2-3初等多值函数
复变函数课件2-3
re
w 2 = →
θ →θ + 2× ( n − 1)π
θ → θ + 2× 2 π
re
iϕ 2
θ → θ 2× k π L + w k = →
n
r e iϕ k L
w n − 1 = →
n
re
iϕ n−1
产生多值的原因是:当 取定后 其辐角不固定， 取定后， 产生多值的原因是 当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2π的整数倍， 以连续改变 π的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
19
例：
Bernoulli 悖论
2 2
原因
(3) ⇒(4) 错了 Lnz是集合 是集合 2 2 ⇒ (2)Lnz = Ln ( − z ) 记号， 记号，应该 理解为两个 ⇒(3)Lnz + Lnz = Ln( −z) + Ln( −z) 集合相加 荒谬透 ⇒ (4)2Lnz = 2Ln ( − z ) 顶！！！ A={0,1} ⇒ (5)Lnz = Ln ( − z ) 决不会相 A+A={0,1,2} 因为 Ln(−1) = (2k + 1)π i k = 0, ±1, ±2,L 2A={0,2} 等！！！ Ln(1) = 2kπ i k = 0, ±1, ±2,L A+A≠2A ≠
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
15
例5 解
解方程 e z − 1 − 3i = 0.
因为 e z = 1 + 3i ,
复变函数课件 2.3初等多值函数
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂 函数是无穷 多值函数； 事实上，当是无理数时，有
z e e e 当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e e( ab)[ln|z| (arg z2k )]i[b ln|z| a (arg z2k )] 例如 2 k i iLni i[ln 1i (arg i 2 k )] 2 i e e e (k 0,1,2,)
( arg z , k Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
幂函数的基本性质:
1 i (arg z 2 k ) n
w n | z |e
( arg z ; k 0,1,..., n 1)
(1i ) Ln2
(1i )[ln 2i (arg 22 k )]
(1i )[ln 22 ki )]
2
2
e e 2 2 2ki 2 e
2Ln2
2[ln 2i (arg 22 k )]
e (k 0,1,2,)
2 ln 22 2ki
7、幂函数在 C \ {Im z 0, Re z 0}上解析，
的整数，q 0）： p p p p Lnz [ln | z | i (arg z 2 k )] ln z 1 i 2 pk q q q q q z e e e 由于p与q为互素，所以不难看到 ，当k取 0， 1， 2， , q 1时，得到q个不同的值，即这 时幂函数是一个 q值的函数；
Lnz
[ln|z| i (arg z 2 k )]
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
一篇文章掌握高中函数图像,不看别后悔!
函数图像是必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了。
今天给大家整理了高中函数相关资料，希望能帮助高中生数学得高分！下面是基本初等函数的图像以及函数变换的规律，希望大家能学明白！一、基本初等函数的图像1.一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
2.二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图：不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的：6.幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
7.对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
二、函数图像的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx 通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x 轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。
初等多值函数
初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θΛnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．(3)根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。
为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。
在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。
假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。
比如原点。
在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。
具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。
用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。
取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。
第二章 解析函数
z
zw
n
v
0
w
z1 0
x
u
r
n 0
w z
n
0
26
特别：将w 平面上的角形区域 n n 变成 z 平面上除原点与负实轴的区域．
一般：将张角为
都变成 z 平面除去原点与负实轴的区域．
27
2k 2k Tk : (k 0,1,, n 1) n n n n
33
支割线：用来割破 z 平面，借以分出 z n 的单值解析分支的割线，称为 z 的支割 线．
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
2
f ( z ) f ( z0 ) 注:（1）定义中极限可改为 lim0 z z ； z z 0
若 f (z ) 在D内处处可导，则称 f (z ) 在D内 可导。
（2） z z0 的方式是任意的，因此较一元 实变函数具有许多独特的性质和应用。
