初中分式方程精品讲义
讲义6：分式方程
七年级上：初一数学提高（1）班辅导讲义6：分式方程及整数指数幂姓名______________辅导时间______【知识要点】1、 分式方程：分母中含有未知数的方程。
.解分式方程的基本思想：去分母，把分式方程转化为整式方程解分式方程的一般步骤：（1） 去分母：在原方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程（2） 解这个整式方程：得到整式方程的根（3） 验根：检验整式方程的根是否为原分式方程的根（把整式方程的根代入最简公分母检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去）（4） 写结论：原方程的根为……，或原方程无解列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
2、整数指数幂：正整数、0、负整数都可以作指数；幂的有关运算法则依然成立（0和负整数作指数时要求底数不等于0）3、科学计数法的简单应用【基础自测】1、下列方程中是分式方程的是（ ）A.2413x x +-+ B. 5042x x -+= C. ()34243x x -= D. 142x x +=+ 2、1a =-是下列哪个方程的根？（ ）A. 21012a a -=++B. 2201a a-=- C. 21012a a +=-+ D. 2212a a =-+ 3、下列运算正确的是（ ）A. ()224--=B. 2124--=C. 22155x x -=D. ()122xy xy-= 4、下列等式正确的是（ ）A. ()311--=B. ()()236222-⨯-=C. ()()826555-÷-=-D. ()0241-=5、分式方程5231x x=-的解是______________ 6、 若分式方程()()2815x a a x +=--的解为15x =-，则a ＝____________； 7、x ＝1_________（是、不是）方程1111x x x +=--的根8、去分母解关于x 的方程3022x m x x --=--时会产生增根，则m ＝ _______ 9、科学计数法表示：1340000＝ _________________；0.0001034＝ __________________10、写出原数：65.7110-⨯=______________；84.0310-⨯=______________； 11、大小比较：24--，20.2-，0133⎛⎫- ⎪⎝⎭，334-⎛⎫ ⎪⎝⎭：___________________________________ 12、用50克盐加水调制成浓度为25%的盐水，需要加水____________克13、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队恰好同时开工同时完工；甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台空调，根据题意，可以列出方程为____________【例题选讲】：1、解方程 （1）21211x x =-- （2）3233x x x =+--（3）22254212343x x x x x -=-+-++ （4）23251x x x x x +-=+-2、（1）m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？（2）已知关于x 的方程323-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围.3、计算：（1）()11xy x y --+； （2）()()1122x y x y ----+÷-（3）2110162123733---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）()110111432232---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯÷+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 应用题：（1）轿车和货车同时从上海出发，轿车行270千米到达南京时，货车才行120千米到达无锡，如果轿车每小时比货车多行50千米，那么求轿车的速度（2）一个分数的分母比它的分子大5；如果这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得的分数为原分数的倒数，去这个分数（3）某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前5天完成任务。
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
初中数学同步讲义8年级第45讲分式方程
第45讲分式方程【教学目标】1.了解分式方程的定义和基本性质；2.能够解决简单的分式方程。
【教学重点】1.分式方程的定义和性质；2.解决简单的分式方程。
【教学难点】解决含有分式的复杂方程。
【教学过程】一、回顾向同学们复习一元一次方程和一元二次方程的求解方法。
二、引入向同学们介绍分式方程的概念，并举例说明。
三、讲解1.什么是分式方程？分式方程就是含有分式的方程，方程中既有整式也有分式。
2.分式方程的基本性质(1)分式方程中，分子、分母都含有未知数的方程叫做含有未知数的分式方程，如：。
(2)分式方程的解是使分式方程成立的实数，即使分子、分母都为0的数。
3.分式方程的解法(1)若分子、分母含有多个项，可通过消去公因式的方法化简方程。
(2)若分母为零，则方程无解。
四、解题1.例1：解方程。
解：首先消去分母，得到方程。
然后将方程化简为整式方程，得到。
再解方程，得。
综合以上步骤，解得。
2.例2：对于方程，其中是整数。
求解方程。
解：首先将分式方程化简为整式方程，得。
然后将方程整理为标准双线性方程，得。
将其化简为，得。
再解方程，得。
综合以上步骤，解得。
3.例3：求方程的解。
解：首先将分式方程化简为整式方程，得。
然后将方程整理为标准双线性方程，得。
将其化简为，得。
再解方程，得。
综合以上步骤，解得。
五、练习叫同学们自己完成教材中相关题目的练习，并解答同学们的问题。
【学生练习】综合教材相关题目，完成以下练习。
1.解方程。
2.解方程。
3.解方程。
【教学反思】本节课主要讲解了分式方程的定义、性质和解法，通过例题的演示，使学生了解了如何解决含有分式的方程。
在解题过程中，学生需要熟练地运用一元一次方程和一元二次方程的解法。
通过练习，帮助学生巩固和提高解题能力。
分式方程讲义
x2 4x 1 2 ) 2 其中，x=—3” ． x2 x 4 x 4
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
20． （8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗 旱，已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多 50 人，且两天人 均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
180 180 x 2 (1 ) ， x 1.5 x 3 解这个方程为 x 182 ，经检验，x=182 是所列方程的根，即前前一小时的速度为 182．
由题意得： 22 、 解 ： 设 该 市 去 年 居 民 用 气 的 价 格 为 x 元 / m ³ ， 则 今 年 的 价 格 为 (1+25%)x 元 / m ³． „„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分 96 90 10 ． 根据题意，得 „„„„„„„„„4 分 x (1 25%) x 7
3
本节小结：
解分式方程的步骤(1).去分母(2).解整式方程(3).把整式方程的根代入最简公分母或原分式方
程.若结果为零,则是增根,舍去
解分式方程应用的步骤和注意事项
