人教版九年级数学上册 第二十三章 旋转 巧用旋转进行计算与证明 专题练习题.docx
人教版九年级数学上册第23章 巧用旋转进行计算专项训练(包含答案)
巧用旋转进行计算类型之一利用旋转构造等腰三角形由旋转性质1：对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点与旋转中心所构成的三角形是等腰三角形．1．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是( )图1A．50°B．60°C．70°D．80°2．如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )图2A．90°－αB．αC．180°－αD．2α3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )图3A．6 B．4 3 C．3 3 D．34．如图4，△COD是由△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点C恰好落在AB 上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是________．图4类型之二利用旋转构造等腰直角三角形如果旋转角为90°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等腰直角三角形．5．如图5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接BB′.若∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是________．图56．如图6，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1.把△ADE以点A为中心顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于________．图6类型之三利用旋转构造等边三角形如果旋转角是60°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等边三角形．7．如图7所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n(n<90)度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )图7A．30，2 B．60，2 C．60，32D．60， 38．如图8所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C的位置，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长为________．图89.如图9，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝________．图910．如图10，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)求∠OAD的度数；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？图1011．如图11，在等边三角形ABC中，D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE.(1)求证：AD＝DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD＝1，求AD，CD的长．图1112．请阅读下列材料：问题：如图12①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1，求∠BPC 的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边三角形ABC的边长为7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．图121．B [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝50°， ∴∠A ＝180°－∠ACB －∠B ＝40°. 由旋转的性质可知BC ＝B ′C ， ∴∠B ＝∠BB ′C ＝50°.又∵∠BB ′C ＝∠A ＋∠ACB ′＝40°＋∠ACB ′， ∴∠ACB ′＝10°，∴∠COA ′＝∠OB ′C ＋∠ACB ′＝∠B ＋∠ACB ′＝60°.2．C [解析] 由题意可得，∠ABE ＝α，BE ＝BA ，∴∠BAE ＝∠E ＝12(180°－∠ABE)＝12(180°－α)＝90°－12α，∴∠BAC ＝90°－12α，∴∠CAD ＝∠BAC ＋∠BAE ＝180°－α，故选C.3．A [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠CAB ＝30°.∵BC ＝2，∴AB ＝4.∵△A ′B ′C 由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到的，其中点A ′与点A 是对应点，点B ′与点B 是对应点，且点A ，B ′，A ′在同一条直线上，∴AB ＝A ′B ′＝4，AC ＝A ′C ，∠A ′B ′C ＝∠B ＝60°，∴∠A ′＝30°.又∵AC ＝A ′C ，∴∠CAA ′＝∠A ′＝30°，∴∠ACB ′＝∠A ′B ′C －∠CAA ′＝60°－30°＝30°，则∠ACB ′＝∠B ′AC ，∴AB ′＝B ′C ＝2，∴AA ′＝2＋4＝6.4．60° [解析] 由旋转的性质，得∠AOC ＝∠BOD ＝40°，OA ＝OC ，则∠A ＝∠ACO ＝70°. 由∠AOD ＝90°，得∠BOC ＝∠AOD －(∠AOC ＋∠BOD)＝10°.∴∠B ＝∠ACO －∠BOC ＝70°－10°＝60°.5．65° [解析] ∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，∴△BCB ′是等腰直角三角形，∴∠CBB ′＝45°.∴∠B ′A ′C ＝∠A ′B ′B ＋∠CBB ′＝20°＋45°＝65°.由旋转的性质得∠A ＝∠B ′A ′C ＝65°.6．2 5 [解析] ∵DE ＝1，AD ＝3，∠D ＝90°，∴AE 2＝AD 2＋DE 2＝32＋12＝10. 由旋转的性质得∠EAE ′＝90°，AE ＝AE ′，∴EE ′2＝AE 2＋AE ′2＝10＋10＝20，即EE ′＝2 5.7．C [解析] ∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2， ∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝4，AC ＝AB 2－BC 2＝2 3. ∵△EDC 是由△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到的， ∴CD ＝BC ＝2，∠CDE ＝∠B ＝60°. ∵∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝60°，∴∠DCF ＝30°， ∴∠DFC ＝90°， 即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC. ∵BD ＝BC ＝12AB ＝2，∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF ＝12BC ＝12×2＝1，CF ＝12AC ＝12×2 3＝3，∴S 阴影＝12DF ·CF ＝12×1×3＝32.故选C.8. 3 [解析] ∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1，∴A ′C ＝AC ＝1，AB ＝2，BC ＝ 3.∵∠A ＝60°，∴△AA ′C 是等边三角形， ∴AA ′＝12AB ＝1，∴A ′C ＝A ′B ，∴∠A ′CB ＝∠A ′BC ＝30°. ∵△A ′B ′C 是由△ABC 旋转而成的， ∴∠A ′CB ′＝90°，BC ＝B ′C ， ∴∠B ′CB ＝90°－30°＝60°，∴△BCB ′是等边三角形，∴BB ′＝BC ＝ 3. 9．5 [解析] 连接BE.∵△DCB 绕点C 顺时针旋转60°得到△ACE ，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝30°， ∴∠BCE ＝60°，CB ＝CE ，AE ＝BD ， ∴△BCE 是等边三角形， ∴∠CBE ＝60°，BE ＝BC ＝4，∴∠ABE ＝∠ABC ＋∠CBE ＝30°＋60°＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝32＋42＝5.又∵AE＝BD，∴BD＝5.10．解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴OC＝CD，∴△OCD是等边三角形．(2)∵∠AOB＝105°，∠BOC＝α，∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠BOC＝360°－105°－α.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，∴∠ADC＝∠BOC＝α.∴∠OAD＝360°－∠AOC－∠OCD－∠ADC＝360°－(360°－105°－α)－60°－α＝45°.(3)∵由(1)知△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°.由(2)知∠OAD＝45°.若△AOD是等腰三角形，则分以下三种情况讨论：当OA＝OD时，∠AOD＝90°，α＝360°－105°－60°－90°＝105°；当OA＝AD时，∠AOD＝67.5°，α＝360°－105°－60°－67.5°＝127.5°；当AD＝OD时，∠AOD＝45°，α＝360°－105°－60°－45°＝150°.综上所述，当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形．11．解：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE.(2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°.(3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°.又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2.∴AD＝DE＝2.在Rt△DCE中，CD＝DE2－CE2＝22－12＝ 3.12．解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A. ∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝ 2.连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，∵PB＝BP′＝2，∠PBP′＝90°，∴PP′＝2，∠BP′P＝45°.在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝5，∵12＋22＝(5)2，即AP′2＋PP′2＝PA2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°.∴∠AP′B＝135°，∴∠BPC＝∠AP′B＝135°.过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B＝45°.又∵BP′＝2，∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2.在Rt△ABE中，∵BE＝1，AE＝2，∴由勾股定理，得AB＝ 5.综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为 5.。
人教新版九年级数学上第23章旋转单元练习试题含详细答案
人教新版九年级数学上第23章旋转单元练习试题含详细答案一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．36°B．60°C．72°D．90°3．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°4．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（）A．先逆时针旋转90°，再向左平移B．先顺时针旋转90°，再向左平移C．先逆时针旋转90°，再向右平移D．先顺时针旋转90°，再向右平移7．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n 的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．1448．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，3），将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q10．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′二．填空题（共9小题）11．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝度．12．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是．13．点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结C′B、BB′，则∠BB′C′＝．18．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为．19．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．三．解答题（共6小题）20．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．21．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．23．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．24．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．25．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．2．解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5＝72°或72°的倍数．故选C．3．解：∵∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，∴∠AOB＝130°﹣50°＝80°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣50°）＝65°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°，由旋转可得，∠C＝∠B＝35°，故选：C．4．解：A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．故选：D．5．解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE∴AB＝AD，∠BAD＝110°由三角形内角和∠B＝故选：B．6．解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．故选：A．7．解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．8．解：如图所示，由旋转可得：∠AOA'＝∠BOC＝90°，AO＝A'O，∴∠AOB＝∠A'OC，而∠ABO＝∠A'CO＝90°，∴△AOB≌△A'OC，∴A'C＝AB＝1，CO＝BO＝3，∴点A'的坐标为（3，﹣1），故选：B．9．解：由图形可得：OA＝，OM＝，ON＝，OP＝，OQ＝5，所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，故选：C．10．解：观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；B、BO＝B′O，故本选项正确；C、AB∥A′B′，故本选项正确；D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选：D．二．填空题（共9小题）11．解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，∴△CAA′为等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∵∠CB′A′＝∠B′AC+∠1＝45°+20°＝65°，∴∠B＝65°．故答案为65．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，分两种情况：①如图，当正△AEF在正方形ABCD内部时，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）＝15°②如图，当正△AEF在正方形ABCD外部时，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE＝∠DAF＝（360°﹣90°+60°）＝165°故答案为：15°或165°．13．解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．14．解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．15．解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，∴AB＝2，OA＝＝4，∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，∴CO＝CD﹣DO＝2，在RT△COE中，OE＝CO•cos∠COE＝2×＝1，CE＝CO•sin∠COE＝2×＝，∴点C的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．16．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．17．解：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AB′C′＝∠ABC＝45°，∠BAB′＝60°，AB′＝AB，∴AB′＝B′B＝BA，∴∠AB′B＝60°，∴∠BB′C′＝∠AB′B﹣∠AB′C′＝60°﹣45°＝15°，故答案为：15°．18．解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，∴△BOA≌△CDA，∴AB＝AC，OA＝AD，∵B、D、C共线，AD⊥BC，∴BD＝CD＝OB，∵OA＝AD，BO＝CD＝BD，∴OD⊥AB，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝﹣x+4，∴直线OD解析式为y＝x，联立得：，解得：，即M（，），∵M为线段OD的中点，∴D（，），设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入得：，解得：m＝﹣，n＝4，则直线CD解析式为y＝﹣x+4．故答案为：y＝﹣．19．解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝6，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝BC＝3．故答案为3．三．解答题（共6小题）20．解：（1）如图所示，△DCE为所求作（2）如图所示，△ACD为所求作（3）如图所示△ECD为所求作21．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（﹣3，﹣2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（﹣4，﹣2），所以直线l的函数解析式为y＝﹣x，22．解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．23．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．24．解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．25．解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由（1）得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．人教版数学九年级上册第24章《圆》培优检测题（含祥细答案）一．选择题1．已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．2．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°3．