离散数学-集合论
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学中的集合论问题
离散数学中的集合论问题离散数学是一个重要的数学分支，其中集合论问题是离散数学的核心内容之一。
集合论研究的是集合的性质、操作和关系，并提供了一种描述和推理离散对象之间关系的框架。
本文将介绍离散数学中的集合论问题，包括集合的定义、运算、性质以及一些常见的集合论问题。
一、集合的定义和表示方法在离散数学中，集合可以通过定义和表示方法来描述。
集合的定义是指明集合中的元素和满足的条件，通常用大写字母表示。
例如，集合A表示为：A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A包含了元素1、2、3、4和5。
除了列举元素的方法表示集合外，还可以通过描述或表示集合中元素的性质来定义集合。
例如，集合B = {x | x 是偶数}表示B是所有偶数的集合。
集合可以用不同的表示方法来表达。
常见的表示方法包括：1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号{}中；2. 描述法：通过描述集合中元素的性质来定义集合，使用竖线或冒号表示；3. Venn图：用图形方式表示集合之间的关系，通常用圆圈或矩形表示集合。
二、集合的运算在集合论中，集合之间可以进行不同的运算，包括并集、交集、差集和补集。
1. 并集：两个集合A和B的并集（A∪B）是包含A和B中所有元素的集合。
符号∪表示并集。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：两个集合A和B的交集（A∩B）是包含A和B中公共元素的集合。
符号∩表示交集。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
3. 差集：集合A减去集合B中的元素形成的集合称为差集（A-B）。
符号-表示差集。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A-B = {1, 2}。
4. 补集：在给定的全集中，集合A的补集（A'）是包含全集中不属于A的元素的集合。
符号'表示补集。
离散数学集合论
离散数学集合论离散数学是数学的一个重要分支，主要研究离散结构和关系。
其中，集合论是离散数学的基础部分，它研究集合及其性质和关系。
在计算机科学、数学、逻辑学等领域，集合论都发挥着重要的作用。
集合是具有相同性质的一组元素的组合。
在集合论中，元素可以是任何东西，例如数字、文字、图形等。
集合本身也是一种元素，因此可以形成嵌套集合。
集合的性质和关系是离散数学中的重要概念。
集合的基本性质包括互异性、无序性、明确性和无穷性。
互异性指集合中的元素互不相同；无序性指集合中的元素没有顺序；明确性指集合中的元素必须明确；无穷性指集合可以包含无限个元素。
这些性质是集合的基本特征，也是离散数学中的基础概念。
除了基本性质，集合还具有一些重要的运算和操作。
并集、交集、差集等是常见的集合运算。
并集表示两个或多个集合中所有元素的组合；交集表示两个或多个集合中共有的元素；差集表示在一个集合中去掉另一个集合中的元素后所剩下的元素。
这些运算是离散数学中常用的工具，也是计算机科学和数学中的基本操作。
离散数学集合论在各个领域都有应用。
例如，在计算机科学中，集合论可以用于处理数据结构和关系数据库等问题；在数学中，集合论可以用于研究数理逻辑和代数结构等；在逻辑学中，集合论可以用于研究形式逻辑和推理系统等。
总之，离散数学集合论是数学中的一个重要分支，它研究集合的性质和关系，并在各个领域得到广泛应用。
通过深入了解集合论的基本概念和运算，我们可以更好地理解和应用离散数学的相关知识。
离散数学及应用离散数学及其应用离散数学是数学的一个重要分支，主要研究离散结构（如自然数、整数、图论、逻辑等）的数学规律和性质。
它的应用领域十分广泛，包括计算机科学、电气工程、物理学、化学、生物学、经济学等。
离散数学在各个领域都有着重要的作用和应用价值。
在计算机科学中，离散数学是基础课程之一。
它为程序设计语言、数据结构、算法分析等方面提供了数学基础。
离散数学中的图论为解决网络优化、软件工程等问题提供了理论支持。
离散数学--集合论--免费
自反性证明
证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA ……………..….……. <x,x>R 前提 推理过程 结论 例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反. 证 任取x, xA <x,x> IA <x,x>R 因此 R 在 A 上是自反的.
