2019高考数学专题复习导练测 第三章 导数及其应用章末检测 理 新人教A版.doc

2019高考数学专题复习导练测 第三章 导数及其应用章末检测 理新人教A 版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.(2010·泰安高三二模)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于 ( )A.12B ．1C ．2D ．02．函数f (x )＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( )A ．a <1B ．a <13C ．a <0D ．a ≤03．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝a ＋x ＋ax ＋1，且f (x －1)的图象的对称中心是(0,3)，则f ′(2)的值为 ( )A ．－19 B.19C ．－14 D.144．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为 ( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 5．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f (x )的最小值是 ( )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－377．(2010·江西) 如图，一个正五角形薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t ) (S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致( )8．已知x ≥0，y ≥0，x ＋3y ＝9，则x 2y 的最大值为 ( ) A ．36 B ．18 C ．25 D ．429．(2011·合肥模拟)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)10.如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于 ( )A.89B.109C.169D.5411．(2010·宝鸡高三检测三)已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则x 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 12．(2011·唐山月考)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋px 2＋qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值＝－4，那么p ，q 的值分别为 ( )A ．6,9B ．9,6C ．4,2D ．8,613．函数f (x )＝x ln x 在(0,5)上的单调递增区间是____________．14．(2011·安庆模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，则f (1)，f (2)，f (3)的大小关系为________________________．15．(2009·福建改编)22(1cos )x dx ππ-+⎰＝________.16．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x的判断正确的是________(填写所有正确的序号)． ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2011·莆田月考)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2＋3x (x ∈R )．(1)若a ＝1，点P 为曲线y ＝f (x )上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a .19．(12分)(2011·福州高三质检)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．20．(12分)(2010·全国)已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x .(1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围．21．(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？22．(12分)(2011·黄山模拟)设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性；(3)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．答案 1．C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3， 所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.]2．D [由题意知，f ′(x )＝3ax 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， a ＝0时，f ′(x )≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；a >0时，1a≥3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，这样的a 不存在；a <0时，1a≤3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立，而3x 2≥0，∴a <0.综上，a ≤0.]3．B [f (x )＝a ＋1－1x ＋1，中心为(－1，a ＋1)，由f (x －1)的中心为(0,3)知f (x )的中心为(－1,3)，∴a ＝2.∴f (x )＝3－1x ＋1.∴f ′(x )＝1x ＋2.∴f ′(2)＝19.]4．C [f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x＝e x (sin x ＋cos x )＝2e xsin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ′(4)＝2e 4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π4<0，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为钝角．]5．C [∵y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9(x ＝－9舍去)． 当0<x ≤9时，y ′≥0，f (x )为增函数， 当x >9时，y ′<0，f (x )为减函数． ∴当x ＝9时，y 有最大值．]6．D [f ′(x )＝6x 2－12x ，若f ′(x )>0， 则x <0或x >2，又f (x )在x ＝0处连续， ∴f (x )的增区间为[－2,0)．同理f ′(x )<0，得减区间(0,2]． ∴f (0)＝a 最大．∴a ＝3，即f (x )＝2x 3－6x 2＋3.比较f (－2)，f (2)得f (－2)＝－37为最小值．] 7．A [利用排除法．∵露出水面的图形面积S (t )逐渐增大， ∴S ′(t )≥0，排除B.记露出最上端小三角形的时刻为t 0.则S (t )在t ＝t 0处不可导．排除C 、D ，故选A.] 8．A [由x ＋3y ＝9，得y ＝3－x3≥0，∴0≤x ≤9.将y ＝3－x3代入u ＝x 2y ，得u ＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 3＝－x 33＋3x 2.u ′＝－x 2＋6x ＝－x (x －6)．令u ′＝0，得x ＝6或x ＝0.当0<x <6时，u ′>0；6<x <9时，u ′<0.∴x ＝6时，u ＝x 2y 取最大值36.]9．D [由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0.由(x 2－2x －3)f ′(x )>0， 得⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x 2－2x －3<0.即⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－1<x <3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．] 10．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2) ＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， ∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c3，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝49b 2－2c 3＝169.] 11．A [∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0， ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23.] 12．A [y ′＝3x 2＋2px ＋q ，令切点为(a,0)，a ≠0，则f (x )＝x (x 2＋px ＋q )＝0有两个不相等实根a,0 (a ≠0)，∴x 2＋px ＋q ＝(x －a )2.∴f (x )＝x (x －a )2，f ′(x )＝(x －a )(3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝a3.