某类常微分方程的可积判据及其通积分
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
二阶线性常微分方程的几个可积类型
＋
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定ｔ ： ｔ２ 若存 在常数 ａ 、 、 、 ． 及函数 （ 满 ９ ）
关ｔ词 ： 方程 ； 常系数 ：可积 中田分类号 ： １５ １ Ｏ７ ． 文献标 识码 ：Ａ
众所刷 知 ， 阶线性 常微 分方 程 ： 二
骞＋ ￡ ｑ ： （ 取 换 ＝ｅ） 自量换 ＝ｔ）， 小） ＋ ０ １ 变 ｚ 和 变变 ￡ｆｘ （ ） （ｄ则 在一般 情 况下 是 不可 积 的 ， 常 系数 二 阶 线性 而
常微分方程是可积的， 很多数学工作 者在研究方程 （）的可积 条件 方 面做 了 大 量 的 工作 ， 文 给 出方 １ 本
程（ ） Ｉ 的几 个 可化成 常 系数 二 阶线 性 常 微 分方 程 从
而可积 的类 型。
） ｇ）如 ） Ｉ（， ＝（ 一 （ 一 ｐ ）
方程 （） １ 可化成常系数二阶线性ｇ微分方程 －
维普资讯
第６ 卷
第１ 期
石河子大学学报（ 自然科学版 ）
Ｊｍｎ ｌ ｆＳ ｉｅｉＵ ｉｅｓｔ（ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏ ａ ｈｈ ｚ ｎｖ ｒｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） ｏ ｙ ｕ ｌ ｅ
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(完整word版)常微分方程教案2
河北民族师范学院课程教案
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河北民族师范学院课程教案
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c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
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4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
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x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。
如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。
同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。
二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。
现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。
关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。
几类CLAIRAUT(克莱罗)型常微分方程的通解公式
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2
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Riccati方程的可积性判据
目的研究Riccati方程的可积性问题.方法利用该方程在未知函数的线性变换下的不变量方法和初等积分法.结果推广了该问题可积的一些原有结果 ,并给出了通解的参数表示式.结论得到的可积充分条件是利用未知函数的线性变换来研究该方程可积性的一个一般性结果.
，故方程可积且通积分为
ｙ—ｅｘｐ（丢ｚ。＋ｚ）［一２ｚｚ＋ｚ８／（Ｃ＋ｘｓ／３）］．
４ 结束语
本文利用初等方法，研究了一类方程的可积性问题，得到方程可积的若干充分判据，为将来进一步 研究方程可积性打下基础．
参考文献：
［１］冯录祥．Ｒｉｃｃａｔｉ方程的若干充分条件［Ｊ］．咸阳师范专科学校学报：自然科学版，２０００，１５（３）：１６－１８． ［２］冯录祥．Ｒｉｃｃａｔｉ方程可积的一个充分条件口］．渭南师范学院学报：自然科学版，２００３，１８（２）：７－９． ［３］冯录祥．一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的推广［Ｊ］．咸阳师范学院学报：自然科学版。２００３，１８（４）：５２—５３．． ［４］伍锦棠．徐卫忠．二阶微分方程的可积性判据［Ｊ］．华侨大学学报：自然科学版，２００５，２６（４）：３４６－３４８． ［５］东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２：１－８３．
