江苏省如东高级中学2015年高考热身训练数学试题案Word版含答案

（第5题）绝密★启用前2015年高考热身训练测试卷数学I 2015-6-2一、填空题：本题共14小题,每小题5分,计70分．不需写解答,请把答案填写在答题纸指定位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合A ={2，5}，B ={|13x x ≤≤}，则A B = ▲ ． 2． 设a ∈R ，复数2i12i a ++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3． 已知幂函数()f x 的图象经过点()124，，则()f x = ▲ ． 4． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生 得分的平均分为 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 6． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．7．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题．．．的序号是 ▲ ． 5 80 1 2 2 4 689（第4题）APN8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积为 ▲ ．9．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(1]-∞，，则A = ▲ ．10．数列{}n a 中，1407a a ==-，，*n ∀∈N ，当n ≥2时，2(1)n a -=11(1)(1)n n a a +---，则数列{}n a 的前n 项和为 ▲ ．11．设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件．(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空) 12．在△ABC 中，B =45︒，M ，N 分别为边AC ，AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅ ，则B A B C B +的值为 ▲ ．13．已知实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则z 的最大值是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P在圆22()2x a y -+=上运动．若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本小题满分14分）已知函数()()ππ()sin cos 63f x x x =+-+，2()2sin 2x g x =，x ∈R ．（1）求函数()()y f x g x =+的最小正周期和值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ．若6a =，()f A =求△ABC 面积的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，4BC =，2AC =．M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，且MN ∥平面PAB ，MN =（第17题）求证：（1）直线AB ∥平面PMN ；（2）平面ABC ⊥平面PMN ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b ab+=>>的右顶点与上顶点分别为A，B ，且过点(1．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，直线BQ AP ，的斜率互为相反数．求证：直线l 的斜率为定值；18. （本小题满分16分）在一个边长为1000 m 的正方形野生麋鹿保护区的正中央，有一个半径为30 m 的圆形水塘，里面饲养着鳄鱼，以提高麋鹿的抗天敌能力．（1）刚投放进去的麋鹿都是在水塘以外的任意区域自由活动．若岸上距离水塘边1 m 以内的范围都是鳄鱼的攻击区域，请判断麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性是否会超过1‰ ，并说明理由；（2）现有甲、乙两种类型的麋鹿，按野生麋鹿活动的规律，它们活动的适宜范围平均每只分别不小于8000 m 2和4500 m 2 （水塘的面积忽略不计．．．．．．．．．）．它们每只每年对食物的需求量分别是4个单位和5个单位，岸上植物每年提供的食物总量是720个单位．若甲、乙两种麋鹿每只的科研价值比为3:2，要使得两种麋鹿的科研总价值最大，保护区应投放两种麋鹿各多少只？19．（本小题满分16分）设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n ，其中S n为数列{a n }的前n 项和．（1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）b n ＝S n ＋3S n ，c n ＝2a n2a n－1＋a n ，试找出所有既在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．20．（本小题满分16分）对于函数)(x f y =，若存在开区间D ，同时满足：①存在D a ∈，当a x <时，函数)(x f 单调递减，当a x >时，函数)(x f 单调递增； ②对任意0>x ，只要D x a x a ∈+-,，都有)()(x a f x a f +>-． 则称)(x f y =为D 内的“勾函数”．（1）证明：函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”． （2）对于给定常数λ，是否存在m ，使函数122131)(3223+--=x x x x h λλλ在),(+∞m内为“勾函数”？若存在，试求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．绝密★启用前2015年高考热身训练数学Ⅱ（附加题） 2015-6-221．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．B ．（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.(第21A 题图)（第22题）C ．（本小题满分10分）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线21:)4C ρπθ=+上． (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y px =（0p >）的准线l 与x 轴交于点M ， 过点M 的直线与抛物线交于A B ，两点．设11A x y （，）到准线l 的距离d p λ=（0λ>）．（1）若11y d ==，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+=0，求证：直线AB 的斜率为定值．23．（本小题满分10分）设()()n f n a b =+（*n ∈N ，2n ≥），若()f n 的展开式中，存在某连续三项，其二项式 系数依次成等差数列，则称()f n 具有性质P ．（1）求证：(7)f 具有性质P ；（2）若存在2015n ≤，使()f n 具有性质P ，求n 的最大值．数学I 参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．．1． {2}2． 4- 3． 2x - 4． 91 5．0.5 6．36 7． 8． 9．3(1]2，10．21n n -+ 11．充要 12． 13．14． (4)1)-∞-+∞ ，， 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（1）ππππ()sin cos +cos sin cos cos +sin sin 6633f x x x x x x =-， (2)分()1cos g x x =-，所以π()()cos 12sin()16y f x g x x x x =+=-+=-+， (4)分所以所求的最小正周期为2π，值域为[]13-，．··············································6分（2）因为()f A A ==，所以3sin A =．所以4co A =±． ························································································8分当4cos 5A =时，因为6a =，由余弦定理得，22823655b c bc bc =+-≥，所以90bc ≤．当且仅当b c ==时，bc 取得最大值， 所以△ABC面积S的最大值为1sin 272bc A =．················································10分当4cos 5A =-，同理可得，max 327S =<． ················································12分综上所述，△ABC 面积的最大值为27． ·······················································14分 15．