总复习实数的概念

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实数的有关概念及习题

知识点1 实数的有关概念及习题一、实数定义：有理数和无理数统称为实数二、实数分类：1.按照正负分：正实数、0、负实数2.按照定义分：有理数、无理数3.有理数相关知识（1）有理数定义：整数和份数统称为有理数（2）整数可分为：正整数、0、负整数。

正整数和0成为非负整数；负整数和0成为非正整数（3）分数可分为正分数和负分数。

（4）分数都可化为有限小数或无限循环小数；反之有限小数或无限循环小数都可化为分数4.无理数的相关知识（1）无理数定义：无线不循环小数（2）无理数常见的几种类型a:含π的数，比如3π，π+2等b.开放开不尽的数C.有特殊规律的数，比如0.1001000100001........注意：有理数之间的加减乘除运算的结果一定是有理数。

有理数×无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。

举例____________________________________________________________________ 有理数÷无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。

举例____________________________________________________________________ 无理数÷有理数的结果是无理数。

举例____________________________________________________________________ 无理数+无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。

举例____________________________________________________________________ 无理数-无理数的结果既可以是有理数也可以是无理数。

举例____________________________________________________________________ 以上问题请学生自己举例进行验证。

实数的概念简答

实数的概念简答实数是数学中一个非常重要的概念，它是数的集合中最广泛使用的一个集合，包括了整数、有理数以及无理数。

实数可以用来描述现实世界中的许多事物，它们具有很多特性和性质。

首先，实数是有序的。

这意味着实数可以按照大小顺序排列。

对于任意两个实数a和b，必然存在以下三种关系之一：a<b、a=b或者a>b。

这种有序性质可以大大拓展实数的应用范围，使得我们能够对实数进行比较和排序。

其次，实数是连续的。

实数可以沿着数轴上的任意两个点之间有无穷多个其他的实数。

这意味着在任意两个实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。

这个性质使得实数可以用来度量和描述连续的现实世界中的量，比如时间、距离等。

实数集合包括了有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。

有理数的性质是可以用有限个整数和分数的和、差、积与商来表示。

无理数是不能表示成两个整数的比值的数，它们的十进制表示是无限不循环小数。

著名的无理数包括π、e和根号2等。

无理数的性质是不能用有限个有理数的和、差、积与商来表示。

实数集合具有良序性和完备性。

良序性是指实数集合中的任意非空子集都有最小值。

也就是说，对于实数集合中任意的非空子集合，必然存在一个最小的实数。

完备性是指实数集合中的任意上有界的子集都有上确界。

也就是说，对于实数集合中的任意上有界子集合，必然存在一个实数作为上确界。

实数集合上有四则运算，即加减乘除。

实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

实数的四则运算可以推广到无穷级数中，这给了我们处理许多数学问题的工具。

实数集合上还有大小比较运算符号，包括小于号、大于号、小于等于号、大于等于号以及不等号。

这些运算符号可以用来比较实数的大小关系。

实数还具有可数性和不可数性。

有理数是可数的，可以用自然数来进行一一对应。

而无理数是不可数的，不能用自然数进行一一对应。

在实数集合中，还有一些特殊的数，比如无穷大和无穷小。

实数的定义是什么？

实数的定义是什么？导读：本文是关于生活中常识的，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

实数是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

实数是有理数和无理数的总称，通常用黑正体字母R表示。

其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。

数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。

任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。

在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。

由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。

(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

实数概念例题和知识点总结

实数概念例题和知识点总结实数是数学中的一个重要概念，它涵盖了有理数和无理数。

理解实数的概念对于进一步学习数学知识，解决数学问题至关重要。

下面我们通过一些例题来深入理解实数的相关概念，并对重要知识点进行总结。

一、实数的定义和分类实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数，例如√2、π等。

二、实数的性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。

2、实数的稠密性：在任意两个不同的实数之间，都存在无穷多个实数。

3、实数的运算封闭性：实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，其结果仍然是实数。

三、例题解析例 1：判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数？22/7，√5，0，－314，***********（相邻两个 1 之间依次多一个 0）解：22/7 是分数，属于有理数；√5 是无限不循环小数，是无理数；0 是整数，属于有理数；－314 是有限小数，可化为分数，属于有理数；***********（相邻两个 1 之间依次多一个 0）是无限不循环小数，是无理数。

例 2：比较大小：√3 ＋ 1 和 2 ＋√2解：因为（√3 ＋ 1）²＝ 3 ＋2√3 ＋ 1 ＝ 4 ＋2√3 ，（2 ＋√2）²＝4 ＋4√2 ＋ 2 ＝ 6 ＋4√2 。

