变量代换法在求解微分方程问题中的应用
变换法在解微分方程中的应用
ｂｙ 则 有 ｕ＝ ａ ＋ ｂ ｙ ｚ ， ｄ 。 。ｄ
代入 上 式 ， 得 ＝ａ＋ｂｇ 。
程 。可 以利用 分 离变量 的方法 将原 方程 写成
一
（ ） 即转 化成 为变量 分离 方程 。 ｕ，
ｆｘ ｄ ， （）ｘ 然后借 助 于积分 法来求 其通解 。 是最 基本 这
常微 分方 程就是 包含 有单变 量 的未知 函数 及其 导数 的方程 ， 常分 为线性 与非 线性 两大 类 ， 数学 通 是
专 业 的一 门重 要 的基 础课 。由于 它在 工程 、 经济 、 管
理 等科 学 技术 领域 中有着 广泛 的应 用 ， 而 在理 工 从 科 等各专 业 的高等数 学课程 中也 占据 十分重 要 的位 置 。常微 分方程 的解 法很多 ， 在许 多文 献和教 材 （ 见 文 ［］ ３） １ 一［ ］ 中都 有归纳 与 总结 ， 常根 据方 程 的结 通
变换 法 在 解 微 分 方 程 中的 应 用
徐 秀 荣
（ 宿州学院 数学系， 安徽 宿州 ２ ４ ０） ３０ ０
摘 要 ： 量 代换 法 是 解 常徽 分 方 程 的 一种 辅 助 方 法 ， 托使 问题 简化 ． 文 通 过 联 系 实例 给 出 了 变挟 在 求解 微 分 方 变 它 本
维普资讯
第 ２ 第 ２期 ３卷 ２００８年 ４月
宿
州 学 院 学 报
ＶＯ ． ３， Ｏ ２ １２ Ｎ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ａｐｒ． ２ ０ ０ ８
构特 点选 择适 当的方法 进行求解 。本 文就 变 量代 换
［
应用变量代换思想解一阶微分方程论文
应用变量代换的思想解一阶微分方程摘要通过举例的方式，介绍了在一阶微分方程的求解中，如何寻找合适的变量代换，将方程转化为可以通过积分求解的方程。
探讨了在寻找合适的变量代换时，结合具体方程进行具体分析的思考方法。
关键词变量代换；微分方程；积分法【中图分类号】 o175.1变量代换是在高等数学的计算中普遍使用的方法，诸如求函数的极限、积分的计算等。
而在一阶微分方程的求解中，变量代换并非一种计算方法，而是一种思想，是问题转化的思想。
一阶微分方程的形式很多，不可能去针对每一种方程研究一种解法，也没有这个必要。
在文献[1]中仅介绍了三种一阶方程的解法，却已经给出了求解一阶方程的基本思路。
一阶方程的基本解法是积分法，对于不能直接通过积分来求解的方程，可以考虑先通过适当的变量代换，将其转化为可以用积分求解的方程，然后再求解。
这样，如何找到适当的变量代换便成为求解这类方程的关键，也是难点。
在函数极限的计算中，变量代换的理论来源是复合函数的极限运算法则；在积分的计算中，第一类换元法和第二类换元法都有相应的结论作为理论指导，基本上形成了固定的方法与步骤；而在微分方程的求解中，变量代换没有什么理论基础，也没有固定的方法与步骤，它需要有较强的观察分析能力和经验的积累。
下面通过几个例子给出一些确定合适的变量代换的思路，希望能抛砖引玉。
为节省篇幅，在求解下面的方程时，主要进行方程的转化。
方法一：使用熟悉的变量代换例1 解方程。
解：这是个一阶线性非齐次方程，它的常规解法是常数变易法。
但通过适当的变量代换来求解，其计算过程更简单，方法也显得更灵活。
令（这是在文献[1]中将齐次方程转化为可分离变量的方程所使用的变量代换），代入方程整理得：，此方程与原方程“同型”。
再令代入此方程整理得：v′=2x。
于是积分得：v=x2+c，即u=x3+cx，亦即y=x4+cx2为原方程的通解。
一般地，形如的方程，作变量代换：y=u（x）·xa，方程便转化为可以直接积分求解的方程：。
利用简单的变量代换求解微分方程
利用简单的变量代换求解微分方程通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.2(41.1)dy x y dx=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得24.du u dx-=21+4du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx=++=++形如的方程，都可以尝试令注21tan .222dy y y dx x y x=+求微分方程的通解例2y u x=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t=⋅=⋅-解 ，2(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程222231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为220(*)d y y dt+=，r i =±解得特征根，212cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用.。
变量代换方法在求解微分方程中的应用
变量代换方法在求解微分方程中的应用在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。
通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。
然而，值得注意的是，不同的类型的方程，其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。
2变量代换方法在几类微分方程求解中的应用定义1如果一阶微分方程具有形式d y=f(x)g(y)，则该方程称为可分离变量微分方程.若设g(y) H0，则可将方程化为"gd^j = f(x)dx.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y的函数与dy，另一端只含有x的函数与dx.对于该类程, 我们通常采用分离变量的方法来处理。
例1求微分方程/ = 2xy的通解.解因为一=2xy，分离变量，一=2xdx，两端积分，In |y|=x2+C，| y e x^1dx dx所以y = ±eX七.令c =±e C1，于是y =Ce X为所求.注：以后为了方便，可将ln|y|就写成In y，注意结果中C可正可负.对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。
对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。
如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。
下面介绍几类这样的方程。
2.1 一阶齐次方程1.形如dy = f(ax+by)的齐次方程(其中a,b(bHO))为常数) dx作变量代换，U = ax +by可将方程化为分离变量方程，将u = ax + by和詈a+b2代入方程，整理后可得：齐…⑴)例 2 解方程(2y +x +1dx -(4y +2x +3dy =0 解将方程整理后可得dy (2y +x)+1 dx " 2(2y + x) +3 故令U =2y+x ，带入后可得也=一q分离变量后，两边积分可得 dx 2u+3ln|4u + q +4u =8x+C 再代回原变量，得方程的通解为ln|4u + rn +4u =8x +C f y y=f -的齐次方程l x 丿作变量代换u ＜，则齐u+燈，代回原方程，整理后可得 程转化为分离变量方程，故可求出其通解。
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
变量代换的应用
1 变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用．变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换.1.1 算式代换算式代换是指积分表达式中含有()ax b +的代换.例1 求定积分1321(115)dx x -+⎰. 解 令115x t +=,则115t x -=. 当1=x 时,16=t ;当2-=x 时,1=t .所以有1321(115)dx x -+⎰1631115t t d --=⎰ 2161110t -=- 51512=.1.2 根式代换 根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2 求定积分⎰-++0341dx x x . 解 令t x =+4,则当3-=x 时,1=t ;当0=x 时,2=t .则⎰-++0341dx x x ⎰-+-=2122)4(14t d t t ⎰-=212)3(2dt t 34-=.1.3 倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换. 例3 求不定积分⎰+dt t t )2(17. 解 令x t=1,则 ⎰+dt t t )2(17dx x x ⎰+-=7621 c x ++-=721ln 141 711ln 2ln 142t t c =-+++. 1.4 三角代换 三角代换是指积分表达式中含有22x a -,22a x -等形式的代换.例4 求)0(022>-⎰a dx x a a.解 令t a x sin =,则当0=x 时,0=t ;当a x =时,2π=t .所以22200cos a tdt π=⎰⎰24a π=. 1.5 指数代换 指数代换是指积分表达式中含有x x a e ,的代换.例5 求不定积分⎰+dx ee x x21. 