河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-4指数与指数函数试题
河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《圆的方程新》试题含答案
1。
（2011·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2）的圆的方程为( ）A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．（x－1）2＋(y－3）2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1[答案］A[解析］设圆心坐标为(0,b),则由题意知错误!＝1，解得b＝2,故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．(文）(2011·广东文,8）设圆C与圆x2＋（y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切,则圆C的圆心轨迹为( )A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆[答案] A[解析] 动圆圆心C到定点（0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A。
(理）（2011·广州模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B（3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3）2＋y2＝1C．（2x－3)2＋4y2＝1 D．（x＋错误!）2＋y2＝错误![答案］C［解析] 设中点M(x，y)，则点A(2x－3,2y），∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3）2＋(2y)2＝1,即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.3．方程（x2＋y2－4)错误!＝0表示的曲线形状是( ）[答案］C[解析] 注意到方程(x2＋y2－4)错误!＝0等价于①错误!或②x＋y＋1＝0。
①表示的是不在直线x＋y＋1＝0的左下方且在圆x2＋y2＝4上的部分；②表示的是直线x＋y＋1＝0。
因此，结合各选项知，选C。
4．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b,则a＋b＝（）A。
错误!B。
错误!C.65D．5[答案] B[解析] 圆心C（1，1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝错误!，∴a ＋b＝错误!＋错误!＝错误!（r为圆的半径）．5．(2012·福州八县联考)已知函数f(x）＝错误!，x∈［1,2]，对于满足1〈x1〈x2<2的任意x1、x2，给出下列结论：①f（x2)－f（x1）〉x2－x1；②x2f(x1）>x1f（x2)；③(x2－x1)［f(x2）－f（x1)］<0；④(x2－x1）[f(x2）－f（x1）]>0.其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案］B［解析] 曲线y＝错误!，x∈[1，2]表示圆（x－1）2＋y2＝1,位于直线x＝1右侧x轴上方的四分之一个圆，∵1〈x1〈x2〈2，∴f(x1）〉f（x2)．因此，(f(x2)－f（x1))（x2－x1)<0，④错,③对；显然有k OA>k OB，∴错误!〉错误!,∴x2f(x1）>x1f（x2），故②正确；又k AB＝错误!〈0,可能有k AB<－1，也可能k AB>－1,∴①错．6．（文)（2011·日照模拟）圆心在曲线y＝错误!(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A．（x－1)2＋（y－3)2＝(错误!)2B．(x－3)2＋(y－1)2＝（错误!)2C．(x－2)2＋(y－错误!）2＝9D．(x－错误!）2＋(y－错误!)2＝9[答案] C［解析］设圆心坐标为（a，错误!）(a〉0）,则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝错误!＝错误!(a＋错误!＋1)≥错误!（4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．此时圆心坐标为（2，错误!），半径为3,故所求圆的方程为（x－2）2＋(y－错误!)2＝9。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-7解三角形应用举例》试题 新人教A 版1.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a B.3a C.2a D ．2a[答案] B[解析] 由余弦定理可知，AB 2＝a 2＋a 2－2a ·a ·cos120°＝3a 2，得AB ＝3a ，故选B.2．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶D 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32m C ．20(1＋3)m D ．30m[答案] A[解析] 如图所示，四边形CBMD 为正方形，而CB ＝20m ，所以BM ＝20m. 又在Rt △AMD 中，DM ＝20m ，∠ADM ＝30°，∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)，∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20＝20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m.3．(2012·东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mileB ．53n mileC ．10n mileD ．103n mile[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．4．一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102n mileB ．103n mileC ．202n mileD ．203n mile[答案] A[解析] 如图，由条件可知△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，∠ACB ＝45°，由正弦定理得BC sin30°＝20sin45°，∴BC ＝102，故选A.5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案] C[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝100s in15°－＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBDCD＝6－250＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.6.如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5n mileB ．23n mile C.13n mile D ．32n mile[答案] C[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257 [答案] A [解析]如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案] 30 2[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．9．(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.[答案]1063[解析] 由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°，∴x ＝1063.(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．[答案]32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin ∠ORP ，在△ORQ中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.10．(文)(2011·广东江门市模拟)如图，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距680km 的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B 处．已知sin θ＝513.(1)求tan C ；(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.(参考数据：2＝1.414，3＝1.732) [解析] (1)因为sin θ＝513，θ是锐角，所以cos θ＝1213，所以tan θ＝512，tan C ＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°) ＝－tan θ＋tan45°1－tan θ·tan45°＝－512＋11－512×1＝－177.(2)sin C ＝sin(θ＋45°)＝17226， 由正弦定理AB sin C ＝AC sin45°＝BCsin θ得，AC ＝ABsin C×sin45°＝520，BC ＝2002， 新的飞行路程比原路程多AC ＋BC －AB ＝520＋2002－680＝122.8(km)．(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．[解析] 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮.能力拓展提升11.设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2 D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. 12．如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan2C 2＝43＝AH CH ，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AH BH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2c ＝AH ＝2x,2a ＝AB －BH＝(5－1)x ，∴e ＝c a＝25－1＝5＋12，故选A. 13．△ABC 的周长是20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长等于________． [答案] 7[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20， ①12bc sin60°＝103， ②cos60°＝b 2＋c 2－a22bc， ③由③得b 2＋c 2－a 2＝bc ，结合①知 (20－a )2－2cb －a 2＝bc ④又由②得bc ＝40，代入④得a ＝7.14.如图所示，海中小岛A 周围38n mile 内有暗礁，一轮船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30n mile 后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解析] 在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°，∴∠BAC ＝15°.由正弦定理知BC sin A ＝ACsin B ，即30sin15°＝ACsin30°.AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(n mile)． 于是，A 到BC 所在直线的距离为：AC sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(n mile)． 它大于38n mile ，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．15．(2011·辽宁文，17)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[解析] (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理知c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 16.货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，问货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离．[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°，∠BAC ＝45°，根据正弦定理，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ， AC ＝BC ·sin∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin30°sin45°＝102， 货轮到达C 点时与灯塔的距离是102km.1．(2011·辽宁铁岭六校联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是( )A ．f (sin α)>f (cos β)B ．f (sin α)<f (cos β)C ．f (sin α)＝f (cos β)D ．f (sin α)与f (cos β)的大小关系不确定[答案] A[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2，∵f (x )在[－3，－2]上是减函数，∴f (x )在[－1,0]上是减函数，∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上是增函数，∵α、β是锐角三角形内角，∴π2<α＋β<π，∴π2>α>π2－β>0，∴1>sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β>0， ∴f (sin α)>f (cos β)．2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为________．[答案] 1665[解析] 作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 3．(2011·广东肇庆模拟)在△ABC 中，B ＝π3，且BA →·BC →＝43，则△ABC 的面积是________．[答案] 6[解析] 由已知得BA →·BC →＝ac cos π3＝43， 所以ac ＝83，所以△ABC 的面积 S ＝12ac sin B ＝12×83×32＝6. 4．(2011·温州五校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知点D是BC 边的中点，且AD →·BC →＝12(a 2－3ac )，则角B ＝________. [答案] 30° [解析] ∵AD →·BC →＝(BD →－BA →)·BC →＝BD →·BC →－BA →·BC → ＝a 2·a －a ·c ·cos B ＝12a 2－ac ·cos B ， 又AD →·BC →＝12(a 2－3ac )， ∴cos B ＝32，∴B ＝30°. 5．(2011·茂名期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6.如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析]由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得，DBsin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝＋3sin105° ＝＋3sin45°·cos60°＋sin60°·cos45° ＝533＋3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1h.。
