复习一元函数的极限连续
一元函数中的极限与连续性
一元函数中的极限与连续性在学习高中数学的时候，我们曾经学过一元函数的极限和连续性。
这两个概念对于后续的学习和应用有着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们就来深入探讨一元函数中的极限与连续性。
一、极限的定义首先我们来了解一下什么是“极限”。
在数学中，极限是一个无限逼近的过程。
通过逼近，可以得到一个数或者一个函数的极限值。
当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也将趋近于一个特定的值。
这个特定的值就是“极限”。
二、极限的性质接下来我们来看一下一元函数的极限有哪些性质。
1. 极限的唯一性在一元函数中，一个函数只能有一个极限。
如果存在两个不同的极限，那么这个函数在这个点就不存在极限。
2. 极限的局部有界性如果函数在一个点存在极限，那么这个点的邻域内函数的取值是有界的。
3. 夹逼定理夹逼定理是一元函数的极限中比较重要的一个定理。
如果函数f(x)在点x0的左侧存在一个函数g(x)，在点x0的右侧存在一个函数h(x)，并且g(x) <= f(x) <= h(x)，那么当x趋近于x0时，g(x)和h(x)的极限值都是L，那么f(x)在x0处的极限也是L。
4. 无穷小与无穷大当x趋近于无穷大或者无穷小的时候，函数f(x)的值可能趋近于0或者正无穷或者负无穷。
这些数被称为无穷小或者无穷大。
如果一个函数在x趋近于某一点时的极限是一个无穷大或者无穷小，那么这个点就被称为函数的瑕点。
三、连续性的定义接下来我们来了解一下一元函数的连续性。
在数学中，函数在某个点处连续，就是指这个点的极限存在并且等于函数在这个点的取值。
四、连续性的性质现在我们来了解一下一元函数的连续性有哪些性质。
1. 极限的连续性如果一个函数在某个点处连续，那么这个点的极限也一定存在。
反之，如果一个点的极限存在，那么这个点不一定连续。
2. 介值定理介值定理是连续性中的一个重要定理。
如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)和f(b)的符号不同，那么在(a,b)上一定存在一点c，使得f(c)=0。
第2章一元函数的连续性
第二章 一元函数的连续性一.基本内容1.函数)(x f 在点0x 处连续的定义：)1(极限形式：)()(lim 00x f x f x x =→)2(增量形式：0lim 0=∆→∆y x)3(“δε-”语言：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f )4(左右连续性：)()0()0(000x f x f x f =-=+2．函数)(x f 在区间I 上连续的定义 3．间断点及其类型间断点（不连续点）：第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在）4．)(x f 在区间I 上一致连续：0>∀ε，0>∃δ，∀1x ,2x I ∈,当δ<-21x x 时， 总有ε<-)()(21x f x f ，则称)(x f 在I 上一致连续． 5．)(x f 在点0x 处连续的局部性质局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性． 6．闭区间上连续函数的整体性质)1(反函数的存在连续性：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数在以)(a f ,)(b f 为端 点的闭区间上也是严格单调并且连续．)2(有界性：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界．)3(取最值性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上能取到最大，最小值．)4(根的存在性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ,则),(b a c ∈∃，使0)(=c f ．)5(界值性设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，μ介于)(a f 与)(b f 之间，则),(b a c ∈∃使得μ=)(c f ．)6(若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上一致连续．7．一切初等函数在其定义区间上连续 二．难点解析与重要结果1.函数)(x f 在点0x 处连续的归结原则任一趋于0x 的数列{n x }其对应的函数值组成的数列均收敛．【注】函数极限的归结原则中要求→n x 0x ，这是由于与函数极限中)(x f 有可能没定义，而在连续的定义中要求函数)(x f 于0x 的某邻域内有定义，在0x 处必有定义，特别地{0x }即为趋于0x 的一个数列． 2. 0x 为)(x f 的间断点的正面刻画∃00>ε，∀δ0>, ∃δx , 满足δδ<-0x x ,但有)()(0x f x f -δ≥0ε．特别地,取δ=n 1,则得数列{n x }⊂)(0x U ,使n x x n 10<-,但)()(0x f x f n -≥0ε.3. 函数)(x f 在区间I 上连续∀0x ∈I ，∀0>ε, ∃0>δ，当δ<-0x x 时， 有ε<-)()(0x f x f .函数)(x f 在区间I 上一致连续：∀0>ε, ∃0>δ, ∀0x I ∈, 当δ<-0x x 时, 有ε<-)()(0x f x f .这两者的区别在于，对同一个ε，前者对于不同的0x ，可找到不同的δ，δ既依赖于0x ，又依赖于ε.事实上，δ对0x 的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个ε，总可找到一个δ，该δ对所有的0x 均适用. 4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系⇒)(x f n )(x f )(D x ∈，可看成是给定一批极限{∞→n lim )(x f n ︱D x ∈}.对每个数列极限而言，对给定的0>ε,由不同的数列可找到不一定相同的N ，当N n >时，有ε<-)()(x f x f n 是否一致收敛.就看是否有共用的N 的问题.)(x f 在I 上一致连续可看成是给了一批函数极限{)()(lim x f y f xy =→︱x ∈I}.对每一个函数的极限而言，对给定的0>ε，由不同的函数极限可找到不一定相同的δ.当δ<-x y 时，有ε<-)()(x f y f 是否一致连续，就看是否有共用的δ的问题.5.一致连续的判定与性质)1( 设)(x f 在有限开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一致连续的充分必要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→均存在且有限.)2( 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.)3(设)(x f 在),[+∞a 上连续,)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-+∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续，此结论在)(x f 有斜渐近线时很有用.)4(若)(x f ，)(x g 均在有限开区间),(b a 上一致连续，则)(x f )(x g ±，⋅)(x f )(x g 均在),(b a 上一致连续,若),(b a 为无限开区间,则⋅)(x f )(x g 不一定一致连续.如=)(x f x x g =)(，在),(+∞-∞上.)5( 若)(x f 导数)(x f '在I 上有界，则)(x f 在I 上一致连续.)6(若)(x f 在],(b a 与),[c b 上均一致连续，则)(x f 在),(c a 上一致连续.)7(若)(u f y =在R 上一致连续，)(x g u =在I 上一致连续，则))((x g f y =在I 上一致连续.6. )(x f 在I 上非一致连续的肯定刻画I x x ∈'''∃>∀>∃δδδε,,0,00,且δδδ<''-'x x ，但有0)()(εδδ≥''-'x f x f ．特别地,取n1=δ,则设两点列I x x n n⊆'''}{},{,满足)(0∞→→''-'n x x n n ,但有0)()(ε≥''-'n nx f x f ． 三．基本题型与方法 1.证明连续性和一致连续性要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明．例1．按定义证明：)1(⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数和，互质)1,0(1,00),,,(,1)(x q p N q p q p x qx R 在所有的无理点处连续．在)1,0(中的有理点处不连续．)2(xx x x f 1sin 12)(⋅++=在),1[+∞上一致连续,在)1,0(上非一致连续． 证明：)1(]1,0[0∈∀x ,0>∀ε,ε≤-0)(x R . 显然当x 为)1,0(中的无理数时，不等式成立.当q p x =时,ε<=q x R 1)(,即ε1>q . 而ε1≤q 的正整数只有有限个，这些数为分母构成的]1,0[中的有理数也仅为有限个，设为n x x x ,,,21 ，取}}0{\},,min{{001x x x x n --= δ,则n x x x ,,,21 均落在),(00δx U 之外，即当δ<-<00x x 时.若x 为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于ε1.此时ε>>qx R 1)(.若x 为无理数则ε<=0)(x R . 即当δ<-<00x x 时，总有ε<-0)(x R ,所以0)(lim 0=→x R x x .故)(x R 在)1,0(中的无理点处连续，有理点处不连续.)2(),1(,,0+∞∈'''∀>∀x x ε,由于 x x x x x x x f x f ''⋅+''+''-'⋅+'+'=''-'1sin 121sin 12)()(x x x x x x x x x x x x ''⋅+''+''-''⋅+'+'+''⋅+'+'-'⋅+'+'=1sin 121sin 121sin 121sin 12 12121sin 1sin 1sin 12+''+''-+'+'''+''-'+'+'≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''-'≤+''+'''-'+'''''-'⋅'''''+'≤2)1)(1(2222,故可取=δ2ε，当x x ''',∈),1[+∞且δ<''-'x x 时,有ε<''-')()(x f x f ,所以)(x f 在),1[+∞上一致连续.