高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结课件 新人教B版必修2
新人教B版高中数学必修二教学课件 第二章 平面解析几何初步 2.3.1《圆的标准方程》
求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．
[ 解析] 解法一：设圆心为(a，b) ① ② ③
2 2 a－10 ＋b－5 ＝100 ∴ 2 2 a ＋ 4 ＋ b － 7 ＝100
当水面下降 1 m 后，可设点 A′的坐 标为(x0，－3)(x0>0)，如图所示，将 A′的 坐标(x0，－3)代入方程(2)，求得 x0＝ 51. 所以， 水面下降 1 m 后， 水面宽为 2x0 ＝2 51≈14.28 m.
[点评] 求圆的方程有两类方法： (1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位 置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)； (2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤
易错疑难辨析
点 P(m,5) 与圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ 24 的位置关系是 ( ) A．在圆内 C．在圆上
[ 错解] D
B．在圆外 D．不确定
[辨析]
误选D的原因是认为点P的横坐标大小不确定，故
点P与圆O：x2＋y2＝24的位置就不确定．
[ 正解] B
∵|OP|2＝m2＋25>24＝r2， ∴点 P 在圆外．
4x－3y－2＝0 由 x＋y－11＝0 x＝5 ，得 y＝6
.
∴圆的半径 r＝ 5－22＋6－22＝5，∴圆 C 的方程为(x －5)2＋(y－6)2＝25.
课堂典例讲练
已知圆的标准方程，解决与圆心、半径有关的 问题 写出下列方程表示的圆的圆心和半径． (1)x2＋y2＝2； (2)(x－3)2＋y2＝4； (3)x2＋(y－1)2＝9；
)
[答案] B
[解析] 25. ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝
高中数学第二章平面解析几何课件新人教B版必修2
重合
=
B1 B2
=
C1 C2
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要点梳理
4.你学过哪些距离公式?请完成下列空格. (1)两点间的距离公式 ①若两点在数轴上,则d=|x2-x1|;
②若两点在平面内,则 d= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 ; ③若两点在空间中,
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要点梳理
6.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系如何?请完成下表:
点与圆的位 直线与圆的 置关系 位置关系 (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点 (1)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆外 相离⇔d>r (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点 (2)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆上 相切⇔d=r (3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点 (3)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆内 相交⇔d<r 圆与圆的 位置关系 (1)相离⇔d>R+r (2)外切⇔d=R+r (3)相交 ⇔R-r<d<R+r (4)内切⇔d=R-r (5)内含⇔0≤d<R-r
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要点梳理
7.对称问题 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要 依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. (2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题, 主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在 l上. (3)点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的 对称点A'(x0,y0)的坐标的一般方法是依据l是线段AA'的垂直平分线, 列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程,
高中数学 第二章 平面解析几何初步章末总结课件 新人教B版必修2
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名师导学
平面解析几何初步需要解决的主要问题是:(1)理解直线坐标系、平面直 角坐标系和空间直角坐标系建立的实质.(2)直线的方程、圆的方程以及 直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系中的问题:①方程的确定,②位置 关系的判定,③距离问题,④对称问题,⑤最值问题及范围问题等. 解决上述问题的关键是:深刻理解坐标法的实质,用代数方法解决几何问 题,熟练掌握直线与圆的基本知识,并应用于解题过程中,运用以“形”助 “数”、以“数”解“形”的思想,把表达式(代数式)转化为“距离、倾 斜角、斜率、直线与圆、圆与圆”等这些有“形”概念.以此帮助我们分 析解决问题,从而体会数形结合的思想方法.
且|AB|=2 3 ,所以适合题意.综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+6=0 或 x=2.
方法技巧 当直线与圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有
( l )2+d2=r2.这一方法既可求弦长,又可知弦长求参数,关键是正确的列出
2
关于参数的方程.
【例4】 已知两圆☉C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,☉C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0, 问:m为何值时,(1)☉C1与☉C2相外切,(2)☉C1与☉C2内含.
故所求圆的方程为
x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0.