河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《二项式定理(理)新》试题含答案
1.（2011·北京模拟)(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝（）A．3 B．4 C．5 D．6［答案] D［解析］T r＋1＝C r n(x2）n－r·（－1 x）r＝(－1）r·C错误!x2n－3r,令2n－3r＝0得,r＝错误!,∴n能被3整除，结合选项，当n＝3时，r＝2，此时常数项为(－1)2·C23＝3,不合题意，当n＝6时,r＝4,常数项为(－1)4C错误!＝15,∴选D.2．(2012·东北三校二模)在(x＋错误!)30的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )A．4项B．5项C．6项D．7项［答案］C[解析］展开式的通项T r＋1＝C错误!（错误!)30－r·(错误!)r＝C错误!x错误!,∵错误!是整数，0≤r≤30,且90能被6整除，∴r能被6整除，∴r＝0,6，12，18，24,30时,x的幂指数是整数，故选C。
3．（2012·湖北，5）设a∈Z，且0≤a〈13，若512012＋a能被13整除，则a＝( ）A．0 B．1C．11 D．12[答案］A［解析] 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C错误!522012－C错误!522011＋C错误!522010＋…＋C2011×52×（－1)2011＋C20122012×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a＝201212。
4．(2012·天津理,5）在(2x2－错误!)5的二项展开式中,x的系数为（）A．10 B．－10 C．40 D．－40［答案] D[解析］本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．（2x2－错误!)5的展开式的通项为T r＋1＝C错误!（2x2）5－r（－错误!）r＝C错误!25－r（－1）r x10－3 r，令10.3r＝1得，r＝3，∴T4＝C错误!22（－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40。
河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《2-3函数的奇偶性与周期性》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《2-3函数的奇偶性与周期性》试题 新人教A 版1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( )A ．－1 B.114 C ．1 D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ． 3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)函数f (x )(x ∈R )是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2014)的值为( ) A ．a B ．－a C ．0 D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2014)＝f (671×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T2B ．0 C.T2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T 2)＝0，∴f (－T2)＝0.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )[答案] C[解析] 函数f (x )＝ln(x ＋1)的图象由f (x )＝ln x 的图象向左平移1个单位得到，选取x >0的部分，然后作关于y 轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－f x，则f (2013)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．－3－ 3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－fx ＋＝1－－1f x＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.f (2013)＝f (335×6＋3)＝f (3)，而f (3)＝f (0＋3)＝－1f＝－12－3＝－2－ 3.6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( ) A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)， ∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27， 0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0. (理)(2011·湖南文)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. [答案] 6[解析] 由g (x )＝f (x )＋9知g (－2)＝f (－2)＋9＝3， ∴f (－2)＝－6，而由于f (x )是奇函数， 所以f (2)＝－f (－2)＝－(－6)＝6.8．(文)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R )是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝0. ∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.[点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lga ＋x ＋a1＋x为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－a a ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]2π3[解析] ∵f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)．∴f (x )＋f ′(x )＝sin(3x ＋φ)＋3cos(3x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )．又∵0<φ<π，∴k ＝1时，φ＝2π3.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且 f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由题意知f (x )<0的解为x >12或x <－12，∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14 x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈ (0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a ＝0，解得a ＝2. (2)∵y ＝2x－12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y 1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋＋t －2≤0，22－t ＋＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．[解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数， ∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227.能力拓展提升11.(文)(2011·泰安模拟) f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．(理)(2012·东北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝－f (x )，且当x ∈[0,1]时有f (x )＝－x 2＋1，当x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2，f (x )＝0在[－1,5]上有5个根x i (i ＝1,2,3,4,5)，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [答案] D[解析] ∵f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∵x ∈[0,1]时，f (x )＝－x 2＋1， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 2＋1， 即x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1， 又x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2， ∴x ∈[－2，－1)时，f (x )＝－x －2，∴x ∈[2,3)时，f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－2＝2－x .从而可知在[－1,5]上有f (－1)＝0， f (1)＝0，f (2)＝0，f (3)＝0，f (5)＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝10，故选D.12．(2012·河南洛阳统考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，∴当x∈(－∞，0)时，f (x )＝－lg(－x )，且f (0)＝0，∴f (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－－x ，解得x >1或－1<x <0.13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)< f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．若函数f (x )＝a －e x1＋aex (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x＋a f (x )＋f (－x )＝a －e xa ＋e x ＋＋ae xae x －＋aexe x ＋a＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1＋ae xe x ＋a＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； ∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x为增函数，y ＝－1ex 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )，∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x . 由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log ax 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)； 当0<a <1时，log ax 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)， ∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x ) D ．f (x )＝ln 2－x 2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.3．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |) [答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与f (x )的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ， x <0，f －x ， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D. 4．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x x ⊕－2( ) A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2， ∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.5．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《5-1平面向量的概念与线性运算》试题 新人教A版 2
→→ →
AB AD AC
→→
AB DC
→→
DB AC
又( － )· ＝0，∴ · ＝0，即 AC⊥BD，
因此四边形 ABCD 是菱形，故选 B.
→→
AB CD
B．菱形
D．正方形
→ 1→ → → → →
BD DC AE ED AB AC
3．(文)如图所示，在△ABC 中， ＝2 ， ＝3 ，若 ＝a， ＝b，则 等于 ( )
→→ AO OD C. ＝3
[答案] A
→→ → OB OC OD [解析] ∵ ＋ ＝2 ，
→→
OA OD
∴2 ＋2 ＝0，∴ ＝ .
→→
AO OD
→→→ MA MB MC (理)(2012·珠海调研)已知△ABC 及其平面内点 M 满足 ＋ ＋ ＝0，若存在实数 m 使
→→ → AB AC AM 得 ＋ ＝m 成立，则 m 等于( )
12 B.3a＋3b
21 D.3a＋3b
B.2
D．2
B.2
D.3
1
1
1
-3-
→ → → → 2→ CD CA AD CA AB [解析] ＝ ＋ ＝ ＋3
→ 2 → → 1→ 2→ CA CB CA CA CB ＝ ＋3( － )＝3 ＋3 ，
1
∴λ＝3，μ＝3，∴λ＝2.
2μ
→ → 1→ 1 OM OA OB (理)(2011·厦门模拟)已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O， ＝x ＋2 ＋3
→→→
MA MB MC
∵ ＋ ＋ ＝0，∴(m－2) ＝ ，∴m＝3.