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．2πC．3πD．6π4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．25．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（）A．60°B．50°C．30°D．10°6．对于以下图形有下列结论，其中正确的是（）A．如图①，AC是弦B．如图①，直径AB与组成半圆C．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高7．如图，BC为⊙O的直径，AB＝OB．则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP 的长为整数，则符合条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（）A．6 B．6C．6D．910．如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（）A．3 B．C．D．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°12．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3 B．C．D．413．在⊙O中，AC为直径，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BC，若AB＝，ED＝，则BC＝．14．如图，△ABC的周长为16，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为．16．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为．17．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．20．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．（1）求证：BF＝EF；（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．21．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交A C于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．22．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，且AB＝BD，DB的延长线交⊙O于点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）CF与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若BF+CF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长度．23．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）24．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD ＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．25．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．（1）求证：CE＝AE；（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝，则DE的长为．26．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线于BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF＝CE，CF 交延长线交⊙O于G．（1）求证：弧AG＝弧GH；（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．参考答案一．选择题1．解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：A．2．解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．故选：B．3．解：该扇形的弧长＝＝3π．故选：C．4．解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选：C．5．解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴∠CAD＝60°，又∵∠CDO＝70°，∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．故选：D．6．解：A、AC不是弦，故错误；B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故错误；C、线段CD是△ABC边AB上的高，正确；D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故错误，故选：C．7．解：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝OB，∴BC＝2AB，∴sin C＝＝，∴∠C＝30°．故选：A．8．解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC＝AB＝4，由勾股定理得，OC＝＝3，则3≤OP＜5，OP＝3有一种情况，OP＝4有两种情况，则符合条件的点P有3个，故选：B．9．解：分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，则∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，∵AM＝BN＝2＝1，∴EM＝FN＝1＝，∴MN＝++2＝3，∴△PMN的周长3×3＝9，故选：D．10．解：连接BD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∵四边形BCDE是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2，CD＝BD＝1，∴BC＝＝，∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝×1＝；故选：C．11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB ＝∠D ＝80°，∴∠EAC ＝∠AEB ﹣∠ACE ＝30°，故选：C ．12．解：连接BP ，如图，当y ＝0时， x 2﹣4＝0，解得x 1＝4，x 2＝﹣4，则A （﹣4，0），B （4，0）， ∵Q 是线段PA 的中点，∴OQ 为△ABP 的中位线，∴OQ ＝BP ，当BP 最大时，OQ 最大，而BP 过圆心C 时，PB 最大，如图，点P 运动到P ′位置时，BP 最大，∵BC ＝＝5，∴BP ′＝5+2＝7，∴线段OQ 的最大值是．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．解：∵OD ⊥AB ，∴AE ＝EB ＝AB ＝，设OA ＝OD ＝r ，在Rt △AOE 中，∵AO 2＝OE 2+AE 2，∴r 2＝（）2+（r ﹣）2，∴r＝，∴OE＝﹣＝，∵OA＝OC，AE＝EB，∴BC＝2OE＝，故答案为．14．解：∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点F、E，∴AF＝AE，∵圆O与BC相切于点D，∴CE＝CD，BF＝BD，∴BC＝DC+BD＝CE+BF，∵△AB C的周长等于16，∴AB+AC+BC＝16，∴AB+AC+CE+BF＝16，∴AF+AE＝16，∴AF＝8．故答案为：8．15．解：连接OG，DF，∵BC＝2，E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∵AB＝3，AF＝1，∴BF＝2，由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，在Rt△DAF和Rt△FBE中，，∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）∴∠ADF＝∠BFE，∵∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，∵FD＝FE，∴∠FED＝45°，∵OG＝OE，∴∠GOE＝90°，∴劣弧的长＝＝π，故答案为：π．16．解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，OB，则△OAB是等边三角形，过O作OH⊥AB于H，∴∠AOH＝30°，∴OH＝AO＝，故答案为：．17．解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD ＝60°．∵AD ＝AB ＝2，∴△ABD 是等边三角形．∴DE ＝AD ＝1，∠ODE ＝∠ADB ＝30°，∴OD ＝＝．故答案为 18．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣． 三．解答题（共8小题）19．（1）证明：连接OC ，∵D 为的中点，∴＝，∴∠BOD ＝BOC ，∵∠BAC ＝BOC ，∴∠A ＝∠DOB ；（2）解：DE 与⊙O 相切，理由：∵∠A ＝∠DOB ，∴AE ∥OD ，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．20．（1）证明：连接OA，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠E＝∠EAF，∴AF＝EF，∴BF＝EF；（2）解：连接AB，∵AF、BF为半⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，又∵tan∠P＝，即，∴PB＝，∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，∴△APB∽△CPA，∴，即PA2＝PB•PC，∴，解得PA＝．21．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．22．解：（1）CF与⊙O相切．连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝BD，∴∠A＝∠D，又∵OA＝OB，∴OC是△ABD的中位线．∴OC∥BD，∴∠OCF＝∠CFD＝90°，即CF⊥OC．∴CF与⊙O相切；（2）过点O作OH⊥BE于点H，则∠OCF＝∠CFH＝∠OHB＝90°，∴四边形OCFH是矩形，∴OC＝FH，OH＝CF，设BH＝x，∵OC＝5，BF+CF＝6，∴BF＝5﹣x，OH＝CF＝6﹣（5﹣x）＝x+1，在Rt△BOH中，由勾股定理知：BH 2+OH 2＝OB 2，即x 2+（x +1）2＝52，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（不合题意，舍去）．∴BH ＝3，∵OH ⊥BE ，∴BH ＝EH ＝BE ，∴BE ＝2BH ＝2×3＝6．23．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF +∠ABF ＝90°，∠ABF +∠EBF ＝90°，∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE 与△BCG 中，，∴△ABE ≌△BCG （ASA ）；（2）解：连接OF ，∵∠ABE ＝∠AFB ＝90°，∠AEB ＝55°，∴∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF ＝2∠BAE ＝70°，∵OA ＝3，∴的长＝＝．24．（1）证明：连接OA ，则∠COA ＝2∠B ，∴∠B ＝∠D ＝30°，∴∠COA ＝60°，∴∠OAD ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA ⊥AD ，即CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵BC ＝4，∴OA ＝OC ＝2，在Rt △OAD 中，OA ＝2，∠D ＝30°，∴OD ＝2OA ＝4，AD ＝2，所以S △OAD ＝OA •AD ＝×2×2＝2， 因为∠COA ＝60°，所以S 扇形COA ＝＝π，所以S 阴影＝S △OAD ﹣S 扇形COA ＝2﹣．25．证明（1）∵AB ＝AC ，AC ＝CD∴∠ABC ＝∠ACB ，∠CAD ＝∠D∵∠ACB ＝∠CAD +∠D ＝2∠CAD∴∠ABC ＝∠ACB ＝2∠CAD∵∠CAD ＝∠EBC ，且∠ABC ＝∠ABE +∠EBC∴∠ABE ＝∠EBC ＝∠CA D ，∵∠ABE ＝∠ACE∴∠CAD ＝∠ACE∴CE ＝AE（2）①当∠ABC ＝60°时，四边形AOCE 是菱形；如图，连接OE∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE∴△AOE≌△EOC（SSS）∴∠AOE＝∠COE，∵∠ABC＝60°∴∠AOC＝120°∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC∴△AOE，△COE都是等边三角形∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，∴四边形AOCE是菱形故答案为：60°②如图，过点C作CN⊥AD于N，∵AE＝，AB＝，∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD ∴AN＝DN在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，∴EN＝∴AN＝AE+EN＝＝DN∴DE＝DN+EN＝故答案为：26．（1）证明：如图，连接AC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAO＝90°，∵CD为⊙O的切线，∴∠ECA+∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ECA＝∠B，∵EF＝CE，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，∵∠ECA＝∠B＝∠G，∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，∴；（2）解：∵CH是⊙O的直径，∴∠CAH＝90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠EC O＝90°，设CO＝2x，∵sim∠CDO＝＝，∴DO＝6x，∴CD＝＝4，∵E为DC的中点，∴CE＝＝2，EH＝＝2，∵∠ECH＝∠CAH，∠CHA＝∠EHC，∴△CAH∽△ECH，∴，∴CH2＝AH•EH，∴AH＝，∵AH＝2，∴，∴x＝3，∴⊙O的半径CO＝2x＝6．人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案一、单选题1.已知点与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是A. ，B. ，C. ，D. ，2.观察下图，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（）A. B. C. D.3.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A. 106°B. 146°C. 148°D. 156°6.如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是( )A. B. C. D.7.如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 48.已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）A. 5B. 3C. 4D. -5二、填空题9.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是________．10.我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．________（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是________ ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形11.在下列图案中可以用平移得到的是________（填代号）．12.如图是奥迪汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看作是左边的圆环经过________得到的．13.将一个自然数旋转180°后，可以发现一个有趣的现象，有的自然数旋转后还是自然数．例如，808，旋转180°后仍是808．又如169旋转180°后是691．而有的旋转180°后就不是自然数了，如37．试写一个五位数，使旋转180°后仍等于本身的五位数________．（数字不得完全相同）14.如图，在平面直角坐标系中，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________.15.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为________ ．三、解答题16.如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标．17.找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．18.如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）四、作图题19.如图，阴影部分是由4个小正方形组成的一个直角图形，请用三种方法分别在下图方格内添涂黑一个小正方形，使涂黑后整个图形的阴影部分成为轴对称图，并画出其对称轴．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】点与点关于坐标原点对称，实数a、b的值是：，．故答案为：D【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出a、b的值。
九年级数学上册《第二十三章 图形的旋转》同步训练题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十三章图形的旋转》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y 轴于点P．将△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为( )A．(√3，-1) B．(-1，−√3) C．(−√3，-1) D．(1，√3)3．如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．4．如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60∘B．90∘C．120∘D．150∘5．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠A=60∘，AC=2将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在边AB上，则点B′与点B之间的距离为（）A．4 B．2√3C．3 D．√36．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°则∠B的度数为（）A．19°B．26°C．64°D．71°7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB=2，∠B=60°则CD的长为（）A．1 B．√3C．2 D．2√28．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF位置．若四边形AECF的面积为36，DE=2则AE的长为（）A．4√2B．2√6C．6 D．2√10二、填空题9．如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过变化得到的.10．如图，在△BDE中，∠BDE=90°， BD=4，点D的坐标是( 6，0) ，∠BDO=15°，将 BDE 旋转到△ABC的位置，点C 在 BD上，则旋转中心的坐标为．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝．12．如图，在△ABC中∠C=90°，∠B=30°将△ABC绕点A逆时针方向旋转20°得到△ADE，DE 交AB于点F，则∠AFE=°．13．如图，在△ABC中AB=√2，AC=4以C为旋转中心，将线段CB顺时针旋转90°得线段CD，连接AD，则AD的最小值为．三、解答题14．如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，按下列要求画格点三角形．（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）．15．如图，在△ABC中AB=2，BC=3.6，∠B=60°将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长.16．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：BH=CD.17．如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．（1）旋转的角度是多少度？（2）若BP=3cm，求线段PE的长．18．如图，在四边形ABCD中AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．（1）求∠CBE的度数；（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC=30°，AB=3，BD=5求BE的长．参考答案1．D2．B3．B4．D5．B6．D7．C8．D9．旋转10．（6−√2，√6）11．30°12．5013．3√214．（1）解：如图1中，△A′B′C′即为所求.（2）解：如图2中，△DEF即为所求．15．解：由旋转的性质可得：AD ＝AB∵∠B ＝60°∴△ABD 是等边三角形∴BD ＝AB ＝2∵AB ＝2，BC ＝3.6∴CD ＝BC －BD ＝3.6－2＝1.6.16．证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，AB =CD∴∠DEC =∠BCH∵∠D =90°，BH ⊥EC∴∠D =∠BHC由旋转得CE =CB在△EDC 和△CHB 中{∠DEC =∠HCB∠D =∠BHC CE =CB∴△EDC ≌△CHB （AAS ）∴BH =CD .17．（1）解：∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置 ∴∠ABC 为旋转角．∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°即旋转的角度是90度；（2）解：∵△ABP 绕着点B 旋转后能到达△CBE 的位置 ∴BP=BE=3cm ，∠PBE=∠ABC=90°∴PE =√BP 2+BE 2=√32+32=3√2cm ．18．（1）解：∵将点B 绕点C 逆时针旋转60°得到点E ∴CB =CE ∠BCE =60°∴△BCE 是等边三角形∴∠CBE =60°．（2）解：∵△ACD 是等边三角形∴AC=DC ∴∠ACE=∠DCB又∵CB=CE∴△ACE≅△DCB∴AE=BD ∵BD=5∴AE=5．∵∠CBE=60°∠ABC=30°∴∠ABE=90°∴在Rt△ABE中BE=√AE2−AB2．∵AB=3∴BE=4．。