简为“，一舢２＋（２ｐｅｘｐｆｑｄｚ＋ｑ）“．此为靠一２的伯努利方程，易得解为Ｕ－－１：ｅｘｐ［一ｆ（２ｐｅｘｐｆｇｄｚ＋
口）ｄｚ］｛Ｃ－－ｆｐｅｘｐ［ｆ（Ｚｐｅｘ可ｑ如＋口）如］）．故原方程的通积分为 ‘．
ｙ＝ｅｘｐＥｆ（ｚ口ｅｘ玎ｑｄｚ＋ｑ）如］［ｃ一，夕ｅｘｐ［Ｊ．（２夕ｅｘｄｇ如＋ｑ）如］如］＿１＋ｅｘ玎ｑ如，
2.冯录祥 Riccati方程可积的一个充分条件[期刊论文]-渭南师范学院学报(自然科学版) 2003(02) 3.冯录祥 一类Riccati方程的推广[期刊论文]-咸阳师范学院学报(自然科学版) 2003(04) 4.伍锦棠.徐卫忠 二阶微分方程的可积性判据[期刊论文]-华侨大学学报(自然科学版) 2005(04)
数学分析中的微分方程解析方法研究
数学分析中的微分方程解析方法研究微分方程是数学分析中重要的研究对象之一，它描述的是函数在某个区间内的变化规律，包括一阶微分方程和高阶微分方程。
解析方法是微分方程研究中重要的一种方法，它包括常微分方程和偏微分方程的解析求解方法。
本文将对数学分析中的微分方程解析方法进行详细的探讨与阐述。
一、常微分方程的解析方法1. 变量分离法变量分离法是解决一阶常微分方程的基本方法，它的思路是将方程中未知函数的变量分离开来，实现对两边的积分。
例如，在求解一阶常微分方程 $y' = f(x)g(y)$ 时，可以把 $f(x)$ 和 $g(y)$ 分别放在方程式的两边，然后对两边同时积分，得到 $ \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx +C $，其中 $C$ 是积分常数。
2. 全微分方程法全微分方程是指形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的常微分方程。
若一个常微分方程可以写成全微分方程的形式，则称该常微分方程是可积的。
解全微分方程的关键在于求解调和函数，即原函数$u(x,y)$，使得 $\frac{\partial u}{\partial x} = M(x,y)$，$\frac{\partial u}{\partial y} = N(x,y)$。
通过解调和函数，即可得到原微分方程的解。
3. 一些特殊的常微分方程除了变量分离法和全微分方程法以外，一些特殊的一阶常微分方程解法也值得注意。
例如，$y' + p(x)y = q(x)$ 可以通过积分因子法解决，其中积分因子 $u(x)$ 满足 $u(x) = e^{\int p(x)dx}$；再如 $y' + py = f(x)$ 通过常数变易法可以迎刃而解。
二、偏微分方程的解析方法1. 分离变量法分离变量法是解决二元常微分方程的常用方法，其思路是把偏微分方程中未知函数的变量分离开来，并且将各变量单独处理成ODE，然后将 ODE 求解出来。
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。
对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。
我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。
1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。
1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。
1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。
可积偏微分方程及其解法
可积偏微分方程及其解法偏微分方程作为数学重要的一部分，具有广泛的应用。
而可积偏微分方程（integrable partial differential equations）指的就是有解析解的偏微分方程。
本文将介绍可积偏微分方程的特点、求解方法和应用。
一、可积偏微分方程的特点1. 可积性可积偏微分方程具有可积性，即能够通过一定的算法求出其解析解。
这与非线性偏微分方程（nonlinear partial differential equations）不同，后者通常被认为只能通过数值模拟等方式获得其近似解。
2. 可积性的来源可积偏微分方程的可积性通常来自于其具有许多守恒律。
守恒律是指某个物理量在时间和空间上的守恒。
例如“质量守恒律”即指在时间和空间上质量不会产生或消失。