→→
AM AM
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据护过生高管产中线工资0不艺料仅高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时各卷，类调需管控要路试在习验最题；大到对限位设度。备内在进来管行确路调保敷整机设使组过其高程在中1正资中常料，工试要况卷加下安强与全看过，25度并52工且22作尽护下可1关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术5写、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高调、动敷中试电作设资高气，技料中课并术3试资件且、中卷料中拒管包试试调绝路含验卷试动敷线方技作设槽案术，技、以来术管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《1-1集合》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学闯关密练特训《1-1集合》试题新人教A版河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学闯关密练特训《1-1集合》试题新人教A版1.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝12x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2}C．{1,3} D．{2,4}[答案] B[解析]B＝{y|y＝12x，x∈A}＝{12，1，32，2}，∴A∩B＝{1,2}．2．(2011·成都五校联考)设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{x|y＝1－xx}，则“x∈M”是“x∈N”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]M＝(0,1)，N＝(0,1]，∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，故选A.3．(文)(2011·湖北文，1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案] A[解析]∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A ∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U(A∪B)＝{6,8}．(理)(2011·北京宣武模拟)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析]U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,5}，故选C.4．(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是( )A．加法B．除法C．乘法D．减法[答案] C[解析]因为M⊆P，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.5．(文)设集合A＝{a，b}，则满足A∪B＝{a，b，c，d}的所有集合B的个数是( )A．1 B．4 C．8 D．16[答案] B[解析]集合B中必有元素c、d，由含元素a、b的个数知，这样的集合B共有22＝4个．(理)已知集合P∩Q＝{a，b}，P∪Q＝{a、b、c，d}，则符合条件的不同集合P，Q有( ) A．3对B．4对C．5对D．6对[答案] B[解析]根据交集、并集的概念知，集合P，Q中都必有元素a，b，然后逐一选择元素c，d与元素a，b构成不同的集合P，Q.集合P，Q分别为：①{a，b}和{a、b、c，d}；②{a、b、c}和{a，b，d}；③{a，b，d}和{a、b、c}；④{a、b、c，d}和{a，b}，共4对．故选B.[点评] P＝{a，b}，Q＝{a、b、c，d}与P ＝{a、b、c，d}，Q＝{a，b}是不同的．6．集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cos x，x ∈A}，则A∩B＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}[答案] B [解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}，∴A ∩B ＝{1}．7．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则集合M ∩N ＝________.[答案] {(3，－1)}[解析] 由于M ∩N 中元素既属于M 又属于N ，故其满足⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解之得x ＝3，y ＝－1.8．(文)已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤1[解析] 因为A ∪B ＝R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以a ≤1.(理)已知集合A＝{x|log 12x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.[答案]0[解析]A＝{x|0<x≤18}，∵A⊆B，∴a≤0，∴c＝0.9．(2011·台州模拟)设集合A＝{5，log2(a ＋3)}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B ＝________.[答案]{1,2,5}[解析]∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2，∴a＝1，∴b＝2，∴B＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,5}．10．(文)已知全集U＝R，集合A＝{x|log2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}． (1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B . [解析] (1)由已知得log 2(3－x )≤log 24， ∴⎩⎨⎧ 3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，∴A ＝{x |－1≤x <3}．由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0， 解得－2<x ≤3.∴B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}． 故(∁U A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}．(理)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*) 由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233. 因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1，而x ∈N *.故a ≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意．故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅，此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}.能力拓展提升11.(文)定义集合A 、B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为( ) A．9 B．14 C．18 D．21 [答案] B[解析]A*B中所有元素为2,3,4,5.∴和为14.(理)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x ∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，则A×B等于( )A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)[答案] A[解析]由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B ＝[0,2]．所以A×B＝(2，＋∞)．12．(文)(2011·北京理，1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案] C[解析]P＝{x|－1≤x≤1}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，即a∈{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.(理)已知集合S＝{3，a}，T＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，S∩T＝{1}，P＝S∪T，那么集合P的子集个数是( )A．32 B．16C．8 D．4[答案] C[解析]因为T＝{x|0<x<3，x∈Z}＝{1,2}，又S∩T＝{1}，所以a＝1，∴S＝{1,3}，则P＝S∪T＝{1,2,3}，∴集合P的子集有23＝8个，故选C.13．(文)集合A＝{x|log2(x＋12)<0}，函数y＝x －2的单调递增区间是集合B ，则在集合A 中任取一个元素x ，x ∈B 的概率是________．[答案] 12[解析] A ＝{x |log 2(x ＋12)<0}＝{x |－12<x <12}，因为函数y ＝x －2的单调递增区间是集合B ，所以B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝(－12，0)．在集合A 中任取一个元素x ，若x ∈B ，则x∈(A ∩B )，故所求概率P ＝0－－1212－－12＝12. (理)在集合M ＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x ∈A ，有1x∈A ”的概率是________．[答案]3 31[解析]集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，有1x∈A”的集合A中的元素为1或12、2，且12、2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，12，2}．因此，所求的概率为3 31.14．已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件：A∩B＝{1,2}，A∩(∁U B)＝{3}，U＝R，则a＋b等于________．[答案] 1[解析]依题意得1∈A,2∈A,3∈A，因此，2和3是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，所以2＋3＝－a,2×3＝b，∴a＝－5，b＝6.∴a ＋b ＝1.15．已知集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． [解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝－32－8a <0，∴a >98，即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素43，∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥98}．16．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)问是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A 是B 的子集？若存在，求a ；若不存在，说明理由；(2)若A 是B 的子集成立，求出对应的实数对(a，b)?[解析](1)A＝{4＋a，a－4}，要使得对任意实数b，都有A⊆B，只能是A⊆{1,2}，但A中两元素之差(4＋a)－(a－4)＝8≠2－1，故这样的实数a不存在．(2)若A是B的子集成立，则必有|b－1|＝8或|b－2|＝8，解得b＝－7,9，－6,10.当b＝－7时，a＝－3；当b＝9时，a＝5；当b＝－6时，a＝－2；当b＝10时，a＝6.即对应的实数对(a，b)为(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．1．全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2}，N ＝{2,4}，则下面结论错误的是( )A．M∩N＝{2} B．∁U M＝{3,4}C．M∪N＝{1,2,4} D．M∩∁U N＝{1,2,3}[答案] D[解析]∵∁U N＝{1,3}，∴M∩∁U N＝{1}，故D错，由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确．2．(2011·马鞍山期末)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于( )A．{1,3,5} B．{2,4,6}C．{1,5} D．{1,6}[答案] D[解析]由已知得M∪N＝{2,3,4,5}，则∁U(M ∪N)＝{1,6}．故选D.3．(2011·山东文，1)设集合M＝{x|(x＋3)(x －2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( ) A．[1,2) B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][答案] A[解析]由(x＋3)(x－2)<0知－3<x<2，所以M∩N＝[1,2)，解答此题要特别注意区间端点能否取到．4．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝( )A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．[0，＋∞) D．[0,1][答案] C[解析]M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y2＝x与y＝x2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N 的代表元素是什么，以确定集合M∩N中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A.5．设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案] B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．6．已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y ∈R}，那么M∩N中( )A．有两个元素B．有一个元素C．一个元素也没有D．必含无数个元素[答案] A[解析]y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x 轴垂直的直线即x＝1.x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，∴直线与圆有两个交点，故选A.7．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案] 2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.考虑到教师工作繁忙，备课批改作业辅导学生占用大量时间，为节省教师找题选题的时间，也考虑到不同地区用题难易的差别，本书教师用书中提供了部分备选题，供教师在备课时，根据自己所教班的实际情况选用．。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-1角的概念的推广与任意角的三角函数》