人教版九年级数学上册第23章 巧用旋转进行计算专项训练(包含答案)
巧用旋转进行计算类型之一利用旋转构造等腰三角形由旋转性质1：对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点与旋转中心所构成的三角形是等腰三角形．1．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是( )图1A．50°B．60°C．70°D．80°2．如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )图2A．90°－αB．αC．180°－αD．2α3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )图3A．6 B．4 3 C．3 3 D．34．如图4，△COD是由△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点C恰好落在AB 上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是________．图4类型之二利用旋转构造等腰直角三角形如果旋转角为90°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等腰直角三角形．5．如图5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接BB′.若∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是________．图56．如图6，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1.把△ADE以点A为中心顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于________．图6类型之三利用旋转构造等边三角形如果旋转角是60°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等边三角形．7．如图7所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n(n<90)度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )图7A．30，2 B．60，2 C．60，32D．60， 38．如图8所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C的位置，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长为________．图89.如图9，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝________．图910．如图10，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)求∠OAD的度数；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？图1011．如图11，在等边三角形ABC中，D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE.(1)求证：AD＝DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD＝1，求AD，CD的长．图1112．请阅读下列材料：问题：如图12①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1，求∠BPC 的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边三角形ABC的边长为7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．图121．B [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝50°， ∴∠A ＝180°－∠ACB －∠B ＝40°. 由旋转的性质可知BC ＝B ′C ， ∴∠B ＝∠BB ′C ＝50°.又∵∠BB ′C ＝∠A ＋∠ACB ′＝40°＋∠ACB ′， ∴∠ACB ′＝10°，∴∠COA ′＝∠OB ′C ＋∠ACB ′＝∠B ＋∠ACB ′＝60°.2．C [解析] 由题意可得，∠ABE ＝α，BE ＝BA ，∴∠BAE ＝∠E ＝12(180°－∠ABE)＝12(180°－α)＝90°－12α，∴∠BAC ＝90°－12α，∴∠CAD ＝∠BAC ＋∠BAE ＝180°－α，故选C.3．A [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠CAB ＝30°.∵BC ＝2，∴AB ＝4.∵△A ′B ′C 由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到的，其中点A ′与点A 是对应点，点B ′与点B 是对应点，且点A ，B ′，A ′在同一条直线上，∴AB ＝A ′B ′＝4，AC ＝A ′C ，∠A ′B ′C ＝∠B ＝60°，∴∠A ′＝30°.又∵AC ＝A ′C ，∴∠CAA ′＝∠A ′＝30°，∴∠ACB ′＝∠A ′B ′C －∠CAA ′＝60°－30°＝30°，则∠ACB ′＝∠B ′AC ，∴AB ′＝B ′C ＝2，∴AA ′＝2＋4＝6.4．60° [解析] 由旋转的性质，得∠AOC ＝∠BOD ＝40°，OA ＝OC ，则∠A ＝∠ACO ＝70°. 由∠AOD ＝90°，得∠BOC ＝∠AOD －(∠AOC ＋∠BOD)＝10°.∴∠B ＝∠ACO －∠BOC ＝70°－10°＝60°.5．65° [解析] ∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，∴△BCB ′是等腰直角三角形，∴∠CBB ′＝45°.∴∠B ′A ′C ＝∠A ′B ′B ＋∠CBB ′＝20°＋45°＝65°.由旋转的性质得∠A ＝∠B ′A ′C ＝65°.6．2 5 [解析] ∵DE ＝1，AD ＝3，∠D ＝90°，∴AE 2＝AD 2＋DE 2＝32＋12＝10. 由旋转的性质得∠EAE ′＝90°，AE ＝AE ′，∴EE ′2＝AE 2＋AE ′2＝10＋10＝20，即EE ′＝2 5.7．C [解析] ∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2， ∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝4，AC ＝AB 2－BC 2＝2 3. ∵△EDC 是由△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到的， ∴CD ＝BC ＝2，∠CDE ＝∠B ＝60°. ∵∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝60°，∴∠DCF ＝30°， ∴∠DFC ＝90°， 即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC. ∵BD ＝BC ＝12AB ＝2，∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF ＝12BC ＝12×2＝1，CF ＝12AC ＝12×2 3＝3，∴S 阴影＝12DF ·CF ＝12×1×3＝32.故选C.8. 3 [解析] ∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1，∴A ′C ＝AC ＝1，AB ＝2，BC ＝ 3.∵∠A ＝60°，∴△AA ′C 是等边三角形， ∴AA ′＝12AB ＝1，∴A ′C ＝A ′B ，∴∠A ′CB ＝∠A ′BC ＝30°. ∵△A ′B ′C 是由△ABC 旋转而成的， ∴∠A ′CB ′＝90°，BC ＝B ′C ， ∴∠B ′CB ＝90°－30°＝60°，∴△BCB ′是等边三角形，∴BB ′＝BC ＝ 3. 9．5 [解析] 连接BE.∵△DCB 绕点C 顺时针旋转60°得到△ACE ，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝30°， ∴∠BCE ＝60°，CB ＝CE ，AE ＝BD ， ∴△BCE 是等边三角形， ∴∠CBE ＝60°，BE ＝BC ＝4，∴∠ABE ＝∠ABC ＋∠CBE ＝30°＋60°＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝32＋42＝5.又∵AE＝BD，∴BD＝5.10．解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴OC＝CD，∴△OCD是等边三角形．(2)∵∠AOB＝105°，∠BOC＝α，∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠BOC＝360°－105°－α.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，∴∠ADC＝∠BOC＝α.∴∠OAD＝360°－∠AOC－∠OCD－∠ADC＝360°－(360°－105°－α)－60°－α＝45°.(3)∵由(1)知△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°.由(2)知∠OAD＝45°.若△AOD是等腰三角形，则分以下三种情况讨论：当OA＝OD时，∠AOD＝90°，α＝360°－105°－60°－90°＝105°；当OA＝AD时，∠AOD＝67.5°，α＝360°－105°－60°－67.5°＝127.5°；当AD＝OD时，∠AOD＝45°，α＝360°－105°－60°－45°＝150°.综上所述，当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形．11．解：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE.(2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°.(3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°.又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2.∴AD＝DE＝2.在Rt△DCE中，CD＝DE2－CE2＝22－12＝ 3.12．解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A. ∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝ 2.连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，∵PB＝BP′＝2，∠PBP′＝90°，∴PP′＝2，∠BP′P＝45°.在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝5，∵12＋22＝(5)2，即AP′2＋PP′2＝PA2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°.∴∠AP′B＝135°，∴∠BPC＝∠AP′B＝135°.过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B＝45°.又∵BP′＝2，∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2.在Rt△ABE中，∵BE＝1，AE＝2，∴由勾股定理，得AB＝ 5.综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为 5.。
九年级数学上册 第二十三章 旋转 专题训练(八)巧用旋转进行计算与证明
(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°， 由(1)得△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°， 又∵AD＝BF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝180°－ 2 45° ＝67.5°
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4．(桂林中考)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 M 在 CD 的边上， 且 DM＝1，△AEM 与△ADM 关于 AM 所在的直线对称， 将△ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到△ABF，连接 EF， 则线段 EF 的长为( C ) A．3 B．2 3 C． 13 D． 15
A．(
2 2
，－
2 2
)
B．(1，0)
C．(－
2 2
，－
2 2
)
D．(0，－1)
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9．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点， 连接(liánjiē)AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC， F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH. (1)求证：GH＝GF； (2)试说明∠FGH与∠BAC互补．
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7．(2019·荆门)如图，Rt△OCB 的斜边在 y 轴上，OC＝ 3 ，
含 30°角的顶点与原点重合，直角顶点 C 在第二象限，
将 Rt△OCB 绕原点顺时针旋转 120°后得到△OC′B′，
则 B 点的对应点 B′的坐标是( A )
A．( 3 ，－1) B．(1，－ 3 )
证明：(1)证△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE，∵F，G，H 分别为 BC， CD，DE 的中点，∴HG∥CE，GF∥BD，且 GH＝12 CE，GF＝12 BD， ∴GH＝GF
人教版九年级数学(上)第二十三章 旋转考试测试卷、答案
人教版九年级数学（上）第二十三章 旋转测试卷、答案一、选择题：（每小题3分共30分）1．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转 80°后得△AB′C′，则∠CAB′的度数为（ ）A ．45°B ．80°C ．125°D ．130°【答案】C 解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB ＋∠BAB′＝125°，故选：C ．2．如图，把ABC ∆绕着点A 逆时针旋转20︒得到ADE ∆，30BAC ∠=︒，则BAE ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30°D ．50︒ 【答案】D 解 ABC ∆绕着点A 逆时针旋转20︒得到ADE ∆∴∠BAD=∠CAE=20°∴BAE ∠=+BAC CAE ∠∠=30°+20°=50°故选D3．图中，不能由一个基本图形通过旋转而得到的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C解A 可以从基本图形转到整体图形；B 可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形；C 不可以通过旋转得到整体图形；D 可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形。
故选C.4．在以下几种生活现象中，不属于旋转的是( )A ．下雪时，雪花在天空中自由飘落B ．钟摆左右不停地摆动C ．时钟上秒针的转动D ．电风扇转动的扇叶【答案】A解A 是平移；B 是旋转；C 是旋转；D 是旋转。
故选A5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B. C. D.【答案】D解A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意。
人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》整章测试题(含答案)(含知识点)