取221ππ-='n x n,221ππ+='n x n, ,2,1=n , 显然nx 'n x '')1,0(∈,则 )(0441442222∞→→-=-=''-'n n n x x n nπππππ,但2122222)1(122222)()(>++++--+-+-=''-'ππππππππn n n n x f x f n n, 所以)(x f 在)1,0(上非一致连续.[注])1(Riemann 函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式ε<-A x f )(不同，它解的是其互补不等式ε≥-A x f )(.)2(第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函 数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. )3(狄立克雷函数在构造反例中的作用. )4(第2小题中由于∞→A lim12++x x x1sin =0,且)(x f 在),1(+∞上连续，据前面的结论即证一致连续性.例2 设)(x f 为),(+∞-∞上的单调函数，令)(lim )(0y f x g x y +→=,证明：)(x g 在),(+∞-∞上右连续.证明：),(0+∞-∞∈∀x ，由于)0()(lim )(000+==+→x f y f x g x y ,故0>∀ε, 0>∃δ, 当δ+<<00x x x 时有ε<-)()(0x g y f .由于)(x f 在R 上单调，故在任一点处的左、右极限均存在， 所以，),(00δ+∈∀x x x ,令+→x y ,有ε≤-+→)()(lim 00x g y f x y ,即ε≤-)()(0x g x g ,所以，)()(lim 00x g x g x x =+→.故)(x g 在0x 右连续,由0x 的任意性,即)(x g 在),(+∞-∞上右连续.例3 设)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，lim ()x f x →+∞存在，则)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续.证明：由于lim ()x f x →+∞存在，故ε∀0>，∃M ，当M x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f . 又)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，所以在]1,[+M a 上连续，故)(x f 在]1,[+M a 上一致连续.所以对上述0>ε,01>∃δ,当]1,[,+∈'''M a x x 且1δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取11min ,2δδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当],[,+∞∈'''a x x 且1δ<''-'x x 时,()i 若21+≤'M x ,则21+≤+'<''M x x δ,即]1,[,+∈'''M a x x ,且δ<''-'x x 1δ≤,故有ε<''-')()(x f x f .()ii 若21+>'Mx ,则M M x x =-+≥-'>''2121δ，即M x x >''',,故有ε<''-')()(x f x f .即当δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续. 【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧.2．连续函数性质的证明一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的.例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续,证明)(x f 在闭区间],[b a 上有界. (1) 用闭区间套定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,中分],[b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[11b a ;中分],[11b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[22b a ;如此下去则得一闭区间列]},{[n n b a 满足：① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n ③)(x f 在闭区间],[n n b a 上无界, ,2,1=n .由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.又)(x f 在ξ连续,故)(x f 在ξ的某邻域),(δξU 内有界.由闭区间套定理的推论知,存在N ,当N n >时,有),(],[δξU b a n n ⊂,而)(x f 在],[n n b a 上无界,故)(x f 在),(δξU 上无界,矛盾.所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(2)用聚点定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,则],[,0b a x M M ∈∃>∀,使得M x f M >)(. 取],,[,11b a x M ∈∃=使得1)(1>x f ；],,[,22b a x M ∈∃=使得2)(2>x f ；,],,[,b a x n M n ∈∃=使得n x f n >)(；如此下去则得数列}{n x ],[b a ⊆，使得 ,2,1,)(=>n n x f n .由于}{n x 有界,由致密性定理, }{n x 由收敛子列}{k n x ，设)(,0∞→→k x x k n ，由于)(x f 在0x 连续，所以)(),()(0∞→→k x f x f k n ，而由}{n x 的选取知)(,)(∞→∞→k x f k n ，矛盾. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(3) 用有限覆盖定理由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续,即],[0b a x ∈∀,)(x f 在0x 连续,故在0x 处局部有界,即0,0],,[000>∃>∃∈∀x x M b a x δ,使得当),(00x x U x δ∈时,0|)(|x M x f <. 显然,]},[|),({b a x x U x ∈δ覆盖],[b a ,由有限覆盖定理,必可从中选出有限个它们也能覆盖],[b a ,设为),(11δx U ,,),,(22 δx U ),(n n x U δ. 取},,,m ax {21n M M M M =,则],[b a x ∈∀,有M x f <|)(|. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.3．连续函数性质的应用)1(连续性在有界和最值性方面的应用例5 设函数)(x f 在有有限或无穷区间(),a b 内连续，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==, (A 为有限数，+∞或-∞).证明)(x f 在(),a b 内能取到最大或最小值. 证明：若A 为有限数，且(),x a b ∀∈均有A x f =)(.则结论显然成立.若0x ∃(),a b ∈,使0()f x A ≠，若0()f x A >，由于lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，由极限的保号性，故δ∃0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时，有)()(0x f x f <，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，所以)(x f 在[],a b δδ+-上有最大值M 存在,且≥M 0()f x ，此时最大值M 显然也是)(x f 在(),a b 上的最大值.若0()f x A <，则有最小值存在.若+∞=A ，任取0x (),a b ∈，由于lim ()lim ()x ax bf x f x +-→→==+∞，故∃δ0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时有)()(0x f x f >，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，故有最小值m 存在，且)(0x f m ≤，显然m 为)(x f 在(),a b 上的最小值.当-∞=A 时有最大值存在.当(),a b 为无穷区间，类似地可证.例6 设)(x f 在],[b a 上连续，且有唯一的最值点],[0b a x ∈.若数列],[}{b a x n ⊆且)()(lim 0x f x f n n =∞→,证明：0lim x x n n =∞→.证明：假设0lim x x n n ≠∞→．则N ∀，N n N >∃使00ε≥-x x n ．取11=N 则11>∃n 使001ε≥-x x n .取12n N =，则12n n >，使002ε≥-x x n .如此下去，则设}{n x 的子列}{i n x 使得ε≥-0x x i n .由],[}{b a x i n ⊆，由致密性定理,}{i n x ∃的收敛子列}{ki n x ,设)(∞→→k c x ki n ,则0x c ≠．又由f 的连续性，知)()(lim c f x f ki n k =∞→．而由子列的性质知，)()(lim )(lim 0x f x f x f n n n k k i ==∞→∞→.所以)()(0x f c f =为f 的最值点矛盾．)2(连续性介值方面的应用例7 设)(x f 在],[b a 上连续，且有反函数存在．证明)(x f 在],[b a 上严格单调． 证明：假设)(x f 在],[b a 上非严格单调,则321x x x <<,使得)()()(321x f x f x f ≥≤或)()(21x f x f ≥且)()(32x f x f ≤.由于)(x f 有反函数存在,故上不等式中的等号不能成立．即有)()()(321x f x f x f ><.取M 介于)(2x f 与)}(),(m ax {31x f x f 之间,由)(x f 在],[21x x 上连续,),(21x x ∈∃ξ 使M f =)(ξ.又)(x f 在],[32x x 上连续, ),(32x x ∈∃η使M f =)(η.且ηξ≠,这与)(x f 有反函数矛盾）． 【注】有反函数存在．则对应必为一对一的，反过来一对一再加上介值性，必可推出严格单调和连续性.例8 设函数],[],[:)(b a b a x f →是连续函数．证明：],[b a ∈∃ξ,使ξξ=)(f . 证明：若a a f =)(或b b f =)(,则结论成立．