解 令t e x =,则有⎰+dx e e x x 21211dt t =+⎰arctan t c =+arctan x e c =+.1.6 公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形式．例如 sin 22sin cos ααα=设2αθ=,则2θα=,于是有 sin 2sin cos 22θθα=． 同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如 0sin lim 1x x x→=. 设()x at a R =∈,当0x →时,0t →,于是有0sin lim 1x at at →=, 即 0sin lim x at a t→=. 如果设sin x t =,则arcsin x t =. 同理10lim(1)xx x e →+=,则10lim(1)at t at e →+=, 即10lim(1)a tt at e →+=. 通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子．例如 sin 2()2sin ()cos ()F x F x F x =.1.7 函数解析式中的变量代换例6 已知()ln n f x x =,求()f e .解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设n x e =,则1n x e =.从而有11()()ln n n f x f e e n===. 例7 已知22(,)f x y x y x y +-=-,求(,)f x y 表达式.解 令 u x y v x y =+⎧⎨=-⎩, 则有22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. 因此有22(,)()()22u v u v f u v uv +-=-=, 得(,)f x y 的表达式(,)f x y xy =.2 变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定 ()y f u =为实函数, 12(,,,)m m u u u u D E =⋅⋅⋅∈⊆,m S E ⊆且S ≠∅, 12{(,,,)(),1,2,,;}m i i D u u u u x i m x S ϕ=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∈. ［文献3］引论1 对于设定,若函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅均在S 上连续,则由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 在S 上也连续．引论2 设X ,Y 是度量空间,映射:f X Y →,那么f 在X 上连续的充要条件是像空间Y 中的任一开集U 的原像1()f U -是X 中的开集．引论3 设X 是度量空间,A B X ⊆⊆,B 为开集,则A 为X 的开集的充要条件是A 是相对于B 的开集．结论1 设S,D 均为开集,函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ==⋅⋅⋅在S 上均连续,010((),u x ϕ=200(),,())m x x ϕϕ⋅⋅⋅,若0u 是()f u 的极大(小)值点,则0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点．证 设由函数组()i x ϕ确定的S →D 的映射为 F,因为()i x ϕ均在S 上连续,所以F 也在S 上连续(引论1)．因为0u 为D 中极大值点,所以总存在0u 点的某一邻域0()N u D ⊆,使0()u N u ∀∈时,0()()f u f u ≤．因为D 为开集,所以0()N u 是相对于D 的开集(引论3),又因为F 连续,所以10(())F N u -是相对于S 的开集(引论2),而S 为开集,所以10(())F N u -也为n E 的开集(引论3)．又因为100(())x F N u -∈,则10(())F N u -为点0x 的一个邻域．对于10(())x F N u -∀∈,则有120((),(),())()m x x x N u ϕϕϕ⋅⋅⋅≤∈,所以有12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.同理可证极小值的情况.结论2 在结论1中,若由函数组()()1,2,,i i u x i m ϕ=-⋅⋅⋅确定的S →D 的映射F 为一一对应,且F 的逆映射1F -连续(即 F 是S →D 的同胚映射),则0u 是()f u 的极大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大(小)值点.证 必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的极大值点,则存在0x 的一个邻域0()N x S ⊆,使0()x N x ∀∈,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅.由F 是S →D 的同胚映射及引论3可知,0(())F N x 的0u 一个邻域．设0(())u F N x ∀∈,存在x S ∈,使得12((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,对给定的u ,x 是唯一存在的,则当0()x N ∈时,12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅10200((),(),,())m f x x x ϕϕϕ≤⋅⋅⋅,因此有0()()f u f u ≤.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立． 结论3 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 是()f u 的最大(小)值点的充要条件是0x 是12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅的最大(小)值点.(证明略)结论4 设010200((),(),,())m u x x x ϕϕϕ=⋅⋅⋅,则0u 为()f u 在约束条件()(1,2,;)j j L u R j k u D =⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点的充要条件是0x 为12((),(),,())m f x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅在约束条件12((),(),,())(1,2,;)j m j L x x x R j k x s ϕϕϕ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈下的最大(小)值点(),1,2,j R R j k ∈=⋅⋅⋅.(证明略)例1 讨论函数222y x z x y=+在 D 上的极值与最值,{}(,)0,0D x y x y =>> 约束条件为221x y +<.解 设cos (21)sin (22)x r y r θθ=-⎧⎨=-⎩ (,)0,02S r r πθθ⎧⎫=<<>⎨⎬⎩⎭． 由(2-1),(2-2)确定的映射F ：S →D 是同胚映射,所以原问题可化为函数212tan tan z θθ=+在S 上满足约束条件1r <下的极值与最值问题,即化为函数212tan tan z θθ=+在区间(0,)2π内的无条件极值与最值问题. 设1(0,)2s π=,令 1tan ,(0,)t t D θ=∈=+∞. (2-3)显然由(2-3)确定的映射111:F S D →是同胚映射．这时212z t t=+在(0,)+∞内有唯一驻点1t =,且1t =是极小值点,从而也是最小值点．又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值．当t = 1时,得4πθ=；再由4πθ=及0 < r <1得x y a ==(02a <<. (2-4)由以上结论可知(2-4)为函数的极小值点与最小值点,函数无极大值与最大值．例 2 设(,)x y 为圆223x y +=上的任意一点,求函数()f x =的极大值.这是一个在约束条件223x y +=下求()f x 的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.解 由(,)x y 是223x y +=上的点,得y =将()f x以y 替代得到()f x =.可以看做圆223x y +=上任一点与(3)--连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点(3)--到圆223x y +=所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:3y +=,斜率K=因此()f x的极大值为 例3 设223x xy y ++=,求22(,)f x y x y =+的最值.解 设cos ,sin x r y r θθ==,则221sin 232r r θ+=, 所以2311sin 22r θ=+. 因此当4πθ=时,2r 取最小值32112=+;当34πθ=时,2r 的最大值36112=-. 即满足223x xy y ++=的22(,)f x y x y =+的最大值、最小值分别为6和2. 很显然,例3可以改写为例3' 设223x xy y ++=,求证: 2226x y ≤+≤.