列分式方程解的一般步骤题为： ①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； ②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺 各个量之间的关系； ③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
18、 （1） x 1 为增根，此题无解； （2） x
2 19、解：原式计算的结果等于 x 4 ， „„„„„„„„„„„„„6 分
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
分式方程讲义
一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根3. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
4. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二、教学内容：课前热身：1、分解因式：（2a+b ）（2a －b ）+b （4a+2b ）2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，D E⊥AC 于F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE ＝AC.（1）求证：AB=AF ；（2）若∠BAF=60°，且FG=1，求BC 的长.考点一、分式方程1、定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程．2、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．【例题解析】例1、指出下列方程中，分式方程有（ ）ABE G FDC①21123x x -=5 ②223x x -=5 ③2x 2-5x=0 ④5252x x -+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、掌握分式方程的解法步骤例2、解方程：（1）51144x x x --=-- 解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以 ，得． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+-- 解：方程两边同乘以 ，得， ∴ ．检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。
所以，原方程无解。
.（验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
精品 八年级数学上册 分式方程及应用题同步讲义+同步练习
分式方程及应用题知识点：1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程步骤：(1)去分母： 将 抓化为 (2) (3)3.増根：在方程变形时，产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的増根。
4.列方程解应用题的基本步骤：例1.解下列分式方程： (1)6272332+=++x x (2)2236111x x x +=+-- (3)163104245--+=--x x x x例2.已知关于x 的方程323-=--x mx x 的解为正数，求m 的取值范围。
例3.若关于x 的方程211333x x kx x x x ++-=--有增根,求增根和k 的值.例4.解方程：1211)10)(9(1...)1(1)1(1=++++++-x x x x x x例5.已知1=abc ，求证：1111=++++++++cac cbc b b ab a a .例6.李某承包了40亩菜地和15亩水田,根据市场信息,冬季瓜菜需求量大,他准备把水田改造为菜地,使改完后水田占菜地的10%,问应把多少水田改为菜地?例7.某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A 地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B 地,他又骑自行车从B 地返回A 地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.例8.今年我市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱.某校师生也活动起来捐款打井抗旱,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少？例9.周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2:3．(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比．(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A 处，且A 处离山顶的路程尚有1.2 km ，试求山脚到山顶的路程．例10.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格,每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器,5月份的用气量比去年12月份少10m3,5月份的燃气费是90元.求该市今年居民用气的价格.例11.某商店在“端午节”到来之际,以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为售价,售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．例12.北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.该商场两次共购进这种运动服多少套？例13.某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元.根据以上信息，从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？课堂练习：1.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( )A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) C.解这个整式方程,得x=1B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 D.原方程的解为x=12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达,求原计划行军的速度.设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ）A.1%206060++=x xB.1%206060-+=x xC.1%2016060++=）（x xD.1%2016060-+=）（x x3.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ） A.a ＋b B.b a 11+ C.b a +1 D.b a ab+4.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A ．8 B.7 C ．6 D ．55.已知122432+--=--+x Bx A x x x ,其中A 、B 为常数，则4A-B 的值为（ ） A.7 B.9 C.13 D.5 6.若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+产生增根，则m 的值是（ ） A.－1或－2 B.－1或2 C.1或2 D.1或－27.若方程212x ax +=--的解是最小的正整数，则a 的值为_______8.若方程87178=----x x x 有增根，则增根是9.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =10.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______ 11.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时． 12.解分式方程: (1)1132422x x +=-- (2)21212339x x x -=+-- (3))2)(1(311+-=--x x x x13.若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围。