否则有a a f >)(，b b f <)(． 令x x f x F -=)()(,则)(x F 在],[b a 上连续,且0)(,0)(<>b F a F ,由介值性定理即得.【注】此题即为不动点定理．例9 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)1()0(==f f ,证明：+∈∀Z n ，]1,0[∈∃ξ，有)()1(ξξf nf =+．证明： 当1=n 时，取0=ξ，则结论成立.否则令)()1()(x f nx f x F -+=,则有)1()1()0(nn F n F F -+++)1()1()1()2()0()1(nn f f n f n f f n f --++-+-=0)0()1(=-=f f .若上式中的每一项均为0，则结论成立.若不全为0，则必既有正项，又有负项出现，由介值性定理,在正负项之间0)(=ξF ,即)()1(ξξf nf =+.【注】上面的两例给出了用介值性定理或根的存在定理的一般方法.引入辅助函数，将待证的等式转化为考察辅助函数的根的存在性问题，最后，只要找到辅助函数的两个点处的函数值异号.)3(一致连续的性质的应用例10设函数)(x f 在),(+∞a 上一致连续,且无穷积分⎰∞+adx x f )(收敛.证明：0)(lim =∞→x f x .证明：假设0)(lim ≠∞→x f x ，即00>∃ε,M ∀，M x M >∃,但有0)(ε≥x f .又)(x f 在[)0,+∞上一致连续，故对上述0ε0>,∃δ0>,当12x x -≤δ时,有12()()f x f x -<2ε. 故对0ε,δ0>，M ∀，∃A '=M x ，A ''=M x +δM >,但有δεδδ0)()(≥=⎰⎰++M MM Mx x x x dx x f dx x f .由Cauchy 收敛准则知⎰∞→AaA dx x f )(lim 不存在,矛盾. 四.综合举例例11 设函数)(x f 在[],a b 上连续，],[b a x ∈∀,记)(sup )(],[t f x M x a t ∈=,证明：)(x M 在[],a b 上连续.证明：由于)(x f 在[],a b 上连续，则在[],a b 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>, 当1x ,2x ∈[],a b ,且12x x -≤δ时有12()()f x f x -<ε.所以0x ∀∈[],a b ,当δ<∆<x 0, 0x x ∆+∈[],a b 时，有)0[][]0000,,()()sup ()sup ()t a x x t a x M x x M x f t f t ∈∆+∈≤∆+-=-))()((sup )()(sup0],[0],[00x f t f x f t f x a t x x a t ---=∈+∆∈))()((sup )))()((sup )),()((sup m ax (0],[0],[0],[000x f t f x f t f x f t f x a t x x a t x a t ----=∈+∆∈∈ε<.同理，当0<∆<-x δ时，有ε-00()()M x x M x ≤∆+-,故)(x M 在[],a b 上连续. 例12 设函数)(x f 在),(b a 内每一点的左，右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀,都有2)()()2(y f x f y x f +≤+.证明)(x f 在),(b a 内连续. 证明：),(0b a x ∈∀,则),(b a y ∈∀,有2)()()2(00y f x f y x f +≤+, 令i x y +→0,)0(21)(21)0(000++≤+x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤+. 令0x y →,有))0(21)((21)0(000-+≤-x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤-.在2)()()2(y f x f y x f +≤+中 令h x x +=0,h y y -=0,且令i h +→0, ))0()0((21)(000-++≤x f x f x f ,所以有))0()0(()(000--+≤x f x f x f ,即)(x f 连续.由0x 的任意性即有)(x f 在),(b a 内连续.【注】要证明函数的连续性，绝大部分情况下均直接从连续的定义出发. 例13 证明：非常值的连续周期函数必有最小正周期.证明：设}{的正周期为f t t S =.下证S 的下确界S T inf =属于S ，即证：T 仍为f 的周期，且0>T ，显然0T ≥.由于S T inf =,故由定义,S t n ⊆∃}{,使得T t n n =∞→lim .又由)(x f 的连续性，有R x ∈∀,)()(lim )(x f t x f T x f n n =+=+∞→,即T 为一个周期.假设S T ∉=0,则存在严格递减数列S T ∉=0,且)(0∞→→n t n .则R x ∈∀，N n ∈∀,Z k n ∈∃使n t k x n n +=0,其中n n t k <≤0,故)(0∞→→n k n .所以,))(0()()()(∞→→=+=n f n f n t k f x f n n ,即)0()(f x f =.这与)(x f 非常数矛盾.所以0≠T ,即0>T ，故S S T ∈=inf . 例14 设)(x f 对R 上一切x 均有)()(2x f x f =，且)(x f 在0=x 处连续.证明：)(x f 在R 上为常数.证明：由于)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-,即)(x f 为偶函数，故可仅考察0≥x 这一侧.当0>x 时，由已知，有：=====)()()()(214121nx f x f x f x f ,由于)(121∞→→n xn及f 在1=x 处的连续性,故有()=x f ()1lim 21f x f nn =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→, 又()+→=0lim 0x f ()()1f x f =.即当0≥x 时,有()()1f x f =.所以,R x ∈∀,有()f x f ≡()1.例15 设)(x f 在),0[+∞上连续且有界，又设R l ∈∀方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，证明)(lim x f x ∞→存在.证明 由于)(x f 在),0[+∞上有界，设M x f M <<-)(,对0=l ,由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为1M ,则当1M x >时, )(x f 全落在],0[M 或]0,[M -中,记其为],[b a ；对2ba l +=，由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为2M ,则当2M x >时, )(x f 全落在]2,[b a a +或],2[b ba +中,记其为],[11b a ； , 如此下去，则得一闭区间列]},{[n n b a 满足： ① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n③ 0,>∃∀n M n ，当n M x >时，有 ,2,1],,[)(11=∈--n b a x f n n由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.由闭区间套定理的推论知，,,0N ∃>∀ε当N n >时，),(],[εξU b a n n ⊆.故可取1+=N M G ,当G x >时,有),(],[)(11εξU b a x f N N ⊆∈++.所以ξ=∞→)(lim x f x .例16 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,],[}{b a x n ⊆,满足 ,2,1),()(1==+n x f x g n n 证明 存在],[0b a x ∈,使得)()(00x g x f =. 证明 令)()()(x g x f x h -=,则)(x h 在],[b a 上连续.若)}({n x h 中有零项或异号的项，由根的存在性定理,0x 的存在性显然. 若若)}({n x h 中所有项均为正项或负项,不妨设0)(>n x h ,于是,,,2,1,0)()()()()(1 =>=-=-+n x h x g x f x f x f n n n n n即数列)}({n x f 为单调递减有界数列,故收敛,设)(,)(∞→→n x f n ξ,又,2,1),()(1==+n x f x g n n ,故)(,)(∞→→n x g n ξ.注意到}{n x 有界,由致密性定理}{n x 有收敛子列}{k n x ,设)(,0∞→→k x x k n ,由)(),(x g x f 在0x 的连续性知,)(),()(0∞→→k x f x f k n ,)(),()(0∞→→k x g x g k n ,而)(,)(∞→→k x f k n ξ,,由极限的唯一性有ξ==)()(00x g x f .例14 设定义在R 上的函数()x f 满足：)1(()x f 在0=x 处连续.)2(R y x ∈∀.,有()()()y f x f y x f +=+.证明：()ax x f =.证明：由f ()()()()()0000000=⇒+==+f f f f .又()x f 在0=x 处连续, 故有()()00lim 0==→f x f x .所以,R x ∈∀,有()()()()()x f x f x f x x f x x =∆+=∆+→∆→∆0lim lim ,即()x f 在R 上连续.由已知,有()()()21112⋅=+=f f f , ()()()n f f n f ⋅=+++=1111 , 又()()()0=+=+-n n f n f n f ,故有()()()n f f n f -⋅=-1. 即对一切整数x 有()()x f x f ⋅=1.又由 ()()2112121212121⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f f f f ,()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f n f n nf 1111, ()n f n f 111⋅=⎪⎭⎫⎝⎛,故有, ()n m f n mf n m f ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛11 , N m n ∈..所以, ()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m f n m f n m f 1,即对一切有理数x ,有()()x f x f ⋅=1.R x ∈∀,{Q r n ⊆∃}使得()∞→→n x r n .