全等三角形之辅助线(随堂测试及答案)

八年级全等三角形----辅助线篇(含答案)

八年级数学全等三角形---辅助线复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=o。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN ∠的平分线。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =B. 4AB =，3BC =，30A ∠=oC. 60C ∠=o ，45B ∠=o ，4AB =D. 90C ∠=o ，6AB =3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（第3题）（第4题）（第5题）（第6题） 4. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=o ，则D ∠等于( )A. 67oB. 46oC. 23oD. 无法确定二、填空题：5. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=o ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；三、解答题：7. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

第19章《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)

第19章《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法(含答案)《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法（含答案）【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC ∆中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。

解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ∆≅∆，3==AC BE ∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理)即822 AD ∴41 AD经验总结：见中线，延长加倍。

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， (1 )可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． ( 2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

八年级的上册数学《第一章全等三角形的辅助线》知识点与同步训练含答案解析.doc

全等三角形辅助线的作法知识精讲一．中点类辅助线作法见到中线 (中点 )，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC 底边的中线 )．A A AMFBD C B CB D CDN EE图1 图 2 图3二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍．A A AO P OP O PB B B三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长” ，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．三点剖析一．考点：全等三角形辅助线的作法二．重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．题模精讲题模一：中点类例 1.1.1已知：△ ABC中，AD是BC边上的中线，AB 8 ， AC 6，试求AD的取值范围．【答案】 1 AD7【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等．ABC DE延长 AD 至 E，使得 DE AD ，连结 CE在△ ABD 和△ ECD 中BD CD1. ADBEDC∴△ ABD ≌△ ECD（ SAS ）AD ED∴ AB CE∴ AE 的取值范围为 CE AC AE CE AC2 AE 141 AD 7例 1.1.2 如图所示，在ABC 中， AB AC，延长 AB到 D，使BD AB ，E 为 AB 的中点，连接 CE 、CD ，求证： CD 2EC ．AEB CD【答案】见解析【解析】解法一：如图所示，延长CE 到 F ，使 EF CE ，连接 BF．容易证明EBF ≌EAC ，从而 BF AC ，而 AC AB BD ，故 BF BD ．注意到CBD BAC ACB BAC ABC ，CBF ABC FBA ABC CAB ，故CBF CBD ，而 BC 公用，故CBF ≌CBD ，因此 CD CF2CE ．F AEB CD解法二：如图所示，取 CD 的中点 G ，连接 BG ．因为 G 是 CD 的中点， B 是 AD 的中点，故 BG 是 DAC 的中位线，从而 BG 1 1AC AB BE，2 2由 BG∥ AC 可得GBC ACB ABC EBC ，故BCE ≌ BCG ，从而 EC GC，CD 2CE ．AEB CGD题模二：角平分线类例 1.2.1如图，A D 180 ， BE 平分ABC ， CE 平分BCD ，点 E 在 AD 上．①探讨线段AB 、 CD 和 BC 之间的等量关系．