（本小题满分14分）证明：（1）因为MN ∥平面PAB ，MN ⊂平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，所以MN ∥AB ． ··························3分 因为MN ⊂平面PMN ，AB ⊄平面PMN ， 所以AB ∥平面PMN ． ···············································································6分（2）因为M 为BC 的中点，MN ∥AB ，所以N为AC 的中点． ···············································································8分因为4BC =，2AC =，所以2MC =，1NC =，由于MN =222MN NC MC +=， 所以M⊥． ·······················································································10分因为PA PC =，AN CN =，所以PN AC ⊥， 又MN PN ⊂，平面PMN ，MN PN N = ， 所以AC⊥平面P ． ···············································································12分因为AC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC⊥平面P ．·······································································14分17．（本小题满分14分）解：（1）总的活动面积S =2610001000π3010900π⨯-⨯=-（2m ），····························2分受到攻击的范围s =22π(3130)61π-=（2m ）． ···············································4分设事件A =“麋鹿受到鳄鱼攻击”，所以麋鹿受到攻击的概率为661π()0.00019210900πs P A S ===<-1‰. ···············6分 （2）设两种麋鹿分别投放x y ，只，科研总价值为z 约束条件为*80004500100000045720x y x y x y ⎧+⎪+⎨⎪∈⎩N ≤≤，，，，·························9 目标函数为32z kx ky =+，其中k 为正常数.作出可行域（如图）， ·····························11将目标函数32z kx ky =+变形为322z y x k=-+，这是斜率为32-，随z 变化的一族直线，z 是直线在y 轴上的截距，当2z k最大时，z 最大，但直线要与可行域相交.由图知，使32z kx ky =+取得最大值的()x y ，是两直线45720x y +=与1692000x y +=的交点(8080)，，即当80x =，80y =时，z 取到最大值. ····························13分答：（1）麋鹿受到鳄鱼攻击的可能性不会超过1‰； （2）保护区应投放两种麋鹿各80只. ··································································14分 18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点与上顶点分别为A ，B ，，且过点(1．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，直线BQ AP ，的斜率互为相反数．① 求证：直线l 的斜率为定值；② 若点P 在第一象限，设△ABP 与△ABQ 的面积分别为S 1，S 2，求1S 的最大值.解：（1）由题意，离心率c e a ==，所以2c ，所以224a b =，故椭圆的方程为：22244x y b +=，将点(1代入，求得 21b =，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=. ………………………………………4分（2）① 设直线BQ 的方程为：1y kx =+，则由题意直线AP 的方程为：(2)y k x =--，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 22(14)80k x kx ++=， 所以点Q 的坐标为()2228141414k k k k --++，， …………………………………6分 同理可求得点P 的坐标为()2228241414k kk k -++，. ……………………………8分 所以直线l 的斜率为：222222221441441141428828821414k kk k k k k k k k k k ----++==---+--++. …………10分 ② 设P ，Q 两点到直线AB 的距离分别为12d d ，， 因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以12k >，且点P ，Q 分别在直线AB ：220x y +-=的上，下两侧， 所以220P P x y +->，220Q Q x y +-<，从而22218282k k d -+-==，22828222k k x y d --++-==， ………………………………12分所以222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k kS d k k k k k k k k S d k k k k kk k -+--+-+-++====---+++-+++,…14分令21(0)k t t -=>，则122222142(1)132S k t t S k k t t t t -===++++++1323t t==-++ 当且仅当2t t =，即t =，即k 时，12SS有最大值为3- (16)分19．（本小题满分16分）解：（1）令n ＝1，则a 13＝ S 13＋2S 1，即a 13＝ a 12＋2a 1，所以a 1＝2或a 1＝－1或a 1＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 1＝2．令n ＝2，则a 13＋a 23＝ S 22＋2S 2，即a 13＋a 23＝(a 1＋a 2)2＋2(a 1＋a 2)，解得a 2＝3或a 2＝－2或a 2＝0．又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 2＝3． （2）因为a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n (1)所以a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12＋2S n －1(n ≥2) (2)由(1)－(2)得a n 3＝( S n 2＋2S n )－(S n －12＋2S n －1)＝(S n －S n －1)( S n ＋ S n －1＋2)＝a n ( S n ＋S n －1＋2)， 因为a n ＞0,所以a n 2＝S n ＋S n －1＋2 (3) 所以a n －12＝S n －1＋S n －2＋2(n ≥3) (4)由(3)－(4)得a n 2－a n －12＝a n ＋a n －1，即a n －a n －1＝1(n ≥3)， 又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1．（3）S n ＝n (n ＋3)2，所以b n ＝S n ＋3S n ＝n (n ＋3)＋6n (n ＋3),c n ＝2an2a n－1＋a n ＝2n ＋12n ＋n ＋1．不妨设数列{b n }中的第n 项b n 和数列{c n }中的第m 项c m 相同，则b n ＝c m ． 即n (n ＋3)＋6n (n ＋3)＝2m ＋12m ＋m ＋1，即6n (n ＋3)＝2m －m －12m ＋m ＋1．1o若2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)≥13，则n 2＋3n －18≤0，所以1≤n ≤3，n ＝1时,2m －m －12m ＋m ＋1＝32，无解；n ＝2时，2m －m －12m ＋m ＋1＝35，即5·2m －5m －5＝3·2m ＋3m ＋3，所以2m ＝4m ＋4，m ＝1,2,3,4时2m ＜4m ＋4；m ≥5时,令f (m )＝2m －4m －4,则f (m ＋1)－f (m )＝2m －4＞0，所以f (m )单调增，所以f (m )≥f (5)＝8＞0,所以2m ＝4m ＋4无解； n ＝3时2m －m －12m ＋m ＋1＝13，即2m ＝2m ＋2，m ＝1,2时，2m ＜2m ＋2； m ＝3时，2m ＝2m ＋2； m ＝4时，2m ＞2m ＋2； m ≥5时，2m ＞4m ＋4＞2m ＋2． 所以，m ＝3，n ＝3．2o若 2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)＜13，即2m ＜2m ＋2．由1︒知，当m ≥3时，2m ≥2m ＋2。