对数及对数函数要点及解题技巧讲解

(2)logaMN＝ logaM－logaN
；
(3)logaNn＝ nlogaN ；
1
n
(4)loga
N＝
nlogaN
.
(其中 M>0，N>0，a>0 且 a≠1，n∈N*)
5．换底公式：logab＝llooggccba(c，a>0 且 c，a≠1，b>0)
由换底公式得：logab＝log1ba，loganbm＝
利用对数函数的单调性比较大小
[例 4] 对于 0<a<1，给出下列四个不等式 ①loga(Baidu Nhomakorabea＋a)<loga(1＋1a)； ②loga(1＋a)>loga(1＋1a)；
解析：由于 0<a<1⇒a<1a⇒1＋a<1＋1a，
∴loga(1＋a)>loga(1＋1a)，a1＋a>
∴选 D.
答案：D
(文)设 a>1，且 m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p
答案：D
对数方程与不等式
[例 6] (文)(2011·浙江省“百校联盟”交流联考卷)
已知 0<a<1，loga(1－x)<logax 则( )
A．0<x<1
B．x<12
C．0<x<12
D.12＜x<1
分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数 y＝logax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解．
③由函数的定义知，只有一一对应的函数才存在反 函数．
(2010·重庆南开中学)函数 y＝lg(x＋1)的反函数的 图象为( )
解析：解法 1：∵函数 y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)， 故反函数图象过点(0,0)，排除 A、B、C，选 D.
解法 2：函数 y＝lg(x＋1)的反函数为 y＝10x－1，故 选 D.
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第五节
对数与对数函数
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重点难点 重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式． ②对数函数的概念、图象与性质． 难点：①对数的换底公式． ②对数函数图象、性质的应用． ③简单对数方程、不等式的求解．
答案：A
(文)(2010·四川文，2)函数 y＝log2x 的图象大致是( )
解析：由对数函数 y＝log2x 定义域 x>0，排除 A，B；由 单调增排除 D，故选 C.
答案：C
(理)(2010·福建省宁德市模拟)函数 y＝lg|x－1|的图象是( )
解析：由解析式可知，x＝0 或 2 时，y＝0，排除 B、D； x＝－1 时，函数有意义排除 C，故选 A.
解析：∵0<a<1 时，y＝logax 为减函数，
1－x>0 ∴原不等式化为x>0
1－x>x
，解得 0<x<12.
答案：C
(理)设 0<a<1，函数 f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使 f(x)<0 的 x 取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3)
2．互为反函数的图象之间的关系 (1)y＝f－1(x)与 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称． (2)若点 P(a，b)在 y＝f－1(x)的图象上，则点 (b，a) 在 y
＝f(x)的图象上． 若 y＝f(x)存在反函数 y＝f－1(x)，则 f(a)＝b⇔ a＝f－1(b)．
误区警示 1．忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的定 义域致误． 2．只有一一对应的函数才存在反函数． 3．解答对数的运算及对数函数的问题，要时刻牢记 对数运算法则中的限制条件和对数函数的定义域．
答案：A
对数函数的单调性与最值
[例 3] (文)设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a＝( )
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：因为 a>1，所以 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上为 增函数，最大值为 loga2a，最小值为 logaa.因此 loga2a－ logaa＝12，即 loga2＝12，解得 a＝4.
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数， ∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D. 答案：D
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实 数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
n]上的最大值为 2，则 m、n 的值分别为( )
数．
解析：由题意得，llooggaabb＋ ＋28＝ ＝12， ， ＝1.于是 a＋b＝4，选 C.
解得 a＝3，b
答案：C
点评：新课标对反函数要求很低，只要了解以下基 本内容即可：
①反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和 定义域．
②反函数的图象与原来函数的图象关于直线 y＝x 对 称，即若点 P(a，b)在反函数的图象上，则点 P′(b，a) 在原来函数的图象上．
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一、转化的思想 指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b(a>0 且 a≠1，N>0) 可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利 用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常 能起到事半功倍的效果．
二、数形结合的思想 有关指数(或对数)与三角函数或(一次、二次函数、 幂函数)构成的方程解的个数讨论，不等式恒成立等问题， 常通过作出相应基本初等函数的图象，用数形结合法求 解． 三、解题技巧 1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵 活运用及指对互化的应用．
解析：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2 ＋lg5＝1.