②探讨线段BE 与 CE 之间的位置关系．DEAB C【答案】见解析【解析】① AB CD BC ；② BE CE ．证明如下：在线段 BC 上取点 F ，使 FB AB ，连结 EF ．在ABE 和FBE 中AB FBABE FBEBE BE∴ABE ≌ FBE∴AEB FEB ， BAEBFE∵ A D 180而BFE CFE 180∴CDE CFE在 CDE和 CFE中CDE CFEDCE FCECE CE∴CDE ≌ CFE∴ DEC FEC ， CD CF∴AB CD BC ， BEC BEFCEF 90E DAB F C例 1.2.2如图，已知AB AC ，BAC 90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证： BD 2CE ．ADEB C【答案】见解析【解析】延长 CE，交 BA 的延长线于点F．∵BD 为∠ ABC 的平分线， CE⊥BE ，∴△ BEF ≌△ BEC，∴BC BF ， CE FE ．∵BAC 90 ， CE⊥ BE，∴ABD ACF ，又∵AB AC ，∴△ABD≌△ ACF ，∴BD CF ．∴BD 2CE ．FAD EB C例 1.2.3 已知MAN 120 ，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（ 1）如图 1，若ABC ADC 90 ，请你探索线段、、之间的数量关系，并证明之；AD AB AC（ 2）如图 2，若ABC ADC 180 ，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】见解析【解析】（ 1）关系是： AD AB AC ．证明：∵ AC 平分∠ MAN ， MAN 120∴CAD CAB 60又ADC ABC 90 ，∴ACD ACB 30则AD AB 1AC （直角三角形一锐角为 30°，则它所对直角边为斜边一半）2∴AD AB AC；（ 2）仍成立．证明：过点 C 分别作 AM 、 AN 的垂线，垂足分别为E、 F ∵ AC 平分∠ MAN∴ CE CF （角平分线上点到角两边距离相等）∵ABC ADC 180 ， ADC CDE 180∴CDE ABC又CED CFB 90 ，∴△ CED ≌△ CFB （AAS ）∵ED FB，∴ AD AB AE ED AF FB AE AF由（ 1）知 AE AF AC ，∴AD AB AC．题模三：截长补短类例 1.3.1如图所示，ABC 是边长为腰三角形，以 D 为顶点作一个60 的ANMB CD1的正三角形，BDC 是顶角为 120 的等MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求AMN 的周长．【答案】见解析【解析】如图所示，延长 AC 到 E 使 CE BM ．在BDM 与CDE 中，因为 BD CD ，MBD ECD 90 ， BM CE ，所以BDM ≌ CDE ，故 MD ED ．因为BDC 120 ， MDN 60 ，所以BDM NDC 60 ．又因为BDM CDE ，所以MDN EDN 60 ．在MND 与END 中， DN DN ，MDN EDN 60 ，DM DE ，所以MND ≌ END ，则 NE MN ，所以AMN 的周长为 2 ．ANMB CED例 1.3.2阅读下列材料：如图 1，在四边形ABCD中，已知∠ ACB=∠BAD=105°，∠ ABC=∠ ADC=45° . 求证： CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠ DAC=75°，∠ DCA=60°，∠ ACB+∠ DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形. 即过点 A 作 AE⊥ AB交 BC的延长线于点E，则 AB=AE，∠E=∠D.在△ ADC与△ CEA中，∵∴△ ADC≌△ CEA，得 CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图 2，在四边形ABCD中，若∠ ACB+∠CAD=180°，∠ B=∠ D，请问： CD与 AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质．CD 与 AB 相等．证明如下：作 AE AB 交 BC 的延长线于点 E，∴ B E∵ B D∴ D E ，∵ACB DAC 180 ， ACB ECA 180 ，∴DAC ECA ，∵在△DAC 和△ECA 中D EDACECAAC CA∴ △DAC ≌ △ECA∴CD AE∴CD AB.随堂练习随练1.1 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DE CD，EF AC ．求证：EF ∥ AB ．AFB E D C【答案】见解析【解析】延长 AD 到 M ，使 DM AD ，连结 EM ，利用 SAS 证明ADC ≌MDE ，∴3M，AC EM．又AC EF，∴EM EF，∴1M，∴1 3 ，∵ AD 平分 BAC ，∴23 ，∴12，∴ EF∥AB．A2 3F1B E D CM随练 1.2 已知ABC中，A 60，BD、CE分别平分ABC和. ACB，BD、CE交于点O，试判断 BE 、 CD 、BC 的数量关系，并加以证明．AEDOB C【答案】见解析【解析】BE CD BC ，理由是：在 BC 上截取 BF BE ，连结 OF ，利用 SAS 证得BEO ≌BFO ，∴ 1 2 ，1 A 120 ，∴DOE 120 ，∵A60 ，∴BOC 902∴A DOE 180 ，∴AEO ADO 180 ，∴13180，∵ 2 4 180 ，∴12，∴3 4 ，利用 AAS 证得CDO ≌ CFO ，∴ CD CF ，∴ BC BF CF BE CD ．