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《4-1角的概念的推广与任意角的三角函数》试题 新人教A 版1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B. (理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可．由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23π D.53π [答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32，sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( ) A ．3B ．－3C ．3－π2D.π2－3 [答案] C[解析] ∵π2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限，∴tan α＝－cos3sin3＝sin3－π2cos3－π2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2，∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2.3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.4．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16B.16C.718D ．－1[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43，∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16.5．(文)设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( ) A ．0<θ<3π4B ．0<θ<π4或3π4<θ<πC.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4[答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2，即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π，∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，如图，使sin α>cos α的角α终边在直线y ＝x 上方，使tan α>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.6．(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22C ．－1D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b2＝cos2k π＝1.7．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.8．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. [答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y ＝±8， 又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.9．(文)(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值为________．[答案] －13[解析] cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.(理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α，35，则cos α－sin α＝________.[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75.10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值； (2)求|BC |2的取值范围．[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， ∴tan α＝43，∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)，∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)．而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π2)．∴α＋π3∈(π2，5π6)，∴cos(α＋π3)∈(－32，0)．∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角， 又∵sin α2≤0，∴α2是第三象限角，故选C.(理)若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2[答案] A[解析] ∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0， 当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.12．(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析]解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限． 解法2：∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0.∵π2<θ－π4<π，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a ＝sin(cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] C[解析] 注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝cos(－12)＝cos 12>0，d ＝cos(－32)＝cos32>0，∴c >d ，因此选C. [点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．13．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．[答案] －4[解析] r ＝32＋m 2＝m 2＋9， 依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9， ∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去．故m ＝－4.14．(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；(2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tan α>tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ2>0；(4)若sin x ＋cos x ＝－75，则tan x <0.其中正确命题的序号为________． [答案] (3)[解析] (1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝25＝255； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝－25＝－255，故(1)错误．(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝33，tan β＝3，故tan α>tan β不成立，(2)错误．(3)∵θ是第二象限角，∴sin θ2cos θ2＝12sin θ>0，∴(3)正确．(4)由sin x ＋cos x ＝－75<－1可知x 为第三象限角，故tan x >0，(4)不正确．(理)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45.[点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝－45.15．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值． [解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 16．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积． [解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ，∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π，∴圆锥的高h ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝5π2－1π，V ＝13πR 2h ＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2－1π＝125π2－13π2.1．(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2[答案] C[解析] 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R . ∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y ＝log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340 [答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cosn π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.5．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． [解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-4定积分与微积分基本定理理》试题 新人教A版 2
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-4定积分与微积分基本定理理》试题 新人教A 版1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4 B.12 C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解析] (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x ) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(ax －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sinπ2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x＝(x ln x －x )|e1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x－1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t－1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t－1－e x＋1)d x ＋⎠⎛t 1(e x－1－e t＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t－e x)d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析]f (x )d x ＝sin 5x d x ＋1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x5－r(－2x)r＝(－2)r C r5x 5－3r2，令5－3r2＝2，得r＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.。
河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《离散型随机变量及其概率分布(理)新》试题含答案
1。
设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P（X〈4)＝0。
3，那么( ）A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9[答案] C［解析] ∵P(X<4）＝P（X＝1)＋P（X＝2)＋P(X＝3）＝错误!＝0。
3,∴n＝10.2．(2011·广州模拟）甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0。
6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A．0.12 B．0.42C．0.46 D．0.88[答案］D[解析］P＝1－(1－0。
6）×（1－0。
7）＝0。
88.3．(2011·潍坊质检）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为错误!，则甲以31的比分获胜的概率为( )A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误![答案] A[解析］设甲胜为事件A,则P(A）＝错误!，P（错误!）＝错误!,∵甲以31的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为p＝C错误!·（错误!)2·错误!·错误!＝错误!.4．在15个村庄中有是7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于错误!的是( ）A．P（X＝2）B．P(X≤2)C．P（X＝4) D．P(X≤4)［答案] C［解析] C错误!C错误!表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P(X＝4)＝错误!。
5．（2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0。
6和0。
5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为（）A．0。
45 B．0.6C．0。
65 D．0.75[答案］D［解析] 设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下，A发生的条件概率，∵P(AB）＝0.6，P(B）＝0。
河南省洛阳市2013届高三二练数学(理)试题
河南省洛阳市2013届高三年级二练数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150 分．考试时间 120 分钟。
第I 卷（选择题，共 60 分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，将答题卷交回．一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N 中元素个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ．不确定2．i 是虚数单位，则(1)ii i +的模为A ．12 B．2CD ． 23．某项测量中，测量结果2~(1,)(0)X N σσ>，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为 A ．0．8 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．24．已知(nx 的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为A ． 128B ． 64C ． 32D ．165．设n S 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和。
