自主招生(初中数学)试卷(含解析)

2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（）A．1B．2C．3D．﹣22．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝03．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（）A．﹣＝4B．﹣＝4C．﹣＝4D．﹣＝45．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）A．B．C．D．6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（）A．6米B．6米C．5米D．12米7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB 于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π9．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是（）A．5或6B．5或7C．4或5或6D．5或6或710．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1）、B（0，﹣2）、C（1.0），点P（0，2）绕点A旋转180得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（0，4）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11．若实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则2a3﹣7a2+4a﹣2018＝12．学校“百变魔方”社团准备购买A、B两种魔方．已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同，则购买一套魔方（A、B两种魔方各1个）需元．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，函数y ＝2x 的图象与CB 交于点D ，函数y ＝（k 为常数，k ≠0）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数y ＝2x 的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ，则△AEF 的面积为 ．14．如图，已平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆于点F ，连接CF ，若半圆O 的半径为12，则阴影部分的周长为 ．15．庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1＝+++…++…．图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n ﹣2C n ﹣1∁n 、…．假设AC ＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ．三、解答题（共7道题，合计65分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16．（7分）先简化，再求值：（），其中x＝2，y＝．17．（8分）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长103%；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：（1）请根据统计图解答下列问题：①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是亿元．②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率（精确到1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识．（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）18．（9分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？19．（9分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．20．（10分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？21．（10分）（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．22．（12分）如图，抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO＝∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1．【分析】根据数轴上A点的位置得出a表示的数，利用绝对值的意义计算．【解答】解：根据数轴得：a＝﹣2，∴|a﹣1|＝|﹣2﹣1|＝|﹣3|＝3，故选：C．【点评】此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键．2．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣2）2﹣4k•（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n＝11时的芍药的数量．【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n＝11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4＝4+（22﹣1）×4＝4+21×4＝4+84＝88，故选：B．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．4．【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：﹣＝4．故选：D．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．【解答】解：因为该做水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．6．【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝6m，∴AC＝＝5（m）；在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AD＝＝10（m）；在Rt△DEA中，∠EAD＝60°，DE＝AD•sin60°＝5，答：树DE的高为5米．故选：C．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．7．【分析】A、将人数进行相加，即可得出结论A正确；B、由种植4棵的人数最多，可得出结论B 正确；C、由4+10＝14，可得出每人植树量数列中第15、16个数为5，即结论C正确；D、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D错误．此题得解．【解答】解：A、∵4+10+8+6+2＝30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选：D．【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．8．【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD＝CB＝2，∴S阴影＝S矩形﹣S半圆＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大．9．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个小立方体．10．【分析】画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），发现6次一个循环，∵2018÷6＝336…2，∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2018（2，﹣4），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11．【分析】由题意可得a2＝2a+1，代入代数式可求值．【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0∴a2＝2a+1∴2a3﹣7a2+4a﹣2018＝2a（2a+1）﹣7（2a+1）+4a﹣2018＝4a2+2a﹣14a﹣7+4a﹣2018＝4（2a+1）﹣8a﹣2025＝﹣2021故答案为：﹣2021【点评】本题考查了代数式求值，个体代入是本题的关键．12．【分析】设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据题意得：，解得：．答：购买一套魔方（A、B两种魔方各1个）需35元．故答案为：35．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组．13．【分析】根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点D的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到E、F两点的坐标，过点F作FG⊥AB，与AB的延长线交于点G，根据两点间的距离公式可求AE＝1，FG＝3，再根据三角形面积公式可求△AEF的面积．【解答】解：∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y＝2，将y＝2代入y＝2x，得x＝1，∴点D的坐标为（1，2），∵函数y＝的图象经过点D，∴2＝，解得k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝，∴E（2，1），F（﹣1，﹣2）；过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G，∵E（2，1），F（﹣1，﹣2），∴AE＝1，FG＝2﹣（﹣1）＝3，∴△AEF的面积为：AE•FG＝×1×3＝，故答案为．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是求得D、E、F点的坐标．14．【分析】根据菱形的判定定理得到四边形OABC为菱形，得到∴△COF为等边三角形，求出∠OCF＝60°，根据弧长公式求出的长，根据直角三角形的性质求出EF、CE，得到答案．【解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，∴四边形OABC为菱形，∴BA＝BC，∴∠CFA＝∠COA，∵BC∥AF，∴∠A＝∠CFA，∴∠A＝∠COA，又∠A+∠COA＝180°，∴∠A＝60°，∴∠COF＝60°，∴△COF为等边三角形，∴∠OCF＝60°，∴的长＝＝4π，∵CD⊥AB，∠BDC＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ECO＝90°，又∠COE＝60°，∴∠E＝30°，∴OE＝2OC＝24，∴EF＝12，EC＝＝12，∴阴影部分的周长＝12+12+4π，故答案为：12+12+4π．