由f 在R 上的连续性,有()()()()x f r f r f x f n n n n ⋅=⋅==∞→∞→11lim lim .例15 设()x f 在[)b a ,上连续且无上界,()[)b a d c ,,⊂∀,()x f 在()d c ,上不取最小值，证明()x f 在[)b a ,上严格递增（陕师大）.证明：由()x f 在[)b a ,上连续，且无上界，知()x f 只能在b 的左邻域内无上界. 假设[)b a x x ,,21∈∃,且<1x 2x ,但有()()21x f x f ≥.由于()x f 在b 的左邻域内无上界.故b x x x <<∃323,.使()()23x f x f >.由于()x f 在[]31,x x 上连续,故有最小值()0x f 存在.又()312,x x x ∈且()()()()3212,x f x f x f x f <≤,故最小值点()310,x x x ∈.即()x f 在()[)b a x x ,,31⊂内取到最小值()0x f .矛盾.例16 设()x f 在[]1,0上非负连续,且()()010==f f ，则[]1,0∈∀l ,[]1,00∈∃x ,使得()()l x f x f +=00.（上海交大）证明：[]1,0∈∀l 作辅助函数()()()x f l x f x F -+=.则()x F 在[]l -1,0上连续,且()()()000≥-=f l f F ,()()().0111≤--=-l f f l F由F 的连续性，知[]l x -∈∃1,00,使得()00=x F ,即()()00x f l x f =+. 例17 设() 3,2,2=+++=n x x x x f n n ,证明：)1(方程()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x ,)2(数列{}n x 有极限存在，并求n n x ∞→lim .（北师大）证明：)1(2≥∀n ,令()()[)+∞∈-+++=-=-,0,111x x x x x f x F n n n ,则(),10-=F 当1≥x 时,有()0>x F .从而在[]1,0上至少有一个实根,又()()1121++-+='-- n n x n nx x F ,当0≥x 时,有()0>'x F ,即()x F 在[)+∞,0上严格递增.所以()x F 在[)+∞,0上有且仅有一个实根n x .即()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x .)2(2≥∀n .由于n x 与1+n x 分别满足：n n n n x x x ++2=1, 1111211=+++++++++n n n n n n x x x x .若01>>+n n x x ,则1=1111+++++++n n nn n x x x >1111112>+=++++++++n n n n n n n n x x x x x ,矛盾，所以1+≤n n x x .即数列{}n x 单调递减且有下界0，所以数列{}n x 收敛，设()∞→→n l x n ,由()111=--=++nnn nnnn x x x x x ,在上式中令∞→n ,得()1101=--ee . 即,21-1=⇒=e e e . 例18 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,在()∞+，0内可导,且()A x f x ='+∞→lim .证明：当 且仅当+∞<A 时，()x f 在()∞+，0上一致连续. 证明：)1(若()0lim ,>∃='+∞<+∞→M A x f A x ，故则由，当M x >时，有()M x f ≤'，所以当M x x >2,时，有()()()121212x x M x x f x f x f -≤-'=-ξ.即()x f 在[)+∞,M 上满足李普斯基条件，故)(x f 在[)∞+，M 上一致连续,又f 在[]M ，0上连续,故()x f 在上[]M ,0一致连续,所以()x f 在[)+∞,0上一致连续.)2(设()x f 在[)+∞,0上一致连续，假设+∞=A .则对0,0>∀>δε，由()+∞=='∞→A x f x lim ,知0>∃M ，当M x >时，有()δ1>'x f ,取21,121δ++=+=M x M x ，则δδ<=-221x x ,但有()()()21211212=⋅>-⋅'=-δδξx x f x f x f .这与)(x f 在[)+∞,0上一致连续矛盾.例19：设)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.证明：由于)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，故0>∀ε，01>∃δ，当x x ''',∈),[+∞a ，且1δ<''-'x x 时，有εϕϕ<''-')()(x x .又0))()((lim=-+∞→x x f x ϕ,故0>∃M ,当M x >时,有εϕ<-)()(x x f .所以,当M x x >''',,且1δ<''-'x x 时，有εϕϕϕϕ3)()()()()()()()(<''-''+''-'+'-'<''-'x f x x x x x f x f x f .又)(x f 在]1,[+M a 上连续，故一致连续.对上述0>ε,02>∃δ，当]1,[,+∈'''M a x x 且2δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取}21,,min{21δδδ=,则当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .例20设函数()[)+∞,0在x f 上一致连续，且0>∀x 有()0lim =++∞→n x f n ,证明：()0lim =+∞→x f x .证明：由于()[)+∞,0在x f 上一致连续，故0,0>∃>∀δε,[)+∞∈∀,,21a x x ,当δ<-21x x 时,有()()ε<-21x f x f .取δ1>k ,将[]k 10，等分,记分点为k i kix i ...2,1,==,则每个小区间的长度均小于δ,对每个i x ,由于()0lim =++∞→n x f i n ,故i N ∃,i N n >时,有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取{}K N N N N ,...,m ax 21=，则当N n >时，有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取1+=N M ，当M x >时，则[]N N x n >+≥=1，[)1,0∈-n x .故{}k i ,...2,1∈∃，使得 ()()δ<+-=--i i x n x x n x ，故有, ()()ε<+-n x f x f i .从而有, ()()()()εεε2=+<+++-≤n x f n x f x f x f i i ， 所以()0lim =+∞→x f x .例21设函数()()+∞∞-,在x f 上一致连续，则存在正数B A ,,使得x ∀有()B x A x f +≤.证明：由于()x f 在R 上一致连续，故0,0>∃>∀δε，R x x ∈'''∀,且δ≤-'''x x 时，有 ()()ε<''-'x f x f .固定δε,，则Z n R x ∈∃∈∀,，0x n x +=δ，其中()δδ,0-∈x ，由于()(]δδ,-在x f 上连续，故有界，即0>∃M ，当()δδ,-∈x 时，有()M x f ≤. 又()()()()()()()()()0000211x n f x n f x n f x n f x f +--+-++--+=δδδδ()()()000...x f x f x f +-+++δ.故有, ()()()()()M n x f x k f x k f x f nk +⋅≤++--+≤∑=εδδ01001⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+-=00x M x M x x δεδεδε ()εδε++≤M x . 取εδε+==M B A ,,则有()B x A x f R x +≤∈∀,. 练习题1． 用“δε-”定义证明()2sin x x f =在R 上连续，但不一致连续.2． 证明：xx y 1sin ⋅=在()+∞,0内一致连续.3． 设()y x f ,在[]b a ,上连续，定义()()[]{}b a y y x f x g ,|,m ax ∈=,证明()x g 在[]b a , 上连续.4.设函数()x f 在[]b a ,上单调，且值域充满区间()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,，则()x f 在[]b a ,上连续.5.设函数()x f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线b ax y +=，则()x f 在[)+∞,a 上一致连续.6.设()x f 在(]b a ,可导，且()x f ax '+→lim 存在，证明)1(()x f ax +→lim 存在.)2(()x f 在(]b a ,上一致连续.7.证明：设()x f 在R 上一致连续，()t g 在区间I 上一致连续，则复合函数()()t g f 在区间I 上一致连续.8.设函数()x f 在[)+∞,1上可导，且()+∞=+∞→x f x lim ，证明()x f 在[)+∞,1上非一致连续.9.设()x f 在()+∞∞-,内连续，且()+∞∞-∈∀,,y x ，都有()()22y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()R x x f ∈+=βαβα,,.10.设()x f 在()+∞∞-,上非负连续，()+∞∞-∈∀,,y x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+， 求()x f .11.设()x f 在()b a ,内连续，()x f 2在()b a ,内一致连续，证明()x f 在()b a ,内一致连续.12.设()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续，()0lim 0=⋅+→δωδf iff ,其中()()()x f x f x x fx x f ''-'=<''-'∈'''',sup χδω称为f 的连续模.13.设函数()x f 在()1,0上有定义，且函数()x f e x 和()x f e -在()1,0都单调不减，证明()x f 在()1,0连续.14.设()x f 为R 上的周期函数，其周期小于任意小的正数，证明若()x f 在R 上连续，则()x f 为常值函数.15.设I 为有限区间，()x f 在其上有定义，证明()x f 在I 上一致连续的充要条件是函数()x f 把柯西列映成柯西列. 16.若函数()x f 在[)+∞,1上一致连续，求证()xx f 在[)+∞,1上有界. 17.证明()x f 在R 上连续的充要条件是任何开集的原像是开集.21 18.设函数()x f 在R 上连续，且()()x f f =x ，证明：在R 内至少存在一点0x 使()00x x f =.19.设()x f 在R 上连续，()x g 在R 一致连续且有界，证明()()x g f 在R 上一致连续.20.设()x f 在R 上连续，且()()∞=∞→x f f x lim ，证明()∞=∞→x f x lim . 21.设函数()x f ，()x g 均在[]b a ,上连续，{}[]b a x n ,⊆且对N n ∈∀有()()1+=n n x f x g ，证明至少存在一点[]b a x ,0∈，使()()00x g x f =.22.设()x f 在[)+∞,0上具有二阶连续导数，且()()()0,00,00<''<'>x f f f ，[)()+∞∈,0x ,则()()⎥⎦⎤ ⎝⎛'-∈∃00,0f f ξ,使得()0=ξf .。