如果一个方程具有守恒律，就往往意味着其可被积分。
3. 可解析性可积偏微分方程的解析解指的是能够用元函数等封闭形式表示的解法。
与之相对的是数值解法，即将方程化为差分方程，通过数值迭代求得近似解。
可解析性的好处在于其能够提供对方程的全面了解，而非仅能获得一些局部信息。
二、求解可积偏微分方程的方法1. IST法（逆散射变换法）IST法是一种特殊的积分变换，通过将原始方程变换为自由散射问题的形式，解出问题的自由部分，再通过一系列转换，得到原始方程的解析解。
IST法适用于求解许多非线性方程的解析解，例如KdV方程、NLS方程等。
2. Hirota双线性化方法Hirota双线性化方法是一种利用双线性化技术求解非线性偏微分方程的方法。
该方法的基本思想是构造辅助方程，使原方程在其上具有线性性质，从而求出原方程特殊解或通解。
Hirota双线性化方法广泛应用于可积偏微分方程的求解，如AKNS方程、Boussinesq方程等。
3. Darboux转换Darboux转换是一种生成可积偏微分方程新解的方法，其基本思想是通过适当的变换，使不同的解之间相互转化。
通过Darboux 转换，我们能够用已知解推导出一些新的解，且这些解往往仍然是可积的。
《几类分数阶微分方程的平方可积解及其谱分析》范文
《几类分数阶微分方程的平方可积解及其谱分析》篇一一、引言分数阶微分方程在众多领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、生物学等。
随着科研工作的深入发展，人们对分数阶微分方程的研究不再仅仅停留在存在性及唯一性的层面，更多的是其解的性态研究。
本文主要讨论几类分数阶微分方程的平方可积解，以及相关的谱分析。
二、平方可积解的基本概念与性质分数阶微分方程的平方可积解是指解函数在特定空间上具有平方可积性。
此类解的存在性和性质研究对理解和控制微分方程的动态行为具有重要意义。
本节将详细阐述平方可积解的定义，并讨论其基本性质和特点。
三、几类分数阶微分方程的平方可积解（一）线性分数阶微分方程的平方可积解本部分将研究线性分数阶微分方程的平方可积解。
通过使用适当的变换和技巧，如Laplace变换或傅里叶变换等，我们能够得到解的表达式，并进一步分析其平方可积性。
（二）非线性分数阶微分方程的平方可积解对于非线性分数阶微分方程，我们将采用不同的方法进行研究。
通过利用不动点定理、Schauder不动点定理等工具，我们能够得到解的存在性和唯一性，并进一步分析其平方可积性。
四、谱分析谱分析是研究分数阶微分方程的重要手段之一。
本部分将针对前述几类分数阶微分方程进行谱分析。
通过求解特征值问题，我们能够得到系统的固有频率和模态形状，进而了解系统的动态行为和稳定性。
此外，我们还将研究谱的连续性和离散性等问题。
五、数值模拟与实验验证为了验证理论分析的正确性，本部分将进行数值模拟和实验验证。
通过使用MATLAB等软件进行数值模拟，我们可以直观地看到解的形态和变化规律。
同时，我们还将通过实验数据来验证理论分析的结果，进一步证明理论分析的正确性和有效性。
六、结论与展望本文对几类分数阶微分方程的平方可积解及其谱分析进行了研究。
通过理论分析和数值模拟，我们得到了许多有意义的结论。
然而，分数阶微分方程的研究仍有许多未解决的问题和挑战。
未来，我们将继续深入研究分数阶微分方程的解的性质和特点，为解决实际问题提供更多的理论依据和技术支持。
可积和积分存在的区别_概述说明以及解释
可积和积分存在的区别概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在数学领域中，可积和积分是两个重要的概念，它们在函数论、实变函数和测度论等领域中具有广泛的应用。
虽然可积和积分看似相似，但它们之间存在着一些重要的区别。
1.2 文章结构本文将对可积和积分的区别进行探讨，并解释两个概念的内涵。
文章结构如下所示：引言部分主要介绍本文的研究目的以及文章结构。
第二部分将详细阐述可积和积分的区别。
第三部分将解释可积函数与积分存在的含义。
第四部分将提供一些示例和应用案例来说明可积和积分在数学和物理学领域中的应用情况。
最后，结论部分将总结可积和积分存在之间的区别与联系，并对未来研究方向和发展趋势进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨可积和积分这两个概念之间的差异，并准确解释它们各自所代表的意义。
通过对这些概念进行比较与对比，我们可以更好地理解它们在数学和物理学中的应用，并为未来研究提供一定的指导。
这将有助于澄清人们对可积和积分的认识，为相关领域的进一步探索奠定基础。
2. 可积和积分的区别2.1 可积的定义和特点在数学中，可积是指某个函数在给定区间上具有定积分的性质。
