用位移法中“典型方程、转角位移方程”的观点进行弯矩分配的解释

第3卷第10期2017年10月黑龙江水利Heilongjiang Water ResourcesVol.3，No.10Oct. ,2017用位移法中“典型方程、转角位移方程”的观点进行弯矩分配的解释陈百鸣(富裕县水务局，黑龙江富裕161200)摘要：针对结构力学位移法中典型方程与转角位移方程的应用，根据长期的实践经验和体会，分析概括了位移 法解决超静定结构的基本途径、典型方程的物理意义，以及弯矩分配计算等基本概念，最后给出了在位移法典型 方程解释弯矩分配法中的弯矩分配过程和位移法“转角位移方程”弯矩分配中力矩传递过程的解释。

关键词：位移法；转角位移方程；超静定结构；弯矩分配中图分类号：TU501; TB301 文献标志码：A文章编号：2096-0506(2017)10-0052-041位移法的基本途径对于力法解决超静定结构需要联立多元一次 方程组，计算之复杂性是显而易见的，特别是用 力法计算较复杂的刚架时尤为繁琐，往往要联立 六元以上方程组。

这样就迫使我们寻求新的途径 解决计算这一新课题，在认识解决一项新课题之 前，总是设法寻求一个解决问题的新途径，在这 里，联想力法的思想方法就是遵循从已知到未知 的过程，就是把新课题经过一系列的假定转化为 老问题，进而解决。

在力法处理超静定结构时，是将复杂的超静定结构去掉多余联系后变为静定 结构来处理，那么对于较复杂的刚架来讲，究竟 采取什么样的途径是仍需要解决的问题，我们知 道超静定刚架是由若干个两端可转动的固定端单 跨超静定梁[1](这与实际工程中单跨超静定是不符 的，为了寻求解决问题的途径做这样的假定)所组 成的，采取各个击破的办法分别计算每个单独杆 件的端内力，再组合起来便为刚架整体结构的内 力值。

那么这个单独杆件的端内力又如何计算呢? 对于超静定结构的内力不仅与外荷载有关，而且 还与其形变有关，整体结构的形变引起整体结构 的内力，经过分析得出关系式（1)、式（2)，即单 独杆件的端内力与其形变存在下列关系：Ma b =—+2i i2Q a+Q i,—3A/L)(1)M ba =—Mia +2i(2Q b+Q a—3A/L)(2)式中：Q为杆件a端轴线的转角；Q为杆件6端 轴线的转角；Ma6、M6a分别是假想的单跨超静定 梁两端的杆端力矩；M^、A C分别假想的单跨超 静定梁在外力作用下两杆端加以约束的约束力矩，也称固端力矩。

杆端力矩Ma6、M6a为固端力矩与 促成该杆端产生位移力矩的代数和，固定端力矩 为刚架弹性结点在刚臂约束下，在外力作用下产 生的约束力矩值，因刚臂约束了弹性结点相邻的 所有各杆，故该固端力矩值包括了弹性结点邻近 各杆端的约束力矩，所以分配给单杆件的力矩便 为关系式(1)、式(2)中代数和形式。

此关系式在结构力学中称为转角位移方程，该方程给定了杆端力矩与杆端位移的函数关系，通过转角位移方程计算超静定结构各杆件的内力，进而求解超静定结构内力值，此方程是用位移法 计算超静定结构的纽带。

方程右边第一项固端力 矩是假想单跨超静定梁在外力作用下产生的约束 力矩，该值可用力法求解。

为了计算上的简便，在结构力学中已列表给定了各种单跨超静定梁的 内力值，方程右边第二项是杆端发生位移所需要 的力矩，经过这样的转化，问题的关系归结为如 何求出各单跨超静定梁的杆端位移，一旦求出各作者简介：陈百鸣(1975-)，男，黑龙江克山人，高级工程师，从事水利规划设计工作。

E-mail:fycbm@。

第10期陈百鸣.用位移法中“典型方程、转角位移方程”的观点进行弯矩分配的解释杆端的位移就不难求得其杆端内力，如何求得各 杆端的位移，对于这个问题仍要联想到力法如何 求得多余未知力，在力法求解未知力的途径是将 基本体系恢复到原结构状态，恢复条件是结构形 变的连续条件，即各多余联系处的形变为零。