一元函数的极限与连续
例5 求 lim 2x2 3x 4 。 x1
解：lim 2x2 3x 4 lim 2x2 lim 3x lim 4
x1
x1
x1
x1
2lim x2 3lim x lim 4
x1
x1
x1
2343
例6
求
lim
x3
x x
2 2
4x 3。 5x 6
解：lim
x3
x2 x2
4x 5x
3 6
lim
x3
x 1x 3 x 2x 3
x
例如, lim 1 , 所以函数 1 是当x 1时的无穷大。
x1 x 1
x 1
注意： (1)绝对值很大的常数不是无穷大。
(2)无穷大与自变量的变化过程密切相关， 自变量的变化过程。
指明无穷大应说明
(3)无穷大借用了极限的符号， 示极限不存在。
并不表示极限存在，
而是表
无穷小与无穷大的关系：
则称y是x的函数， 记作y = f (x)。
称x为自量,
称y为因变量， 称数集D为函数的定义域，
称数集M={y|y=f(x), x∈D}为函数的值域， y之间的对应法则。
y = f (x)中的f 表示x与
函数的表示： y = F (x)，y = g(x)，y =φ(x)，··· 函数值的表示： 当x0∈D , 其对应的y值可记为f (x0)或
(2) lim f (x) lim (3x2 1) = 2
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---xy a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法 ① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ . 如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim 0111n nn xx x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx eπ≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---x y a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性函数是数学中的重要概念，而函数的极限和连续性则是函数理论研究中的核心内容。
本文将围绕函数的极限和连续性展开讨论，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势。
数学上可以用符号“lim”来表示。
一个函数f(x)在x趋近于a时的极限可记作lim(x→a)f(x)，即当x无限接近于a时，函数f(x)的极限是多少。
1. 一元函数极限对于一元函数f(x)，当x趋近于a时的极限可以有以下几种情况：（1）左极限：当x从左侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x→a-)f(x)=L。
（2）右极限：当x从右侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值M，记作lim(x→a+)f(x)=M。
（3）函数的极限：如果左、右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)，那么函数在x趋近于a时的极限为lim(x→a)f(x)。
2. 多元函数极限对于多元函数f(x, y)，当(x, y)趋近于点(a, b)时的极限可以有以下几种情况：（1）xy平面上的极限：当点(x, y)从xy平面上任意方向逼近点(a, b)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L。
（2）z轴上的极限：如果对于任意按z方向逼近(a, b)的路径，当点(x, y, z)趋近于(a, b, c)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y, z)→(a, b, c)f(x, y, z)=L。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点的函数值相等。
简单来说，当自变量在某一点的极限等于该点的函数值时，函数在该点上是连续的。
1. 一元函数的连续性对于一元函数f(x)，如果函数在点a处的极限lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，那么函数在点a上是连续的。
这意味着函数图像中不存在跳跃、断裂或奇点。
一元函数的极限与连续性分析
一元函数的极限与连续性分析一. 极限的概念与性质在数学中，极限是用来描述函数接近某一特定值的概念。
一般来说，当自变量趋于某个特定值时，函数的值也应该趋于一个特定的值。
极限可以帮助我们确定函数在某一点的性态。
数学中的极限有几个重要的性质：1. 极限值的唯一性：如果一个函数存在极限，那么它的极限值是唯一的；2. 有界性：如果一个函数在某一点存在极限，那么在该点附近，函数的值也应该是有界的；3. 保序性：如果一个函数在某一点存在极限，那么在该点附近，函数的增减性应该与极限值的正负关系一致。
二. 极限的计算方法为了计算函数的极限，我们需要了解一些常用的计算方法，如以下几种：1. 直接代入法：将自变量的值直接代入函数中，求得函数在该点的极限；2. 分式法则：对于有分式形式的函数，可以使用分子分母分别求极限的方法；3. 夹逼准则：当我们发现一个函数介于两个极限值之间时，可以利用夹逼准则求得函数的极限；4. 洛必达法则：针对某些难以直接求得极限的函数，可以使用洛必达法则来简化求解过程。
三. 连续性的概念和判断在数学中，连续性是一种重要的性质，它描述了函数在某一点附近的性态。
具体来说，如果函数在自变量的某一点处的极限与该点处的函数值相等，那么我们称该函数在该点处是连续的。
有几个常见的连续性判断方法：1. 极限定义判定连续性：函数在某一点连续的定义可以用极限的概念来描述；2. 闭区间连续性定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上处处连续，且在开区间(a,b)内可导，则该函数在[a, b]上也可导；3. 初等函数的连续性：对于初等函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等），它们在其定义域上都是连续的。
四. 极限与连续性的应用极限与连续性理论在数学中有广泛的应用，其中一些应用包括：1. 曲线的切线与法线：利用函数极限的性质，我们可以确定曲线在某一点处的切线和法线；2. 导数的定义和计算：导数是函数极限的一种特殊形式，它可以帮助我们计算函数的变化率；3. 函数的最值问题：利用函数在区间内的极限性质，我们可以确定函数的最大、最小值；4. 微积分基础：极限与连续性是微积分的基础概念，它们为我们后续学习微分和积分打下坚实的基础。
一元函数连续性概念(复习)
因 f(u,v) 在 (u0,v0)连续，所以当 |uu0|,|vv0| 很小时,
很小.
|f(u,v)f(u0,v0)|
又 u(x, y)和 v(x, y)在P0(x0,y0)连续,所以当|xx0|,|yy0|
很小时,能使 |uu0|,|vv0|很小.
●定理16.7（复合函数的连续性） 若
例2 设
xy f(x,y)x2y2
,(x,y){(x,y)|
ymx,x0}
1m m2, (x,y)(0,0)
f(x,y)关于直线 y=mx在(0,0)是否连续。
解: f(x,y)的定义域为 D {(x,y)|ym x}.(0,0)D, 且为D的聚点,又
(x ,y l) i m (0 ,0 )x 2x yy 2 lx i m 0x 2 x m (m x x )2 1 m m 2f(0 ,0 ) y m x
3、连续定义的增量形式 设f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域有定义。记
xxx 0, yyy0, z f ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 )
●局部保号性： 若f(P)在P0连续，且f(P0)>0),则存在U(P0), 当P∈U(P0)时，f(P)>0.
●四则运算法则：
若f(P), g(P)都在P0连续，则
f( P ) g (x ) ,f(x )g (x ) ,c f(x )
在P0连续, 其中c为常数；
当 g(P0) 0 时,
f ( P ) 在P0连续. g(P )
1) u(x, y) 和 v(x, y)在P0(x0,y0)的邻域内有定义，并在
高等数学第1章 一元函数的极限与连续
值域为: Rf og = R.
第一节 一元函数
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
第一章
一、主要内容
（一）函数的概念及图形
1. 函数的概念
定义1 设数集 D ⊆ R , 则称映射 f : D → R 为定义在
D 上的一元函数 , 记为 y = f ( x), x ∈ D .
9. 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类 型。
10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函 数的介值定理与最大值、最小值定理。
预备知识
一、主要内容 二、典型例题
一、主要内容 (一) 平面点集
1. 集合的概念 定义 1 具有某种特定性质的事物所组成的总体称为集合. 集合中的每个事物称为该集合的元素. 不含任何元素的集合称为空集 ,记作 ∅ . 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈ M .
称由映射g和f 构成的映射为复合映射 , 记作 f o g,
二、典型例题
例1 f : R → R1 = { y y ≥ 0 }, f ( x ) = x2 .
Q f ( X ) = R f = R1
y
∴ 映射 f 是满射 . 不是单射.
y
y = x2
例2 f : R → R, f ( x ) = x2 .