11
对称性证明
RRR 对M2中1 所在位置, M中相应 位置都是1 如果顶点 xi 连通到 xk , 则从 xi 到 xk 有边
9
实例
例8 判断下图中关系的性质, 并说明理由.
(1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递.
(2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的. (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
证明模式 证明R在A上对称 任取<x, y> <x,y>R ……………..….……. <y,x>R 前提 推理过程 结论 例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y,x>R 1 <x,y>R 因此 R 在 A 上是对称的.
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反对称性证明
证明模式 证明R在A上反对称 任取<x, y> <x,y>R<y,x>R ………..………. x=y 前提 推理过程 结论 例6 证明若 R∩R1IA , 则R在A上反对称. 证 任取<x,y> <x,y>R <y, x>R <x,y>R <x,y>R 1 <x,y>R∩R 1 <x,y>IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
集合是离散数学中最基本的概念之一，集合论是研究集合性质、集合运算等问题的学科。
以下是关于集合论的几个重要知识点：
1. 集合的定义和符号表示
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为该集合的元素，用大括号括起来表示。
例如，{1, 2, 3}表示一个由1、2、3三个元素组成的集合。
通常用小写字母表示集合，例如A、B、C等，用大写字母表示元素。
2. 子集和真子集
集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都是B中的元素。
用符号A⊆B表示。
若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集。
用符号A⊂B表示。
3. 并集和交集
设A和B为两个集合，则它们的并集是由A和B中的元素组成的集合，用符号A∪B表示；它们的交集是A和B中共有的元素组成的集合，用符号A∩B表示。
4. 补集和差集
设U是全集，A是U的一个子集，那么A的补集是U中不属于A的所有元素组成的集合，用符号A'表示。
如果A、B是U的子集，则它们的差集是由属于A 但不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。
5. 笛卡尔积
设A和B为两个集合，则A和B的笛卡尔积是由所有有序对(a,b)组成的集合，其中a∈A，b∈B。
用符号A×B表示。
例如，若A={1,2}，B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
以上是离散数学集合论的一些基本知识点，它们是其他数学领域的基础，在实际应用中也有广泛的应用。
离散数学基础
离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。
它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。
本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。
在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。
例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。
集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。
二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。
它研究的是推理和推断的规则。
逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。
逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。
利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。
图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。
四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。
代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。
代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。
五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。
概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。
在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。
六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。
例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。
离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。
它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电子工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、不同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合。
交集则是指两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素得到的集合。
补集是在给定的全集范围内，某个集合之外的元素组成的集合。
集合之间的关系也非常重要，比如包含关系、相等关系等。
