不对？错在哪里？
图 7-4 （a）图 7-4（a）中取动点为滑块 A，动参考系为杆 OC，则 ve=ω·OA，va=cosφ （b）图 7-4（b）中 vBC=ve=vacos60°va=ωr 因为 ω=常量,所以，VBC=常量， （c）图 7-4（c）中为了求 aa 的大小，取加速度在 η 轴上的投影式：aacosφ-ac=0 所以 答：（a）不对，va 的速度平行四边形画法不正确，正确图见图 7-5。 （b）加速度的计算不正确。vBC 和 ω 为此瞬时的大小，不是任意时刻的速度和角速度 故不能对时间求导。
其中 ρ 和 φ 是用极坐标表示的点的运动方程，aρ 和 aψ 是点的加速度沿极径和其垂直 方向的投影。
答：如图 7-7 建立直角坐标系．xOy 与极坐标系 ρOφ。 取动点 Q，动系 OA
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加速度合成（图 7-8）
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aa=aen+aet+ar+ac
大小：？
方向：Hale Waihona Puke √ √ √ √图 7-7
【VIP专享】点的合成运动(h)-练习
−
v
2 r
ρ cos θ
= a1 tan θ
− v12 sec 3 θ ρ
ae
θ
A
若上式求得aa是负值，
x' 说明aa的实际指向与图示假定指向相反。
x
第9章 点的合成运动
练习2 曲杆OBC以匀角速度ω绕固定轴O转动，使圆环M
沿固定直杆OA上滑动。设曲柄长OB=10 cm，OB垂直BC。
ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的绝对速度，绝对加速度。
vevesecv1sec求加速度由点的加速度合成定理v1a1将上式投影到与atr相垂直的轴x1oyr2v12seca1tana1tanv1a1若上式求得aa是负值说明aa的实际指向与图示假定指向相反
练习1 具有曲面AB的靠模沿水
平方向运动时，推动顶杆MN沿铅直
固定导槽运动。已知在图中瞬时靠
模 右
触
点的具的加有切速水线度平与a向1，水右曲平的线线速A的度B夹在v1，角杆水为端平θM向接；
φ=60°时，小环M的绝对速度，绝 对加速度。
va=0.173m/s， aa=0.35m/s2
第9章 点的合成运动
N y
y'
B O O'
θM
v1 a1
O
M
ϕ
ω
B
A x' x
C A
练习1 具有曲面AB的靠模沿水平方向运动时，推动顶杆 MN沿铅直固定导槽运动。已知在图中瞬时靠模具有水平向右 的速度v1，水平向右的加速度a1，曲线AB在杆端M接触点的切
aa = −aen ⋅ cos 60° + aC = −0.05 + 2 × 0.2 = 0.35 m s2
第5章点的合成运动习题解答080814讲课稿
第 5 章点的合成运动习题解答0 8 08 1 4第五章点的合成运动本章要点一、绝对运动、相对运动和牵连运动一个动点，两个参照系：定系，动系；三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。
二、速度合成定理动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即V a V e V r解题要领1定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.2牵连速度是牵连点的速度•3速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.4作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.5用解三角形的方法解速度合成图.三、加速度合成定理1牵连运动为平移时的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即a a a e a r ，当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成a；a a a e n t na e a r a r其中a；dv；，n aa2V a tdV e n，a e ，a e2Ve a t，a r dV r，a n2v■ ?a, e, r依次dt a dt e dt r为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。
解题要领1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.2牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。
但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。
工程力学—点的合成运动习题及解答
第八章 点的合成运动习题及解答P189 8-5. 已知 OA=l ，曲杆BCD 的速度为v ，BC=a; 求：A 点的速度与x 的关系。