分式与分式方程辅导讲义
分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。
知识点二：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3） （4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。
分式方程讲义(教师版)
一、专题精讲一、去分母解分式方程【例1】 解方程：x x ＋2＋x ＋2x －2＝8x 2－4解：去分母，得x (x －2)＋(x ＋2)2＝8 x 2－2x ＋x 2＋4x ＋4＝8整理，得x 2＋x －2＝0 解得x 1＝－2，x 2＝1检验，当x 1＝－2时，x 2－4＝4－4＝0， ∴x 1＝－2是增根；当x 2＝1时，x 2－4＝1－4＝－3≠0， ∴x 2＝1是原方程的根。
∴原方程的根是x ＝1总结：解分式方程时应注意以下两点：（1）去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；（2）解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可。
若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根。
触类旁通解分式方程：21133x x x x ＝＋＋＋二、分式方程的增根【例2】 已知方程14－x 2＋2＝m x －2有增根，求m 的值。
解：将分式方程去分母，得到1＋2(4－x 2)＝－m (2＋x )∵方程14－x 2＋2＝m x －2有增根， ∴由4－x 2＝0或x －2＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2 将x 1＝2代入1＋2(4－x 2)＝－m (2＋x )，得m ＝－14； 将x 2＝－2代入1＋2(4－x 2)＝－m (2＋x )，得等式不成立 ∴x 1＝2是方程的增根，x 2＝－2不是增根 ∴m 的值为－14总结：利用增根求分式方程中字母的值：（1）确定增根；（2）将原分式方程化成整式方程；（3）增根代入变形后的整式方程，求出字母的值。
触类旁通如果方程322x m x x－＝－－有增根，那么m 的值为 。
三、分式方程与不等式 【例3】 已知分式方程211x a x ＋＝－的解是非负数，求a 的取值范围。
总结：求分式方程中字母的取值范围：先将分式方程化为用含未知数的代数式表示字母的形式，然后根据题目要求列出不等式，求出字母的取值范围。
触类旁通关于x 的方程112ax x ＋＝﹣－的解是正数，则a 的取值范围是 。
九年级分式与分式方程讲义
分式与分式方程【知识点精讲】:1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】例1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+例2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+例3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．教师寄语：例4．解下列方程（1）013522=--+xx x x（2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【中考真题在线】：1. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2. （2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）xx x 1)11(2-÷+3. （2011浙江衢州，17（2）,4分）化简：3a b a ba b a b-++--.4. （2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．5. （2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值2221x xx x x +⋅-，其中2x =．6. （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中7. （2011湖南邵阳，18，8分）已知111x =-，求211x x +--的值。
分式方程讲义
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 八年级 课时数：3学员姓名： 辅导科目： 初中数学 学科教师：课 题分式 授课时间： 备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容【基本知识点】1、分式的概念：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。
其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
2、分式的四则运算(1).同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c(2).异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： bdbc ad d c b a +=+ (3).分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdac d c b a =⨯ (4).分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bcad d c b a =÷ (2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:bc ad c d b a d c b a =⨯=÷ 3、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，区别分式方程与整式方程最好的方法就是看分母是否含有未知数，例如38735=++x a x ，当x 是未知数时，它是整式方程，不是分式方程，当a 是未知数时，它是分式方程。
人教版数学 八年级上 第十五章 《分式》精品讲义
所以 x2 y2 z2 0. yz zx xy
【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必 须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现 了整体的数学思想和转化的数学思想.
所以 (x
xyz y)( y z)(x
z）
2k k 3k 3k 4k 5k
6k 3 60k 3
1 10
.
例6 已知 x a, z c, 且 abc o ,求 a b c 的值.
yz xy
a 1 b1 c 1
解: 由已知得 1 y z , ax
所以 1 1 y z 1 x y z , 即 a 1 x y z ,
同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分
子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性
质化为最简形式.