法二 设圆与 x 轴交点为 A(t-3,0),B(t+3,0). 圆心为 PQ 的中垂线和 AB 的中垂线的交点. PQ 的垂直平分线为 x-y+1=0,AB 的垂直平分线为 x=t,所以圆心(t,t+1). 由圆心到 A、P 距离相等, 得 32+(t+1)2=(t+2)2+(t-3)2,所以 t2-4t+3=0, 所以 t=1 或 t=3. 所以圆心为(1,2),半径为 13 或圆心为(3,4),半径为 5. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25.
高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修2
法二 设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知2－－2a－2a＋2＋－3－－5b－2b＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
解得ab＝ ＝－ －12， ， r2＝10.
故所求圆的标准方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
第十六页，共35页。
法三 线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝－23－－－－25 ＝12， 所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2， 所以线段AB的垂直平分线的方程为： y＋4＝－2x， 即y＝－2x－4.
第二十二页，共35页。
[探究共研型]
与圆有关(yǒuguān)的最值问题
探究1
若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝
1 4
上任意一点，请求出P(x，y)到原点
的距离的最大值和最小值．
【提示】
原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为
1 2
，故圆上的点到
坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.
【答案】 (1)A (2)A
第十一页，共35页。
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方 程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直 接写出圆的标准方程.
第十二页，共35页。
[再练一题] 1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16 D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 【解析】 因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所 以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16. 【答案】 C
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
25
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
新人教B版高中数学必修二教学课件 第二章 平面解析几何初步 2.4.1《空间直角坐标系》
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② [ 答案] D
[解析]
本题考查三视图中正视图、俯视图的的识别，空
间直角坐标系，以及空间想象的能力. 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形 (三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一
直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在
到 C， 使 AM＝CM， 则 A 与 C 关于坐标平面 xOy 对称， 且 C(1,2,1)．
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB， 则A与B关于x轴对称，且B(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；
A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
1.点(2,0,3)位于( A．y轴上
) B．x轴上
C．xOz平面内
[答案] [解析] C
D．yOz平面内
点(2,0,3)位于xOz平面内．
2 ． (2014· 湖北理， 5) 在如图所示的空 间直角坐标系 O－xyz 中，一个四面体的顶 点 坐 标 分 别 是 (0,0,2) 、 (2,2,0) 、 (1,2,1) 、 (2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个 图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
针方向旋转 90°能与y轴的正半轴重合 _________________________________________. 这时 ， 我们说 在空间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O称作坐标原点． (2)过空间内任意一点 P作一个平面平行于平面 yOz( 这样构 造的平面同样垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在 x坐标 ． x轴上的坐标为x，这个数x就称作点P的________
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离课件新人教B版必修2
第二十九页，共32页。
3.点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A.a>7
B.a<－3
C.a>7或a<－3
D.a>7或－3<a<7
【解析】 由题意得 |33a2－＋64|2>3，即a<－3或a>7，故选C.
【答案】 C
第三十页，共32页。
4.分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线 间的距离是________.
化简得：kb＝－12－k＝b，1，
b－2k＝1， 或k＝－12，
所以bk＝＝01，，
或k＝－12， b＝0.
故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.
第十页，共32页。
解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距 离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是 求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程 时，要注意考虑直线的斜率是否存在.
第二十二页，共32页。
S△ABC＝12× 5×|2a－a52－2| ＝12|a2－2a＋2| ＝12|(a－1)2＋1|≥12， 所以当a＝1时，△ABC的面积最小，最小值为12.
第二十三页，共32页。
1.距离公式在有关面积计算中的应用主要体现在一边的高的计算上，但要 注意根据条件进行选择.
2.有关最值问题应注意：先考虑几何方法，若运用几何性质不易断定时， 改用函数思想求解.