而 4 ＋2√3 ＜ 6 ＋4√2 ，所以√3 ＋ 1 ＜ 2 ＋√2 。

例 3：已知一个实数的绝对值是√5，求这个实数。

解：设这个实数为 x ，则｜x| ＝√5 ，所以 x ＝±√5 。

四、实数的运算1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

实数的概念

实数的概念
实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两种数的集合。

实数可以用来表示数量、度量、顺序和比较。

在实数集合中，包含了所有可能的数，无论是整数、分数还是无限不循环小数。

实数的定义相对简单，但却蕴含着丰富的数学道理。

根据Cauchy序列或Dedekind划分的定义，一个实数可以被表示为所有比它小的数的集合。

这个定义确保了实数的连续性和完备性。

实数的集合可以表示为R，其中R是实数的拉丁字母缩写。

R包含了有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则是不能表示为有理数的比值。

无理数包括了诸如根号2、π和自然常数e等数。

实数集合的特性很多，其中最重要的是实数的稠密性、有序性和连续性。

实数的稠密性意味着在任意两个实数之间都存在一个实数，这保证了实数的无限性和密集性。

实数的有序性则意味着任意两个实数之间都可以比较大小。

实数的连续性则意味着在实数集合中没有任何间断。

实数在数学中具有广泛的应用领域，如代数、几何、分析学和概率论等。

实数的加法、减法、乘法和除法运算规则成为数学的基础。

实数的顺序关系使我们能够进行比较和排序。

实数的连续性帮助我们解决方程和证明定理。

总之，实数是数学中一个非常重要的概念。

它包含了所有的有理数和无理数，具有稠密性、有序性和连续性等特性。

实数的定义使用Cauchy序列或Dedekind划分，它在数学的各个领域中具有广泛的应用。

对于理解数学和解决实际问题，实数是一个必不可少的概念。

实数复数知识点归纳总结

实数复数知识点归纳总结一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

有理数是指可以写成两个整数的比的数，包括整数和分数。

无理数是指不能写成两个整数的比的数，例如$\pi$、$\sqrt{2}$等。

1.1、有理数有理数是可以表示为分数的数，包括正整数、负整数、正分数、负分数以及0。

有理数可以用分数表示，形如$\frac{a}{b}$，其中a、b是整数且b≠0。

有理数的集合用符号Q表示。

1.2、无理数无理数是不是有理数的数，无法用分数形式表示。

无理数有无穷多位小数，也不能完全表示为连分数形式。

无理数的集合用符号R-Q表示。

1.3、实数的性质实数具有以下性质：① 闭合性：实数的四则运算结果仍为实数。

② 交换律和结合律：实数的加法和乘法满足交换律和结合律。

③ 分配律：实数的乘法对加法有分配律。

④ 0元素和1元素：实数集合中有加法单位元素0和乘法单位元素1。

1.4、实数的有序性实数集合具有有序性，对于任意的两个实数a和b，要么a>b，要么a<b，要么a=b。

这个性质也称为实数的大小关系。

通过大小关系可以定义实数的加法、乘法、除法等运算。

二、复数的概念复数是由实数和虚数单位i组成的数。

虚数单位i是满足i²=-1的数，实数和虚数单位i的组合称为复数。

复数的一般形式是a+bi，其中a是实部，bi是虚部。

复数的概念源自方程$x^2+1=0$，这个方程没有实数解，但引入虚数单位i后可以得到复数解。

2.1、复数的性质复数具有以下性质：① 互异性：两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

② 加法和乘法：复数之间的加法和乘法满足分配律和结合律。

③ 共轭复数：设z=a+bi，z的共轭复数记作$\bar{z}$，是a-bi。

④ 复数的模：模是复数到原点的距离，模的平方是复数的实部平方和虚部平方的和。

2.2、复数的幂运算复数的幂运算是指求复数的正整数次方，其中包括幂的求解和求解复数方程。

中考数学总复习1.实数的概念

3 ⎩ ⎩1.实数的概念一、知识要点1. 实数的分类(两种分类方式——①按定义分类；②按性质分类):⎧ ⎧ ⎧正整数 ⎫ ⎧ ⎧ ⎧正整数⎪ ⎪ ⎨零⎪ ⎪⎪ ⎪正有理数⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪正实数⎨ ⎩正分数负整数小数或小数；正无理数 ⎪ ⎨ ⎩ ⎬⎪ ⎩ (1) )实数⎨ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 实数⎨零 ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪⎭ ⎪负实数⎪负有理数⎨ ⎪  小数. ⎪⎩ ⎨ ⎬ ⎩⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩⎪负无理数 ()2 数轴上的点与一一对应；在平面直角坐标系中，平面上的点与一一对应. (3) 常见无理数的 4 种形式：①字母型：如π和；②构造型：如 0.101001…和；③根式型：如和；④三角函数型：如sin150和等.2. 数轴：数轴的三要素是、和 ......... 在数轴上右边的数总是左边的数；3. 相反数：实数 a 的相反数为. 若a ，b 互为相反数，则a + b = ............ 在数轴上表示互为相反数的两个点（原点除外）分别在两侧，且与原点的 .................................4. 倒数：非零实数 a 的倒数为 . 若a ，b 互为倒数，则ab = ................ 5. 绝对值： ⑴性质：正数的绝对值是，负数的绝对值是，0 的绝对值是 .... 