高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3-3三角函数的图象与性质课时提升作业理
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形33三角函数的图象与性质课后作业理.doc
3. 3三角函数的图象与性质E 课后作业孕谀[基础送分提速狂刷练]一、选择题1. 如果函数y=3cos(2/+0)的图象关于点(丄「，0)成中心对称，那么丨如的最小值为 ()JIJIJIJIA •—B •—C •— D.—O4oZ答案A解析 依题意得3cos&厂+町=0,= «兀+*, 0 =斤兀一¥皿(&GZ),因此I 如的最小值是石•故选A.71712. 已知函数尸=$注5在|_-y,节上是增函数，则实数g 的取值范围是() A. ~|, 0) B. [-3,0) C.(0, |D. (0,3]答案CJI JI71解析 由于y=sinx 在一京，包■上是增函数，为保证y=sin3/在一〒 函数，所以小0,ji JI 3且丁 3 ^―,则0< 3 W ㊁.故选C.(JI JI \3. (2017・成都调研)函数y=2sin 「尹一勺(0W 丸W9)的最大值与最小值之和为() A. 2—yj^ B. 0 C. —1 D. —1—答案A解析 因为0W/W9,所以一— 所以 sin^-x 一"-平，1 .所以yU [—寸5, 2],所以畑+ /nin = 2—寸5,选A.4. (2017 •长沙模拟)设函数f(x) =£sin(ex+ 0+*)(Q 〉O,丨的最小正周期为兀，且是偶函数，贝9()JI〒上是增A. /tv ）在（0,内单调递减（n 3 兀、B. f （x ）在（了，一厂丿内单调递减C. fd ）在（0,内单调递增（ji 3 兀、D. /tv ）在斤，一内单调递增 答案A解析由条件，知G = 2.因为f3是偶函数，且丨如导，所以 妇+因为当 xW （0, 时，2xW （0, 所以fd ）在（0,旬内单调递减.故选A.5. 将函数y=sinx 的图象向左平移*个单位，得到函数y=f （M 的图象，则下列说法正 确的是（）A. y= f （x ）是奇函数B. y=f{x ）的周期为兀C. 尸代力的图象关于直线/=守对称D. y=f （x ）的图象关于点（一2~’ 0）对称答案D解析 由题意知，A%）=cos%,所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2兀，B 错误；它 的对称轴是直线x=k^,胆Z, C 错误；它的对称中心是点（加+*，0）, AEZ, D 正确.故 选D.6. （2017 •广州综合测试）己知函数f 、3=sin （2;v+0）（0〈以閱的图象的一个对称中 心为（¥，0）则函数代力的单调递减区间是（）■ 3兀 兀 A. 2&n —千厂，2A JI +— JI5 开 、B.+—, 2斤兀+~^~ （WWZ ）3兀 n TC. kTi , kTi +—Uk^Z ）兀5 JI这时 f3 =^sin (2x+*)=^cos2x.gZ)D.+—,乃+可(加Z)答案D_ , /3 nA ( 3 n A 3n , 解析由题息得twJ = sin(2X-^~+。
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课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题（每小题5分，共25分)1.（2018·海淀区模拟）已知函数f(x)=sin（ωx+）的最小正周期为π，则ω=（）A.1 B。
±1C。
2 D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值。
2.(2017·全国卷Ⅲ）设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )A。
f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f（x+π)的一个零点为x=D.f(x）在内单调递减【解析】选D.当x∈时，x+∈，函数在该区间内不单调.3。
函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B。
最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D。
最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=—+1=sin 2x.4。
（2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是（）【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D。
高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第3讲三角函数的图象与性质课时作业理
第3讲 三角函数的图象与性质1．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2．(2017年重庆适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π63．(2016年新课标Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图X331，则( )图X331A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．(2017年茂名一模)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)和g (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，则f (x )的取值范围是( )A ．[－3,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3 32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32 5．(2013年大纲)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图X332，则ω＝( )图X332A ．5B ．4C ．3D ．26．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D7．(2017年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 8．(2016年江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与函数y ＝cos x 的图象的交点个数是______．9．(2017年浙江温州中学统测)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，010．(2012年新课标)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,2] 11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．12．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a cos x＋58a－32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．第3讲 三角函数的图象与性质1．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.2．A 解析：依题意，得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.故选A. 3．A 解析：由图知，A ＝2，周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2ππ＝2.所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1.所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝－π6.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. 4．D 解析：因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω ＝2，f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.根据余弦函数的单调性，当2x ＋π3＝π，即x ＝π3时，f (x )min ＝－3；当2x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )max＝32.所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.故选D. 5．B 解析：设函数的最小正周期为T ，由题图可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.6．C 解析：方法一，y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类讨论．方法二，y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.7．D 解析：函数的最小正周期为T ＝2π1＝2π，则周期为2k π()k ∈Z .所以f (x )的一个周期为－2π.故选项A 正确；将x ＝8π3代入f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos 3π＝－1为最小值．因此直线x ＝8π3为对称轴．故选项B 正确；将x ＝π6代入f (x ＋π)，得cos3π2＝0.故选项C 正确；由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3.函数在该区间显然不单调．故选项D 错误．故选D.8．7 解析：由sin 2x ＝cos x ⇒cos x ＝0或sin x ＝12.因为x ∈[0,3π]，所以x ＝π2，3π2，5π2，π6，5π6，13π6，17π6，共7个．9．A 解析：因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，T 2＝π2，所以T ＝2πω＝π.则ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x ，故其单调递减区间为2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，当k ＝0时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4为函数g (x )的一个单调递减区间，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故选A.10．A 解析：方法一，ω＝2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4不合题意，排除D ；ω＝1⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4合题意，排除B ，C.故选A. 方法二，由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4.由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2.∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2.∴12≤ω≤54.故选A. 11．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上所述，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.12．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12， 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．。