解：取曲杆上的点B 为动点，OA 杆为动系，则r e a v v v +=v v a =,得22a e a x a .v sin .v v +==φ,a x a.v OB v 22e0+==ω=A v .v l .0=ωl ,a x a .22+P190 8-7. 已知 两种机构中2m .0a O O 21==, 杆 A O 1的角速度1ω=3rad/s,030=θ;求：杆A O 2A O 1的角速度2ω.解: 图 (a) , 取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系，图 (b) , 取杆A O 2上的A 点为动点，杆A O 1为动系，由: r e av v v += 分别作速度矢量图。
由图 (a) 解出23a.cos30.v v 10a e ω==，,s /rad 5.12A O v 12e 2===ωω由图 (b) 解出32.a .cos30v v 10e a ω==， ,s /5rad .12A O v 12e 2===ωω.s /rad 232A O v 12a 2===ωωP190 8-9. 已知 ==V v AB 常数，当t=0时，0=ϕ；求：045=ϕ时，点C 的速度的大小。
解: 取杆AB 上的A 点为动点，杆OC 为动系，由: r e av v v += 作速度矢量图。
ϕϕcos .v cos .v v a e ==，lcos .a OA OC .v v e c ϕ==解出 l a.cos vv 2c ϕ=，当045=ϕ时， 2l av v c =P190 8-10. 已知，轮C 半径为R ，偏心距OC=e, 角速度 ω=常数；求：00=ϕ时，平底杆AB 的速度。
解: 取轮心C 为动点，平底杆AB 为动系，由: r e av v v += 作速度矢量图。
习题课四：点的合成运动
Байду номын сангаас
A φ
O2
ω
习题课四
4：具有曲面AB的靠模沿水平方向
运动时，推动顶杆 MN 沿铅直固定
N y y' B O' θ v1 a1
导槽运动。已知在图中瞬时靠模具 有水平向右的速度 v1 ，水平向右的 加速度a1，曲线AB在杆端M接触点 的切线与水平线的夹角为 θ ；曲线
M
A x' x
AB 在杆端接触点 M 的曲率半径是 ρ ； 试求顶杆 MN 在这瞬时的速度及加 速度。
30
A
B
C
习题课四
例2：具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使 滑道BC获得间歇往复运动。若已知曲柄OA作匀 速转动，其角速度为ω=4rad/s,又R=OA=100mm， 求当曲柄与水平轴成角φ=30º 时滑道BC的速度和 加速度。
习题课四
例3：图示凸轮机构中，凸轮的半径R，偏心距 OC e 。若凸轮以匀角速度 转动，顶杆AB与 凸轮之间为光滑接触。试以两种动点和动系分 别求在图示位置时顶杆AB的速度和加速度。
习题课四
2、半径为R的半圆形凸轮D以等速v0沿水平线 向右运动，带动从动杆AB沿铅直方向上升，如 30 时杆相对于凸轮的速度，以 图所示。求 及杆AB的加速度。
习题课四
3、图示曲柄摇杆机构中，曲柄O1A=10cm，O1O2 铅垂。在图示瞬时，摇杆O2B的角速度ω=1rad/s， 角速度为零，O1A水平，φ=30º 。求该瞬时曲柄 O1A的角速度及曲柄O1A角加速度。
O
习题课四
5：M点沿直管运动，同时 这直管又在图示固定平面 内绕定轴O转动。已知r =OM 和转角φ的变化规律
y y' M O φ x
大学本科理论力学课程第9章 点的合成运动
在任意瞬时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点。 注意动点相对动系运动，故牵连点不是动系上的某个固定点。
有了牵连点的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下： 牵连运动中,某瞬时牵连点的速度和加速度称为该瞬时动
点的牵连速度 ve 和牵连加速度 ae 。
下面通过例子来说明以上的各个概念:
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则M点速度大小：
v R O1M (OM sin ) r sin
由此，据线性代数知
v rOM
O1 R v
θ
M
r
O
上式是转动刚体上点的速度矢
积表达式。
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第九章 点的合成运动
由于角速度矢量与角加速度矢量共线，故
d
dt
又 v r
a dv dt
a dv d r
第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
不同动点的选择会有不同的运动分析结果，尤其是相对运动 轨迹有时简单明了有时复杂难辩，从而影响速度、加速度分析。 例如下面各例：
详例1：