一个函数在区间[a, b]上可积，意味着该函数在该区间上存在一个确定的实数值，该实数值被称为该函数在该区间上的定积分。
可积函数具有以下特点：- 连续性：可积函数在其定义域内应是连续的。
- 有界性：可积函数应在给定区间内有界。
- 无穷小偏差：当划分区间趋近于零时，可积函数与所用矩形面积之差应趋近于零。
2.2 积分存在的概念和属性对于一个函数f(x)，当存在一个确定的实数A使得对于任意给定ε> 0，存在正实数δ> 0，使得对任何划分x1, x2, ..., xn，只要其中最大的子段长度小于δ，则计算出来的Riemann和满足|R(f) - A| < ε（其中R(f)代表用Riemann和逼近定积分）时，我们称A为f(x)在[a,b]上的定积分，并记作∫[a,b] f(x)dx = A。
三类微分方程的可积性判定
三类微分方程的可积性判定
（1）对于一阶微分方程：
可以使用积分因子法来判断一阶微分方程的可积性。
如果存在一个函数M和N，使得方程可以写成M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，并且Mx + Ny不等于0，则该微分方程是可积的。
（2）对于二阶微分方程：
可以使用克里柯夫定理来判断二阶微分方程的可积性。
根据克里柯夫定理，若二阶微分方程具有连续的二阶偏导数，且其中的一阶偏导数不全都是0，则该微分方程是可积的。
（3）对于三阶微分方程：
可以使用三阶泰勒定理来判断三阶微分方程的可积性。
根据三阶泰勒定理，若三阶微分方程具有连续的三阶偏导数，且其中的二阶偏导数不全都是0，则该微分方程是可积的。
广义一阶常微分方程可积条件及其应用_冯录祥
云南师范大学学报（自然科学版）２０１３年７月３３卷４期（Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．４）Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙｕｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＤＩＯ：１０．７６９９／．ｎｎｕ．ｎｓ２０１３０５０广义一阶常微分方程可积条件及其应用＊冯录祥（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３）摘 要： 给出了广义一阶常微分方程可积条件及其参数形式的通解公式。
指出一阶微分方程的一些经典的可积类型都是此结果的特例，特别是著名的Ｒｉｃｃａｔｉ方程和Ａｂｅｌ方程的一些近现代可积性结果也是它的特例．关键词： 常微分方程；可积性；参数解；Ｒｉｃｃａｔｉ方程；Ａｂｅｌ方程中图分类号： Ｏ１７５．１１ 文献标志码： Ａ 文章编号： １００７－９７９３（２０１３）０４－００２５－０４１ 引 言一阶非线性微分方程，特别是Ｒｉｃｃａｔｉ方程一般没有初等解［１］，因此，通常寻求其初等解是比较困难的。
自从１８４１年刘维尔在严格的数学理论上断言这类方程一般不能用初等积分法求其通解，便引起人们对常微分方程研究方向的反省，比如更加重视Ｃａｕｃｈｙ解的局部理论。
而后，随着Ｌｉｅ群的建立人们认识到可求解的微分方程微乎其微，微分方程的求解理论不可能成为一个普遍的、完整的理论，解的局部理论也无法解释更深刻、更全面的规律。
于是，更深刻的理论应运而生，这就是由Ｐｏｉｎｃａｒé和Ｌｙａｐｕｎｏｖ等人开创的常微分方程的全局理论即定性理论，从那时起，这一直是微分方程研究的主流方向。
但是，用初等积分法研究微分方程一直不失其重要性，这是因为，能用初等积分法求解的方程虽属特殊类型，然而在实际应用中显得常见和重要，特别是Ｒｉｃｃａｔｉ方程在流体力学和弹性振动理论等领域有着广泛的应用，在微分方程理论的发展中具有重要地位和作用，许多学者对其可积性做过大量的研究工作［１－８］，但这些结论之间的关系还很少有人给出。
本文给出广义一阶微分方程可积的条件，并指出其通解可由参数形式给出，它既概括了一阶微分方程的一些经典的可积类型，同时也包含了关于Ｒｉｃｃａｔｉ方程和Ａｂｅｌ方程可积性的一批近现代结果。
理学常微分方程全微分方程
解
Q
1 N
( M y
N ) x
1, x
(x)
e 1xdx
x.
则原方程化为
(3x2 y xy2 )dx ( x3 x2 y)dy 0,
3x2 ydx x3dy xy( ydx xdy)
西
南 科 技
d( yx3 1 ( xy)2 ) 0,
大 学
2
可积组合法
理
学
院
18
原方程的通解为
解
M y
6xy
N x
,
是全微分方程,
u(
x,
y)
x
0
(
x
3
3
xy 2
)d
x
y
0
y
3dy
x4 3 x2 y2 y4 ,
42
4
西
南 科 技 大
原方程的通解为 x4 3 x2 y2 y4 C .