即a = ⎧⎪ ⎨ (a > 0)(a = 0)⑵几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点 ................................... ⑶任何数的绝对值都是，即 a0 ；若a ，b 互为相反数，则 a b ；⎪ (a < 0) ⎧3 a 3 ① ( ) 若 a = b ，则a b 或 a + b = .6. 科学计数法：把一个数表示成的形式，其中1≤ a <10 的数，n 是整数. 其方法是：①确定 a ， a 是只有一位整数的数；②确定 n ，当原数的绝对值≥10 时，n 为正整数，n 等于原数中整数部分的数位减去；当原数的绝对值＜1 时，n 为负整数，如 0.00305＝，－0.000236＝．7. 若 x 2=a ，则x 叫作 a 的，记作，a 叫作 x 的 ........... 任何正数 a 都有个平方根,它们互为，其中正的平方根叫，没有平方根，0 的算术平方根为 ........8.若 x 3=a ，则 x 叫作 a 的，记作；a 叫作 x 的.任何实数a 都有立方根，记为 .............9. 非负数: a 0；a 20； a 0 ；性质是：若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数同时为 ...........10.绝对值是它本身的数是；相反数是它本身的数是；倒数是它本身的数是；平方是它本身的数是；立方是它本身的数是；平方根是它本身的数是；算术平方根是它本身的数是；立方根是它本身的数是 .............................二、例题分析【例 1】在 2 , ②3.14, ③π, ④( 2- 3)0 , ⑤ 1 -2 , ⑥0.010⋅⋅⋅, ⑦0.10110111⋅⋅⋅, ⑧tan 450,2 21⑨ 中，是无理数的是 ( 只写序号 ).π【例 2】(1)在数轴上表示-2 的点，离原点的距离等于 ....................(2)实数 a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错．误．的是( ).A. ab > 0B. a + b < 0C. a < 1bD.a -b < 0 ab(3) 在数轴上的点 A 、B 位置如图所示，则线段 AB 的长度为 ................. AB-5 0 2(4)实数 x 、y 在数轴上的位置如图所示，则 x ，y ，0 的大小是 ...............................x y()5 如图所示，数轴上 A ，B 两点表示的数分别为-1和，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的数为 ................C A 0 B【例 3】(1)如果规定向东走 80m 记为 80m ，那么向西走 60m 记为.(2) -2 的相反数是 .............(3)对于式子“ -(-8) ”，有下列理解：①可表示-8 的相反数；②可表示-1与-8 的乘积；③可表示-8 的绝对值；④运算结果等于 8．其中理解正确的是 (只写序号). 【例 4】(1) - 1 的倒数为；2的倒数为；(2)若 x = (-2) ⨯ 3 ，则x 的倒数是 .................【例 5】(1)－5 的绝对值是；- 的绝对值是； 3 -27 的绝对值是 .....................(2)式子“ | 6 - 3 |”在数轴上的几何意义是：“数轴上表示 6 的点与表示 3 的点之间的距离”．类似地，3 2b +1 9 9 b -3 式子 “| a + 5 |” 在数轴上的几何意义是 “ ”． (3)①如果 a 与 1 互为相反数，则| a + 2 | =. ②若 a = 3 ，则a 的值是 .................(4) 若 m - n = n - m ，且 m = 4 ， n = 3 ，则 (m + n )2 = ． (5)若 a = 5，b = -2，且ab > 0，则a + b = ．(6)如果实数 a 在数轴上的位置如图所示，那么|1- a | + a 2 =----------------- 1 0 a 1【例 6】(1)16 的平方根是，16 的算术平方根是， 16 的平方根是；16 的算术平方根；-8 的立方根是 .....................(2) 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 .........................(3)下列运算正确的是( ). A.= ±3 B. - 3 = -3 C. - = -3 D. - 32 = 9(4)在实数﹣2，0，2，3 中，最小的实数是( ).A.-2B.0C.2D.3 (5)若 ab ≠ 0 ，则a +b 的取值不可能是().bA.0B.1C.2D.-2【例 7】(1)目前，我国人口总数大约是 13.7 亿，用科学记数法表示为人.(2) 港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元，用科学记数法表示是元，精确到万位是 .................(3) “鸟巢”的建筑面积达 25.8 万平方米，用科学记数法表示约为平方米.(4) 太阳内部高温核聚变反应释放的“辐射能”功率为3.8⨯1023千瓦，而到达地球的仅占 20 亿分之一，到达地球的“辐射能”功率为千瓦（用科学计数法表示） (5)已知空气的单位体积质量为1.24⨯10－3g /cm 3，1.24 ⨯10－3用小数表示为 g /cm 3.(6) “黄金分割比”是= 0.61803398…，将“黄金分割比”精确到 0.001 的近似数是．2(7) 下列说法正确的是（）A.