AEO D142 3B F C随练 1.3如图，在△ ABC中，BAC 别是∠ BAC、∠ ABC的角平分线．求证：（1） BQ CQ ；（2） BQ AQ AB BP ．60 ，ACB 40 ，P、Q分别在BC、 CA上，并且AP、BQ分【答案】见解析【解析】该题考察的是全等三角形．（ 1）∵ BQ 是 ABC 的角平分线，∴QBC 1ABC ．2∵ABC ACBBAC 180 ，且BAC 60 ， ACB 40 ，∴ABC 80 ，∴QBC 140 ，802∴QBC C ，∴BQ CQ；（ 2）延长AB 至 M，使得 BM BP ，连结 MP．∴M BPM ，∵△ ABC 中 BAC 60 ， C 40 ，∴ABC 80 ，∵BQ 平分ABC ，∴QBC 40 C ，∴BQ CQ，∵ABC M BPM ，∴M BPM 40C，∵AP 平分 BAC ，∴MAP CAP ，在△AMP 和△ACP 中，M C∵MAP CAP APAP∴△ AMP ≌△ ACP，∴AM AC，∵ AM AB BM AB BP，AC AQ QC AQ BQ，∴AB BP AQ BQ随练 1.4五边形ABCDE中，AB AE ， BC DE CD ，ABC AED 180 ，求证：AD平分∠CDE．AB EC D【答案】见解析【解析】延长 DE 至 F，使得 EF BC ，连接 AC.∵ ABC AED 180 ，AEF AED 180 ，∴ ABCAEF∵ AB AE，BC EF ，∴△ ABC≌△ AEF ．∴ EF BC，AC AF∵ BC DE CD ，∴ CD DE EF DF∴△ ADC ≌△ ADF ，∴ ADC ADF即 AD 平分∠ CDE．AFB EDC随练 1.5 如图，△ABC中，BAC BC ， AD是 BC边上的高，如果 CD AB BD ，我们就称△ ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：（ 1）若 BAC 90 ， C 30 ，则△ ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是” ）；（ 2）一般地，如果△ABC是“高和三角形” ，则 B 与 C 之间的关系是 ____，并证明你的结论【答案】（ 1）是（ 2） B 2 C；见解析【解析】该题考察的是全等三角形．（ 1）如图， Rt△ABC 中，BAC 90， B 60， C 30在 BC 上截取 BE AB ，则△ABE 为等边三角形∴AB BE AE∵BAE 60 ， BAC 90∴EAC 30 C∴AE EC∴AB EC∵AD BC ，且△ABE为等边三角形∴BD DE∴DC DE EC BD AB∴是高和三角形．E（ 2）如上图，在△ABC 中，在 DC 上截取 DE BD ．∵CD AB BD∴CE AB∴CEAC∴BEA 2C∵AD 是 BC 边上的高且 BD DE∴△ ABD ≌△ AED （SAS）∴AEB B∴ B 2 C随练 1.6如图所示，BAC DAE 90 ，M 是 BE 的中点， AB AC ，AD AE ，求证 AM CD ．AEBMC D【答案】见解析【解析】如图所示，设AM 交 DC 于 H ，要证明AM CD ，实际上就是证明AHD 90 ，而条件 BM ME 不好运用，我们可以倍长中线AM 到 F ，连接 BF 交 AD 于点 N ，交 CD 于点 O ．容易证明AME ≌FMB则 AE FB，EAF F ，从而 AE∥ FB ，ANF 90而CAD DAB 90 ，DAB ABN 90 ，故CAD ABN从而CAD≌ABF ，故D F而D DON FOH F 90故AHD 90 ，亦即 AM CD ．AEB M CNHODF随练 1.7已知：如图，在△ABC中，ABC 3 C ，1 2 ，BE⊥AE．求证：AC AB 2BE ．【答案】见解析【解析】延长 BE交 AC于 M，∵ BE⊥ AE，∴AEB AEM 90在△ ABE 中，∵ 1 3AEB 180 ，∴390 1同理， 4 90 2∵ 1 2 ，∴ 3 4，∴ AB AM∵ BE⊥ AE，∴ BM 2BE ，∴AC AB AC AM CM，∵∠ 4 是△ BCM 的外角，∴ 4 5 C∵ ABC 3 C，∴ ABC 35 45∴ 3 C 4 5 25C ，∴ 5 C ∴ CM BM ，∴AC AB BM 2BE自我总结课后作业作业 1 求证：已知：如图，AB CD ．E 是BC的中点，点A 在DE上，且BAE CDE ．【答案】【解析】∵E是 BC ∵在△BEF见解析．延长DE到的中点，∴和△CED 中F，使 EFBE CE ，DE ，连接BF ，BE CEBEFCED EFDE∴△ BEF ≌△ CED ．∴ FCDE ， BF CD ．∵ BAECDE ，∴ BAEF ． ∴ AB BF ，又∵ BFCD ，∴ ABCD ．作业 2如图，在 ABC 中，D 为 BC 边上的中点， AE 平分 BAC 交 BC 于 E ，DF //AE 交 AC 于 F ，AC 2 ，AB 1 ，求 CF 的长．【答案】32【解析】解：延长 DF 交 BA 延长线与点 G ，延长 FD 到 H 使得 HDFD ，连接 BH ．AE 平分 BAC ， DG //AE ，BAE EAC DFCAFG DGA ， FA GA ，又 DH DF ，CDDB ，易得CFDBHD ，CF BH ， CFD BHD AGF ，则 BHBG CF ，设 AFx ，则 BG 1 x ， CFAC AF 2 xBH BG 1 x ，解得， x1，CF2 x3 ．