第二十三章《旋转》整章测试题附答案一、填空题：（每题3分）1.（2009年新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）2.（2008江苏省盐城市）已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2．则旋转的牌是（ ）3.（2008湖北省宜昌市）如图，将三角尺ABC （其中∠ABC＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺 时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）．A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°4．（2009年崇左）已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）．A ()a b -，B ．()a b -，C ．()b a -，D ．()b a -，5.（2009年山东省日照市）在下图4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是 A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D甲乙甲乙A ．B ．C ．D ．甲乙甲乙AB CD N PP 1M 1N 1图1图2A B C D(第9题）C 1A 1AC432 10 3 2 1 3- x yAB C 2- 1- 1- 2- 3-A 6.（2009年牡丹江市）ABC △在如图所示的平面直角坐标系中，将ABC △向右平移3个单位长度后得111ABC △，再将111A B C △绕点O 旋转180°后得到222A B C △，则下列说法正确的是（ ）A ．1A 的坐标为()31，B ．113ABB A S =四边形 C ．222B C = D ．245AC O ∠=°7.（2008内蒙古自治区包头市）如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将ACB △绕点C 按顺时针方向旋转到A CB ''△的位置，其中A C '交直线AD 于点E ，A B ''分别交直线AD AC ，于点F G ，，则旋转后的图中，全等三角形共有（ ） A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对8. （2008河北省）有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图-2，图-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A ．上B ．下C ．左D ．右二、填空题：（每题3分）9. （2008甘肃省白银九市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 .10（2008吉林省长春市）如图，在平面内将Rt ABC △绕着直角顶点众 志成 城图-1 成 城众志图-2 志 成城 众城 众志成图-3 成 城众志…ABA A 'B 'GF EA PCBP 'P′P CBAB 'C 逆时针旋转90得到Rt EFC △．若AB =1BC =，则线段BE 的长为 ． 11. （2008辽宁省大连市，3分）如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△P AC 绕点A 逆时针旋转到△P′AB ，则∠P AP′的度数为 ．（第11题） （第12题） （第13题）12.（2008江苏省扬州市）如图△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP ´重合，如果AP =3，那么线段PP '的长等于____． 13.（2008四川省宜宾市）将直角边长为5cm 的等腰直角ABC △绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是 2cm ． 14.. （2008福建省厦门市）如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．15.（2007的正方形ABCD 绕点A逆时针方向旋转30o 后得到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为 ____________平方单位．16. （2007江苏泰州课改）如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，45BCD ∠=，将腰CD 以点D 为中心逆时针旋转90至ED ，连结AE CE ，，则ADE △的面积是 ．答案： 三、解答题：（共52分）17.（6分）（2008云南省双柏市）如图是某设计师在方格纸中 设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作： （1）作出关于直线AB 的轴对称图形；（2）将你画出的部分连同原图形绕点O 逆时针旋转90°；A BG CDA BCDEAOyxCAOB（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．18. （9分）（2008山西省）如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）．（1） （2） （3）19.（12分）（2008江苏省徐州市）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为(1,0)． （1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 按逆时针方向旋转90所得的△A 2B 2C 2； （3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； （4）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 解：20.（12分）（2008山东省枣庄市）把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6cm AB =，7cm DC =．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙）．这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ． （1）求1OFE ∠的度数； （2）求线段AD 1的长；（3）若把三角形D 1CE 1绕着点C 顺时针再旋转30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．（甲）ACE DBB（乙）AE 1CD 1OF21.（13分）（2009年牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F参考答案一、选择题：1. C2. A3. A4. C5. B6. D7. C8. C二、填空题：9.9010. 3 11. 6012. 3213.25314. 2，1815. 3316. 1三、解答题：17. 答案：如图．三步各计2分，共6分．18.解：（1）（2）（3）19解：（1）如图；AOB（2）如图；（3）成轴对称，对称轴如图；（4）成中心对称，对称中心坐标11()22，．20．解：（1）如图所示，315∠=，190E ∠=，∴1275∠=∠=．又45B ∠=，∴114575120OFE B ∠=∠+∠=+=． （2）1120OFE ∠=，∴∠D 1FO =60°．1130CD E ∠=，∴490∠=．又AC BC =，6AB =，∴3OA OB ==．90ACB ∠=，∴116322CO AB ==⨯=．又17CD =，∴11734OD CD OC =-=-=．在1Rt AD O △中，15AD ===． （3）点B 在22D CE △内部．理由如下：设BC （或延长线）交22D E 于点P ，则2153045PCE ∠=+=． 在2Rt PCE △中，22CP ==，3CB =<，即CB CP <，∴点B 在22D CE △内部． 21.解：图2成立；图3不成立． 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥，1E1则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°再证MDE NDF DM DN ∠=∠=， 有DME DNF △≌△ DME DNF S S ∴=△△DEF CEF DMCN DECF S S S S ∴==+△△四边形四边形 由信息可知12ABC DMCN S S =△四边形 12DEF CEF ABC S S S ∴+=△△△ 图3不成立，DEF CEF ABC S S S △△△、、的关系是：12DEF CEF ABC S S S -=△△△以下不需要可以删除人教版初中数学知识点总结必备必记目 录七年级数学（上）知识点 (1)第一章 有理数 ...................................................................................................................... 1 第二章 整式的加减 ............................................................................................................ 3 第三章 一元一次方程 .......................................................................................................... 4 第四章 图形的认识初步 ...................................................................................................... 5 七年级数学（下）知识点 (6)第五章 相交线与平行线 .................................................................................................. 6 第六章 平面直角坐标系 .................................................................................................... 8 第七章 三角形 .................................................................................................................... 9 第八章 二元一次方程组 .................................................................................................. 12 第九章 不等式与不等式组 .............................................................................................. 13 第十章 数据的收集、整理与描述 .................................................................................. 13 八年级数学（上）知识点. (14)第十一章 全等三角形 ...................................................................................................... 14 第十二章 轴对称 .............................................................................................................. 15 第十三章 实数 .................................................................................................................. 16 第十四章 一次函数 .......................................................................................................... 17 第十五章 整式的乘除与分解因式 .................................................................................. 18 八年级数学（下）知识点. (19)第十六章 分式 .................................................................................................................. 19 第十七章 反比例函数 (20)第十八章勾股定理 (21)第十九章四边形 (22)第二十章数据的分析 (23)九年级数学（上）知识点 (24)第二十一章二次根式 (24)第二十二章一元二次根式 (25)第二十三章旋转 (26)第二十四章圆 (27)第二十五章概率 (28)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)第二十七章相似 (32)第二十八章锐角三角函数 (33)第二十九章投影与视图 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0pq,p(pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a(a)0a()0a(aa或⎩⎨⎧<-≥=)0a(a)0a(aa；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。
九年级数学上册第二十三章旋转必练题总结(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转必练题总结单选题1、如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（）A．AD//EF,AB//GF B．BO=GOC．CD=HE,BC=GH D．DO=HO答案：D分析：中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．A．∵AD与EF关于点O成中心对称，∴AD//EF，同理可得AB//GF，正确；B．∵点B与点G关于点O成中心对称，∴BO=GO，正确；C．∵CD与HE关于点O成中心对称，∴CD=HE，同理可得BC=GH，正确；D．∵点D与点E关于点O成中心对称，∴DO=EO，∴DO=HO错误，故选：D．小提示：本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2、一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案：B分析：根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等实数根；当Δ= b2−4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程无实数根；该一元二次方程Δ=4+ 4=8>0，即有两个不相等实数根，可得答案B．解：∵一元二次方程x2−2x−1=0，∴判别式Δ=b2−4ac=4+4=8>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B小提示：此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．3、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴选项B正确；∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，∴选项C不正确；∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确；故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．4、把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°答案：C分析：根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．解：∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C．小提示：本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5、在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A．(−1.6,−1)B．(−1,−1.6)C．(1.6,1)D．(1,−1.6)答案：C分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．小提示：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．6、如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C= 90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B分析：根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC的度数，由旋转可知∠BAC=∠B′AC′，在根据平角的定义求出∠BAC′的度数即可．∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°，∵由旋转可知∠BAC=∠B′AC′=60°，∴∠BAC′=180°−∠BAC−∠B′AC′=180°−60°−60°=60°，故答案选：B．小提示：本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．7、如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若∠CC 'D = 90°，BC '=2√5，则线段C 'D 的长度为（ ）A ．√5B ．2C ．4D ．2√153 答案：B分析：过点B 作BE ⊥CC '于点E ，根据正方形的性质可得△BCE ≌△CDC '，从而得到CE =C 'D ，BE =C C '，再由将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，可得CE =C 'E =C 'D =12CC '=12BE ，然后根据勾股定理，即可求解．解：如图，过点B 作BE ⊥CC '于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠BCE +∠C 'CD =90°，∵∠BCE +∠CBE =90°，∴∠C 'CD =∠CBE ，又∵∠BEC =∠CC 'D =90°，∴△BCE ≌△CDC '（AAS ），∴CE =C 'D ，BE =C C '，∵将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，∴BC =BC '，又∵BE ⊥CC '，∴CE =C 'E =C 'D =12CC '=12BE ，∵BC '=2√5，∴CE 2+BE 2=CE 2+(2CE )2=BC 2=(2√5)2，解得：CE =2，∴线段C 'D 的长度为2．故选：B小提示：本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8、如图，在正方形ABCD 中，AB =4，E 为AB 边上一点，点F 在BC 边上，且BF =1，将点E 绕着点F 顺时针旋转90°得到点G ，连接DG ，则DG 的长的最小值为（ ）A ．2B ．2√2C ．3D ．√10答案：C分析：过点G 作GP ⊥BC 于点P ，延长PG 交AD 于点H ，设BE =PF =x ，只要证得ΔBEF ≌ΔPFG (AAS )，利用全等三角形的性质可得BE =PF ，PG =BF =1，进而得到PC =DH =4−1−x =3−x ，在RtΔDGH 中，利用勾股定理即可求解．解：过点G 作GP ⊥BC 于点P ，延长PG 交AD 于点H ，则∠GPF =90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠C=∠B=90°，∴四边形CDHP是矩形，∴CD=PH=AB=4，PC=DH，∵∠EFG=90°，∴∠BFE+∠PFG=90°，又∠BFE+∠BEF=90°，∴∠PFG=∠BEF，∵FE=FG，∠B=∠GPF=90°，∴ΔBEF≌ΔPFG(AAS)，∴BE=PF，PG=BF=1，∴GH=PH−PG=4−1=3，设BE=PF=x，则PC=DH=4−1−x=3−x，在RtΔDGH中，由勾股定理得，DG2=DH2+GH2=(3−x)2+32=(3−x)2+9，当x=3时，DG2有最小值为9，∴DG的最小值为3，故选：C小提示：本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键．9、如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（）A．75°B．60°C．45°D．15°答案：B分析：根据题意可知旋转角为∠BAC，根据等边三角形的性质即可求解．解：∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，△ABC是等边三角形，∴旋转角为∠BAC=60°，故选B小提示：本题考查了等边三角形的性质，找旋转角，找到旋转前后对应的线段所产生的夹角即为旋转是解题的关键．10、如图，G是正方形ABCD内一点，以GC为边长，作正方形GCEF，连接BG和DE，试用旋转的思想说明线段BG与DE的关系（）A．DE＝BG B．DE＞BG C．DE＜BG D．DE≥BG答案：A分析：根据四边形ABCD为正方形，得出BC=DC，∠BCD=90°，根据四边形CEFG为正方形，得出GC=EC，∠GCE=90°，再证∠BCG=∠DCE，△BCG与△DCE具有可旋转的特征即可解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∵四边形CEFG为正方形，∴GC=EC，∠GCE=90°，∵∠BCG+∠GCD=∠GCD+∠DCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCE，∴BG=DE，故选项A．小提示：本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键．填空题11、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB=10，AB=12，则AC的长为______．答案：6√10分析：根据垂径定理求出AE=BE=6，根据勾股定理求出OE，求出CE，再根据勾股定理求出AC即可．解：设AB和CD交于E，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=12，∴AE=BE=6，∠OEB=∠CEA=90°，由勾股定理得：OE=√OB2−BE2=√102−62=8，∴CE=OC+OE=10+8=18，由勾股定理得：AC=√CE2+AE2=√182+62=6√10，所以答案是：6√10．