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象与性质课后作业理
3．3 三角函数的图象与性质[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0，且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C. 3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3，选A.4．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A. 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ，故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 解法一：(特值法)取M ＝2，ω＝1，φ＝0画图象即得答案．解法二：T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T 2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a2得到的．∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π； ⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A 解析 ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3·cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确； ③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确； ④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94.∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤t －12t＝t 2－2t ＋1t ＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min .又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号，∴a ≤0.。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质课时分层训练 文 北师大版
课时分层训练(十八) 三角函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )【导学号：66482152】A ．1B ．12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.]3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )【导学号：66482153】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .]三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的递增区间．[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1. 6分(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ). 8分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ). 12分10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 6分(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 7分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；9分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )【导学号：66482154】A ．最大值为1，图像关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上递增，为偶函数D ．周期为π，图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上递减，故选B.]2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ). 2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对任意x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2. 5分(2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 6分又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 9分令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 12分。
高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A 版课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．(2019广州测试)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )(A)1 (B)2 (C)4(D)8B 解析：依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω·π6＋π6＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k ∈Z )；又ω是正整数，因此ω的最小值是2.故选B.2．(2019九江模拟)下列关系式中正确的是( ) (A)sin 11°＜cos 10°＜sin 168° (B)sin 168°＜sin 11°＜cos 10° (C)sin 11°＜sin 168°＜cos 10° (D)sin 168°＜cos 10°＜sin 11°C 解析：根据诱导公式sin 168°＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，由正弦函数的单调性可知， sin 11°<sin 12°<sin 80°， 所以sin 11°<sin 168°<cos 10°.3．对于函数f (x )＝sin(πx ＋π2)，下列说法正确的是( )(A)f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 (B)f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 (C)f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 (D)f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案：B4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )(A)2－ 3 (B)0 (C)－1 (D)－1－ 3答案：A5．(2019济南调研)已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )(A)π，[0，π](B)2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4(C)π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(D)2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 C 解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C.6．(2019青岛调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下列结论错误的是( )(A)f (x )的最小正周期是π (B)f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 (C)f (x )的一个零点是π6(D)f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上递减答案：B7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调增区间是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 8．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )9．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案：210．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．答案：(1)12 (2)π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8，k ∈Z 11．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)∵f (－x )＝2sin －x1＋cos2－x －sin2－x＝－2sin x 1＋cos 2x －sin 2x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤πf (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π， 单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )．能力提升练(时间：15分钟)12．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )(A)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(B)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8(C)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 (D)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 答案：C13．(2019泸州高中)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x＋φ)的图象( )(A)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 (B)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 (C)关于直线x ＝π6对称(D)关于直线x ＝π3对称A 解析：∵函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ＝π6时，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称中心．故选A.14．(2018洛阳三模)函数y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4－cos 2x sin π4的单调递减区间是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z (D)⎝⎛⎭⎪⎫k π＋3π8，k π＋5π8，k ∈Z B 解析：根据题意有y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＞0，结合复合函数单调性法则，实则求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间，所以有2k π＜2x －π4＜2k π＋π2，解各k π＋π8＜x ＜k π＋3π8，所以函数的单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z ，故选B.15．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的最大值及最小值．解：(1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π解得k π－58π≤x ≤k π－π8，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π解得k π－18π≤x ≤k π＋38π，函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z )．(3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.∴f (x )∈[－2，1]． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为1，当x ＝38π时，f (x )的最小值为－ 2.16．(2019荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质课后作业 理