此时问题就变成不等式的证明问题,因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.2.2 变量代换在不等式中的应用变量代换法是一种非常有效的解题方法,尤其是处理一些复杂的不等式问题,效果明显．合理代换往往能简化题目的信息,凸显隐含条件,沟通量与量之间的关系,对发现解题思想,优化解题过程有着重要的作用．例1[6] 设a 、b 、c 均为正数,求348223a c b c w a b c a b c a b c+=+-++++++的最小值．解 本题涉及的三个变量a 、b 、c 不具有对称性,且三个分式的分母都是多项式,如果通分,则运算量较大．因此,我们可考虑把各分母用其他变量代换,看看结果如何．令2,2,3(,,0)x a b c y a b c z a b c x y z =++=++=++>,则有32,4484,888a c y x b x y z c z y +=-=-+=-,所以有248488y x x y z z y w x y z--+-+-= 244817y x z y x y y z =+++-17≥=17.当且仅当24y x x y=且48z y y z =,即y =时,上式取等号．所以当(1,(4b a c a =+=+时,min 17w =-.例2 设a 、b 、c 是三个互不相等的正数．证明:1a b b c c a a b b c c a +++++>---. 解 设,,a b b c c a x y z a b b c c a+++===---, 则有1xy yz zx ++=-. 因为2()3()3x y z xy yz zx ++≥++=,所以1x y z ++≥>,即1a b b c c a a b b c c a+++++>---. 说明: 本题通过局部代换,发现了隐含条件1xy yz zx ++=-,从而应用重要不等式2()3()x y z xy yz zx ++≥++使问题得到解决．例3 设1x y ≥≥,求证:13112x y y x x y ++≥+++． 解 令 ,(2,1)x y a xy b a b +==≥≥,则有13112x y y x x y ++≥+++ 221312a ab a b a +-⇔+≥++ 3222(72)a a a b a ⇔--+≥-. (2-5)因为22720,()44a a x y xy b ->=+≥=,所以3224(22)(72)a a a a a --+≥-322480a a a ⇔--+≥2(2)(2)0a a ⇔-+≥. 上面最后一个不等式显然成立,从而不等式(2-5)成立,故原不等式成立．2.3 变量代换在极限运算中的应用(1) 利用变量代换得到第一个重要极限0sin lim 1x xx→=的其它变形例如 令()x f t =,且0lim ()0t t t f t →→∞=,则有0sin ()lim1()t t t f t f t →→∞=．(2) 利用变量代换得到第二重要极限1lim(1)x x e x→∞+=的变形1()lim(1())f x f x e +=,其中0lim ()0x x x f x →→∞=．(3) 无理根式形式的极限问题 例如求43lim4x x →--.3t =(也可利用有理化法求得极限)． (4) 幂指函数求极限 例如 0lim ln ln 000lim lim 1x x xxx xx x x e ee +→++→→====．(5) 二元及多元函数求极限可作变量代换,转化为一元函数求出极限 例如 求22221lim()sinx y x y x y →→++. 可令22u x y =+,则原式= 01lim sin0u u u→= (利用无穷小量的运算法则). (6) 其他类型有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则,可依题意作适当变换,转化为熟悉的形式求出极限．例4 求11110limxx x xxe e e e-→-+-.解 作变量代换,令1xe t =,则有11110limxx x xxe e e e-→-+-=221lim 11t t t →+∞+=-. 2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导例1 设22(,sin )z f x y x y =+,且具有连续偏导,求z x∂∂. 解 令 22,sin u x y v x y =+=, 则有(,)z f u v =.由复合函数的链式求导法则得2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ∂∂∂∂∂''''=+=+=+∂∂∂∂∂. (2) 隐函数求导例2 设由方程1z e xyz -=确定了一个(,)z f x y =函数,求zx∂∂. 解 将z 看作关于,x y 的函数. 方程两边同时对x 求导得()0zz ze yz xy x x∂∂-+=∂∂, 整理得z z yz x e xy∂=∂-. (3) 变限函数求导 例3 设()()()u x ax f t dt φ=⎰,求d dxφ. 解 令 ()u u x =,则函数变量之间的关系为u x φ→→,由一元函数的求导法则可得[()]()d d du f u x u x dx du dxφφ'==． (4) 利用函数导数求单调性、极值．例4 已知函数22()xxf x e -=,求函数单调区间．解 函数看作由()u f x e =,22u x x =-两个函数复合而成的．而函数()u f x e =是一个单调上升函数,将问题转化为求函数22u x x =-单调区间．2.5 变量代换在解微分方程中的应用在常微分方程中,许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的,下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解,问题就解决了,很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程.(1) 齐次方程()dy ydx x ϕ=.通过变量代换yu x =化为以u 为未知函数的可分离变量方程.(2) 准齐次方程111()dy ax by c f dx a x b y c ++=++. 其中111,,,,,a b c a b c 为常数. (i) 11ab a b ≠1110,0ax by c a x b y c ++=++=构成的方程组的解为,x y αβ==,则同时作函数y 与自变量x 的代换,y x ηβξα=+=+,将其化为以η为函数,以ξ为自变量的齐次方程,然后再将齐次方程化为可分离变量方程,达到求解齐次方程的目的. (ii) 11ab a b = 不妨设11a ba b λ==, 此时方程的形状为11111()()a x b y c dyf dx a x b y c λ++=++. 作变换11u a x b y =+,则可得分离变量方程111()dy u ca b f dx u c λ+=++.从而可以求其通解.(3) 形如 1()a a dy yf x dx x -= 的方程(其中a 是已知实数).作变量代换ayu x =, 将方程化为分离变量方程,将a yu x =代入方程,整理后可得 ()1()a a du x f u au x dx-=-. 这已是分离变量方程.(4) 一阶线性方程()()dyp x y q x dx +=,其中(),()p x q x 为已知函数.该方程所对应的齐次方程的通解为()p x dxy ce -⎰=. 作代换()()p x dxy c x e -⎰=,以此作为原方程的解,代人原方程中得()()()p x dx dc x q x e dx -⎰=. 从而解出()c x ,进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程()()()n dc x q x y q x y dx=+,其中0,1n ≠. 作代换 1n z y -=,将方程化为以z 为未知函数的线性微分方程(1)()(1)()dzn p x z n q x dx =-+-. 然后再按线性微分方程作代换求解.(6) 黎卡提方程2()()()dzp x y q x y f x dx +=+.若已知它的一个解为1()y y x =.则作代换1y u y =+,代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程.对黎卡提方程2m dyay bx x +=,其中a ,b 都是常数,且0a ≠,则当440,2,,(1,2,)2121k km k k k --=-=⋅⋅⋅+-时,可经过适当的变量代换化为可分离变量方程.(7) 其它形式的一阶方程对其它形式的某些一阶微分方程,可以根据方程自身的特点,选取灵活的代换方法,将其化为可分离变量方程.例如对方程()dyf ax by c dx =++,令 z ax by c =++; 对方程21()dy f xy dx x=,令 z xy =; 对方程2()dy yxf dx x =,令 2y z x =. 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶微分方程时,可以通过变量代换化为较低阶微分方程,进而达到求解的目的.(1) 形如(1)()(,)0n n F y y -=的高阶方程 能从中解出()(1)()n n y f y -=.令 (1)n y z -=, 则有()z f z '=.分离变量积分,可解出1(,)z x c φ=,则有(1)1(,)n y x c φ-=,再积分1n -次可求得方程通解.