专题 2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化
简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念 分式的意义、无意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的基本性质 分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式
同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程 分式方程中使最简公分母为 0 的解
分式及分式方程复习讲义
分式及分式方程教学目标：1．掌握分式概念、性质及运算．2．掌握分式方程的概念、解法、及增根问题．一、知识回顾知识点1：分式及分式概念分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有：0x ，2x x ，11x+等．分式方程：分母含字母的方程叫分式方程．知识点2：分式性质易错点1 约分，找公因式，同时约去分子分母的公因式．用的是分式的除法性质 易错点2 通分，找最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质．知识点3：解分式方程1．思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根．2．易淆点（1）把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质； （2）去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是整式方程的根，同时又使最简公分母为0的根叫增根，必须满足这两个条件． 常考题型：求含参数的增根问题． ◆课前热身1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？①x 1，②3x ，③5342+b ，④352-a ，⑤22y x x -，⑥ 121222+-++x x x x ， ⑦()b a c -÷，⑧x x 2，⑨2)1(--x 分式：____________________；整式___________________； 2. 当x ___________时，分式43x x --有意义；当x ____时，分式422--x x 无意义. 3. 若分式142+-x x 的值为0，那么____________．4. 填空（1）223(__)22x x x x =++； （2）2(____)()x y x y x y -=++； （3）2(____)a ab a bab --=5. 化简：232312a b ab -=__________；223(1)9(1)a b m ab m --=__________ ；（3）22211m m m -+-=_____________. 6. 计算：223286a y y a ⋅=_______；a a a a 21222+⋅-+=___________. 7. 1112+-+a a a =_____________；21422---a a a =______________． 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ）A .23356x x ++-=B .137x x a -=-+C .x a b xa b a b-=- D .2(1)11x x -=- 9. 若关于x 的分式方程311x a x x --=-有增根，则a =____________. 10.解下列分式方程：512552x x x+=--；分式部分 二、例题辨析例1 若分式24xx +的值为正数，则x 的取值范围是( ) A. x >0 B. x >-4 C. x ≠0 D. x >-4且x ≠0练习 （1）当x ________时，分式xx 61212-+的值为负数．例2 如果把分式xx y+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．变大3倍 C ．缩小3倍 D ．无法确定练习 （1）把分式yx x +2中的x 和y 都扩大3倍，分式值____________．（2）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.①y x yx 41313221+- ②ba ba +-04.003.02.0例3 计算（1）3131+--x x练习：(1) a a --+242 (2) x x x ----13132例4 化简求值：若x =33，求233()22x x x x x-÷+--的值．练习 化简求值3,32),()2(222222-==--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中．三、归纳总结1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是整式.分式的分母一定含有字母，是分式，2.分数与分式在形式上相近，性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算.3.分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式.四、拓展延伸例5 1.如果分式111a b a b+=+，那么a b b a +的值为（ ）. A.1 B.-1 C.2 D.-22.已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.练习 1．若实数a 、b 满足：2a bb a+=，则22224a ab b a ab b ++++的值为_________ ． 例6 已知2310x x -+=,求441xx +的值.练习 若x ＋1x =3,求2421x x x ++的值.分式方程部分例7 解下列分式方程（1）x x 311=-； （2）0.2100.10.3x x-=-； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.练习 解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ； （2）0.4230.10.3x x x -=--；例8 若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.练习 1. 若分式方程()1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（ ） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定2.若关于x 的方程21x x x +--13x =33x kx +-有增根，求增根和k 的值．3. m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？五、作业与思考（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x ．。
【精品讲义】人教版八年级上册15.3分式方程