3．3 三角函数的图象与性质[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0，且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C. 3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3，选A.4．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增 答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A. 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ，故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32，选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 解法一：(特值法)取M ＝2，ω＝1，φ＝0画图象即得答案．解法二：T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T 2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a2得到的．∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |·cos x ，给出下列五个结论： ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④函数f (x )的周期为π； ⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A 解析 ①f ⎝⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3·cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确； ③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确； ④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A. 二、填空题11．设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3是奇函数，因此φ＋π3＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sin πx ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94.∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时，f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2x cos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤t －2t＝t 2－2t ＋1t ＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min .又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号，∴a ≤0.。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业23三角函数的图象与性质课件理新人教A版
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A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
解析 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得 ω＝π6＋kπ(k∈Z)，因为 ω>0，所以当 k＝0 时，ωmin＝π6。故选 D。
答案 D
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
＝－π6时，f(x)＝2sin2x，在－π4，0上为增函数，不合题意。当 θ＝56π时，f(x)
＝－2sin2x，在－π4，0上为减函数，符合题意。故选 D。 答案 D
二、填空题 8．函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时 x＝________。
解析 函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋ 2kπ(k∈Z)，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)。
答案 A
2．已知函数 y＝2cosx 的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则 b－a 的值
是( )
A．2
B．3
C． 3＋2
D．2－ 3
解析 因为 x∈3π，π，所以 cosx∈－1，12，故 y＝2cosx 的值域为[－ 2,1]，所以 b－a＝3。
答案 B
3．y＝|cosx|的一个单调递增区间是( )
∈
22，1，则
2sinsinx＋π4∈[1，
2]，故 C 项正确；当 x∈π4，π2时，sinx
∈
22，1，sinx＋π4∈
22＋π4，1＋π4，而π2∈
届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质课时作业
第三节 三角函数的图象与性质课时作业 A 组——根底对点练1．以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A2．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，那么ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，那么ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2022·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，应选A.答案：A4．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 答案：B5．(2022·云南五市联考)假设函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为1，那么ω＝( ) A.14 B ．13 C.12D ．32解析：因为0＜ω＜1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3.所以f (x )在区间[0，π3]上单调递增，那么f (x )max ＝f (π3)＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C.答案：C6．函数f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32(x ∈[0，π])的单调递增区间为( )A ．[0，5π6]B ．[0，2π3]C ．[5π6，π]D ．[2π3，π]解析：f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32＝32(2cos 2x 2－1)－12sin x ＝32cos x －12sin x ＝cos(x ＋π6)，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)，又x ∈[0，。
2020高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3-3三角函数的图象与性质课时提升作业理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3-3三角函数的图象与性质课时提升作业理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·广州模拟)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( )A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cos2xD.y=cosx【解析】选 D.函数y=sin2x与y=sinx都是奇函数,故A,B不符合题意,函数y=cos2x,y=cosx都是偶函数,y=cos2x在(0,π)上不单调,y=cosx符合题意.【加固训练】在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为( )A.∪B.C. D.∪【解析】选B.画出y=sinx,y=cosx在(0,2π)内的图象,它们的交点横坐标为,,由图象可知x的取值范围为.2.下列函数中,周期为1的奇函数是( )A.y=1-2sin2πxB.y=sinC.y=tanxD.y=sinπxcosπx【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数,周期为1,y=sin的周期为1,是非奇非偶函数,y=tanx是奇函数,周期为2,y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数,周期为1.3.(2016·黄冈模拟)函数f(x)=sin在区间上的最小值是( )A.-1B.-C.D.0【解题提示】先确定2x-的范围,再根据正弦曲线的单调性求最小值.【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.【加固训练】1.(2016·大同模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解.【解析】选A.由于f=sin(x-φ),且f(x)dx=0,得到f(x)的对称中心为,所以φ=,x-=+kπ,k∈Z,所以x=+kπ,k∈Z,所以f(x)的图象的一条对称轴是x=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:由题意可知f(x)的对称中心为,所以f(x)=sin,把x=代入得f=sin=1,恰好取得最大值,所以A正确.2.