小提示：本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．12、如图，△ABC中，AB=√5，AC=2，∠BAC=30°．将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE=______．答案：3分析：根据旋转的性质得出∠CAE=60°，AC=AE=2，求出∠BAE=90°，根据勾股定理求出即可．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，AB=√5，AC=2，∴∠CAE=60°,AC=AE=2，∵∠BAC=30°，∴∠BAE=30°+60°=90°，在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE=√AB2+AE2=√(√5)2+22=3,所以答案是：3．小提示：本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE的长度和求出∠BAE的度数是解此题的关键．13、一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．答案：72分析：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．所以答案是：72小提示：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．14、以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、⋯、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，则点C的坐标表示为_______．答案：(3,240°)分析：根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，根据点的特征，所以点C的坐标表示为(3,240°)；所以答案是：(3,240°)．小提示：本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．15、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A，C的坐标分别为(2,0)，(0,−4)，将矩形ABCO绕点B 顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为A′,C′,O′．当点O′落在x轴的正半轴上时，点O′的坐标为________．答案：(4,0)分析：连接OB，O′B，证明Rt△AOB≌Rt△AO′B，可得OA=O′A=2，即可求解．解：如图，连接OB，O′B，由题意得OA=BC=2，OC=AB=4，由旋转可知OB=O′B，在Rt△AOB和Rt△AO′B中，{OB=O ′BAB=AB∴Rt△AOB≌Rt△AO′B（HL），∴OA=O′A=2，∴O′坐标为（4,0），所以答案是：（4,0）．小提示：本题考查了矩形的性质、旋转的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关是证明Rt△AOB≌Rt△AO′B．解答题16、在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．答案：(1)①见解析；②CD2+AD2=ED2，证明见解析(2)位置关系：CE⊥BF，数量关系：CE=2BF，证明见解析分析：（1）①根据题意作图即可；②连接AE，证明△ABE≌△CBD，可得∠EAB=∠DCB，AE=DC，进而证明△AED是直角三角形，从而得到AE2+AD2=ED2，根据AE=DC，即可证明CD2+AD2=ED2；（2）如图，连接AE，过点B作BG⊥AC分别交AC,EC于点G,H，设BF与EC交于点M，连接AH，设∠HCG=α，则∠HAC=∠HCA=α，证明△BFG≌△AHG，可得∠FBG=∠HAG=α，∠MHB=90°−α，∠BMH=90°，EC，BF=AH即可得EC=2BF．即可证明BF⊥EC，根据全等的性质以及直角三角形斜边上的中线可得H=12（1）①如图，②CD2+AD2=ED2，证明如下，如图，连接AE，依题意，∠DBE=90°,BD=BE，∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ABE，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠EAB=∠DCB，AE=CD，∵AB=BC,∠ABC=90°，∴∠ACB=∠BAC=45°，∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=∠BCD+∠BAC=90°，∴△AED是直角三角形，∴AE2+AD2=ED2，∴CD2+AD2=ED2，（2）位置关系：CE⊥BF，数量关系：CE=2BF，理由如下，如图，连接AE，过点B作BG⊥AC分别交AC,EC于点G,H，设BF与EC交于点M，连接AH，FH，∵AB=BC，BG⊥AC，∴BG是AC的垂直平分线，∴HA=HC，EH=HC，∴HA=HE，∵∠ABC=90°,BG⊥AC，∴BG=AG，∴∠HAE=∠HEA，设∠HCG=α，则∠HAC=∠HCA=α，∵△AEC是直角三角形，∠EAC=90°，∴∠HEA=∠HAE=90°−α，∵BG⊥AC，∴BG∥AE，∴∠HAE=∠AHG=90°−α,∠HEA=∠EHB=∠MHB=90°−α，∵F是AD的中点，G是AC的中点，∴FG=AG−AF=12AC−12AD=12(AC−AD)=12DC，由（1）可知DC=AE，∴FG=12AE，∵点H是EC的中点，点G是AC的中点，∴HG=12AE，∴FG=HG，∵∠HAG=α,∠AGH=90°，∴∠AHG=90°−α，在△BFG和△AHG中，{BG=AG∠BGF=∠AGH=90°FG=HG∴△BFG≌△AHG，∴∠FBG=∠HAG=α，∵∠MHB=90°−α，∴∠BMH=90°，∵∠AHG+∠HAG=90°，即BF⊥EC，∵△BFG≌△AHG，∴BF=AH，∵AH=12EC，∴EC=2BF．小提示：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，垂直平分线的性质，证明△BFG≌△AHG是解题的关键．17、如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．(1)求证：EF=BC；(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．答案：(1)见解析(2)78°分析：（1）只需要证明△ABC∥△AEF即可得到答案；（2）先求出∠FAG=∠BAE=50°，然后根据全等三角形的性质得到∠F=∠C=28°，再利用三角形外角的性质求解即可．（1）解：∵∠CAF=∠BAE，∴∠BAC=∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC=AF．在△ABC与△AEF中，{AB=AE∠BAC=∠EAF AC=AF∴△ABC∥△AEF(SAS)，∴EF=BC；（2）∵AB=AE，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠AEB=65°∴∠BAE=180°−65°×2=50°，∴∠FAG=∠BAE=50°．∵△ABC∥△AEF，∴∠F=∠C=28°，∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．(1)求证：AE平分∠CED；(2)连接BD，求证：∠DBC=90°．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．（1）证明：由旋转性质可知：AE=AC，∠AED=∠C，∴∠AEC=∠C∴∠AED=∠AEC∴AE平分∠CED．（2）证明：如图所示：由旋转性质可知：AD=AB，∠DAE=∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ABD，∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∵∠DAB=180°−2∠ABD，∠EAC=180°−2∠C，∴∠ABD=∠C，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠ABD=90°，即∠DBC=90°．小提示：本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．。
人教版九年级数学上 第23章 旋转 小专题(七)旋转中的计算与证明(含答案)
小专题(七) 旋转中的计算与证明类型1 基于“半角”的旋转在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．【例1】 如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明．【思路点拨】 将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，利用条件可证△EOH≌△EOF，从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，进而得出结论．1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.(1)如图1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；(2)如图2，当DE＝D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)如图3，在(2)的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)类型2 基于“等边三角形”的旋转方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．3【例2】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．【思路点拨】 将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得3AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.2．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的长．3．如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，构成一个△AMN，求△AMN的周长．参考答案【例1】 AE 2＋BF 2＝EF 2.证明：将△OFB 绕点O 顺时针旋转90°，得△OHA .连接HE ，∴OH ＝OF ，AH ＝BF ，∠BOF ＝∠AOH ，∠HOF ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝90°，∠AOB ＝90°.∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE ＋∠BOF ＝∠AOB －∠EOF ＝90°－45°＝45°.∴∠AOE ＋∠AOH ＝∠EOH ＝45°.∴∠EOH ＝∠EOF .在△EOH 和△EOF 中，OH ＝OF ，∠EOH ＝∠EOF ，OE ＝OE ，∴△EOH ≌△EOF (SAS )．∴EF ＝EH .∵在Rt △AEH 中，由勾股定理得EH 2＝AH 2＋AE 2，AH ＝BF ，∴AE 2＋BF 2＝EF 2. 1.(1)证明：∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD ′，∴AD ＝AD ′，∠CAD ′＝∠BAD .∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠D ′AE ＝∠CAD ′＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠BAC －∠DAE ＝120°－60°＝60°.∴∠DAE ＝∠D ′AE .在△ADE 和△AD ′E 中，AD ＝AD ′，∠DAE ＝∠D ′AE ，AE ＝AE ，∴△ADE ≌△AD ′E (SAS )．∴DE ＝D ′E .(2)∠DAE ＝∠BAC .理由如下：在△ADE 和△AD ′E 中，AD ＝AD ′，AE ＝AE ，DE ＝D ′E ，∴△ADE ≌△12AD ′E (SSS )．∴∠DAE ＝∠D ′AE .∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAD ′＋∠CAE ＝∠D ′AE ＝∠DAE .∴∠DAE ＝∠BAC .12(3)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠ACD ′＝45°.∴∠D ′CE ＝45°＋45°＝90°.∵△D ′EC 是等腰直角三角形，∴D ′E ＝CD ′.由(2)可得DE ＝D ′E ，∵△ABD 绕点A 旋转得到△2ACD ′，∴BD ＝CD ′.∴DE ＝BD . 2【例2】 ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得△ADB .连接DA ，DP ，DB ，得AD ＝AP ＝2，DB ＝PC ＝，∠DAP ＝60°.∴△ADP 为等边三角形，所以3DP ＝AP ＝2，∠DPA ＝60°.在△DPB 中，DB ＝，BP ＝1，DP ＝2，∴DP 2＋BP 2＝DB 2.∴∠DBP ＝90°，3∠DPB ＝60°.∴∠APB ＝∠DPB ＋∠DPA ＝60°＋60°＝120°. 2.将△APC 绕点C 按逆时针旋转60°，使CA 移至CB 处，PC 移到P ′C ，PA 移到P ′B .∵∠PCP ′＝60°，∴△PCP ′是等边三角形．∴∠P ′PC ＝60°，PP ′＝PC ＝1.∵∠BPC ＝150°，∴∠BPP ′＝90°.在Rt △BP ′P 中，BP ＝2，PP ′＝PC ＝1，由勾股定理得P ′B ＝＝＝PA .∴PA ＝. 22＋1553.因为△ABC 为等边三角形，△DBC 为等腰三角形，∠BDC ＝120°，所以以D 为旋转中心，按顺时针方向将△DBM 旋转120°如图，且N 、C 、E 三点在同一条直线上．所以DM ＝DE ，CE ＝BM ，∠BDM ＝∠CDE .因为∠MDN ＝60°，所以∠BDM ＋∠NDC ＝60°.所以∠NDE ＝60°.在△DMN 和△DEN 中，DM ＝DE ，∠MDN ＝∠EDN ，DN ＝DN ，所以△DMN ≌△DEN .所以NE ＝MN .所以△AMN 的周长＝AM ＋MN ＋AN ＝AM ＋NE ＋AN ＝AM ＋NC ＋CE ＋AN ＝AM ＋NC ＋MB ＋AN .即△AMN 的周长＝AB ＋AC .因为AB ＝AC ＝1，故△AMN 的周长为2.。
(人教版)石家庄九年级数学上册第二十三章《旋转》经典练习(答案解析)
一、选择题1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ） A ． B ． C ． D ．A 解析：A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确；B 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误；C 、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误；D 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．D 解析：D【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3．直线26y x =-+与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，将AOB 绕点A 顺时针旋转90°得到AO B ''△，则点B '的坐标是（ ）A ．()9,9B ．()3,9-C ．()9,3D ．()3,9C解析：C【分析】 由题意可求点A （3，0），点B （0，6），根据旋转的性质可得OA=O'A=3，BO=B'O'=6，B'O'∥OA ，即可求点B'坐标．【详解】解：如图：∵直线y=-2x+6与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，∴当x=0时，y=6；当y=0时，x=3．∴点A （3，0），点B （0，6）∴OA=3，OB=6∵将△AOB 绕点A 顺时针旋转90°得到△AO′B′，∴OA=O'A=3，BO=B'O'=6，∠OAO'=∠B'O'A=90°∴B'O'∥OA∴点B'（9，3）故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A．（-1，3）B．（3，-1）C．（31-，）D．（-2，1）C解析：C【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B（2，0），△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴AE=2222AO OE--，213==∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE（AAS），∴A′H=OE=1，OH=AE=3，∴A′（-3，1），故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．A解析：A【分析】根据中心对称图形的定义逐一判断即可．【详解】A 是中心对称图形，故A 正确；B 是轴对称图形，故B 错误；C 不是中心对称图形，故C 错误；D 不是中心对称图形，故D 错误；故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称． 6．如图，将△ABC 绕顶点C 旋转得到△A B C ''， 且点B 刚好落在A B ''上，若∠A =35°，∠BCA '=40°，则∠A BA '等于( )A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°D解析：D【分析】 由旋转的性质可得出35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，由已知条件结合三角形外角的性质求出B BC '∠的度数，即可得出ABC ∠的度数，即可得出A BA '∠的度数．【详解】由旋转的性质可得：35A A '∠=∠=︒，CB CB '=，B ABC '∠=∠，∴B BC B ''∠=∠，40BCA '∠=︒，∴75B A C BCA B '''∠=∠+∠=︒，∴75B '∠=︒，∴75ABC B '∠=∠=︒，∴180757530A BA '∠=︒-︒-︒=︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及旋转的性质，根据三角形外角的性质以及旋转的性质求出对应角的度数是解题关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，1），()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称：第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点6P 与点4P 关于点B 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点2013P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．()2,2-C ．()0,2-D ．()2,0-C解析：C【分析】 计算出前几次跳跃后，点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7的坐标，可得出规律，继而可求出点P 2013的坐标．【详解】解：∵点1P 与点O 关于点A 成中心对称，∴P 1(2，0)，过P 2作P 2D ⊥OB 于点D ，∵2P 与点1P 关于点B 成中心对称，∴P 1B=P 2B ，在△P 1BO 和△P 2BD 中121212PBO P BD POB P DB PB P B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P 1BO ≌△P 2BD ，∴P 2D=P 1O=2，BD=BO=1，∴OD=2，∴P 2(-2，2)，同理可求：P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，从而可得出6次一个循环，∵20136=335…3，∴点P2013的坐标为(0，-2)．故选C．【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．8．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣23B．（﹣4，﹣3 C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，﹣23）D解析：D【解析】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=30°，∴BC=4，∴AB3∴AD=AB ACBC⋅232⨯3∴BD=2ABBC223（）．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，3）．