22作业 3如图，在△ ABC中， C 2 B ，AD平分∠BAC，求证：AB AC CD ．ABDC【答案】见解析【解析】在 AB 上截取点E，使得 AE AC ．∵ AD 平分∠BAC，∴EAD CAD ，∴△ ADE ≌△ ADC（ SAS ）．∴AED C，ED CD ．∵ C 2 B，∴AED =2 B ．∵AED∴CD BE B EDBAB AE，∴ABBAC ．EDB ，∴BE DE ．AEBDC作业 4 已知：AOB角边分别与 OA、 OB交于90 ，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点C、 D．P 在射线OM上滑动，两直（1）PC和PD的数量关系是 __________ ．（2）请你证明（ 1）得出的结论．【答案】见解析【解析】（1） PC PD ．（2）过 P 分别作 PE⊥ OB 于 E， PF⊥ OA 于 F，∴CFP DEP 90 ，∵ OM ∵ 1 是∠ AOB 的平分线，∴PE PF FPD 90 ，且AOB 90 ，，∴FPE 90 ，∴ 2 FPD 90，∴ 1 2 ，在△ CFP 和△ DEP 中CPF DEPPF PE ，∴△ CFP ≌△ DEP ，∴ PC PD ．1 2作业 5 已知：如图，△ABC中，AB AC，BD平分∠（ 1） DP⊥ BC时（如图 1），求证： BP DC CP ；ABC， BC上有动点P．（ 2） DP平分∠ BDC时（如图2）， BD、 CD、 CP三者有何数量关系？【答案】（ 1）见解析（【解析】（ 1）证明：在2） BD CDBP 上截取 PMCPPC ，连接DM ，∵DP⊥ BC ，∴DM DC，∴C DMC，∵AB AC，∴ABC C DMP ，∵BD 平分∠ ABC ，∴ABC 2 DBC C，∴DMC 2 DBC ，∵DMC DBC BDM ，∴DBC MDB ，∴DM BM DC ，∴BP BM PM DC CP．（2）解： BD CD CP ，理由是：在BD 上截取 DM DC ，连接 PM，∵DP 平分∠ BDC ，∴ MDP CDP ，在△MDP 和△CDP 中DM DCMDP CDPDP DP∴△ MDP ≌△ CDP （ SAS），∴CP MP，C DMP ，∵CABC 2 DBC，∴DMP 2 DBCDBCMPB ，∴DBC MPB ，∴BM MP CP，∴BD CD CP．作业 6已知等腰ABC ， A 100 ，ABC 的平分线交AC 于 D ，则 BD AD BC ．ADBC【答案】见解析【解析】如图，在 BC 上截取 BE BD ，连接 DE ，过D 作DF ∥BC ，交 AB 于F ，于是 3 2 ， ADFECD ．又∵ 1 2 ，∴ 1 3，故 DF BF ．显然 FBCD 是等腰梯形． ∴ BFDC ，DFDC ．∵ 2 1 ABC1 1180 100 20 ，2 2 2BEDBDE1 1802 80 ，2∴ DEC 180 BED 100 ，∴ FADDEC100 ，∴ AFD ≌ EDC ，ADEC ．又∵ BEBD ，∴ BCBD EC BD AD ．AF 3D1B2CE作业 7如图，在△ ABC 中， AB AC ，D 是三角形外一点，且 ABD 60 ， BD DC AB ．求证：ACD60【答案】见解析【解析】延长 BD 至 E ，使 CD DE ，连接 AE ，AD ，∵BD CD AB ，BE BD DE ，∴ BEAB ，∵ABD 60 ，∴△ ABE 是等边三角形，∴ AE AB AC ， E60 ，AC AE 在△ACD 和△ADE 中，CD DE ，AD AD∴△ ACD ≌△ ADE （SSS），∴ACD E 60．作业8如图1，在△ABC中，ACB 2 B ，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l ⊥ AO于H，分别交直线AB、AC、 BC于点N、 E、 M．（ 1）当直线l 经过点 C时（如图2），证明：BN CD ；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【答案】（ 1）见解析（ 2） CD 2CE （ 3）当点 M 在线段 BC 上时，BC 的延长线上时，CD BN CE ；当点 M 在 CB的延长线上时，CD 【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质．CDCEBNBNCE ；当点M 在（1）证明：连接ND ．∵ AO 平分∠BAC，∴1 2 ，∵直线 l ⊥AO 于 H，∴4590，∴67 ，∴ AN AC，∴NH CH，∴AH 是线段 NC 的中垂线，∴DN DC，∴8 9 ．∴AND ACB ，∵AND B3， ACB 2 B ，∴ B 3 ，∴BN DN．∴BN DC；（ 2）如图，当 M 是 BC 中点时， CE 和 CD 之间的等量关系为 CD 2CE 证明：过点 C 作 CN'⊥ AO 交 AB 于 N'．由（ 1）可得 BN CD，AN AC，AN AC．∴ 4 3， NN CE ．过点 C 作 CG∥AB 交直线 l 于 G．∴ 4 2 ， B 1．∴23 ．∴CG CE．∵M 是 BC 中点，∴BM CM在△ BNM 和△ CGM 中，B 12.BM CM∴△ BNMNMB≌△ CGMGMC．（ ASA ）∴ BN CE ．∴ CD BN NN BN 2CE ．（ 3）BN、 CE、 CD 之间的等量关系：当点 M 在线段 BC 上时， CD BN CE ；当点 M 在 BC 的延长线上时，CD BN CE ；当点 M 在 CB的延长线上时， CD CE BN ．。