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是( )A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】选B.由已知化简得f(x)=-cos(πx)-1,所以f(x)是周期为2的偶函数.4.(2016·广州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,那么|φ|的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选 A.依题意得,sin=±1,则+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),因此|φ|的最小值是.5.(2016·榆林模拟)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )【解题提示】首先根据函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值排除剩余选项.【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx,即f(-x)=-f(x),而定义域x∈[-π,π]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,排除B.又当x=时,f=sin=1>0,排除A.当x=时,f=sin=>1,排除D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·杭州模拟)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.【解题提示】本题考查了三角恒等变换知识,可先降幂,再化为一个角的三角函数.【解析】y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,所以T==π.答案:π7.(2016·深圳模拟)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3= .【解题提示】将左边函数化为一种三角函数式的形式,结合三角函数图象即得.【解析】设f(x)=sinx+cosx=2sin,因为x∈[0,2π],所以x+∈,根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2π,所以x1+x2+x3=.答案:8.(2015·天津高考)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得2ω≤,且f(ω)=sinω2+cosω2=,所以sin=1,所以ω2+=⇒ω=.答案:(20分钟40分)1.(5分)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )A.2B.3C.+2D.2-【解析】选B.因为当≤x≤π时,y=2cosx是单调减函数,且当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cosπ=-2,所以-2≤y≤1,即y的值域是[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.2.(5分)已知函数f(x)=2sin,x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( )A. B. C.π D.2π【解析】选C.由f(x)=1,得sin=,所以ωx1+=,或ωx2+=,所以ω(x2-x1)=.又因为x2-x1=,故ω=2,所以T==π.【加固训练】已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值,当x=时取最小值,与y轴的交点为(0,),则f(x)的解析式为.【解析】由题设知T=2=π,又T=,所以ω=2,由2×+φ=得φ=;由=Asin,得A=2,所以f(x)=2sin.答案:f(x)=2sin3.(5分)(2016·郑州一模)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是( )A. B.C.[1,2]D.[0,2]【解析】选A.由-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z 得-+≤x≤+,k∈Z,取k=0,得-≤x≤,因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,所以≥,即ω≤.又ω>0,所以ω的取值范围是.4.(12分)已知函数y=cos.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数的对称轴及对称中心.(3)求函数的单调增区间.【解析】(1)由题可知ω=,T==8π,所以函数的最小正周期为8π.(2)由x+=kπ(k∈Z),得x=4kπ-(k∈Z),所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);又由x+=kπ+(k∈Z),得x=4kπ+(k∈Z);所以函数的对称中心为(k∈Z).(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z),得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);所以函数的单调递增区间为,k∈Z.5.(13分)(2016·益阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时分层作业二十 3.3 三角函数的图象与性质 理
课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω= ( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin 2x.4.(2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z), 故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.。
高考数学统考一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图像与性质课时规范练(文,含解
学习资料第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图像与性质课时规范练A组——基础对点练1．（2020·海滨区模拟）已知函数f(x)＝sin错误!的最小正周期为π，则ω＝()A．1B．±1C．2 D．±2解析：因为T＝错误!,所以|ω|＝错误!＝2，故ω＝±2.答案:D2．(2020·福州模拟)下列函数中，周期为π，且在错误!上为减函数的是(）A．y＝sin错误!B．y＝cos错误!C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!解析:对于选项A，注意到y＝sin错误!＝cos 2x的周期为π，且在错误!上是减函数，故选A。
答案：A3．(2018·高考全国卷Ⅰ）已知函数ƒ（x）＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．ƒ（x）的最小正周期为π，最大值为3B．ƒ(x）的最小正周期为π，最大值为4C．ƒ(x）的最小正周期为2π,最大值为3D．ƒ（x）的最小正周期为2π，最大值为4解析：∵ƒ(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－错误!＋2＝错误!cos 2x＋错误!，∴ƒ(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.答案：B4．设函数f（x)＝cos错误!，则下列结论错误的是(）A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图像关于直线x＝错误!对称C．f（x＋π）的一个零点为x＝错误!D．f(x)在错误!内单调递减解析：当x∈错误!时，x＋错误!∈错误!，函数在该区间内不单调．答案:D5．函数y＝－2cos2错误!＋1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为错误!的非奇非偶函数解析：y ＝－2cos 2错误!＋1＝－错误!＋1＝sin 2x 。
结合各选项知选A.答案：A6．已知函数f （x )＝sin(x ＋θ)＋错误!cos （x ＋θ），θ∈错误!是偶函数,则θ的值为（ )A ．0B ．π6C 。
高考数学一轮复习 必考部分 第三篇 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质应用能力提升 文
第3节三角函数的图像与性质【选题明细表】知识点、方法题号三角函数定义域、值域、最值4,5,9,14三角函数单调性、单调区间3,7,12奇偶性、周期性、对称性1,2,8综合应用6,10,11,13,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015高考四川卷)下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( A )(A)y=cos（2x+错误!未找到引用源。
） (B)y=sin（2x+错误!未找到引用源。
）(C)y=sin 2x+cos 2x (D)y=sin x+cos x解析:选项A,y=cos（2x+错误!未找到引用源。
）=-sin 2x,符合题意.2.(2015攀枝花模拟)函数f(x)=sin （x-错误!未找到引用源。
）的图像的一条对称轴是( C )(A)x=错误!未找到引用源。
(B)x=错误!未找到引用源。
(C)x=-错误!未找到引用源。
(D)x=-错误!未找到引用源。
解析:函数的对称轴方程是x-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
+kπ,k∈Z,解得x=错误!未找到引用源。
π+kπ,k∈Z,当k=-1时,x=-错误!未找到引用源。
.3.函数y=-4sin x+1,x∈[-π,π]的单调性是( D )(A)在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数(B)在[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
]上是增函数,在[-π,-错误!未找到引用源。
]和[错误!未找到引用源。
,π]上是减函数(C)在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数(D)在[错误!未找到引用源。
,π]和[-π,-错误!未找到引用源。
]上是增函数,在[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
]上是减函数解析:由正弦函数的图像知,函数y=4sin x,x∈[-π,π]时,在[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
]上是增函数,在[-π,-错误!未找到引用源。
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(全国通用版)高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业十九3.3三角函数的图象与性质文