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果两个集合相互包含，那么它们就是相等的。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用矩阵和图形来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系。
对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，那么反过来另一个元素也与这个元素有关系；反对称性则是如果一个元素与另一个元素有关系，且另一个元素也与这个元素有关系，那么这两个元素必须相等。
传递性是指如果一个元素与另一个元素有关系，另一个元素与第三个元素有关系，那么第一个元素与第三个元素也有关系。
关系的合成是将两个关系结合起来得到一个新的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，都有唯一的对应值在值域中。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指定义域中的不同元素对应值域中的不同元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射则是既是单射又是满射。
四、代数系统代数系统由集合、运算和运算所满足的公理组成。
常见的代数系统有群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数系统。
环是在群的基础上增加了两个运算，并且满足一定的运算规则。
离散数学的基本概念和运算
离散数学的基本概念和运算离散数学是数学的一个重要分支，它研究离散结构和离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学关注的是离散的、离散的事物，如整数、图形、逻辑、集合等。
在计算机科学、信息技术以及其他许多领域中，离散数学都担当着重要的角色。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和运算，以帮助读者更好地理解和应用离散数学。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合以及集合之间的关系和运算。
集合是指一组元素的事物的整体，元素可以是任何事物，比如数字、字母、人或其他对象。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的元素的集合，补集表示在给定参考集合中不属于某个特定集合的元素的集合。
二、逻辑逻辑是离散数学的另一个重要内容，它研究命题、逻辑运算和推理。
在离散数学中，命题是指能够判断真假的陈述句。
逻辑运算包括与、或、非、异或等。
与运算表示两个命题同时为真时结果为真，或运算表示两个命题中至少有一个为真时结果为真，非运算表示对命题的否定，异或运算表示两个命题中仅有一个为真时结果为真。
推理是利用逻辑规则从已知命题中得出新的结论的过程，常见的推理方法有直接证明、反证法和归纳法。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和边组成的图形结构。
图形是由节点（或顶点）和边组成的抽象化模型，节点表示某个对象，边表示节点之间的关系。
图论研究图形的性质、特征和算法。
常见的图形类型有无向图和有向图，无向图的边没有方向，有向图的边有方向。
图形的表示方法有邻接矩阵和邻接表等。
在计算机科学中，图论广泛应用于网络、路径规划、数据结构等领域。
四、代数系统代数系统是离散数学中的另一个重要概念，它研究运算规则和运算对象之间的关系。
代数系统包括集合、运算和运算规则。
常见的代数系统有代数结构、半群、群、环、域等。
代数结构是指由一组元素和一组运算构成的系统，运算可以是加法、乘法或其他操作。
离散数学中的集合论知识点解析
离散数学中的集合论知识点解析集合论是数学中的一个重要分支，研究的是集合的性质、操作和关系。
在离散数学中，集合论占据着重要的地位，我们将在本文中对离散数学中的集合论知识点进行解析。
1. 集合的概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母表示集合，元素用小写字母表示。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是由1,2,3,4,5这些元素组成的集合。
集合中的元素不重复，具有唯一性。
2. 基本运算在集合论中，常用的基本运算包括并、交、差和补。
并集：表示两个或多个集合中的所有元素的总和，用符号"∪"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
交集：表示两个或多个集合中共有的元素，用符号"∩"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
差集：表示一个集合减去另一个集合中共有的元素，用符号"-"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
补集：表示全集中不属于某个集合的元素构成的集合，用符号"'"表示。
例如，集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A'={4,5}。
3. 子集和集合相等子集是指一个集合的所有元素也同时属于另一个集合，用符号"⊆"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}，则A⊆B。
集合相等是指两个集合的元素完全相同，用符号"="表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,2,1}，则A=B。
4. 集合的基数集合的基数是指集合中元素的个数，用符号"|"表示。
例如，集合A={1,2,3}，则|A|=3。
5. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所构成的集合。
《离散数学》第3章 集合
P ( A) = {φ , A}
第二节 集合的运算 内容： 内容：集合的运算，文氏图，运算律。 重点： 重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合的运算。 集合 A, B 的并集 A ∪ B， 交集 A ∩ B，相对补集