如不能解出n y ,可通过代换引进参数 t ,将)1(,-n n y y 都写成 t 的函数,即将原方程写成参数方程(1)()()()n n yg t y t φ-⎧=⎪⎨=⎪⎩, 然后由关系式(1)()()()n n dy g t dtdx y t φ-'==, 求出方程的参数形式通解.(2) 形如0),,,()()1()(=⋅⋅⋅+n k k y y y x F 的高阶方程 作代换)()(x p y k =,方程化为新未知函数)(x p 的k n -阶方程()(,,,,)0n k F x p p p -'⋅⋅⋅=.如能求得该方程的通解),()(21k n c c c x Q x p -=,再积分k 次便可得到原方程的通解. (3) 形如()(,,,)0n F x y y y '⋅⋅⋅=的高阶方程作代换()y p y '=,视y 为自变量,则可将方程化为关于新未知函数)(x p 的k n -阶方程,从而可能求出原方程的解,特别是二阶方程(,,)0F y y y '''=,通过上述代换可化为一阶方程,再利用某些一阶方程求解的方法来求解. 2.5.3 变量代换在解某些变系数齐次方程中的应用我们知道线性方程有完整的解的构造理论,对于常系数线性程有有效的求解方法.而对于变系数线性方程没有普遍的求解方法.一般可以根据线性齐次方程0)()(11)(=+⋅⋅⋅++-x t a x t a x n n a ,在自变量变换)(z t ϕ=和未知函数的线性齐次变换y t p x )(=下,方程的线性和齐次性保持不变的特性,对某些系数齐次方程作适当的变量代换,化为常系数线性齐次方程,从而通过常系数线性齐次方程求解. (1) 对尤拉方程01)1(1)(=++⋅⋅⋅++--y a a x a y x n n n n n ,其中n a a a ,,,21⋅⋅⋅为常数.我们通过自变量代换t e x =或x t ln =(这里x >0,当x <0时,取t e x -=),可将方程化为常系数线性齐次方程()(1)110n n n n y b y b y b y --'++⋅⋅⋅++=,其中n b b b ,,,21⋅⋅⋅都是已知常数,求出该方程的通解,再代回原变量就可得到尤拉方程的通解.(2) 对二阶变系数线性齐次方程12()()0y p x y p x y '''++=. 当该方程的不变式221111()()()()42I x p x p x p x '=-- 为常数时,我们可以经过未知函数的线性齐次变换11()2p x dx y e -⎰=,化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程,从而达到求解的目的.通过对以上几类常微分方程的分析,不难看出,分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,就能够适当的选取变量代换来求其通解.下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子. 例1[9] 解方程0)324()12(=++-++dy x y dx x y . 解 将方程整理后可得3)2(21)2(++++=x y x y dx dy . 故令x y u +=2,代入后可得3254++=u u dx du . 分离变量后,两边积分可得C x u u +=++8454ln .再代回原变量,得原方程通解为C y x x y +-=++84548ln ．例2 解方程yx y x dx dy 2332++=.解 令xyu =可得ux y =, 代入方程得32)1(22+-=u u dx du x , 分离变量,再积分,化简整理可得)1()1(4+=-u c x u ,再代回原变量,得原方程的通解)()(5x y c x y +=-.例3 解方程823732-+-+=y x y x dx dy . 解 作平移变换⎩⎨⎧+=+=τY y kX x , 从而有 dY dy dX dx ==,, 原方程化为)823(23)732(32-+++-+++=ττk Y X k Y X dx dy . 为了消去方程右边分子、分母的常数项,令⎩⎨⎧=-+=-+08230732ττk k , 从而求得1,2==τk .故令 ⎩⎨⎧+=+=12Y y X x ,原方程化为YX YX dX dY 2332++=. 由此可知通解为)()(5X Y C X Y +=-.带回原变量得原方程的通解())3(15-+=+-x y C x y .例4 解方程564432++++=y x y x dx dy . 解 令y x u 32+=,则方程可变形为52432+++=u u dx du , 整理后可得分离变量方程52227++=u u dx du . 分量变量,再积分,整理后得)27(14)722ln(9C x u u +-=+, 再代回y x u 3+=,可得原方程的通解)233(14)72232ln(9C x y y x +-=++. 通过对以上几类常微分方程的分析,我们不难看出,将分离变量和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,我们就能够适当地选取变量代换来求其通解．3 变量代换中常见的问题变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法,在数学中扮演着非常重要的角色,它是通过变换未知量来解题的一种方法,在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题,生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化,易解,起到事半功倍的作用.但是,如果所用的变量代换不恰当甚至不正确,就可能导致问题变得更复杂、难解,甚至得到错误的结果．还有些题目从形式上看似可以用变量代换法,但在实际操作的时候可能会出现一些问题,从而使转化以后的问题与原问题相背离,导致最终得到错误的答案．所以,在用变量代换法解题时一定要谨慎．本节将分别从极限运算、导数运算、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方． 3.1 极限运算方面的问题例1[11] 求极限11lim(1)sin1x x x→--. 解 令11t x=-,则 原式=11sin1lim 11x x x→--1sin lim x tt→=1=.上述解法的错误在于:作变量代换后,新的变量的趋势应为t →∞,与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符,所以不能直接利用第一个重要极限来作．该题的正确做法为:由于1x -是当1x →时的无穷小量,1sin 1x -是有界函数,利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0．通过上例我们可以看出:对于形如0sin ()lim()x x f x f x →的极限,能否用变量代换()u f x =把原式转化成第一个重要极限的形式来做,要看当0x x →时,是否有()0u f x =→,若是,才可按上步骤来做．例2 求极限1lim sin([])x x x π→+∞+.解 令1[]t x x=+, 则当x →+∞时, t →+∞,故1lim sin([])x x xπ→+∞+lim sin t t π→+∞=. 因为lim sin t t π→+∞不存在,所以原式的极限也不存在．上述解法的错误在于:在求复合函数的极限0lim [()]x x f x ϕ→时,若00lim ()x x x u ϕ→=,且当0x x ≠时,0()x u ϕ≠,作变量代换()u x ϕ=,则当0lim ()u u f u →不存在且不是无穷大量时lim [()]x x f x ϕ→可能存在．该题的正确做法为:当1n x n ≤<+时[]x n =,故1sin([])sin()(1)sin 0n x n x x xππππ+=+=-→. (x →+∞)3.2 导数运算方面的问题 例 1 设0()f x '存在,求000()()limh f x ah f x bh h→+--,其中,a b 为不等于零的常数．解 令10x x bh =-,则原式=110(())()lim()()h f x a b h f x a b a b h→++-++1()()a b f x '=+.上述解法的错误在于:在导数的定义0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=中,0x 是定点．而在上面的解法中,作代换10x x bh =-以后,1x 是随变量h 的变化而变化的,不再是定点,与导数的定义不符．该题的正确做法为原式00000()()()()lim[]h f x ah f x f x bh f x a b ah bh→+---=+-00()()af x bf x ''=+.例2 求函数 y =.解 令 u x v x =+=则原函数可以看作是由y u x v x ==+=复合而成的,由复合函数求导的链式法则得y x ''=+=.上述解法的错误在于:把复合关系搞错了．上面的做法实际上求的是由y u x v x ==+=+复合而成的函数的导数．该题的正确做法为]y x ''=++=++.3.3 积分运算方面的问题例1求4⎰.解t =,则2x t =,故原式4021tdtt =+⎰4012(1)1dt t=-+⎰42(ln(1)t t =-+83ln5=-上述解法的错误在于:作过变量代换以后,积分的上下限没有作相应的改变．该题的正确做法为:t =,则2x t = ,当x 从0变到4,相应的t 从0变到2,故原式2021tdtt =+⎰2012(1)1dt t=-+⎰22(ln(1)t t =-+=42ln3-.