辽宁省大连渤海高级中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案)$816858

2017-2018学年度第一学期期中高三理科数学试题考试时间：120分钟 试题满分：150 分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、立体几何考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的考号、姓名填写在试题、答题纸和答题卡上，考生要认真核对涂准答题卡上的相关信息。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将答题纸和答题卡按对应次序排好收回。

第Ⅰ卷 （共60分）一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}12<=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=1)31(x x B ，则=B A ( )A ．∅B ．{}01<<-x xC ．{}10<<x xD ．{}11<<-x x 2.设i 为虚数单位，复数i z i +=-1)2(，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.若“:p x a >”是“:13q x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤-4.已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则αα22sin cos 1-的值为（ ） A ．57 B ．257 C ．725 D ．25245.函数x xx f 2log 1)(+-=的一个零点落在下列哪个区间 ( )A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3( 6.已知向量()1,2,a b a a b ==⊥- ，则a 与b 的夹角为（ ）A.23π B. 3π C. 4π D. 6π 7.在等比数列{}n a 中，47562,8a a a a +==-，则110a a +=( ) A. 7 B. 5 C. -5 D. -7 8.若112321log 0.9,3,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a <<9.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形 和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2310.正六棱柱底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为（ A.20π B.25π C.100π D.200π11.已知函数,2,132,12)(⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=x x x x f x 若方程0)(=-a x f 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.)3,1(B.)3,0(C.)2,0(D.)1,0(12.设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 满分90分)二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．已知变量,x y 满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若目标函数z y ax =- 仅在点（5,3）处取得最小值，则实数a 的取值范围为 。

14.函数xy 5.0log 11-=的定义域为 .15.当(,1]x ∈-∞，不等式212401x x aa a ++⋅>-+恒成立，则实数a 的取值范围为 .16.已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)- 处的切线方程是 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题:q 实数x 满足302x x -≤-. （1）若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知1c o s )s in 3(c o s 2c o s22=-+C B B A. （1）求角C ；（2）若,2=c 且ABC ∆的面积为3，求b a ,的值.19．（本小题满分12分）设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a nb n }的前n 项和T n .20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90，求PD 与平面PBC 所成角D的大小。

21．（本小题满分12分）设函数x x a x f ln )(-=)0(>a ． （1）若)(x f 在[),1+∞上单调递增，求实数a 的取值范围; （2）求)(x f 在[],14上的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x a x a R =-+∈. （1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()()22g x f x x x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（3）若(2）中()g x 有两个极值点12,x x 12()x x <，且不等式12()g x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.2017-2018上学期期中高三理科数学答案一、CDACB CDBAC DA 二、13、()1,+∞ 14、1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 15、3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭16、210x y ++= 三、17解：（1）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<, 又0a >,所以3a x a <<,当1a =时,1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <.q 为真时302x x -≤-等价于20(2)(3)0x x x -≠⎧⎨--≤⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤.若p q ∧为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是23x <<. （5分） （2） p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝,等价于q ⇒p ,且p⇒/q ,设A={|3}x a x a <<, B={|23}x x <<, 则B ≠⊂A;则0<2a ≤,且33a >所以实数a 的取值范围是12a <≤. （10分） 18.（1）由1cos )sin 3(cos 2cos22=-+C B B A可得 1cos sin 3cos cos cos 1=-++C B C B A 1cos sin 3cos cos )cos(=-++-∴C B C B C B即C B C B cos sin 3sin sin =0sin ≠∆B ABC 中3tan =∴C ),0(π∈C ∴3π=C （6分）（2）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-+=3sin 213cos 2222C ab S C C ab b a c π ⎩⎨⎧=+=∴8422b a ab 2==∴b a （12分） 19. 解 (1)由已知，得b 7＝27a ，b 8＝28a ＝4b 7，有28a ＝4×27a ＝272a ＋. 解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以S n ＝na 1＋nn －2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . （6分）(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －22a ＝(22a ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意知，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n.所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以T n ＝2n ＋1－n －22n . （12分） 20.21. 解：（Ⅰ）由已知在上恒成立，则，…2分又，. …………4分（Ⅱ），…………6分当时，，单调递增，则；…………8分当时，在上单调递减，在上单调递增，则；当时，，单调递减，则；…10分综上：…………12分22.解：(1)f(x)的定义域为(0,)+∞，且2`2()2a x a f x x x x-+=-+=，又a=2,的`(1)0f =而f(1)=-1,所以f(x)在（1，-1）处的切线方程为y=-1．．．．．．．．．．．．．．．．．2分222`22(2)()()222ln ,+()x x ag x f x x x x x a x x x-+=-+=-+∞=定义域为（0，），g 当0a ≤时，g(x)的单调递增区间为1()2++∞，单调递减区间为1(0,2+;当102a <<时，g(x)的单调递增区间为1(0,2-,1(,)2++∞,单调递减区间为11(22-+; 当12a ≥时，g(x)的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）由第（2）问知，函数g(x)有两个极值点12,x x ，则102a <<，且121x x +=， 又因为12x x <，所以1102x <<，2112x <<，因为2211111121()2(22)ln 1g x x x x x x x x -+-=- 1111112ln ,1x x x x =-++-于是设1()12ln 1h x x x x x =-++-，（102x <<），则有 `2(2)()2ln (1)x x h x x x -=+-，因为102x <<，所以2(2)0(1)x x x -<-，且2lnx<0,得`()0h x <, 即h(x)在1(0,)2单调递减，所以13()()ln 222h x h >=--，得m 的范围为3(,ln 2)2-∞-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。