学
42
4
理
学
院
8
西
南
科
技
大
学
理
学
院
9
例3 求方程 2x dx y2 3x2 dy 0的通解.
我们通过观察寻找方程的一个原函数。
左端 2xydx x2dy y2dy
ydx2 x2dy y2dy
d (x2 y) d (1 y3) d (x2 y 1 y3).
3
3
原方程的通积分为 x2 y 1 y3 C。
西
3
南
科 技
对于一个一般的方程，怎样判断它是否是
大
学
全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？
y3
y4
解
微分方程及其定解条件、等效积分
2T x2
2T y2
2T z2
g
2T 2T 2T x2 y2 z2 0
第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如 果做移项整理
2u t2
a2
2u x2
f
这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似
x2 y2 c a2 b2
这类的方程又称为双曲型微分方程
弦的长度l，线密度为 ，弦的张力为T
O
u x,t
x
弦振动的微分方程为：
2u t2
a2
2u x2
f
a2 T / f是垂直于平衡位置的外力
这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态， 但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的 振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一 种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：
l,
t
k1u
l,
t
t
这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个 弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1
以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定 解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样 问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件 的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的， 称为边值问题。
第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件 称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件
第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种 边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件
第三种是给定边界上待求函数及其方向导数的线性组合， 这种边界条件称为第三边界条件
我们总结一下这一小节的内容
常微分方程的解法及应用(常见解法及举实例)
常微分方程的解法及应用 （常见解法及举实例）
课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2012 05月25 年日
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的 研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分， 如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决 问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结： 先对常微分方程
解法：
若得其解为则 原方程通解为
2.4二阶线性微分方程解的结构
形如： 若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。
若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程
2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构
定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则
也是（方程一)的解，其中是任意常数.
定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则
2.1.4 伯努利方程
形如：
当时， 一阶线性微分方程（公式法） 当时， 可分离变量微分方程 求通解过程： 作变量代换
（积分因子公式法）
2.2 一阶微分方程的应用举例
例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内 由100增长为400、那么前12h后总数是多少? 分析：
例2。。某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用于基本的 新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量 100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是 怎样随时间变化的。 输入率=2500 cal／天
定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微 分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程， 并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
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第17卷第5期周口师范高等专科学校学报Vol.17No.5 2000年9月JOU RNAL OF ZHOU KOU T EACHERS COLLEGE Sep.2000文章编号:1008-6730(2000)05-0004-03
某类常微分方程的可积判据及其通积分X
汤光宋,肖利民
(江汉大学数学系,湖北武汉430019)
摘要:给出某类二阶非线性常微分方程,通过降阶法获得其可积判据及其通积分.
关键词:非线性;常微分方程;可积;通积分;降阶
中图分类号:O175文献标识码:A
定理1对二阶非线性常微分方程
W(y)y d+1W c(y)-p(x)
G(x)
W2(y)2y c2-W(y)1
G c(x)
G(x)
+Q(x)2y c-G(x)R(x)=0(1)
其中P,Q,R,G I C,W I C1,P(x)#G(x)X0,若P,Q,R满足B(Q
P
)c=-R,则方程可积,通积分为
Q W(y)d y=Q G(x)(e-Q Q d x
C1-Q P e-Q Q d x d x-Q
P
)d x+C2(2)
C R+P2a=0,且P+Q
P
=a(a为常数),则方程可积,通积分为
Q W(y)d y=Q G(x)(e-Q P(a+P)d x
C1-Q P e Q P(a+P)d x d x-a)d x+C2(3)证明(降阶法)令G(x)u=W(y)y c
两边对x求导,得
G c(x)u+G(x)d u
d x=W c(y)y c
2+W(y)y d
将u=W(y)
G(x)
y c以及上式代入方程(1),解出
d u
d x
,得
d u
d x
=Pu2+Qu+R(*)
由[1]知:此Riccati方程(*)在条件( )下可积,通积分为
u=
e-
Q Q d x
C-Q P e-Q Q d x d x-
Q
P
由[2]中定理1知方程(*)在条件( )下可积,通积分为
X收稿日期:2000-03-13
作者简介:汤光宋(1940-),男,湖北武汉人,教授,主要从事微分方程稳定性理论及泛函微分方程的研究.
u =
e -Q
P(a+P)d x C -Q
P e -Q
P(a+P)d x
d x
-a
又由G (x )u =
W (y )y c ,得Q
W (y )d y =Q G (x )u d x +C 2,将上述两结果代入即得(2),(3)两式.