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
高中数学 第二章 平面解析几何初步章末小结学案 新人教B版必修2(2021年最新整理)
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第二章平面解析几何初步知识建构综合应用专题一位置关系问题两条直线的位置关系有相交、平行、重合几种，两直线垂直是相交的一种特殊情况,高考中对平行与垂直的考查是重点，多以选择及填空为主，属于容易题．而直线与圆的位置关系几乎是每年必考内容，有时结合向量，考查形式可以是选择题、填空题，也可以是解答题，属于中低档类题目．圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含等5种,在高考中单独考查的情况不多．：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2,则m的值为（）．应用1已知两直线lA．－1或3 B．－1C．3 D．0提示:利用两直线平行的条件求解．，应用2(2011·福建泉州模拟)若直线3x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N则n的值等于（)．A．1 B．2 C．4 D．1或2提示：利用圆心距等于半径列方程求解．:x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.试讨论应用3已知圆C两圆的位置关系．提示：随着m取值的不同,也会影响两圆的位置关系，所以需要根据两圆的不同位置关系求出m的不同取值范围．专题二对称问题对称问题是高考中常见的一种题型，解析几何中有关对称问题，可分为点关于点对称；直线关于点对称；曲线关于点对称；点关于直线对称；直线关于直线对称；曲线关于直线对称．但总的来说,就是关于点对称和关于直线对称这两类问题．应用1（2010·湖南高考)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b),(3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为__________；圆(x－2)2＋（y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为__________．提示：（1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可．应用2(2011·安徽安庆模拟）从点(2，3）射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为__________．提示：画出示意图，注意反射光线与入射光线的斜率互为相反数，且反射光线经过点(－2，3)．专题三用图示法解题用图示法解题，实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”,以“数”解“形”;本章中有关斜率、距离、截距、直线与圆的位置关系等很易转化为形来说明，借助于形分析和求解,往往事半功倍．应用1讨论直线y＝x＋b与曲线y＝错误!的交点的个数．提示：画出y＝4－x2的图象,注意等价变形．应用2设点P（x，y）在圆x2＋(y－1）2＝1上．（1）求错误!的最小值；（2）求错误!的最小值．提示：(1）错误!理解为动点（x,y）到定点（2，0）的距离即可；(2）错误!理解为动点（x,y)与定点（－1，－2）连线的斜率即可．应用3若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．提示:令x＋y＝b，则y＝－x＋b，问题即转化为求截距b的最小值问题．专题四轨迹问题轨迹是满足某些特殊几何条件的点所形成的图形，在平面直角坐标系中，求动点的轨迹就是求动点的横坐标、纵坐标满足的等量关系．我们可以借助圆这个几何性质较多的图形，研究一些与之相关的轨迹方程．应用1已知圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0,求长为2的弦中点的轨迹方程．提示：利用定义法，即动点的运动轨迹满足圆的定义，只需确定圆心和半径，直接写出圆的方程．应用2已知动圆P与定圆C:x2＋（y＋2)2＝1相外切，又与定直线l：y＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．提示:利用直接法,即若动点的运动规律满足一些简单的几何等量关系,可以直接将这个等量关系用动点的坐标表示出来，写出轨迹方程．应用3已知圆C的方程为（x－2）2＋y2＝1，过点P(1，0）作圆C的任意弦，交圆C于另一点Q,求线段PQ的中点M的轨迹方程．提示：点M的运动受到点Q运动的牵制,而点Q在圆C上，故用“相关动点法”．真题放送1．(2011·四川高考）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．（2，3) B．(－2,3）C．(－2,－3） D．(2,－3）2．(2011·安徽高考）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为（）．A．－1 B．1 C．3 D．－33．(2011·重庆高考)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（)．A．5错误! B．10错误!C．15 2 D．20错误!4．(2011·大纲全国高考）设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2｜＝（)．A．4 B．4错误! C．8 D．8错误!5．(2011·江西高考）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是（）．A．错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!∪错误!6．(2011·浙江高考)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直,则实数m＝________.7．（2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．8．（2011·湖北高考）过点（－1,－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为______．答案：综合应用专题一应用1:B ∵l1∥l2,∴1×3－m（m－2）＝0.∴m＝－1或3，经检验m＝－1适合．应用2：D 圆心(0，0）到直线的距离为d＝错误!＝2n－1。
高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
[再练一题] 3.已知数轴上点A、B、C的坐标分别为－1、3、5，求向量 A→B 、 B→A 、 B→C 的 坐标及A、C两点的距离. 【解】 向量 A→B 的坐标AB＝3－(－1)＝4，向量 B→A 的坐标BA＝－AB＝－ 4，向量B→C的坐标BC＝5－3＝2. A、C两点的距离d(A，C)＝|AC|＝|5－(－1)|＝6.