【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l＝是解题的关键．15．【分析】先根据AC＝2，∠B＝30°，CC1⊥AB，求得S＝；进而得到＝△ACC1×，＝×（）2，＝×（）3，根据规律可知＝×（）n﹣1，再根据S＝AC×BC＝×2×2＝2，即可得到等式．△ABC【解答】解：如图2，∵AC＝2，∠B＝30°，CC1⊥AB，∴Rt△ACC1中，∠ACC1＝30°，且BC＝2，∴AC1＝AC＝1，CC1＝AC1＝，＝•AC1•CC1＝×1×＝；∴S△ACC1∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2＝∠ACC1＝30°，∴CC2＝CC1＝，C1C2＝CC2＝，∴＝•CC2•C1C2＝××＝×，同理可得，＝×（）2，＝×（）3，…∴＝×（）n﹣1，又∵S＝AC×BC＝×2×2＝2，△ABC∴2＝+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…∴2＝．故答案为：2＝．【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题（共7道题，合计65分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝﹣，当x＝2，y＝时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．【分析】（1）根据图表将2016年七个重点领域的交易额从小到大罗列出来，根据中位数的定义即可得；（2）将（2016年的资金﹣2015年的资金）÷2015年的资金可分别求得两领域的增长率，结合增长率提出合理的认识即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）由图可知，2016年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、2038、3300、7233、20863，2016年交易额的中位数是2038亿元，故答案为：2038；（2）“知识技能”的增长率为：×100%＝205%，“资金”的增长率为：≈109%，由此可知，“知识技能”领域交易额较小，其增长率最高，达到200%以上，其发展速度惊人．（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．【点评】本题主要考查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．18．【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）根据题意结合每周获得的利润W＝销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意，由利润不低于5200元列出不等式，进一步得到销售量的取值范围，从而求出答案．【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+160；（2）依题意有：W＝（80﹣50﹣x）（10x+160）＝﹣10（x﹣7）2+5290，因为x为偶数，所以当销售单价定为80﹣6＝74元或80﹣8＝72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50＝10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每个的利润＝W得出函数关系式是解题关键．19．【分析】（1）结论：AC＝AD+AB，只要证明AD＝AC，AB＝AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【解答】解：（1）AC＝AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝90°，∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵∠B＝90°，∴，同理．∴AC＝AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＝∠BCE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵CA＝CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD＝BE，∴AC＝AD+AB．（3）结论：．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B＝180°，∠DAB＝90°，∴DCB＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∴∠E＝45°．∴AC＝CE．又∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD＝BE，∴AD+AB＝AE．在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴，∴．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100﹣x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100﹣x）≤7500 解得：x≤75答：甲种服装最多购进75件．（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，W＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，w随x的增大而增大，所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减小，所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用x 表示出利润是关键．21．【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论．【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．22．【分析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO＝∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF＝90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD＝90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．【解答】方法一：（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y＝0，得（x﹣3）2﹣1＝0，解得：x1＝3+，x2＝3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD＝3．令x＝0，得y＝，∴C（0，）．∴CG＝OC+OG＝+1＝，∴tan∠DCG＝．设对称轴交x轴于点M，则OM＝3，DM＝1，AM＝3﹣（3﹣）＝．由OE⊥CD，易知∠EOM＝∠DCG．∴tan∠EOM＝tan∠DCG＝＝，解得EM＝2，∴DE＝EM+DM＝3．在Rt△AEM中，AM＝，EM＝2，由勾股定理得：AE＝；在Rt△ADM中，AM＝，DM＝1，由勾股定理得：AD＝．∵AE2+AD2＝6+3＝9＝DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD＝90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH＝90°，∠ADC+∠AFD＝90°，∠EFH＝∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO＝∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y＝（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2＝2y+2．∴EP2＝2y+2+（y﹣2）2＝（y﹣1）2+5当y＝1时，EP2有最小值，最小值为5．将y＝1代入y＝（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1＝1，解得：x1＝1，x2＝5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去．∴P（5，1）．∵△EQ2P为直角三角形，∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．由切割线定理得到Q2P＝Q1P＝2，EQ2＝1设点Q2的坐标为（m，n）则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2＝1①，（5﹣m）2+（n ﹣1）2＝4②①﹣②得n＝2m﹣5③将③代入到①得到m1＝3（舍，为Q1）m2＝再将m＝代入③得n＝，∴Q2（，）此时点Q坐标为（3，1）或（，）．方法二：（1）略．（2）∵C（0，），D（3，﹣1），∴KCD＝，∵OE⊥CD，∴K CD×K OE＝﹣1，∴K OE＝，∴l OE：y＝x，把x＝3代入，得y＝2，∴E（3，2），∵A（3﹣，0），D（3，﹣1），∴K EA＝＝，∵K AD＝，∴K EA×K AD＝﹣1，∴EA⊥AD，∠EHD＝∠EAD，∵∠EFH＝∠AFD，∴∠AEO＝∠ADC．（3）由⊙E的半径为1，得PQ2＝EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，设点P坐标为（x，y），EP2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，∵y＝（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2＝2y+2，∴EP2＝2y+2+（y﹣2）2＝（y﹣1）2+5，∴当y＝1时，EP2有最小值，将y＝1代入y＝（x﹣3）2﹣1得：x1＝1，x2＝5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1＝1舍去，∴P（5，1），显然Q1（3，1），∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足为H，∴K Q1Q2×K EP＝﹣1，∴K EP＝＝﹣，K Q1Q2＝2，∵Q1（3，1），∴l Q1Q2：y＝2x﹣5，∵l EP：y＝﹣x+，∴x＝，y＝，∴H（，），∵H为Q1Q2的中点，∴H x＝，H Y＝，∴Q2（x）＝2×﹣3＝，Q2（Y）＝2×﹣1＝，∴Q2（，）．【点评】本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．。