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动点：AB杆上A点 动系：固结于偏心凸轮C上 定系：固结在地面上
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第九章 点的合成运动
下面介绍点的合成运动中的重要基本概念：“一点两系三运动” 一 点： 即动点，所研究的点。 P175 两 系：定（静）坐标系和动坐标系。 定（静）坐标系 — 固结于地面（地球）上的坐标系，
简称定（静）系。 动坐标系 — 建立在相对于地面运动着的物体上的坐标系，
简称动系。例如建立在行驶的火车上的坐标系。
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第九章 点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动一、是非题1. 在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相对地球有运动。
（ × ）2. 牵连速度是动参考系相对于静参考系的速度。
（ × ）3. 牵连运动为定轴转动时，科氏加速度始终为零，动点在空间里一定作直线运动。
（ × ）4. 如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（ √ ）5. 用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度00≠ω，相对速度0≠r v ，则一定有不为零的科氏加速度。
（ × ）6. 牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。
（ × ）7. 当牵连运动为定轴转动时，牵连加速度等于牵连速度对时间的一阶导数。
（ × ）8. 当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（ √ ）9. 在点的复合运动中，下述等式是否一定成立（式中各导数均为相对静系求导）：A. t d d e e v a =， ( × ) B. t d d r rv a =， ( × ) C. t v a d d e e=， ( × ) D. t v a d d r r=， ( × ) E.t v d d a a =a ， ( √ ) F. tv a a d d a =。
( × ) 10. 在点的复合运动中，请选出正确的说法：A. 若0,0e =≠v r ，则必有0=C a ， ( × )B. 若0,0e =≠a r ，则必有0=C a ， ( × )C. 若0≠e n a ，则必有0=C a ， ( × )D. 若0,0r ≠≠v ϕ，则必有0≠a ， ( × )E. 若0,0r ≠≠a ω，则必有0≠a ( × )这里r 为动点的绝对矢径，上面所指皆为某瞬时。
11. 在点的复合运动中，下述说法是否成立：A. 若v r 为常量，则必有0r =a ， （ × ）B. 若ω为常量，则必有0e =a ， （ × ）C. 若ω||r v ，则必有0c =a 。
第7章点的合成运动习题
第7章点的合成运动习题1.是非题（对画√，错画×）7-1.绝对运动是动点相对于定系的运动。
（）7-2.相对运动是动点相对于动系的运动。
（）7-3.牵连运动是动点相对于动系的运动。
（）7-4.动点的绝对运动看成动点的相对运动和牵连运动的合成。
（）7-5.动点相对速度对时间的导数等于动点的相对加速度。
（）7-6.在一般情况下，某瞬时动点的绝对加速度等于动点的相对加速度和牵连加速度矢量和。
（）2.填空题（把正确的答案写在横线上）7-7.在研究点的合成运动中，应确定、、。
7-8.图示机构设A 滑块为动点，BC 为动系，则A 滑块的绝对运动为；A 滑块的相对运动为；A 滑块的牵连运动为；科氏加速度的方向。
7-9.上题中若AD=l ，AD 以ω作匀角速度转动，且三角形ABD 构成等边直角三角形，则A 滑块的绝对速度a v = ；相对速度r v = ；牵连速度e v = ；绝对加速度τaa = 、n r a = ；相对加速度r a = ；牵连速度τe a = 、nea = ；科氏加速度c a = 。
ABCωD3.简答题7-10.定系一定是不动的吗？动系是动的吗？7-11.牵连速度的导数等于牵连加速度吗？相对速度的导数等于相对加速度吗？为什么？7-12.为什么动点和动系不能选择在同一物体上？7-13.如何正确理解牵连点的概念？在不同瞬时牵连运动表示动系上同一点的运动吗？7-14.科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？科氏加速度是怎样产生的？当动系作平移时，科氏加速度等于多少？ 7-15.速度合成定理对牵连运动为平移或转动都成立，但加速度合成定理r e a a a a +=对牵连运动为转动却不成立？为什么？牵连运动为转动却不成立？为什么？7-16.如图所示曲柄滑块机构，若取B 为动点，动系固结于曲柄OA 上，动点B 的牵连速度如何？如何画出速度的平行四边形？速度如何？如何画出速度的平行四边形？OABCω7-17.如图所示的四连杆机构，曲柄OA 与BC 平行AB=BC=r ，问销钉B 相对于曲柄OA 的速度为多少？的速度为多少？4.计算题7-18.如图所示，点M 在平面y x O ¢¢中运动，运动方程为中运动，运动方程为)t cos (x -=¢140 t s i ny 40=¢ t 以s 计，x ¢、y ¢以mm 计，平面y x O ¢¢绕O 轴转动，其转动方程为t =j （rad ），试求点M 的相对运动轨迹和绝对运动轨迹。