三 包含排斥定理 设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定 理表述： 设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。 空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。 、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ， 、 有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？ 解：两种情形都有可能。 设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ， 则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。 又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}， 则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。
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三.集合的幂集(Power Set) 定义: A 是集合，由 A 的所有子集构成的集合，称之为 A 的幂集。记作 P(A)或 2A。 P(A)={B| BA} 例如， A Φ {a} {a,b} Ａ＝{a,b,c} 则 P(A)= {Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} P(A) {Φ} {Φ,{a}} {Φ,{a}
1.定义：A、B 是集合，由或属于 A，或属于 B 的元素构成的集合 ,称之为 A 与 B 的并集,记作 A∪B。 例如 A={1,2,3} B={2,3,4}A∪B={1,2,3,4} 谓词定义： A∪B ={x|x∈A∨x∈B} 2.性质 ⑴幂等律 对任何集合 A，有 A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合 A、B，有 A∪B=B∪A。 ⑶结合律 对任何集合 A、B、C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 ⑷同一律 对任何集合 A，有 A∪Φ=A。 ⑸零律 对任何集合 A，有 A∪E =E 。 ⑹分配律 对任何集合 A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。 ⑺吸收律 对任何集合 A、B，有 5 x∈A∪B x∈A∨x∈B
⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义不同： 如 a： {a}: {{a}}： {{{a}}}： {{{{a}}}}： 张书记 党支部(只有一个书记) 分党委(只有一个支部) 党委 (只有一个分党委) 市党委(只有一个党委)
3-2 集合间的关系
一.被包含关系(子集)
1.定义：A、B 是集合，如果 A 中元素都是 B 中元素，则称 B 包含 A，A 包含于 B，也称 A 是 B 的 子集。记作 AB。 文氏图表示如右下图。 例如，N 是自然数集合， R 是实数集合，则 NR 谓词定义： ABx(x∈Ax∈B) 2. 性质： ⑴自反性， 对任何集合 A 有 AA。 ⑵传递性，对任何集合 A、B、C，有 AB 且 BC ，则 AC。 ⑶反对称性，对任何集合 A、B，有 AB 且 BA ，则 A=B。
3-3 特殊集合
一.全集 E
定义：包含所讨论的所有集合的集合，称之为全集，记作 E。 实际上，就是论域。它的文氏图如右图。 由于讨论的问题不同，全集也不同。所以全集不唯一。例如，若讨论数，可以把 实数集看成全集。若讨论人，可以把人类看成全集。 由于论域内任何客体 x 都属于 E，所以 x∈E 为永真式。所以需要用永真式定义 E。 E={x| P(x)∨P(x)} 性质：对于任何集合 A，都有 AE。 二.空集 Φ 定义：没有元素的集合，称之为空集，记作 Φ。因为论域内如何客体 x∈Φ 是矛盾式，所以要用 一个矛盾式定义 Φ。 Φ={x| P(x)∧P(x)} 性质：1.对于如何集合 A，都有 ΦA。因为x(x∈Φx∈A)为永真式，所以 ΦA。 2.空集是唯一的。 证明 假设有两个空集 Φ1 、Φ2 ，则 因为 Φ1 是空集，则由性质 1 得 Φ1 Φ2 。 因为 Φ2 是空集，则由性质 1 得 Φ2 Φ1 。 所以 Φ1=Φ2 。
练习题：设 A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。
⑴ {a}∈A ⑶ c∈A ⑸ {{a}}A ⑺ {{a,b}}A ⑼ {c}{{a,b},c} ⑵ ({a} A) ⑷ {a}{{a,b},c} ⑹ {a,b}∈{{a,b},c} ⑻ {a,b}{{a,b},c} ⑽ ({c}A)(a∈Φ)
性质： 1.给定有限集合 A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2n。 幂集元素的编码： Ａ＝{a,b,c} 则 P(A)= {Φ,{c},{b},{b,c},{a},{a,c},{a,b},{a,b,c}} A 的八个子集分别表示成：B0,B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7 再将它们的下标写成二进制形式得:B000 ,B001,B010, B011, B100,B101,B110,B111, Φ B0 { c} B1 {b} B010 B2 {b,c} B011 B3 {a} B100 B4 {a,c} B101 B5 {a,b} B110 B6 {a,b,c} B111 B7 B000 B001
离散数学 第三章集合论
第三章 集合论基础
本章主要介绍如下内容： 1、基本概念及集合的表示方法 2、集合间的关系 5、包含排斥原理 3、特殊集合 4、集合的运算
3-1 基本概念