∵BD=3，∴BD1=3，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣23∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣232）．故选D．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．9．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12B ．512-C ．33D ．32C 解析：C【分析】连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．【详解】解：连接DB ，AC ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝DB ，∠ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，∵点B 与点O 关于CE 对称，∴OE ＝EB ，∠OEC ＝∠BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△CBE （SAS ），∴OC ＝CB ，∴AC ＝2BC ，∵∠ABC ＝90°，∴ABCB ，即CB ：AB ＝3， 故选：C ．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB 是解题的关键．10．若点A （3－m ，n+2）关于原点的对称点B 的坐标是（－3，2），则m ，n 的值为（ ）A ．m=－6，n=－4B ．m=O ，n=－4C ．m=6，n=4D ．m=6，n=－4B 解析：B【解析】试题分析：关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，则3－m=3，n+2=－2，解得：m=0，n=－4.考点：原点对称 二、填空题11．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．﹣3【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出ab 的值即可得出答案【详解】∵点M （3a ﹣2）N （ba ）关于原点对称∴b=﹣3a ﹣2=﹣a 解得：a=1则ab=1×(﹣3)=﹣3故答案为：﹣3【点睛】本题解析：﹣3【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】∵点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，∴b =﹣3，a ﹣2=﹣a ，解得：a =1，则ab =1×(﹣3)=﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．12．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到COD △，若15AOB ∠=︒，则BOC ∠=______度．60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°且∠COD=∠AOB 再用∠BOD 加∠COD 即可【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ∴∠BOD=45°∠COD=∠AOB 又∵∠A解析：60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，且∠COD=∠AOB ，再用∠BOD 加∠COD 即可．【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，∴∠BOD=45°，∠COD=∠AOB ，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=45°+15°=60°，故答案为60°．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质，解题的关键是找准旋转角以及对应的边．13．如图，将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，若40AOB ︒∠=，则AOD ∠=_______________．30°【分析】根据旋转的性质得到利用角的和差即可求解【详解】解：∵将绕点逆时针旋转70°到的位置∴∴故答案为：30°【点睛】本题考查旋转的性质明确旋转的性质是解题的关键解析：30°【分析】根据旋转的性质得到40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∵将OAB 绕点O 逆时针旋转70°到OCD 的位置，∴40COD AOB ∠=∠=︒，70AOC ∠=︒，∴30AOD AOC COD ∠=∠-∠=︒，故答案为：30°．【点睛】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键．14．如图，点E在正方形ABCD的边CB上，将DCE绕点D顺时针旋转90˚到ADF 的位置，连接EF，过点D作EF的垂线，垂足为点H，于AB交于点G，若4AG=，3BG=，则BE的长为___________．【分析】连接EG根据DG垂直平分EF即可得出EG=FG设BE=x则CE=7-x=AFFG=EG=11-x再根据Rt△BEG中BE2+BG2=EG2即可得到BE的长【详解】解：如图所示连接EG由旋转可解析：56 11【分析】连接EG，根据DG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设BE=x，则CE=7-x=AF，FG=EG=11-x，再根据Rt△BEG中，BE2+BG2=EG2，即可得到BE的长．【详解】解：如图所示，连接EG，由旋转可知DCE≌ADF，∴DE=AF，CE=AF，∵DG⊥EF，∴H为EF的中点，∴DG垂直平分EF，∴EG=FG，设BE=x，则CE=5-x=AF，FG=EG=8-x，∵∠B=90°，∴BE2+BG2=EG2即2223(11)x x+=-解得5611 x=故答案为：56 11【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，将射线AC 绕点A 按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE ，点M 是点D 关于射线AE 的对称点，则线段CM 长度的最小值和最大值的和为_____．﹣1【分析】由轴对称的性质可知AM ＝AD 故此点M 在以A 圆心以AD 为半径的圆上故此当点AMC 在一条直线上时CM 有最小值【详解】解：如图所示：连接AM ∵四边形ABCD 为正方形∴AC ＝＝∵点D 与点M 关于A 解析：2﹣1【分析】由轴对称的性质可知AM ＝AD ，故此点M 在以A 圆心，以AD 为半径的圆上，故此当点A 、M 、C 在一条直线上时，CM 有最小值．【详解】解：如图所示：连接AM ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC 222211AD CD +=+2∵点D 与点M 关于AE 对称，∴AM ＝AD ＝1．∴点M 在以A 为圆心，以AD 长为半径的圆上． 如图所示，当点A 、M 、C 在一条直线上时，CM 有最小值．∴CM 的最小值＝AC ﹣AM ′2﹣1，21．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M 运动的轨迹是解题的关键．16．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键 解析：5 【分析】 先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．【详解】由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，30BAC ∠=︒，1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，在1Rt ABC 中，222211215BC AB AC =+=+=，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．17．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B 、C 、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n ＜180），如果EF ⊥AB ，那么n 的值是_______． 135【分析】画出旋转后的图象满足EF ⊥AB 然后根据旋转的性质和三角板的角度去求出旋转角的度数【详解】解：①如图延长EF 交AB 于H ∵EF ⊥AB ∠A ＝45°∴∠ACH ＝45°∴∠ACE ＝135°∴n ＝解析：135【分析】画出旋转后的图象满足EF ⊥AB ，然后根据旋转的性质和三角板的角度去求出旋转角的度数．【详解】解：①如图，延长EF交AB于H，∵EF⊥AB，∠A＝45°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝135°，∴n＝135；②如图，∵EF⊥AB，∠A＝45°，∴∠ACE＝45°，∴n＝360﹣45＝315，∵0＜n＜180，∴n＝315不合题意舍去，故答案为：135．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是利用旋转的性质和三角板的角度去求解，需要考虑多种情况．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°，将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最小值为_____．【分析】连接OC过点C作CE⊥x轴于E由直角三角形的性质可求BE＝BC＝1CE＝由勾股定理可求OC的长据此进一步分析即可求解【详解】如图连接OC过点C作CE⊥x轴于点E∵四边形OBCD是菱形∴OD∥解析：23-【分析】连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求BE＝12BC＝1，CE＝3，由勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解．【详解】如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，∵四边形OBCD是菱形，∴OD∥BC，∴∠BOD＝∠CBE＝60°，∵CE⊥OE，∴BE＝12BC＝1，CE＝3，∴2223OC OE CE=+=，∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最小值为23-，故答案为：23-．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 19．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________．【分析】由点P是AB的中点∠A=60°AC=3cm可得BP的长再由逆时针旋转90°根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值就可求出BMMP的长在Rt△B′MN和Rt△BNG中根据30°直角三角形的解析：94【分析】由点P 是AB 的中点，∠A=60°，AC=3cm 可得BP 的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM ，MP 的长，在Rt △B ′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S 阴影部分=BNG BPM S S ∆∆-进行计算即可．【详解】如图，∵∠C =90°，∠A =60°，AC =6，∴AB =2AC =6，∠B =30°，∵点P 为AB 的中点，∴BP =3，∵△ABC 绕点P 按逆时针方向旋转90︒得到Rt △A′B′C′，∴B 'P =BP =3，在Rt △BPM 中，∠B =30°，∠BPM =90°，∴BM =2PM ，∴PM 3BM 3 ∴B ′M =B ′P -PM 3在Rt △B ′MN 中，∠B ′=30°，∴MN =12B ′M =3322-，∴BN =BM +MN =33322+ 在Rt △BNG 中，BG =2NG ，BG 2=NG 2+BN 2，∴NG =3322+， ∴S 阴影=S △BNG -S △BMP =1333319333222224⎛⎛⨯+⨯-= ⎝⎝⎭， 故答案为：94． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝5，点D 为线段AC 上一动点，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90°，点B 的对应点为E ，连接AE ，则AE 长的最小值为_____．【分析】由旋转的性质可知BD＝DE∠C＝90°则容易想到构造一个直角三角形与Rt△BCD全等即过E点作EH⊥AD于点H设CD＝x则可用x表示AE的长从而判断什么时候AE取得最小值【详解】设CD＝x则解析：2【分析】由旋转的性质可知BD＝DE，∠C＝90°，则容易想到构造一个直角三角形与Rt△BCD全等，即过E点作EH⊥AD于点H，设CD＝x，则可用x表示AE的长，从而判断什么时候AE取得最小值．【详解】设CD＝x，则AD＝5﹣x，过点E作EH⊥AD于点H，如图：由旋转的性质可知BD＝DE，∵∠ADE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBD，又∵∠EHD＝∠C，∴△BCD≌△DHE，∴EH＝CD＝x，DH＝BC＝3．∵AD＝5﹣x，∴AH＝AD﹣DH＝5﹣x﹣3＝2﹣x，∵在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣x）2+x2＝2x2+4x+4＝2（x﹣1）2+2，所以当x＝1时，AE2取得最小值2，即AE2．2【点睛】考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键灵活其相关的知识点进行推理证明．三、解答题21．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，4）、B（1，2）、C（5，3），如图：（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标；（2）在（1）中，若△ABC上有一点P（m，n），直接写出对应点P1的坐标．（3）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．解析：（1）图见解析，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；（2）P1的坐标为（n，﹣m）；（3）见解析【分析】（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）．（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）求AC的长；（2）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C，直接写出A点对应点A1的坐标．解析：（1）10；（2）作图见解析，A 1（-3，-2）【分析】（1）结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；（2）根据旋转的性质，结合题意，分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1，即可解决问题．【详解】（1）结合题意得：AC ＝()()2201121910⎡⎤⎡⎤----=+⎣⎦+=⎣⎦＝10． （2）结合题意，得1A C AC =，1B C BC =∴()103,11A ---，即()13,2A --△A 1B 1C 作图如下： ．【点睛】本题考查了勾股定理、直角坐标系、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、直角坐标系、旋转的性质，从而完成求解．23．如图，在平面直角坐标系中有一个直角AOB ，已知90OAC ∠=︒，且点B 的坐为()3,2（1）画出OAB 绕原点O 逆时针旋转90︒后的11OA B ；（2）点1B 关于原点O 对称的点2B 的坐标为________．解析：（1）作图见解析；（2）()22,3.B -【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A 、B 的对称点11,A B ,即可得到11OA B ； （2）先写出1B 点的坐标，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出点2B 的坐标．【详解】解：（1）如图，11OA B 为所作；（2）1B 点的坐标为（-2,3），所以点1B 关于原点O 对称的点2B 的坐标为（2，-3）．【点睛】本题考查了作图旋转变换，根据旋转的性质，可以作相等的角，在角的边上截取相等的线段，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．24．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE △绕点B 顺时针转90︒，点E 的对应点是F ．（1）在图中画出旋转后的三角形；（2）EBF △是 三角形；（只写出结论，不证明）（3）写出AE 和CF 的关系．（不用证明）解析：（1）图见解析；（2）等腰直角；（3）AE CF ⊥且AE CF =．【分析】（1）先根据正方形的性质可得,90AB BC ABC =∠=︒，从而可得点A 的对应点是点C ，再根据旋转的定义画出点F ，然后顺次连接点,,B C F 即可得；（2）先根据旋转的性质可得90EBF ∠=︒，BE BF =，再根据等腰直角三角形的判定即可得；（3）根据旋转的性质可得AE 与CF 是相对应，由此即可得出结论．【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，,90AB BC ABC ∴=∠=︒，∴将ABE △绕点B 顺时针转90︒，点A 的对应点是点C ，先根据旋转的定义画出点F ，再顺次连接点,,B C F 即可得旋转后的三角形，如图所示：（2）如图，连接EF由旋转的性质得：90EBF ∠=︒，BE BF =，则EBF △是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角；（3）ABE 绕点B 顺时针转90︒，点A 的对应点是点C ，点E 的对应点是点F ，AE ∴顺时针转90︒到CF 的位置，即AE CF ⊥且AE CF =．【点睛】本题考查了画旋转图形、旋转的性质、等腰直角三角形的判定、正方形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．25．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一点，将AEC 以点C 为旋转中心，逆时针旋转90°得到BFC △，AD 的延长线交线段BF 于点P ．探究线段EP ，FP ，BP 之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP BF ⊥；特例探究（2）如图2，当CE 垂直于AD 时，求证：2EP FP BP +=；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）成立．证明见解析．【分析】（1）根据旋转图形的性质，可得△AEC ≌△BFC ，得到∠FBC=∠EAC ，再由三角形内角和证明AP ⊥BE 即可．（2）先证明四边形CEPF 是正方形，得到CE=FP ，再证明△CED ≌△BPD ，可得CE=BP ，则问题可证．（3）过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，CH ⊥BP ，垂足为H ，则按照（1）中方法问题证．【详解】（1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC ≌△BFC ，∴∠FBC=∠EAC ．又∵∠ADC=∠BDP ，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，∴∠BDP+∠FBC=90°，∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC ）=90°，∴AP ⊥BE ．（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，∴四边形CEPF是矩形．∵CE=CF∴四边形CEPF是正方形．∴CE=EP=FP．又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°∴△CED≌△BPD，∴CE=BP．∴EP+FP=2CE=2BP．（3）成立．理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，∴∠CEG=∠CFH．∵∠CGE=∠CHF=90°，∴△CEG≌△CFH，∴CH=CG，EG=FH．∴EP+FP=GP+HP∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，∴四边形CGPH是正方形．又（2）可知，GP+PH=2BP，∴EP+PF=2BP．【点睛】本题考查了利用图形旋转证明三角形全等以及正方形的性质和判定，解答关键是应用由特殊到一般思想，通过类比方法证明问题．26．