点的合成运动作业 参考答案
点的合成运动作业参考答案（求加速度和角加速度）1、图示倾角ϕ =30º的尖劈以匀速v =200mm/s 沿水平面向右运动，使杆OB 绕定轴O 转动；r =2003mm 。
求当θ =ϕ 时，杆OB 的角速度和角加速度。
思路： 以杆OB 上的点B 为动点，动系与尖劈固结，则绝对轨迹为圆弧，相对轨迹是尖劈上的倾斜直线，牵连运动是水平直线平移。
答案： , rad/s 31=ω逆时针；2rad/s 273 =α ；顺时针。
2、图示小环M 套在半径OC = R =120mm 的固定半圆环和作平动的直杆AB 上。
当OB =BC =60mm 瞬时，AB 杆以速度为30mm/s 及加速度为30mm/s 2向右加速运动；试求小环M 的相对速度和相对加速度。
思路： 以小环M 为动点，动系与杆AB 固结，则绝对轨迹为圆弧，相对轨迹是铅垂直线，牵连运动是水平直线平移。
答案： 2r r mm/s 3310 mm/s, 310==a v3、已知直角弯杆OAB 绕轴O 以匀角速度ω 转动，小环M 同时套在半径为R 的固定圆环和直角弯杆OAB 上（圆环与直角弯杆在同一平面内），几何尺寸如图9 。
在图示瞬时，AB 水平且通过圆环中心C 。
求该瞬时小环M 的绝对速度和绝对加速度。
思路： 以小环M 为动点，动系与直角弯杆OAB 固结，则绝对轨迹为圆弧，相对轨迹是水平直线，牵连运动是绕轴O 的定轴转动。
答案： ↑==→==↑== , , 2ta t2na na ωωωR a a R a a R v v M M M22ωR a M =与水平线夹角450 。
4、机构如图所示，已知圆盘半径为r ，可绕水平轴O 定轴转动；杆AB 可在水平滑道中移动。
其端点A 始终与圆盘边缘接触且在圆盘边缘上运动，若图示瞬时杆AB 以匀速v 向左运动，求该瞬时圆盘的角速度和角加速度。
思路1： 以杆端A 为动点，动系与圆盘C 固结，则绝对轨迹为水平直线，相对轨迹是以点C 为圆心的圆弧，牵连运动是绕轴O 的定轴转动。
点的运动合成
C ω M
B
v e 50 1000cm / s
30
O
A
3.5
O ω
5两根各长L的直杆用铰A相连，在图平 面内运动。已知杆OA以匀角速ω绕O 轴转动，而AB相对OA杆以匀角速ω绕 A轴转动。若以B为动点，OA杆为动坐 标，则当二杆成一直线时，动点的相 对速度的大小为＿L ω r＿，方向 垂 直AB斜向下 ，牵连速度的大小 为 2L ω ，方向 垂直OB斜向上 。
2、系统按S＝a +bsin ωt（其中a、b、 ω均为常量） 的规律运动，杆长L。若取小球A为动点，物体B 为动坐标，则牵连速度ve＝＿＿＿＿＿。
S
B φ
A
3、小球M沿半径为R的圆环以匀速vr运动。圆环沿直 3.3 线以匀角速ω顺时针方向作纯滚动。取圆环为动参 考系，则小球运动到图示位置瞬时： ①牵连速度的大小为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ②牵连加速度的大小为＿＿＿＿； ②科氏加速度的大小为 （各矢量的方向应在 图中标出〕
1、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的 直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵 连加速度都是相等的。（ × ） 2．在研究点的合成运动问题时，所选的动点必须相 对地球有运动。〔 × ） 3．在点的合成运动中，动点在某瞬时的牵连速度是 指该瞬时和动点相重合的动坐标上的一点的速度。（ √ ） 4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速 度ωe≠ 0，相对速度vr ≠ 0。则一定有不为零的科氏加速 度。（ × ） 5、在点的合成运动问题中，设在一般情况下的牵连速度 为ve，相对速度为vr ，则牵连加速度为 a dve ，相对 e dt dvr 加速度为 。（ × ）
高中物理课件第八章 点的合成运动
9
第八章
点的合成运动［习题课］
牵连运动为平移/定轴转动
求解基本参量的练习
10
第八章
点的合成运动［习题课］
习题1 图示筛砂机，曲柄O1A=O2B=a，且AB=O1O2。 砂粒M相对于箱体的速度为 vr ，图示位置O1 AB 90，
杆O1A的角速度为1 ，角加速度为1 ，AM a / 2 ,
18
第八章 习题3
O O
点的合成运动［习题课］ 已知：OA = l， O , O ,
.