答案：1
(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解 析 ： 2log510 ＋ log50.25 ＝ log5100 ＋ log50.25 ＝ log525＝2，故选 C.
答案：(1)2
5 (2)4
对数函数的图象
[例 2] (文)已知函数 y＝loga(x＋b)的图象如图所示， 则 ab＝________.
解析：由图象知llooggaabb＝－12，＝0， 得 a＝b＝3，
所以 ab＝33＝27. 答案：27
(理)(2011·湖北六市联考)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－ 1)(a>0 且 a≠1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是 ()
解析：∵0<a<b<1<c，∴logca<logcb<0， ∴log1ca>log1cb，即 logac>logbc，∴m>n. 答案：m>n
＝loga(2a)，则 m，n，p 的大小关系为( )
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)． 答案：B
解析：取 a＝12满足条件，则
D. 答案：D
画出图象后知选
反函数的概念
x>1
0<x<1
a>1
y>0
y<0
0<a<1
y<0
y>0
指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 y
＝x 对称，单调性相同．
三、反函数的概念与性质 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 A，值域为 B，对于 B 中的每一个元素 y0，在 A 中都有唯一的元素 x0 与之对应， 则函数 y＝f(x)存在反函数，记为 y＝f－1(x)，且 y＝f－1(x) 的定义域为 y＝f(x)的值域． 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 且 a≠1) 与 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0 且 a≠1)互为反函数．
D．(loga3，＋∞)
解析：∵0<a<1 ∴loga(a2x－2ax－2)<0 即 a2x－2ax－2>1 ∴a2x－2ax－3>0 ∴ax>3 或 ax<－1(舍) ∴x<loga3，故选 C.
答案：C
点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单 调性或换元法求解．
已知 0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则 m 与 n 的大小关系是________．
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对数的运算与性质
[例 1] (2011·苏北四市二模)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝ ________.
分析：注意到 lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生 lg2＋lg5 求解．
[例 5] 设函数 f(x)＝loga(x＋b)(a>0 且 a≠1)的图象过 点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则 a＋b 等于( )
A．6
B．5
C．4
D．3
分析：反函数的图象和原函数的图象关于直线 y＝x
对称．点 P(a，b)在原函数 y＝f(x)的图象上⇔点 P′(b，
a)在反函数 y＝f－1(x)的图象上．解答该题不需要求出反函
2．(1)同底数的对数比较大小用单调性． (2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指 数式． (3)作差或作商法 (4)利用中间量 0、1 比较．
3．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠 近 y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线 x＝1 右侧，底大 图低(区分 x 轴上方与下方)．
4．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真 数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化 同底和指对互化的运用．
答案：D
(理)设 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
A. 2
B．2 或12
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意 得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
答案：C
(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5 ＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38 ＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
知识归纳 一、对数 1．定义：ab＝N⇔b＝ logaN (a>0，a≠1，N>0)． 2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1 的对数为 0； (3)底的对数为 1. 3．恒等式：
(1)
＝ N，
(2)logaab＝ b .(a>0，a≠1，N>0)
4．运算法则： (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN ；
A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
分析：观察图形可见 f(x)为增函数，－1<f(0)<0，y
＝0 时 x>0，可依据以上信息结合解析式讨论．
解析：∵t＝2x＋b－1 单调增，f(x)单调增，∴a>1. 由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0， ∴a－1<b<1，故选 A.
A.12、2
B.12、4
C.
2、 2
2
D.14、4
解析：f(x)＝|log2x|＝－loglo2xg，2x，x≥0<1x<1 ， 根据 f(m)＝f(n)及 f(x)的单调性知，0<m<1，n>1， 又 f(x)在[m2，n]上的最大值为 2， 故 f(m2)＝2，易得 n＝2，m＝12. 答案：A
m n
logab.
另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别
叫做常用对数和自然对数．
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
图象
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数； 当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．