课时分层作业十九三角函数的图象与性质一、选择题 ( 每题 5 分, 共 25 分)1.(2018 ·海淀区模拟 ) 已知函数f(x)=sin(ω x+) 的最小正周期为π ,则ω =() A.1 B. ±1 C.2 D.±2【分析】选 D. 由于 T=, 因此 | ω |==2, 故ω =±2.【误区警告】解答此题易出现选C的错误答案 , 致使出现这类错误的原由是忽视了周期公式T=中的ω应加绝对值 .2.(2017 ·全国卷Ⅲ ) 设函数f(x)=cos, 则以下结论错误的选项是()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x) 的图象对于直线x=对称C.f(x+ π ) 的一个零点为x=D.f(x)在内单一递减【分析】选 D. 当 x∈时,x+∈, 函数在该区间内不但一.3. 函数 y=-2cos 2+1 是()A. 最小正周期为π 的奇函数B. 最小正周期为π 的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的非奇非偶函数【分析】选 A.y=-2cos 2+1=-+1=sin 2x.4.(2016 ·浙江高考 ) 函数 y=sin x 2 的图象是()【解题指南】依据函数的奇偶性和最值判断.【分析】选 D. 由于 y=sin x 2为偶函数 , 因此它的图象对于y 轴对称 , 清除 A,C 选项 ; 当 x2= , 即 x=±时 ,y max=1, 清除 B 选项 .5.(2018 ·大连模拟 ) 已知函数f(x)=sin(ω x-)( ω>0), 若函数 f(x)在区间上为单一递减函数,则实数ω的取值范围是()A. B.C. D.【分析】选 B. 由于π <x<,因此ω π - <ω x- <-,由正弦函数的单一性可得即也即因此≤ ω ≤.二、填空题 ( 每题 5 分, 共 15 分)6.(2018 ·广州模拟 ) 若函数 f(x)=cos(ωx+)( ω ∈N* ) 的一个对称中心是, 则ω的最小值为________.【分析】由于 f=0, 因此 cos=0, 即+ =+kπ , 故ω =2+6k(k ∈ Z), 又由于ω∈ N* , 故ω的最小值为 2.答案:27. 函数 y=的定义域为________.【分析】由题意得cos x ≥, 故 2kπ -≤ x≤+2kπ (k ∈ Z).答案 :,k ∈ Z8. 函数 y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【分析】设 t=sin x-cos x,则 t 2=sin 2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=, 且 -≤ t≤.因此y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当 t=-时,y min=--. 因此函数的值域为.答案 :三、解答题 ( 每题 10 分, 共 20 分)9.(2017 ·北京高考 ) 已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求 f(x) 的最小正周期 .(2) 求证 : 当 x∈时,f(x)≥ -.【分析】 (1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x= sin 2x+cos 2x=sin, 因此 T==π .(2) 令 t=2x+ , 由于 -≤ x≤,因此 -≤ 2x+≤,由于 y=sin t在上递加,在上递减 , 且 sin<sin,因此 f(x) ≥ sin=- , 得证 .10. 已知 f(x)=sin.(1)求函数 f(x) 图象的对称轴方程 .(2)求 f(x) 的单一递加区间 .(3)当 x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【分析】 (1)f(x)=sin,令 2x+ =kπ + ,k ∈ Z, 则 x=+,k ∈ Z.因此函数f(x) 图象的对称轴方程是x=+,k ∈ Z.(2) 令 2kπ-≤ 2x+≤ 2kπ+,k ∈ Z,则 kπ -≤ x≤ kπ +,k ∈ Z.故 f(x)的单一递加区间为,k ∈ Z.(3) 当 x∈时,≤ 2x+≤,因此 -1 ≤ sin≤, 因此 -≤ f(x)≤ 1,因此当x∈时,函数f(x)的最大值为1, 最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin( ω >0),x ∈ R.若函数 f(x)在区间(-ω ,ω )内单一递加,且函数y=f的图象对于直线x=ω对称 , 则ω的值为()A. B.2 C. D.【分析】选 D. 由于 f(x)在区间(-ω ,ω)内单一递加,且函数图象对于直线x=ω对称 , 因此 f( ω) 必为一个周期上的最大值,因此有ω ·ω + =2kπ +,k ∈ Z,因此ω2= +2kπ ,k ∈ Z. 又ω -(- ω ) ≤·,即ω2≤, 即ω2= , 因此ω =.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sinω x+cos ω x(x ∈ R), 又f( α)=2,f(β )=2,且|α -β |的最小值是, 则正数ω的值为()A.1B.2C.3D.4【分析】选 D. 函数 f(x)=sinω x+cos ω x=2sin.由 f( α )=2,f(β )=2,且|α -β |的最小值是,因此函数f(x) 的最小正周期T=,因此ω ==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ω x+φ)在区间上是单调递减函数 , 且函数值从 1 减少到 -1, 则 f=________.【分析】由题意知=- = , 故 T=π , 因此ω ==2, 又 f=1, 因此 sin=1.由于 | φ |< , 因此φ =,即 f(x)=sin.故 f=sin=cos =.答案 :4.(12分)已知函数f(x)=sin(ω x+φ )的最小正周期为π .(1)求当 f(x) 为偶函数时φ的值 .(2) 若 f(x) 的图象过点, 求 f(x)的单一递加区间.【分析】由 f(x)的最小正周期为π ,则T==π , 因此ω=2,因此 f(x)=sin(2x+φ ).(1) 当 f(x) 为偶函数时 ,f(-x)=f(x).因此 sin(2x+ φ )=sin(-2x+φ),睁开整理得sin 2xcosφ =0,由已知上式对? x∈R 都建立 ,因此 cos φ =0. 由于 0<φ <, 因此φ=.(2) 由于 f=, 因此 sin=, 即+φ = +2kπ或+φ =+2kπ (k ∈ Z),故φ =2kπ或φ =+2kπ (k ∈ Z),又由于 0<φ <, 因此φ =,即 f(x)=sin,由 - +2kπ ≤ 2x+≤+2kπ (k ∈ Z) 得kπ -≤x≤ kπ +(k ∈ Z),故 f(x)的递加区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若 a=-1, 求函数 f(x) 的单一递加区间 .(2) 若 x∈ [0, π ], 函数 f(x) 的值域是 [5,8],求a,b的值.【分析】 f(x)=asin+a+b.(1) 当 a=-1 时 ,f(x)=-sin+b-1,由 2kπ +≤ x+ ≤ 2k π +(k ∈ Z),得 2kπ +≤ x≤2kπ +(k ∈ Z),因此 f(x)的单一递加区间为 [2k π +,2k π+],k ∈ Z.(2) 由于 0≤ x≤ π , 因此≤ x+ ≤,因此 -≤ sin≤ 1, 依题意知 a≠ 0.①当 a>0时,因此 a=3-3,b=5.②当 a<0 时,因此 a=3-3,b=8.综上所述 ,a=3-3,b=5或 a=3-3,b=8.【变式备选】(2018 ·咸阳模拟 ) 已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的 x 值会合 .(2)求函数的单一区间 .(3)求函数 f(x) 的图象的对称轴与对称中心 .【分析】 (1) 当 sin=1 时,2x-=2kπ+,k ∈ Z,即 x=k π +,k ∈ Z, 此时函数获得最大值为2;故 f(x)的最大值为2, 使函数获得最大值的x 的会合为.(2) 由 - +2kπ≤ 2x-≤+2kπ,k ∈ Z得 - +k π ≤ x≤+kπ,k ∈ Z.因此函数f(x) 的单一递加区间为,k ∈ Z.由+2kπ ≤ 2x-≤+2kπ ,k ∈ Z得+kπ≤ x≤+kπ ,k ∈ Z.因此函数f(x) 的单一递减区间为,k ∈ Z.(3) 由 2x- = +kπ,k ∈ Z得 x=+ kπ,k ∈ Z.即函数 f(x)的图象的对称轴为x=+ kπ ,k ∈Z.由 2x- =kπ ,k ∈ Z 得 x= +kπ ,k ∈ Z,即对称中心为,k ∈Z.。
浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练
——教学资料参考参考范本——浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练______年______月______日____________________部门A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.(k∈Z) C.(k∈Z) D ．RC [由cos x －≥0，得cos x≥，∴2k π－≤x≤2k π＋，k∈Z.] 2．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f ＝( ) A ．1 B. C ．－1D ．－12A [由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ，所以f ＝sin ＝sin ＝1.]3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝sin ，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝sin ，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( ) 【导学号：51062105】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知＋＝k π＋(k∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(20xx·台州二次适应性测试)若函数f(x)＝sin －cos ωx(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝sin 的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T ＝＝2×＝π，ω＝2，f(x)＝sin.当2k π－≤2x－≤2k π＋，即k π－≤x≤k π＋，k∈Z 时，f(x)＝sin单调递增．因此结合各选项知f(x)＝sin 的一个单调递增区间为，故选A.]二、填空题6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k∈Z) [由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2k π＋≤2x≤2k π＋得k π＋≤x≤k π＋(k∈Z)．]7．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ＝f ，则f 的值为________. 【导学号：51062106】2或－2 [∵f＝f ，∴x ＝是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ＝±2.]8．函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是________．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k∈Z [由2x ＋＝k π(k∈Z)得，x ＝－(k∈Z)， ∴函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是，k ∈Z.] 三、解答题9．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间. 【导学号：51062107】 [解] (1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝sin ， 所以f(x)的最小正周期T ＝＝.4分 依题意，得＝π，解得ω＝1.7分(2)由(1)知f(x)＝sin.