推论2：若函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解析，且 f ( z ) 0, ( z D) ，则 u( x, y ) c1 v( x, y ) c2 （ c1 , c2 为常数） 是D内两组正交曲线族。
12
证明：由于 f ( z) 0, ( z D) ，故在D内 ( x, y ) 点 u y 与 v y 不全为0。
§3 初等多值函数
定义:设函数 f (z ) 在区域D内有定义，且 对D内任意不同的两点 z1 及 z 2 ，有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，则称函数 f (z ) 在D内是单 叶的．并且称区域D为 f (z ) 的单叶性区 域． １、根式函数 根式函数w z 为幂函数 z 数（n是大于１的整数）．
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结一、函数概念函数是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
函数是一种关系，它将一个集合的元素（自变量）与另一个集合的元素（因变量）联系起来。
常用的表示函数的方法是将它写为y=f(x)，其中y是函数值，x是自变量，f是函数名。
例如，y=x²就是一个函数，它的自变量是x，因变量是x²。
二、函数的定义域、值域和图像1.定义域函数的定义域是指自变量可以取的实数范围。
有些函数定义域有限，有些函数定义域是整个实数集合。
例如，y=1/x的定义域是所有非零实数，y=sin x的定义域是所有实数。
2.值域函数的值域是指函数在定义域内可以取到的所有函数值。
有些函数值域有限，有些函数值域是整个实数集合。
例如，y=1/x的值域是(-∞,0)或(0,∞)，y=sin x的值域是[-1,1]。
3.图像函数图像是函数在直角坐标系中的表示，它由所有(x,f(x))的点组成。
函数的图像能够反映函数的性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性等。
三、函数的分类函数可以按照多种方式进行分类，包括：1.初等函数与非初等函数初等函数包括基本初等函数和其它初等函数。
基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数，其它初等函数包括每个基本初等函数的若干种组合形式。
非初等函数则是指不能表示为初等函数的函数，例如Gamma函数和Bessel函数等。
2.显式函数与隐式函数显式函数就是已知函数值y，能够根据函数的表达式计算自变量x，例如y=x²+1。
隐式函数则是不能通过简单的代数运算得到x的表达式，例如x²+y²=1是一个圆的方程。
3.周期函数与非周期函数周期函数指函数f(x+T)=f(x)，其中T为正周期。
非周期函数则是指没有正周期的函数。
4.单调函数与非单调函数单调函数指自变量增大时函数值单调增加或单调减少的函数。
非单调函数则是指既有增又有减的函数。
课程简介：《复变函数》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业本.doc
课程编码（）课程总学时：54学分：3数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲一、课程说明1.课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似Z 处，而只在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪,Cauchy> Weierstrass及Riem ann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及口动控制学等，冃前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，冇其自身的特点，有其特冇的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它H身所固有的理论和方法。
2.课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生学握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将來从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的止确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提髙学生的数学修养。
同时注意扩展学牛的学习思路，使他们了解更多的和现代牛活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在冇关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3.选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》［美］那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
第3节 初等多值函数
w Lnz ln | z | i arg z 2ki ln z 2ki,
1.定义2.8 规定根式函数w
n
z为幂函数z wn的
反函数(n是大于1的整数)
对每一个不为0或的z, 在w平面上函数w n z有n个值 注
w z e
1 n
arg z 2 k i n
1 n
, k 0,1, n 1
arg z i n
2. 函数w f 0 ( z ) z e
euiv rei
u 所以有： ln r, v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的 多值性知道，v 是多值的；因为 是z的幅角，
从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函 数Lnz的主值lnz为：
{w |
z=w
n
n
arg w } {z | arg z } n n
z wn
v0i
z=wn
v0
{w | w u iv, v } {z | arg z }
z ew
二 根式函数
2 k 即凡不包含满足条件1 2 的角形区域,都 n n 是z w 的单叶性区域.
n
z wn的单叶性区域为
2 {w | arg w , 0 }, n {w | 2k
或
即顶点在原点, 张度不超过 z wn的单叶区域
arg w 2k }; n n 2
d 1 dz z 事实上,指数函数z ew在区域{ v arg z } 内
函数概念与基本初等函数
函数概念与基本初等函数函数是一种特殊的数学模型，它描述了一个输入变量和一个输出值之间的关系。
函数可以用一条函数曲线连接起来，函数曲线表示在函数中设定的变量值以及变量值对应的函数值之间的关系。