第一章 一元函数的极限 与连续
本章基本要求
1. 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数 概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性 和有界性）的了解。
2. 理解复合函数的概念,了解反函数的概念。 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
4. 理解极限的概念，了解极限的定义（不要
求学生做给出ε求δ或N 的习题）。
一元函数的连续与极限-极限的运算法则：函数极限运算法则
一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则第一章第五节极限的运算法则一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容（一）极限的四则运算法则定理1.5若limf(x)=A,limg(x)=B,则x→x0x→x0(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx→x0x→x0x→x0(2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=ABx→x0x→x0x→x0(3)若B≠0,则有f(x)=limx→x0g(x)x→x0limf(x)x→x0A=limg(x)B注对于数列极限及x→∞时函数极限的四则运算法则,有相应的结论.例如,对于数列极限,有以下结论:若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA=(3)当B≠0时,limBn→∞yn数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1.5直接得出.推论(极限运算的线性性质)若limf(x)=A,limg(x)=B,λ和μ是常数，则x→x0x→x0x→x0lim[λf(x)±μg(x)]=λA±μB=λlimf(x)±μlimg(x)x→x0x→x0以上运算法则对有限个函数成立.于是有x→x0lim[f(x)]n=[limf(x)]nx→x0——幂的极限等于极限的幂一般地，设有分式函数P(x)R(x)=,Q(x)其中P(x),Q(x)都是多项式,若Q(x0)≠0，则P(x0)=R(x0)结论：limR(x)=Q(x0)x→x0注若Q(x0)=0,不能直接用商的运算法则.结论：a0xm+a1xm1+L+am=0,当n>mlimnn1+L+bnx→∞b0x+b1xa0,当n=mb0∞,当n(a0b0≠0,m,n为非负常数)对于∞型的极限，可以先给分子、分母同除以分∞母中自变量的最高次幂（抓大头）,然后再求极限.（二）复合函数的极限运算法则定理1.6设lim(x)=a,当0x→x0u=(x)≠a,又limf(u)=A,则有u→ax→x0limf[(x)]=limf(u)=Au→ao注1°定理1.6中的条件：(x)≠a,x∈U(x0,δ1)不可少.否则，定理1.6的结论不一定成立.2°定理1.6的其他形式若limφ(x)=∞(或limφ(x)=∞)，limf(u)=A,且x→x0x→∞u→∞则有x→x0(或x→∞)limf[φ(x)]=limf(u)=A.u→∞由定理1.6知，在求复合函数极限时,可以作变量代换：x→x0limf[(x)](x)=ulimf(u)u→alim且代换是双向的,即u→af(u)u=(x)x→x0limf[(x)].二、典型例题lim(2x2+x5).例1求x→2x→2极限运算的线性性质解lim(2x2+x5)=2lim(x2)+limxlim5x→2x→2x→2幂的极限等于极限的幂=2(limx)2+25x→2=2223=5x→x0a0x0n结论：lim(a0xn+a1xn1+L+an)=+a1x0n1+L+an例2x31lim2.x→2x3x+52x→2=limx2lim3x+lim5解Qlim(x3x+5)x→2x→2x→2=(limx)23limx+lim5 x→2x→2x→2=2232+5=3≠0,3商的极限等于极限的商2317x1=x→22=.=∴lim233x→2x3x+5lim(x3x+5) x→2lim(x31)x1.（0型）例3求lim2x→1x+2x30Qlim(x2+2x3)=0,商的极限法则不能直接用解x→1又lim(x1)=0称0x1为型极限.lim20x→1x+2x3x→1由极限定义x→1，x≠1,x1x1lim2=limx→1x+2x3x→1(x+3)(x1)11=lim=.x→1x+34约去零因子法2x3+3x2+5例4求lim.32x→∞7x+4x1∞(型)∞分析x→∞时,分子,分母都趋于无穷.可以先用x3同时去除分子和分母,然后再取极限.352++3322x+3x+5xx“抓大头”=limlim解41x→∞7x3+4x21x→∞7+3xx35lim(2++3)2xx=x→∞=.41lim(7+3)7x xx→∞例5分析121求lim3.x→2x+2x+8(∞∞型)∞∞型，先通分，再用极限法则.(x22x+4)12解原式=lim3x→2x+8(x4)(x+2)x22x8=lim=lim3x→2(x+2)(x22x+4)x→2x+8 (0)01x4=.=lim2x→2x2x+42122n2例6求lim3+3+L3.n→∞nnn无穷多项和的极限11解原式=lim3n(n+1)(2n+1)n→∞n6111=lim1+2+nn6n→∞1=.3公式求和变为有限项例7求limx→3x3.2x9x→x0limf[(x)]=limf(u)=A①x3f(u)=u解令u=(x)=2u→ax9x31x3==lim于是limu=lim26x→3x→3x9x→3(x3)(x+3) 61从而原式=limf(u)=limu==.166u→u→166从左向右用①式三、同步练习1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?(2)若limf(x)=A≠0,不存在？n1232.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnlimf(x)g(x)是否一定2x.3．求limx→4x44.已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.n2+n5.求lim4.2n→∞n3n+1f(x)2x3=2,6.设f(x)是多项式,且li m2x→∞xf(x)lim=3,求f(x).x→0x7.8.x2+1(αx+β))=0试确定常数α,β.已知lim(x→∞x+1111求lim1212L12.n→∞23n2x求lim.x→432x+19.四、同步练习解答1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(1)lim[f(x)+g(x)]是否一定不存在？为什么?答：一定不存在．假设lim[f(x)+g(x)]存在，Qlimf(x)存在由极限运算法则可知：limg(x)=lim{[f(x)+g(x)]f(x)}必存在，这与已知矛盾，故假设错误．1.在自变量的某个极限过程中，若limf(x)存在，limg(x)不存在，那么(2)若limf(x)=A≠0,不存在？limf(x)g(x)是否一定一定不存在.（可用反证法证明）答：23n12.lim2+2+2+L+2=?n→∞nnnnn(n+1)111=lim(1+)=.解原式=lim2n→∞2nn2n→∞22x求lim.（0型）3．x→4x40解2xlimx→4x44x=limx→4(x4)(2+1=limx→42+x1=.4先有理化x)再约去无穷小４．已知x→1limx2+3[A+B(x1)]=0,x1试求常数A，B的值.解Qlim{x2+3[A+B(x1)]}x→1x2+3[A+B(x1)]=lim(x1)=00=0x→1x1而lim{x+3[A+B(x1)]}=2(A+B0)2x→1∴2(A+B0)=0,从而A=2.于是x2+3[A+B(x1)]0=limx→1x1x2+3[2+B(x1)]x2+32=lim=lim(B)x→1x1x→1x1 =lim[x→1(x2+3)4(x1)(x2+3+2)x21(x1)(x2+3+2)x+1B]B]1∴B=.2=lim[x→11=lim[2B]=B,x→12x+3+2n2+n.5．求lim42n→∞n3n+1∞(型)∞解n→∞时,分子,分母都趋于无穷.4同时去除分子和分母,然后再取极限.可以先用n11+32n2+nlim4=limnnn→∞n3n2+1n→∞3112+4nn11lim(2+3)n→∞nn==0.31lim(12+4)n→∞nn6.设f(x)是多项式,且f(x)lim=3,求f(x).x→0xf(x)2x3lim=2,2x→∞x解根据前一极限式可令32f(x)=2x+2x+ax+b再利用后一极限式,得f(x)bb23=lim=lim(2x+2x+a+)=lim(a+)xx→0xx→0xx→0可见a=3,b=0故f(x)=2x+2x+3x327.x2+1(αx+β))=0已知lim(x→∞x+1(∞∞型)试确定常数α,β.解∵x→∞x2+1f(x)=(αxβ)x+1(1α)x2(α+β)x+(1β)=x+1limf(x)=0∴分子的次数必比分母的次数低故1α=0,α+β=0即α=1,β=1.1118.求lim1212L12.n→∞32n无穷多个因子的积解原式=的极限111111lim11+11+L11+n→∞3322nn111=lim(1+)=.n→∞22n变为有限项再求极限9.解2x0求lim.（型）分子分母同乘x→432x+102xlimx→432x+1以各自的有理化因式(2x)(2+x)(3+2x+1)=lim x→4(32x+1)(3+2x+1)(2+x)3+2x+1(4x)(3+2x+1)1=lim=lim2x→42+xx→4(82x)(2+x)3=.4约去无穷小。
一元函数极限与连续,可导的定义归纳
一元函数极限与连续,可导的定义归纳一、 函数在x 趋近于0x 时，单侧极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个左邻域00(,)x x ρ-有定义(0)ρ>。