若533S S =，则96S S A ．32B ．53C ． 2D ． 36．已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是 A ． （(,0)(2,)-∞+∞B ．[0，2]C ．RD ．φ7· 已知正数x ，y 满足20,350.x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则22111z og x og y =++的最大值是A ． 8B ． 4C ． 2D ． 18．已知双曲线22145x y -=上一点 P 到 F （ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，1(),||2OQ OP OF OQ =+=则 A ． 1 B ． 2C ． 2 或 5D ． 1 或 59．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，sin xxdx =⎰A B ．3C D 10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且()012f π=，则ω的最小值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1上，过 P 作垂直于平面 BB 1 D 1D 的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数()y f x =的图象大致为12．已知正数是 a , b , c 满足：534,1111c a b c a c nb a c nc nb na -≤≤-≥+-则的取值范围是A ．(],17n -∞B ．[]212,12n n -C ．31,15n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,17n第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分13．正三角形 A BC 中， D 是边 BC 上的点， AB =3，BD = l ，则AB ·AD = 。
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系试题
1.(文)( 2011²深圳二模)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 [答案] A[解析] 解法一：圆心(0,1)到直线的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5 ，故选A.解法二：直线mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 是相交的，故选A.(理)(2012²重庆理，3)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心[答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式． 圆心C (0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离d ＝11＋k2≤1< 2.所以直线与圆相交，故选C.[点评] 圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d 与圆的半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内，圆外，圆上去判断．如本题中直线y ＝kx ＋1过定点M (0,1)，M 在圆内．2．(2011²济南二模)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(x －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．3．(2011²东北三校联考)若a 、b 、c 是直角三角形的三边(c 为斜边)，则圆x 2＋y 2＝2截直线ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长等于( )A ．1B ．2 C. 3 D ．2 3[答案] B[解析]∵a、b、c是直角三角形的三条边，∴a2＋b2＝c2.设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝|c|a2＋b2＝1，∴直线被圆所截得的弦长为222－12＝2.4．(2011²潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0[答案] D[解析]解法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P(32，－32)在直线l上，排除A、B、C，选D.解法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0，故选D.[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．5．(2012²山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切B．相交C．外切D．相离[答案] B[解析]本题考查圆与圆的位置关系．两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝17，∵3－2<17<2＋3，∴两圆相交．6．(文)(2012²福建文，7)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．2 5 B．2 3C. 3 D．1[答案] B[解析]本题考查了圆的弦长问题．如图可知d ＝|－2|1＋3＝1， ∴|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3.[点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt △OCB 这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长公式l ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(理)(2012²哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为( )A.56B.16 C.13 D.23[答案] B[解析] ⊙C 上的点到直线l ：4x ＋3y ＝25的距离等于2的点，在直线l 1：4x ＋3y ＝15上，圆心到l 1的距离d ＝3，圆半径r ＝23，∴⊙C 截l 1的弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝23，∴圆心角∠AOB ＝π3，AB ︵的长为⊙C 周长的16，故选B.7．(2012²北京东城区示范校练习)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．[答案] x －y －2＝0[解析] 由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.[点评] 两圆方程相减，即可得出对称直线方程．8．(文)(2012²皖南八校第三次联考)已知点P (1，－2)，以Q 为圆心的圆Q ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，以PQ 为直径作圆与圆Q 交于A 、B 两点，连接PA 、PB ，则∠APB 的余弦值为________．[答案]725[解析] 由题意可知QA ⊥PA ，QB ⊥PB ，故PA ，PB 是圆Q 的两条切线，cos ∠APB ＝2cos 2∠APQ －1＝2³(45)2－1＝725.(理)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →²OB →＝2，则实数a 的值等于________．[答案] ± 6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算． 设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →²OB →＝R 2²cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB |＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝± 6. 9．(文)与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32， ∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22， 即r 2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2，解出m ＝2，n ＝2.(理)(2011²杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即x －12＋y ＋12＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0. (1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． [解析] (1)将圆的方程配方， 得(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4，故有 37－4m 4>0，解得m <374.将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋4m ＝0，消去y ，得x 2＋(3－x 2)2＋x －6³3－x 2＋m ＝0，整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4³5(4m －27)<0，解得m >8. ∴m 的取值范围是(8，374)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP →²OQ →＝0， 由x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 由(1)及根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2，x 1²x 2＝4m －275③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1²y 2＝3－x 12²3－x 22＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1²x 2]， 将③代入上式，得y 1²y 2＝m ＋125，④将③④代入②得x 1²x 2＋y 1²y 2 ＝4m －275＋m ＋125＝0，解得m ＝3， 代入方程①检验得Δ>0成立，∴m ＝3.(理)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过A (－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N .(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM →²AN →是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．[解析] (1)证明：因为l 与m 垂直， 且k m ＝－13，k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 显然圆心(0,3)在直线l 上， 即当l 与m 垂直时，l 必过圆心． (2)①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0， 因为PQ ＝23，所以CM ＝4－3＝1， 则由CM ＝|－3＋k |k 2＋1＝1，得k ＝43.所以直线l ：4x －3y ＋4＝0.从而所求的直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. (3)因为CM ⊥MN ，所以AM →²AN →＝(AC →＋CM →)²AN →＝AC →²AN →＋CM →²AN →＝AC →²AN →. ①当l 与x 轴垂直时，易得N (－1，－53)，则AN →＝(0，－53)，又AC →＝(1,3)，所以AM →²AN →＝AC →²AN →＝－5. ②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k .所以AM →²AN →＝AC →²AN →＝－5.综上，AM →²AN →与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →²AN →＝－5.能力拓展提升11.(2011²济南模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4[答案] D[解析] 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋(|a －2|2)2＝22，∴a ＝0或4.12．(2011²银川部分中学联考)已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．y ＝－33x D ．y ＝33x [答案] C [解析]由题易知，圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－33，故直线l 的方程为y ＝－33x ，选C. 13．(文)(2011²天津模拟)过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5[答案] B[解析] 当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB |取最小值2 3.(理)(2011²宝鸡五月质检)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6[答案] C[解析] ∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →²OB → ＝|OA →|2＋|OB →|2－2OA →²OB →， ∴OA →²OB →＝0，∴OA →⊥OB →，画图易知A 、B 为圆x 2＋y 2＝4与两坐标轴的交点， 又A 、B 是直线x ＋y ＝a 与圆的交点，∴a ＝2或－2.14．(文)若圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线l 1：x －y －1＝0对称，动圆P 与圆C 相外切且与直线l 2：x ＝－1相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程是________．[答案] y 2－6x ＋2y －2＝0 [解析]由题意知圆C 的圆心为C (a2，－1)，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，由两圆关于直线l 1对称，易得点(0,0)关于直线l 1：x －y －1＝0对称的点 (1，－1)就是点C ，故a ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为r ，由动圆P 与圆C 相外切可得：|PC |＝r ＋1，由图可知，圆心P 一定在直线x ＝－1的右侧，所以由动圆P 与直线l 2：x ＝－1相切可得r ＝x －(－1)＝x ＋1.代入|PC |＝r ＋1得：x －12＋y ＋12＝x ＋2，整理得：y 2－6x ＋2y －2＝0.(理)(2012²天津，12)设m 、n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵l 与圆相交弦长为2，∴1m 2＋n 2＝3，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16，l 与x 轴交点A (1m ，0)，与y 轴交点B (0，1n )，∴S △AOB ＝12|1m ||1n |＝12 1|mn |≥12³6＝3.15．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． [解析] (1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M 在圆外， 当过点M 的直线斜率不存在时，易知直线x ＝3与圆相切． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋1＝0，∵直线与圆相切，∴|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解之得k ＝34，∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.∴所求的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由ax －y ＋4＝0与圆相切知|a －2＋4|1＋a 2＝2， ∴a ＝0或a ＝43.(3)圆心到直线的距离d ＝|a ＋2|1＋a2，又l ＝23，r ＝2，∴由r 2＝d 2＋(l 2)2，可得a ＝－34.16．