分式方程这节课我们学什么1.掌握一元一次分式方程的应用；2.掌握整数指数幂及其运算；3.掌握含字母的方程；4.掌握行程工程等应用题；知识点梳理1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的解法方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程．解分式方程必须检验，检验的方法是看所得的解是否使最简公分母为零．3、分式方程的增根使最简公分母为零的整式方程的根．4、列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验．这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义.5、常见应用题模型：（1）行程问题这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间．它们的数量关系是：路程=速度*时间．列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度（2）工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间．它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间．列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间．特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间（3） 销售问题销售问题是近几年来新增加的题型，解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率.其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价*商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价.6、 含字母分式方程（1） 将字母看成系数（2） 应用7、 负整数指数幂的意义1(0,)n na a n a -=≠为整数 8、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即01(a a =≠0)．9、 整数指数幂的运算(m n m n a a a m n +=、为整数，0)a ≠；()(m m m ab a b m =为整数，0,0)a b ≠≠()(m n mn a a m n =、为整数，0)a ≠．10、 用科学计数法表示绝对值大于10的n 位数时，其中10的指数是1n -． 用科学计数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）的相反数．典型例题分析1、 分式方程的应用；例1、下列关于x 的方程：①2124023x x -+=；②4x a=；③36186(125%)x x -=+；④2913x x -=+；⑤162x =+；⑥112x x a a--+=；是分式方程的是______________________．【答案：③④⑤；】例2、解方程：（1）2236111x x x +=+-- （2）22263525815215x x x x x =+-++-- 【答案：无解；4】例3、设1x A x =-，2311B x =+-，当x 为何值时，分式A 与B 的值相等． 【答案：2】例4、解方程：845710679x x x x x x x x ----+=+---- 【答案：8】2、 含字母的分式方程；例5、若关于x 的方程233x k x x -=--无解，求k 的值 【答案：3k =；】例6、当k =____________时，方程11(1)(2)x k x x x -=--+会有增根 【答案：3】例7、若关于x 的分式方程2122x m x x-=--的解为正数，求m 的范围【答案：2,4m m <-≠-且】例8、解关于x 的方程a axb b bx a x -++=2 【答案：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解．（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解 若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义 检验：当x ab a b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b=-2是原方程的解】 例9、如果121,1,a b b c+=+=求2c a +的值. 【答案：2】例10、已知22a a x y a y z +=+=，求证：2a z a x+= 【答案：由已知得2a x a y +=，则()2a a y a x a y y --=-=，2a ay x y a=-； 再由已知得2a y a z +=，则2a a y z=-，2a z a y =-. 所以()22a a y a a ay z a x a y y a a y-+=+==---，则得证。
八年级上册数学讲义分式方程
1．分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做__________．
【归纳】（1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
（2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
（3）分母中含有字母的方程未必是分式方程．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程
的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
（3）解分式方程产生不适合原方程解的原因：
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．
3．分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
K—重点。
分式及分式方程解法讲义
分式及分式方程一、知识讲解 1．分式用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0. 3．分式的基本性质A B =,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 4．分式的符号法则a b =a a a b b b--=-=---． 5．分式的运算（1）加减法：,a b a b a c ad bcc c c bd bd ±±±=±=． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d add bd b d b c bc=÷==（3）乘方（a b）n =nn a b （n 为正整数）6．约分根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 7．通分根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．易混,易错点分析:1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式.3,分式计算的最后结果必须是最简形式.重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简. 二、例题解析 例1 填空题：（1）若分式2242x x x ---的值为零，则x 的值为________；（2）若a ，b 都是正数，且1a －1b =222,ab a b a b+-则，则=______． 【解答】解题要点:分式的分子为零,且分母不为0.（1）由x 2=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x 2－x －2=4－2－2=0，把x=－2•代入分母，得x 2－x －2=4+2－2=4≠0，故答案为－2． （2）由整体代换法：把1a －1b =22b a a b ab a b-=++化为，b 2－a 2=2ab ， 即a 2－b 2=－2ab ，代入22222abab aba ba b ab =---中得=12，故答案为12．例2 选择题：（1）已知两个分式：A=2411,422B x x x=+-+-，其中x ≠±2， 那么A 与B 的关系是（ ）A ．相等B ．互为倒数C ．互为相反数D ．