近似数 3.9×10 3 精确到十分位B.按科学计数法表示的数 8.04×10 5 其原数是 80400C.把数 50430 精确到千位是 5.0×10 4D.用四舍五入得到的近似数 8.1780 精确到 0.001 【例 8】(1)若 a - 2 + + (c - 4)2= 0 则 a - b + c = ．(2) 等腰三角形一边长为 a ，一边长b ，且(2a -b )2+ 9 - a 2 = 0 ，则它的周长为 .....................(3) 已知 a + 3 += 0 ，则实数a + b 的相反数 .........................5 -1 aa +b(- 2)2873 3 3 3(4) a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值是 2，则2m2 +1+ 4m - 3cd = ......................(5) = 0，则a +b = ......................三、课后作业1.在22，π，0，，sin60°，(cos60°)－1，2-， 2.313131…，0.010010001…，3- 64 中，无7 2理数有个 .2.下列说法不正确的是( ).A.没有最大的有理数B.没有最小的有理数C.有最大的负数D.有绝对值最小的有理数8⨯1+( 2)0 的结果为( ).3.计算2A.B．C．3 D．54.下列各组数中是互为相反数的一组是( ).A.- 2与B. - 2与3- 8C. - 2与-1D. - 2 与225.如图A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c ，根据图中各点位置，下列各式正确的是( ).A. (a -1)(b -1) > 0B. (b -1)(c -1) >0C. (a +1)(b +1) < 0D. (b +1)(c +1) < 0C O A B-1 0 a 16.数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( ).A.代人法 B．换元法 C．数形结合D．分类讨论7.如果将三个数“ - 3，7，”表示在数轴上，其中被如图所示的墨迹覆盖的数是．8.如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A、B 两点 B A C对应的实数是3 和-1，则点C 所对应的实数是( ).-1 0 3A. 1+B. 2+C. 2 -1D. 2 +19.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ).A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间10.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是( ).A．精确到十分位B．精确到个位C．精确到百位D．精确到千位11.某市 2014 年实现生产总值（GDP）1545.35 亿元，用科学记数法表示是元.112 ”，(a - 3b)2 +a2 - 4a + 212.近似数 13.7 万是精确到位.3 + 1 b - c 2 12 3 3 64 x 2 a -1 13. -5 的倒数是， -3 的绝对值是，绝对值大于 1 小于 4 的整数的和是 .................14. 已知一个正数的平方根是3x - 2 和5x + 6 ，则这个数是，若 a > 0 且a x = 2 ，a y = 3 ，则a x - y的值为 ................. 的立方根是；若 = 5，则 x = ；若 3 15. 已知一个正数的平方根是3x - 2 和 x + 6 ，则这个数是 ..................... 16. 已知， + a + b +1 = 0 ，则 a b = ． 17. 把 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为.1 -1= 5,则x = ...........18．计算： ( ) 3- (3 - 3)0 - 4 sin 60︒+ 12 =.19．已知 a = 3 ，且(4 tan 45︒ - b )2+ = 0 ，以a ，b ，c 为边组成的三角形面积等于 .................20．计算： 2-1﹣3tan30° +(2 + 2)0 + .参考答案：三、例题分析【例 1】①③⑦⑨；【例 2；(1) 2； (2)C ； (3)7； (4)0<x <y ； (5) -2- ；【例 3】 (1)-60m ； (2) -2； (3)①②③④；x 3336【例 5】(1) 5， - 2 ，3；；(2)数轴上表示 a 的点与数轴上表示-5 的点之间的距离； (3) ①1； ② ±3 ； (4) 1 或 49； (5)-7； (6)1；【例 6】(1) ±4，4，±2，2，-2； (2)a 2+1； (3)C ；(4) A ；(5) B ；【例 7】(1) 1.37×109；(2) 7.26×1010，7260000 万元；(3) 2.581.37×105；B ；(4) 1.9×1014；(5) 0.00124； (6) 0.618； (7) C ；【例 8】(1) 3； (2)15； (3)4； (4) 5 或-11； 8(5) ；3四、课后作业 1.5；2. C ；3. C ；【例 4】（1）-2， 3 ，（2） - 1；7 3 7 7. 7 ；4. A ；5. D ；6. C ；8. D ； 9. B ； 10. C ；11.1.54535×1011； 12.千； 13.- 1，3，0；5 49214.，， 3 4 ， ±5 ，5；4 315.25； 16.1；17. - < < 7 ； 18.2；19.6；20.3 + 2 3 ；2。