例2 求2204cos sin dxx xπ+⎰.解 先求不定积分,令tan t t =,故2222sec 4cos sin 4tan dx xdxx x x =++⎰⎰2tan 4tan d xx =+ 2t 4t d =+⎰211221()2td t =+⎰=1arctan 22tC +1tan arctan 22x C =+. 所以,由牛顿—莱布尼茨公式可得2204cos sin dxx xπ+⎰=1tan arctan22x π0=.上述解法的错误在于:由于所作的变量代换tan t x =在[0,]π上不连续,所以函数1tan ()arctan 22x F x =不是函数2214cos sin x x+在[0,]π上的原函数．故不能利用牛顿—莱布尼茨公式.该题的正确做法为:首先,令2u x =,则2204cos sin dx x x π+⎰2022124cos sin 22duu uπ=+⎰ 0224cos sin22duu u π=+⎰2222224cos sin 4cos sin2222du du u u u u πππ=+++⎰⎰对第二个积分作代换 v u π=-, 则上式220022224cos sin 4sin cos 2222du duu u u uππ=+++⎰⎰ 再作代换 tan 2ut =, 则2arctan u t =,故上式11220022441dt dtt t =+++⎰⎰10(arctanarctan 2)2tt =+2π=.即此题的解为224cos sin 2dx x x ππ=+⎰.4 结束语本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用,充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法．它不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法．正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解,起到事半功倍的作用．当然,尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法,但并不是所有的问题都可以用该方法来解决,在做题的时候一定要谨慎．总之,我们应当不断总结经验,提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力,不能盲目地、草率地使用该方法,避免出现错误．本文仅就变量代换在数学领域的应用作了探讨.在今后的研究中,我们还可以进一步探讨变量代换在物理、化学和经济等方面的应用,使变量代换法能够更好地为我们的学习和生活服务.。
变微分方程
变微分方程
变微分方程是指对已知的微分方程进行变换，以便将其转化为更简单或更易于解析的形式。
这种变换可以通过代换、变量替换、参数化等方式进行。
下面是一些常见的变微分方程的方法：
1. 代换法：通过引入一个新的变量或函数，将原微分方程转化为一个新的微分方程。
这个新的微分方程可能更容易求解或转化为已知的标准形式。
常见的代换包括指数代换、三角函数代换等。
2. 变量替换法：通过引入新的变量，将原微分方程转化为关于新变量的微分方程。
这样可以改变微分方程的形式，使其更容易求解或分离变量。
常见的变量替换包括极坐标替换、球坐标替换等。
3. 参数化方法：将原微分方程的解表示为一个参数方程，通过引入参数，将微分方程转化为一个关于参数的方程。
这样可以将原微分方程的求解问题转化为参数方程的求解问题。
4. 齐次化方法：对于非齐次微分方程，可以通过适当的变量替换将其转化为齐次微分方程。
这样可以简化求解过程，因为齐次微分方程的解结构更简单。
5. 线性化方法：对于非线性微分方程，可以通过适当的变换将其转化为线性微分方程。
线性微分方程的求解通常更为直接和简单。
需要注意的是，变微分方程的方法取决于具体的微分方程形
式和求解目标。
不同的微分方程可能需要使用不同的方法进行变换。
因此，在变微分方程之前，需要对原微分方程的形式和性质进行分析，并选择合适的变换方法。
高数第4章第3节——可用变量代换法求解的一阶微分方程
代入原方程得 u u ln u , 即 x
u
du ln u
dx , x
du uln u , dx x
解得 ln | ln u | ln | x | ln | C | , 即: ln u Cx ,
所求通解为 ln x ln y C ln x .
*四、可化为齐次型的方程
形如
dy dx
a1 x a2 x
xx 代入原方程得 u xu ulnu, 分离变量, 两边积分,得
ln | ln u 1 | ln | x | ln | C | , 即 Cx ln u 1 , 故原方程的通解为 ln y ln x 1 Cx .
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
2) a1 a2 0的情形 b1 b2
设 a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2
y,则方程化为
du dx
a2
b2
为 1)的情形, 可化为变量分离方程求解.
解题步骤:
1)
由
aa21
x x
b1 y b2 y
c1 c2
0 ,
0
解得
x y
,
2)
令
X Y
x , 方程化为 y
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
g( Y ), X
3) 再令 u Y ,将以上方程化为变量分离方程 , X
变量代换在求解一阶微分方程中的应用_李丽
变量代换在求解一阶微分方程中的应用李丽(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)摘要:变量代换是一种重要数学变换,其主要目的是通过代换能使问题化繁为简，化难为易；将不能解决的问题转化为能解决的问题。
本文通过实例，探讨了变量代换法在求解一阶微分方程中的应用。
关键词:变量代换;一阶微分方程;齐次方程中图分类号:O175.1文献标识码:A收稿日期:2012-05-25作者简介:李丽(1975-)，女，山西左云人，助教，研究方向:计算机算法。
所谓变量代换法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量代替它，从而使问题得到简化，这也叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去解决。
变量代换法是高等数学理论和方法的重要工具之一，在高等数学领域中有着广泛的应用。
如在代数中求极限、求导、求积分等，在微分方程中求齐次方程、欧拉方程、微分方程组等[1—5]。
本文对变量代换在求解隐式微分方程与微分方程组中的应用作了初步研究。
1在解齐次方程中的应用齐次方程d y d x =φy x，通过变量代换u =yx，化为以u 为未知函数的可分离变量方程，然后带回原来的变量，可得原方程的解。
例1求解方程d y d x =y x +tan yx。
解这是齐次微分方程，以u =y x 及d y d x =xd ud x+u 代入，则原方程变为x d u d x +u =u +tan u ，即d u d x =tan u x。
(1)将上式分离变量，即有cot u d u =d xx，两边积分，得到ln sin u=ln x+c ，这里c 是任意常数。
整理后得到sin u =±ec·x 。
令±ec=c ，得到sin u =cx ，⑵此外，方程(1)还有解tan u =0，即sin u =0。
如果在(2)中允许c =0，则sin u =0也就包括在(2)中，这就是说，方程(1)的通解为(2)。
变量代换法在高等数学中的应用
变量代换法在高等数学中的应用【摘要】变量代换法不仅是一种重要的技巧，也是一种重要的数学思维方法。
利用变量代换，可以化繁为简，化难为易。
不同的问题，换元的方法可能不一样，但换元的思想是一致的。
【关键词】变量代换法；高等数学；应用代换法是在一个比较复杂的数学式子中用新的变元去代替原式的一部分或改造原式子后进行解题的一种方法。
利用代换法求解问题的关键是理解换元的思想，在具体的问题中能够把握如何换元。
下面通过具体实例说明变量代换法在高等数学中的应用。
1.在求极限中的应用例1．求■1-■■解：设t=-■，则x=-■，当x→∞时，t→0，故■1-■■=■(1+t)■=[■(1+t)■]■=e■例2．求■■解：设a■-1=t，则x=■，当x→0时，t→0，故■■=■■=■■=lna2.在求导数中的应用例3．求y=sin■x的导数解：设y=u■，u=sinx由复合函数的求导法则知y’=y■■·■■■■■ｕ■■=３u■·ｃｏｓｘ＝３ｓｉｎ■ｘｃｏｓｘ3.在求积分中的应用例4．求?蘩■解：设t=■，则x=3-t■，dx=-2tdt，于是?蘩■=-?蘩■dt=-2?蘩■dt=-2?蘩(1-■)dt=-2(t-ln1+t)+c=-2■+2ln(1+■)+c例5．求■x■■dx解：设x=sint，则dx=costdt，当x=0时，t=0，当x=1时，t=■，于是■x■■dx=■sin■tcos■tdt=■■sin■2tdt=■■(1-cos4t)dt=■(t-■sin4t)│■■=■4.在解微分方程中的应用例6．求方程y■dx+（x■-xy）dy=0的通解解：原方程可改写成■=■分子分母同除以x■，得■■作代换u=■，则■=u+x■，代入上式，得可分离变量方程u+x■=■分离变量，得■=■du两边积分，有lnx=u-lnu+lnC即xu=Ce■还原，得原方程的通解为y=Ce■5.在无穷级数中的应用例7．将e■展开为x的幂级数解：由e■=■■(t＜+∞)，作变量代换t=x■，得e■=■■(t＜+∞)例8．求幂级数■■的收敛区间解：令x-3=t，原级数化为■■，而级数■■的收敛区间为(-1,1)，得原级数的收敛区间为(2,4)■【参考文献】［１］同济大学数学教研室. 高等数学[M].北京：高等教育出版社，1996.［２］樊映川.高等数学讲义[M].北京：高等教育出版社，1964.。