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常有的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角之间的相等【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两头把线连。

要证线段倍与半，延伸缩短可试验。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延伸中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形3.角均分线在三种添协助线4.垂直均分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法” ：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90 的特别直角三角形，而后计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特别直角三角形，或40-60-80 的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。

常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法结构全等三角形．3)碰到角均分线在三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．（ 2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.ABD例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BBAE.AEFDCAB应用：1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtDECABD和等腰Rt ACE，BAD CAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过＝AD+BC。

全等三角形辅助线举例试题与解析答案

全等三角形辅助线举例试题与解析答案一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（）A．5 B．6C．7D．8考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在△BDF和△CND中，∵，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，在△DMN和△DMF中，∵，∴△DMN≌△DMF（SAS）∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．二．填空题（共1小题）2．△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是2＜AD＜5．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．菁优网版权所有分析：如图，延长AD至E，使DE=AD，就可以得出△ADB≌△EDC，就可以得出CE=AB，在△ACE中，由三角形的三边关系就可以得出结论．解答：解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB．∵AC=3，∴EB=3．∴7﹣3＜AE∠7+3，∴4＜2AD＜10，∴2＜AD＜5．故答案为：2＜AD＜5．点评：本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键．三．解答题（共13小题）3．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是AM⊥DE，线段AM与DE的数量关系是DE=2AM；（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出△FAB≌△EAD，利用全等三角形的性质得到BF=DE，∠F=∠AEN，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根据AM∥FB，可得到AM=FB．解答：（1）ED=2AM，AM⊥ED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°又∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠ABG=∠DAE．再证：△DAE≌△ABG∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．延长MA交DE于H，∵∠BAG+∠DAH=90°，∴∠HDA+∠DAH=90°．∴AM⊥ED．（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．∵DA⊥BA，EA⊥AF，∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．∵在△FAB和△EAD中，∴△FAB≌△EAD（SAS）∴BF=DE，∠F=∠AEN，∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．∴FB⊥DE．又∵CA=AF，CM=MB．∴AM∥FB，且AM=FB，∴AM⊥DE，AM=DE．点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件．此题综合性较强，要注意观察图象的特点．4．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．解答：解：过D作DE⊥AB于E，∵AD=BD DE⊥AB∴AE=AB，∠DEA=90°，∵AC=AB∴AE=AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD=∠AED，∴∠ACD=90°，∴AC⊥DC．点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．5．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC．解答：解：过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=，∴AF+FB=2EF，∴AB=AD+BC．点评：主要考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的判定和梯形中位线定理，解题的关键是要灵活运用已知条件求出EF=．6．如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．由已知条件不难算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证．解答：证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C．∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，AP=AP，∠1=∠2，∠D=∠C=40°∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．点评：本题实际是以角平分线AP为对称轴将△APC翻折成△APD．利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴．作辅助线构造全等三角形是关键．7．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．解答：解：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上的一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有专题：动点型．分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题．解答：解：有BC=AD+AE．连接AC，过E作EF∥BC交AC于F点．∵∠B=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵EF∥BC，∴△AEF为等边三角形．即AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°．所以∠CFE=120°．（3分）又∵AD∥BC，∠B=60°故∠BAD=120°．又∵∠DEC=60°，∠AEF=60°．∴∠AED=∠FEC．（1分）在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE．∴AD=FC．（1分）则BC=AD+AE．（1分）点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题．9．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB+AC＞AD+AE．考点：三角形三边关系．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE．可知四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，延长AD至H，交BG于H．运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明．解答：证明：连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE，∵BD=CE，∴DF=EF，∴四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，∴BG=AC，DG=AE，延长AD至H，交BG于H，∵AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，∴AB+BH+DH+HG＞AD+DH+DG，∴AB+BG＞AD+DG，即AB+AC＞AD+AE．点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键．本题借助辅助线DH起枢纽作用．10．已知：如图△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点F．求证：（1）∠BFE=60°；（2）FE=FD．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）证明∠EBF=∠CBF=α，∠DCF=∠BCF=β，求出α+β=60°，证明∠BFE=α+β=60°问题即可解决．（2）证明∠A+∠EFD=180°，得到A、E、F、D四点共圆；证明∠EAF=∠DAF，故FE=FD．解答：证明：（1）∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠EBF=∠CBF=α，∠DCF=∠BCF=β；又∵∠A=60°，∴2α+2β=180°﹣60°=120°，∴α+β=60°，∴∠BFE=α+β=60°．（2）如图，连接AF；∵∠BFE=60°，∴∠EFD=120°，∴∠A+∠EFD=180°，∴A、E、F、D四点共圆，设为⊙O；由题意知在⊙O中，∠EAF=∠DAF，∴FE=FD（相等的圆周角所对的弦相等）．点评：该题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形外角的性质、四点共圆的判定及其应用等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=12，AC=8，求AE的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有分析：（1）连接DB、DC，证明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出结论；（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB﹣AE，代入可求得结果．解答：（1）证明：连接DB、DC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵DG⊥BC且平分BC于点G，∴DB=DC，在Rt△BDE和Rt△CFD中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE=CF；（2）解：由（1）知BE=CF，且在△ADE和△ADF中∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB﹣AE，∴AE=AC+AB﹣AE，∴2AE=AC+AB=8+12=20，∴AE=10．点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．12．如图，点E为正方形ABCD的边AB上一点，点F为边BC上一点，EF=AE+CF，试求∠EDF的度数．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由四边形ABCD为正方形，可得DA=DC，∠A=∠DCB=90°，然后把△DAE绕点D顺时针旋转90°得到△DCM，易证得△DFM≌△DFE（SSS），继而求得答案．解答：解：四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠A=∠DCB=90°，∴把△DAE绕点D顺时针旋转90°得到△DCM，如图，∴∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∠EDM=90°，AE=CM，∴点M在BC的延长线上，∴MF=CF+CM，∵EF=AE+CF，∴MF=EF，在△DFM和△DFE中，∴△DFM≌△DFE（SSS），∴∠MDF=∠EDF，∴∠EDF=∠EDM=45°．点评：此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM=DN；（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：（1）连接AD，可得∠ADM=∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM=DN；（2）连接AD，可得∠ADM=∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM=DN．解答：解：（1）连接AD，∵D为BC中点，∴AD=BD，∠BAD=∠C，∵∠ADM+∠ADN=90°，∠ADN+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM=DN．（2）连接AD，∵D为BC中点，∴AD=BD，∠BAD=∠C，∵∠ADM+∠MDC=90°，∠MDC+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，∵∠MAD=MAC+DAC=135°，∠NCD=180°﹣∠ACD=135°在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM=DN．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD≌△CND是解题的关键．14．（2007•牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题．分析：根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF．同理图2可证明是成立的，图3不成立．解答：解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．点评：本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用．15．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN；此时=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN，此时；（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM=MN．解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．（2分）．理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，∵DM=DN，BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；∴AM=AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB=AM+BM，∴AM：AB=2：3，∴=；（2）猜想：结论仍然成立．（3分）．证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∴=；（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，（5分）可证∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，（7分）．∴NC﹣BM=MN．（8分）．点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．。

人教版八年级数学全等三角形中的常见辅助线(举一反三)(含解析)

人教版八年级数学全等三角形中的常见辅助线(举一反三)(含解析)本文介绍了全等三角形中的常见辅助线，包括角分线上点向角两边作垂线和截取法构全等两种方法。

第一种方法是过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

举例来说，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，要求证∠BFP+∠BEP＝180°。

另外，还有一些变式题，例如已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，要求解出PC和PD之间的数量关系。

第二种方法是利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例如，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，要求证BC＝AB+DC。

还有一些变式题，例如已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，要求判断BE，CD，BC的数量关系。

本文还提到了一些其他问题，例如在△ABC中，∠XXX是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，要求判断FE与FD之间的数量关系。