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] 依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，① 又⊙C 的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，② 联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b ＋1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2， ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.(理)(2012²河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，已知直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，求k 的值；(3)若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |.[解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意可知，以AB 为直径的圆过原点O ，即OA ⊥OB ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理可知：x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1²x 2＝－34＋k2， y 1²y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4－4k24＋k2，所以，OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34＋k 2＋4－4k 24＋k 2＝0，得k 2＝14，即k ＝±12.(3)|OA →|2－|OB →|2＝x 21＋y 21－(x 22＋y 22)＝x 21－x 22＋y 21－y 22 ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋k (x 1－x 2)[k (x 1＋x 2)＋2] ＝[2k ＋(1＋k 2)(x 1＋x 2)](x 1－x 2) ＝6k x 1－x 24＋k2. 因为A 在第一象限，所以x 1>0，又因为x 1²x 2＝－34＋k 2，所以x 2<0，故x 1－x 2>0，又因为k >0，所以|OA |>|OB |.1．(2011²豫南四校调研考试)直线l 过点(－4,0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0 [答案] D[解析] ∵圆的半径为5，|AB |＝8，∴圆心(－1,2)到直线l 的距离为3.当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(－4,0)，所以直线l 的方程为x ＝－4.此时圆心(－1,2)到直线l 的距离为3，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，则圆心(－1, 2)到直线l 的距离为|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，解之得k ＝－512，∴直线l 的方程为－512x －y －2012＝0，整理得5x ＋12y ＋20＝0.综上可得，满足题意的直线l方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＝－4，故选D.2．已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a 、b ∈R )，那么两圆的位置关系是( )A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切[答案] C[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O 1O 2|＝5<3，所以两圆相交． 3．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能[答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．4．(2012²河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c2＝a 2＋b 2，则OM →²ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2³(13)2－1＝－79，∵OM →²ON →＝3³3cos2θ＝－7，选A.5．(2012²沈阳六校联考)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8 D.212[答案] B[解析] 记圆心为C ，则由题意得|AB |＝5，直线AB ：x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C (0,1)到直线AB 的距离为165，点P 到直线AB 的距离h 的最小值是165－1＝115，△ABP的面积等于12|AB |h ＝52h ≥52³115＝112，即△ABP 的面积的最小值是112，选B.6．(2011²海淀期末)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为( )A.π2B ．πC ．3πD ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.7．(2011²北京日坛中学摸底考试)若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是 ( )A ．0<k <5B ．－5<k <0C ．0<k <13D ．0<k < 5[答案] D8．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点轨迹方程．[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，设l ：y ＝kx ＋5，由l 被⊙C 截得弦长为43及⊙C 半径r ＝4知d ＝2，∴|－2k －6＋5|1＋k2＝2， ∴k ＝34，当k 不存在时，切线l 为x ＝0，∴l 的方程为y ＝34x ＋5或x ＝0.(2)设弦的中点为M (x ，y )， 将y ＝kx ＋5代入⊙C 方程中得， (1＋k 2)x 2＋2(2－k )x －11＝0，设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k －41＋k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋10＝2k 2－4k 1＋k 2＋10＝12k 2－4k ＋101＋k 2， ∵M 为AB 的中点，∴x ＝x 1＋x 22＝k －21＋k 2，y ＝y 1＋y 22＝6k 2－2k ＋51＋k2， 消去k 得所求轨迹方程为：x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. [点评] 也可以直接由x ＝k －21＋k 2及y －5x＝k 消去k 得出轨迹方程更简便些．。
河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《2-5对数与对数函数》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《2-5对数与对数函数》试题 新人教A 版1.(2011·广东高州市大井中学模拟)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1][答案] C[解析] 要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，－4<x <1，∴－1<x <1.2．函数y ＝log 2|x |的图象大致为( )[答案] C[解析] 由|x |＝1时，y ＝0排除A 、B ；由x >0时，y ＝log 2x 为增函数，排除D ，选C. 3．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2012x＋log 2012x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．5 [答案] C[解析] 当x >0时，f (x )＝0即2012x＝－log 2012x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2012x，f 2(x )＝－log 2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.4．(文)(2011·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ，x ≥3，f x ＋，x <3，则f (2＋log 32)的值为( )A ．－227B.154C.227D ．－54[答案] B[解析] ∵0＜log 32<1，∴2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (3＋log 32)＝f (log 354)＝(13)log 354＝154.(理)(2012·内蒙古包头模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34) D ．(34，2)[答案] D[解析] ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a ＋，log a ＋，∴34<a <2.5．(文)(2011·天津文，5)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b[答案] B[解析] ∵a ＝log 23.6>1，c ＝log 43.6<1.∴a >c . 又∵c ＝log 43.6>log 43.2＝b .∴a >c >b .(理)(2011·重庆文，6)设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 334，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a [答案] B[解析] ∵a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，∵y ＝log 13 x 单调递减而12<23，∴a >b 且a >0，b >0，又c <0.故c <b <a .6．函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] 由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，由s ＝x 2－5x ＋6＝(x －52)2－14知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.7．(2011·北京东城一模)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a x，x ≤1，log a x 2－，x >1，且f (22)＝1，则f [f (2)]＝________.[答案] 6[解析] ∵f (22)＝log a [(22)2－1]＝log a 7＝1， ∴a ＝7.又f (2)＝log 73<1，∴f (f (2))＝2×7log 73＝2×3＝6.8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2011)＋f (2012)的值为________．[答案] －1[解析] ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )．即f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2011)＋f (2012)＝f (3)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝20－1－(21－1)＝－1.[点评] (1)一般地，若f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，且可变形为f (x ＋2a )＝f (－x )．如果同时知道f (x )为奇函数(或偶函数)，则利用奇偶性可得出f (－x )＝±f (x )，从而可知f (x )为周期函数且可得出其周期．(2)本题将指数函数求值与函数的周期性、奇偶性融为一体，这是高考命题的常见模式．9．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．[答案] {x |x ≤0或x ≥3}[解析] f (x )≥1化为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，13x≥1，∴x ≥3或x ≤0.(理)(2011·浙江省宁波市“十校联考”)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)>0的解集为________．[答案] {x |1<x <2}[解析] ∵t ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，∴0<a <1，∴不等式log a (x －1)>0化为0<x －1<1， ∴1<x <2.10．(文)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，得－3<x <1，所以函数的定义域为{x |－3<x <1}．f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}， 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得a ＝12.(理)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0. [解析] (1)由a x－1>0，得a x >1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧；当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1ax 1－1>1. ∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log aax 2－1ax 1－1>0. 直线AB 的斜率k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得，ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0.同上可得k AB >0.能力拓展提升11.(2011·安徽省淮南市模拟)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x ，c ＝e ln x，则( )A ．c >b >aB ．b >a >cC ． a >b >cD ．b >c >a[答案] D [解析] ∵x ∈(e－1,1)，∴a ＝ln x ∈(－1,0)；c ＝e ln x ＝x ∈(1e ，1)；b ＝(12)ln x ∈(1,2)．∴a <c <b .12．(2011·广东省佛山市综合测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ，2xx，若f (a )＝12，则实数a 等于( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，所以a ＝2，当a ≤0时，2a＝12，所以a ＝－1.13．(2011·丹阳一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y＝1上方的x 的取值范围是________．[答案] {x |－1<x ≤0或x >2} [解析] 由y >1得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，3x ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x >1，∴－1<x ≤0或x >2.14．(文)(2012·江南十校联考)已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数，则f (1)的值________(把所有可能的序号都填上)．①恒为正数； ②恒为负数； ③恒为0; ④可正可负． [答案] ①[解析] ∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (0)＝0， 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)>f (0)＝0. ∴f (1)的值恒为正数．