偏微分方程的特解法初步
偏微分方程的特解法初步偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
解决PDE问题的一种方法是求其特解，本文将初步介绍几种常见的偏微分方程特解法。
一、分离变量法分离变量法是求解线性齐次偏微分方程的一种常用方法，适用于具备一定对称性特征的方程。
其基本思想是将未知函数表示成各个变量的乘积形式，然后分别解各个变量的常微分方程，再将各个解叠加起来得到原方程的解。
以二维空间的波动方程为例，其形式为：∂²u/∂t² =c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)我们假设解可以表示为：u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)将其代入原方程，可得分离后的方程：X''/X + Y''/Y = 1/(c²T²) * T''/T = -k²由此得到一个关于X和Y的常微分方程组，以及一个关于T的常微分方程。
将各个方程分别求解，再将解函数叠加起来，即可得到原方程的特解。
二、变量代换法变量代换法是将偏微分方程转化为简单的常微分方程，从而求解其特解。
该方法适用于通过变换后的方程能够得到特定解的情况。
以二维空间的热传导方程为例，其形式为：∂u/∂t = α²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)我们假设通过变换可以将原方程化为一个具有常微分方程解的形式：v(η) = u(x, y, t)其中η为某个变换后的新变量。
对该变量进行合适的变换，可将方程化简为一个常微分方程，从而可以通过常微分方程的解函数得到原方程的特解。
三、特征线法特征线法是解决非线性偏微分方程的一种有效方法，适用于具有一定的对称性和可分离变量的特征的方程。
该方法的基本思想是通过指定特征曲线的参数方程，将原方程转化为一个只包含未知函数的常微分方程。
10.2-4变量代换法求微分方程
第十章 微分方程与差分方程第2节 一阶微分方程变量代换法求微分方程变量代换求解微分方程一、特殊方法求解微分方程利用变量代换求微分方程的通解解,u y x =+令d d 1d d y u x x =-代入原方程2d 1d u u x=+,arctan C x u +=解得得代回,y x u +=,)arctan(C x y x +=+原方程的通解为.)tan(x C x y -+=.)(52的通解求例y x d x d y +=d 16d y x x y=+例求微分方程解,u y x =+令代入原式d 11,d u x u-=分离变量法得,)1ln(C x u u +=+-,代回将y x u +=所求通解为,)1ln(C y x y =++-11--=y e C x y或另解（一阶线性微分方程）,1-=d xd u d x d y 则.y x d yd x +=方程变形为2d 17.d sin ()y y x x xy x=-例求微分方程的通解解,xy z =令22d 11(),d sin ()sin z y y x x x xy x z=+-=,42sin 2C x z z +=-分离变量法得,代回将xy z =所求通解为.4)2sin(2C x xy xy +=-,d xd y x y d x d z +=则变量代换求解微分方程二、伯努利方程22822.x yy xy xe-'+=例求微分方程的通解解,2112--=+'y xe xy y x ,2)1(1y y z ==--令2d 2,d x z xz xe x-∴+=22d 2d [d ]x x x x x z e xe e x C --⎰⎰=+⎰所求通解为).2(222C x e y x +=-此为伯努利方程.,2d xd y y d x d z =则例9 求方程2d (ln )d y y a x y x x +=的通解.解 令,1-=y z 则方程变形为x a xz x z ln d d -=-其通解为e z =将1-=y z []2(ln ) 1.2a y x C x -=x xd 1⎰[⎰-e x a )ln (x x d 1⎰-]C x +d []2)ln (2x a C x -=代入, 得原方程通解:THANK YOU( 雅各布第一 · 伯努利 )书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利( Bernoulli )(1654 – 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .伯努利方程的标准形式:)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n n y 以)()(d d 1x Q y x P x y y n n =+--令,1n y z -=x y y n x z n d d )1(d d --=则)()1()()1(d d x Q n z x P n xz -=-+求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)。
偏微分方程求解例题
偏微分方程求解例题下面是一个求解偏微分方程的例题:问题：求解以下偏微分方程:$abla^2u=f(x,y,z)$解法:首先，我们需要对偏微分方程进行化简。
可以通过选择适当的变量代换或积分方法来实现。
这里，我们选择采用变量代换法，将偏微分方程化简为:$abla^2u=f(x,y,z)$$ightarrowabla^2u=u_x^2+u_y^2+u_z^2-f$$u_x=Acos(x)+Bsin(x)$,$u_y=Asin(y)+Bcos(y)$,$u_z=Ccos(z)+Ds in(z)$$ightarrowabla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ $u_x=Acos(x)$,$u_y=Bsin(y)$,$u_z=Ccos(z)$$ightarrowabla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ 将上述化简后的偏微分方程再次化简，得到:$abla^2u=A^2cos^2(x)+B^2sin^2(x)+C^2cos^2(z)+D^2sin^2(z)-f$ $ightarrowabla^2u=frac{1}{r^2}frac{partial}{partialr}(r^2frac{partial u}{partialr})+frac{1}{rsintheta}frac{partial}{partialtheta}(sinthetafrac{partial u}{partialtheta})+frac{1}{sin^2theta}frac{partial^2 u}{partialz^2}-frac{f}{r^2sin^2theta}$其中，$r=sqrt{x^2+y^2+z^2}$,$theta=frac{pi}{2}-x$现在我们可以对上述偏微分方程求解。
考虑到该偏微分方程属于椭圆型偏微分方程，可以使用椭圆型偏微分方程的通解公式求解。
可用变量代换法求解的一阶微分方程
一阶微分方程可以使用变量代换法进行求解。
这种方法主要依赖于对方程类型的识别和相应的解法应用。
对于一些复杂的一阶微分方程，我们可以通过变量代换法将其化为线性微分方程或降低其阶数以便于求解。
例如，欧拉方程x^ {n}y^ { (n)}+p_ {1}x^ {n-1}y^ { (n-1)}+…+p_ {n}y=f (x)中，如果令x=e ^ {t}，则可以得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程。
对于可降阶的高阶微分方程，如y''=f (x,y')中，我们可以通过令y'=p来进行降阶。
此外，对于一阶线性非齐次微分方程，如a1 x + b1 y + c1 = 0, 可以考虑通过令z = y1α 来进行变量代换，从而将原方程转化为α d y y + P ( x ) y1α = Q ( x )这样的形式。
总的来说，变量代换法是解决一阶微分方程的一种有效方法，但需要注意的是，代换的方式需要根据具体的方程来选择。
变量代换法在微分方程求解中的应用的理解
变量代换法在微分方程求解中的应用的理解
变量代换法是一种常用的微积分方法，可以用来求解一些特定形式的微分方程。
具体而言，变量代换法常常采用适当的替换来将原微分方程转化为易于求解的形式，从而实现微分方程的解析解求解。
变量代换的方法不仅可以用于求解一阶微分方程，还可以扩展到二阶及以上的微分方程，并可以用于初值和边值问题的求解。
在变量代换法中，制定正确的替换方程是至关重要的一步，通常需要根据原微分方程的形式和系统特性进行选择。
同时，变量代换法的应用也需要丰富的数学基础和细致的计算，因此掌握变量代换法的理论和实际应用是微积分学习的必要环节之一。
第四节可用变量代换法求解的一阶微分方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2、 x 2 ye y c . 二、1、 y2 x2 y3；
2、 x2 y2 x y. 三、1、arctan y 2 1 ln[( x 1)2 ( y 2)2 ] C ；
x1 2 2、(4 y x 3)( y 2 x 3)2 C .