此外，还有一些类似的变式题，需要读者自行思考和解答。

需要注意的是，本文中有一些格式错误和明显有问题的段落需要删除，同时每段话也需要进行小幅度的改写，以使其更加准确、清晰和易于理解。

在△ABC中，通过截取AE＝AC的方式，连接DE，得到△ADE≌△ADC。

因此，我们可以证明XXX。

对于图②，我们知道AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线于点D，且∠D＝25°。

我们需要求解∠B的度数。

对于△XXX，我们可以通过以下方式求解∠B的度数：∠B＋∠C＋∠A＝180°。

因为∠C＝2∠B，所以∠A＝180°－3∠B。

辅助线——全等三角形专题训练

辅助线——全等三角形专题训练点G连接B，交MN于点H，连接DH，因为∠ABC为外角，所以∠ABH=∠ABC/2。

又∠HMD=90度，所以∠XXX=90度-∠ABH，即∠DMH=∠ABC/2。

因为∠XXX∠ABH，所以∠DGM=∠ABC/2，又因为∠DGM=∠MBN。

所以∠XXX∠ABC/2，所以∠NMB=90度-∠ABC/2，所以∠XXX∠NMB-∠DMH=90度-∠ABC/2-∠ABC/2=90度-∠ABC。

又因为∠MDN=90度，所以∠XXX=90度-∠MDN=∠ABC。

所以∠XXX∠XXX-∠XXX∠ABC-(90度-∠ABC)=2∠ABC-90度。

因为∠DGH=∠ABH=∠ABC/2，所以∠XXX∠DGM，所以DM=MN。

在等腰三角形ABC中，顶角A的度数为20度。

在边AB 上取点D，使得AD=BC。

求角BDC的度数。

解析：以AC为边向外作正三角形ACE，连接DE。

在三角形ABC和三角形EAD中，AD=BC，AB=EA，∠EAD=∠BAC+∠CAE=20+60=80=∠ABC。

因此，三角形ABC≌三角形EAD。

由此可得ED=EA=EC，因此三角形EDC 是等腰三角形。

由于∠AED=∠BAC=20度，因此∠CED=∠AEC-∠AED=60-20=40度。

从而∠DCE=70度，∠DCA=∠DCE-∠ACE=70-60=10度，因此∠XXX∠DAC+∠DCA=20+10=30度。

另解1：以AD为边在三角形ABC外部作等边三角形ADE，连接EC。

在三角形ACB和三角形CAE中，∠CAE=60度+20度=∠ACB，AE=AD=CB，AC=CA，因此三角形ACB≌三角形CAE，从而∠CAB=∠ACE，CE=AB=AC。

在三角形CAD和三角形CED中，AD=ED，CE=CA，CD=CD，因此三角形CAD≌三角形CED，从而∠ACD=∠ECD，∠XXX∠ACE=2∠ACD，因此∠ACD=10度，因此∠BDC=30度。

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案) (1)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，能够从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样能够得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．D C BAED F CB A2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）能够自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）能够在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

初中七年级下册平面几何证明之全等三角形之辅助线习题(含答案发))

初中七年级下册平面几何证明之全等三角形之辅助线习题(含答案发))AB∥CD（已知）___∠ACD（平行线夹角相等）AD∥BC（已知）___∠BCA（平行线夹角相等）ABC∽△CDA（AA）___又因为AC=BD，所以___AB+AD=BD+CDABCD是平行四边形又因为AB∥CD，所以∠ABD=∠CDA在△ABD和△CDA中AB CD（已知）BD AD（证明得出）ABD=∠CDA（证明得出）ABD≌△CDA（SAS）AB=CD，AD=BC（全等三角形对应边相等）3.证明：如图，连接BF、CF在△BFC和△DFC中BC ED（已知）___∠___∠___（已知）BF DF（公共边）BFC≌△DFC（SAS）___∠CFD（全等三角形对应角相等）又因为BC=ED，所以___又因为AB=AE，所以∠AFE=∠BAF在△___和△BAF中AF AF（公共边）AFE=∠BAF（证明得出）AE AB（已知）AFE≌△BAF（SAS）AFB=∠AFE（全等三角形对应角相等）又因为∠___∠CFD，所以∠AFB=∠CFD AFB=∠______⊥BD4.证明：如图，连接BC在△ABC中B=∠C（已知）AB=AC（等角对应边相等）5.证明：如图，连接BD，BE在△ABD和△___中AB EB（共边）ABD=∠___（已知）BD BC（已知）ABD≌△EBC（SAS）BD=BE（全等三角形对应边相等）6.证明：如图，连接BF，CF，AE，DE 在△ABD和△ECD中AE BD（已知）AED=∠ABD（公共角）EC DC（已知）AED≌△ABD（SAS）___∠AFE（全等三角形对应角相等）又因为BF=DF，所以BF+FD=DF+DE 又因为AE=BD，所以AF+FD=BFAF+FD=DF+DEAF-DE=DF-FDAF-DE=DF-FC又因为EC=CD，所以∠ECD=∠CDE在△ECD和△___中EC BC（已知）ECD=∠CDE（证明得出）CD FC（已知）ECD≌△___（SAS）BF=DE（全等三角形对应边相等）又因为BF=DF，所以BF-DE=DF-DEBF-DE=DF-FCBE=CF又因为∠___∠AFE，所以∠BAF+∠___∠AFE+∠CAF ___∠___又因为BE=CF，所以∠___∠CAF___∠CAF___⊥BD7.因为BD，CE是△ABC的高，所以∠ABD=90°，∠ACE=90°又因为BP=AC，CQ=AB，所以___BPC∽△CQA（SAS）又因为∠___∠CQA=90°，所以△BPC和△CQA是直角三角形又因为BP=AC，CQ=AB，所以BP+CQ=AB+AC=BCBP+CQ=BC又因为___，所以BP/BC=AC/(AB+AC)BP/BC=AC/BCBP=AC又因为BP=AC，所以___CQ/BC=AB/ACCQ=AB又因为BP=AC，CQ=AB，所以BP+CQ=AB+AC=BCAP=BQ=BC/2又因为BD，CE是△___的高，所以AP⊥BD，___⊥CE ___⊥BD，___⊥CEAP∥BQ又因为AP=BQ，所以APBQ是平行四边形AP=BQ，AP∥BQ2+∠4=90°又因为AB=AC，所以△ABP≌△ACQ（ASA）AP=AQ又因为AP⊥AQ，所以APQ为等腰直角三角形PAQ=45°8.解：如图。