A 大于B （2）已知23,2343a b c a b c a b c+-==-+则的值为（ ）A ．－57 B ．57 C ．97 D ．－97【解答】（1）B=22112(2)42244x x x x x x --+-==-+---， ∴A+B=0，A ，B 互为相反数，选C ． （2）设234a b c===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 代入232399,3377a b c a b c k a b ca b ck +-+-==-+-+中可得，选C ．例3先化简再求值：2221412211a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足a 2－a=0． 【解答】原式=21(2)(2)(1)(1)2(1)1a a a a a a a -+--++-=（a －2）（a+1）=a 2－a －2由a 2－a=0得原式=－2（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：21x x -(xx 1-－2),其中x =2. 【答案】解：方法一：21(2)1x x x x ---=221211x x xx x x -⋅-⋅--=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -⋅-+-+- =121(1)(1)x x x x -++-=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+-+-=12(1)(1)x x x x --+-=121(1)(1)(1)(1)x x xx x x x ----=+-+- =(1)(1)(1)x x x -++-=11x --当x =2时，11x --=121--=-1 方法二：21(2)1x x x x ---=212()1x x x x x x ---=2121x x x x x --⋅-=1(1)(1)x x x x x --⋅+- =(1)(1)(1)x x x x x -+⋅+-=11x -- 当x =2时，11x --=121--=-1. 分式方程一、知识点.1．分式方程的概念分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法 分式方程−−−→去分母换元整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去． 二、例题解析 例1 解方程：2x x ++22x x +-=284x -． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根． 【解答】去分母，得x （x －2）+（x+2）=8． x 2－2x+x 2+4x+4=8 整理，得x 2+x －2=0． 解得x 1=－2，x 2=1．经检验，x 1=1为原方程的根，x 2=－2是增根． ∴原方程的根是x=1．【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法． 例2 已知关于x 的方程2x 2－kx+1=0的一个解与方程211x x+-=4的解相同． （1）求k 的值；（2）求方程2x 2－kx+1=0的另一个解． 【分析】解分式方程必验根． 【解答】（1）∵211x x+-=4， ∴2x+1=4－4x ，∴x=12． 经检验x=12是原方程的解．把x=12代入方程2x 2－kx+1=0，解得k=3．（2）解2x 2－3x+1=0，得x 1=12，x 2=1．∴方程2x 2－kx+1=0的另一个解为x=1．【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的．课后作业一 选择（36分）1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=31 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -12 分式28,9,12zyx xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2B 108xyzC 72xyzD 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -36000 4 如果把分式yx x232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍 5 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A 2B -2C 2或-2D 2或3 6 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 Cx x 1+ D 11-x 7 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x③x+3x=72 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个A 1B 2C 3D 48 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9 若分式方程xa xa x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 10 若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -311 把分式方程12121=----xxx ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2 12 已知k ba cc a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空（21分）1 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式2 ()a bab ab a 2332222=++ 3 7m=3,7n=5,则72m-n=4 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是5 ()231200841-+⎪⎭⎫⎝⎛--+-=6 方程04142=----xx x 的解是 7 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 三 化简（12分）1 ()d cd b a cab 234322222-∙-÷2 111122----÷-a a a a a a3 ⎪⎭⎫⎝⎛---÷--225262x x x x四 解下列各题（8分）1 已知bab a b ab a b a ---+=-2232,311求的值 2 若0<x<1,且x x x x 1,61-=+求 的值五 （5）先化简代数式()()n m n m mnn m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六 解方程（12分） 1 12332-=-x x 2 1412112-=-++x x x七 （7）2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？参考答案一 CACBB CCBCA DB二 1 如112-+x x ，2 3b ， 3 59 ， 4 -()nn n a ba b 137201,--， 5 2， 6 3，7 53 三 1ac 1 ， 2 1-a a ， 3 32+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。