第二页，共29页。
[基础·初探] 教材整理1 数轴及向量概念 阅读教材P65～P66内容，完成下列问题. 1.一条给出了原点 、度量(dùliàn和g)正单方位向(的fān直gx线ià叫ng做) 数轴，或者说在这条直 线上建立了直线(zhíxiàn)坐. 标系
第三页，共29页。
2.向量的概念 (1)向量 位移是一个既有大小(又dàx有iǎ方o)向(f的ān量gxi，àn通g) 常叫做位移向量，简称为向量. (2)相等向量 数轴上同向 且等长 的向量，叫做相等向量. (3)向量的坐标 用实数(表shì示shù数) 轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量.
第四页，共29页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系.( ) (2)相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上的两个向量的坐标相 等，则这两个向量相等.( ) (3)数轴上右边点的坐标大于左边点的坐标.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
第五页，共29页。
d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－2＝3. (2)当点P在点M、N之外时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7. 综上所述：d(M，P)＝3或d(M，P)＝7.
第二十二页，共29页。
1.解答本类问题时，如果两点的相对位置不确定，一定要注意分类讨论. 2.要明确向量的长度及数量的区别与联系，注意|AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|， AB＝xB－xA.
高中数学 第二章 平面解析几何初步本章整合课件 新人
平面直角坐标
数轴上的基本公式:������������ = ������������ + ������������,������������ = ������2-������1,d(A,B) = |������2-������1|
系中的基本公式 平面直角坐标系中的基本公式:������(������,������) = |������������| =
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
【应用 2】 若直线 3x+y+2n=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 n∈N+,则 n 的
值等于( )
A.1
B.2
C.4
D.1 或 2
提示:利用圆心距等于半径列方程求解.
解析:圆心(0,0)到直线的距离为 d= 2������ =2n-1.由 n=2n-1,结合选项,得
(������2
-������1)2
+
(������2
-������1
2
)
+
(������2
-������1
2
)
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
专题一 位置关系问题
1.两条直线的位置关系 考查两条直线的平行与垂直关系时,通常有两种方式可以选择:一是直 线方程以斜截式给出,此时可通过斜率和直线在 y 轴上的截距来处理;二是 直线方程以一般式给出,此时可转化为斜率和直线在 y 轴上的截距来处理, 也可以直接利用系数处理.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
2.直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,此时直线与圆有两个公共点; (2)直线与圆相切,此时直线与圆只有一个公共点; (3)直线与圆相离,此时直线与圆没有公共点. 判定直线与圆的位置关系常有两种方法: (1)代数法:将直线方程与圆的方程联立得方程组,消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,计算其判别式 Δ,若 Δ>0,则相交;若 Δ=0,则相切;若 Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断:若 d<r,则直 线与圆相交;若 d=r,则直线与圆相切;若 d>r,则直线与圆相离.
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[点评] 在利用直线的特殊形式求直线方程时，常将斜率k 和截距a、b作为待定的系数．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直 线可设方程为Ax＋By＋m＝0，垂直的直线则可设为Bx－Ay＋n ＝0.这里m、n为待定的系数．
[ 例 2] 已 知 三 角 形 △ ABC 的 顶 点 A(1 ， － 1) 、 B(1,4) 、 C(4，－2)，求三角形的外接圆的方程．
[点评] 注意题目的隐含条件，数形结合是解决此类问题 的捷径．
[例4] 求经过点(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切 于原点的圆方程．
[解析]解法一：将圆 C 化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2
＝50，则圆心为(－5，－5)．
∴经过此圆心和原点的直线方程为 x－y＝0.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
平面解析几何初步 第二章
章末归纳总结 第二章
1 知识结构 2 学后反思
3 专题研究 4 课时作业
知识结构
学后反思
用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱出来， 用坐标的计算替代推理．为我们研究几何问题开辟了一条全新 的道路．
[解析] 解法一：解方程组xx2＝＋－y22＋2x－4y－11＝0 ， 得两交点的坐标为 A(－2,2＋ 15)、B(－2,2－ 15)． 从而圆心 C 的坐标为(－2,2)， 半径 r＝12|AB|＝122＋ 15－2－ 15＝ 15. 因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法二：直线 x＝－2 与圆 x2＋y2＋2x－4y－11＝0 的交点 A、B 的横坐标都为－2，从而圆心 C 的横坐标为－2.