如果存在实数B ，对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ-<-<时，成立()f x B ε-<则称B 是函数()y f x =在点0x 处的左极限，记为0lim ()()x x f x f x B --→==. 类似地，如果函数()y f x =在点0x 的某个右邻域00(,)x x ρ+有定义(0)ρ>.并且存在实数C ，对于任意给定的对于任意给定的0ε>，可以找到一个δ(0)δρ<<，使得当00x x δ<-<时，成立()f x C ε-<则称C 是函数()y f x =在点0x 处的右极限，记为0lim ()()x x f x f x C ++→==.二、 函数在x 趋近于0x 时的极限的定义：设函数()y f x =在点0x 的某个去心邻域有定义，即存在0ρ>使00(,)\{}f U x x D ρ⊂.如果存在实数A ，对于任意的0ε>,可以找到一个δ(0)δρ<<,使得当00x x δ<-<时，成立()f x A ε-<则称A 是函数()y f x =在点0x 处的极限，记为lim ()x x f x A →=.或()f x A → 0()x x →注：在x 趋近于0x 时函数极限：0lim ()x x f x A →=的定义中，函数必须要满足自变量x 不管是从左边还是从右边趋近于0x ，函数值y 最后都趋近于A ，也就是当lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==，才有 0lim ()x x f x A →=用文字来表述：左极限与右极限同时存在并相等（等于A ），才能说函数存在极限，并且极限为A .我们把这个结论说得强一点：左右极限同时存在并相等是函数在x 趋近于0x 时有极限的充分必要条件。
一元函数的极限与连续性研究
一元函数的极限与连续性研究一、引言在数学分析中，研究一元函数的极限与连续性是非常重要的领域。
极限与连续性是分析学的基础概念，对于深入理解函数的性质以及在应用数学中的应用具有重要意义。
本文将从一元函数的极限和连续性两个方面进行探讨。
二、一元函数的极限1. 极限的定义极限是函数在某一点附近的趋势描述。
对于一元函数f(x)，当x无限接近某一点a时，如果f(x)的值无限接近于一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的性质极限具有唯一性、保序性以及四则运算的性质。
即极限存在且唯一，存在极限的函数也一定有界。
此外，极限也满足加法、减法、乘法和除法等基本运算法则。
3. 极限的计算方法通过利用极限的性质，我们可以通过分解、合并、换元等方法来求解一元函数的极限。
常见的极限计算方法包括直接代入法、夹逼定理、反函数法等。
三、一元函数的连续性1. 连续性的定义连续性是指函数在某一点处无间断的性质。
对于一元函数f(x)，如果在某一点a的邻域中，函数值f(x)无限接近于f(a)，那么我们称函数在点a处连续。
2. 连续性的性质连续函数具有保持运算和复合运算的性质。
即连续函数的和、差、积、商以及复合函数仍然是连续函数。
此外，常见的连续函数还包括初等函数、多项式函数等。
3. 连续性的判定连续性的判定可以通过使用极限的概念来进行。
如果一个函数在其定义域上的每一点处都有极限存在，并且该极限值等于函数在该点的函数值，那么该函数就是连续函数。
四、极限与连续性的应用极限与连续性在数学中的应用非常广泛。
例如，在微积分中，极限和连续性是计算导数和积分的基础概念。
此外，极限还可以用于解决数列极限、级数收敛性等问题，在物理学、工程学、经济学等领域也有广泛的应用。
五、结论一元函数的极限和连续性是数学分析中一项重要且基础的研究内容。
通过对极限和连续性的研究，可以深入理解函数的性质，并且应用于解决实际问题。
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质
一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质一元函数是数学中的基础概念之一，它在很多数学分支中都有广泛的应用。
了解一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质对于理解数学的发展和应用都具有重要的意义。
本文将介绍一元函数的极限以及连续性函数的局部与整体性质。
1. 一元函数的极限一元函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在数学中，一般使用极限符号lim来表示。
一元函数的极限可以分为左极限和右极限。
当自变量趋近于特定值时，从左侧靠近时的极限为左极限，从右侧靠近时的极限为右极限。
2. 连续性函数的局部性质连续性是一元函数的重要性质之一。
函数在某一点处连续，意味着函数在该点附近的取值都非常接近。
根据连续性函数的局部性质，如果一个函数在某一点处连续，则在该点的一个小邻域范围内，函数的取值也会非常接近。
3. 连续性函数的整体性质连续性函数的整体性质是指在整个定义域范围内，函数的取值变化连贯、平滑。
如果一个函数在其定义域的每一个点处都连续，那么这个函数就是一个连续性函数。
在数学中，可以使用极限的概念来判断一个函数是否连续。
如果一个函数在其定义域的每一个点处的左极限和右极限存在且相等，那么这个函数就是一个连续性函数。
4. 极限与连续性函数的关系极限与连续性函数密切相关。
一元函数的连续性可以通过极限的存在与否来判断。
如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点处连续。
反之，如果一个函数在某一点的极限不存在或与该点的函数值不相等，那么该函数在该点处不连续。
总结起来，一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质是数学中重要的概念和性质。
通过研究一元函数的极限，我们可以了解到函数在自变量趋近于某个特定值时的取值情况。
而连续性函数的局部与整体性质则使我们能够判断函数在某一点处的连续性。
在实际应用中，我们可利用这些性质解决各种与数学相关的问题。
通过对一元函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的学习与探究，我们可以深入了解数学的基本概念与性质，为今后的数学学习打下牢固的基础。
一元函数的连续性及其应用分析
一元函数的连续性及其应用分析连续函数是数学中一个重要的概念，在许多领域中都起到关键作用。
本文将详细讨论一元函数的连续性，并分析其应用。
一、连续函数的定义在数学中，一元函数的连续性是指函数在其定义域上的每一个点都满足极限的定义。
即对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当x的取值在(x0 –δ, x0 + δ)范围内时，函数值在(f(x0) –ε, f(x0) + ε)范围内。
二、连续函数的特性连续函数具有以下重要特性：1. 若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，那么f(x) + g(x)、f(x) - g(x)、f(x) * g(x)、f(x) / g(x)也在x0处连续；2. 若函数f(x)在点x0处连续，而g(x)在f(x0)处连续，那么g(f(x))也在x0处连续；3. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，那么f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值；4. 至多可以有有限个点不连续的函数也被称为连续函数。
三、连续函数的应用连续函数的应用非常广泛，下面以几个具体的应用场景进行分析。
1. 解析几何中的应用：在解析几何中，连续函数广泛应用于曲线的研究。
通过分析函数曲线的连续性，可以推导出曲线的拐点、极值点、切线等重要信息，进而对曲线进行更深入的研究。
2. 经济学中的应用：在经济学中，连续函数被用于建立供需关系、成本与利润的函数模型。
通过研究这些连续函数的性质，可以解决市场供需均衡、最大利润等重要的经济问题。
3. 物理学中的应用：在物理学中，连续函数在描述物理量随时间或空间的变化规律时经常被使用。
例如，位移、速度和加速度之间的关系可以用连续函数来描述。
4. 优化问题的求解：连续函数在解决优化问题时起到关键作用。
通过研究连续函数的极值点，可以确定问题的最优解，如求解最大值和最小值等。
5. 数值分析中的应用：在数值分析领域中，通过对连续函数进行逼近，可以得到更简洁、有效的数值计算方法。
一元函数的连续性与间断点
一元函数的连续性与间断点在高等数学中，连续性是一个非常重要的概念。
连续性的定义可以用极限的概念来表示。
如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么这个函数在该点处就是连续的。
反之，如果函数在某一点处的极限不存在或者不等于该点处的函数值，那么这个函数在该点处就是不连续的，我们也称这个点为函数的间断点。
在本文中，我们将介绍一元函数的连续性与间断点的一些性质，以及一些特殊的函数。
一、一元函数的连续性与间断点的分类一元函数的连续性与间断点可以分为以下几种情况。
1.第一类间断点如果函数在某一点处的左右极限存在，但是左右极限不等，那么这个点就是函数的第一类间断点。
比如，函数$f(x)=\begin{cases}x,&x\geqslant0\\x+1,&x<0\end{cases}$在$x=0$处存在第一类间断点，因为$\lim\limits_{x\rightarrow0^-}(x+1)=-1\neq0=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}x$。
2.第二类间断点如果函数在某一点处的左右极限至少有一个不存在，那么这个点就是函数的第二类间断点。
比如，函数$f(x)=\begin{cases}\sin\dfrac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$在$x=0$处存在第二类间断点，因为$\lim\limits_{x\rightarrow0}\sin\dfrac{1}{x}$不存在。
3.连续点如果函数在某一点处的左右极限存在且相等，那么这个点就是函数的连续点。
比如，函数$f(x)=x^2$在$x=0$处是连续的，因为$\lim\limits_{x\rightarrow0}x^2=0=x^2$。
二、一元函数的连续性与间断点的性质1.连续函数的四则运算如果函数$f(x),g(x)$在某一点$x_0$处连续，那么它们在$x_0$处的和、差、积、商（$g(x_0)\neq0$）都是连续的。