(理)(2011·绍兴一模)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (lg x )＝f (1)，则x 的值等于________．[答案] 10或110[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)上是单调函数，且为偶函数，又f (lg x )＝f (1)，∴lg x ＝±1，∴x ＝10或110.15．(文)已知函数 f (x )＝log 4 (4x＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝m 有解，求m 的取值范围．[解析] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (－x )＝f (x )， ∴log 4(4x＋1)＋2kx ＝log 4(4－x＋1)－2kx ， 即log 44x ＋14－x ＋1＝－4kx ，∴log 44x ＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0， 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x＝log 44x ＋12x ＝log 4(2x＋12x )，∵2x >0，∴2x＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12.故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为[12，＋∞)．(理)(2011·金华模拟)设集合A ＝{x |2(log 12x )2－7log 2x ＋3≤0}，若当x ∈A 时，函数f (x )＝log 2x 2a ·log 2x4的最大值为2，求实数a 的值．[解析] ∵A ＝{x |2(log 2x )2－7log 2x ＋3≤0} ＝{x |12≤log 2x ≤3}＝{x |2≤x ≤8}，而f (x )＝(log 2x －a )(log 2x －2)＝(log 2x )2－(a ＋2)log 2x ＋2a ， 令log 2x ＝t ，∵2≤x ≤8，∴12≤t ≤3.∴f (x )可转化为g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋2a ，其对称轴为直线t ＝a ＋22，①当t ＝a ＋22≤74，即a ≤32时， [g (t )]max ＝g (3)＝2⇒a ＝1，符合题意； ②当t ＝a ＋22>74，即a >32时， [g (t )]max ＝g (12)＝2⇒a ＝116，符合题意．综上，a ＝1，或a ＝116.16．(文)(2011·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f (x y)＝f (x )－f (y )，当 x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1x)<2.[解析] (1)∵对任意x >0，y >0，都有f (x y)＝f (x )－f (y )成立， ∴令x ＝y ＝1得，f (1)＝f (1)－f (1)＝0. (2)设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(3)∵f (6)＝1，∴f (6)＝f (366)＝f (36)－f (6)，∴f (36)＝2.∴不等式f (x ＋3)－f (1x)<2化为⎩⎪⎨⎪⎧f x x ＋f ，x >0，x ＋3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，x >0，∴0<x <317－32.(理)(2011·马鞍山市二检)设函数f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )．(1)若对任意的x ∈[0,1]，不等式f (x )－m ≤0都成立，求实数m 的最小值； (2)求函数g (x )＝f (x )－x 2－x 在区间[0,2]上的极值． [解析] (1)设f (x )在[0,1]的最大值为f (x )max ， 依题意有f (x )max ≤m ，∵f ′(x )＝2(1＋x )－21＋x ＝2x 2＋4x1＋x，当x ∈[0,1]时，f ′(x )≥0，故f (x )在[0,1]为增函数，f (x )max ＝f (1)＝4－2ln2，于是m ≥4－2ln2，即实数m 的最小值为4－2ln2.(2)g (x )＝f (x )－x 2－x ＝1＋x －2ln(1＋x )，g ′(x )＝1－21＋x ＝x －1x ＋1. 当x >1时，g ′(x )>0，当－1<x <1时，g ′(x )<0， 故g (x )在[0,1]上是减函数，在(1,2]上是增函数， 从而g (x )在[0,2]上的极小值为g (1)＝2－2ln2＝ln e 24.1．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a[答案] B[解析] ∵1<e <3，∴1<e <e <e 2<10， ∴0<lg e <1.则lg e ＝12lg e <lg e ，即c <a .∵c －b ＝12lg e －(lg e )2＝12lg e (1－2lg e )＝12lg e ·lg 10e2>0.∴c >b ，故选B. 2．(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A[解析] 解法1：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．解法2：令x ＝0得y ＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C 、D ；又令x ＝－1得y ＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B ，故选A.3．函数f (x )＝|log 12x |的图象是( )[答案] A[解析] f (x )＝|log 12x |＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x－log 2x x，故选A.[点评] 可用筛选取求解，f (x )的定义域为{x |x >0}，排除B 、D ，f (x )≥0，排除C ，故选A.4．(2012·内蒙古包头模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12 ，x >0，12x，x ≤0，则f [f (－4)]＝( )A ．－4B ．－14C ．4D ．6[答案] C[解析] f (－4)＝(12)－4＝16，f [f (－4)]＝f (16)＝1612＝4.5．(2012·北京市东城区综合练习)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对于定义域内的任何x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且当x ≠0时，g (x )≠1，则F (x )＝2f xg x －1＋f (x )为( )A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵g (x )－1≠0⇒g (x )≠1⇒x ≠0，∴y ＝F (x )的定义域关于坐标原点对称．F (x )＝f (x )[2g x －1＋1]＝f (x )·g x ＋1g x －1，F (－x )＝f (－x )·g －x ＋1g －x －1＝－f (x )·1g x＋11g x－1＝－f (x )·1＋g x1－g x＝f (x )·g x ＋1g x －1＝F (x )，∴y ＝F (x )是偶函数．又由于y ＝f (x )和y ＝g (x )都不是常数函数，∴f (x )不恒为0，g (x )不恒为－1，即F (x )不恒为0，所以F (x )不是奇函数，故选B.6．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．[答案] x ＝5[解析] 原方程化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，由于y ＝log 3x 在(0，＋∞)上严格单增，则x 2－10＝3x ，解之得x 1＝5，x 2＝－2.∵要使log 3x 有意义，应有x >0，∴x ＝5.7．(2011·上海交大附中月考)函数f (x )＝lg(x ＋a x －6)( a ∈R )的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，9][解析] ①a ≤0时，x ＋a x －6能取遍一切正数，∴f (x )的值域为R ；②a >0时，要使f (x )的值域为R ，应使x ＋a x －6可以取到所有正数，故x >0时，x ＋a x －6的最小值2a －6≤0，∴0<a ≤9，综上a ≤9.。
洛阳市2013-2014学年高三年级二练数学试卷分析
洛阳市2013-2014学年高三年级二练数学试卷分析2013-2014学年洛阳市高三二练数学试题以新课程《课程标准》、《高考考试大纲》为命题依据,遵循“稳中有变、立足基础、突出能力”的指导思想，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意的命题指导思想，力争将知识、能力融为一体，全面检测学生的复习情况。
同时考虑到高三第一轮基本结束，根据考试大纲所倡导的“高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度”这一原则，按照市教研室的安排，二练试题难度比一练有所增加，很多题目似曾见过，但又不完全相同，适度创新，更加体现对学生思维能力和灵活应用知识的考查一、命题的指导思想依照《课程标准》及《新课标高考考试大纲》的要求，在考查高中数学基础知识的同时，注重考查数学能力，考查考生的思维能力、运算能力、创新意识，同时对重要的数学思想进行了一定的考查.在题型设置与分值分配上与新课标高考试卷相同.具体来说，试卷的Ⅰ卷共12个选择题，每题5分，满分60分.试卷的第Ⅱ卷，4个填空题，每个5分，满分20分；6个解答题，第17-21题每题12分，第22-24为三选一的试题分值10分，第Ⅱ卷满分90分.作为高考备考行进中的几次考试，不要求每次考试知识点的覆盖面，但几次合在一起要尽量考察到更多的知识点。
二练试卷争取对以前没考到的知识有所考查，并保持了各主干知识和新增内容的比率。
同时较好地关注了文理科考生在数学思维水平上的差异，在文理科考察内容大致相同的情况下，在考察方式和能力层次上加以区别.具体来说，立体几何命制了两小题一大题，解析几何命制了两小题一大题，三选一命制了一大题，三角函数命制了一大题，排列组合二项式概率命制了一小题一大题，函数方程不等式（含三角函数）命制了七小题两个大题，构成中学数学主干知识的内容分值在80﹪以上.二、试题特点（一）全面考查基础知识高三二练试卷中各种题型起点低、入手容易，多数题属于常规试题，强调对基础知识、基本技能和基本方法的考查，如理科第1至第3题分别对复数的概念和运算、三视图、直线与圆、积分二项式进行了考查.试题注重考查通性通法,试题在全面考查基础知识的同时，重点考查了中学数学的主干内容，如解答题分别考查了三角函数、空间线面关系及空间角度的计算、概率、圆锥曲线、函数与导数等重点内容.（二）突出数学思想方法高三二练试题突出考查数学本质和学生基本的数学素养，注重对数学思想方法的考查，如理科第4、6、8、10、12、15、16题考查了数形结合的数学思想；理科第6、9、10、12、16、17、20、21题考查了函数与方程的思想；理科第9、10、12、15、21、23、24题考查了转化与化归的思想.（三）注重学科的内在联系高三二练试题对于支撑学科知识体系的重点内容，占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.在知识网络交汇点设计试题，考查知识之间的内在联系.如理科的第12题是函数方程与数列的结合；理科第9题是三角与数列的结合；理科第21题将函数、导数、方程和不等式融为一体，综合考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.（四）重视应用意识高三二练试卷重视考查学生的应用意识和建模能力，如理科19题，贴近生活实际，深入考查了概率的基本思想，有效考查了学生的应用意识.（五）注重辐射新增内容新增内容是新课程的活力和精髓，是近现代数学在高中的渗透，二练试题对新教材中增加的三视图、框图等新增内容一一作了考查，并保持了将概率内容作为应用题的格局.三、二练试题数据统计2013-2014学年洛阳市二练试题（理科）分析板块复数函数、方程、不等式、导数数列平面向量三角函数、解三角形题号 1 6，8，12,,15,21 9,13 10 17知识点复数函数的性质,零点,函数的图象,线性规划，导数及应用数列求和向量的基本运算三角函数的化简，图像性质，正、余弦定理分值 5 32 10 5 12板块解析几何概率与统计框图排列组合二项式立体几何选讲内容题号4,14, 16，202,19 7 5 3,11,18 22,23,24知识点直线与园，圆锥曲线的性质，曲线方程及定点问题分布列，统计，期望，方差程序框图二项式三视图，球与棱锥组合体，空间线面关系与二面角极坐标与参数方程，不等式，平面几何分值27 17 5 22 10 二练试题数据统计如下：二练理科试题（含零）题号填空题17 18 19 20 21 22 23 24平均分10.10 5.51 2.30 2.63 3.64 0.47 3.82 4.20 5.65难度0.51 0.46 0.19 0.22 0.30 0.04 0.38 0.42 0.57二卷平均分30.30分，难度0.34.二练理科试题（不含零）题号填空题17 18 19 20 21 22 23 24平均分11.53 6.53 5.66 3.49 5.13 1.66 6.18 4.92 7.03难度0.58 0.54 0.47 0.29 0.43 0.14 0.62 0.49 0.70二卷平均分41.03 分，难度0.46，二练文科试题（含零）题号填空题17 18 19 20 21 22 23 24平均分 6.90 5.86 7.95 1.72 3.02 2.29 1.98 3.20 1.75难度0.35 0.49 0.66 0.14 0.25 0.19 0.20 0.32 0.18二卷平均分31分，难度0.34.二练文科试题（不含零）题号 填空题 17 18 19 20 21 22 23 24平均分7.71 7.78 9.61 4.29 4.83 5.60 3.99 4.96 5.57 难度0.39 0.65 0.80 0.36 0.40 0.47 0.40 0.50 0.56 二卷平均分45.39 分，难度0.50，.四、试题及答题情况分析（以理科为例）1.本题考查复数的基本概念和运算，容易题.2.本题考考查正态分布概念，容易题,部分学生忘记正态分布的数字特征不会计算.3. 本题考查三视图及体积的计算，考察空间想象能力及运算能力，学生答题情况良好，4. 本题考查圆的弦长计算及弦的条数问题，出错较多.5. 本题考查积分计算及二项式展开式，学生答题情况良好.6. 本题考查函数图像知识及导数的应用，学生答题情况良好.7. 本题考查程序框图，容易题，学生答题情况良好.8. 本题考查线性规划及不等式，中档题，学生答题情况良好.9.本题是三角函数与数列求和，中档题，学生答题情况良好.10.本题考查向量的数量积与不等式运算，有一定难度，出错较多.11.本题考查球内接三棱锥的体积计算，学生空间想象能力欠缺，运算能力不过关导致错误，有一定难度.错误率较高.12.本题考查函数的对称中心及数列倒序相加求和问题，部分同学不理解题意不会计算.13.本题考查数列计算及三角函数求值，容易题.14. 本题考查双曲线与抛物线的几何性质，容易题，学生答题情况良好.15.本题考查函数值域及任意、存在问题，考查学生的分析问题能力,部分学生不理解题意出错较多.16.本题考查点的轨迹问题，考查综合运用知识的能力,同学们列出含有绝对值的方程后，不能正确化简或化简后不会画图，错误率较高.17.本题考查数列三角函数的化简及三角形中边的最值问题.学生暴露的问题有：（1）不能化简为单一的三角函数；（2）对称轴写成一个数，对称中心写成y 轴上，没向上平移；（3）没写；（4）不会利用余弦定理及基本不等k Z ∈式求的范围；（4）不会利用正弦定理把化为角或角的函数求范围.b c +b c +A B 18.本题第一问考查空间直线与直线的位置关系，第二问考查二面角的概念与计算,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.学生暴露出的问题有：（1）不会证明直线建立空间直角坐标系不先说明垂直关系；1,AB BD ⊥（2）求不出点的坐标；(3) 多数同学计算错误；（4）涉及向量的运算多处出C 现运算错误，个别学生记错了向量成角的计算公式.19.本题考查查概率的基本概念和基本计算方法，考查古典概型的计算，考查离散型随机变量的概率及其分布列、期望、方差的计算. 