它也可以用一个公式来表示，公式是把变量和函数值之间的关系简洁的表示出来的符号表达式。
函数有着重要的应用：它们可以帮助我们简化复杂的实际情况，解决实际问题；它们也可以借助图解描绘出函数曲线，给我们带来美观的数学图像；它们还可以运用于统计、分析和建模，用于分析实际问题，从而帮助我们做出正确的决策；它们同样也在许多工程中有着重要的应用，借助函数可以解决工程问题，提高效率。
二、基本初等函数①性函数：线性函数是一类最基本的数学函数，它们的关系是一元一次的，可以用一条直线表示，也可以用一个简单的一元一次方程式y=ax+b来表示。
其中，a为参数，b为常数，x为自变量，y为因变量。
②数函数：指数函数和一般的线性函数有着显著不同，它不是把变量与常数相加，而是将变量与常数指数相乘。
指数函数可以用一条曲线表示，也可以用一个一元指数方程y=a^x来表示，其中a为正数，x为自变量，y为因变量。
③数函数：对数函数也是一类基本的数学函数，它可以用一条曲线表示，可以用一个简单的一元对数方程y=loga x表示，其中a为正数，x为自变量，y为因变量。
④函数：幂函数是一类基本的函数，它可以用一条曲线表示，可以用一个简单的一元幂函数y=x^a表示，其中a为正数，x为自变量，y为因变量。
三、应用上述基本初等函数在数学和工程等不同领域有着重要的应用。
（1）数学线性函数、指数函数、对数函数和幂函数等四种基本的初等函数可以用来简化复杂的实际情况，解决实际问题；它们也可以描绘出美观的数学图像，帮助我们分析实际问题，掌握事物的发展规律；它们还可以运用于统计、分析和建模，为我们做出正确的决策提供支持。
（2）工程初等函数在工程领域应用相当广泛。
借助它们我们可以实现复杂的功能设计、参数调整、运动控制、数据处理等任务，能够更快更准确地解决一些复杂的工程问题，有效提高工程运行的效率。
复变函数2.3第三节 初等多值函数
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)
4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2
4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。
a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形
五类基本初等函数
五类基本初等函数一元函数一元函数是数学里一种最基本的函数形式，它只含有一个变元。
即只有一个自变量，根据这个自变量计算出一个固定的值，例如：y=1/x，函数的定义域和值域为实数集合。
一元函数可以用来表示单纯的变换，即每一个函数值只具有一个变量的特性。
二元函数二元函数是一类常用的函数，它描述的是一个函数的定义域的双变量的关系，即每一个函数值拥有两个变量的特性。
例如，函数f（x，y）=x2+y2表示点（x，y）在直角坐标系上的变化。
二元函数也常常用来描述现实世界中物体之间的变化关系，例如，热量、动量、电势差以及力等。
三元函数三元函数是指有三个变元的函数，它和二元函数类似，但是拥有三个变量，例如，三元函数f(x,y,z)=x2+y2+z2是表示空间中某个点的到原点的距离的函数。
三元函数可以被用来描述三维物体之间的相互变化关系，常常被多学科用来描述不同物理量之间的变化，比如大气压、温度、斜率等等。
高次函数高次函数是指变元个数大于三个，并且大于三元函数的函数。
它可以是有一定定义域或ROI范围的多元函数，根据这些自变量的多维空间变量计算出固定的值，例如：函数f（x1，x2，x3，x4）= x1 + x2 + x3 + x4。
复合函数复合函数通常是将多种基本函数组合使用，以达到不同的目的。
例如，有的函数是将平方、高次函数等基本函数组合而成的。
我们常常可以看到这样的函数形式：f(x)= a*xb + y，这就是一个复合函数。
这类函数可以用来描述较复杂的现实形势，例如，它可以用来描述物理现象、生物特征及经济形势等多种情况。
综上所述，初等函数是数学中非常基础但又十分重要的概念，它们通常有一元函数、二元函数、三元函数、高次函数以及复合函数等。
它们可以用来描述各种不同的情况，被广泛应用于各个领域。
因此，弄清楚这些基本函数的正确使用方法非常有必要，不仅可以拓展人们的数学视野，而且能给我们的学习与研究带来更大的便利。
复变函数初等多值函数
系的横轴和纵轴。
复数的几何解释
总结词
复数可以用平面上的点或向量来表示，其实部和虚部分别对应于横轴和纵轴上 的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示，其实部和虚部分别对应于平面直角坐标系中的横 轴和纵轴。当我们在平面上画出复数对应的点或向量时，实部是点的横坐标， 虚部是点的纵坐标。
复数的运算性质
总结词
03 初等多值函数
幂函数
总结词
复数幂函数具有多值性，其定义域和值域都 是复数域。
详细描述
复数幂函数的形式为 (z^{a} = |z|^{a} cos(a arg(z) + arg(z^a)))，其中 (z = |z| exp(i
arg(z))) 是复数 (z) 的极坐标形式，(a) 是实 数或复数。当 (a) 是非整数时，幂函数具有多 值性，即对于不同的角度 (arg(z))，函数值不
解析性
要点一
总结词
解析性是指复变函数在某点及其邻域内可微的性质。
要点二
详细描述
解析性是复变函数的重要性质之一，它决定了函数在某点 附近的局部行为。如果一个复变函数在某点处可微，那么 在该点处函数具有极限存在且极限值等于函数值，并且函 数的导数存在。解析性对于研究函数的性质和展开式具有 重要意义。
可微性
在信号处理中，多值函数用于描述信号的频谱、 滤波等处理过程，提高信号的质量和特征提取。
在经济中的应用
金融衍生品定价
初等多值函数
i
7 2
e
i
11 2
得到了多个值. 原因
3 1 w0 e i, 2 2 Z的幅角可相差 2k 倍，要对 arg z 进行必要限制.
arg z w0 2 . 通常 或者 或0e arg z i
i( 3 ) 2
i( ) 6
2
辐角 arg z不确定；限制幅角的范围.
也常采用割 破复平面的 说法!
为什么割破复平 面是限制幅角的 等价说法呢?
为什么割破复平 面是限制幅角的 生动形象地说法 ?
割破复平面
生动形象
限制幅角
小节与思考
原因：k的不确 定；辐角的不 确定 办法：取定k； 割破复平面(限制 幅角)
多值函数
对于不同的割破方式，第k支 f k (z) 的值会一样吗?
教 学 重 点 难 点
教学重点
多值的原因；分出单值分支的办法；支点，支
割线，将函数延拓到支割线岸上的概念。
教学难点
初等多值解析函数多值产生的原因，分出根 式函数的单值解析分支。
说 教 法 学 法
采用讲授法,运用多媒体与板书相结 合的教学手段，结合大量例子，启发引 导学生归纳总结 ,培养学生的自主学习 的习惯。
初等多值函数—— 根式函数
数学与统计学院
说 课
教材的地位作用 教学目标 教学的重点、难点 说教法学法
教材的地位和作用
1 2 3
4
两复杂性：
体现了 客观世界及 数学科学的 复杂性.