1.集合与元素 集合是个最基本的概念。 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。用大写的英文字母表示。 这里所谓“确定”是指： 论域内任何客体， 要么属于这个集合， 要么不属于这个集合， 是唯一确定的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N 表示自然数集合，2∈N，而 1.5 不属于 N 写成(1.5∈N), 或写成 1.5N。 2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合只给出朴素的定义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。 如果 A 是有限集合，用|A|表示 A 中元素个数。例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。 3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子(或谓词公式)描述元素 的属性。 例如，B={x| x 是偶数} C={x|x 是实数且 2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中，P(x)是描述元素 x 的特性的谓词公式，如果论域内客体 a 使得 P(a)为 真，则 a∈A，否则 aA。 4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的， 但是必须是可以区分的， 即是不同的。 例如 A={a,b,c,a}B={c,b,a,}， 则 A 与 B 是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合 N= {1,2,3,……}整数集合 I，实数集合 R，有理数集合 Q 1
A
B
二. 相等关系
1. 定义：A、B 是集合，如果它们的元素完全相同，则称 A 与 B 相等。记作 A=B。 定理：A=B，当且仅当 AB 且 BA。 证明：充分性，已知 AB 且 BA，假设 A≠B，则至少有一个元素 a,使得 a∈A 而 aB；或者 a∈B 而 aA。如果 a∈A 而 aB，则与 AB 矛盾。如果 a∈B 而 aA，则与 BA 矛盾。所以 A=B。必要性显然成立，因为如果 A=B，则必有 AB 且 BA。 谓词定义： A=BABBA x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A) x((x∈Ax∈B)(x∈Bx∈A)) x(x∈Ax∈B) 2. 性质 ⑴有自反性，对任何集合 A，有 A=A。 ⑵有传递性，对任何集合 A、B、C，如果有 A=B 且 B=C ，则 A=C。 ⑶有对称性，对任何集合 A、B，如果有 A=B，则 B=A。
练习 P86 (7) 设 A={Φ}， B=P(P(A))P(A)= {Φ,{Φ}}在求 P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实 际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成 Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11} ={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将 a,b 代回即可 B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B b) {Φ}∈B ΦB {Φ} B
A∪(A∩B)=A = A∩(E∪B) = A∩E=A
A∩(A∪B) =A。 (分配) (零律) (同一)
证明 A∪(A∩B)= (A∩E)∪(A∩B) (同一)
⑻AB A∪B=B。
三. 差运算- (相对补集)
1.定义：A、B 是集合，由属于 A，而不属于 B 的元素构成的集合 ,称之为 A 与 B 的差集,或 B 对 A 的 相对补集，记作 A-B。 例如 A={1,2,3} B={2,3,4} A-B={1} 谓词定义： A-B ={x|x∈A∧x B} x∈A-B x∈A∧xB 2.性质 设 A、B、C 是任意集合，则 ⑴A-Φ=A ⑶A-A=Φ ⑸AB A-B=Φ ⑹(A-B)-C=(A-C)-(B-C) ⑺A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ⑼A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) ⑽ 但∪对- 是不可分配的，如 A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ 证明：任取 x∈(A-C)-(B-C) x∈(A-C)∧x(B-C) (x∈A∧xC)∧(x∈B∧xC) (x∈A∧xC)∧ (xB∨x∈C) (x∈A∧xC∧xB)∨ (x∈A∧xC∧ x∈C) x∈A∧xC∧xB x∈A∧xB∧xC (x∈A∧xB)∧xC x∈A-B∧xCx∈(A-B)-C 所以 (A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取 x∈A-(B∪C) x∈A∧x(B∪C) x∈A∧(x∈B∨x∈C) x∈A∧(xB∧xC) (x∈A∧xB)∧(x∈A∧xC ) x∈A-B∧x∈A-C 6 ⑵ Φ-A=Φ ⑷ A-BA
c) {{Φ}}∈B {{Φ}}B a)、b)、c)中命题均为真。
4
3-4 集合的运算
介绍五种运算：∩∪- ~
一.交运算∩
1.定义：A、B 是集合，由既属于 A，也属于 B 的元素构成的集合 ,称之为 A 与 B 的交集,记作 A∩B。 例如 A={1,2,3} B={2,3,4} A∩B={2,3} 谓词定义： A∩B={x|x∈A∧x∈B} x∈A∩B x∈A∧x∈B 如果 A∩B=Φ，则称 A 与 B 不相交。 2.性质 ⑴幂等律 对任何集合 A，有 A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合 A、B，有 A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合 A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合 A，有 A∩E=A。 ⑸零律 对任何集合 A，有 A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。 证明：A∩B=A x(x∈A∩B x∈A) x((x∈A∩B x∈A)∧(x∈A x∈A∩B)) x((xA∩B∨x∈A)∧(xA∨x∈A∩B)) x(((x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(xA∨(x∈A∧x∈B)) x(((xA∨xB)∨x∈A)∧(xA∨(x∈A∧x∈B))) x(T∧(T∧ ( xA∨ x∈B))) x( xA∨ x∈B) x(x∈Ax∈B) AB