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C
.
练习题
一、 求下列齐次方程的通解:
1、( x2 y2 )dx xydy 0；
x
x
2、(1 2e y )dx 2e y (1 x )dy 0.
y
二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y2 3 x2 )dy 2 xydx 0, y x0 1；
例1 求解微分方程 ( y2 2 x y)dx x2 d y 0.
解
方程变形为
y
2
y x
(
y x
)
2
,
令
u
y, x
则 y
u
x u,
代入原方程得 u x u 2 u u2 ,
分离变量, 两边积分,得
du
u2 u
dx x
,
即
u
1
1
1 u
d
u
dx, x
ln u 1 ln x ln C , u
第四节 可用变量代换法求解旳一 阶微分方程
一、齐次方程 二、可化为齐次型旳方程
三、伯努利方程
一、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 旳微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 令 u y , 即 y xu, dy u x du ,
x
微分方程特解类型
微分方程特解类型
微分方程特解类型是指微分方程中特殊的解法，这些解法可以通过特定的方法求解，使得我们可以更快地求出微分方程的通解。
在微分方程的解法中，特解类型是非常重要的一部分。
下面是一些常见的微分方程特解类型：
1. 常数解：对于一些特殊的微分方程，它们的通解就是一个常数。
这种解法适用于一些简单的微分方程，如y'=0。
2. 分离变量法：这是一种常见的微分方程求解方法，通常适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程。
这种方法是将变量分离，然后进行积分。
3. 变量代换法：这种方法适用于形如dy/dx=f(ax+by+c)的微分方程，其中a、b、c为常数。
这种方法是将变量代换成u=ax+by+c，然后再进行求解。
4. 常数变易法：对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的二阶齐次微分方程，可以利用常数变易法求得其特解。
具体方法是假设特解为y=A(x)e^(mx)，代入原方程中解出A(x)和m的值。
5. 拉普拉斯变换法：这种方法主要适用于解决常系数线性微分方程，将微分方程转化为代数方程进行求解。
6. 傅立叶变换法：这种方法适用于求解周期性微分方程，在傅立叶变换的基础上求解微分方程的特解。
以上是常见的微分方程特解类型，掌握这些方法可以更好地解决微分方程问题。
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解
摘要：
一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念
二、一阶偏微分方程组的求解方法
三、一阶偏微分方程组的应用实例
正文：
一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念
一阶偏微分方程组是指包含一组一阶偏导数的方程组。
其中，偏导数是指函数关于某个变量的导数。
一阶偏微分方程组广泛应用于物理、工程和经济等多个领域。
二、一阶偏微分方程组的求解方法
求解一阶偏微分方程组的方法有很多，其中最常用的方法是以下几种：
1.变量代换法：通过引入一个新的变量，将原方程组中的偏导数关系式转化为关于新变量的普通导数关系式，从而简化问题。
2.分离变量法：将方程组中的每个方程看作一个关于某个变量的微分方程，分别求解，最后通过边界条件确定各个变量的值。
3.积分法：对于某些特殊的一阶偏微分方程组，可以通过积分的方法求解。
4.待定系数法：对于某些具有特定形式的一阶偏微分方程组，可以通过设待定系数的方式求解。
三、一阶偏微分方程组的应用实例
一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：
1.在物理学中，一阶偏微分方程组可以用来描述电磁波在介质中的传播过程。
2.在经济学中，一阶偏微分方程组可以用来描述商品价格、货币供应量等经济变量之间的关系。
3.在工程领域，一阶偏微分方程组可以用来描述管道中流体的流动过程、电路中电流电压的关系等。
总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种基本类型，其求解方法多样，应用领域广泛。
换元原理的应用例子
换元原理的应用例子1. 引言换元原理，也称为变量代换法，是数学中常用的一种方法，主要用于求解含有复杂函数或积分的问题。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为更简单的形式，便于解决。
本文将介绍换元原理的基本概念，并举例说明其在数学及其他学科中的应用。
2. 数学中的应用2.1 微分方程的求解微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
换元原理在微分方程的求解中有着重要的应用。
通过适当的变量代换，可以将复杂的微分方程转化为更简单的形式，从而求解方程。
具体例子如下：•考虑二阶线性常微分方程y″(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
借助换元原理，假设y(x)的形式为 $y(x) =e^{\\int P(x)dx}z(x)$ ，其中 $P(x) = \\frac{1}{2}p(x)$ ，z(x)是待定函数。
将y(x)代入原方程后，经过一系列变换和简化，可以得到z(x)满足的简单形式的方程，进而求解出y(x)。
2.2 积分的求解换元原理在积分的求解中也有广泛的应用。
通过适当的变量替换，可以将复杂的积分转化为更简单的形式，从而求解积分。
具体例子如下：•考虑定积分 $\\int_a^b f(x)dx$ ，其中f(x)是已知函数。
借助换元原理，假设x的映射函数为u=g(x)，则有dx=g′(x)du。
将变量代换后的积分形式为 $\\int_{g(a)}^{g(b)} f(g^{-1}(u))g'(g^{-1}(u))du$ ，其中g−1(u)是g(x)的反函数。