逻辑基础:
奠定了
本教材的逻 辑基础.
繁琐难点:
教科书 上都讲的过 于繁琐,同时 也是学生学 习的难点.
学习基础:
浅谈复变函数中初等多值函数教学的几个要点
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１浅谈复变函数中初等多值函数教学的几个要点浅谈复变函数中初等多值函数教学的几个要点Һ卜玮平㊀刘红良㊀（湘潭大学数学与计算科学学院，湖南㊀湘潭㊀４１１１０５）㊀㊀ʌ摘要ɔ在复变函数的教学中，初等多值函数是其中的难点．文章以根式函数为例，并结合笔者的教学实践，对初等多值函数中支点和支割线的选取及单值解析分支的确定与计算等要点进行了讨论．ʌ关键词ɔ初等多值函数；支点；支割线；单值解析分支ʌ基金项目ɔ湖南省普通高等学校教学改革研究项目［立项编号ＨＮＪＧ－２０２１－０４２２］引㊀言复变函数是大学数学中继数学分析后的又一门重要分析类课程，其相关理论已广泛应用于众多学科．由于所考虑的自变量为复数，这使得一些函数通常呈现多值性，这是复变函数与数学分析这两门课程的一个重要区别．事实上，在复变函数中多值函数具有广泛应用．然而，实践教学表明初等多值函数这部分内容是众多学生学习的难点，也是部分初次讲授复变函数的青年教师教学中感到吃力的地方．文章主要针对初等多值函数中支点㊁支割线和单值解析分支等内容并结合教学实践中学生存在的问题展开讨论，浅析教学中需要注意的一些关键点．一㊁支点和支割线已知根式函数ｗ＝３ｚ．由于ｚ＝｜ｚ｜ｅｉＡｒｇ（ｚ），Ａｒｇ（ｚ）＝θ（ｚ）＋２ｋπ，ｋɪ０，ʃ１，ʃ２， ，显然上述根式函数可表示为ｚ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）＋２ｋπ３，ｋ＝０，１，２， ，其中θ（ｚ）为ｚ的一个辐角值，这意味着一个自变量对应三个函数值．为了便于分析函数，人们总希望一个自变量对应一个函数值，这可被认为是复变函数中引入单值解析分支的一个重要原因．从上述根式函数可以看出，复变函数中函数的多值性本质上源于复数值辐角的多值性．因此为了获得初等多值函数的单值解析分支，需要引入支点和支割线．定义１㊀一般地，具有这种性质的点，使得当变点ｚ绕这点一整周时，多值函数的函数值发生改变，也就是说，当变点回转至原来的位置时，函数值与原来的值相异，则称此点为多值函数的支点．一般地，寻找多值函数的支点是教学中的一个难点．下面笔者通过几个多值函数来说明支点的求法．例１㊀求下列函数的支点：（１）ｗ＝３ｚ；㊀㊀（２）ｗ＝３ｚ－ａ，ａʂ０；（３）ｗ＝ｚ（ｚ－１）（ｚ－２）（ｚ－３）（ｚ－４）；（４）ｗ＝ｚ（ｚ－１）（ｚ－２）（ｚ－３）（ｚ－４）２．解㊀（１）在复平面上，可以把ｚ看成由原点指向复数ｚ的向量．假定当前ｚ的辐角值为θ（ｚ），同时ｚ的数值也可以认为是向量ｚ在平面上逆时针旋转２π的数值，因此ｚ的辐角也可以认为是θ（ｚ）＋２π．由上述分析可得，当ｚ绕原点一整周时，函数值由ｚ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）３变成了ｚ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）＋２π３，且这两个函数值显然不相等，因此原点（即ｚ＝０）是一个支点．此外，由（１）中函数的特征可知，ｚ沿ɕ的邻域逆时针绕ɕ一整周等价于顺时针绕原点一整周，因此ɕ也为函数的一个支点．（２）令ｚᶄ＝ｚ－ａ，则ｗ＝３ｚᶄ．如果将ｚᶄ和ｚ－ａ均看成复平面上的向量，显然ｚᶄ绕原点一整周等价于ｚ绕ａ一整周．因此，由（１）中讨论可知，ａ和ɕ均为函数的支点．（３）由（２）可知，ｚ逆时针分别沿０，１，２，３，４的充分小邻域绕一整周时，ｚ，ｚ－１，ｚ－２，ｚ－３，ｚ－４的辐角值均增加２π，这意味着函数值ｗ的辐角值均增加π（即函数值起了变化），因此０，１，２，３，４均为支点．此外，易知ｚ沿ɕ的邻域逆时针绕ɕ一整周等价于它顺时针同时绕０，１，２，３，４一整周，此时函数值的辐角改变量为－５π（即函数值起了变化），所以ɕ也为函数的一个支点．（４）根据（３）可知，０，１，２，３均为函数的支点．当ｚ沿４的邻域逆时针绕４一整周时，（ｚ－４）２的辐角值增加了４π，所以函数值ｗ的辐角值增加了２π；当ｚ沿ɕ的邻域逆时针绕ɕ一整周时，函数值ｗ的辐角增加了－６π．显然，上述两种情形函数值均没有变，所以此时４和ɕ不是支点．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１通过例１中的４个小题，可以得出判断某一点是否为支点时所要注意的几个关键点．首先，由（１）和（２）可知当自变量ｚ绕某一点一整周时，关注函数ｗ的辐角是否起变化，这是该点成为支点的前提．其次，比较（３）和（４）可知某一点为支点的条件是函数ｗ的辐角变化不能为２π的整数倍．再次，由（３）可知当考查自变量ｚ绕某一点一整周时应该选取充分小的邻域进行考查，这样可以避免出现误判，例如当考查１是否为支点时所取邻域包含０和１，这将导致函数ｗ的辐角改变量为２π的整数倍，从而得出１不是支点的错误结论．