当x ＝a 时，f (x )＝0≠－4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝y 极小值＝－4， 即427a 3＝－4，a ＝－3，∴x 2＋px ＋q ＝(x ＋3)2. ∴p ＝6，q ＝9.] 13.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5 解析 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，f ′(x )>0， ∴ln x ＋1>0，ln x >－1，∴x >1e .∴递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5. 14．f (3)<f (1)<f (2)解析 由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )＝1＋cos x >0恒成立， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数， f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)， 即f (3)<f (1)<f (2)． 15．π＋2解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴π2－π2(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )22ππ-＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 16．①②解析 f (x )>0⇒(2x －x 2)e x>0⇒2x －x 2>0⇒0<x <2，故①正确； f ′(x )＝e x (2－x 2)，由f ′(x )＝0，得x ＝±2，由f ′(x )<0，得x >2或x <－2， 由f ′(x )>0，得－2<x <2，∴f (x )的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调增区间为(－2，2)． ∴f (x )的极大值为f (2)，极小值为f (－2)，故②正确． ∵x <－2时，f (x )<0恒成立，∴f (x )无最小值，但有最大值f (2)． ∴③不正确．17．解 (1)f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，………………………………………………(2分)所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．…………………………………………(4分)所以f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)， f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.……………………………………………………………(6分)(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，只需使x ∈[－1，2]，f (x )的最大值小于m 即可．由(1)可知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝52227，f (2)＝7，……………………………………………………(9分)所以f (x )在x ∈[－1,2]的最大值为f (2)＝7，所以m >7.………………………………………………………………………………(10分) 18．解 (1)设切线的斜率为k ，则k ＝f ′(x )＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1，当x ＝1时，k min ＝1.………………………………………………………………………(3分)又f (1)＝53，∴所求切线的方程为y －53＝x －1，即3x －3y ＋2＝0.………………………………………………………………………(6分)(2)f ′(x )＝2x 2－4ax ＋3，要使y ＝f (x )为单调递增函数，必须满足f ′(x )≥0，即对任意的x ∈(0，＋∞)，恒有f ′(x )≥0，f ′(x )＝2x 2－4ax ＋3≥0，∴a ≤2x 2＋34x ＝x 2＋34x，而x2＋34x ≥62，当且仅当x ＝62时，等号成立．……………………………………………………………(10分)∴a ≤62，又∵a ∈Z ，∴满足条件的最大整数a 为 1.…………………………………………………………(12分)19．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，……………………………(2分)令f ′(x )＝0，得x ＝1e，当x ∈(0(5分)所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .……………………………………(6分) (2)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞.………………(8分)令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e<m <0时，原方程有两解．………………………………………………………(12分)20．解 (1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)．当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，……………………………………………………(3分)f (x )在(－∞，－2)内单调递减， 在(－2，＋∞)内单调递增， 在x ＝－2时，f (x )有极小值．所以f (－2)＝－12是f (x )的极小值．……………………………………………………(6分)(2)在(－1,1)上，f (x )单调递增当且仅当f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)≥0恒成立，即3ax 2＋3ax －1≤0恒成立，①…………………………………………………………(7分)(ⅰ)当a ＝0时，①恒成立； (ⅱ)当a >0时，①成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋3a －1≤0，3a －3a －1≤0成立，解得0<a ≤16.(ⅲ)当a <0时①成立，即3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－3a4－1≤0成立，当且仅当－3a 4－1≤0，解得－43≤a <0.………………………………………………(11分)综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，16.………………………………………………………(12分)21．解 (1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1(0<x <m )， 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256(0<x <m )．……………………………………………………(5分)(2)由(1)知f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12，…………………………………………………(7分)令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0， f (x )在区间(64,640)内为增函数，………………………………………………………(10分)所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时，n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．……………………………………………………(12分)22．解 (1)因为f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点， 所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，…………………………………………………………………(3分)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－1.………………………………………………………………(4分)(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.……………………………………………(6分)因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的；在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．………………………………………………(8分)(3)由(1)可知f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2， 故f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(e x －1－x )，令h (x )＝e x －1－x ，则h ′(x )＝e x －1－1.…………………………………………………(9分)令h ′(x )＝0，得x ＝1，因为x ∈(－∞，1]时，h ′(x )≤0， 所以h (x )在x ∈(－∞，1]上单调递减． 故x ∈(－∞，1]时，h (x )≥h (1)＝0. 因为x ∈[1，＋∞)时，h ′(x )≥0， 所以h (x )在x ∈[1，＋∞)上单调递增．故x ∈[1，＋∞)时，h (x )≥h (1)＝0.……………………………………………………(11分)所以对任意x ∈(－∞，＋∞)，恒有h (x )≥0，又x 2≥0，因此f (x )－g (x )≥0， 故对任意x ∈(－∞，＋∞)， 恒有f (x )≥g (x )．…………………………………………………………………………(12分)。