函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z).10分由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).14分10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解] (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，3分所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.7分(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.10分当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；12分当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(20xx·台州二次质量预测)将函数f(x)＝－cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )A．最大值为1，图象关于直线x＝对称B．在上单调递减，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点对称B [由题意得函数g(x)＝－cos＝－sin 2x，易知其为奇函数，由－＋2kπ＜2x＜＋2kπ，k∈Z得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x的单调递减区间为，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x在上单调递减，故选B.]2．设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062108】[2，＋∞)[∵f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin∈[－2,2]．又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥|f(x)|max，∴a≥2.]3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．[解] ∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).2分(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，∴sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)，将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知上式对∀x∈R都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜，∴φ＝.7分(2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.10分又∵0＜φ＜，∴＜＋φ＜π，∴＋φ＝，φ＝，∴f(x)＝sin.13分令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.15分。
高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质练习理
高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质练习理【最新考纲】 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数函数f(x)＝ɑ是周期函数，它没有最小正周期．( )(2)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )(4)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32πcos x 是奇函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(2014·陕西卷)函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：T ＝2πω＝2π2＝π.答案：B3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[ɑ，b]，则b －ɑ的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3 解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2，1]， 所以b －ɑ＝3. 答案：B4．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋34π，k ∈Z.取k ＝－1，得x ＝－π4.答案：C5．(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A两个结论1．若f (x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝k π(k∈Z)．2．函数y ＝Asin (ωx＋φ)与y ＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝Atan (ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. 两种方法1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝Asin (ωx＋φ)(ω＞0)的形式． 2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y ＝Asin (ωx＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．三点注意1．求y ＝Asin (ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．2．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．3．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．一、选择题1．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ的值是( )A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解析：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋φ3是偶函数．∴φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋32π，k ∈Z. 又φ∈[0，2π]，取k ＝0，得φ＝32π.答案：C2．(2014·课标全国Ⅰ卷)在函数①y＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：由于y ＝cos|2x|＝cos 2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x|的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③.答案：A3．若函数y ＝cos (ωx＋π6)(ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：B4．(2016·河北衡水中学三模)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝－π12解析：由题意知平移后的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2(k∈Z)，则x ＝k π2＋π12(k∈Z)．结合选项知，选A 正确． 答案：A5．设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增 解析：由T ＝π，知ω＝2，则f(x)＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋φ＋π4)，又f(x)是偶函数．∴φ＋π4＝k π＋π2，则φ＝k π＋π4，k ∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4，故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x.因此f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减． 答案：A6．(2016·河南郑州第二次质量预测)将函数f(x)＝cos x －3·sin x (x∈R)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则ɑ的最小值是( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析：f(x)＝cos x － 3 sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将f(x)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后得到 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ɑ＋π3的图象，则由题意知π3＋ɑ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ɑ＝π6＋k π，k ∈Z.又因为ɑ＞0，所以ɑ的最小值为π6.答案：B二、填空题7．已知f(x)＝Asin (ωx＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．解析：由于|α－β|的最小值为π3，∴函数f(x)的周期T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.答案：328．函数y ＝1tan x －1的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为{x|x≠π4＋k π且x≠π2＋k π，k ∈Z}．答案：{x|x≠π4＋k π且x≠π2＋k π，k ∈Z}9．(2015·浙江卷)函数f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：∵f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f(x)的最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得f(x)的单调递减区间为[k π＋38π，k π＋78π](k∈Z)． 答案：π [k π＋38π，k π＋78π](k∈Z)三、解答题10．设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．解：(1)∵直线x ＝π8是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z.又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z.11．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：f(x)＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x)＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以，函数f(x)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。
【新】2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质课时作业