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

专题：三角形全等常用辅助线及模型(答案)

专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。

全等三角形之辅助线(习题及答案)

1⎩全等三角形之辅助线（习题）➢ 例题示范例 1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是 AB 边上一点， AD =AC ，过点 D 作 DE ⊥AB ，交 BC 于点 E ．求证：CE =DE ．【思路分析】读题标注：梳理思路：要证 CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明．观察图形，发现不存在全等的三角形．结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接 AE ，证明 △ACE ≌△ADE ．【过程书写】证明：如图，连接 AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE在 Rt △ACE 和 Rt △ADE 中 ⎧ AE = AE ⎨AC = AD （公共边）（已知） ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等）2过程规划：1. 描述辅助线：连接 AE2. 准备条件：∠C =∠ADE =90°3.证明△ACE ≌△ADE4. 由全等性质得，CE =DE11. 已知：如图，B，C，F，E 在同一条直线上，AB，DE 相交于点G，且BC=EF，GB=GE，∠A=∠D．求证：DC=AF．➢巩固练习2.已知：如图，∠C=∠F，AB=DE，DC=AF，BC=EF．求证：AB∥DE．2 过程规划：过程规划：3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F 分别是AD，BC 的中点．求证：BE=DF．4.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，点E，F 分别在AB，BC 上，且AE=BF，AF 交DE 于点G．求证：DE⊥AF．36. 如图，C 为线段AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN，交CM 于点E，连接BM，交CN 于点F．有下列结论：①∠AMB=∠ANB；②△ACE≌△MCF；③CE=CF；④EN=FB．其中正确结论的序号是．45. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC ，AC与BD 相交于点O，过O 作EF 交AD 于点E，交BC 于点F，则图中的全等三角形共有（）A．5 对B．6 对C．7 对D．8 对➢思考小结1. 根据本章知识结构图回答下列问题：（1）补全知识结构图．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在的三角形；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形．（3）要证明两个三角形全等需要准备组条件，这三组条件里面必须有；SSA 不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．（4）由全等三角形的性质可知：全等三角形相等，相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具．5⎨⎩⎨⎩【参考答案】➢巩固练习1.证明：如图，过点G 作GH⊥BE 于点H∵GH⊥BE∴∠GHB=∠GHE=90°在Rt△GHB 和Rt△GHE 中，⎧GB =GE（已知）⎨⎩GH =GH（公共边）∴Rt△GHB≌Rt△GHE（HL）∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等）∵BC=EF∴BC+CF=EF+CF即BF=EC在△ABF 和△DEC 中，⎧∠A =∠D（已知）⎪∠B =∠E（已证）⎪BF =EC（已证）∴△ABF≌△DEC（AAS）∴DC=AF2.证明：如图，连接BE在△AEF 和△DBC 中，⎧AF =DC（已知）⎪∠F =∠C（已知）⎪EF =BC（已知）6⎨⎩⎨⎩⎨⎩∴△AEF≌△DBC（SAS）∴AE=DB（全等三角形对应边相等）在△ABE 和△DEB 中，⎧AE =DB（已证）⎪AB =DE（已知）⎪EB =BE（公共边）∴△ABE≌△DEB（SSS）∴∠ABE=∠DEB（全等三角形对应角相等）∴AB∥DE3.证明：如图，连接BD∵AB∥CD，AD∥BC∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD在△ABD 和△CDB 中，⎧∠ABD =∠CDB（已证）⎪BD =DB（公共边）⎪∠ADB =∠CBD（已证）∴△ABD≌△CDB（ASA）∴AD=CB（全等三角形对应边相等）∵E，F 分别是AD，BC 的中点∴DE=BF在△BED 和△DFB 中，⎧DE =BF（已证）⎪∠ADB =∠CBD（已证）⎪BD =DB（公共边）∴△BED≌△DFB（SAS）∴BE=DF（全等三角形对应边相等）4.证明：如图，7⎪⎩在△DAE 和△ABF 中 ⎧ AD = BA （已知） ⎨∠DAE =∠B （已知） ⎪ AE = BF （已知） ∴△DAE ≌△ABF （SAS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∵∠DAB =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AGD =90° ∴DE ⊥AF 5.B6. ②③④ ➢ 思考小结1.（1）SAS ，SSS ，ASA ，AAS SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL 相等；相等．（2）全等（3）3，边；AAA 反例：大小三角板；SSA 反例：作图略（4）对应边，对应角．8。

专题：三角形全等常用辅助线及模型(答案)