通 过这个条件建立力法典型方程，通过方程组求解 多余未知力，同样试图用力法典型方程的途径来 解决问题的思想方法，通过建立位移法典型方程 来求解未知位移，经过分析，超静定刚架的各弹 性结点虽然在外力作用下发生了绝对变位，但不 存在相对位移，用力矩观点解释即刚架各弹性结 点的力矩代数和等于零，以这个平衡条件来建立 方程即可计算出未知位移，这个方程即为位移法 典型方程，即：Qr+R P = 0 (3)式中：Q.是某弹性结点的各相邻杆端发生Q角位 移所施加的力矩；私是外力作用下某结点处由于加刚臂所产生的约束力矩。

建立方程的条件是将 基本体系恢复到原结构状态，典型方程(3)从物理 意义上讲：是某一弹性结点在刚臂约束下、在外 力作用下产生的抵抗力矩，经过原结构状态的恢 复完全消耗在该弹性结点相邻各杆端发生绝对位 移的过程中，即此抵抗力矩等于使该弹性结点相 邻杆件产生绝对位移的力矩，对于多个弹性结点 可联立方程组，对每个可位移的弹性结点分别列 典型方程，组成方程组，解此典型方程求得未知 位移，根据求得的位移值，利用转角位移方程计 算出杆端弯矩，再进行组合。

这就是位移法的基 本思想方法，也是用位移法求解超静定结构的基 本途径。

2转角位移方程、典型方程的物理 意义2.1转角位移方程转角位移方程表达为：—M a i,=—M^/, +iiQa +ziQi, — 6A/Z (4)M b a= ML +HQb +ziQa — 6 A/Z (5)式中：Mf6、A C是杆件在外力作用下假想的固定 杆端所承担的抵抗力矩。

方程表明了假想单跨超 静定梁的杆端弯矩与杆端位移的函数关系[2]，方程 右边后三项分别为弹性结点本身位移所需施加力 矩与它结点产生位移对该结点的影响力矩(结点本身与它结点影响下使该弹性结点产生一定位移的 总和与之相当的力矩值）。

对于超静定结构整体来 讲，外荷载作用结构某一弹性结点相邻的任意一 杆件上，在此外力作用下，弹性结点发生转角位 移，当此弹性结点加以理想的刚臂约束时，刚臂 在外力作用下产生了抵抗力矩，此抵抗力矩完全 消耗在弹性结点实际变形过程中，如将此外荷载 看成一理想的力偶直接作用在弹性结点上，则刚 臂的抵抗力矩完全等于此弹性相邻杆端实际变形 所付出力矩之和，但实际结构受力状态系数是外 荷载直接作用在杆件上，所以此抵抗力矩参加弹 性点实际位移所需力矩一起叠加。

即对直接受力 杆件讲，实际杆端弯矩应为固端力矩与杆端位移 所需力矩之差，即转角位移方程的代数和形式。

对于转角位移方程的直接解释：好比当外力 施加在人体上，试图将人搬倒，当人体抵抗外力 不想倾倒，则此人体所承受的外力矩最大，假如 此人不抵抗外力或者少抵抗外力，顺势沿外力方 向倒去或发生一定位移（折角），此时人体所承受 的外力矩就相应减小或等于零(人体完全倒下，则 人体承受力矩为零），转角位移方程完全揭示了超 静定结构的内力与变形的函数关系。

2.2位移典型方程方程式（3)即为位移法中典型方程的基本型式，当杆端假想固定时杆端的抵抗力矩，从力法 典型方程看是通过典型方程的建立，使基本体系 完全恢复到原结构状态的过程，建立方程的条件 是连续条件（即超静定结构的变形连续条件）即各 多余联系处变位等于零。

关于此位移法的典型方 程的建立，同样由基本体系恢复原结构实际状态 的过程，恢复条件是每个弹性结点的力矩代数和 等于零，根据这个条件对每个弹性结点列典型方 程，故典型方程的物理意义是超静定结构的每个 弹性结点不存在相对位移，正是由于这个条件，用力矩观点解释即每个弹性结点力矩代数和等于零。