定义２㊀一般地，用来割破复平面，借以分出初等多值函数ｗ＝ｆ（ｚ）的单值解析分支的割线，称为ｗ的支割线．从支割线的定义可以看出，其本质是为了限制自变量来达到限制函数ｗ的辐角变化的目的（此时ｗ的辐角不变或仅改变２π的整数倍）．事实上，对于给定的初等多值函数，支割线的选取方法并不唯一，这也是学生难以理解该知识点的一个原因．下面笔者针对例１中的４个例题来说明支割线的选取方法．例２㊀给出例１中各函数支割线的一种选取方法．解㊀（１）已知函数的所有支点为０和ɕ，显然只要将复平面沿着０和ɕ的任意连线割开就可保证函数的辐角值不发生变化，这是因为按照上述方法割开的复平面将使得自变量ｚ不能绕支点一整周（即割破的复平面上ｚ的辐角的连续变化范围小于２π），这就保证了函数的辐角值不起变化．特别地，笔者可取沿着负实轴连接０和ɕ的线作为支割线．（２）类似于（１）中的讨论，为了使得在割破的复平面上ｚ－ａ的辐角的连续变化范围小于２π，只需沿着任意连接ａ和ɕ的线割破复平面即可．因此，笔者取沿正实轴连接ａ和ɕ的线作为支割线的一种选取方法．（３）由（１）和（２）可知，一种最简单的方法是选用沿着正实轴连接０和ɕ的线作为支割线，因为此时在割破的复平面上ｚ，ｚ－１，ｚ－２，ｚ－３，ｚ－４的辐角连续变化范围均小于２π．然而，应该指出这种支割线的选取方法割破了复平面上一些本可不被割破的地方．事实上，可取沿正实轴分别连接０，１和２，３的线段及连接４和ɕ的射线构成支割线．下面笔者说明这种取法的合理性，此时ｚ只有绕着０，１和２，３形成的线段一整周时，ｚ（ｚ－１）（ｚ－２）（ｚ－３）（ｚ－４）的辐角值才会起变化．具体而言，当ｚ绕着０，１形成的线段逆时针一整周时，仅ｚ和ｚ－１的辐角值起变化（即均增加２π）；当ｚ绕着２，３形成的线段逆时针一整周时，仅ｚ－２和ｚ－３的辐角值起变化（即均增加２π）．这表明尽管ｚ绕着分别由０，１和２，３形成的线段一整周时ｗ的辐角值会起变化，但其辐角的增加值为２π的整数倍，因此ｗ的数值不发生变化，即上述支割线的选取是合理的．（４）根据（３）的分析，显然可取沿着正实轴连接０和３的线段作为多值函数的支割线，也可取沿着正实轴连接０，１的线段及连接２，３的线段作为支割线．通过上述４个例题，可得选取支割线时所要注意的几个关键点：第一，多值函数支割线的选取并不唯一；第二，复平面上的支割线可由多段构成；第三，当取复平面上多段构成支割线时，必须保证复变量ｚ绕每一段旋转一周时函数ｗ的辐角改变量为２π的整数倍．二㊁单值解析分支为了理解初等多值函数的单值解析分支这一概念，仍以ｗ＝３ｚ来进行说明．若此时取沿负实轴连接０和ɕ的线作为支割线，假设ｚ０为相应割破的复平面上区域Ｇ中的任意一点，它的一个辐角值为θ０，θ０ɪ（－π，π），则ｚ０的所有辐角值可表示为θ０＋２ｋπ，ｋ＝０，ʃ１，ʃ２， ．因此ｚ０对应的所有函数值为ｗ０＝３｜ｚ０｜ｅｉθ，ｗ１＝３｜ｚ０｜ｅｉθ，ｗ２＝３｜ｚ０｜ｅｉθ．根据ｚ０的任意性，显然上述初等多值函数包含三个单值解析分支，且可认为其表达式分别如下：ｗ０＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（－π，π）｝，ｗ１＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（π，３π）｝，ｗ２＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ），θ（ｚ）ɪ（３π，５π）｝．此外，若选取沿正实轴连接０和ɕ的线作为支割线，且仍然假设ｚ０为相应割破的复平面上区域Ｇ中的任意一点，那么与上述讨论相比较，此时θ０的取值范围应变为θ０ɪ（０，２π）．因此类似于上述讨论，可认为初等多值函数ｗ＝３ｚ的三个单值解析分支表示如下：ｗ０＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（０，２π）｝，ｗ１＝３｜ｚ０｜ｅｉ，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（２π，４π）｝，ｗ２＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（４π，㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１６π）｝．值得注意，对于上述两组单值解析分支函数，Ｇ中辐角的变化范围可平移６ｋπ，ｋ＝０，ʃ１，ʃ２， ，因为６ｋπ３＝２ｋπ，即这样的改变不会影响单值解析分支的函数值．由上可以清楚看出：第一，多值函数的多值性本质上源于复自变量辐角的多值性；第二，支割线的作用可理解为通过对单值解析分支函数的自变量加以限制，从而确保对应函数值的单值性；第三，对于同一初等多值函数，不同支割线的选取未必影响其单值解析分支函数的具体表达形式，它主要改变的是对应函数自变量ｚ的取法（即改变｜ｚ｜与辐角θ（ｚ）的取法）．事实上，这些问题是教学中学生学习多值函数疑问最多的地方，也是理解单值解析分支函数的关键点．关于初等多值函数单值解析分支的计算，一类常见的问题是已知单值解析分支函数在某一点的值，要求确定该支函数在其他点的函数值．