[例3] 设有直线l：y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝16，求k为何 值时，直线l被圆O所截得的弦最短？并求出最短弦长；能否求 得k的值，使直线l被圆O所截得的弦最长？
[解析] 解法一：设所截得的弦长为 L， 则 L＝2 16－k2＋9 1. 显然，当 k＝0 时，Lmin＝2 7； 不论 k 取何值，L 均无最大值，故弦长取不到最大值．
本章介绍了解析几何研究问题的基本思路：建立直角坐标 系，求出或设出点的坐标，通过坐标的运算，对方程的研究来 解释几何现象，表述几何问题线的倾 斜角与斜率，直线方程的各种形式，点到直线距离公式和两点 间距离公式．应特别注意直线方程不同形式的适用范围．
后一部分是圆的方程，点、直线、圆与圆的位置关系，要 牢牢把握圆的两种形式方程中各几何量含义，点、直线、圆与 圆位置关系的代数及几何表示．要切实弄清圆的有关几何性 质．
最值问题
解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，最 值问题是各部分内容、各个章节的最重要的题型之一．本章研 究直线与圆中的最值，常用联立方程组，用二次函数的值域及 判别式Δ来解决．
[例5] 求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0 的交点的所有圆中面积最小的圆的方程．
[分析] 过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两点 的连线为直径的圆，因此，只需求出交点，便可确定所求圆的 圆心和半径．
最后介绍了空间直角坐标系和空间两点间的距离公式，解 析几何是数形结合的典范，故学习本章要深刻体会数形结合思 想，自觉运用数形结合方法去分析和解决实际问题．
专题研究
待定系数法的应用
解析几何中求直线方程、求圆的方程是一类重要的问题， 求解此类问题时常使用待定系数法．待定系数法的典型特征， 就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或 全部)是待定的，根据题目所给的条件，列出待定系数所满足的 关系，解方程或方程组即可获解．
解法二：直线 l 过定点 P(0,3)，由平面几何知识知：当直线 l⊥OP 时，l 被⊙O 截得的弦最短，此时，k＝0，最短弦长为 2 16－9＝2 7.
由于当且仅当直线 l 过圆心时，被圆 O 截得的弦(直径)最 长，但此时，直线 l 的斜率不存在，故不存在 k 的值，使直线 l 被圆 O 截得的弦最长．
[例1] 已知直线经过点P(－3,1)，且与两坐标轴围成的三 角形面积为3，试求直线的方程．
[解析] 设所求直线的方程为ax＋by＝1，由题意有
－a3＋1b＝1 12|ab|＝3
，解得ab＝ ＝3－＋1＋3 3
，或ab＝ ＝3－－13－
3 3
.
则直线方程：( 3－1)x＋3( 3＋1)y－6＝0 或( 3＋1)x－3( 3－1)y＋6＝0.
由题意，得00－ －aa22＋ ＋06－ －bb22＝ ＝rr22 ，解得ab＝ ＝33
.
a－b＝0
r＝3 2
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
解法二：由题意，所求圆经过点(0,0)和(0,6)，∴圆心一定 在直线 y＝3 上，又由解法一，知圆心在直线 x－y＝0 上，
由yx＝－3y＝0 ，得圆心为(3,3)． ∴半径 r＝ 32＋32＝3 2， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
[解析] 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A(1，
－1)、B(1,4)、C(4，－2)代入，
2＋D－E＋F＝0
D＝－7
得17＋D＋4E＋F＝0 ，解得E＝－3 .
20＋4D－2E＋F＝0
F＝2
∴所求圆的方程为 x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
直线与圆、圆与圆的位置关系
判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手： ①直线与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无 实数解，方程组有几组实数解，直线与圆就有几个公共点，方 程组没有实数解，直线与圆就没有公共点，判断圆与圆的位置 关系时慎用此法；②运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆 位置关系的几何结论转化为相应的代数结论．
设 A、B 的纵坐标分别为 y1、y2，把直线方程代入圆方程， 整理得 y2－4y－11＝0.则 y1＋y2＝4，y1y2＝－11.
∴圆心 C 的纵坐标为y1＋2 y2＝2. 半径 r＝12|y2－y1|＝12 y1＋y22－4y1y2 ＝12 42－4×－11＝ 15. 因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.