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分式方程模块一 分式方程的基本解法1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．可化为一元一次方程的分式方程的解法⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意．．：⑴增根能使最简公分母等于0． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解．【例1】 解下列分式方程：⑴ 2233x x x+=-- ⑵2212525x x x -=-+ ⑶252331x xx x x ++=++ ⑷2242111x x x x x -+=-+【解析】 ⑴4x = ⑵356x =-⑶ 原方程无解 ⑷ 12x =- 【点评】 对于分式方程的题，开始讲的时候要让学生写过程，尤其强调必须要验根.【例2】 ⑴若分式方程：11222kx x x -+=--有增根，则k 的值为__________. ⑵若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为_________.⑶若分式方程212x ax +=--的解是正数，求a 的取值范围. ⑷解关于x 的方程()0x a cc d b x d-=+≠- 【解析】 ⑴解分式方程得：22x k=-，由于有增根，则2x =∴222k=-，∴1k = ⑵解分式方程得：621x m =-+，由于方程无解，则0x =或3当0x =时，m 无解，当3x =时，32m =-⑶解分式方程得：203ax -=>且2x ≠∴2a <且4a ≠-⑷∵0c d +≠∴ad bcx c d+=+模块二 巧解分式方程对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。
下面举例介绍几种巧解分式方程的方法.【例3】 解下列关于x 的方程（组）：⑴11116352x x x x -=----- 技巧1. 局部通分法【分析】用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果． 【解析】局部通分得()()()()336352x x x x =----去分母，得x 2－7x ＋10=x 2－9x ＋18 故x =4经检验知x =4是原方程的解． ⑵17352846x x x x x x x x ----+=+----技巧2. 分离常数法【分析】方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数． 【解析】分离常数得()()()()218141612846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----即111111112846x x x x +++=+++---- 注：分离常数之后达到使分式方程简化的目的，之后可以用刚才的局部通分法继续解题 移项得：11112468x x x x -=----- 局部通分得：2222681448x x x x =-+-+ ∴x 2－14x ＋48=x 2－6x ＋8 解得x =5经检验x =5是原方程的解．⑶31052151x y x y x y x y ⎧+=-⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩技巧3. 换元法【解析】设11a b x y x y ==+-，，则原方程组可化为31052151a b a b +=-⎧⎨-=⎩解得115a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴1111155x y x y x y x y ⎧=-⎪+=-+⎧⎪⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪-⎩，即 解得32x y =-⎧⎨=⎩经检验32x y =-⎧⎨=⎩为原方程组的解．【探究对象】分式方程运算的几种技巧【探究目的】在上述几种巧解的基础上进行运算技巧的拓展，使学生更深入地掌握本讲内容 【技巧四】局部换元法222121014x x x x x x -+=--+-+ 【分析】通过观察发现各分式中分母都和21x x -+这一式子有联系，故可用局部换元法 【解析】令21x x -+=y ，原方程变成121013y y y -+=-+ 解之并检验可得y =3。
∴x 2－x ＋1=3，解之可得x 1=2，x 2=－1注：涉及一元二次方程简单解法，教师可适当铺垫 故原方程的根是x 1=2，x 2=－1．【技巧五】裂项法()()1111110(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)455x x x x x x x x x x x ++++=++++++++++ 【解析】原方程可化为11111110112455x x x x x x x -+-++-=++++-+… 即111055x x x -=++，解之得12x = 经检验12x =是原方程的根【技巧六】倒数法2211x x x x =+- 【解析】∵0x ≠，方程化为221x xx x+=- ∴211x x +=-∴122,1x x ==-经检验1x =-是增根，舍去 ∴原方程的解是2x =【技巧七】利用因式分解裂项法21421242x x x x++=+-- 【解析】原方程变化为：122212222x x x x ++-=++-- ∴312x =+ ∴1x =经检验1x =是原方程的根【技巧八】逐步通分法248112481611111x x x x x++++=-++++ 【解析】 22482248161111x x x x +++=-+++44888164481611188161116161x x x x x x ++=-+++=-+=- 解得0x =经检验0x =是原方程的根【例4】 观察：111121212==-⨯，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯，1111305656==-⨯，… ⑴猜想：请你猜想出上述式子特点的一般规律，用含x （x 表示整数）的等式表示出来． ⑵运用：请利用上述规律，解关于x 的方程：()()()()()()111111006100510051004111x x x x x x x x x ++++=-----++L 【分析】 方程左边适合先裂项，然后对消化简，再去分母．【解析】 ⑴()11111x x x x =-++ ⑵原方程可化为：1111111111006100510051004111x x x x x x x x x -+-++-+-=-----++L化简，得1210061x x =-+ ∴122012x x +=- ∴2013x =检验：把2013x =代入原方程中的每一个分母，各分母均不为零． 所以2013x =是原方程的根．【例5】 阅读并完成下列问题：方程1122x x +=的解是12122x x ==，；方程1133x x +=的解是12133x x ==，；方程1144x x +=的解是12144x x ==L ，⑴观察上述方程及解，可猜想关于x 的方程1155x x +=的解是 ；⑵利用上述规律，解关于x 的方程11x c x c+=+的解是 ；⑶请将方程21013y y y ++=+变为⑵的形式，并求解．【解析】 ⑴方程1155x x +=的解为：12155x x ==，⑵方程11x c x c +=+的解为：1x c =，21x c=，⑶原方程可化为()()111313y y ++=+，解得13y +=或113y +=，即12y =，223y =-经检验它们是原方程的根．【点评】 本题第⑶问还用到了分式化简中分离常数的方法．模块三 分式方程的应用列分式方程解应用题时，一定要注意检验有两层：验根和验题意．【引例】列方程解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.【解析】设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得12001200101.5x x=+ 解得40x =经检验，40x =是原方程的解，并且符合题意．∴1.560x =. 