从实际教学中学生的反馈来看，这类问题是复变函数中错误率最高的问题之一，下面笔者仍以ｗ＝３ｚ为例来进行说明．例３㊀设函数ｗ＝３ｚ确定在从原点ｚ＝０起沿正实轴割破的复平面上，并且ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ，求ｗ（ｉ）和ｗ（－ｉ）的值．下面笔者先列出学生在解答此题时一种常见的错误解法，并给出正确的解题方法．错误解答㊀由于多值函数ｗ可以表示为ｗ＝３ｚｅｉａｒｇｚ＋２ｋπ３，ｋ＝０，１，２，又因为ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ９π１２，因此依题意可得ｋ＝１，即所确定的单值解析分支为３ｚｅｉａｒｇｚ＋２π３，所以易知ｗ（ｉ）＝３１ｅｉ＝ｅｉ５π６，ｗ（－ｉ）＝３１ｅｉ－＝ｅｉπ２．正确解答１㊀由于所取的支割线为正实轴，且ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ９π１２，因此根据上面的讨论笔者可知所确定的单值解析分支函数为ｗ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（２π，４π）｝，所以对于上述单值解析分支笔者有θ（ｉ）＝５π２，θ（－ｉ）＝７π２，于是可得ｗ（ｉ）＝３１ｅｉ５π／２３＝ｅｉ５π６，ｗ（－ｉ）＝３１ｅｉ７π／２３＝ｅｉ７π６．正确解答２㊀由于ｗ（ｉ）＝ｒ１ｅｉａｒｇ（ｗ（ｉ））＝ｒ１ｅｉΔａｒｇ（ｗ（ｚ））＋ｉａｒｇ（ｗ（１＋ｉ）），其中ｒ１＝｜ｗ（ｉ）｜，ｃ１表示由１＋ｉ到ｉ的曲线，Δｃａｒｇ（ｗ（ｚ））表示ｚ沿曲线ｃ１从１＋ｉ到ｉ时ｗ（ｉ）的辐角改变量，即Δｃａｒｇ（ｗ（ｚ））＝π４３＝π１２．又因为ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ９π１２，所以ａｒｇ（１＋ｉ）＝９π１２．于是有ｗ（ｉ）＝ｅｉπ１２㊃ｅｉ９π１２＝ｅｉ５π６．类似地ｗ（－ｉ）＝ｒ２ｅｉａｒｇ（ｗ（－ｉ））＝ｒ２ｅｉΔａｒｇ（ｗ（ｚ））＋ｉａｒｇ（ｗ（１＋ｉ）），其中ｒ２＝｜ｗ（－ｉ）｜，ｃ２表示由１＋ｉ到－ｉ的曲线．由于所取的支割线为沿正实轴连接原点ｚ＝０和ɕ的线，所以ｃ２必定穿过负实轴，即Δｃａｒｇ（ｗ（ｚ））＝５π４３＝５π１２，因此有ｗ（ｉ）＝ｅｉ５π１２㊃ｅｉ９π１２＝ｅｉ７π６．现比较上述三种解法．第一种解法的错误原因在于没有确定正确的单值解析分支，即可理解为将单值解析分支函数自变量的取法搞错了．事实上，如果例３中所取的支割线为沿负实轴连接原点ｚ＝０和ɕ的线，则第一种解法是正确的．这表明在实际解题中如果能够准确写出单值解析分支函数，则应该注意函数自变量的取法，同时在解题时应该特别注意题设中所给定的是哪一种支割线，因为支割线的选取不一样将可能使计算中所得的结果不同．对比第二种与第三种解法可知，尽管它们都能得到正确的结果，但是第二种方法需要知道单值解析分支的准确表示形式，然而实际当中存在众多无法准确写出单值解析分支的情形，因此在教学中笔者推荐用第三种解法进行解题．总㊀结教学实践表明，初等多值函数是复变函数课程中学生学习感觉最吃力的内容之一．文章针对初等多值函数的支点㊁支割线和单值解析分支的确定与计算这些学生难以理解的内容进行了讨论．通过结合例题的解答，笔者进一步阐释了支点㊁支割线和单值解析分支这些概念，并指出了教学中应该注意的一些地方．ʌ参考文献ɔ［１］韩惠丽，房彦兵．多值函数在复变函数中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７（０４）：１８０－１８３．［２］韩仲明．复变初等多值函数教学初探［Ｊ］．乐山师范学院学报，２０１５（１２）：８４－８６．［３］张萍萍，潘雪燕．根式函数值的计算［Ｊ］．滨州学院学报，２０２０（０４）：８０－８５．［４］钟玉泉．复变函数论：第５版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０２１．。
关于初等多值解析函数支点与支割线的探讨
关于初等多值解析函数支点与支割线的探讨
多值解析函数支点与支割线是数学中重要的概念。
它们在求解不同种类函数的解以及求解极值问题时都有重要作用。
多值解析函数支点是指多值解析函数的极值点，它可以将不同的函数分为几个支持集合，每个支持集合都有一个对应的极值点。
只有当多值解析函数得到满足某些极限的最大值或最小值的点时，它才可以被认为是支点。
支割线是指如果多值解析函数的某一区间内存在不同的支点，那么这一区间可以被分成一系列连续支割线，支割线后一个支点就是支割线前一个支点的延伸。
对于多值解析函数，如果是由几个支点组成，每个支点由多个支割线连接，那么我们可以称之为支割曲线。
这些支割曲线组成的面图可以表示多值解析函数的变化情况，因此它们可以帮助我们更好的理解多值解析函数的特性。
总之，多值解析函数支点与支割线都是数学中重要的概念，支点表示多值解析函数的极值点，支割线表示多值解析函数各个支点之间的连接关系，支割曲线表示多值解析函数变化情况。