一元函数的连续性定义
一元函数的连续性定义一个一元函数通常被定义为f：D→R，其中D是定义域，R是实数范围。
函数的连续性定义了函数在定义域上的连续性。
数学定义中，给定一个函数f(x)和一个点a，如果存在一个数L，使得当x趋近于a时，当x从函数f(x)的定义域的一个方向逼近a时，函数f(x)的极限等于L，并且当x从函数f(x)的定义域的另一个方向逼近a 时，函数f(x)的极限也等于L，则函数f(x)在点a连续。
简而言之，函数在特定点连续是指函数在该点的两侧极限相等且与该点的函数值一致。
根据连续函数的定义，我们可以分为三类：左连续、右连续和间断点。
-左连续：函数f(x)在定义域的右侧有极限，函数f(x)的函数值与该点的极限相等。
-右连续：函数f(x)在定义域的左侧有极限，函数f(x)的函数值与该点的极限相等。
-间断点：如果函数f(x)在其中一点的左、右极限均存在，但两个极限不相等，则该点是一个间断点。
函数的连续性有一些重要的性质，其中最基本的是连续函数的四则运算仍然是连续函数。
具体而言，如果f(x)和g(x)是在定义域上的连续函数，那么f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)*g(x)、f(x)/g(x)（当g(x)不等于0时），以及复合函数g(f(x))仍然是定义域上的连续函数。
连续函数还有一个重要性质，即中间值定理。
中间值定理是指，对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
换句话说，如果一个函数在一条连续曲线的两端取不同的函数值，则在曲线上至少存在一点与x轴的交点。
连续函数的连续性还具有一些基础的应用。
连续函数可以用来表示一些物理现象，例如，使用连续函数可以描述运动的轨迹、声音的波动等。
在微积分中，连续函数可以用来计算曲线的斜率，求取曲线上的最值，以及求解微分方程等。
最后，函数的连续性可以通过函数的图像来直观地理解。
连续函数的图像是一条无间断的曲线，没有突变或跳跃。
高考数学中的函数极限与连续性应用技巧
高考数学中的函数极限与连续性应用技巧数学作为高考重要科目之一，其中的函数极限与连续性是一项重要的考察内容。
函数极限与连续性的应用在高考中占据较大的比重，下面将介绍一些应用技巧，帮助同学们更好地应对高考数学考试。
一、一元函数极限的应用技巧在高考数学中，一元函数极限的应用经常涉及到函数的极限值、极值问题以及其他相关应用。
为了解决这些问题，以下是一些技巧和方法。
1. 利用函数极限求函数的极值：当函数极限存在时，可以通过极限的定义来求取函数的极值。
首先，找到函数的定义域和极限的边界条件；然后通过求导、求导数的零点以及边界点等方法，判断函数的极值存在性及其取值。
2. 利用函数极限解决趋向问题：对于一些趋向问题，我们可以利用函数极限的定义来解决。
一般来说，我们可以先将问题转化为数学表达式，然后通过函数极限的性质和操作方法来求取问题的解。
3. 利用函数极限推导变量间的关系式：在一些复杂的高考数学问题中，函数极限的应用可以帮助我们建立变量间的关系式。
通过对特定函数的极限进行分析，可以得到一定的关系式，进而解决问题。
二、连续函数的应用技巧连续性是高考数学中另一个重要的概念，相对于函数极限，连续函数的应用要略显复杂。
以下是一些应用技巧。
1. 利用连续函数求函数值：当一个函数是连续的时，可以通过直接将自变量的值代入函数表达式中，求得函数的函数值。
对于较复杂的函数，可以利用函数的性质和运算法则进行简化。
2. 利用连续函数解决函数存在性与唯一性问题：对于给定的方程或不等式，我们可以通过构造连续函数来解决其存在性与唯一性问题。
通过建立恰当的连续函数，并利用连续函数不变性、介值定理等技巧，可以判断给定方程或不等式是否存在解，以及解的个数和范围。
3. 利用连续函数解决极值问题：在高考中，我们常常遇到一些求函数的最大值和最小值的问题。
对于连续函数来说，可以通过求取函数的导数，找到导函数的零点和定义域的边界点，来判断函数的极值点和取值。
一元函数连续性概念(复习)
2. 一致连续性定理 定理16.9 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一致连续。
即对任意ε>0， 存在δ>0, 对于D中任意的P、Q，只要ρ(P,Q)<δ, 就有
| f(P)—f(Q) | < ε
3. 介值定理 定理16.10 设二元函数f(P)在区域D连续。若P1，P2为D中两点，且f(P1) < f(P2 ), 则对满足 f(P1) < μ< f(P2) 的μ， 必在D中存在上点P0，使 f(P0)= μ.
连续.
6. 连续二元函数的图象,是否一定是连续的曲面?
1、定义
设D为平面点集，f(P)为定义在D上的二元函数, P0∈D. 若对于任给的ε>0, 相应存在 δ>0, 只要 P∈U(P0;δ)∩D,
就有
|f(P)－f(P0)|< ε
则称f(P)关于集合D在点P0连续。 否则称P0是f(P)的不连续点（间断点）. 若f(P)在D上的每一点都连续,则称f(P)在D连续.
2. 一元函数的间断分类.
设y=f(x)在x0邻域有定义。 若
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
则称f(x)在x0连续，
否则称f(x)在x0间断。
令 y f (x0 x) f (x0 ), 则
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
若f(x)在区间 I 的每一点连续，则称f(x)在区间 I 连续。其图象为一条连续的
0, 0,(u, v) :| u u0 | ,| v v0 | ,
| f (u, v) f (u0 , v0 ) | .
一元函数的连续与极限-闭区间上连续函数的性质
又 Q f ( x )在( ∞ ,+∞ )内连续 ∴ f ( x )在[ X , X ]上连续，从而在 [ X , X ]上有界
故存在常数 M1 > 0，使得
f ( x ) ≤ M1 , x ∈ [ X , X ]
取
M = max{ M1 , 1 + A }，则
f ( x) ≤ M .
x ∈ ( ∞ ,+∞ )，均有 即 f ( x )在( ∞ ,+∞ )上有界 .
而 F ( a ) = f ( a ) a < 0,
F (b ) = f ( b ) b > 0,
由零点定理,
ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
6. 设 n ∈ N + , 函数 f ( x )在区间[0, n]上连续，且
1
3 x ,1 < x ≤ 2
O
2
x
O
1
2
x
f (x)在[0, 2]上无最大值和最小值 推论 (有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界.
（二）零点定理与介值定理
定义 如果 f ( x0 ) = 0, 则称 x0 为函数f (x) 的零点. 定理1.19 ( 零点定理 ) 若 f ( x ) ∈ C [ a , b ]，且
f ( 0) = f ( n )
证明存在点 x0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1).
证 1 当 n = 1 时， 由条件 f (0) = f (1) = f (0 + 1)
知 x0 = 0 ∈ [0, n]，使 f ( x0 ) = f ( x0 + 1). 2o 当 n ≥ 2 时，令
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x x0
当0 |
x
xo
|
时，有f
(x)
0(或f
(x)
0)
2.连续的定义
Hale Waihona Puke 定义1 设函数y f (x)在点x0的某一邻域内 有定义，如果
lim y
x0
lim[
x0
f
(x0
x)
f
(x0 )]
0,
那么就称函数y f (x)在点x0连续.
定义2 设函数y f (x)在点x0的某一邻域内有定义，
如果
恒有 f (x) A .
记作 lim f (x) A 或 x x0
f (x0 ) A.
注意 :{x 0 x x0 }
{x | x0 x x0}{x x0 x x0 }
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0 )
f (x0 )
A.
定义2 设函数f (x)当 x 大于某一正数时有定义. 如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么 小），总存在着正数X，使得当x满足不等式 x X，
f
(x)
A或f
(x)
A(当x
x0 ).
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
右极限
记作 lim f (x) A 或 x x0
f (x0 ) A.
0, 0,使当x0 x x0 时,
对应的函数值f (x)都满足不等式 f (x) A ,
那么常数A就叫做函数f (x)当x 时的极限， 记作lim f (x) A 或 f (x) A(当x )
x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
lim
xx0
f (x)
f
(x0 )，
那么就称函数y f (x)在点x0连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
x
x
x
函数极限的性质
定理1(唯一性)若 lim f (x)存在，则极限唯一. xx0
定理2(局部有界性)
如果 lim f (x) A, 那么存在常数M 0和 0， 使得当0xx|0x x0 | 时,有 | f (x) | M . 定理3(局部保号性定理 )
若 lim f (x) A, A 0(或A 0)则 0，
1. 极限的定义 :
定义1 设函数f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义.
如果存在常数A，对于任意给定的正数
（不论它多么小），总存在正数 ,使得 当x满足不等式0 x x0 时，对应的
函数值f (x)都满足不等式 f (x) A ,
那么常数A就叫做函数f (x)当x x0时的极限，
记作 lim xx0