实数概念例题和知识点总结

实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

例如，π（圆周率）约等于 31415926就是一个无理数，因为它的小数部分是无限不循环的。

再比如√2（根号 2）约等于 141421356也是无理数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。

有理数又可以分为整数和分数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。

无理数就是无限不循环小数。

2、按正负分类实数可以分为正实数、0、负实数。

正实数包括正有理数（正整数、正分数）和正无理数。

负实数包括负有理数（负整数、负分数）和负无理数。

三、实数的性质1、实数的相反数实数 a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。

例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。

2、实数的绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

例如，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5 ，｜0| ＝ 0 。

3、实数的倒数若实数 a 不为 0，则 a 的倒数为 1/a 。

例如，5 的倒数是 1/5 ，－2 的倒数是－1/2 。

4、实数的运算实数的运算遵循加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则。

加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：ab ＝ ba乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac在进行实数运算时，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。

四、实数的大小比较1、数轴比较法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

2、差值比较法设 a、b 是两个实数，若 a b ＞ 0，则 a ＞ b；若 a b ＝ 0，则 a ＝ b；若 a b ＜ 0，则 a ＜ b 。

实数的概念5个

实数的概念5个实数是数学中一种最基本的数的集合，它包含了自然数、整数、有理数以及无理数。

实数可以用作测量和计算各种现实世界中的物理量，如长度、时间、温度等。

在数学中，实数是一种无穷的连续数列，可以表示在数轴上的每一个点。

下面将详细介绍实数的五个重要概念。

1. 自然数：自然数是最基本的数，用于表示物体的个数或数量。

自然数包括正整数1、2、3、4等，以及零。

自然数是从人们对世界的观察中产生的，它们在日常生活中起着重要的作用，如计数和计量等。

2. 整数：整数包括正整数、负整数和零。

整数是自然数的扩展，可以表示物体的个数，也可以表示物体的欠数或亏数。

整数可以进行加法、减法、乘法和整除运算，因此在数学和计算中起着非常重要的作用。

3. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，可以写成分数的形式。

有理数是整数的扩展，可以使用有理数来表示更广泛的数，如分数、小数等。

有理数的运算规则和整数类似，可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

4. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比的数，无理数是一类无穷不循环小数。

无理数有无限多的小数位数，并且不能被表示为一个精确的分数。

著名的无理数有π（圆周率）、e（自然常数）和√2（二次根号2）等，无理数在几何、物理以及计算等领域有重要的应用。

5. 实数集：实数集包括所有的自然数、整数、有理数和无理数。

实数集是对数轴上的所有点的总称，包括正数、负数和零。

实数集是一个无穷的连续集合，它可以表示任何一个点在数轴上的位置。

实数集中的数可以进行各种运算，如加减乘除、幂运算、开方等。

总之，实数是数学中最基本的数的集合，包括自然数、整数、有理数和无理数。

实数集构成了一个无穷的连续集合，数轴上的每一个点都可以表示为一个实数。

实数在数学和各个领域中都有广泛的应用，是进行各种计算和测量的基础。

了解实数的概念对于理解数学和应用数学是非常重要的。

八年级上册数学实数知识总结

实数一、实数的概念及分类1.实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2.无理数: 无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时, 要抓住“无限不循环”这一时之, 归纳起来有四类:（1）开方开不尽的数, 如等；（2）有特定意义的数, 如圆周率π, 或化简后含有π的数, 如+8等；（3）有特定结构的数, 如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值, 如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1.相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数, 零的相反数是零）, 从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称, 如果a与b互为相反数, 则有a+b=0, a=—b, 反之亦成立。