特别地 若G S 1,W (y )=1
y ,则有
推论1 设P ,Q ,R I C,P(x )X 0,二阶非线性方程
yy d =11+P(x )2y c 2+Q (x )yy c +R (x )y 2
(4)
若P ,Q ,R 满足条件:
( ) (
Q
P
)c =-R ,则方程的通积分为y =C 2exp 1Q (
e
-Q
Q d x
C
1-Q
p e -Q Q d x
d x
)-Q P
d x 2
(5)
( )R +P 2a =0且P +Q P
=a (a 为常数),则方程可积,通积分为
y =C 2ex p 1
Q e
Q P(a+
P)d x
C 1
-Q
P e -Q P(a+P)d x
d x
d x -ax )2(6)
其中C 1,C 2为任意常数
例1 解方程
yy c =(1+x )y c 2
+
1x yy c +2x
3y 2
解 这里P(x )=x ,Q (x )=1x ,R (x )=2
x
3
满足条件: (Q
P )c =-R ,由推论1可知其通积分为
y =C 2ex p 1Q (
e -Q 1
x d x C
1
-
Q
x e -Q
1
x d x d x
-
1
x 2
)d x 2 (C 1,C 2为任意常数) 化简得y =
C 2x x +C
1
1C
1
e 1
, (C 1X 0,C 2为任意常数)
C 2e 2x
,(C 1=0,C 2为任意常数)
若令G (x )=e -Q P d x
,W (y )S 1,则有
推论2 设P ,Q ,R I C,P(x )X 0,二阶非线性方程
y d =P e Q P d x y c 2+(Q -P)y c +R e -Q
P d x (7)
若P ,Q ,R 满足条件:
B (Q
P )=-R ,则方程可积,通积分为
y =
Q (e -Q (P+Q)d x
C
1
-
Q
P e -Q Q d x
d x
-
Q P
e -Q P d x )d x +C 2
(8)
C R +P 2a =0且P +
Q
p
=a (a 为常数),则方程可积,通积分为y =
Q (
e -Q P(a+P+1)d x
C
1
-
Q
P e -Q
P(a+P)d x
d x
-a e -Q P d x
)d x +C 2
(9)
#5#第5期汤光宋等:某类常微分方程的可积判据及其通积分
其中C 1,C 2为任意常数.
例2 解方程
y d =e x (y c )2-4y c +2e
-x
解 这里P(x )S 1,Q(x )S -3,R (x )S 2当a =-2时,满足条件:
R +P 2
a =0且P +
Q
P
=a 由推论2( ),得
y =
Q (
e -Q
0d x
C
1-Q
e x
d x
+2e -Q d x
)d x +C 2
=
-e -x +C 2 (C 1=0,C 2为任意常数)1
C 1
(|x |-ln |e t -C 1|)+C 2 ,(C 1X 0,C 2为任意常数)参考文献:
[1] 冯录祥.一特殊类型Riccati 方程的通积分[J].石河子大学学报,1997,(4):316-318.[2] 冯录祥.一类特殊Riccati 方程的通积分[J].宝鸡文理学院学报,1997,(4).[3] 汤光宋.常微分方程专题研究[M ].武汉:华中理工大学出版社,1994.157-163.
The Integrable Criterions and Its General Integral of a Gertain Sort of Ordinary Differential Equations
TANG Guang -song ,XIAO L-i min
(M athematics Dept.of Jianghan U niversity,Wuhan Hubei 430019,China)
Abstract:A certain sort of second-order-nonliner ordinary differ ential equation is g iven.T hrough the way of descention or -der ,its integrable criterio ns and general integral are obtained.
Key words:nonlinear;second order differ ential equation;integrable criterio ns;general integral;descending order
#
6# 周口师范高等专科学校学报2000年9月。