第三节 三角函数的图象与性质课时作业 A 组——基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确． 答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A.答案：A4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．答案：B5．(2018·云南五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间[0，π3]上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B ．13 C.12D ．32解析：因为0＜ω＜1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3.所以f (x )在区间[0，π3]上单调递增，则f (x )max ＝f (π3)＝2sinωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C. 答案：C6．函数f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32(x ∈[0，π])的单调递增区间为( ) A ．[0，5π6]B ．[0，2π3]C ．[5π6，π]D ．[2π3，π]解析：f (x )＝3cos 2x 2－12sin x －32＝32(2cos 2x 2－1)－12sin x ＝32cos x －12sin x ＝cos(x ＋π6)，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)，又x ∈[0，π]，所以当k ＝1时，f (x )的单调递增区间为[5π6，π]，故选C.答案：C7．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B9．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω 的取值范围为( ) A ．(0，43]B ．(43，73]C ．(73，103]D ．(103，133]解析：易得f (x )＝2sin(ωx －π3)，设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π3，因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π＜ωπ－π3≤2π，解得43＜ω≤73，故选B. 答案：B10.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．答案：D11．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)12．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π413．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π6B 组——能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，对比选项，可知选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8. 答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是( )A ．2B ．3C ．6D ．9 解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以πω6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈Z B ．[6k －3,6k ]，k ∈Z C ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．[6k π－3,6k π]，k ∈Z解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T ＝6，结合f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B ．π4C.π3D ．π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：A6．已知函数f (x )＝cos2ωx 2＋32sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω 的取值范围是( ) A ．(0，512]B ．(0，512]∪[56，1112)C ．(0，56]D ．(0，512]∪[56，1112]解析：函数f (x )＝cos2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin(ωx ＋π6)，可得T ＝2πω≥π，0＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：⎩⎪⎨⎪⎧ωπ＋π62ωπ＋π6≤π或⎩⎪⎨⎪⎧πω＋π6≥π2ωπ＋π6≤2π，解得ω∈(0，512]∪[56，1112)．答案：B7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B ．[－3,3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：因为两个函数图象的对称轴完全相同，所以这两个函数的周期相同，即ω＝2，所以函数f (x )＝3sin(2x －π6)．当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，由正弦函数的图象及其性质知， f (x )min ＝f (0)＝－32，f (x )max ＝f (π3)＝3，故选A.答案：A8．(2018·长沙市模拟)已知函数f (x )＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)，若存在x 1，x 2，…，x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤6π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为( ) A ．6 B ．10 C ．8 D ．12解析：f (x )＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)＝sin(x ＋π6－π6)＝sin x ，所以|f (x n －1)－f (x n )|≤2，又|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|＝12(n ≥2，n ∈N *)，所以要使n 取最小值，需x 1＝0，x 2＝π2，x 3＝3π2，x 4＝5π2，…，x 7＝11π2，x 8＝6π.故满足条件的最小整数n 为8. 答案：C9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k ∈Z)，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确．答案：B10．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D. 答案：C11．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2图象相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－ 3B ．－2C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－2.答案：B12．已知函数f (x )＝2cos 22x －2.给出下列命题：①∃β∈R ，f (x ＋β)为奇函数；②∃α∈(0，3π4)，f (x )＝f (x ＋2α)对x ∈R 恒成立；③∀x 1，x 2∈R ，若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的最小值为π4；④∀x 1，x 2∈R ，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)．其中的真命题有( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．①④解析：由题意，f (x )＝2cos 22x －2＝cos 4x －1.对于①，f (x )＝cos 4x －1的图象如图所示，函数f (x ＋β)的图象是f (x )的图象向左或向右平移|β|个单位长度得到的，它不会是奇函数，故①错误；对于②，f (x )＝f (x ＋2α)，所以cos 4x －1＝cos(4x ＋8α)－1，所以8α＝2k π，k ∈Z ，所以α＝k π4，k ∈Z.又α∈(0，3π4)，所以取α＝π4或π2时，f (x )＝f (x ＋2α)对x∈R 恒成立，故②正确；对于③，|f (x 1)－f (x 2)|＝|cos 4x 1－cos 4x 2|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2π2×4＝π4，所以③正确；对于④，∀x 1，x 2∈R ，当f (x 1)＝f (x 2)＝0时，x 1－x 2＝kT＝k ·2π4＝k π2，k ∈Z ，所以④错误．综上，真命题是②③，故选C.答案：C13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是__________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________． 解析：由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 答案：π15．已知函数：①f (x )＝2sin(2x ＋π3)；②f (x )＝2sin(2x －π6)；③f (x )＝2sin(12x ＋π3)；④f (x )＝2sin(2x －π3)．其中，最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数序号是________． 解析：对于①，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图象的对称轴为2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，即x＝k π2＋π12(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)图象的对称轴，①错误；对于②，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图象的对称轴为2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，显然x ＝π3是函数f (x )＝2sin(2x －π6)图象的对称轴，②正确；对于③，其最小正周期T＝2π12＝4π，③错误；对于④，其最小正周期T ＝2π2＝π，其图象的对称轴为2x －π3＝k π小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 11 ＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，显然x ＝π3不是函数f (x )＝2sin(2x －π3)图象的对称轴，④错误．答案：②。
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3-3三角
函数的图象与性质课时提升作业理
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·广州模拟)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( )
A.y=sin2x
B.y=sinx
C.y=cos2x
D.y=cosx
【解析】选 D.函数y=sin2x与y=sinx都是奇函数,故A,B不符合题意,函数y=cos2x,y=cosx都是偶函数,y=cos2x在(0,π)上不单调,y=cosx符合题意.