2.绝对值在数轴上, 一个数所对应的点与原点的距离, 叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身, 也可看成它的相反数, 若|a|=a, 则a≥0；若|a|=-a, 则a≤0。

3.倒数如果a与b互为倒数, 则有ab=1, 反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴解题时要真正掌握数形结合的思想, 理解实数与数轴的点是一一对应的, 并能灵活运用。

5.估算三、平方根、算数平方根和立方根1.算术平方根: 一般地, 如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地, 0的算术平方根是0。

表示方法: 记作“”, 读作根号a。

性质: 正数和零的算术平方根都只有一个, 零的算术平方根是零。

2.平方根: 一般地, 如果一个数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法: 正数a的平方根记做“”, 读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根, 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算, 叫做开平方。

实数的知识点总结课件

实数的知识点总结课件一、实数的概念1.1 实数的定义实数是数学领域中的一种数字概念，包括有理数和无理数。

实数是可以用来度量和计算数量的数，是数学中最基本的数。

1.2 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以用整数或整数分数表示的数，而无理数是不能用有限的整数或整数分数表示的数。

二、实数的性质2.1 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的实数a、b、c有：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。

2.2 实数的减法实数的减法满足异减法a-b=a+(-b)，其中-a称为a的相反数，满足a+(-a)=0。

2.3 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的实数a、b、c有：ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。

2.4 实数的除法实数的除法满足a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。

2.5 实数的乘方实数的乘方满足乘方的次序异法则：(a^m )^n=a^(mn)，其中a为非零实数，m和n为任意实数。

三、实数的表示和比较3.1 实数的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴上任意一点与原点的距离称为这个点的坐标。