O
求：图示瞬时送料槽
A
D的速度和加速度。
C
B
D
19
解： 1. 选择动点，动系。
动点－ 滑块A 动系－ 与导杆ABC固连
O
2. 运动分析。
绝对运动径的圆周运动 相对运动－ 沿导杆滑槽的铅垂直线运动 牵连运动－ 导杆BC 沿水平直线的平移
aen OO1 12 , aet OO1 1 , aC 21vr 2 R
代入解得，
t O
2 1
aC
a
t O
O O
aet
O2
O v r
aen
a R l1
2 1
ar 1 1
（ ）
l O1
34
t aO O 12 l1 / R R
题型三： 3、无持久接触点，
牵连运动为定轴转动
27
第八章 习题5
点的合成运动［习题课］
已知：半圆盘半径为R，AB杆以匀角速 度ω绕A点顺时针转动，AB杆与圆盘始终接触。 求：图示瞬时半圆盘的速度和加速度。
B P
理论力学《点的合成运动》答案
va = ve + vr ve = v a sin 30 0 =
1 lω 0 2 1 = lω0 2
ve va
30
0
ve = O1 A ⋅ ωO1D
2l ⋅ ω O1D =
900
1 lω 0 2
vr
A
1 ω O1D = ω 0 4
动点：Ｂ。 动系：固连于 O1 D 杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
va = ve + vr v a = rω v BC va = 0 0 sin(180 − 120 − 90 + ϕ ) sin 120 0
0
vBC rϕ = 0 sin(ϕ − 30 ) sin 1200
v BC
sin( ϕ − 30 0 ) = ⋅ rω sin 120 0 1 sin( 0 − 30 ) 3 | ϕ =0 = ⋅ rω = 2 rω = − rω 0 sin 120 3 3 2
6
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于 O1 D 杆的速度。 牵连速度： O1 D 杆相对于地面的速度。
→ → →
ve
900
va
30 0
B
va = ve + vr
1 ve = O1 B ⋅ ω O1D = 4l × ω 0 = lω 0 4
vr
va =
ve lω 0 = = 1.155lω 0 0 cos 30 0.866
[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的绝对速度为 v1 = 4m / s ，其方向与铅直线成
30 0 角。设传送带Ｂ与水平面成 15 0 角，其速度为 v 2 = 2m / s ，求此时砂石料对于传送带Ｂ的
昆明理工大学理论力学练习册答案第七章后
第七章点的合成运动一、是非题7.1.1动点的相对运动为直线运动，牵连运动为直线平动时，动点的绝对运动必为直线运动。
（×） 7.1.2无论牵连运动为何种运动，点的速度合成定理r e av v v +=都成立。
（∨） 7.1.3某瞬时动点的绝对速度为零，则动点的相对速度和牵连速度也一定为零。
（×） 7.1.4当牵连运动为平动时，牵连加速度等于牵连速度关于时间的一阶导数。
（∨） 7.1.5动坐标系上任一点的速度和加速度就是动点的牵连速度和牵连加速度。
（×）7.1.6不论牵连运动为何种运动，关系式a a +a ar e =都成立。
（×） 7.1.7只要动点的相对运动轨迹是曲线，就一定存在相对切向加速度。
（×）7.1.8在点的合成运动中，判断下述说法是否正确： （1）若r v 为常量，则必有r a =0。
（×） （2）若e ω为常量，则必有e a =0. （×） （3）若e rωv //则必有0=C a 。
（∨）7.1.9在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
(×) 7.1.10当牵连运动为定轴转动时一定有科氏加速度。
（×）二、填空题7.2.1牵连点是某瞬时动系上与动点重合的那一点。
7.2.2在r e a v v v +=，在情况下，动点绝对速度的大小为av v e 、v r ，应按_________计算v a 的大小。
三、选择题：7.3.1动点的牵连速度是指某瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是（A ）。