专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。

初中数学全等三角形角平分线辅助测试及答案

初中数学全等三角形角平分线辅助测试及答案一、全等三角形角平分线辅助1．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．2．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，P 是MN 上任一点，连结PA 、PB ，将线段AB 沿直线MN 对称，我们发现PA 与PB 完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN ⊥AB ，垂足为点C ，AC ＝BC ，点P 是直线MN 上的任意一点．求证：PA ＝PB ．分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB ．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC 中，直线m 、n 分别是边BC 、AC 的垂直平分线，直线m 、n 的交点为O ．过点O 作OH ⊥AB 于点H ．求证：AH ＝BH ．（2）如图③，在△ABC 中，AB ＝BC ，边AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线k 交AC 于点E ．若∠ABC ＝120°，AC ＝15，则DE 的长为．4．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．5．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．6．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.7．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证：()12DE AB AC =-.8．如图，OA=OB ，∠AOB=90°，BD 平分∠ABO 交OA 于点D ，AE ⊥BD 于E ，求证：BD=2AE.9．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、ACB ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ，试判断FE 和FD 之间的数量关系.10．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC BD CD ->-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=903︒=30°，∠DCA=2903⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．2．（1）214t ；（2）22t =3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t =【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的2AH =建立等式求解即可得；（3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==，四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线，1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，22AH HQ AQ t ∴===，则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=；（2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，2AH =，则22t =，解得t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t =；②如图3，当点Q 与点E 重合时，在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴≅，3AD AH ∴==， 23=，解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42AH AB ==， 24HB AB AH ∴=-=，在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=， Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒， Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==，则由EG HB =2624t -=-，解得722t =综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =；如图4，当EGQ HBF ≅时，722t =．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．3．（1）见解析；（2）5【分析】定理证明：先证明△PAC ≌△PBC ，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO 、BO 、CO 利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD ，BE ，证明△BDE 是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：∵MN ⊥AB ，∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．又∵AC ＝BC ，PC ＝PC ，∴△PAC ≌△PBC （SAS ），∴PA ＝PB ．定理应用：（1）如图2，连结OA 、OB 、OC ．∵直线m 是边BC 的垂直平分线，∴OB ＝OC ，∵直线n 是边AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ，∴OA ＝OB∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ；（2）如图③中，连接BD ，BE ．∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝30°，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ，∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°，∴△BDE 是等边三角形，∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ，∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ，∴DE ＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.4．40°【分析】在BC 上截取BF AB =，连接DF ，通过证明()ABD FBD SAS ≌，可得18080DFC A ︒∠=-∠=︒，再通过证明()DCE DCF SAS ≌，即可求得40ECA DCB ∠=∠=︒【详解】解：如图，在BC 上截取BF AB =，连接DF ， BD 是ABC ∠的平分线，ABD FBD ∴∠=∠，在ABD △和FBD 中，,,,AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBD SAS ∴△≌△，BFD A ∴∠=∠，AD DF =，∴DE=DF ，18080DFC A ∴∠=︒-∠=︒，又40ABC ACB ∠=∠=︒，60FDC ∴∠=︒，18060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠=︒，EDC FDC ∴∠=∠，在DCE 和DCF 中，,,,DE DF EDC FDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCE DCF SAS ∴△≌△，故40ECA DCB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 5．28°【分析】过点E 作EF ⊥AB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF ，根据线段中点的定义可得DE=CE ，然后求出CE=EF ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE 平分∠ABC ，即可求得∠ABE 的度数．【详解】如图，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．6．（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案为：CD=AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．7．见解析.【解析】【分析】延长CD交AB于点F，然后利用“角边角”证明△ADC和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，AC=AF，再根据三角形的中位线定理进行证明即可.【详解】如图，延长CD交AB于点F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，又AD＝AD∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，∵点E是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE=1BF，2∵BF=AB-AF=AB-AC，∴DE=1(AB-AC)．2【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE是三角形的中位线是解题的关键．8．详见解析【分析】延长BO，AE并交于F，证△ABE≌△FBE，推出AE=EF，证△BOD≌△AOF推出BD=AF即可．【详解】延长BO，AE并交于F，∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE 和△FBE 中1=2BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△FBE ，∴AE=EF ，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO ，∴∠2=∠OAF ，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD 和△OAF 中2=FAO BO AOBOD AOF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBD ≌△OAF ，∴BD=AF ，∵AE=EF ，∴BD=2AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.9．详见解析【解析】【分析】如图，过点F 作FH BC ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为H 、G ，根据角平分线，可得点F 是ABC ∆的内心，则有FG FH =，继而根据三角形内心的性质可得FDH FEG ∠=∠，从而可得FDH FEG ∆∆≌，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD ，理由如下：如图，过点F 作FH BC ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为H 、G. F 是BAC ∠，ACB ∠的平分线AD 、CE 的交点，F ∴为ABC ∆的内心，FG FH ∴=.60B ∠=︒， ()1602FAC FCA BAC BCA ∴∠+∠=∠+∠=︒，又60FDH B BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠；60FEG BAD FAC FCA BAD ∠=∠+∠+∠=︒+∠，FDH FEG ∴∠=∠，又GH FH =，FDH FEG ∴∆∆≌，FD FE ∴=.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．10．详见解析【解析】【分析】可以在AB 上截取AE=AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB 上截取AE=AC ，则BE=AB-AC ，在△AED 和△ACD 中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△ACD(SAS)，∴DE=DC ，在△BDE 中，BD-DE ＜BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD ，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．。