3.2 实数的比较实数的比较可以通过数轴上的位置进行比较，即若a在b的左边，则a小于b，若a在b的右边，则a大于b。

四、实数的运算4.1 实数的加减运算实数的加减运算即是对实数进行加法和减法的操作，按照加法和减法的性质进行运算。

4.2 实数的乘除运算实数的乘除运算即是对实数进行乘法和除法的操作，按照乘法和除法的性质进行运算。

4.3 实数的乘方运算实数的乘方运算即是对实数进行乘方的操作，按照乘方的性质进行运算。

五、实数的应用5.1 实数在代数中的应用实数在代数中可以用来解方程、求根以及进行代数计算。

5.2 实数在几何中的应用实数在几何中可以用来表示线段、面积、体积等几何量，并进行几何计算。

实数章节知识点总结

实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。

2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。

有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。

（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。

无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。

3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。

二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。

（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。

（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。

三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。

（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。

2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。

（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。

（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。

3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。

实数复习题

实数复习题实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数。

在实数的复习中，我们通常会涉及以下几个方面：1. 实数的定义：实数是所有有理数和无理数的集合，包括正数、负数和零。

2. 实数的性质：实数具有有序性、连续性、完备性等性质。

有序性指的是实数可以按照大小顺序排列；连续性指的是实数之间没有“空隙”；完备性则是指任何实数序列都有一个极限。

3. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数。

有理数可以表示为两个整数的比，而无理数则不能表示为分数形式。

4. 实数的运算：实数的四则运算规则与有理数相同，包括加、减、乘、除。

在进行除法运算时，需要注意除数不能为零。

5. 绝对值：实数的绝对值是指该数与零的距离，表示为非负数。

绝对值的计算公式为：|x| = x (x ≥ 0) 或 |x| = -x (x < 0)。

6. 幂运算：实数的幂运算包括正整数次幂、负整数次幂和零次幂。

正整数次幂遵循乘法规律，负整数次幂是正整数次幂的倒数，而任何非零实数的零次幂都等于1。

7. 开方：实数的开方是求一个数的平方根或立方根等，例如√x表示x的平方根。

8. 实数的数轴表示：实数可以在数轴上表示，数轴是一条直线，正数位于零的右侧，负数位于零的左侧。

9. 实数的比较：实数的大小比较遵循基本的数学规则，正数大于零，零大于所有负数。

10. 实数的应用：实数在日常生活中有广泛的应用，如物理、工程、经济等领域的计算。

通过这些复习点，我们可以更好地理解和掌握实数的概念、性质和运算规则。

在解决实际问题时，这些知识将发挥重要作用。

希望这次的复习能够帮助你巩固对实数的理解。

实数的概念与运算

实数的概念与运算实数是数学中一个非常重要的概念，它包括有理数和无理数。

在本文中，我们将详细介绍实数的概念以及实数的基本运算法则。

一、实数的概念实数是指包括正数、负数和零的全体数。

实数可以表示为有限小数、无限小数或无限不循环小数。

它们可以在数轴上表示，并且可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

实数可以用符号表示，如正数表示为“+”，负数表示为“-”，零表示为“0”。

例如，3、-2、1.5 都是实数。

二、实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加，得到它们的和。

加法运算满足以下法则：1. 结合律：对于任意实数 a、b、c，有 (a+b)+c=a+(b+c)。

2. 交换律：对于任意实数 a、b，有 a+b=b+a。

3. 零元素：对于任意实数 a，有 a+0=a。

4. 相反数：对于任意实数 a，存在一个实数 -a，使得 a+(-a)=0。

例如，对于实数 2、3 和 4，我们有 2+3+4=9，符合以上的加法运算法则。

三、实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，得到它们的差。

减法运算满足以下法则：1. 减法的定义：对于任意实数 a 和 b，a-b 可以理解为 a+(-b)。

2. 减法的法则：对于任意实数 a、b、c，有 a-(b+c)=(a-b)-c。

例如，对于实数5 和3，我们有5-3=2，符合以上的减法运算法则。

四、实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘，得到它们的积。

乘法运算满足以下法则：1. 结合律：对于任意实数 a、b、c，有 (a*b)*c=a*(b*c)。

2. 交换律：对于任意实数 a、b，有 a*b=b*a。

3. 单位元素：对于任意实数 a，有 a*1=a。

4. 零元素：对于任意实数 a，有 a*0=0。

例如，对于实数 2、3 和 4，我们有 2*3*4=24，符合以上的乘法运算法则。

五、实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数，得到它们的商。

除法运算满足以下法则：1. 除法的定义：对于任意实数 a 和 b（b≠0）， a/b 可以理解为a*(1/b)。

实数的概念和运算法则

实数的有关概念1.实数的分类：整数包括:正整数、0、负整数和分数包括:有限小数和无限环循小数都是有理数. 无限不循环小数是无理数,有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：几何意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣,代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数．a的相反数是-a,0的相反数是0.5. 5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数,()0≠a a的倒数为1.a 6.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.7.科学记数法：把一个数写成±a×10n的形式其中1≤a<10,n是整数,这种记数法叫做科学记数法.如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.8.大小比较：正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.9.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂.记作a n.10.平方根：一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根也叫做二次方根．记作()0≥±aa一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根．11.开平方：求一个数a的平方根的运算,叫做开平方．12.算术平方根：一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作a()0a.0的算术平方根是0．≥a.0≥13.立方根：一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根也叫做三次方根记作3a.正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．14.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．实数的运算15.有理数加法法则：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加,仍得这个数．16．有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数．17．有理数乘法法则：两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘；任何数与0相乘,积仍为0．18.几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负；当负因数的个数为偶数个时,积为正;19．有理数除法法则：两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．20.幂的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是正数,负数的偶次幂是正数；零的任何次幂都是零; 21实数的运算顺序：先算乘方开方,再算乘除,最后算加减；如果有括号,先算括号里面的．22．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b、为任意有理数加法结合律：a+b+c=a+b+ca, b,c为任意有理数。

实数的概念和运算

实数的概念和运算实数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将介绍实数的概念、实数的分类以及实数的基本运算。

一、实数的概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数两部分。

有理数是可表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能以有限或无限循环小数的形式精确表示。

实数的表示形式有多种，最常见的是十进制表示法，即小数形式。

实数可以表示为有限小数或无限循环小数，例如：- 有限小数：0.25、1.5、3.78- 无限循环小数：1.333...、2.71828...除了十进制表示法，实数还可以用分数形式表示，例如：- 分数形式：1/2、3/4、5/7实数的性质包括可加性、可乘性等，使其成为数学中重要的研究对象。

二、实数的分类根据实数的性质，我们可以将实数进行进一步的分类。

实数可以分为有理数和无理数。

1. 有理数有理数包括整数、分数和整数部分为0的小数。

有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且结果仍为有理数。

整数是正整数、负整数和零的集合，例如：-3、0、1、2。

整数之间的运算遵循基本的数学规则。

分数是两个整数的比值，例如：1/2、3/4、5/7。

分数之间的运算同样遵循基本的数学规则。

2. 无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们无法用分数或小数的形式精确表示。

常见的无理数有根号2、圆周率π等。

无理数与有理数的主要区别在于其十进制表示不会出现周期性循环，例如根号2的十进制表示为1.41421356...，没有规律的循环。

三、实数的基本运算实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面将依次介绍这些运算。

1. 加法实数的加法运算是指将两个实数相加，求得它们的和。

加法运算遵循交换律和结合律。

例如，将实数-2和实数3相加，得到：-2 + 3 = 12. 减法实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，求得它们的差。