A 、定参考系B 、动参考系C 、任意参考系 7.3.2在图示机构中，已知t b a sωsin +=，且t ωϕ=（其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固结于物块B ，定系固结于地面，则小球的牵连速度v e 的大小为（B ）。
A 、ωLB 、t b ωωcosC 、t L t b ωωωωcos cos +D 、ωωωL t b +cos 四、计算题7.4.1杆OA 长L ，由推杆BC 通过套筒B 推动而在图面内绕点O 转动，如图所示。
第08章点的合成运动(胡)
第八章 点的合成运动8-1 M 点沿y 轴作谐运动，运动方程为：0=x ，()β+=kt a y cos 。
如将M 点放映到银幕上，此银幕以匀速v 向左运动。
试分析M 点的牵连、相对和绝对运动，并求M 点映在银幕上的轨迹。
答案：相对运动方程 ()⎩⎨⎧+='='βkt a y vt x cos ；相对运动轨迹 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='βx v k a y cos8-2 M 点沿圆盘直径AB 以v 匀速运动，当开始时，M 点在圆盘中心，且直径AB 与Ox 轴重合。
如圆盘以匀角速度w 绕O 轴转动，求M 点的绝对轨迹。
答案：轨迹方程：ϕωv r =8-3 半径为r 的齿轮Ⅱ由曲柄OA 带动沿同样半径的固定齿轮Ⅰ而滚动，曲柄以角速度w 0绕O 轴转动。
设在曲柄OA 上固连一动系，试求动齿轮上B 、C 、D 三点的牵连速度。
答案：0003,5,ωωωr v r v r v eD eB eC ===8-4 河的两岸相互平行，设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经10min 到达对岸，这时船到达点B 下游120m 的点C 。
为使船从点A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
再此情况下，船经12.5min 到达对岸。
求河宽L 、船对水的相对流速v r 和水的流速v 的大小。
答案：200m L =；m /s 333.0=r v ；m/s 2.0=v8-5 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度m/s 15=a v ，并与铅垂直径成︒=60ϕ角。
工作轮的半径m 2R =，转速r/min 30n =。
为避免水流对工作轮叶片想冲击，叶片应恰当的安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。
求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小和方向。
答案：m /s 06.10=r v ； v r 与半径的夹角为︒8.418-6 矿砂从传送带A 落到另一传送带B ，其绝对速度m /s 4v 1=，方向与铅直线成︒30角。
点的合成运动
点的合成运动例8-1 如图a所示机构中，曲柄1长O1A＝30cm，且O1A⊥O2B，套筒3可沿连杆2滑动，其上销钉M又可在摇杆4的槽内运动。
已知曲柄转动方程为t3πϕ=rad，其中t以s计。
设t＝1s时，α＝30︒，OM＝80cm，摇杆的角速度ω4=0.4 rad/s，试求销钉M的速度。
例8-2 汽车A和B，分别沿半径为R A＝900m、R B＝1000m的圆形轨道运动，其速度为υA＝υB＝72km/h，如图所示。
试求当θ＝0︒、20︒时，汽车B对A的相对速度和相对加速度。
例8-3 设OA＝O1B＝r ，斜面倾角为ϑ1，O2B＝1，D点可以在斜面上滑动，A、B为铰链连接。
图示位置时OA、O1B铅垂，OA、O2D为水平，已知此瞬时OA转动的角速度为ω，角加速度为零，试求此时O2D绕O2转动的角速度和角加速度。
例8-4 （如图a）所示机构由OA杆与圆柱组成，OA杆长为l，绕定轴O作匀速转动，其角速度为ω。
圆柱在水平面上作纯滚动，求图示位置ϕ= 30︒时，圆柱的角速度与角加速度。
圆柱半径R=20cm，ω= 2rad/s。
例8-5 图示平面机构中，杆AB以匀速u沿水平方向运动，并通过滑块B推动杆OC转动。
试求ϕ=60︒时，杆OC的角加速度和滑块B相对杆OC的加速度。
例8-6 图（a）所示平面机构，直角弯杆ABC绕轴A转动，使套在其上的小环M沿半径为R的固定大圆环运动。
已知cmRAB240==，当弯杆的AB段转至左侧水平位置时，其角速度ω=2rad/s，角加速度α= 2rad/s2，转向如图所示。