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形和点E 经过的路径；（2）若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的长．解析：（1）见解析；（2）10 【分析】 （1）根据旋转的性质即可画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形以及E 的轨迹； （2）利用勾股定理求出AE ，再利用等腰直角三角形的性质求出EF 即可．【详解】解：（1）旋转后的△ADF 如图所示，点E 的运动路径如图所示：（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=2，∠B=90°，∵BE=EC=1，∴AE=22AB BE +=2221+=5，∵△EAF 是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF ，∴EF=2AE=10．【点睛】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．27．阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题： （1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______； （2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．解析：（1）正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；（2）见解析【分析】（1）根据旋转对称图形的定义解答即可；（2）先作出正六边形的旋转中心，再根据图形既是轴对称图形又是旋转对称图形进行作图即可．【详解】解：(1) 正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；故答案为：正方形(答案不唯一，例如正八边形、圆等)；(2)如图所示：【点睛】本题考查了轴对称图形和旋转对称图形的定义及作图，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．28．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）．（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°．画出对应的△A′B′C′图形，直接写出点A的对应点A′的坐标；解析：（1）B1的坐标为（2，-3）；（2）图见解析，A′的坐标为（0,6）．【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出答案；（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出图形，再写出A′的坐标即可．【详解】解：（1）点B关于坐标原点O对称的点B1的坐标为：（2，-3）；（2）如下图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形，A′的坐标为（0,6）．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，坐标与图形变化——旋转．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．。
人教版数学九年级上册第二十三章旋转课题学习图案设计同步练习题含答案
人教版数学九年级上册第二十三章旋转课题学习图案设计同步练习题含答案1. 下面的四个图案中，既可用旋转来剖析整个图案的构成进程，又可用轴对称来剖析整个图案的构成进程的图案有( )A．4个B．3个C．2个D．1个2. 假设要将图中的甲图案变成乙图案，可经过的变换正确的选项是( ) A．轴对称、平移B．平移、轴对称C．旋转、轴对称D．平移、旋转3. 以下这些美丽的图案都是在〝几何画板〞软件中应用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的〝基本图案〞绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度正确的为〔〕A．30B．60C．120D．1804．将一张正方形纸片沿如下图的虚线剪开后，能拼成以下四个图形，其中是中心对称图形的是〔〕5．某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛〔阴影局部〕使花坛面积是园空中积的一半，以以下图中设计不合要求的是〔〕6. 以下图形均可由〝基本图案〞经过变换失掉：(只填序号)(1)平移但不能旋转的是；(2)可以旋转但不能平移的是；(3)既可以平移，也可以旋转的是.7. 观察以下各图形，然后填空．在图1中，左边的图形可以经过 变换失掉左边的图形；在图2中，左边的图形可以经过 变换失掉左边的图形；在图3中，左边的图形可以经过 变换失掉左边的图形．8. 如下图为某种药品的商业标志图案，可以视为应用图形的 设计，也可以视为应用图形的 设计．9. ：图A 、图B 区分是6×6正方形网格上的两个轴对称图形(阴影局部)，其面积区分为A S 、B S (网格中最小的正方形面积为一个平方单位)，请观察图形并解答以下效果．(1)填空： AB S S ∶的值是_________； (2)请在图C 的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形．10. 用4块如所示的瓷砖拼成一个正方形，使所得正方形〔包括颜色要素〕区分是具有如下对称性的美术图案：〔1〕只是轴对称图形而不是中心对称图形；〔2〕既是轴对称图形又是中心对称图形．画出契合要求的图形各两个．11. 观察以下图案，你能应用图2来剖析图3和图4是如何构成的吗？12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过假定干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)失掉的，写出一种由△OCD 失掉△AOB 的进程：13. 如图，在4×3的网格上，由个数相反的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请观察下面的瓷砖图案，剖析每个图形是由什么基本图形经过变化得来的？ 仿照此图案，在以下网格中区分设计出契合要求的图案(注：①不得与原图案相反；②黑、白方块的个数要相反)．参考答案：1. A2. D3. D4. D5. B6. (1) ①④(2) ②⑤(3) ③7. (1) 轴对称(或旋转)(2) 平移(或轴对称或旋转)(3) 旋转8. 平移轴对称9. 〔1〕9∶11〔2〕略.10. 答案不独一，例如：11. 解：图3是将图2停止延续的平移失掉的；图4是将图2停止延续的平移、旋转再平移失掉的．12. 将△OCD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度失掉△AOB(答案不独一).13. 解：如图。
九年级数学上册第二十三章《旋转》专题复习小专题(六)平移与旋转在解题中的巧用试题新人教版(2021
2018年秋九年级数学上册第二十三章《旋转》专题复习小专题（六）平移与旋转在解题中的巧用试题（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第二十三章《旋转》专题复习小专题（六）平移与旋转在解题中的巧用试题（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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小专题（六)平移与旋转在解题中的巧用图形变换的实质是图形位置的变换,在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等,利用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题。
类型1利用平移求面积1.如图,将Rt△ABC沿着BC的方向平移到Rt△DEF的位置,已知AB=5,DO=2，平移距离为3，则阴影部分的面积为(A）A。
12 B。
24C。
21 D.20。
52。
如图，在三角形ABC中,AD⊥BC,BC=6,AD=3,将三角形ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形A’B’C',连接A'C,则三角形A’B’C的面积为6。
类型2利用平移求线段的长或图形的周长3.如图，已知线段AB的长度为2 cm,将线段AB向下平移2.5 cm后得到线段A'B'，连接AA'，BB',则四边形AA'B’B的周长为(C)A。
4。
5 cm B。
8 cmC。
9 cm D.10 cm4。
如图,Rt△AOB的周长为100,在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为100.类型3利用平移比较线段5。
人教版数学九年级上册-第二十三章-旋转-同步练习(含解析)
九年级上册-第二十三章-旋转-同步练习一、单选题1.如图，Rt△ABC中，△BAC＝90°，△B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连结CC′，则△CC′B′的度数是（）A.45°B.30°C.25°D.15°2.已知点M（2m+1，m-1）与点N关于原点对称，若点N在第二象限，则m的取值（）A.m>1B.m<-C. -<m<1D.m<-或m>13.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是().A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形4.下列图形中，中心对称图形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C恰好落在斜边AB上，连接BB’，则△BB’C’=（）度。
A.25B.20C.30D.156.在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）A. B. C. D.7.如图，Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′．连接B'C，则△AB'C的面积为()A.4B.6C.8D.108.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9.下面的图案是由一个图形经过多次轴对称变换得到的，在这些对称轴中，共有平行线（）A.1组B.2组C.3组D.4组10.如图，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )A.30°B.60°C.90°D.120°二、填空题11.如图，在△ABC中，△C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE长的最小值为________.12.将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是________cm2．13.如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△B=60°，BC=2，△A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A'与点A是对应点，点B与点B是对应点，连接AB'，且A、B’、A'在同一条直线上，则AA’的长为________.14.在△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4，若将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为D，则AD的长为________．15.如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．________16.给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点、、均在反比例函数的图象上，则；③若关于x的不等式组无解，则；④将点向左平移3个单位到点，再将绕原点逆时针旋转90°到点，则的坐标为．其中所有真命题的序号是________．17.△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转________度后能与原来图形重合．18.如图，大圆的面积为4π，大圆的两条直径互相垂直，则图中阴影部分的面积的和为________．19.“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是________.20.在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点是________，关于原点的对称点是________．三、解答题21.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形．（1）写出△OAB各顶点的坐标；（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′，B′的坐标．22.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．①画出△ABC，并将它绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．②以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并计算△A2B2C2的面积．23.当m为何值时（1）点A（2，3m）关于原点的对称点在第三象限；（2）点B（3m﹣1，0.5m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？24.请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）答案一、单选题1.【答案】D【解答】由旋转的性质可知，AC=AC′，又△CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，△CC′A=45°．△△CC′B′+△ACC′=△AB′C′=△B=60°，△△CC′B′=15°．故选D．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又△CAC′=90°，根据△CAC′的特性解题．本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角．2.【答案】C【分析】易得点M（2m+1，m-1)关于原点的对称点N点坐标，根据象限内点的符号特点可得m的取值范围．【解答】△点M（2m+1，m-1)与点N关于原点对称，点N在第二象限，△N点坐标为：（-2m-1，-m+1)，且−2m−1＜0，−m+1＞0 ，解得：-＜m＜1．故选：C．【点评】本题主要考查了两点关于原点对称的性质以及不等式的解法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键3.【答案】D【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据轴对称图形以及中心对称的含义，进行判断即可。
人教版九年级数学上册第二十三章旋转同步训练(解析版)
人教版九年级数学上册第二十三章旋转同步训练一、选择题（共 12 小题 ，每小题 3 分 ，共 36 分 ）1. 国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（ ）A. 轴对称B. 平移C. 旋转D. 平移和旋转【答案】D【解析】本题考查旋转与平移的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变；关键是要找到对称中心．根据旋转与平移的性质作答．解：四个小五角星通过旋转可以得到．故选D ．2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A. 菱形B. 矩形C. 五角星D. 线段 【答案】C【解析】【分析】依据中心对称图形定义（把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图）对各选项进行判断．【详解】解：根据中心对称图形的概念：把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图，可知：A 、B 、D 都是中心对称图形，而C 不是中心对称图形．故选C ．【点睛】考查了中心对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3. 如图，将线段OA 绕点O 顺时针方向旋转90，则点()A 4,3-对应的坐标为（ ）A. (-3, -4)B. (3, 4)C. (4, 3)D. (-4, -3)【答案】B【解析】【分析】首先根据题意作出图形，然后过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'C⊥y轴于点C，易证得△AOB≌△A'OC,然后由全等三角形的性质,求得答案.【详解】如图，线段OA'是线段OA绕点O顺时针方向旋转90°得到的，过点A作AB⊥x轴于点B，过点A'作A'C⊥y轴于点C,∵∠AOB＋∠AOC＝∠AOC＋∠A'OC＝90°,∴∠AOB＝∠A'OC,在△AOB和△A'OC中,'?90''ABO A COAOB A OCOA OA∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△A'OC(AAS)，∴AB＝A'C＝3,OB＝OC＝4,∴点A(－4, 3)对应的坐标为(3, 4)，故答案选B.【点睛】此题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系和数形结合思想的应用是解题的关键.4. 下列对下图的形成过程叙述正确的是（）A. 它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转90，180，270形成的B. 它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转180形成的C. 它可以看作是相邻两只小狗绕图案的某条对称轴翻折而成的D. 它可以看作是左侧和上方的小狗分别向右侧和下方平移得到的【答案】D【解析】【分析】根据图形结合选项,采用排除法判定正确答案.【详解】观察图形可知:从小狗的头部方向看,上边的小狗与下方的方向相等，左边的与右边的方向相同，只有D符合，所以答案选D.【点睛】本题考查了平移的性质，平移后的图形能够重合，注意结合图形解题的思想是解题的关键.5. 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A. 2-3B. 3+1C. 2D. 3-1【答案】D【解析】试题解析：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，DA DG，DC DF∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO=2222213BC OC-=-=，OM=12AC=1，则BM=BO-OM=3-1．故选D．考点：1.等边三角形的性质、2.等腰三角形的性质、3.相似三角形的判定与性质.6. 如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( )A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种【答案】C【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．故选C．点评：此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键．7. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，CE DF =，AE 、BF 相交于点O ．下列结论：()1AE BF =；()2AE BF ⊥；()3ABF 与DAE 成中心对称．其中，正确的结论有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】 只要证明△BAF ≌△ADE ，推出BF ＝AE ,∠ABF ＝∠DAE ,由∠DAE ＋∠BAO ＝90°，推出∠BAO ＋∠ABO ＝90°，推出AE ⊥BF ,推出①②正确,因为△ABF 绕对角线的交点顺时针旋转90°可得△ADE ，所以△ABF 与△DAE 不成中心对称，由此即可判断.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°，∵CE ＝DF ，∴AF ＝DE ，在△BAF和△ADE 中，AB AD BAD D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAF ≌△ADE ，∴BF ＝AE ，∠ABF ＝∠DAE ，∵∠DAE ＋∠BAO ＝90°，∴∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴AE ⊥BF ，∴①②正确，∵△ABF 绕对角线的交点顺时针旋转90°可得△ADE ，∴△ABF 与△DAE 不成中心对称，故③错误，故答案选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解本题的要点在于证明△BAF ≌△ADE ，从而判断，得出答案.8. 