它们在多值解析函数的解的求解以及极值问题的解决中都有着重要的作用。
§3初等多值函数解读
§3初等多值函数解读§3 初等多值函数⼀、教学⽬标或要求：掌握基本的初等多值函数的定义、性质；⼆、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质；重点：基本的初等多值函数的定义、性质；难点：⽀点的概念三、教学⼿段与⽅法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）§3 初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每⼀个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平⾯上可分出n 个单值函数．设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕⼀条包围点a 的简单闭曲线连续变动⼀周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从⼀个⽀变到另⼀个⽀，则称点a为函数)F的⽀点．(z(3)根式函数n zw 的每个单值⽀在从原点起始沿正实轴剪开的复平⾯上为解析函数．根式函数它是⼀个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅⾓并不唯⼀确定（可以相差的整数倍）。
为分出单值解析分⽀，在平⾯上从原点到引⼀条射线，将平⾯割破，割破了的平⾯构成⼀个以此割线为边界的区域。
在内随意指定⼀点，并指定的⼀个幅⾓值，则在内任意的点，皆可根据的幅⾓依连续变化⽽唯⼀确定的幅⾓。
假定从原点其割破负实轴，是内过的⼀条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕⼀周时，的象点各画出⼀条闭曲线⽽各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分⽀函数，，利⽤极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分⽀函数在区域内是解析的，且有，，在上⾯分出的单值解析分⽀过程中，有⼀个重要的基本概念：⽀点。
初等函数及其分类讲解
指数函数 函指数数函（数a是常数且a>0,a? 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(? ,函+?数)。 （a是常数且a>0,a? 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(因?为,对+?于)。任何实数值x，总有 ，又 ，所以指数函数的图形，总在x轴 的因上为方对，于且任通何过实点数(0,值1)x。，总有 ，又 ，所以指数函数的图形，总在x轴 若的a>上1，方指，数且函通数过点是(单0,调1)增。加的。 若若0<aa><11，，指指数数函函数数 是是单单调调增减加少的的。。 由若于0，<a所<1以，的指图数形函与数的是图单形调是减关少于的y。轴对称的。
初初等等代代数数函函数数
有有理理整整函函数数
初等函数
基本初等 函数
无无理理函函数数
有有理理函函数数 有有理理分分函函数数
初初等等超超越越函函数数
初等代数函数：由初等函数f1(x)=x和f2(x)=1 经过有限次代数运算得到的初等函数，称为 初初等等代代数数函函数数。：（由或初代等数函显数函f1数(x）)=x和f2(x)=1
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1．三角函数 正1弦．函三数角和函余数弦函数都是以2p 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 (-?正,+弦?函)，数值和域余都弦是函必数区都间是[-以1,21p]。为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 正(弦-?函,+数? 是)，奇值函域数都，是余必弦区函间数[-是1,1偶]。函数。 正正切弦函函数数和是余奇切函函数数，都余是弦以函p 为数周是期偶的函周数期。函数，它们都是奇函数
正切函数和余切函数都是以p 为周期的周期函数，它们都是奇函数 返回
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所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln(1) ln1 iArg(1) (2k 1)i (k为整数)
所以 Ln( 1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
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12
铃
例5 求下列各式的值: (1)Ln(2 3i); (2)Ln(3 3i); (3)Ln(3i).