试求该瞬时小环M的绝对速度和绝对加速度的大小。
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2
ϕ aen ω
aa
aC
MA轴投影
aa ⋅ cos 60° = − aen ⋅ cos 60° + aC
B
aa = − a ⋅ cos 60° + aC = −0.05 + 2 × 0.2 = 0.35 m s
n e
2
第9章 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的合成运动
t r
n r
θ
v1 a1
M A x' x N
O
将上式投影到与atr相垂直的轴x1上， 得
a a cos θ = a e sin θ − a rn
x1
y vr B O' y'
可求得顶杆在该瞬时的加速度
art θ
aa M
a rn v r2 v12 sec 3 θ a a = a e tan θ − = a1 tan θ − = a1 tan θ − cos θ ρ cos θ ρ ae
O
y y' B O'
v a = ve tan θ = v1 tan θ
vr
θ
v1 a1
va
M
方向是铅直向上。 ve
A x' x
也可求得相对速度的大小
O
vr = ve sec θ = v1 sec θ
第9章 点的合成运动
N y y' B O'
⑵求加速度 由点的加速度合成定理
aa = ae + a + a
v1 a1
θ
arn
A x' x
若上式求得aa是负值，
O
说明aa的实际指向与图示假定指向相反。
第9章 点的合成运动
练习2 曲杆 OBC 以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转动，使圆环 M 沿固定直杆 OA 上滑动。设曲柄长 OB=10 cm ， OB 垂直 BC 。
ω=0.5 rad/s ， 求 φ=60°时，小环M的绝对速度，绝对加速度。
C O M A
ϕ ω
B
第9章 点的合成运动
C O M A
解： 取小环M为动点， 曲杆OBC为动系。
ϕ ω
B
y'
⑴求速度
O
M
vr
C A
va = ve + vr
ve = OM ⋅ ω = 0.2 × 0.5 = 0.1m s
ϕ ω
B
va
ve
x'
va = ve ⋅ tan60° = 0.1 ⋅ 3=0.173m/s
练习1 具有曲面 AB的靠模沿水 平方向运动时，推动顶杆MN沿铅直 固定导槽运动。已知在图中瞬时靠 模具有水平向右的速度 v1 ，水平向 右的加速度 a1 ，曲线 AB 在杆端 M 接 触点的切线与水平线的夹角为 θ ； 曲线 AB 在杆端接触点 M 的曲率半径 是ρ；试求顶杆MN在这瞬时的速度 及加速度。 v12 sec 3θ va = v1 tan θ , aa = a1 tan θ − ρ 练习2 曲杆 OBC 以匀角速度 ω 绕固定轴O转动，使圆环M沿固定直 杆 OA 上 滑 动 。 设 曲 柄 长 OB=10 cm ， OB 垂直 BC 。 ω=0.5 rad/s ，求 φ=60°时，小环M的绝对速度，绝 对加速度。 va=0.173m/s， aa=0.35m/s2
vr = 2ve = 0.2m/s
第9章 点的合成运动
C O M A
⑵求加速度
ϕ ω
B
a a = a en + a r + a c
aen = OM ⋅ ω 2 = 0.2 × 0.52 = 0.05 m s
2
O
M
ar
C A
aC = 2ω ⋅ vr = 2 × 0.5 × 0.2 = 0.2 m s
ρ；试求顶杆MN在这瞬时的速度及加速度。
N y y' B O'
θ
v1 a1
M A x' x
例题 3-10
O
第9章 点的合成运动
N y y' B O'
解： 取顶杆端点M为动点，靠模为动系。 ⑴求速度。
θ
v1 a1
M A x' x N
根据点的速度合成定理，有
va = ve + v r
可求得动点 M 的绝对速度即顶杆 MN 速度的大小
第9章 点的合成运动
N y y' B O'
θ
v1 a1
M A x' x
O
C O M A
ϕ ω
B
练习1 具有曲面 AB 的靠模沿水平方向运动时，推动顶杆 MN沿铅直固定导槽运动。已知在图中瞬时靠模具有水平向右 的速度v1，水平向右的加速度a1，曲线AB在杆端M接触点的切 线与水平线的夹角为θ；曲线AB在杆端接触点M的曲率半径是