答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．【例6】 某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？【解析】设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得：193619360.888x x ⨯=+, 整理得()0.888x x +=， 解得x =352经检验x =352是原方程的解. 答：这个学校九年级学生有352人.【例7】 解方程组：131415ab a b bcb c ca c a ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩【分析】 先颠倒各方程的分子、分母，利用11a b ab a b+=+作转化． 【解析】 原方程可化为113114115a b b c c a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③①+②+③得1116a b c ++= ④④-①得13c =④-②得12a =④-③得11b=∴经检验，原方程组的解为12113 abc⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩训练1. 解方程：⑴2236111x x x +=+--；⑵22263525815215x x x x x =+-++-- 【解析】 ⑴方程两边同乘以(1)(1)x x -+得2(1)3(1)6x x -++=∴55x =，∴1x =．检验：当1x =时，(1)(1)0x x -+=，∴1x =是增根，原方程无解． ⑵方程两边都乘以(5)(5)(3)x x x +-+得6(3)3(5)5(5)x x x +=-++ ∴28x =，∴4x =检验：当4x =时，(5)(5)(3)630x x x +-+=-≠，∴4x =是原方程的根．【备注】 解分式方程的关键是找到最简公分母后去分母，所以应先对分母进行因式分解，再确定最简公分母．训练2. 关于x 的方程322133x mxx x-++=---无解，求m 的值． 【解析】 原方程两边都乘以()3x -，约去分母得(1)2m x --=．当10m --=，即1m =-时，此整式方程无解．所以当1m =-时原方程无解． 对于方程(1)2m x --=．当3x =时，原方程无解，所以当(1)32m --⨯=，即53m =-时，原方程无解．所以m 的值为1-或53-．【点评】在解本题时，注意考虑问题要全面，不要只考虑当原分式方程有增根时的情形，而忽略了当整式方程无解时，原分式方程也无解．此分式方程无解有两种情形：一是原方程两边都乘以()3x -，约去分母后，得整式方程(1)2m x --=，当10m --=时，此方程无解，即原方程无解，二是原方程产生增根，即3x =时，此分式方程无解．训练3. 解关于x 的方程2221m m m x---=【分析】 解含有字母系数的方程要整理成一元一次方程的一般形式ax b =，然后根据a ，b 的情况讨论求解．【解析】 原方程可化为()()()()1121m m x m m +-=-+当1m ≠±时，21m x m -=-，但当2m =时，0x =不是原方程的根； 当1m =时，原方程无解；当1m =-时，原方程化为00x =，x 为任意值，但0x =为原方程增根． 综上所述，当1m =或2m =时，方程无解；当1m =-时，解为所有不等于0的数；当1m ≠±且2m ≠时，方程有唯一解，21m x m -=-．训练4. 某自来水公司计算水费方法如下：若每户每月用水不超过35m ，则每立方米收费1.5元，若用户每月用水超过35m ，则超过部分每立方米收取较高的定额费用，1月份张家用水量是李家用水量的23，张家当月的水费是17.5元，李家当月的水费是27.5元，问超过35m 的部分每立方米收费多少元？ 【解析】 设超过35m 的部分每立方米收费x 元．则1月份张家超过35m 的部分水费为(17.55 1.5)-⨯元．超过35m 的用水量为317.55 1.5m x-⨯．李家超过35m 的部分水费是(27.55 1.5)-⨯元．超出35m 的用水量为327.55 1.5m x-⨯．由题意可知17.55 1.5227.55 1.5553x x -⨯-⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．解这个方程得2x =．经检验，2x =是原方程的解. 答：超过35m 的部分每立方米收费2元．11题型一 分式方程的基本解法 巩固练习【练习1】 关于x 的方程11a x =+的解是负数，则a 的取值范围是_________． 【解析】 1a <且0a ≠【解析】 已知关于x 的方程3211x k x x --=--有增根，求增根及k 的值．原方程去分母，整理，得1k x =--．∵原方程有增根，而原方程的最简公分母为1x -．∴由10x -=可知原方程的增根为1x =．当1x =时，112k =--=-．因此，原方程的增根为1，k 的值为2-．【备注】：分式方程有增根，可从最简公分母入手，使得最简公分母为0的x 值，即为增根，将增根代入变形后的整式方程即可求k 值．题型二 巧解分式方程 巩固练习【练习2】 解方程：48755986x x x x x x x x ----+=+---- 【解析】 原方程可变形为：111111115986x x x x +++=+++---- 化简，去分母可得：2211301772x x x x -+=-+，解得7x =，经检验，7x =是原方程的根.【练习3】 已知1abc =，求关于x 的方程2013111x x x a ab b bc c ca++=++++++的解． 【解析】 原方程可化为1112013111x a ab b bc c ca ⎛⎫++= ⎪++++++⎝⎭因为1abc =，所以11111111(1)a abc a ab b bc c ca a ab a b bc abc c ca++=++++++++++++++ 1111111a ab a ab a ab a ab a ab a ab++=++==++++++++，2013x =． 题型三 分式方程的应用 巩固练习【练习4】 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？（五分期末、江西中考）【解析】解一：设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的速度为1.2x米/秒根据题意得：6060650 1.2x x++=解得 2.5x=经检验： 2.5x=是方程的解，且符合题意，∴甲同学所用的时间为：606261.2x+=（秒）乙同学所用的时间为：6024x=秒∵2624>，∴乙同学获胜解二：设甲同学所用时间为x秒，乙同学所用时间为y秒根据题意得50 60601.26x yx y+=⎧⎪⎨=⨯⎪-⎩解得2624 xy=⎧⎨=⎩经检验：26x=，24y=是方程的解，且符合题意x y>，∴乙同学获胜1213测1. 解方程 ⑴11322x x x-+=-- ⑵26351x x x x x++=-- 【解析】 ⑴解得2x =，经检验，2x =是增根，原方程无解；⑵解得1x =，经检验，1x =是增根，原方程无解．测2. 解关于x 的方程21111x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=++. 【解析】 经检验，23x =- 是原方程的解．测3. 已知关于x 的方程2221511m m x x x x x --+=-+-有增根1，求m 的值． 【解析】 原方程去分母，整理，得(1)(5)(1)(1)0x m x m x ++----=．把1x =代入上面方程，得(11)(5)(11)(1)10m m ++----⨯=解之，得3m =，因此m 的值为3．【备注】：方程增根为1，即分式方程化为整式方程后，整式方程根为1，故将1x =代入整式方程求m 即可，考查增根的意义．。