【加固训练】在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为( )
A.∪
B.
C. D.∪
【解析】选B.画出y=sinx,y=cosx在(0,2π)内的图象,它们的交点横坐标为,,由图象可知x的取值范围为.
2.下列函数中,周期为1的奇函数是( )
A.y=1-2sin2πx
B.y=sin
C.y=tanx
D.y=sinπxcosπx
【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数,周期为1,
y=sin的周期为1,是非奇非偶函数,
y=tanx是奇函数,周期为2,
y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数,周期为1.
3.(2016·黄冈模拟)函数f(x)=sin在区间上的最小值是( )
A.-1
B.-
C.
D.0
【解题提示】先确定2x-的范围,再根据正弦曲线的单调性求最小值.
【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.
【加固训练】1.(2016·大同模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解.
【解析】选A.由于f=sin(x-φ),
且f(x)dx=0,
得到f(x)的对称中心为,
所以φ=,x-=+kπ,k∈Z,
所以x=+kπ,k∈Z,
所以f(x)的图象的一条对称轴是x=.
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
由题意可知f(x)的对称中心为,
所以f(x)=sin,
把x=代入得f=sin=1,恰好取得最大值,所以A正确.
2.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是( )
A.f(x)是周期为1的奇函数
B.f(x)是周期为2的偶函数
C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
【解析】选B.由已知化简得f(x)=-cos(πx)-1,所以f(x)是周期为2的偶函数. 4.(2016·广州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,那么
|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.依题意得,sin=±1,则+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),因此|φ|的最小值是.
5.(2016·榆林模拟)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )【解题提示】首先根据函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值排除剩余选项.
【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx,
即f(-x)=-f(x),
而定义域x∈[-π,π]关于原点对称,
所以函数f(x)为奇函数,排除B.
又当x=时,f=sin=1>0,排除A.
当x=时,f=sin=>1,排除D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·杭州模拟)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.
【解题提示】本题考查了三角恒等变换知识,可先降幂,再化为一个角的三角函数.【解析】y=sin2x+cos2x
=sin2x+cos2x+
=sin+,
所以T==π.
答案:π
7.(2016·深圳模拟)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3= .
【解题提示】将左边函数化为一种三角函数式的形式,结合三角函数图象即得.【解析】设f(x)=sinx+cosx=2sin,
因为x∈[0,2π],所以x+∈,
根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2π,
所以x1+x2+x3=.
答案:
8.(2015·天津高考)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.
【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得2ω≤,且f(ω)=sinω2+cosω2=,
所以sin=1,所以ω2+=⇒ω=.
答案:
(20分钟40分)
1.(5分)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值
是( )
A.2
B.3
C.+2
D.2-
【解析】选B.因为当≤x≤π时,y=2cosx是单调减函数,
且当x=时,y=2cos=1,
当x=π时,y=2cosπ=-2,
所以-2≤y≤1,
即y的值域是[-2,1],
所以b-a=1-(-2)=3.
2.(5分)已知函数f(x)=2sin,x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选C.由f(x)=1,得sin=,
所以ωx1+=,或ωx2+=,
所以ω(x2-x1)=.
又因为x2-x1=,故ω=2,所以T==π.
【加固训练】已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值,当x=时取最小值,与y轴的交点为(0,),则f(x)的解析式为.【解析】由题设知T=2=π,
又T=,所以ω=2,
由2×+φ=得φ=;
由=Asin,得A=2,
所以f(x)=2sin.
答案:f(x)=2sin
3.(5分)(2016·郑州一模)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是( )
A. B.
C.[1,2]
D.[0,2]
【解析】选A.由-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z 得-+≤x≤+,k∈Z,
取k=0,得-≤x≤,
因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,所以≥,即ω≤.
又ω>0,所以ω的取值范围是.
4.(12分)已知函数y=cos.
(1)求函数的最小正周期.
(2)求函数的对称轴及对称中心.
(3)求函数的单调增区间.
【解析】(1)由题可知ω=,T==8π,
所以函数的最小正周期为8π.
(2)由x+=kπ(k∈Z),
得x=4kπ-(k∈Z),
所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);
又由x+=kπ+(k∈Z),
得x=4kπ+(k∈Z);
所以函数的对称中心为(k∈Z).
(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z),
得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);
所以函数的单调递增区间为
,k∈Z.
5.(13分)(2016·益阳模拟)已知函数f(x)=2sin.
(1)求函数的最大值及相应的x值集合.
(2)求函数的单调区间.
(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.
【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,
即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;
故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为
,k∈Z.
由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为
,k∈Z.
(3)由2x-=+kπ,k∈Z
得x=+kπ,k∈Z.
即函数f(x)的图象的对称轴为
x=+kπ,k∈Z.
由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,
即对称中心为,k∈Z.。