n
i 2k
re n
n reik
k
k
2k
n
=
arg
z n
2k
k 0,1,
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
2k wk n reik
2(n1) wn1 n rein1
z
G
o
x
5
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下页Biblioteka 结束铃结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
wk
nz
i ( z )2k
n r(z)e n ,(k 0,1,
k
, n 1)
定义域为 Gk : 2k 2k , (k 0,1, , n 1)
w Lnz lnr i( 2k )(k E)
Lnz ln|z| iArgz 由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多 值的多值函数
规定：ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
于是： w Lnz ln z 2k i(k E)
§2.3 初等多值函数
1、根式函数 2 、对数函数 3 、一般幂函数与一般指数函数 4 、具有多个有限支点的情形 5 、反三角函数和反双曲函数
6 、小结与思考
1
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定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的 两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的. 并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
Arcsinz iLn(iz 1 z2 ),
Arctanz i Ln 1 iz . 2 1 iz
2. 反双曲函数的定义
反双曲正弦 Arsinhz Ln(z z2 1),
反双曲余弦 Arcoshz Ln(z z2 1),
反双曲正切 Artanhz 1 Ln 1 z . 2 1z
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24
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3.3 幂函数的解析性
(1) 幂函数 zn 在复平面内是单值解析的,
(zn ) nzn1 .
1
(2) 幂函数 zn 是多值函数, 具有n个分支.
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面
内是解析的,
1
zn
n
z
e
1 Lnz n
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
2
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1、根式函数
定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
wnz
i.e. 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
铃
解题步骤：
• 1. 求支点(探支)； • 2. 联结支点，求支割线； • 3. 定K（由已知条件判断是那一
支 或那一单叶区域） • 4. 求函数值W.
8
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2、对数函数
2.1. 定义 若 : ew z (z 0, ) 则称 w为z对数函数, 记为: w Lnz
说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz
定义12 w az =ezLna(a 0,,为复常数)
称为z的一般指数函数
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21
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对于 z eLnz
由于 Lnz ln z i(argz 2k ) 是多值的,因而
z 也是多值的.
(1)当 为整数时,
z e
e Lnz [ln z i(argz2k )]
k
i
1 2
ln
2
e
4
2
k
cos
1 2
ln
2
i
sin
1 2
ln
2
其中k 0,1,2,.
且 (1 i)i 的辐角的主值为1 ln2. 2
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29
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5 、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义 设 z cos w, 那么称 w 为 z 的反余弦函数,
ln 2 3 iarctan 3 2k
3
ln 2
3
i
2k
6
.
(k 0, 1, 2,)
(3)Ln(3i) ln 3i iArg(3i)
ln 3 (2k 1 )i. (k 0, 1, 2,)
2
14
4
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2) 解决的办法.
限制z的辐角的变换，使其辐角的改变量argz<2
理论上的做法：
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该
直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究
y
z
常用的做法：
从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2)
Ln z1 z2
Lnz1 Lnz2
,
(3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支
和其它各分支处处连续, 处处可导, 且
(ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z
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16
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伯努利诡辩论:
解 (1)Ln(2 3i)
ln 2 3i iArg(2 3i)
1 2
ln13
i
arctan
3 2
2k .
(k 0, 1, 2,)
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13
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(2)Ln(3 3i)
ln 3 3i iArg(3 3i)
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对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支.
特殊地, 当 z x 0时, Lnz 的主值 ln z ln x, 是实变数对数函数.
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11
铃
例4 求 Ln2, Ln(1)以及与它们相应的主值.
解 因为 Ln2 ln 2 2ki,
1
z
1 1 n
.
n
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(3) 幂函数 w z ( 除去 n 与 1 两种情况外 )
n 也是一个多值函数 ,
当为无理数或负数时 ,是无穷多值的.
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的,
( z ) z 1.
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• z 命题:对任意 0,有 Ln z L. nz
证明:① z 2 z 2
② Ln z 2 Lnz 2
③ Ln z Ln z Lnz Lnz
④ 2Ln z 2Lnz
⑤ Ln z Lnz
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17
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推理步骤（1）、（2）及（3） 都正确，但 （3）推（4）有误。
e (ln z iargz)2ki
e ln z , z具有单一的值 .
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22
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(2) 当 p ( p与q为互质的整数 , q 0)时,
q p[ln z i(argz2k )]
z e q p ln z i p (argz2k ) eq q
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例7 求 1 2 和 ii 的值. 解 1 2 e 2Ln1 e2ki 2
cos(2 2k) i sin(2 2k) 其中k 0,1,2,.
i i eiLni
ei
2
i
2ki
e
2 2
k
其中k 0,1,2,.
e
p q
ln
z
cos
p q
(argz
2kπ)
i
sin
p q
(argz
2kπ)
z具有 q 个值,即取 k 0,1,2,,(q 1)时相应的值.