考生暴露出的问题有：(1)取出的三个数成等差数列的个数不会计算；(2)不能利用独立重复试验去求方差； (3)部分学生书写不规范.20.本题考查圆锥曲线的定义及几何性质，考查圆锥曲线的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识，考查均值不等式，综合考查数形结合的思想和运算求解能力. 学生暴露出的问题有：（1）计算错误，解方程求错；（2）直线与圆锥曲线的知识不熟练；（3）第二问直线与圆锥曲线没有联立丢掉2分；（4）书写不规范.21.本题考查导数的运算和利用导数研究函数单调性、求参数的取值范围，考查学生灵活运用导数分析问题、解决问题的能力. 学生暴露出的问题有：（1）求导错误；（2）不会分类讨论；（3）不会构造函数.22.本题考查切割线、相似三角形的定义及性质，考查学生的逻辑推理能力.23.本题考查抛物线的极坐标方程、直线的参数方程，考查学生的求解能力.学生暴露出的问题有：(1)直线的参数方程化简没注意范围；（2）直线与半圆方程联立时求解出错.24.本题考查绝对值的几何意义和含绝对值不等式的求解、恒成立问题及存在性问题的求解.学生暴露出的问题有：(1)计算错误；（2）分不清恒成立问题及存在性问题.五、考生的主要问题通过此次高三二练，反映出本届考生在数学学习中仍存在以下问题：1.对基本概念、基本知识掌握不牢固数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题.在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念、基本公式的掌握仍不理想.第17题正、余弦定理掌握不牢，第18题二面角概念掌握不牢，第20题求轨迹方程基本方法掌握不好、解方程的功底不够，第21题导数的公式记忆错误.2.基本运算能力不过关运算能力的考察在数学高考中占有一定分量.但由于运算不过关，导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍.例如第8、9、10、12、17、18、19、20、21题由于计算错误而失分.从阅卷情况看考生的计算能力仍显薄弱，今后在教学中仍需加强.3.数学思想方法理解不深刻数学思想是历年高考考查的重点.本次二练试题也注重了这方面的考查.尤其20、21、题将直线、圆锥曲线、函数的单调性、导数、数列、不等式等知识综合进行考查，需要用到函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想等，突出了能力立意.但有的考生由于数学思维不深刻，致使无法完整解答.4.解题缺乏规范性.试卷中有不按要求作答的；有解立体几何题建立坐标系叙述不完整的；有解概率题没有叙述只写算式的；有结果不化简的等等.5.应试技能太欠缺.遇到选择题中难度稍大的题目也不舍得先放一放，结果用时过长，影响了后面解答题的求解，造成解答题求解不理想；最后两个解答题不知道把第一问的分数挣到手.六、启示与导向1.归纳梳理知识网络 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰.因此在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位. “在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，教师要帮助学生归纳知识网络图，总结要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合.2. 重视错题病例，实施亡羊补牢：错题病例也是财富，它有时会暴露我们的知识缺陷，有时会暴露我们的思维不足，有时会暴露我们方法的不当。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2-4指数与指数函数1.函数f (x )＝(a 2－1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |< 2 D ．1<|a |< 2[答案] D[解析] 由题意知，0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，∴1<|a |< 2.2．(文)若指数函数y ＝a x的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．10 [答案] A[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝a x过点(－1,2)，故选A.(理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9， 即a ＝2，所以tana π6＝tan π3＝ 3. 3．(2012·北京文，5)函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] B[解析] 函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点个数即为方程x 12 ＝(12)x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y ＝x 12 和y ＝(12)x的图象，易得交点个数为1个．[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象． 4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C [解析] y ＝2x ＋1的图象关于y 轴对称的曲线对应函数为y ＝21－x，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤1[答案] A[解析] ∵|1－x |∈[0，＋∞)，∴2|1－x |∈[1，＋∞)，欲使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，应有m ≤－1.5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x <1，x －1， x ≥1，且f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a>1，得0<a <1，由⎩⎨⎧a ≥1，a －1>1，得a >2，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)[答案] C[解析] 由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.6．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≥4，f x ＋1 x <4.则f (2＋log 23)的值为( )A.13 B.16 C.112D.124[答案] D[解析] ∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．[答案] (0,1][解析] 由a *b 的定义知，f (x )取y ＝3x 与y ＝3－x的值中的较小的，∴0<f (x )≤1. (理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于________．[答案] 9[解析] 由程序框图可知，h (x )的值取f (x )与g (x )的值中较大的，∵f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9,9>8，∴h (3)＝9.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0.则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图．|f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13或1x≤－13∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．9．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x1＋4x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1x ∈0，1，－2x 4x＋1 x ∈－1，0，0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．(理)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))； (2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性；(3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1].能力拓展提升11.(文)(2012·四川文)函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[答案] C[解析] 根据函数y ＝a x－a 过定点(1,0)，排除A 、B 、D 选项，得C 项正确． (理)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一直角坐标系内的图象大致是( )[分析] 函数f (x )＝1＋log 2x 的图象可由函数y ＝log 2x 的图象变换得到；函数y ＝2－x＋1可由函数y ＝(12)x的图象变换得到．[答案] C[解析] f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移一个单位长度得到的；g (x )＝2－x ＋1＝(12)x －1的图象可由y ＝(12)x 的图象向右平移一个单位长度得到．[点评] 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f (x )＝e x＋e －x(e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] C[解析] 设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ex 2＋1ex 2－ex 1－1ex 1＝(ex 2－ex 1)－ex 2－ex 1ex 2ex 1＝(ex 2－ex 1)(1－1ex 2ex 1)>0，所以函数f (x )＝e x ＋e －x(e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵{a n }是递增数列， ∴f (n )为单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a >0，a 8－6>3－a ×7－3，∴2<a <3.13．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.[答案] 10[解析] ∵2a＝5b＝m ， ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.14．(文)(2011·南通六校联考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．[答案] m <n [解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)，∴y ＝a x是减函数， 故a m>a n⇒m <n .(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________． [答案] －13[解析] T 7＝C 69(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数． ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且 2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )为R 上增函数．(3)令y ＝2x－12x ＋1，则2x＝－1－y y －1，∵2x>0，∴－1－y y －1>0，∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(理)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立．∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，∴－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，设2x＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1， 设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝t 2－t 14t 1t 2－1t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝t 1－t 22t 1t 2＋1t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5,1]．1．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，12)[答案] D[解析] 若a >1，如图(1)为y ＝|a x－1|的图象，与y ＝2a 显然没有两个交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x－1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.2．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A[解析] 因为f (x )＝|2x－1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧|2a－1|＝a ，|2b－1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b >a ≥0，从而避免了对a 、b 的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a 、b 的方程组求解．3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12xC.12x D ．x 2[答案] B[解析] 函数y ＝a x的反函数是f (x )＝log a x ， ∵其图象经过点(a ，a )，∴a ＝log a a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .4．已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．(2011·山东济南一模)若实数x ，y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 由4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，得(2x＋2y )2－2×2x×2y ＝2(2x＋2y)． 即t 2－2·2x ＋y＝2t ，t 2－2t ＝2·2x ＋y.又由2x＋2y≥22x ＋y，得2x ＋y≤14(2x ＋2y )2， 即2x ＋y≤14t 2. 所以0<t 2－2t ≤12t 2.解得2<t ≤4.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≤1，log 2x －1 x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1≤12，x >1，∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．7．(2011·潍坊模拟)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．[答案] f (23)<f (32)<f (13)[解析] 由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )为单调增函数，则x ≤1时，f (x )为单调减函数．又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23，∴f (23)<f (32)<f (13)．8．已知函数f (x )＝a x＋a －x(a >0，a ≠1)，若f (－1)＝3，则f (0)＋f (2)的值为________． [答案] 9[解析] 由f (－1)＝3得a ＋1a＝3，于是f (2)＝a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝32－2＝7.又∵f (0)＝1＋1＝2，∴f (0)＋f (2)＝9.。