3从弯矩分配法的思想方法看位移 法两方程在弯矩分配上的解释3.1弯矩分配法的思想方法对于力法与位移法求解超静定结构内力时，均采取联立方程组法求解超静定结构内力，尽管黑龙江水利第3卷位移法的未知位移比起力法的未知力数目少，但 对于复杂的超静定结构来讲，仍然克服不了两种 方法的弱点——多元方程组。

这样不仅需花费大 量的工作，而且求解时不可避免的发生这样或那 样的错误，这样就迫使我们寻求更为简捷的办法，根据转角位移方程的物理意义，当外荷载作用于 超静定结构上时，由于外力作用，结构的各弹性 结点产生一定的力矩，而这个力矩将使该弹性结 点相邻的各杆件发生一定的位移(转角或线位移），当以刚臂对弹性结点加以约束时，刚臂在外力作 用下产生了抵抗位移的抵抗力矩，而当结构处于 实际变形的状态下，则抵抗力矩完全消耗在弹性 结点的位移过程中。

在外力作用下，各杆件所获 得的力矩值与杆件刚度有关，故弹性结点各相邻 杆件所获得的力矩按刚度进行分配。

根据这个原 理过程，采取了逐步地、循序渐近地将基本体系 恢复为原结构状态，求解各杆件的杆端力矩，该 思想方法即是弯矩分配法的中心。

它所遵循的原 则是分配力矩、传递力矩、再分配再传递，直至 收敛完毕。

从力平衡的观点解释是不平衡达到平 衡，再不平衡直至收敛平衡为止。

它的基本要素 是将外力引起的固端力矩进行分配，分配的弯矩 进行传递，最终进行叠加。

3.2典型方程、转角位移方程在弯矩分配法过程中的解释3.2.1用位移法典型方程解释弯矩分配法中的弯矩分配过程前面对位移法典型方程的物理意义已做了说 明，超静定结构在外力作用下，各弹性结点仅发 生绝对位移，不存在相对位移[3]，确切一点讲，超 静定结构在外力作用下，各弹性结点仍保持原有 的相对几何形状，不发生相对位移，这样就提供 了一个条件——每个弹性结点在外力作用下所承 受的力矩等于假想刚臂约束的约束力矩，即总力 矩代数和等于零，当刚臂放松的时候刚臂的抵抗 力矩完全消耗于各弹性结点的绝对变形过程中。

对于弯矩分配法中弯矩分配过程，即是将外 力引起的弹性结点上的刚臂约束力矩按弹性结点 相邻各杆的刚度进行一次分配(从广义上讲其他各 弹性结点在外力作用下，发生了变形导致对该弹 性结点的影响力矩同样按各杆刚度参加一次分配）分配力矩与刚臂抵抗力矩大小相等，符号相反。

这样，刚臂的抵抗力矩与弹性结点发生实际转动 所需力矩恰好相等，即它们的代数和等于零。

这 个过程也正体现出位移法中典型方程的物理意义。

3.2.2从位移法“转角位移方程”看弯矩分配中力矩传递过程关于转角位移方程的物理意义上面已做了说 明，某一单独杆件，即假想单跨超静定梁，它 的杆端力矩不仅与外力作用下直接影响的力矩值 有关。

而且与其变形有关。

对超静定整体结构而 言，某一弹性结点的邻近各杆端弯矩除外力作用 下产生的固端弯矩以外，尚与该弹性结点的位移 有关，与其他结点在外力作用下发生位移所波及 到该结点的变形有关。

通俗一点讲，对于超静定 结构当外力作用结构某一部位时，它的整个结构 均承受一定的外荷载。

从应力的角度讲，整个结 构的每一个部份都产生应力值，这一点，转角位 移方程已给定了应力与应变的函数关系式，方程 的右边第一项是施加外力时某弹性结点加以刚臂 约束时所承担的弯矩，右第二项是外力作用下某 弹性结点本身发生形变所付出给的力矩值，第三 项第四项则是由于外力作用其他结点发生形变后 所波及某弹性结点的变形相当的力矩值，这个方 程式明确地表达超静定结构在外力作用下，结构 整体发生的内力情况。