减法运算不满足交换律，但满足结合律。

例如，将实数5减去实数2，得到：5 - 2 = 33. 乘法实数的乘法运算是指将两个实数相乘，求得它们的积。

实数的概念

实数的概念实数的概念是由，引出来的。

现在通常所说的实数都指复数集合上的实数。

这些具体的实数对象称作实数对象或者实数域，它们分别被称作实数集、实数域或实数环等等。

但也有少数情况下使用实数域，如只讨论平面区域的几何问题时就可以不考虑其形状和大小而仅仅考察其长度，即把实数域当作无穷大。

除了特殊需求外，人们总是试图将实数集按照某种规律划分成若干个子集，最后构造成一个完整的闭合回路。

比如：将实数集合划分为若干个连续区间(空间)，每一个连续区间(空间)都与原实数集合相交于一点，然后建立起闭合区间(空间)与开放区间(空间)之间的联系，从而得到全新的实数集；或者根据需要将实数域拓展到某个方向，扩充实数集的应用范围，产生新的性质等等。

有些情况下我们还会遇到多个区间(空间)的情况，此时可能很难找到简单明确且能表示各个区间(空间)特征的元素，因此人们又设想建立一个全新的元素---实数系，用它来代替原实数集中的元素。

同样，实数系也必须是闭合的。

但事实证明，这两条途径是走不通的。

经过许多学者的研究探索，目前人们已经认识到：所谓实数集的闭合性质并非绝对的，更重要的是它的一般化性质。

从某种意义上讲，区间(空间)的“结合律”才是唯一的，也是正确的。

至于拓扑结构，则早已发展成为独立的学科——拓扑学，而不再作为函数、微积分、群等数学内容的辅助工具了。

为什么要引入无理数呢?第一个原因是近代数学的需要。

众所周知，19世纪末20世纪初，人们认识到三角函数和对数运算具有极值性质，但没有证明或反例。

直到1903年，大数学家高斯才创立了极值定理和函数的单调性定理，这才证明了三角函数和对数运算的极值存在性。

在1904年，德国数学家希尔伯特首先提出著名的希尔伯特第二问题：实数域上是否存在连续函数?直接推动了实数系的建立，标志着实数域上连续函数的严格刻画。

随后，柯西利用有限差数列研究函数的连续性获得突破性进展。

一、基本概念。

实数的概念是由引出来的。

实数是谁总结的知识点

实数是谁总结的知识点一、实数的概念实数是包含有理数和无理数的数集。

有理数包括整数和分数，可以通过有限个整数的加减乘除运算得到；无理数是不能表示为两个整数的比例的数，如根号2、圆周率π等。

实数在数轴上连续分布，能够表示所有的物理量和抽象概念。

二、实数的性质1.实数的稠密性：对于任意两个实数a和b(a<b)，总存在一个有理数r，使得a<r<b。

这意味着在任意两个实数之间，总存在有理数和无理数。

2.实数的无限性：实数集合是无限的，包括无穷大和无穷小。

3.实数的有序性：实数集合中的数可以按大小排列，符号为正的实数比符号为负的实数要大。

4.实数的封闭性：实数集合对加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个实数的和、差、积、商仍然是实数。

三、实数的运算1.加法：实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

2.减法：实数的减法是加法的逆运算，a-b=a+(-b)。

3.乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

4.除法：实数的除法是乘法的逆运算，a/b=a×(1/b)。

四、实数的绝对值1.绝对值的概念：实数a的绝对值记作|a|，表示a到0的距离。

如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。

2.绝对值的性质：|ab|=|a|×|b|； |a/b|=|a|/|b|。

五、实数的代数运算1.分式的乘法和除法：两个分式的乘法是将它们的分子相乘，分母相乘；两个分式的除法是将被除数乘以除数的倒数。

2.分式的加法和减法：两个分式的加法是通分后将分子相加，分母不变；两个分式的减法是通分后将分子相减，分母不变。

六、实数的平方根1.平方根的概念：实数a的平方根是一个实数x，使得x^2=a。

平方根记作√a。

2.平方根的性质：正数的平方根是正数或零；负数的平方根是虚数。

七、实数的测量1.度量的概念：实数可以用来表示长度、面积、体积、质量、时间等各种度量单位。

2.度量的换算：在不同的度量单位之间可以进行换算，如米和千米、克和千克、秒和小时等。