如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，P 是ABC 内一点，且PA 1=，PB 3=，PC 2=，则APC ∠等于（ ）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】C【解析】【分析】把△APC 绕点C 逆时针旋转90°得到△BDC ，根据旋转的性质可得△PCD 是等腰直角三角形，BD ＝AP ，∠APC ＝∠BDC ，根据等腰直角三角形的性质求出PD ，∠PDC ＝45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD 是直角三角形，∠PDB ＝90°,再求出∠BDC 即可得解. 【详解】如图，把△APC 绕点C 逆时针旋转90°得到△BDC ，由旋转的性质得，△PCD 是等腰直角三角形，BD ＝AP ＝1，∠APC ＝∠BDC ，所以PD ＝2PC ＝22，∠PDC ＝45°，∵PD 2＋BD 2＝（22）2＋12＝9，PB 2＝32＝9，∴PD 2＋BD 2＝PB 2，∴△PBD 是直角三角形，∠PDB ＝90°，∴∠BDC ＝90°＋45°＝135°，∴∠APC ＝135°，故答案选C.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键.9. 如图，在Rt ABC 中，ABC 90∠=，BAC 30∠=，AB 3=，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转至A'B'C'的位置，且A 、C 、B'三点在同一条直线上，则点A 经过的路线的长度是（ ）A. 43 C. 32π 3 D. 4π 3【答案】D【解析】【分析】 点A 经过的路线即以C 为圆心,以AC 的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得AC 的长和∠ACB 的度数,从而求得∠ACA '的度数，再根据弧长公式进行计算.【详解】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AB 3ACB ＝60°，AC ＝cos AB A ＝2，∴∠AC A '＝120°，∴点A 经过的路线的长度是1202180π⨯＝43π，故答案选D. 【点睛】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出∠ACA '的度数，再算出答案.10. 如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（ ）A. 顺时针旋转90，向右平移B. 逆时针旋转90，向右平移C. 顺时针旋转90，向左平移D. 逆时针旋转90，向左平移【答案】A【解析】【分析】 在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满,需要旋转和平移，通过观察即可得到.【详解】由图可知，把出现的方块顺时针旋转90°然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处.所以答案选A.【点睛】本题考查了生活中的旋转现象与平移现象,准确观察又出现的方块与已经拼好的空格的形状是解题的关键，要注意看清是顺时针还是逆时针旋转旋转多少度,难度不大.11. 将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中ACB CED 90∠∠==，A 45∠=，D 30∠=．把DCE 绕点C 顺时针旋转15得到11D CE ，如图②，连接1D B ，则11E D B ∠的度数为（ ）A. 10°B. 20°C. 7.5°D. 15°【答案】D【解析】【分析】根据题意证明△ACB ≌△CBD 1，求出∠CD 1B ＝45°，即可解决问题．【详解】由题意得：∠CD 1E 1＝∠D ＝30°，∠D 1CE 1＝∠DCE ＝90°－30°＝60°，∵把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，∴∠BCE 1＝15°，∴∠D 1CB ＝60°－15°＝45°，在△ACB 和△CBD 1中，11==AB CD ABC D CB CB BC ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ACB ≌△CBD 1，∴∠CD 1B ＝∠A ＝45°，∴∠E 1D 1B ＝∠CD 1B －∠CD 1E 1＝45°－30°＝15°，故答案选D.【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；试题难度中等；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．12. 如图，ABC 与DCE 都是正三角形，且B ，C ，E 在同一直线上，AB DE =，则下列说法中正确的是（ ）A. CDE 可由ABC 旋转得到B. CDE 可由ABC 平移得到C. CDE 可由ABC 翻折得到D. 以上都有可能【答案】D【解析】【分析】观察图形然后根据旋转、平移和翻折解答. 【详解】A 、△CDE 可由△ABC 顺时针旋转120°得到；B 、△CDE 可由△ABC 沿BC 方向平移BC 长度得到；C 、△CDE 可由△ABC 沿过点C 与BE 垂直的直线翻折得到；所以，A 、B 、C 三选项都有可能，所以答案选D.【点睛】本题考查了几何变换的类型，等边三角形的性质，熟练掌握旋转、平移和翻折的性质并准确识图是解题的关键.二、填空题（共 4 小题 ，每小题 3 分 ，共 12 分 ）13. 已知点P 的坐标为()3,4，O 为坐标原点，连接OP ，将线段OP 绕O 点旋转90得1OP ，则点1P 的坐标为________．【答案】()4,3-或()4,3-【解析】【分析】作出图形分顺时针旋转90°和逆时针旋转90°两种情况讨论求解. 【详解】如图，若顺时针旋转,则点P 1的坐标为(4,－3)，若逆时针旋转，则点P 1的坐标为(－4, 3),所以点P 1的坐标为(4,－3)或(－4,3)，故答案为:(4,－3)或(－4,3).【点睛】本题考查了坐标与图形变化－旋转，熟练掌握旋转的性质,作出图形利用数形结合是解题的关键. 14. 正十边形至少要绕它的中心旋转________度，才能和原来的图形重合．【答案】36【解析】【分析】正十边形被平分成10部分，因而每部分被分成的圆心角是36°，因而旋转36°的整数倍，就可以与自身重合．【详解】正十边形至少要绕它的中心旋转36度，才能和原来的图形重合.故答案36.【点睛】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是熟练的掌握旋转对称图形的定义.15. 如图，已知EAD 32∠=，ADE 绕着点A 旋转50后能与ABC 重合，则BAE ∠=________度．【答案】18【解析】【分析】根据旋转对称图形的定义解答．【详解】解：∵△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合，∴∠BAD=50°，又∵∠EAD=32°， ∴∠BAE=∠BAD−∠EAD=50°−32°=18°.故答案18.【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转对称图形的定义解答.16. 在AOB 中，AOB 90∠=，OA 3=，OB 4=，将AOB 沿x 轴依次以点A 、B 、O 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图?、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为________．【答案】(8072,0)【解析】【分析】利用勾股定理得到AB 的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴22OA OB +2234+，∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)；根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，因为2018÷3=672 (2)所以图2018的直角顶点在x 轴上，横坐标为672×12+3+5=8072， 所以图2018的顶点坐标为(8072,0)，故答案是：(8072,0).【点睛】本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律.三、解答题（共 5 小题 ，共 52 分 ）17. 已知点()A m n,2m --与点()B 3n,2n m --，如果点A 、B 关于原点对称，求m 、n 的值．【答案】m 的值为2、n 的值为-1．【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），可据此求出m 、n 的值．【详解】∵点()A m n,2m --与点()B 3n,2n m --关于坐标系原点对称，∴m n 3n -=-，()2m 2n m -=---解得：m 2=，n 1=-．故m 的值为2、n 的值为1-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点得到坐标，解题的关键是熟练的掌握关于原点对称点的坐标的性质. 18. 已知点()P x,x y +与点()Q 2y,6关于原点对称，求点P 关于x 轴对称的点M 的坐标及点Q 关于y 轴对称的点N 的坐标．【答案】点P 关于x 轴对称的点M 的坐标是(-12, 6)；点Q 关手y 轴对称的点N 的坐标是(-12, 6)．【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可求x ，y 的值；根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答可求点M 的坐标；根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可求点N 的坐标．【详解】∵点()P x,x y +与点()Q 2y,6关于原点对称，∴26x y x y =-⎧⎨+=-⎩， 解得126x y =-⎧⎨=⎩， ∴点()P 12,6--，点()Q 12,6；∴点P 关于x 轴对称的点M 的坐标是()12,6-；点Q 关手y 轴对称的点N 的坐标是()12,6-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标与关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于原点对称的点的坐标与关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的性质.19. 如图，在平面直角坐标系中，有一Rt ABC ，且()A 1,3-，()B 3,1--，()C 3,3-，已知11A AC 是由ABC 旋转得到的．()1请写出旋转中心的坐标是________，旋转角是________度；()2设线段AB 所在直线AB 表达式为y kx b =+，试求出当x 满足什么要求时，y 2>；()3点Q 在x 轴上，点P 在直线AB 上，要使以Q 、P 、1A 、1C 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．【答案】（1）（0，0），90；（2）当x ＞﹣1.5时，y ＞2； （3）（-1.5，2），（-3.5，2），（-0.5，4）.【解析】【分析】（1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角；（2）先根据A 、B 两点在坐标系内的坐标，利用待定系数法求出线段AB 所在直线的解析式，再根据y>2求出x 的取值范围即可；（3）要使以Q 、P 、A 1、C 1为顶点的四边形是平行四边形，则PQ=A 1 C 1=2，在直线AB 上到x 轴的距离等于2 的点，就是P 点，因此令y=2或-2求得x 的值即可．【详解】(1)旋转中心的坐标是(0,0)，旋转角是90度；(2)∵由图可知A(−1,3),B(−3,−1)，∴设直线AB 的解析式为y=kx+b(k≠0)，则331k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， 解得25k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：y=2x+5；∵y>2，∴2x+5>2，解得：x>−1.5，∴当x>−1.5时，y>2.(3)∵点Q 在x 轴上,点P 在直线AB 上,以Q 、P 、A 1、C 1为顶点的四边形是平行四边形，当A 1C 1为平行四边形的边时，∴PQ=A 1C 1=2，∵P 点在直线y=2x+5上，∴令y=2时,2x+5=2,解得x=−1.5，令y=−2时,2x+5=−2,解得x=−3.5，当A 1C 1为平行四边形的对角线时，∵A 1C 1的中点坐标为(3,2)，∴P 的纵坐标为4，代入y=2x+5得，4=2x+5，解得x=−0.5，∴P(−0.5,4)，故P 为(−1.5,2)或(−3.5,−2)或(−0.5,4).【点睛】本题考查了一次函数与旋转的知识点，解题的关键是熟练的掌握一次函数与旋转的相关知识点.20. 如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE 绕点B 顺时针旋转90到CBF 的位置，点A ，E ，F 恰好在同一直线上．求证：AF CF ⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据旋转的性质可得△ABE ≌△CBF ，然后根据全等三角形的对应边相等以及正方形的性质证明△BEF 是等腰直角三角形，然后证明∠CFE=90°，据此即可证得．【详解】∵由旋转性质可得ABE CBF ≅．∴BE BF =，ABE CBF ∠∠=，又∵正方形ABCD 中，ABC 90∠=，即ABE EBC 90∠∠+=，∴EBC CBF 90∠∠+=，即EBF 90∠=，∴BEF 等腰直角三角形，∴BEF BFE 45∠∠==．∴AEB CFB 18045135∠∠==-=．∴CFE CFB EFB 1354590∠∠∠=-=-=．∴AF CF ⊥．【点睛】本题考查了正方形与旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与旋转的性质.21. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：()1如图1，在ABC 中，若AB 5=，AC 3=，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE AD =，再连接BE （或将ACD 绕点D 逆时针旋转180得到EBD ），把AB 、AC 、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得2AE 8<<，则1AD 4<<．[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．()2解决问题：受到()1的启发，请你证明下列命题：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ．求证：BE CF EF +>，若A 90∠=，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）222BE CF EF +=，理由见解析.【解析】【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF 和BE 转移到一个三角形中求解．（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG ．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三边之间存在勾股定理关系；【详解】()1延长FD 到G ，使得DG DF =，连接BG 、EG ．（或把CFD 绕点D 逆时针旋转180得到BGD ），∴CF BG =，DF DG =，∵DE DF ⊥，∴EF EG =．在BEG 中，BE BG EG +>，即BE CF EF +>．()2若A 90∠=，则EBC FCB 90∠∠+=，由()1知FCD DBG ∠∠=，EF EG =，∴EBC DBG 90∠∠+=，即EBG 90∠=，∴在Rt EBG 中，222BE BG EG +=，∴222BE CF EF +=．【点睛】本题考查了旋转的性质与全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与全等三角形的判定与性质以及三角形三边关系.。
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初中数学试卷
桑水出品
人教版九年级数学上册第二十三章旋转巧用旋转进行计算与证明专题练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )
A．42°B．48°C．52°D．58°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为( )
A．30°B．60°C．90°D．150°
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( )
A．70°B．35°C．40°D．50°
4．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数．5．(2016·荆门)如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8 cm，则CF＝__________cm.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到
△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝____________．
7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于______．
8．如图，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得
到三角形OA
1B
1
，则点A
1
的坐标为( )
A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(2，－1)
9．如图，在△ABO中，AB⊥OB，AB＝3，OB＝1，把△ABO绕点O旋转120°后，得到△A
1B
1 O，
则点A
1
的坐标为____________．
10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )
A．30，2 B．60，2C．60，
3
2
D．60, 3
11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为___________．
12．如图，在直角三角形ABC中，四边形DECF是正方形，观察图①和图②，请回答下列问题：
(1)请简述由图①变换成图②的形成过程；
(2)若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积和．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE.
(1)求证：AE∥BC；
(2)连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
14.如图，△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
答案
1---3 ABC
4. 解：如图，将三角形APD绕点D沿逆时针旋转90°到达△CDQ的位置，则∠PDQ＝90°，QD＝PD＝2，QC＝AP＝1，由勾股定理得PQ2＝22＋22＝8，而CQ2＝1，PC2＝32＝9，∴PC2＝PQ2＋CQ2，
∴∠PQC＝90°，∵∠PQD＝45°，∴∠CQD＝135°，∴∠APD＝∠CQD＝135°
5. 2 3
6. 3－1
7. 4
8. B
9. (－2，0)或(1，－3)
10. C
11. 3－3
3
12. 解：(1)图①中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得到图②
(2)由旋转得AD＝A
1D＝3，∵∠A
1
DB＝90°，∴S
△ADE
＋S
△BDF
＝S△A
1
BD＝
1
2
×A
1
D·BD＝
1
2
×3×4
＝6
13. 解：(1)由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠DCA，∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC
(2)四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由旋转性质得AD＝AE，∵AD＝BD，∴AE＝BD，又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形
14. 解：(1)由旋转的性质得△ABC≌△ADE，∵AB＝AC，∴AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC ＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，∴△AEC≌△ADB(SAS)
(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝22，∵DF＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝22－2。