这样，通过适当的变量替换，可以将原积分转化为更简单的形式，进而求解出积分。
3. 物理中的应用3.1 热传导方程的求解热传导方程是描述物体在传导热过程中温度分布的方程。
换元原理在热传导方程的求解中有重要的应用。
通过适当的变量代换，可以将原方程转化为更简单的形式，便于求解。
具体例子如下：•考虑一维热传导方程 $\\frac{\\partial u}{\\partial t} - \\alpha \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2} = 0$ ，其中u(x,t)是温度分布函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ａ ＋ ＋ ＝０ ０ ＋ｂ ， ｃ ，ｌ ｌ ｌ ｘ ＋Ｃ ＝０构成 的方 程组 的解为
＝ｒ ＝ ， ＯＹ 卢 则同时作函数 Ｙ 白变量 的代换 Ｙ ，＋ ＝ ， 与 ＝７ ，
＋ ａ将其化为 以 为 函数 ， 以 为 自变量的齐次方程 ， 然后再 将齐次方程化 为 可分离 变量 方程 ， 到求解 齐 次 方程 的 目 达
第 ２ 卷第 ３期 ３
２０ ０ ８年 ９月
Ｊ ｏ ｚ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎＣ ｌ ｇ ． ｆＸｕｈ ｕＥ ｕ ａｉ ｏｌ ｅ ｏ ｅ
徐州教育学院学报
Ｖｏ ． ３， ｏ ３ １２ Ｎ ． Ｓ ｐ ，０ ８ ｅ ．２ ０
变量 代 换 法在 求解 微 分 方程 问题 中的应 用
（）ｂ ≠口ｂ ｉａ ｌ Ｉ
） 中，， ， ｎ，－ 其 ６口 ｃ，
生
１５ 伯努力方程 僦 ．
：ｇ ） ＋ｇ ），， 中 ， ， 。 （ ｙ 一（ ） 其 ｎ ｌ １ ≠０ 一 ’
作代换 ＝ ， ｙ 将方程化为以 ｚ 为未知函数的线性微分方程 ｄ ｘ＝（ 一ｎ ｐ ） １ ） （ ＋（ 一ｎ ｇ ） 然后再按线性微分方程作 １ ）（ ，
＝ （ ｅＩｘ 从 而解出 ｃ ， ｑ ） － （＆ ｐ） （ 进而完成原方程求解 。 ）
。 Ｖ
１１ 齐次方程华＝ （ ， ． ａ 妒三） 通过变量代换“ 上， ＝ 化为
ｘ
以 Ｕ未知函数 的可分离变量方程。
１ 准次程 ＝ ． 齐 方老 ， ２ （
ｂ ，。 。ｃ 为常数。
中图分 类号 ： ２ ０９
文献标志码 ： Ａ
文章编号 ：０ ８— ６ ５ ２０ ） ｌ ０ ７ ０ １０ ６ ２ （ ０８ Ｏ 一 １１— ２
离变量方程。
１ 在 求解一 阶显式微分方程中的应用
一
１４ 一阶线性方程 ＋ （ ， （ ， ． ｐ ）， ） 其中 ｐ ） ｇ ） ＝ｇ （ ，（
） ＝０
２ １ 形如 的高阶方程 Ｆ ｙ ’Ｙ ）＝ ． （ ，㈨ ０的高阶方程 如能从 解 出 Ｙ ＝厂 ，一”） Ｉ （‘ 。令 Ｙ ” ＝ 则有 ｚ ‘ ＝ （） 分离变量 积分 ， 解 出 ＝ （ ｃ） ， Ｙ ｚ， 如 ，。 ，则 ＝ ， （
性 齐 次 方 程 Ｙ 十 ｌ‘ ‘ ｂＹ
…
＋… ＋ｂ ｌ ． ０ 其 中 ｂ，２ ｎ Ｙ ＋ｂｙ＝ ， ｌｂ
＿
，
ｂ 都 是已知常数 ， 出该方程的通解 ， 求 再代 回原变 量就可 ３２ 对二阶变系数线性齐次方 程 ＋ 。 Ｙ ＋ ： ） ． Ｐ（ ｐ（ ）
得 到 尤 拉 方 程 的 通解 。
的。
代换求解 。 １６ 黎卡提方程 ＋ （ ｙ＝ｇ ）２＋ ） ． Ｐ ） （ ｙ 。若 已知
它 的一个解为 Ｙ＝ ， ） 则作代换 Ｙ＝ｕ＋Ｙ ， ）（ ， 。 代入 原方程化 为 以 Ｕ为未知函数 的伯努力方程。
（ｉ ｂ ＝ ｌ ｉ ）ａ ｌ ａｂ
不妨设旦 ＝ ：Ａ， 此时方程的形状为宰 ＝ ｆ
阶 显 不 微 分 方 程 如果 能化 成 司分 离 变 量 方 程 ， 解 Ｊ 求 口 ｌ ］
题就解决了 ， 很多类型的一阶微分 方程通过适 当的变 量代换
化为可分离变量方程 。
为 已知函数。
该方程所对应 的齐次方程的通解 为 Ｙ＝ ｅ ‘ ， Ｃ 作代换 Ｙ＝ｃ ） ‘ ， （ ｅ 以此 作 为 原 方 程 的解 ， 人 原方 程 中得 代
许敏 伟 ， 吴炳 华
（ 徐州工程学院 数 学与物理科学学院， 江苏 徐州 ２ １０ ） ２０ ８
摘
要： 在常微分方程 中， 许多类型的常微 分方程 求解是依 靠变量代换这一 重要 方法来完成 的， 文章就 变量
代 换在几类微分 方程 中的应 用进行探 究。
关 键词 ： 变量 代 挟 法 ； 分 方 程 ； 用 微 应
・
１ ・ ７１
对方 ＝ ｛） ｛ 程（ Ｅ ， ＝‘ 令
２ 在求解某些类型高阶微分方程中的应用 在求解某些类型高阶微分方程 时 ， 以通过变 量代 换化 可
为 较 低 阶微 分方 程 ， 而达 到求 解 的 目的 。 进
（ 里 ＞ ， 这 ０ 当 ＜ ０时 ， 取 ＝ 一 ‘ ， ］ 方 程 化 为常 系 数 线 ｅ） 口 将
作 变换 ｕ ｔ ｌ ， ＝ａ ＋ｂＹ 则可 得分 离变 量方 程 ｕ ＝ ａ ＋ ｄ Ｉ
当的变量代换化为可分离变量方程 。
１７ 其 它 形 式 的 一 阶 方 程 ．
６警 ） 而 以 其 解 ， 可求 通 。 从
１３ 形如 ＝ ． ） ａＩ 的方程 （ 中 ａ 已知实数 ） ｘ －） 其 是 作变量代换 ｕ＝ ， 可将方程化为分离变 量方 程 ， “＝ 将 代入方程 ， 整理后 可得 了 ｄ ｕ＝（ ） ｕ ～ 这 已是分 一口 ）。
，
对其它形式的某 些一阶微分方 程 ， 以根据方程 自身的 可
特点 ， 当选取灵活的代换方法 ， 适 将其化 为可分离变量方程 。
例如 ：
对方程 立 ， 似 ＋ ＋ｃ ， ｚ 似 ＋ ＋ ｄ ｘ＝ （ ）令 ＝ ｃ
对方程 立 ｄ ｘ＝
）令 日 ２０ — ７ ０ 期］０８ ０ — ６ ［ 作者简介］ 许敏伟 （９６一 ， ， １８ ） 男 江苏无锡人 ， 徐州工程学 院 ｏ 统计 ２ ５ 班本科 生 ； 炳华 （ ９６一） 女 ， 吴 １６ ， 安徽灵壁人 ， 州工程学院讲 徐 师， 硕士 ， 研究方向： 应用数学。
ａｌ ｏ．
，
、
对 卡方 譬 ＝ｍ 中， 都 常 ，。 黎提 程 ＋ ｂ， ｎ， 是数 ｘ ６ 其 ｍ 且
≠０ 则 当 ｍ＝０ 一 ，－ １ ， ， ２２ － － ， ＋
４ｋ
Ａａ （Ｉ ＋ｂＹ ｌ）＋ｃ 、
ａＩ ＋ｂｌ ＋ ｌ Ｙ
（ ＝１ ２ 时 ， ， …） 可经过 适